反比例函数的性质微课[2]
北师大版数学九年级上课件 6.2反比例函数的性质(二)优质课件PPT
2.已知反比例函数y
2 x
的图象上有两点A(x1,
y1)、
B(x2, y2) ，x1x2 0那么下列结论正确的是（ ）
A. y1 y2 B.y1 y2 C. y1 y2 D 大小关系不能确定
3．已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例 函系数(从y大 kx 到(k＜小0) 的)为图象上,则.y1 、y2 、y3 的大小关
48
-1
1 2
… …
. y
6
5
y ．
=－
—4x ．
．.
.4
3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4 -5 -6
1 2 ．3 4. ．5 6 x . .
．
．
反比例函数图像的增减性
Y
Y k>0
K<0
O
O
X
当k＞0 时，在
内，y的x增大
而
．
当k＜0时，在
内，y的x增大
而
．
归纳：利用反比例函数
y
（2）过点P分别作x轴，y轴的
垂线，垂足分别为A、B，则矩
形OAPB的面积是
。
pN M ox
面积性质（二）
(2)过 P分别 x轴 作 ,y轴的,垂 垂线 足分 A,B 别 ,
则 S矩O 形APBOAAP |m|•|n||k|(如图)所 .
y
y
B
P(m,n)
oA
x
根据象限确定k的符号
B
P(m,n)
6.2.2 反比例函数的图象和性质
数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。
北师大版九年级上册数学 第2课时 反比例函数图象的性质第2课时 反比例函数图象的性质教案2
第2课时 反比例函数图象的性质教学目标：(一)教学知识点1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.教具准备：多媒体课件教学过程：Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=x4与y=-x4的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的. 我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.Ⅱ. 新课讲解1.做—做[师]观察反比例函数y=x 2，y=x 4,y=x6的形式，它们有什么共同点?[生]表达式中的k 都是大于零的.[师]大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x 值的增大.y 的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗?可能与y 轴相交吗？为什么？[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论.[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时，函数值y 逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴y 轴相交.[师]大家同意他的观点吗?[生]不同意(3)的观点.[师]能解释一下你的观点吗？[生]从关系式y ＝x2中看,因为x≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点；因为不论x 取任何实数，2是常数，y ＝x2永远也不为0，所以图象与x 轴心也不可能有交点. [师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y ＝x2的图象，在第一象限我任取两点A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)，分别向x 轴,y 轴作垂线，找到对应的x 1,x 2,y 1,y 2,因为在坐标轴上能比较出x 1与x 2,y 1与y 2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x 1＜x 2,y 2＜y 1,所以在第一象限内有y 随x 的增大而减小.同理可知在其他象限内y 随x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.[生]情况都一样.[师]能不能总结一下.[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小.2.议一议[师]刚才我们研究了y ＝x 2，y ＝x 4,y=x 6的图象的性质，下面用类推的方法来研究y ＝-x2，y ＝-x 4,y=-x6的图象有哪些共同特征?[生](1)y=-x 2，y=-x 4，y=-x6中的k 都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.(2)在图象y=-x2中，在第二象限内任取两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),可知x 1>x 2，y 1>y 2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量x 的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数y ＝xk 的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗?[师]在下面的图象上进行探讨.[生]设P(x 1,y 1)，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，则S 1=｜x 1｜·｜y 1｜=｜x 1y 1｜.∵(x 1,y 1)在反比例函数y ＝xk 图象上，所以y 1＝1x k ，即x 1y 1＝k. ∴S 1＝｜k ｜.同理可知S 2＝｜k ｜，所以S 1＝S 2[师]从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上，如果P ，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?[生]S 1＝｜x 1y 1｜=｜k ｜，S 2=｜x 2y 2｜=｜k ｜.[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q.