浙江省鄞州高级中学2011届高三数学复习讲义——等比数列的通项及求和新人教A版

三个命题中，真命题有（
） A． 0 个 B． 1 个
C．2 个
D． 3 个
D 3．已知等比数列 an 中 a2 1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 ()
（Ａ） , 1 （Ｂ） ,0 1,
（Ｃ） 3, （Ｄ） , 1 3,
C 4 在各项都为正数的等比数列 {an}中，首项 a1＝ 3，前三项和为 21，则 a3＋ a4＋ a5＝（
bn｝中，若 b9＝ 1，则有等式
成立 .b1b2… bn
12 已知 { an} 是公差不为零的等差数列， a1 1且 a1 , a3, a9成等比数列 .
（Ⅰ）求数列 { an } 的通项 ;
（Ⅱ）求数列 { 2an } 的前 n 项和 Sn.
解 （Ⅰ）由题设知公差 d≠ 0，
1 2d 1 8d
由 a1＝1， a1， a3，a9 成等比数列得
1 a3 a4 a5 64(
1
1 ) （Ⅰ）求 { an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn (an
1 )2 ，求数列
a3 a4 a5
an
{ bn} 的前 n 项和 Tn 。
解：（ 1）由已知得：
2
a1a2 a1 q 2 a12q 5 64
a1 1 an 2 n 1 q2
（2） Tn =1 42
43 ... 4n 1
D． 4 个
A 2．命题 1：若数列 {an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠ 1)，则数列 {an}是等比数列；
命题
2：若数列
{an}的前
n 项和
2
Sn=an +bn+c(a≠ 0)，则数列
{an}是等差数列；
命题 3：若数列 {an}的前 n 项和 Sn=na－n，则数列 {an}既是等差数列，又是等比数列；上述
b1 a2 2a1 3，
bn 是等比数列⑵ 由⑴知， a n 2
4 an 1 4a n ，且 cn
an 2n
cn 1 cn
a n 1 an 2 n 1 2n
a n 1 2an 2n 1
bn 2n 1
3 2n 1 2n 1
3 .
4
cn 是等差数列， cn
3 n
1.
44
⑶ cn
an 2n
7 在 8 与 27 之间插入三个数，使得这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 33
___________ 48 6
8 已知正项等比数列 { an } 中， a2 1 a1 ,a4 9 a3 ，则 a4 a5 _____27_______
9 已知等 比数列 { an } 中， S4 1,S8 3, 则 a17 a18 a19 a20 _____16____
）
（ A） 33
（ B） 72
（C）84
（D） 189
B 5 各项都为正数的等比数列 {an}的前 n 项的和为 Sn ，若 Sn 2, S3n 14, 则 S4n =( )
A 80 B 30
C 26 D 16
6 设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q=2，且 a1· a2·a3·…· a30=230，那 么 a3· a6·a9·…· a30 等于 A.210 B.220 C.216 D.215
等比数列的通项及求和的练习
A 1 “公差为 0 的等差数列是等比数列” ；“公比为 1 的等比数列一定是递减数列” ；“ a,b,c 2
三数成等比数列的充要条件是 b2=ac”；“ a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c”，以上四
个命题中，正确的有（
） A．1 个 B．2 个 C．3 个
bn
n1 (n N )
4an
求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn
解 : 因为对任意的 n
N , 点 (n, Sn) ，均在函数 y
x
b
r(b
0且b
1,b, r 均为常数 ) 的图像
上 . 所以得 Sn bn r ,
当 n 1 时 , a1 S1 b r ,
当n
2 时, an
Sn
Sn 1
n
br
n1
(b r)
n
n1
bb
n1
(b 1)b ,
又因为 { an } 为等比数列 , 所以 r 1 , 公比为 b ,
所以 an (b 1)b n 1
（ 2）当 b=2 时， an
(b 1)b n 1
2n
1
,
n1 n1 n1
bn
4an
4 2n 1
2n 1
234 则 Tn 22 23 24
1
234
2 Tn
23 24 25
＝
，
1 1 2d
解得 d＝ 1，d＝ 0（舍去）， 故 { an} 的通项 an＝ 1+（ n－ 1）× 1＝ n.
-1-
( Ⅱ) 由（Ⅰ）知 2am =2n，由等比数列前 n 项和公式得
Sm=2+22+23+… +2n= 2(1 2n ) =2n+1-2. 12
13 已 知 { an} 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 a1 a2 2( 1 1 ) ， a1 a2
15 已知 Sn 为数列 a n 的前 n 项和， a1 1 ， Sn 1 4 an 2 .
⑴设数列 bn 中， bn an 1 2a n ，求证： bn 是等比数列；
⑵设数列 cn 中， cn
an 2n
，求证：
c n 是等差数列；
⑶求数列 an 的通项公式及前 n 项和 .
【 解题思路 】 由于 bn 和 cn 中的项与 a n 中的项有关，且 Sn 1 4an 2 ，可利用 a n 、 Sn 的关
系作为切入点 .
【 解析 】⑴ Sn 1 4an 2 ， Sn 2 4a n 1 2 ，两式相减，得
Sn 2 Sn 1 4an 1 4 an
an 2 4 an 1 4a n ，
a n 2 2a n 1 2( an 1 2an )
又 bn an 1 2an ， bn 1 2bn ， 由 a1 1 ， Sn 4an 2 ，得 a2 5
10 等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有的奇数项之和为 85，所有的偶数项之和为 170，
则这个等比数列的项数为 _8__________
11 在等差数列｛ an｝中，若 a10＝ 0，则有等式 a1+a2+…＋ an=a1+a2+…＋ a 19－n （ n＜19， n∈ N
成立 .类比上述性质，相应地：在等比数列｛ ＝ b1b2 …b 17－n（ n＜17， n∈ N* ）；
，且
cn
31 n，
44
an 2n
31 n
44
当 n 1时， (3 1) 21 2 1 a1 ，
a n (3n 1) 2 n 2.
an (3n 1) 2n 2 ， Sn (3n 4) 2 n 1 2.
-3-
n1 2n 1
n 2n 1
n1 2n 2
-2-
1 21 11
1
相减 , 得 2 Tn 22 23 24 25
2n 1
1
1
1 23 (1 2n 1 ) n 1 3 1 n 1
2
1 1
2n 2 4 2 n 1 2n 2
2
3 1 n1 3 n3 所以 Tn 2 2n 2n 1 2 2n 1
n1 2n 2
2n 1 1 4
1 42
...
1 4n 4n 1 = 3
4 (1)n 34
2n 1
14 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ， 已知对任意的 n N
，点 (n ,Sn ) ，均在函数
x
y b r (b 0 且 b 1,b, r 均为常数 ) 的图像上 .
（1）求 r 的值；
（ 11）当 b=2 时，记