八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理知识点
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
知识点
一、探索勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.直角三角形的性质
5、摄影定理
6、常用关系式
7、直角三角形的判定
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二、一定是直角三角形吗
1.解直角三角形
2.直角三角形五元素的关系
3.直角三角形解法
4.解直角三角形在实际中的运用
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级数学上册一定是直角三角形吗要点讲解
三、勾股定理的应用
1.已知直角三角形的任意两边求第三边。
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系。
3.证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题。
4.构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。
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北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题
勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+, 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++， 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
4．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5．勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较:若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角c ba HG FED C B A b ac b a cc a b c a b a b c c b a E D CB A形是直角三角形6. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A10.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。
北师版八年级上册勾股定理知识总结与练习题
北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题1.知识总结1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a,b,斜边为c,那么a 2亠b 2 =c 2 2 •勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法4. 勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中，• C =90，则 c = .a 2—b 2，b = c 2二a 2，a = . c 2二b 2 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长 a ，b ，c 满足a 2 b^c 2，那么这个三角形是直角三角形 ，其中c 为 斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的 平方c 2作比较:若它们相等时，以a,b ,c 为三边的三角形是直角三角形；用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法 ，列出等式，推导出勾股定理方法4S.\ 'S正方形 EFGH-S 正方形ABCD， 4 1ab (b —a)22=c 2，化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4 ]ab 亠c 2 =2ab 亠c 222 2 2 2 2 2大正万形面积为 S =(a b) =a 2ab b ，所以a b =c 方法三：1 1 1 2S 梯形 =2(a b) (a b)，S 梯形=2S -ADE ■ S ABE =2 ab - c ，化简得证 3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 ，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 ，因而在应用EiAcba[cc1 \—D若a2 b2 ::: c2,时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 .c2,时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a,b,c及a2 b^c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足a2 c^b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时：这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2• b2二c2中,a,b ,c为正整数时,称a, b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 -1,2n,n2 1 （n _2, n为正整数）；2n 1,2n22n,2n2 2n 1 （n 为正整数）m2 -n2,2mn,m2 n2（m n, m , n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形：C10. 互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 ，这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点归纳 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A A D BC CB D A。
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点和习题
“ 64； ； 0.0004； (－25)2；11.北师大版八年级数学上册第二章实数知识点和习题北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题实数知识点知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a ，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 x 2 = a(a ≥ 0) 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： x = ± a (a ≥ 0) 。
因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a ＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： x = ± a 。
3、当 a ＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。
例 1.（1）的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2）的平方根是它本身。
（3）若 x 的平方根是±2，则 x= ； 16 的平方根是（4）当 x时， 3－2 x 有意义。
（5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“ a ”，读作， 根号 a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： a ≥ 0(a ≥ 0) 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±a 。
例 2.（1）下列说法正确的是（ ）A ．1 的立方根是 ± 1 ；B ． 4 = ±2 ； （C ）、 81 的平方根是 ± 3 ；（ D ）、0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、 81 = ±9B 、 3.14 - π = π - 3.14C 、 - 27 = -9 3D 、 5 - 3 =（3） (-3) 2 的算术平方根是。
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）北师版八年级数学第1章勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用８.．勾股定理逆定理的应用９.勾股定理及其逆定理的应用AB C30°D CB A ADB C CB DA二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m ABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ?① 1.5a =，2b =，2.5c = ②54a =，1b =，23c = 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明： D CBA三、巩固训练：选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b2∶c 2=2∶1∶1。
最新北师版八年级数学第一章.勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点
第一章 勾股定理 1.探索勾股定理课时1名师导航·预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。
其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。
有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。
经典例析 例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.∴.512=CD点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____． 2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__．4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．126．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是（）A．36 B．18 C．6 D．以上都不对8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？课时2名师导航·预习指南知识要点勾股定理的验证（1）通过测量进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。
北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．学问归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形①直角三角形的随意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长a ，b ，c 满意222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和22a b +及较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满意222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕７．勾股定理的应用勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和及第三边的平方比较而得到错误的结论．勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：干脆考察勾股定理ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：干脆应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边及斜边上高的乘积．有时可依据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ==， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S = ⑶设两直角边分别为a，b，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cmABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理及全等三角形的学问结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mABCD E分析：依据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，断定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，断定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满意10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形态？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理及勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在△中，∠90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( ) A 、2<c 2B 、2≥c 2C 、2>c 2D 、2≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，假如以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕 A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的始终角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满意要求的直角三角形共有〔 〕 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、以下命题①假如a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②假如直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③假如一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