不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P 、Q 分别作x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.Ⅲ.课堂练习P 155 随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容.1.反比例函数y ＝xk 的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，值的增大而减小；当k<O 时，图象在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1,S 2，则有S 1＝S 2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.4.反比例函数的图象既不能与x 轴相交也不能与y 轴相交,但是当x 的值越来越接近于0时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.Ⅴ.课后作业习题6.3Ⅵ.活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH ，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M,OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为OM 的中点.∵NP=NM ＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.∴∠MOH ＝31∠POH. 问题在于，如何确定线段OM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝x1的图象交于点P ，以P 为圆心；以2OP 为半径作弧交图象于点R.分别过点P 和B 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?(2)你能说明∠MOB ＝31∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，11a ),R(a 2, 21a )则Q(a 1，21a )，M(a 2, 11a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx.∵当x ＝a 2时，y=11a ∴11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=211a a x. 当x=a 1时，y=21a ∴Q(a 1，21a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形.∴PC=21PR=CM.∴∠2＝2∠3.∵PC=OP ，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=31∠AOB. (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.备课资料参考例题如图，能表示函数y ＝k(1-x)和y ＝xk (k ≠0)在同一直角坐标系小的图象大致是( )分析：从对函数y ＝xk 的讨论入手，若k>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A ， C 两个答案，这时对于一次函数来说，y 的值随x 值的增大而减小，且一次函数的图象与y 轴正半轴相交，显然A ，C 两个答案都不对.若k ＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B ，D 两个答案，对于一次函数来说，y 的值随x 的增大而增大，且一次函数的图象与y 轴的负半轴相交，应选D.解：选D.。
反比例函数的图象和性质公开课课件
【2017·张家界】在同一平面直角坐标系中，函数 y＝mx＋m(m≠0)与y＝ (m≠0)的图象可能是( )
D
【2017·广州】a≠0，函数y＝ 与y＝－ax2＋a在 同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
D
【2017·凉山州】已知抛物线y＝x2＋2x－m－2与x 轴没有交点，则函数y＝ 的大致图象是( )
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
-1
-6
x
x
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
…
1
6
…
列表
描点
连线
注意：列表 时自变量取 值要均匀和 对称
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
-1
x
x
-2
-3
-4
-5
-6
…
1
-6
2
-3
3
-2
4
-1.5
5
-1.2
…
-1
6
…
6
3
1.5
2
1.2
1
…
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
北师版九年级数学上册6.2 第2课时 反比例函数的性质
随堂即练
1.若函数y m 2的图像在其每一象限内，y随x的增大 x
而增大，则m的取值范围是 __m__<__2__ .
< 2（. 1）已知点(6,
y1 ),
(4,
y2 )在函数y
6 x
上，则y1
____
y2；
< (2)已知点(4,
y1), (6,
y2 )在函数y
6 x
上，则y1
当k>0时，在每一个象限内， y随x的增大而减小。
当k<0时，在每一支曲线上， y随x的增大而增大。
新课讲解
y
y
y 4
x
0x
y
y 4 x
0
x
新课讲解
1.函数 y =
5 x
的图象，在每一象限内 y随x
的增大而__增__大_.
2.在双曲线
y=
m-2 x
的一支上， y随x的增
大而减小，则m的取值范围是 _m_>__2 .
x＜0时，图象在第一象限；x＞0 时，图象在第三象限．
(4)在每一象限内,曲线从左往右______,所以随着x值的增 大，y的值怎样变化？
逐渐下降，减小．
新课讲解
问题2：观察下列的函数图象，填一填.
y y 2 Ox x
y y 4
x
O
x
y
y 6 x
x O
(1)上面三个函数相应的k值分别是__-_2_,-_4_,_-6_，则k_＜__0.
