最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的正交分解及坐标表示》
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
人教版高中数学必修4讲义 2.3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94~P 95内容,完成下列问题. 1.平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x ,y ,使得a =x i +y j ,我们把有序数对(x ,y )叫做向量a 的坐标,记作a =(x ,y ),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,a =(x ,y )叫做向量的坐标表示.显然,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若OA →=(2,-1),则点A 的坐标为(2,-1).( )(2)若点A 的坐标为(2,-1),则以A 为终点的向量的坐标为(2,-1).( ) (3)平面内的一个向量a ,其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量,其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个,它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容,完成下列问题.1.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a =(x ,y ),λ∈R ,则λa =(λx ,λy ),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义:图2-3-13在平面直角坐标系中,若A (x ,y ),则OA →=(x ,y ),若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1).如图2-3-13所示.1.已知a =(2,1),b =(3,-2),则3a -2b 的坐标是( ) A.(0,-7) B.(0,7) C.(-1,3)D.(12,-1)【解析】 3a -2b =3(2,1)-2(3,-2) =(6,3)-(6,-4)=(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1),B (2,-1),则BA →的坐标是( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2)D.(-1,-2) 【解析】 BA →=(3,1)-(2,-1)=(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →=(1,3),且点A (-2,5),则点B 的坐标为( ) A.(1,8) B.(-1,8) C.(3,2)D.(-3,2)(2)如图2-3-14,在正方形ABCD 中,O 为中心,且OA →=(-1,-1),则OB →=________;OC →=________;OD →=________.图2-3-14图2-3-15(3)如图2-3-15,已知在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角,求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ,y ),AB →=(x ,y )-(-2,5)=(x +2,y -5)=(1,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧ x +2=1,y -5=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =8,所以点B 的坐标为(-1,8).(2)如题干图,OC →=-OA →=-(-1,-1)=(1,1), 由正方形的对称性可知,B (1,-1),所以OB →=(1,-1), 同理OD →=(-1,1).【答案】 (1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°,120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2).由三角函数的定义,得x 1=cos 30°=32,y 1=sin 30°=12, 所以B ⎝⎛⎭⎫32,12.x 2=cos 120°=-12,y 2=sin 120°=32, 所以D ⎝⎛⎭⎫-12,32.所以AB →=⎝⎛⎭⎫32,12,AD →=⎝⎛⎭⎫-12,32.求点、向量坐标的常用方法:(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ,顶点A 在坐标原点,AB 边在x 轴上,C 在第一象限,D 为AC 的中点,分别求向量AB →,AC →,BC →,BD →的坐标. 【导学号:00680048】【解】 如图,正三角形ABC 的边长为2,则顶点A (0,0),B (2,0),C (2cos 60°,2sin 60°), ∴C (1,3),D ⎝⎛⎭⎫12,32,∴AB →=(2,0),AC →=(1,3), BC →=(1-2,3-0)=(-1,3), BD →=⎝⎛⎭⎫12-2,32-0=⎝⎛⎭⎫-32,32.平面向量的坐标运算(1)设AB →=(2,3),BC →=(m ,n ),CD →=(-1,4),则DA →等于( ) A.(1+m,7+n ) B.(-1-m ,-7-n ) C.(1-m,7-n ) D.(-1+m ,-7+n )(2)已知向量OA →=(3,-2),OB →=(-5,-1),则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫-4,12 B.⎝⎛⎭⎫4,-12 C.⎝⎛⎭⎫-1,-32 D.(8,1)(3)若A ,B ,C 三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求AB →+2BC →,BC →-12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →+CB →+BA →来求解. (2)可借助AB →=OB →-OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →=(x B -x A ,y B -y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →=DC →+CB →+BA →=-CD →-BC →-AB → =-(-1,4)-(m ,n )-(2,3) =(-1-m ,-7-n ). (2)12A B →=12(OB →-OA →)=12[](-5,-1)-(3,-2)=12(-8,1)=⎝⎛⎭⎫-4,12,∴12AB→=⎝⎛⎭⎫-4,12.【答案】(1)B(2)A(3)∵AB→=(-2,10),BC→=(-8,4),AC→=(-10,14),∴AB→+2BC→=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),BC→-12AC→=(-8,4)-12(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).平面向量坐标的线性运算的方法:(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a=(-1,2),b=(2,1),求:(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)12a-13b.【解】(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).(3)12a-13b=12(-1,2)-13(2,1)=⎝⎛⎭⎫-12,1-⎝⎛⎭⎫23,13=⎝⎛⎭⎫-76,23.[探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0),A (1,2),B (4,5),及OP →=OA →+tAB →.当t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在y 轴上?点P 在第二象限?【提示】 ∵OP →=OA →+tAB →=(1,2)+t (3,3)=(1+3t,2+3t ). 若点P 在x 轴上,则2+3t =0, ∴t =-23.若点P 在y 轴上,则1+3t =0, ∴t =-13.