2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析
2021考研数学一真题及答案解析参考
2021年考研数学一真题一、选择题,1~8小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,假设x x tan -与k x 是同阶无穷小,那么=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 那么0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,那么以下级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n nn u u. 4.设函数2),(y xy x Q =,假如对上半平面〔0>y 〕内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.假设E A A 22=+,且4=A ,那么二次型Ax x T的标准形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.232221y y y ---. 6.如下图,有3张平面两两相交,交线互相平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,那么A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件,那么)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 互相独立,且都服从正态分布),(2σμN ,那么{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=那么yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,那么dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设),,(321αααA =为3阶矩阵.假设 21αα,线性无关,且2132ααα+-=,那么线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,那么{}=->1X X F P E )( .三、解答题:15~23小题,共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.〔此题总分值10分〕设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.〔1〕求)(x y ;〔2〕求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.〔此题总分值10分〕设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点〔3,4〕处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.〔1〕求b a ,;〔2〕求曲面222by ax z ++=〔0≥z 〕的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121,n =〔0,1,2…〕〔1〕证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a 〔n =2,3…〕 〔2〕求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为T c b )1,,(.〔1〕求c b a ,,.〔2〕证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似〔1〕求y x ,.〔2〕求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 互相独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =〔1〕求z 的概率密度.〔2〕p 为何值时,X 与Z 不相关. 〔3〕X 与Z 是否互相独立?23.〔此题总分值11分〕 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量2021年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析〔数学一〕9.yxx y cos cos +10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ,T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解:〔1〕)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xex y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e ,)3,3(23-e .16. 解:〔1〕)2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z=grad ,由题设可得,4836-=-b a ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a 〔2〕dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.〔1〕123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.〔2〕()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,那么23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ,,,,那么()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.〔1〕A 与B 相似,那么()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩〔2〕A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解:〔I 〕Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()z F z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=-- 那么Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. 〔II 〕由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.〔III 〕由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解:〔I 〕由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰,从而A =〔II 〕构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他,当,1,2,,i x i n μ≥=时,取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。
2021年全国研究生招生考试考研数学一历年真题及详解
C1x2+C2x-2,y′=2C1x-2C2x-3,将初始条件 y(1)=1,y′(1)=2 代
入得 C1=1,C2=0,故满足初始条件的解为 y=x2。
4. 设Σ为空间区域
表面的外侧,则曲面
积分
。
【答案】 4π 【考点】 曲面积分; 【解析】
由高斯公式得
。由对称性得,
,则
。
5. 设 A=aij 为 3 阶矩阵,Aij 为代数余子式,若 A 的每行元素之和均为 2,且 |A|=3,A11+A21+A31=。
)。
【答案】 B 【考点】 犯第二类错误的概率; 【解析】
—
—
所求概率为 P{X<11},X~N(11.5,4),故
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案写在答题纸指定 位置上)
1.
。
【答案】 π/4 【考点】 定积分的计算; 【解析】
2. 设参数 y=y(x)由参数方程
【答案】 B 【考点】 二次型的特征值; 【解析】 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2=2x22+2x1x2+ 2x2x3+2x3x1
所以
,故特征多项式为
令上式等于 0,得特征值为-1, 3,0,故该二次型的正惯性指数为 1,负惯性指数为 1,选 B 项。
6. 已知
( )。 A. a=1,b=0,c=-7/6 B. a=1,b=0,c=7/6 C. a=-1,b=-1,c=-7/6 D. a=-1,b=-1,c=7/6
【答案】 A 【考点】 麦克劳林公式; 【解析】 根据麦克劳林公式有
较,得 a=1,b=0,c=-7/6,故选 A 项。 4. 设函数 f(x)在区间[0,1]上连续,则 A. B.