BS九(上) 教学课件
第六章 反比例函数
6.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的性质
学习目标
1.理解并掌握反比例函数图象的性质;（重点） 2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
第2课时反比例函数的图象和性质听课手册
根据反比例函数的定义，我们有 $y = frac{k}{x}$。将点 $P(2,3)$ 的坐标代入该式，得到 $3 = frac{k}{2}$。解这个方程，我们得到 $k = 6$。因此，该反比例函数的解析式为 $y = frac{6}{x}$。
讨论
本题主要考查了反比例函数的基本性质和待定系数法求函数解析式的方法。通过本题，我 们可以加深对反比例函数图象和性质的理解。
奇偶性与周期性
奇偶性
反比例函数是奇函数。这意味着对于函数$y = frac{k}{x}$，有$f(-x) = -f(x)$。具体来说，当$x$取负值时，$y$ 的值也会变为相反数。
周期性
反比例函数不是周期函数。周期函数是指存在一定的非零常数$T$，使得对于函数$y = f(x)$，有$f(x + T) = f(x)$。然而，对于反比例函数来说，不存在这样的非零常数$T$。
在各自象限内单调性
反比例函数在其定义域内的每一象限内都是单调的。
图象对称性
中心对称性
反比例函数的图象关于原点对称 ，即如果点$(x, y)$在双曲线上， 那么点$(-x, -y)$也在双曲线上。
轴对称性
双曲线的两支分别关于$x$轴和 $y$轴对称。即如果点$(x, y)$在 双曲线上，那么点$(x, -y)$和$(x, y)$也在双曲线上。
03
分组讨论2
04
结合具体实例，探讨反比例函数 在实际生活中的应用。
交流成果2
我们小组通过讨论发现，反比例 函数在实际生活中有很多应用， 比如电路中的电阻、电流和电压 之间的关系就是反比例关系。此 外，在经济学中，一些经济指标 之间也存在反比例关系。
课堂小结与作业布置
课堂小结
本节课我们学习了反比例函数的图象和性质，通过画图和观察，我们了解了反比例函数的图象是双曲 线，并且它们以原点为中心。我们还学习了反比例函数的一些基本性质，比如y随x的变化规律和图象 的对称性。
北师大版九年级上册2反比例函数的图象与性质第六章：反比例函数的图象与性质课时二课程设计
反比例函数的图象与性质课时二课程设计1. 教学目标本节课的教学目标主要包括：•理解反比例函数的图象特征；•掌握绘制反比例函数图象的方法；•了解反比例函数的应用场景及性质。
2. 教学重点与难点本节课的教学重点与难点主要包括：•理解反比例函数的图象特征；•掌握绘制反比例函数图象的方法。
3. 教学内容与方法3.1 教学内容1.反比例函数的定义及性质；2.反比例函数的图象特征；3.绘制反比例函数的图象；4.反比例函数的应用场景及性质。
3.2 教学方法1.讲述反比例函数的定义及性质，并结合具体例子进行讲解；2.分析反比例函数的图象特征，用图像直观的展示出来；3.以绘制反比例函数的图象为切入点，以学生熟悉函数图像并训练手绘能力为方向，进行课堂教学；4.针对反比例函数的应用场景及性质，引导学生思考并发散思维。
4. 教学步骤4.1 热身1.通过图像，让学生了解反比例函数的概念；2.回顾上次课所学内容。
4.2 正片1.讲述反比例函数的定义及性质；2.分析反比例函数的图象特征；3.在白板上演示绘制反比例函数的步骤；4.让学生自己绘制反比例函数图象；5.引导学生思考反比例函数的应用场景及性质。
4.3 总结回顾本次课所学内容，并进行总结。
5. 教学评估教学评估可采用“观察法”、“自评法”和“小组评估法”等。
6. 课后作业1.完成课堂作业；2.完成反比例函数相关练习题。
7. 参考资料•《北师大版数学》九年级上册；•《教育部中小学教师基本功标准》。
北师大版初中数学九年级上册《2 反比例函数的图象与性质 反比例函数的性质》 公开课教学设计_2
反比例函数的图象与性质（一）一、教学目标（一）知识目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.（二）能力训练目标通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力（三）情感与价值观目标让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.二、教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.三、教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.四．教学方法：引导发现法、讨论法.五、教具准备：多媒体课件、幻灯片教学过程一：设疑激思复习引入教师幻灯片展示下列问题：1.下列函数中哪些是反比例函数？（课件展示）2.上节课我们学的反比例函数关系式是什么？3.自变量x的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？二：合作探究发现问题已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线大家想不想知道：反比例函数的图象是什么样子呢？让我们一起画个反比例函数的图象看一看。
教师引导学生类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4yx=的图象.思考：还记得作函数图象的三个步骤是什么？小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；全班交流：小组代表发言，谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总。
教师用幻灯片展示正确的反比例函数图象（图5-3）：议一议：1.反比例函数图象是什么？2.画反比例函数图象应该注意的问题是什么？总结归纳：(1) 0x≠(2)用光滑的曲线连接各点(3)图象是延伸的，不要画成有明确端点。
(4)曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴,但不和坐标轴相交三：巩固新知夯实基础画反比例函数4yx-=的图象.（在课本上小组内交流完成）四：观察思考再探新知观察4yx=和4yx-=的图象的形状和位置,有什么相同点和不同点。
九年级数学上册21-5反比例函数第2课时反比例函数的图象和性质课件新版沪科版
y k (k＜0)的图象和性质吗？ x
y y 2 x
O
x
y y 4 x
O
x
y y 6 x
O
x
反比例函数 y k (k＜0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
y 4 x
3
2
•P
1 S1 －5－4－3－2－－11 O 1
S2 23
•Q
4 5x
－2
－3
－4
－5
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
P (2，2) Q (4，1)
4 4
S1=S2
猜想 S1，
S2 与 k S1=S2=k 的关系
2. 若在反比例函数 y 4 中也
x
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
讲授新课 反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画反比例函数 y 6 与 y 12 的图象.