若点P 在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t >0,∴-23<t <-13.探究2 对于探究1条件不变,四边形OABP 能为平行四边形吗?若能,求出t 的值;若不能,请说明理由.【提示】 ∵OA →=(1,2),PB →=(3-3t,3-3t ). 若四边形OABP 为平行四边形, 则OA →=PB →,∴⎩⎪⎨⎪⎧3-3t =1,3-3t =2,该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3),B (5,4),C (7,10).若A P →=A B →+λA C →(λ∈R ),试求λ为何值时, (1)点P 在一、三象限角平分线上;(2)点P 在第三象限内. 【导学号:70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标,再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ,y ), 则A P →=(x ,y )-(2,3)=(x -2,y -3),A B →+λ·A C →=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). ∵A P →=A B →+λA C →,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,则⎩⎪⎨⎪⎧x =5+5λ,y =4+7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上, 则5+5λ=4+7λ,∴λ=12,∴λ=12时,点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内,则⎩⎪⎨⎪⎧5+5λ<0,4+7λ<0,∴λ<-1.当λ<-1时,点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图2-3-16所示,若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则λμ=________.图2-3-16【解析】 以向量a 的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,则a =(-1,1),b =(6,2),c =(-1,-3).由c =λa +μb ,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故λ=-2,μ=-12,则λμ=4.【答案】 41.已知OA →=(4,8),OB →=(-7,-2),则3AB →=( ) A.(-9,18) B.(9,-18) C.(-33,-30)D.(33,30)【解析】 3AB →=3(OB →-OA →)=3[(-7,-2)-(4,8)]=(-33,-30). 【答案】 C2.若a =(2,1),b =(1,0),则3a +2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0,-1)【解析】 3a +2b =3(2,1)+2(1,0)=(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →=(1,2),BC →=(3,4),则AC →等于( ) A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2)D.(2,2) 【解析】 由AC →=AB →+BC →=(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号:00680049】【解析】 AB →=(3,-4),则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|=15(3,-4)=⎝⎛⎭⎫35,-45. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫35,-45 5.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4),CM →=3CA →,CN →=2CB →,求MN →的坐标. 【解】 因为A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4),所以CA →=(-2+3,4+4)=(1,8), CB →=(3+3,-1+4)=(6,3),所以CM →=3CA →=(3,24), CN →=2CB →=(12,6).设M (x ,y ),则CM →=(x +3,y +4),即⎩⎪⎨⎪⎧ x +3=3,y +4=24,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =20,所以M (0,20),同理可得N (9,2), 所以MN →=(9-0,2-20)=(9,-18).。
高中数学人教版必修4课件:2.3.1平面向量的正交分解及坐标表示(共PPT2)
定理知,有且只有一对实数x、y,使得 a
=xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量
a的坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴
上的坐标,y叫做a在y轴 上的坐标,上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何?
j
x
Oi
x
思考5:相等向量的坐标必然相等,作 向量 a,则 (x,y),此时点A是 坐标是什么?
2.向量的夹角是反应两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是 0°或180°,垂直向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系,它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点,则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
理论迁移
例1 如图,已知向量e1、e2,求作 向量-2.5e1+3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A -2.5e1 O
例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
-4 -2 O 2
c=(-2,-3) c -2 d
-5
4x
d=(2,-3)
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1:不共线的向量有不同的方向, 对于两个非零向量a和b,作 a, b, 如图.为了反应这两个向量的位置关系, 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜?
ab
B
b [0°,180°]
O aA
思考2:如果向量a与b的夹角是90°, 则称向量a与b垂直,记作a⊥b. 互相垂 直的两个向量能否作为平面内所有向量 的一组基底?
人教版高中数学必修四 2.3 2.3.2 & 2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
2.3.2 & 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94~98,思考并完成以下问题(1)怎样分解一个向量才为正交分解?(2)如何由a,b的坐标求a+b,a-b,λa的坐标?[新知初探]1.平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.(2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y).(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).[点睛](1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e1和e2互相垂直.(2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a =b⇔x1=x2且y1=y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).3.平面向量的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:AB =(2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.