2021年考研数学一真题与解析
2021年考研数学一真题与解析____年考研数学一真题与解析一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.1.下列曲线有渐近线的是(A)y _ sin_(B)y _ sin_22(C)y _ sin1_(D)y _ sin1_【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以.【详解】对于y _ sin应该选(C)2.设函数f(_)具有二阶导数,g(_) f(0)(1 _) f(1)_,则在[0,1]上((A)当f’(_) 0时,f(_) g(_)(C)当f (_) 0时,f(_) g(_))1y1,可知lim 1且lim(y _) limsin 0,所以有斜渐近线y __ __ _ __(B)当f’(_) 0时,f(_) g(_)(D)当f (_) 0时,f(_) g(_)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.如果对区间上任意两点_1,_2及常数0 1,恒有f (1 )_1 _2 (1 )f(_1) f(_2),则曲线是凸的.显然此题中_1 0,_2 1, _,则(1 )f(_1) f(_2) f(0)(1 _) f(1)_ g(_),而f (1 )_1 _2 f(_),故当f (_) 0时,曲线是凸的,即f (1 )_1 _2 (1 )f(_1) f(_2),也就是f(_) g(_),应该选(C)【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令F(_) f(_) g(_) f(_) f(0)(1 _) f(1)_,则F(0) F(1) 0,且F;(_) f;(_),故当f (_) 0时,曲线是凸的,从而F(_) F(0) F(1) 0,即F(_) f(_) g(_) 0,也就是f(_) g(_),应该选(C)。
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)[ABCD参考答案:A[单选题]设随机变量,则方程有实根的概率为()。
ABCD0参考答案:C[单选题]ABCD参考答案:D[问答题]设,则参考答案:因为P(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。
[问答题]二元函数f(x,y)=在(0,0)点是否可微?________。
(填是或否)参考答案:否[问答题]设随机变量X,Y相互独立,D(X)=4D(Y),令U=3X+2Y,V=3X-2Y,则=_____。
参考答案:[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。
ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布,令Y=4X-3,则E(Y)=_____。
D(Y)=_____。
参考答案:因为X~P(2),所以E(X)=D(X)=2,于是E(Y)=4E(X)-3=5,D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析:[问答题]参考答案:[问答题]一工人同时独立制造3个零件,第k个零件不合格的概率为;,以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数,则P(X=2)=______。
参考答案:令Ak={第k个零件不合格}(k=1,2,3),则[问答题]参考答案:[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y,且满足y(0)=1,讨论级数的敛散性。
参考答案:[单选题]设,则A与B()。
A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案:A[单选题]设f(x)的导函数为,则f(x)的一个原函数是()。
A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案:C[单选题]设总体X服从N(μ,σ2),与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值,记P1=。
AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1,P2=σ参考答案:C[问答题]设f(x)是连续函数,且,则f(7)=______。
2021年研究生入学考试《数学》整体试卷分析
2021年研究生入学考试《数学》整体试卷分析2021年全国硕士研究生入学统一考试考研数学科目的考试在大家期待、紧张、兴奋的情绪中落下帷幕,跨考教育数学教研室赵睿老师就考研数学题目的难度帮同学做第一时间的真题分析.第一,总体难度不大,但覆盖面广。
更强调对知识的实际应用,如今年考研数学三中考到了导数在经济学的应用,数二考到了导数在物理学中的应用。
第二,考研数学一、二、三试卷区分更显著。
如高等数学部分,数一、二、三试卷的选择题重复题较少。
同时,更加体现了不同卷种之间对知识的不同要求,提醒2021年考生在今后复习时,一定要按照考纲要求进行学习。
今年的试题中微积分部分涉及到的知识点有:求极限、根据导数的定义证明结论、导数应用中极值条件的逆问题,隐函数、参数方程求导,二重积分极坐标下的计算、一阶、二阶微分线性微分方程求解。
线性代数涉及知识点有:抽象行列式的计算、逆矩阵的运算、非齐次方程组解的判定条件、特征值特征向量的计算、矩阵相似对角化的充分条件、二次型正交变换下的标准型与初等矩阵的结合。
概率论与数理统计涉及的知识点有事件之间的包含关系、二维随机变量函数的分布、数学期望与方差的计算,统计量的参数的估计。
第三,重点的延续性更强,各卷种核心难点考查更集中。
对于逆矩阵的运算、矩阵相似反复考查。
第四,2021年考研数学仍然侧重对基础知识运用的考查。
2021年的考研数学题目还是强调了“三基本”,即数学考试的目的就是对基本概念、基本性质、基本原理的考察,这类考试性质没有变。
具体来说,从整体试卷来看,理工类(数学一)题目对知识点的综合性要求还是较高、理工类(数学二)题目灵活性较前两年更高、经济类(数学三)与前两年难度持平。
试卷中仍然还是微积分部分的难度高于线性代数和概率论与数理统计部分的难度。
今年的考题包括一些选择题,如果平常复习仅仅是死记硬背,对于知识点不能灵活掌握运用,这种题做起来会有困难。
所以跨考教育数学老师建议同学们在复习数学时强调的是理解,只有理解了,不仅这个题能够做,自己还能够提出问题,我们经常说,提出问题比解决问题更加困难,道理就在这里,只有对这个问题复习得很透彻了,才能够提出问题,这更能够挑战一个人的智力。
2022研究生考试数学一真题与解析
2021全国硕士研究生入学统一考试(数学一)试题解析一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)已知()f x 满足()1lim1ln x f x x→=,则( )(A )()10f = (B )()1lim 0x f x →= (C )()11f '=(D )()1lim 1x f x →'= (2)设函数y z xyf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且()f u 可导,若()ln ln z z x y xy y x x y ∂∂+=-∂∂,则( ) (A )()()11102f f '==, (B )()()11012f f '==, (C )()()11112f f '==,(D )()()1011f f '==,(3)设有数列{}n x ,22n x ππ-≤≤,则( )(A )若lim cos(sin )n n x →∞存在,则lim n n x →∞存在 (B )若limsin(cos )n n x →∞存在,则lim n n x →∞存在 (C )若lim cos(sin )n n x →∞存在,则lim sin n n x →∞存在,但lim n n x →∞不一定存在 (D )若limsin(cos )n n x →∞存在,则lim cos n n x →∞存在,但lim n n x →∞不一定存在 (4)已知1102(1cos )x I dx x =+⎰,120ln(1)1cos x I dx x+=+⎰,13021sin xI dx x =+⎰,则( ) (A )123I I I << (B )213I I I << (C )132I I I << (D )321I I I <<(5)3阶矩阵A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为( ) (A )A 有三个不相等的特征值(B )A 有三个线性无关的特征向量(C )A 有三个两两线性无关的特征向量 (D )A 的属于不同特征值的特征向量相互正交(B )方程组0E A y O AB ⎛⎫=⎪⎝⎭只有零解 (6)设A 、B 均为n 阶矩阵,如果方程组0Ax =与0Bx =同解,则( )(A )方程组0A O y E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭只有零解(C )方程组0A B y O B ⎛⎫=⎪⎝⎭与0BA y O A ⎛⎫=⎪⎝⎭同解 (D )方程组0ABB y O A ⎛⎫=⎪⎝⎭与0BA A y O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解 (7)设111λα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,211αλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,311αλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,421αλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若向量组123,,ααα与124,,ααα等价,则λ的取值范围是( ) (A ){}0,1(B ){λ| λ∈ R ,λ≠ -2} (C ){λ| λ∈ R ,λ≠ -1,λ≠ -2}(D ){λ| λ∈ R ,λ≠ -1}(8)设随机变量 X ~ U (0, 3) ,随机变量Y 服从参数为2 的泊松分布,且 X 与Y 的协方差为1-,则(21)D X Y -+( ) (A )1(B )5 (C )9(D )12 (9)设随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,且1X 的4阶矩存在,记1()kk E X μ=(1,2,3,4k =),则由切比雪夫不等式,对任意0ε>有2211n i i P X n με=⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭∑( ) (A )2422n μμε-(B 2(C )2212n μμε-(D 2 (10)设随机变量~(0,1)X N ,在X x =条件下,随机变量~(,1)Y N x ,则X 与Y 的相关系数为( ) (A )14(B )12(C(D )2二、填空题:11-16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)函数22(,)2f x y x y =+在点(0,1)的最大方向导数是___________. (12)21e =⎰___________. (13) 当0x ≥,0y ≥时,22x y x y ke ++≤恒成立,则k 的取值范围是___________.(14) 已知级数1!nxn n n e n ∞-=∑的收敛域为(), a +∞,则a =___________. (15)已知矩阵A 和E A -可逆,其中E 为单位矩阵,若矩阵B 满足()()1E E A B A ---=,则B A -=___________.(16)设A,B,C 为随机事件,且A 与B 互不相容,A 与C 互不相容,B 与C 相互独立,1()()()3P A P B P C ===,则()P B C A B C =U U U ___________.三、解答题:17—22小题,共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设函数()y x是微分方程2y y '=满足()1=3y 的解,求曲线()y y x =的渐近线.(18)(本题满分12分)已知平面区域(){},22D x y y x y =-≤≤≤≤,计算()222Dx y I dxdy x y-=+⎰⎰(19)(本题满分12分)已知∑为曲面()222410,0,0x y z x y z ++=≥≥≥的上测,L 为∑的边界曲线,其正向与∑的正法向量满足右手法则,计算曲线积分()()22cos 22sin LI yz z dx xz dy xyz x z dz =-+++⎰.(20)(本题满分10分)设()f x 在(),-∞+∞上有二阶连续导数,证明:()0f x ''≥的充要条件是对任意的实数,a b ,()12b a a b f f x dx b a +⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰. (21)(本题满分12分)已知二次型()3312311,,iji i f x x x ijx x===∑∑.(1)写出()123,,f x x x 对应的矩阵;(2)求正交变换x Qy =将()123,,f x x x 化为标准形; (3)求()123,,0f x x x =的解. (22)(本题满分12分)设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,12,,,m Y Y Y ⋅⋅⋅为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中(0)θθ>是未知参数.利用样本1212,,,,,,,n m X X X Y Y Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,求θ的最大似然估计量$θ,并求$()D θ.【答案】B【解析】()()()1111lim limln limlimln 100ln ln x x x x f x f x f x x x xx→→→→=⋅=⋅=⨯=.【答案】B 【解析】22z y y y y y y yf xyf yf f x x x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1z y y y y xf xyf xf yf y x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而2ln z z y y xy xyf xy x y x x ∂∂⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭,1ln 2y y f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()1ln 2f u u =,故()()11012f f '==,. (1)(2)【答案】D 【解析】在区间, 22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,若lim sin(cos )n n x a →∞=,则l i m c o s a r c s i n n n x a →∞=,但是lim nn x →∞不一定存在,例如arccos(arcsin ), arccos(arcsin ),n a n x a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数满足前面的条件但lim n n x →∞不存在. (3)【答案】A【解析】令()ln(1)2xh x x =+-,11()012h x x '=->+,()0, 1x ∈,于是()h x 单调递增,又由(0)0h =可知()ln(1)02xh x x =+->,其中()0, 1x ∈,故ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++,故12I I <. 当()0, 1x ∈时,()()()1sin ln(1)1sin 221cos x x x x x x x ++<+<<+,则ln(1)21cos 1sinx xx x +<++,故23I I <.【答案】A 【解析】A 选项是充分但不必要条件,B 选项是充分且必要条件,C 选项和D 选项不充分。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析(江南博哥)1 [单选题]A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为零D.