x
x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0.
归纳： 对于反比例函数 y k ，
x
点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= |k| .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= k .
反比例函数的性质
第2课时 反比例函数的性质 [归纳总结] 比较反比例函数值的大小一般有三种方
法：
(1)直接把两个点的坐标代入函数表达式，求出相应
的函数值，比较大小；
(2)在函数图象上描出各点，再根据各点的位置高低
，比较数的大小；
(3)利用函数的增减性，比较数的大小．
随堂练 习
5 1、反比例函数y= - x 的图象大致是（ D ）
x
-4
-4
6
y
6
y
4
4
2
2
C
-5
O
-2
5
x
D
-5
O
-2
5
x
-4
-4
k 4、已知反比例函数 y (k是不为0的常数） 的图象在 x
第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（ C ）
A 第一、二、三象限 C 第一、三、四象限
B 第一、二、四象限 D 第二、三、四象限
5、甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是 （ C ）
数 学
新课标（BS） 九年级上册
2 反比例函数的图像与性质
第2课时 反比例函数的性质
第2课时 反比例函数的性质
► 知识点一
y＝ k x
反比例函数的性质
k＞0
课本P155划线
k＜0
图象
性质
当 k＞0 时，函数图象的两 当 k＜0 时，函数图象的两 个分支分别在第一、三象限， 个分支分别在第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大 在每个象限内，y 随 x 的增大 而减小 而增大
九年级数学下册 26.1.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)教案 (新版)新人教版
26.1.2 反比例函数的图象和性质第二课时一、教学目标1．核心素养通过学习反比例函数的图象和性质，充分体现几何直观，渗透模型思想．2．学习目标（1）进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质．（2）灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．（3）领会反比例函数的解析式与图象之间的联系，体现数形结合及转化的思想方法．3．学习重点灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．4．学习难点与反比例函数相关的面积的计算，以及自变量和函数值大小的比较．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7－P8，思考：怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？任务2怎样判定一个点是否在反比例函数的图象上？任务3思考1：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与坐标轴形成的矩形面积与k有什么关系？思考2：过反比例函数图象上任意一点作某一个坐标轴的垂线，并将这个点与原点相连，形成的三角形的面积积与k有什么关系？2．预习自测1．一个反比例函数的图象经过点（2.5，-3），则这个函数的图象位于第（）象限．A．一、三B．二、四C．一、四D．二、三答案：B2．如图，点A为反比例函数3yx=上的任一点，过点A作AB⊥x轴于点B，则AOBS∆等于（）A ．3B ．32C ．1D ．无法确定 答案：B3．若点（1.5，2）在反比例函数xk y =的图象上，则k = ，在图象的每一支上，y 随x 的增大而 ．答案：3，减小（二）课堂设计1．知识回顾（1）反比例函数的图象是双曲线．（2）当k >0时，它的两个分支位于一、三象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．（3）当k <0时，它的两个分支位于二 、四象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．（4）反比例函数的图象既关于x 轴对称，还关于y 轴对称，也关于原点对称．（5）同学们预习本课，知道过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k |．2．问题探究问题探究一 感受“数”与“形”结合的必要性●活动一 回顾旧知，加深理解问题1 下列反比例函数：①2y x =-；②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=． （1）图象位于第一、三象限的是 ；（2）图象位于第二、四象限的是 ．教师提出如下问题，学生独立思考并写出答案．（1）上述四个答案中，k 的值分别是多少？（2）当k 0>时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（3）当k 0<时，反比例函数的图象分别位于第几象限？问题 2 在反比例函数：①2y x =-；②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=的图象上，11(x ,y )、22(x ,y )分别是图象上同一象限内的点：（1）若12x x <，则12y y <的函数是 ．（2）若12x x <，则12y y >的函数是 ．