( )(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.若a =(2,1),b =(1,0),则3a +2b 的坐标是( ) A .(5,3)B .(4,3)C .(8,3)D .(0,-1)答案:C3.若向量AB =(1,2),BC=(3,4),则AC =( ) A .(4,6) B .(-4,-6) C .(-2,-2) D .(2,2) 答案:A4.若点M (3,5),点N (2,1),用坐标表示向量MN =______. 答案:(-1,-4)[典例]如图,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角.求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标.[解] 由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2). 由三角函数的定义,得 x 1=cos 30°=32,y 1=sin 30°=12,∴B ⎝⎛⎭⎫32,12.x 2=cos 120°=-12,y 2=sin 120°=32,∴D ⎝⎛⎭⎫-12,32. ∴AB =⎝⎛⎭⎫32,12,AD =⎝⎛⎭⎫-12,32.[活学活用]已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA |=43,∠xOA =60°, (1)求向量OA 的坐标;(2)若B (3,-1),求BA 的坐标.解:(1)设点A (x ,y ),则x =43cos 60°=23, y =43sin 60°=6,即A (23,6),OA =(23,6). (2)BA =(23,6)-(3,-1)=(3,7).[典例] (1)已知三点A (2,-1),B (3,4),C (-2,0),则向量3AB +2CA =________,BC -2AB =________.(2)已知向量a ,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a +b ,a -b,3a,2a +3b 的坐标. [解析] (1)∵A (2,-1),B (3,4),C (-2,0), ∴AB =(1,5),CA =(4,-1),BC =(-5,-4). ∴3AB +2CA =3(1,5)+2(4,-1) =(3+8,15-2) =(11,13).BC -2AB =(-5,-4)-2(1,5)=(-5-2,-4-10) =(-7,-14).[答案] (11,13) (-7,-14)(2)解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-4,7), 3a =3(-1,2)=(-3,6), 2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5) =(-2,4)+(9,-15) =(7,-11).[活学活用]1.设平面向量a =(3,5),b =(-2,1),则a -2b =( ) A .(7,3) B .(7,7) C .(1,7)D .(1,3)解析:选A ∵2b =2(-2,1)=(-4,2), ∴a -2b =(3,5)-(-4,2)=(7,3).2.已知M (3,-2),N (-5,-1),MP =12MN ,则P 点坐标为______.解析:设P (x ,y ),MP =(x -3,y +2),MN =(-8,1), ∴MP =12MN =12(-8,1)=⎝⎛⎭⎫-4,12, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -3=-4,y +2=12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-32. 答案:⎝⎛⎭⎫-1,-32[典例] 已知点O (0,0),A (1,2),B (4,5)及OP =OA +t AB ,t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在y 轴上?点P 在第二象限?[解] 因为OP =OA +t AB =(1,2)+t (3,3)=(1+3t,2+3t ), 若点P 在x 轴上,则2+3t =0, 所以t =-23.若点P 在y 轴上,则1+3t =0, 所以t =-13.若点P 在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t >0,所以-23<t <-13.[一题多变]1.[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上,点P 在y 轴上,点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值.解:由典例知P (1+3t,2+3t ), 则⎩⎨⎧1+1+3t2=4,2+2+3t2=5,解得t =2.2.[变设问]本例条件不变,试问四边形OABP 能为平行四边形吗?若能,求出t 值;若不能,说明理由.解:OA =(1,2),PB =(3-3t,3-3t ).若四边形OABP 为平行四边形,则OA =PB ,所以⎩⎪⎨⎪⎧3-3t =1,3-3t =2,该方程组无解.故四边形OABP 不能成为平行四边形.层级一 学业水平达标1.如果用i ,j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量,且A (2,3),B (4,2),则AB 可以表示为( )A .2i +3jB .4i +2jC .2i -jD .-2i +j解析:选C 记O 为坐标原点,则OA =2i +3j ,OB =4i +2j ,所以AB =OB -OA =2i -j .2.已知AB =a ,且A ⎝⎛⎭⎫12,4,B ⎝⎛⎭⎫14,2,又λ=12,则λa 等于( ) A .⎝⎛⎭⎫-18,-1 B .⎝⎛⎭⎫14,3 C .⎝⎛⎭⎫18,1D .⎝⎛⎭⎫-14,-3 解析:选A ∵a =AB =⎝⎛⎭⎫14,2-⎝⎛⎭⎫12,4=⎝⎛⎭⎫-14,-2, ∴λa =12a =⎝⎛⎭⎫-18,-1. 3.已知向量a =(1,2),2a +b =(3,2),则b =( ) A .(1,-2) B .(1,2) C .(5,6)D .(2,0)解析:选A b =(3,2)-2a =(3,2)-(2,4)=(1,-2).4.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,AB =(2,4),AC =(1,3),则DA =( ) A .(2,4) B .(3,5) C .(1,1)D .(-1,-1)解析:选C DA =-AD =-BC =-(AC -AB )=(1,1).5.已知M (-2,7),N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且PN =-2PM ,则P 点的坐标为( )A .(-14,16)B .(22,-11)C .(6,1)D .(2,4)解析:选D 设P (x ,y ),则PN =(10-x ,-2-y ),PM =(-2-x,7-y ), 由PN =-2PM得⎩⎪⎨⎪⎧ 10-x =4+2x ,-2-y =-14+2y ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4.6.(江苏高考)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若ma +nb =(9,-8)(m ,n ∈R),则m-n 的值为________.解析:∵ma +nb =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,∴m -n =2-5=-3. 答案:-37.若A (2,-1),B (4,2),C (1,5),则AB +2BC =________. 解析:∵A (2,-1),B (4,2),C (1,5), ∴AB =(2,3),BC =(-3,3).∴AB +2BC =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9). 答案:(-4,9)8.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,|OA |=6,∠xOA =150°,向量OA 的坐标为________.解析:设点A (x ,y ),则x =|OA |cos 150°=6cos 150°=-33, y =|OA |sin 150°=6sin 150°=3,即A (-33,3),所以OA =(-33,3). 答案:(-33,3)9.已知a =AB ,B 点坐标为(1,0),b =(-3,4),c =(-1,1),且a =3b -2c ,求点A 的坐标.