可导且导数不为零正确答案:D参考解析:因为函数f(x)在x=0处可导且导数不为零.2 [单选题]设函数f(x,y)可微,且f(x+1,e x)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x2lnx,则df(1,1)=( ).A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy正确答案:C参考解析:将f(x+1,e x)=x(x+1)2两边对x求导得3 [单选题]设函数处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则( ).A.a=1,b=0,c=-B.a=1,b=0,c=C.a=-1,b=-1,c=-D.a=-1,b=-1,c=正确答案:A参考解析:4 [单选题]设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则( ).A.B.C.D.正确答案:B参考解析:由定积分定义得,这里将区间[0,1]分为n等份,即5 [单选题]二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).A.2,0B.1,1C.2,1D.1,2正确答案:B参考解析:则A的特征值为-1,0,3,所以正惯性指数与负惯性指数依次为1,1.6 [单选题]β2,β3两两相交,则l1,l2依次为().A.B.C.D.正确答案:A参考解析:由施密特正交化得7 [单选题]设A,B为n阶实矩阵,下列结论不成立的是( ).A.B.C.D.正确答案:C参考解析:因为=r(A,BA)+r(AA T)=r(A,BA)+r(A),且r(A,BA)≥r(A),所以8 [单选题]设A,B为随机事件,且0<P(B)<1,则下列命题中为假命题的是( ).A.若P(A|B)=P(A),则P(A|)=P(A)B.若P(A|B)>P(A),则P(|)>P()C.若P(A|B)>P(A|),则P(A|B)>P(A)D.若P(A|A B)>P(|A B),则P(A)>P(B)正确答案:D参考解析:P(A|B)=P(A)A,B相互独立,所以P(A|)=P(A),故A项正确;P(A|B)>P(A)中对任意满足题设条件的随机事件均成立,而,也满足条件,所以P(| )>P(),故B项正确;9 [单选题]设(X1,Y1),(X2,Y2),…,(X n,Y n)为来自总体的简单随机样本,令=,则( ).A.B.C.D.正确答案:C参考解析:10 [单选题]设X1,X2,…,X16是来自总体N(μ,4)的简单随机样本,考虑假设检验问题:H0:μ≤10,H1:μ>10.(x)表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为,其中,则μ=11.5时,该检验犯第二类错误的概率为( ).A.1-(0.5)B.1-(1)C.1-(1.5)D.1-(2)正确答案:B参考解析:11 [填空题]参考解析:【解析】12 [填空题]参考解析:【解析】13 [填空题]欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1,y’(1)=2的解为______.参考解析:y=x2【解析】作变换x=e t,则y'(t)=y’(x)e t=xy'(x),y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x),则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0,即y”(t)-4y(t)=0,其特征方程为λ2—4=0,特征根为λ1=2,λ2=-2,则该方程的通解为,又y(1)=1,y’(1)=2,故C1=1,C2=0,所以y=x2.14 [填空题]设三为空间区域{(x,y,z)|x2+4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧,则曲面积分y2dzdx+zdxdy=______.参考解析:4π【解析】由高斯公式得,其中Ω为∑围成的封闭区域.由于图形关于xOz平面对称,所以同理,由于图形关于yOz平面对称,所以15 [填空题]设A=(a ij)为三阶矩阵,A ij为元素a ij的代数余子式.若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,则A11+A21+A31=______.参考解析:【解析】因为A的每行元素之和均为2,所以,故A*的每行元素之和均为.16 [填空题]甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,则X与Y的相关系数为______.参考解析:由题意可知,X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示.所以E(XY)=0.3,E(X)=E(Y)=0.5,D(X)=D(Y)=0.25,17 [简答题]参考解析:18 [简答题]参考解析:19 [简答题]已知曲线求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值.参考解析:设c上的点(x,y,z)到xOy坐标平面的距离为d,则d=|z|根据题意,目标函数为f(x,y,z)=z2,约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0.构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30),则20 [简答题]设D R2是有界单连通闭区域,取得最大值的积分区域记为D1(Ⅰ)求I(D1)的值;(Ⅱ)其中D1是D1的正向边界.参考解析:(Ⅰ)要使取得最大值,则D应该包含所有使得被积函数f(x,y)=4-x2-y2≥0并且D中不能包含使得f(x,y)=4-x2-y2<0的区域,故D1={(x,y)x2+y2≤4},又Q(x,y),P(x,y)在D1围成的区域D1上有奇点,所以要补充曲线L:x2+4y2=ε2,ε>0足够小,取顺时针方向,且L围成的区域为D”,则Q(x,y),P(x,y)在D1与L围成的区域D’上满足格林公式的条件,21 [简答题](Ⅰ)求正交矩阵P,使P T AP为对角矩阵;(Ⅱ)求正定矩阵C,使C2=(a+3)E-A,其中E为三阶单位矩阵.参考解析:(I)所以A的特征值为λ1=λ2=a-1,λ3=a+2.当λ1=λ2=a-1时,|A-(a-1)E|x=0,22 [简答题](本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,其中较短一段的长度记为X,较长一段的长度记为Y,.(Ⅰ)求X的概率密度;(Ⅱ)求Z的概率密度;(Ⅲ)求E().参考解析:(Ⅰ)由题意知,X+Y=2,0<X<Y,且X~U(0,1),。
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====,所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0,故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微,且2(1,)(1)x f x e x x +=+,22(,)2ln f x x x x =,则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得:()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得:()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得:()11,10f '=,()21,11f '=,故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++,则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+,()2442111x x x xο=-+++,则()332sin 716x x x x xο=-++,所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰,这里将区间[]0,1分为n 等份,即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅, 故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】(B )【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为:0,1,3-,所以正负惯性指数为1,1.答案为(B ).