教师提出如下问题，学生独立思考并回答，然后独立写出答案，再交流反馈．（1）反比例函数2y x=-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？ （2）反比例函数107y x =-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？ 问题探究二 探究反比例函数图象的性质●活动一 探究矩形面积与k 值例1 如图，点A 为2y x=上的任意一点，过点A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C ，求矩形ABOC 的面积．【知识点：反比例函数的性质，矩形的面积；数学思想：数形结合】详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则矩形的面积为ab∵x2y =过点A （a ，b ） ∴ab=2，即矩形的面积刚好等于反比例的k 值2．●活动二 若将反比例函数的解析式改为xk y =，请模仿上述解答过程得出准确答案．详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则矩形的面积为ab∵xk y =过点A （a ，b ） ∴ab=k ，即矩形的面积刚好等于反比例的k 值．●活动三 探究三角形面积与k 值例2 如图，点A 为x k y =上的任意一点，过点A 分别作x 轴的垂线，垂足为点B ，求三角形ABO 的面积．【知识点：反比例函数的性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则三角形ABO 的面积为ab 21 ∵xk y =过点A （a ，b ） ∴ab k =，即ab k = ∴k 21S ΔABO =，即△ABO 的面积刚好等于k 的绝对值的一半． 问题探究二 反比例函数图象离原点的距离与k 值的关系在同一坐标系中，作x 1y =、x 2y =、x 3y =、x 4y =的图象，如图． 可以发现，当k>0时，随着k 的增大，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越远．1x =2x在同一坐标系中，作出一系列k <0反比例函数xk y =的图象． 可以发现，当k <0时，随着k 的增大，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越近． 综上所述，在同一坐标系中，作多个反比例函数x k y =的图象． 可以发现，当|k |越大时，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越远．问题探究三 反比例函数性质的应用．●活动一 面积与k 的关系的应用例3 如图，正比例函数x y =与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．25 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】详解：设点B 的坐标为(m ，n)∵反比例函数x y 1=过点B(m ，n) ∴ mn=1 ∴2121)()(21==-•-•=∆mn n m S BOC 由反比例函数的对称性知：点A 与点B 关于原点O 对称，即AO=BO∴BOC AOB S S ∆∆=2=1方法2：由反比例函数的性质知：21k 21S ΔBOC =⨯= ∴由对称性知OA=OB ，BOC AOB S S ∆∆=2=1．●活动二 反比例函数图象与性质的关系例4 已知反比例函数的图象经过点A （2，6）．（1）反比例函数的图象在第几象限？y 随x 的增大而如何变化？（2）点B （3，4），C （-212，544-），D （2，5）是否在这个反比例函数的图象上？ 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A （2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪两个量来确定？我们如何救出这个量？（3）反比例函数y 随x 的变化情况与哪个量有关？y 随x 的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在函数图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．详解：（1）设反比例函数的解析式为x k y =∵它过点（2，6）∴k xy 2612==⨯=，它的图象过一、三象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）∵12y x= ∴x 3=时，y 4=x =-122时，244y 455=-=- x 2=时，y 6=∴点B 和点C 在此反比例函数上，而点D （2，5）不在这个反比例函数的图象上． ●活动三 拓展提高 活学活用例5 过反比例函数)01>=x xy （的图象上的任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、 S 2，则它们的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．不能确定 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】详解：∵2k S S ΔBOD ΔAOC == ∴COE COE S S ∆∆-=-ΔBOD ΔAOC S S ，即S 1=S 2，故先C ．3．课堂总结【知识梳理】(1)判断反比例函数的图象的两个分支在哪些象限，只需判断k 的正负即可． 