解:∵b =(-3,4),c =(-1,1),∴3b -2c =3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2)=(-7,10), 即a =(-7,10)=AB .又B (1,0),设A 点坐标为(x ,y ), 则AB =(1-x,0-y )=(-7,10),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-x =-7,0-y =10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =-10,即A 点坐标为(8,-10).10.已知向量AB =(4,3),AD =(-3,-1),点A (-1,-2). (1)求线段BD 的中点M 的坐标.(2)若点P (2,y )满足PB =λBD (λ∈R),求λ与y 的值. 解:(1)设B (x 1,y 1),因为AB =(4,3),A (-1,-2), 所以(x 1+1,y 1+2)=(4,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+1=4,y 1+2=3,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3,y 1=1,所以B (3,1).同理可得D (-4,-3), 设BD 的中点M (x 2,y 2), 则x 2=3-42=-12,y 2=1-32=-1, 所以M ⎝⎛⎭⎫-12,-1. (2)由PB =(3,1)-(2,y )=(1,1-y ),BD =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),又PB =λBD (λ∈R),所以(1,1-y )=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),所以⎩⎪⎨⎪⎧1=-7λ,1-y =-4λ,所以⎩⎨⎧λ=-17,y =37.层级二 应试能力达标1.已知向量AB =(2,4),AC =(0,2),则12BC =( )A .(-2,-2)B .(2,2)C .(1,1)D .(-1,-1)解析:选D12BC =12(AC -AB )=12(-2,-2)=(-1,-1),故选D. 2.已知向量a =(1,2),b =(2,3),c =(3,4),且c =λ1a +λ2b ,则λ1,λ2的值分别为( ) A .-2,1 B .1,-2 C .2,-1D .-1,2解析:选D ∵c =λ1a +λ2b ,∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1+2λ2=3,2λ1+3λ2=4,解得λ1=-1,λ2=2. 3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且BC =2AD ,则顶点D 的坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫2,72 B .⎝⎛⎭⎫2,-12C .(3,2)D .(1,3)解析:选A 设点D (m ,n ),则由题意得(4,3)=2(m ,n -2)=(2m,2n -4),故⎩⎪⎨⎪⎧2m =4,2n -4=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =72,即点D ⎝⎛⎭⎫2,72,故选A. 4.对于任意的两个向量m =(a ,b ),n =(c ,d ),规定运算为m n =(ac -bd ,bc+ad ),运算为m n =(a +c ,b +d ).设f =(p ,q ),若f =(5,0),则f 等于( )A .(4,0)B .(2,0)C .(0,2)D .(0,-4)解析:选B 由(1,2)⊗f =(5,0),得⎩⎪⎨⎪⎧ p -2q =5,2p +q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =1,q =-2,所以f =(1,-2),所以f =,-2)=(2,0).5.已知向量i =(1,0),j =(0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论: ①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a =(x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a =(x 1,y 1)≠(x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a =(x ,y ),且a ≠0,则a 的起点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x ,y ). 其中,正确结论有________个.解析:由平面向量基本定理,可知①正确;例如,a =(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a =(x ,y )与a 的起点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是(x ,y )时,a =(x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误.答案:16.已知A (-3,0),B (0,2),O 为坐标原点,点C 在∠AOB 内,|OC |=22,且∠AOC =π4.设OC =λOA +OB (λ∈R),则λ= ________. 解析:过C 作CE ⊥x 轴于点E ,由∠AOC =π4知,|OE |=|CE |=2,所以OC =OE +OB =λOA +OB ,即OE =λOA ,所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=23.答案:237.在△ABC 中,已知A (7,8),B (3,5),C (4,3),M ,N ,D 分别是AB ,AC ,BC 的中点,且MN 与AD 交于点F ,求DF 的坐标.解:∵A (7,8),B (3,5),C (4,3),∴AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),AC =(4-7,3-8)=(-3,-5).∵D 是BC 的中点,∴AD =12(AB +AC )=12(-4-3,-3-5)=12(-7,-8)=⎝⎛⎭⎫-72,-4. ∵M ,N 分别为AB ,AC 的中点,∴F 为AD 的中点. ∴DF =-FD =-12AD =-12⎝⎛⎭⎫-72,-4=⎝⎛⎭⎫74,2.8.在直角坐标系xOy 中,已知点A (1,1),B (2,3),C (3,2), (1)若PA +PB +PC =0,求OP 的坐标.(2)若OP =m AB +n AC (m ,n ∈R),且点P 在函数y =x +1的图象上,求m -n . 解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ), 因为PA +PB +PC =0,又PA +PB +PC =(1-x,1-y )+(2-x,3-y )+(3-x,2-y )=(6-3x,6-3y ).所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6-3x =0,6-3y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2.所以点P 的坐标为(2,2), 故OP =(2,2).(2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为A (1,1),B (2,3),C (3,2), 所以AB =(2,3)-(1,1)=(1,2),AC =(3,2)-(1,1)=(2,1),因为OP =m AB +n AC ,所以(x 0,y 0)=m (1,2)+n (2,1)=(m +2n,2m +n ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0=m +2n ,y 0=2m +n ,两式相减得m -n =y 0-x 0,又因为点P 在函数y =x +1的图象上, 所以y 0-x 0=1,所以m -n =1.。
高中数学人教版必修平面向量的正交分解及坐标表示课件(系列四)
坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
(4)向量坐标的几何意义: 在平面直角坐标系中,若 A(x,y),则O→A=__(x_,__y_),若 A(x1,y1),B(x2,y2), 则A→B=_(_x_2_-__x_1_,__y_2_-__y_1_)__.如图 2-3-14 所示.