(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--,若123,,βββ两两正交,则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】(A )【解析】由施密特正交法:11βα=,21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭,313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==,32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选(A ) (7) 设,A B 为n 阶实矩阵,下列结论不成立的是( )(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】(C )【解析】(C )选项,因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件,且()01,P B << 下列命题中为假命题的是( )(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立,所以()()P A B P A =,故(A )正确;()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立,而,A B 也满足条件,所以()()P A B P A >,故(B )正确; ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>,故(C )正确;(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>,故(D )不正确,选(D ). (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则( )(A) θ是θ的无偏估计,()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计,()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计,()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计,()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=,所以ˆθ是θ的无偏估计; 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑,故选(C ).(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本,考虑假设检验问题:01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑,则11.5μ= 时,该检验犯第二类错误的概率为 ( )(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ,所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ,选(B ).二、填空题:1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定,则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ,()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为:()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=,特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ,()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧,则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得:22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰(其中Ω为Σ围成的封闭区域)由于图形关于xoz 平面对称,所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理:图形关于yoz 平面对称,则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵,ij A 为元素ij a 的代数余子式,若A 的每行元素之和均为2,且3A =,则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2,所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球,令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知,X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =,()()0.5E X E Y ==,()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题:1722小题,共70分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+,求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑, 当1xe-<时,则0x >,此时1()S x 收敛,且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑,0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑,由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+,得收敛区间为(1,1)-, 在1x =±时,当n →∞时,()1211(1)n n n n +±+,且211n n ∞=∑收敛,故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛, 故2()S x 的收敛域为[]1,1-,故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑,1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑, 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰,2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰,()0,1x ∈,当1x =时,211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑, 故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-,()0,1x ∈, 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑, 综上所述:(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ,到xOy 坐标面距离为z ,目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=,则0μ=,代入(3)可得0z =,代入(4)(5)2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩,此方程无解.