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第一章 勾股定理 1.探索勾股定理课时1名师导航·预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。
其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。
有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。
经典例析 例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.分析：由于△ABC 为直角三角形，就可先由勾股定理求出BC 。
再根据面积求出CD 的长。
解：由勾股定理可得222AB BC AC =+,即22253=+BC ，所以4=BC 。
,2121CD AB BC AC S ABC ⋅=⋅=∴∆ ∴,5214321CD ⨯⨯=⨯⨯∴.512=CD 点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____． 2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__．4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．126．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是（）A．36 B．18 C．6 D．以上都不对8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？课时2名师导航·预习指南知识要点勾股定理的验证（1）通过测量进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。
在用拼图探索勾股定理的过程中，主要要清楚如下两点：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
②根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式，是推导勾股定理的一种很重要的方法如图所示。
经典例析1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，∠A=30°，则AC=______cm，BC=_______cm．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b：c=3：4：5，若c=25，则a=______，b=______．3．如图所示．（1）在图（1）中，AB=5，AC=2，BC=_______．（2）在图（2）中，BC边上的高为______，S△ABC=_______．（3）在图（3）中，正方形ABCD对角线BD=_______．(1) (2) (3)4．一棵树被大风刮倒后，折断处离地面3m，树的顶端，离树根4m，这棵树在折断之前的高度是（）A．5m B．6m C．7m D．8m5.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求CE的长．6．如图，一部云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙 7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底部在水平方向向右边滑动了4m 吗？•为什么？解题方案：（1）设梯子与墙、地及墙角三点，构成三角形分别为Rt△ABC及Rt△A′B′C′，•由已知得AB=______，BC=______，由勾股定理可得，22AB BC-=_______．（2）由已知可得AA′=4m，又因为AC=______，所以A′C=______，在Rt △A′CB′中，B′C==_____，而BC=7m，BB′=B′C-BC=_______，•显然梯子底部在水平方向上不止滑动4m．请与同伴交流．2.能得到直角三角形吗名师导航预习指南知识要点直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，且满足22ba+2c=，那么这个三角形是直角三角形。
它可应用于判断三角形是否为直角三角形，从而得到直角，两条直线垂直等信息，也可解决实际问题。
勾股数：满足22ba+2c=的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有：3，4，5； 5，12，13；8，15，17； 7，24，25；20，21，29； 9，40，41；……这些勾股数组的整数倍仍然是沟谷数组，由这些勾股数的倍数为三边长的三角形也是直角三角形。
经典例析例：1如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了3米到达B点，22(``)(``)A B A C-然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因∠NBC=30°，所以∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=2222(5003)500AB BC+=+=1000（米）．1．（1）3a，4a，5a（a>0）；（2）5k，12k，13k；（3）3a，4b，5c，•以上各组数能组成直角三角形的是__________（填序号）．2．一个三角形的最大边是5，另一边是4，要使三角形为直角三角形，•则第三边长为_______．3．△ABC中，a=9，b=12，①当c2=______时，∠C是直角，②当c2=______时，∠B是直角．4．如图，已知S1=81，S2=225，S3=144，则△ABC是______，∠ACB=______．5．在△ABC中，AB=17，BC=30，BC上的中线AD=8，则△ABC为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6．设a，b，c为直角三角形的三边，则a：b：c不可能是（）A．3：5：4 B．5：12：13 C．2：3：4 D．8：15：177．三角形的三边长分别为n2－1，2n，n2+1（n>1），则此三角形的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法判断8．正方形的对角线长为1，则正方形的边长为（）A．2 B．2C．22 D．29．如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，试求四边形CDAB•的面积．10．如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=•24，∠B=90°，试说明∠A+∠C=180°．3.蚂蚁怎样走最近名师导航·预习指南知识要点勾股定理在现实世界的广泛应用（1）将实际问题转化为由勾股定理解决实际问题，关键是构造直角三角形。
（2）表面路径问题，一般用拆面展开，展成平面后应用勾股定理。
（3）空间距离问题，一般从立体图形中找到直角三角形并运用勾股定理解题。
最短路线问题路程最短问题利用数学中建模思想构成直角三角形，利用勾股定理解决。
经典例析例：如图，据气象观测距沿海某城市A的正南方向220km的B•处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km风力就会减弱一级，•该台风中心现正在以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？解：（1）过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220km．所以AD=12×AB=12×220=110（km）．因为110<20×（12-4）=160，所以A市受台风影响．（2）在BC上取点E，F，使AE=AF=160．则当台风中心在EF上运动时，城市受到影响．在Rt△ADE中，因为AD=110km，AE=160km．所以2222160110AE AD--15km）15，601515h）．1．•如果梯子底端离建筑物7m，••那么25m•长的梯子可达到建筑物的高度是_______m．2．在野外平地上，刘强以4m/s的速度向南走，刘亮以3m/s的速度同时、同地向东走，10s后两人相隔______m．3．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_______cm ．（ 取3.0）4．在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使A 点与B 点重合，折痕与AB ，AC 分别相交于点D 和点E ，如图．折痕DE 的长为_______．5．如图，有一个长、宽各2m ，高为3m 的封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短距离为（ ）． A ．3m B ．4m C ．5m C ．6m6．△ABC 中，∠A=12∠B=13∠C ，它的最长边为10cm ，则此三角形的最短边是（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm7．如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所示的数据，计算大树没折断时的高度．8．如图，∠A=90°，AF=3cm ，AB=4cm ，正方形BCDE 的面积是169cm 2，当EF 为多长时，∠BFE=90°？第二章 实数 1.数怎么又不够用了 课时1 知识要点复习回顾有理数的相关知识经典例析例：下列各数中，哪些是有理数，哪些是不是有理数？ 3.23，－21，8，0. ，0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1).解：因为有理数可以用有限小数或无限循环小数表示，所以3.23和0.是有理数；-21和8是有理数；因为无限不循环小数不是有理数，所以0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)不是有理数. 答案有理数有：3.23，-21，8，0.36；不是有理数有：0.2121121112….1．我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？先来看下面的问题:（1）16个边长为1的正方形拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的面积是 ，边长有理数（填“是” 或“不是”）;（2）三个边长为2的正方形拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的面积是 ，边长 有理数（填“是” 或“不是”）.（3）在下图中，以直角三角形的斜边AC 为边的正方形的面积是 .设以斜边AC 为边的正方形的边长为b ，则b 应满足的条件是 .b 有理数（填“是” 或“不是”）.2．我国国旗旗面为长方形，长与宽之比为3∶2，国旗通用制作尺寸为长240 cm ，宽160 cm ，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？3．为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板（如图），设木板长为a 米，则由勾股定理得a 2=12+22，即a 2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？4．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？5．体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由.课时2知识要点1．有理数与无理数的区别有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．而无理数是无限不循环小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环．有理数可化为分数，无理数不能化成分数。