当k 为正时，它的两个分支分别在一、三象限；当k 为负时，它的两个分支分别在二、四象限．(2)判断一个点是否在函数图象上，只需将它的横（纵）坐标代入求出纵（横）坐标，如果刚好相等，则表示这个点在在此函数图象上；若求出的值与告知的坐标不相等，则说明这个点不在函数的图象上．(3)过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于|k |．(4)过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半．【重难点突破】(1) 过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于k 的绝对值．利用与坐标轴围成矩形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．(2) 过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半．利用三角形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．(3)判断一个点是否在反比例函数图象上时，只需要将它的一个坐标代入，若另一个坐标刚好也相等，则函数必过这一点；否则函数不过这个点．4．随堂检测1．如图，点P 是反比例函数2y x=-图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D ，则△POD 的面积为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．12 答案：A解析：2．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上第二象限内的一点，且矩形OEPF 的面积为3，则m 的值为（ ）．A ．3B ．6C ．-3D ．-1.5 答案：C解析：3．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D ，△POD 的面积为2，则m 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．-1D ．4答案：B解析： 4． 反比例函数xa y =的图象上有一点A ，AB ∥x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积为1，则反比例函数的解析式为（ ）A ．2x 1y -=B ．x 1y -=C ．x2y -= D ．4x 1y -= 答案：C解析： 5．如图，A 、B 两点在双曲线xy 4=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1阴影=S ，则12S S +=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：D解析：。
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数的图象和性质(第2课时)
综上，反比例函数在其定义域内的两个区间 上均为单调递减。
利用性质求最值问题
对于形如 $y = ax + frac{b}{x}$ (a > 0, b > 0) 的函数，可以利用反比例函数的 性质求最值。由于 a、b 同号，函数在 x > 0 时有最小值，在 x < 0 时有最大值 。
通过将原函数转化为 $y = a(x + frac{b}{ax})$，进而利用反比例函数的性质，可 以求得函数的最小值为 $2sqrt{ab}$，当且仅当 $x = sqrt{frac{b}{a}}$ 时取到。
06
课后作业及拓展延伸
完成课后作业题目
题目1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$），当 $x = 2$ 时，$y = 3$，求该反
比例函数的解析式。
题目2
已知点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 在反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图 象上，且 $x_1 < x_2$，比较
图象在各象限的分布情况
当$k > 0$时，反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐 减小，但永远不会等于0。
当$k < 0$时，反比例函数的图象分布在第二象限和第四象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐 增大，但同样永远不会等于0。
03
利用性质解决实际应用问题
在经济学中，反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量 之间的关系。例如，当某一商品的需求量 x 增加时，其价格 y 会相应下降，这时可以用反比例函数来描述这种关系。
在工程学中，反比例函数也可以用来描述某些物理量之间的 关系。例如，电路中的电阻 R 与电流 I 成反比关系，即 $R = frac{U}{I}$，其中 U 为电压。这时可以利用反比例函数的 性质来分析电路的特性。
人教版九年级下册《反比例函数》微课
人教版九年级下册《反比例函数》微课《人教版九年级下册《反比例函数》微课》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！前需知识：通过对正比例函数的复习，直接导入新课教学，揭示课题内容，根据生活中的情景，引导学生观察、分析、比较，推理和概括出反比例函数的内容。
主要是引导学生通过探索去发现正比例函数的性质，提出一般的猜想，并获得新内容。