若0λ≠,则4x y =,代入(4)(5)2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域,22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值; (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰,其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大,则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域,故221{(,)|4}D x y x y =+≤,从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点,所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小,取顺时针方向,且L 围成的区域为D '',则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件,于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, (I) 求正交矩阵P ,使TP AP 为对角矩阵;(II) 求正定矩阵C ,使2(3)C a E A =+-,其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---, 所以A 的特征值为121a λλ==-,32a λ=+,当121a λλ==-时,[(1)]0A a E x --=,111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为:1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭,2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时,[(2)]0A a E x -+=,211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为:3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化,11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭,222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭,333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭,112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为X ,较长一段的长度记为Y ,令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度; (II) 求Z 的概率密度; (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ,由题意:~(0,1)X U . 所以X 的概率密度:1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=,则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ,()0=Z F z ; ②1z ≥,222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+,,,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩,,. (III)法1:令2==-X X U Y X ,同理可得:22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2:10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。
2021年考研数学一真题及参考答案
全国硕士研究生入学统一考试备考资料2021年全国硕士研究生入学考试数学(一)试题及参考答案一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1、函数00,1,1)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xe xf x ,在0=x 处()(A)连续且取极大值;(B)连续且取极小值;(C)可导且导数等于零;(D)可导且导数不为零;2、设函数),(y x f 可微,且,ln 2),(,)1(),1(222x x x x f x x e x f x=+=+则)1,1(df ()(A)dy dx +;(B)dy dx -;(C)dy ;(D)dy -;3、设函数01sin )(2=+=x x x x f 在处的3次泰勒多项式为32cx bx ax ++,则()(A)67,0,1-===c b a ;(B)67,0,1===c b a ;(C)67,-1,1--===c b a ;(D)67,-1,1-===c b a ;4、设函数)(x f 在区间[0,1]上连续,则⎰1)(dx x f =()(A)n n k f nk n 21212(lim1∑=∞→-;(B)nn k f nk n 1)212(lim1∑=∞→-;(C)nn k f nk n 1)21(lim21∑=∞→-;(D)nn k f nk n 2)2(lim21∑=∞→;5、二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为()(A)2,0;(B)1,1;(C)2,1;(D)1,2;6、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213,121,101321ααα,已知2211331221,1--,-ββαββαβαβl l k ===,若321,,βββ两两相交,则21,l l 依次为()(A)21,25;(B)21,25-;(C)21,-25;(D)21,-25-;7、设A ,B 为n 阶实矩阵,下列不成立的是()(A))(2A O O Ar T A r A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(B))(2A O AB A r T A r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C))(2A O BA A r T A r A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛(D))(2A BAO Ar T A r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛8、设A ,B 为随机事件,且1)(0<<B P ,下列命题中不成立的是()(A))()(),()(A P B A P A P B A P ==-则若(B))()(),()(--->>A P B A P A P B A P 则若(C))()(),()(A P B A P B A P B A P >>-则若(D))()(),()(B P A P B A A P B A A P >⋃>⋃-则若9、设),,(),,,(),,,(2211n n Y X Y X Y X 为来自总体);,;,(222121ρσσu u N 的简单随机样本,令--∧=-=--===-=∑∑Y X Y n Y X n X u u ni i n i i θθ,1,1,1121,则()(A)nD 2221)(σσθθθ+=∧∧的无偏估计,是(B)nD 2221)(σσθθθ+=∧∧的无偏估计,不是(C)nD 2122212-)(σρσσσθθθ+=∧∧的无偏估计,是(D)nD 2122212-)(σρσσσθθθ+=∧∧的无偏估计,不是10、设1621,X X X 是来自总体)4,(μN 的简单随机样本,考虑假设检验问题,)(,10:,10:10x H H Φ>≤μμ表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=-11X W ,其中∑=-=161161i i X X ,其中11.5=μ,该检验犯第二类错误的概率为()(A)(0.5)-1Φ(B)(1)-1Φ(C)(1.5)-1Φ(D)(2)-1Φ二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11、⎰+∞++0222x x dx=。
2021年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)
2021年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
将所选选项前的字母填在答题卡指定的位置上。
)1)函数$f(x)=\begin{cases}x。