所以点 B 的坐标为(-1,8). (2)如题干图,O→C=-O→A=-(-1,-1)=(1,1), 由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以O→B=(1,-1), 同理O→D=(-1,1).
【答案】 (1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°,120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点.设 B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义, 得 x1=cos30°= 23,y1=sin30°=12, 所以 B 23,12.
再练一练
1.已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,C 在第一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量A→B,A→C,B→C,B→D的坐标. 【解】 如图,正三角形 ABC 的边长为 2,
则顶点 A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°), ∴C(1, 3),D12, 23, ∴A→B=(2,0),A→C=(1, 3), B→C=(1-2, 3-0)=(-1, 3), B→D=12-2, 23-0=-32, 23.
人教版 必修4
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示
最新人教版高中数学必修4第二章平面向量的正交分解及坐标表示2
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDINXI
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做平面向量的正交分 解. 【做一做 1】 如图所示,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,下列是 正交分解的是( ) A.������������ = ������������ − ������������ B.������������ = ������������ − ������������ C.������������ = ������������ + ������������ D.������������ = ������������ + ������������ 解析:由于������������ ⊥ ������������,则������������ = ������������ − ������������是正交分解. 答案:B
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1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
题型一
题型二
题型一
求向量的坐标
【例 1】 如图,已知点 M(1,2),N(5,4),试求������������的坐标.
分析:用基底 i 和 j 表示������������=xi+yj,则(x,y)是������������的坐标. 解:分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 则������������=4i+2j,所以������������的坐标是(4,2).
高中数学人教版必修4 2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示 课件2
c=(-1,2),则向量 c 等于( )
A.-12a+32b
B.32a-12b
C.12a-32b
D.-32a+12b
[答案] C [解析] 12a-32b=(12-32,12+32)=(-1,2),故选 C.
3.已知M→A=(-2,4)、M→B=(2,6),则12A→B等于(
)
A.(0,5)
B.(0,1)
即(x1+1,y1-2)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=(1,2). ∴xy11+ -12= =12 ,和- 2-1- y2=x2= 2 1 , ∴xy11= =04 ,和xy22= =- 0 2 . ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0). 因此C→D=(-2,-4).
跟踪练习
C.(2,5)
D.(2,1)
• [答案] D
[解析] 12A→B=12(M→B-M→A) =12((2,6)-(-2,4))=12(4,2)=(2,1), 故选 D.
4.(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)已知点 A(-1,5)和向 量A→B=(6,9),则点 B 的坐标为________.
若O→A=(2,8)、O→B=(-7,2),则13A→B=________.
• [答案] (-3,-2)
[解析] ∵O→A=(2,8)、O→B=(-7,2), ∴A→B=O→B-O→A=(-9,-6), ∴13A→B=(-3,-2).
2.中点坐标公式
例题 2 已知平行四边形 ABCD 的一个顶点 A(-2,1),一组对 边 AB,CD 的中点分别为 M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形 其他三个顶点的坐标. • [分析] 根据平行四边形的对角线互相平分,求出对角线交
人教版 必修4
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y),则x= | OA | cos 60=4 3cos 60=2 3,
y= OA sin 60=4 3sin 60=6, 即 A 2 3,6 , 所以
OA= 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2,y1+y2); ①a+b= _______________ (x1-x2,y1-y2) ; ②a-b= _____________ (λx1,λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论:已知向量 y2),则 的起点A(x1,y1),终点B(x2,
(x2-x1,y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6),解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形,O为对角线AC,BD的交点, =(3,7), =(-2,1).求 的坐标.