从而让学生有一定的自学能力，小组合作交流的能力。
微课类型：解决问题类设计思路：通过数学新课程的让学生认识，数学教学设计是以促进全体学生的思维发展为。
因此，本内容的设计遵循“以生为本”的原则出发，通过对正比例函数的复习，直接导入新课教学，揭示课题，根据生活中的情景，引导学生观察、分析、比较，推理和概括出反比例的意义，接着运用反比例的知识，判断两种量是不是成反比例的量，然后让学生自己举例说说生活中的反比例，进一步加深对反比例关系的认识，培养学生判断、推理的能力。
制作手段：PPT转视频手机录制微课教学目标：1.结合具体情境，认识反比例，理解并掌握反比例函数的概念。
2.能根据反比例的意义判断两个相关联的量是否成反比例，从实际问题中抽象出反比例函数的概念。
3.提高观察、分析、比较和判断推理的能力。
聚焦解决的问题：理解反比例函数的概念，引导学生正确判断两种量是否成反比例，认真分析两种变量的变化情况。
培养学生解决问题的能力，形成乐于思考，勇于发表见解的学习品质。
教学过程环节名称画面内容描述或解说词画面或镜头编号时间复习旧知识，出示幻灯片，复习 1.正比例函数意义是什么？概念是什么，怎样用字母表示这种关系？判断两种相关联量成不成正比例画面11分以旧引新函数的关键是什么？ 2.判断两种相关联量成不成正比例函数的关键是什么？1，相关联的量相等时2，比值一定时钟学习过程1.课件出示例1 教师提示：在图表1和图表2中，有哪几个变量关系？它们之间有什么关系？图表1和图表2中的关系相同吗？学生回答：图表1的两个变量（长和宽），积相等都是24。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k<0时，图像位于第二、 四象限在每一象限内，y 随x的增大而增大.
7 6 5 4 3 2 1
-8. -7 -6 -5 ． -4 -3 -2 -1 0 ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
y2 ．． ． y1
. x
1 2 3 4 5 6 7 8
.
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
x
.
总结反比例函数图形的性质：
于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增 大而减小；当k<0时，图像位于第二、四象限在每 一象限内，y随x的增大而增大.
k y 反比例函数 x 的图象，当k>0时，图像位
y 已知两点（-6，y1）、P2（-4，y2）在反比例函 8
数
6 y x
y1 < y2 的图象上，试比较y1，y2的大小。
1 2
． ．
3 4
8 . -7
.
5
6 7 8
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
x
Ｘ１ Ｘ２ Ｘ３ Ｘ4 Ｘ5
.
k y x
在第三象限，随着x的增大，y的值如何变化？
8 y 7 6 5 . 4 3 2 x4 1
y1 1 y2 y3 y4
第2课时
反比例函数的图像和性质
教学重点：1.通过观察图象，探索反比例函数的增减性.
教学难点：能从反比例函数的图象中获取信息，归纳总结 反比例函数主要性质.
k y (k 0) x
8 7 6 5 4 3 2 1
y
在每一象限，随着x的增大，y的 值如何变化？
．
.
． ．
3 4
8 . -7
.
5
1 2 x
2
x
y1
k>0时,y随x的增大而减小
.
当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大.
k y (k 0) x
y=k/x
8 7 6 5 4 3 2 1
y
.
在每一象限，随着x的增大， 值如何变化？
．
． ．
3 4 5 6 7
-8 . -7
.
8
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
．
k>0, y随x的增大而减小
8 7 6 5 4 x 3 2 1
.
． ．
3 4
8 . -7
.
5
6 7 8
.
．
1 2
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
1
2
． ．
3 4 5 6
-8 . -7
.
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6
结论“ x<0时，图象在第三象限，y随x的增 大而减小
．
2
-8 . -7
x1 x2 x3
． ．
3 4 5 6 7
.
8
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
x
.
k y x
8 7 6 5 4 3 2 1
y
结论“ x>0时，图象在第一象限，y随 x的增大而减小 结论“ x<0时，图象在第三象限，y 随x的增大而减小 y
7
k>0时,在每一个象限内，y随x的增大而减小
k y (k 0) x
8 7 6 5 Y2 4 3 2 1 x1
y
.
x1=-2. x2=1时,y1____y ＜ 2.
．
． ．
3 4
8 . -7
.
5
6 7 8
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
6 7 8
-4 -3 -2 -1 0 -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6 -7
1
2
x
.
k y x ( k 0)
在第一象限，随着x的增大，y的值如何变化？
8 7 6 5 Ｙ１ 4 3 Ｙ2 Ｙ3 2 Ｙ4 1
y
结论“ x>0时，图象在第一象限，y 随x的增大而减小
. ．