& x\neq 1 \\ 1.&x=1\end{cases}$,在$x=1$处()A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值(C)可导且导数为1 (D)可导且导数不为12)设函数$f(x,y)$可微,且$f(x+1,e)=x(x+1)$,$f(x,x)=2x\ln x$,则$df(1,1)$=()A)$dx+dy$ (B)$dx-dy$ (C)$dy$ (D)$-dy$3)设函数$f(x)=\dfrac{x}{1+\sqrt{x}}$,则$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$=()A)0 (B)1 (C)$-\infty$ (D)不存在4)设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续,则$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n}f\le ft(\dfrac{k-1}{2n}\right)$=()A)$\int\limits_0^1f(x)dx$ (B)$\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}f\left(\dfrac{k}{2n}\right)$C)$\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k^2}f\left(\dfrac{k}{2n}\righ t)$ (D)不存在5)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$的正惯性指数与负惯性指数依次为()A)2,1 (B)1,1 (C)2,1 (D)1,26)已知$\alpha_1=1,\alpha_2=2,\alpha_3=1$,$\beta_1=\alpha_1$,$\beta_2=\alpha_2-k\beta_1$,$\beta_3=\alpha_3-l_1\beta_1-l_2\beta_2$,若$\beta_1,\beta_2,\beta_3$两两正交,则$l_1,l_2$依次为()A)$\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}$ (B)$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}$ (C)$-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}$ (D)$-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}$ 7)设$A,B$为$n$阶实矩阵,下列不成立的是()A)$r\begin{pmatrix}A & A \\ O &A\end{pmatrix}=2r(A)$ (B)$r\begin{pmatrix}A & B \\ B^T & O\end{pmatrix}=2r(A)r_B$C)$r\begin{pmatrix}ABA & O \\ O &A^T\end{pmatrix}=2r(A)r_B$ (D)$r\begin{pmatrix}A & B \\ -B & A\end{pmatrix}=n$2r(A)OAA8) 设A,B为随机变量,且$0<P(B)<1$,下列命题中不成立的是()A) 若$P(AB)=P(A)$,则$P(AB)=P(A)$B) 若$P(AB)>P(A)$,则$P(AB)>P(A)$C) 若$P(AB)>P(A\cup B)$,则$P(AB)>P(A)$D) 若$P(A\cup B)>P(A\cap B)$,则$P(A)>P(B)$9) 设$(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\dots,(X_n,Y_n)$为来自总体$N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1,\sigma_2;\rho)$的简单随机样本,令$\theta=\mu_1-\mu_2,X=\sum\limits_{i=1}^nX_i,Y=\sum\limits_{i=1}^nY_i,\bar {X}=\frac{X}{n},\bar{Y}=\frac{Y}{n}$,则()A) $\theta$是$\theta$的无偏估计,$D(\theta)=\frac{2\sigma_1^2+2\sigma_2^2}{n}$B) $\theta$不是$\theta$的无偏估计,$D(\theta)=\frac{2\sigma_1^2+2\sigma_2^2}{n}$C) $\theta$是$\theta$的无偏估计,$D(\theta)=\frac{2\sigma_1^2+2\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$D) $\theta$不是$\theta$的无偏估计,$D(\theta)=\frac{2\sigma_1^2+2\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$10) 设$X_1,X_2,\dots,X_{16}$是来自总体$N(\mu,4)$的简单随机样本,考虑假设检验问题$H_0:\mu\leq 10,H_1:\mu>10$。
201X考研数学一真题及答案
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1~8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 〔1〕B〔2〕D〔3〕D〔4〕B〔5〕B〔6〕A〔7〕〔B 〕〔8〕〔D 〕二、填空题:914小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. 〔9〕012=---z y x〔10〕11=-)(f〔11〕12+=x xy ln 〔12〕π〔13〕[-2,2]〔14〕25n答题纸...指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令(16)【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时, 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2021考研数学一真题及解析
2021考研数学一真题及解析考研的小伙伴们,一提到数学一真题,是不是心里都“咯噔”一下?别慌,今天咱们就一起来瞅瞅 2021 考研数学一的真题,顺便好好解析解析。
我记得之前有个学生,叫小李。
他在备考数学一的时候,那叫一个紧张。
每天早早地就跑到图书馆占座,抱着厚厚的复习资料,一脸严肃。
有一次,我去图书馆找他,发现他面前摊着一堆草稿纸,头发都被他抓得有点乱了。
我问他:“小李,咋样啦?”他抬起头,一脸无奈地说:“老师,这数学一也太难了,感觉怎么学都学不完。
”咱们先来看第一道题啊。
这道题考查的是函数的极限。
这可是基础中的基础,要是这都拿不准,那后面可就麻烦啦。
来,咱们一起分析分析。
先看看这函数的形式,再想想极限的定义和运算法则。
再看这第二道题,是关于导数的。
大家可别小看这导数,它可是解决很多问题的关键工具。
就像有一次,我在菜市场买菜,看到卖水果的老板在计算成本和利润。
他就是通过对价格和销量的导数分析,来确定最优的进货量和售价。
这其实和咱们数学里的导数概念是相通的。
接下来这几道题,涉及到了积分的知识。
积分就像是一个大口袋,把零碎的东西都装进去,然后算出总和。
比如说,计算一个不规则图形的面积,就得靠积分来帮忙。
还有那些个概率论和数理统计的题目,也是让人头疼。
但其实啊,只要把基本概念和公式掌握好,也没那么可怕。
做数学一的真题,就像是在探险。
每一道题都是一个关卡,需要我们用智慧和勇气去攻克。
有时候会遇到难题,就像在森林里迷路了一样,但别着急,冷静下来,仔细分析,总能找到出路。
总之,2021 考研数学一的真题虽然有难度,但只要我们一步一个脚印,认真复习,多做练习,就一定能够应对自如。
就像小李后来,经过不断地努力,终于在考场上发挥出色。
所以啊,大家加油,相信自己一定行!。
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因为 P(A A B) P(A A B) ,固有 P(A) P(B) P(AB) ,故选 D .
(9) 设 ( X1,Y1) ,( X 2 ,Y2 ) , ,( X n ,Yn ) 为来自总体 N (1, 2;1, 2; ) 的简单随机样本,
令
1 2 , X
1 n
n i 1
Xi
,Y
1 n
5 2
, l2
[3, 2 ] [2, 2]
2
1 2
.故选 A
.
(7) 设 A , B 为 n 阶实矩阵,则下列不成立的是( )
A O
(A)
r
O
AT
A
2r
(
A)
.
A AB
(
B
)r
O
AT
2r
(A
).
A BA
(C)
r
O
AAT
2r
(
A)
.
A O
(D)
r
BA
AT
2r
(
A)
.