【解析】因为 DB AB -AD =(-2,1)-(3,7)=(-5,-6),
1 5 所以 OB DB (- ,-3). 2 2
(2)定义坐标:对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理 (x_______ ,y) xi+yj 则有序数对 知,有且只有一对实数x,y,使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
3.平面向量的坐标运算
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的正交分解及坐标表示
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的正交分解及坐标表示教学设计整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.于是,平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定,而有序数对(某,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcoα和沿竖直方向的速度vinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢?在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过对多个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论?推进新课新知探究提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.图1→→→活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点→→→→N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM=λ1e1,ON=λ2e2.由于OC=OM+→ON,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a=λ1e1+λ2e2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示?活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:→→已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.图2显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.例如,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的?活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与某轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数某、y,使得图3a=某i+yj.①这样,平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定,我们把有序数对(某,y)叫做向量a的坐标,记作a=(某,y).②其中某叫做a在某轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(某,y)一一对应.(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其→相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(某1,y1)、(某2,y2),则向量a的坐标为某=某2-某1,y=y2-y1,即a的坐标为(某2-某1,y2-y1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:→a=某i+yja的坐标为某,ya=OA,A某,y讨论结果:①平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定,我们把有序数对(某,y)叫做向量a的坐标,记作a=(某,y).②是一一对应的.应用示例思路11→→例1如图4,在ABCD中,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC的中点,F 使BF=BC,3→→以a,b为基底分解向量AM与HF.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H、M、F所在位置,有1→→→→1→→1→AM=AD+DM=AD+DC=AD+AB=b+a.222→→→→→→→1→1→HF=AF-AH=AB+BF-AH=AB+BC-AD321→1→1→=AB+AD-AD=a-b.326→→→→点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF.变式训练已知向量e1、e2(如图5(1)),求作向量-2.5e1+3e2.图5→→作法:(1)如图5(2),任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.(2)作OACB.→故OC就是求作的向量.例2如图6,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.图6活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在某轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于某轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.→→解:由图可知,a=AA1+AA2=某i+yj,∴a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练→→→i,j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.→→→解:∵BD=CD-CB=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,又∵A、B、D三点共线,→→→→∴向量AB与BD共线.因此存在实数υ,λ)j.∵i与j是两个不共线的向量,33,故(1)2,1,∴∴当A、B、D三点共线时,λ=3.3.例3下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中图6活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在某轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于某轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.→→解:由图可知,a=AA1+AA2=某i+yj,∴a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练→→→i,j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.→→→解:∵BD=CD-CB=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,又∵A、B、D三点共线,→→→→∴向量AB与BD共线.因此存在实数υ,λ)j.∵i与j是两个不共线的向量,33,故(1)2,1,∴∴当A、B、D三点共线时,λ=3.3.例3下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中。
高中数学必修四人教版2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示5ppt课件
5.如图,在直角坐标系中, 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA = i, OB,=填j空:
(1) | ι |= __1___,| j |= _1_____, | ΟΧ |= __5____;
(2)若用 i来, j表示
O,C则, O:D
OC = _3_i__+__4_j_, OD = __5_i__+_7__j_.
y
D
a
C
A
j
x
o iB
ห้องสมุดไป่ตู้
对于该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数x、y,可使
a = xi + y j.
i =(1,0) j =(0,1) 0 =(0,0)
这样,平面内的任一向量 都可由x,a y唯一确定,我们把 (x,y)叫做向量 的(直角)坐标,记作 a
a (x, y)
①
其中,x叫做 在xa轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐a标,①式叫做向
y
7
D
4
C
B
j
x
o iA 3 5
谢谢观看!
(3)向量 C能D否由 表示i出, j来?可以的话,如何表示?
CD = 2 i + 3 j
量的坐标表示.
概念理解
y
1.以原点O为起点
a
y
A
作 OA ,a点A的位置由
谁确定?
由 a唯一确定.
j
Oi
x
x
a = xi + y j
OA = xi + y j
y
a
y
A
j
Oi
x
x
2.点A的坐标与向量 的坐标a的关系?
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.已知M(2,3),N(3,1),则NM →的坐标是( ) A .(2,-1) B .(-1,2) C .(-2,1) D .(1,-2)2.在平面直角坐标系中,|a |=2018,a 与x 轴的正半轴的夹角为π3,则向量a 的坐标是( )A .(10092,10092)B .(-10092,10092)C .(1009,10093)D .(10093,1009)3.如图L238所示,向量MN →的坐标是( )图L238A .(1,1)B .(-1,-2)C .(2,3)D .(-2,-3)4.若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c =( ) A .3a -b B .3a +b C .-a +3b D .a +3b5.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35,-45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45,-35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,35 6.设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a ,3b -2a ,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 等于( )A .(1,-1)B .(-1,1)C .(-4,6)D .(4,-6)7.已知向量AB →与a =(3,-4)的夹角为π,且|AB →|=2|a |,若A 点的坐标为(-1,2),则B 点的坐标为( )A .(-7,10)B .(7,10)C .(5,-6)D .(-5,6)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(2,3),点B 的坐标为(6,5),O 为坐标原点,则OA →=________,OB →=________.9.若向量OA →=(1,-2),OB →=(-3,4),则12AB →=________.10.