【答案】 C
f
2
(1,1)2ຫໍສະໝຸດ 联立可得f1 (1,1)
0
,f
2
(1,1)
1,df
(1,1)
f1(1,1)dx
f
2
(1,1)dy
dy
,故选 C .
(3) 设函数 f (x) sin x 在 x 0 处的 3 次泰勒多项式为 ax bx2 +cx3 ,则( ) 1 x2
(A) a 1,b 0, c 7 . 6
(D) 若 P(A A B) P(A A B) ,则 P(A) P(B) .
【答案】 D
【解析】 P(A A B) P(A(A B))
P( A)
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A A B) P(A(A B)) P(AB) P(B) P(AB) P(A B) P(A B) P(A) P(B) P(AB)
(A) 5 , 1 . 22
(B) 5 , 1 . 22
【答案】 A
【解析】利用斯密斯正交化
(C) 5 , 1 . 22
(D) 5 , 1 . 22
0
2
2
[2, 1] [1, 1]
1
2 0
,
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3, 2 ] [2, 2]
2
,故 l1
[3, 1] [1, 1]
(B) 连续且取极小值.
(C) 可导且导数为 0 .
(D) 可导且导数不为 0 .
【答案】 D
【解析】因为 lim f (x) lim ex 1 1 f (0) ,故 f (x) 在 x 0 处连续.
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) x0
lim x0
ex 1 1 x x0
(D) dy .
【答案】 C
【解析】 f1(x 1, ex ) ex f2(x 1, ex ) (x 1)2 2x(x 1) ①
f1
(
x,
x
2
)
2
xf
2
(
x,
x
2
)
4
x
ln
x
2
x
②
分别将
x y
0 0
,
x y
1 1
代入①②式有
f1(1,1)
f 2 (1,1)
1,
f1(1,1) 2
1
(4) 设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续,则 f (x)dx 0
(A)
lim
x
n n1
f
2k 1 2n
1 2n
(
B
n
)l i m
x n1
f
2k 2n
1
1
.
n
(C)
lim
x
2n n1
f
k 1 2n
1 n
.
(D)
lim
x
2n n1
f
k 2n
2 n
.
【答案】 B
【解析】
(A)
r
A
O
O AT A
r
(
A)
r
(
AT
A)
2r
(
A)
,故
A
正确.
(B)
AB 的列向量可由
A
的列线性表示,故
r
A O
AB AT
r
(
A)
r
(
AT
)
2r
(
A)
.
(C) BA 的列向量不一定可由 A 的列线性表示.
(D)
BA 的列向量可由
A
的行线性表示,
r
A BA
O AT
r
(
A)
(B) a 1, b 0 , c 7 . 6
(C) a 1, b 1, c 7 . 6
(D) a 1, b 1, c 7 . 6
【答案】 A
【解析】
f
(x)
sin x 1 x2
x
x3 6
o(
x3
)
1
x2
o(x3)
x
7 6
x3
o(x3 ) ,故 a
1,
b 0 , c 7 ,故选 A . 6
2
1 ( 1)( 3) .
1 1 0
1 1
令上式等于零,故特征值为 1, 3 , 0 ,故该二次型正惯性指数为1,负惯性指数为1,故 选B.
1
1
3
(6)
已知 1
0
,
2
2
,3
1
,记
1
1 ,2
2
k 1
,3
3
l11
l2 2
,
1
1
2
若将 1 , 2 , 3 两两正交,则 l1 , l2 依次为( )
【解析】由定积分定义秩,将 (0,1) 分成 n 份,取中间点的函数
1 0
f
(x)dx
lim x
n n1
f
2k 1 2n
1 n
,即选 B
.
(5) 二次型 f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 )2 (x2 x3 )2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依
次为( )
ex lim
x0
1 x x2
1 2
,故
f (0)
1 2
,故选 D
.
(2) 设函数 f ( x, y) 可微,且 f ( x 1, ex ) x(x 1)2 , f (x, x2 ) 2x2 ln x ,则 df (1,1)
()
(A) dx dy .
(B) dx dy .
(C) dy .
r
(
AT
)
2r
(
A)
.
(8) 设 A , B 为随机变量,且 0 P(B) 1,下列命题中不成立的是
(A) 若 P( A B) P( A) ,则 P(A B) P(A) .
(B) 若 P( A B) P( A) ,则 P(A B) P(A) .
(C) P(A B) P(A B) ,则 P( A B) P( A) .
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析
一、选择题:1 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上。
(1)
函数
f
(x)
ex 1 , x
x
0 ,在
x
0
处(
)
1, x 0
(A) 连续且取极大值.
(A) 2, 0 .
(B) 1,1 .
(C) 2,1 .
(D) 1, 2 .
【答案】 B 【解析】 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3
0 1 1
1 1
所以
A
1
2
1
,故多项式
E
A
1
n
Yi
i 1
,
X
Y
,则
(A)
是
的无偏估计,