已知AB →=(1,2),CB →=(-3,-4),则AC →=__________.11.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →=________.12.(12分)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P 在直线AB 上,且|AP →|=2|PB →|,求点P 的坐标.13.(13分)已知a =(1,1),b =(1,-1),将下列向量表示成x a +y b 的形式. (1)p =(2,3); (2)q =(-3,2).1.B [解析] NM→=(2,3)-(3,1)=(-1,2). 2.C [解析] 设a =(x ,y),则x =2018cos π3=1009,y =2018sin π3=10093,故a=(1009,10093).3.D [解析] 由图知,M(1,1),N(-1,-2),则MN →=(-1-1,-2-1)=(-2,-3).4.A [解析] 设c =x a +y b ,则⎩⎪⎨⎪⎧x -y =4,x +y =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-1,∴c =3a -b .5.A [解析] AB →=(3,-4),则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|=15(3,-4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫35,-45.6.D [解析] 因为4a ,3b -2a ,c 对应有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a +3b -2a +c =0,所以c =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).7.A [解析] 由题意知,AB →与a 的方向相反,又|AB →|=2|a |,∴AB →=-2a =-2(3,-4)=(-6,8).设B(x ,y),则AB →=(x +1,y -2),∴⎩⎪⎨⎪⎧x +1=-6,y -2=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-7,y =10,故点B 的坐标为(-7,10).8.(2,3) (6,5) [解析] 因为点A 的坐标为(2,3),点B 的坐标为(6,5),点O的坐标为(0,0),所以向量OA →=(2,3),OB →=(6,5).9.(-2,3) [解析] 12AB →=12(OB →-OA →)=12(-4,6)=(-2,3).10.(4,6) [解析] AC →=AB →-CB →=(1,2)-(-3,-4)=(4,6).11.(-6,21) [解析] PQ →-PA →=AQ →=(1,5)-(4,3)=(-3,2),因为点Q 是AC 的中点,所以AQ →=QC →,所以PC →=PQ →+QC →=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因为BP →=2PC →,所以BC →=BP →+PC →=3PC →=3(-2,7)=(-6,21).12.解:设P 点坐标为(x ,y).当P 在线段AB 上时,易知AP →=2PB →,所以(x -3,y +4)=2(-1-x ,2-y),所以⎩⎪⎨⎪⎧x -3=-2-2x ,y +4=4-2y , 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =13,y =0,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13,0.当P 在线段AB 的延长线上时,易知AP →=-2PB →,所以(x -3,y +4)=-2(-1-x ,2-y),所以⎩⎪⎨⎪⎧x -3=2+2x ,y +4=-4+2y , 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-5,y =8, 所以P 点坐标为(-5,8). 综上所述,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13,0或(-5,8). 13.解:x a +y b =x(1,1)+y(1,-1)=(x +y ,x -y).(1)由p =(2,3)=(x +y ,x -y),得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,x -y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =52,y =-12,所以p =52a -12b .(2)由q =(-3,2)=(x +y ,x -y),得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =-3,x -y =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-12,y =-52,所以q =-12a -52b.。
人教A版数学必修四第二章2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》讲课课件(共23张PPT)
B
o
x
P(x2-x1,y2-y1)
例2.已知a=(2,1),b=(-3,4),
求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5) a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)
x
概念理解
1.以原点O为起点作 OA a,点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
y
2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? A(x, y)a
两者相同
ja
向量a 一 一 对 应坐标(x ,y) O i
x
3.两个向量相等的条件,利用坐标如何表示?
a b x1 x2且y1 y2
rr
r r r ur
uuur uuur uuur AB OB OA
Ay
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1)
B
o
x
任意一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
思考:在上图中,如何确定坐标为(x2-x1,y2-y1)的
点P的位置?
Ay
向量 AB的坐标和以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标OP相同.
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
新课
如图,光滑斜面
一.向量正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直
上一个木块受到 重力G的作用.
的向量
O
F1
F2
G
二.平面向量的坐标表示
取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底, 则对于平面内任一向量a ,由平面向量基本定理可知:
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案_001
2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目的:掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。
教学重点:向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点:坐标表示及运算意义的理解。
教学过程一、复习提问 1.复习向量相等的概念相等向量OA =BC ,方向相同,大小相等。
2.平面向量的基本定理(基底)a =λ11e +λ22e 其实质:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课1、正交分解的物理背景及其概念图2.3-6(P105),光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用,产生两个效果,一 是木块受平行于斜面的F 1力的作用,沿斜面下滑;一是木块产生垂直于斜面的压力 F 2,G =F 1+F 2,叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理,对平面上任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量 a =λ11e +λ22e把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。
2、平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , 作基底,则平面内作一向量a =x i +y ,O B C A xy a记作:a =(x, y) 称作向量a 的坐标,这就叫做向量的坐标表示。
=(1,0),=(0,1),=(0,0) 例2、如图,分别用基底, 表示向量、、、,并求出它们的坐标。
解:由图可知:21AA +==2+3 所以,=(2,3)同理,有:=-2+3=(-2,3)=-2-3=(-2,-3) =2-3=(2,-3)3、平面向量的坐标运算(1)已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ,a -b 的坐标(2)已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标 解:a +b =(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即:a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)同理:a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2),。
新人教版数学必修4同步课件:平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解向量正交分解以及坐标表示
的意义.培养数学抽象及逻辑推理素
养.
平面向量的坐标表示及运算
2.掌握平面向量加法、减法、数乘的 正交分解
坐标运算法则,能够进行向量的坐标 运算.培养数学运算及逻辑推理素养.
������������ =(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴������������ + ������������=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
������������ − ������������=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2������������
+
1 2
������������ =2(3,-1)+12(-3,2)=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
变式训练 2 若向量������������=(1,2),������������=(3,4),则������������=( )
A.(4,6)
B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
解析������������ = ������������ + ������������=(1,2)+(3,4)=(4,6).
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课前篇 自主预习
一
二
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)一个坐标对应唯一的一个向量. ( )
(2)相等的向量,即坐标是相同的. ( )
人教版高中数学必修4平面向量基本定理正交分解及其坐标表示
人教版高中数学必修4平面向量基本定 理正交 分解及 其坐标 表示
v=vx+vy =6i+4j
人教版高中数学必修4平面向量基本定 理正交 分解及 其坐标 表示
问题1 已知平面中三个向量e1,e2,c, 求向量c=___e1+___e2.
e2
c
人教版高中数学必修4平面向量基本定 理正交 分解及 其坐标 表示
例1:如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a 、b、c 、d, 并求出它们的坐标.
A2
A
A1
例1:如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a 、b、c 、d, 并求出它们的坐标.
A2
解:如图可知
A
A1
例1:如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a 、b、c 、d, 并求出它们的坐标.
A2
解:如图可知
对于该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数x、y,可使
a = xi + y j.
i= j= 0=
如图,i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量,若以 i, j为基底,则
对于该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数x、y,可使
a = xi + y j.
i =(1,0) j =(0,1) 0 =(0,0)
a
e2 e1
如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内 的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.
平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内 的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.
平面向量基本定理:
F
N
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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义.
2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.
1.平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相______的向量,叫做平面向量的正交分解.
【做一做1】 如图所示,在矩形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,下列是正交分解的是
( )
A.AB →=OB →-OA →
B.BD →=AD →-AB →
C.AD →=AB →+BD →
D.AB →=AC →+CB →
2.平面向量的坐标表示
(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ,j 作为______.
(2)坐标:对于平面内的一个向量a ,__________对实数x ,y ,使得a =x i +y j ,我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标,记作a =(x ,y ),其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标,y 叫做向量a 在____轴上的坐标.
(3)坐标表示:a =(x ,y )就叫做向量的坐标表示.
(4)特殊向量的坐标:i =______,j =______,0=______.
【做一做2】 已知基向量i =(1,0),j =(0,1),m =4i -j ,则m 的坐标是( )
A .(4,1)
B .(-4,1)
C .(4,-1)
D .(-4,-1)
3.向量与坐标的关系
设OA →=x i +y j ,则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标;反过来,终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ,y ).因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.即以原点为起点的向量与实数对是________的.
向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
【做一做3】 平面直角坐标系中,任意向量m 的坐标有________个.
答案:1.垂直
【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →,则BD →=AD →-AB →是正交分解.
2.(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ,y )
x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)
【做一做2】 C
3.(x ,y ) 坐标 一一对应
【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的,则任意向量m 的坐标仅有1个.
1.向量的表示法
剖析:向量的表示方法有三种:
①字母表示法:用一个小写的英文字母来表示,例如向量a ;也可以用上面加箭头的两
个大写英文字母来表示,例如向量AB →,该向量的起点是A ,终点是B .
②几何表示法:用有向线段来表示.
③代数表示法:用坐标表示.
2.点的坐标与向量坐标的联系与区别
剖析:(1)表示形式不同,向量a =(x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A (x ,y )中间没有等号.
(2)意义不同,点A (x ,y )的坐标(x ,y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置,a =(x ,y )的坐标(x ,y )既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x ,y )既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x ,y )或向量a =(x ,y ).
(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
题型一 求向量的坐标 【例1】 如图所示,已知点M (1,2),N (5,4),试求MN →的坐标.
分析:用基底i 和j 表示MN →=x i +y j ,则(x ,y )是MN →的坐标.
反思:向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与
其相对位置有关系.特别地,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则MN →=(x 2-x 1,y 2-y 1).
题型二 由向量共线求参数值
【例2】 设a ,b 是两个不共线的非零向量,若向量k a +b 与2a +k b 共线,求实数k 的值.
反思:解答由向量共线求参数值的题目,应由向量共线定理:λa +μb =0(a ,b 不共线),则λ=0,μ=0列出方程组,再解方程组得参数值.
题型三 平面向量的正交分解及坐标表示
【例3】 已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA |=43,∠xOA =60°,求向量OA →的
坐标.
反思:求向量的坐标时,将向量的起点平移到坐标原点后,利用三角知识求出终点坐标即可.
答案:
【例1】 解:分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底,则MN →=4i
+2j ,
所以MN →的坐标是(4,2).
【例2】 解:∵向量k a +b 与2a +k b 共线,
∴存在实数λ使k a +b =λ(2a +k b ),
即(k -2λ)a =(kλ-1)b .
∵a ,b 不共线,
∴
⎩⎪⎨⎪⎧ k -2λ=0,kλ-1=0k 2=2.
∴k =±2.
【例3】 解:设点A (x ,y ),
则x =|OA →|cos 60°=23,y =|OA →|sin 60°=6,
即A (23,6),∴OA →=(23,6).
1.已知a =(3,2x -1),b =(y +1,x ),且a =b ,则xy =________. 2.如图所示,向量MN 的坐标是________.
3.在直角坐标系中,|a |=4,|b |=3,a ,b 如图所示,求它们的坐标.
答案:1.2 ∵a =b ,∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩
解得x =1,y =2,则xy =1×2=2. 2.(2,-3)
3.解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),
则a 1=|a |cos 45°=a 2=|a |sin 45°=
b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.
∴b 1=|b |cos 120°=32-,b 2=|b |sin 120°.
∴a =(,b =32⎛-
⎝.。