第六章 线性反馈系统的时间域综合-tgh
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6第六章 线性反馈系统的状态空间
循环矩阵的定义：当且仅当A的特征多项式等同于其最小多项 式时，称矩阵A为循环的。 引理1、已知能控的线性定常系统， (t ) Ax(t ) Bu (t ) x
y (t ) Cx (t )
做如下状态反馈
u (t ) r (t ) Kx (t )
那么对于几乎任意的反馈增益阵K，矩阵(A-BK)具有互异特征 值，从而为循环矩阵。 引理2、对上述系统若（A，B）能控，且A为循环的，那么对几 乎所有的r维向量均有（A，B）能控。
rankV rankVH rankV rankVH
说明输出反馈不改变系统的能观测性。 对于状态反馈不能保持原有系统的能观测性，举个反例即可。
7
例：下列系统引入状态反馈K=[0 4]判系统的反馈前后的能观测性。 1 2 0 x x u , y 1 1x 0 3 1 解：反馈前 C 1 1 rankV rank rank 2 CA 1 5 反馈后 系统完全能观测
A BK 0 k 1 0 1 21 k 22 k 21
k12 1 k 22
sI ( A BK )
s 1 k11 k 21
k12 s 1 k 22
( s 1 k11 )( s 1 k 22 ) k12 k 21
15
1、直接求反馈增益阵
例：设两输入系统为
1 0 1 0 x x u 0 1 0 1
* 给定期望的一组闭环特征值为 1, 2 1 j 2
k11 k12 求反馈增益阵K。 K k k 21 22 解： 1 0 1 0 k11 k12 1 k11
14 这个证明方法同样给出了多输入多输出配置极点的一种算法。
y (t ) Cx (t )
做如下状态反馈
u (t ) r (t ) Kx (t )
那么对于几乎任意的反馈增益阵K，矩阵(A-BK)具有互异特征 值，从而为循环矩阵。 引理2、对上述系统若（A，B）能控，且A为循环的，那么对几 乎所有的r维向量均有（A，B）能控。
rankV rankVH rankV rankVH
说明输出反馈不改变系统的能观测性。 对于状态反馈不能保持原有系统的能观测性，举个反例即可。
7
例：下列系统引入状态反馈K=[0 4]判系统的反馈前后的能观测性。 1 2 0 x x u , y 1 1x 0 3 1 解：反馈前 C 1 1 rankV rank rank 2 CA 1 5 反馈后 系统完全能观测
A BK 0 k 1 0 1 21 k 22 k 21
k12 1 k 22
sI ( A BK )
s 1 k11 k 21
k12 s 1 k 22
( s 1 k11 )( s 1 k 22 ) k12 k 21
15
1、直接求反馈增益阵
例：设两输入系统为
1 0 1 0 x x u 0 1 0 1
* 给定期望的一组闭环特征值为 1, 2 1 j 2
k11 k12 求反馈增益阵K。 K k k 21 22 解： 1 0 1 0 k11 k12 1 k11
14 这个证明方法同样给出了多输入多输出配置极点的一种算法。
第6章_线性定常系统的反馈结构及状态观测器
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
一．极点可配置条件
1．利用状态反馈的极点可配置条件
定理 （P505）利用状态反馈任意配置闭环 极点的充分必要条件是被控系统可控。 证明：以单输入—多输出系统来证明该定理。 1）充分性：若系统完全可控，则通过非奇异线 性变换 其中： 可变换为可控标准型:
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
引入状态反馈：
其中：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：
闭环特征方程为：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
闭环特征方程为：
该n阶特征方程中的n个系数，可通过
来独立设置，也就是说
的特征值可以任意
选择，即系统的极点可以任意配置。 2）必要性：如果系统（A, b）不可控，说明系统 的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时 就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。
即控制作用的规律。通常，这种控制作用规律
常取为反馈的形式。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
在控制理论中，反馈结构是系统设计的
主要方式。对输入输出模型，只能采用
输出反馈；而状态空间模型由于能够提
供系统内部的状态信息，所以不仅能够
采用输出反馈，还能够采用状态反馈对
系统进行控制。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极 点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状 态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。 状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但 能够任意配置可控部分的极点。 输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但 不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能 将极点配置到系统的零点处。
线性系统理论讲义
对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式： y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式： (5)+ (6). 状态变量的特点： (1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
武汉科技大学_信号与系统习题精解第6章
4. LTI 系统的数学模型（输入输出方程） 一个 n 阶 LTI 连续系统，若其激励为 f (t ) ，响应为 y( t ) ，则描述该系统输入输出关系的 数学模型是 n 阶常系数线性微分方程，它可以写为：
n m
∑ ai y ( i) (t ) = ∑ b j f ( j) (t)
i= 0 j= 0
∑ a N − i y ( n − i ) = ∑ bM − j f ( n − j )
i= 0 j= 0
（ 6-7）
式中， a i (i
= 0,1,⋯, N ) 和 b j ( j = 0,1,⋯ , M ) 都是常数，且 aN = 1 。
5. 系统的框图表示 表 6-1 中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励 f (⋅ ) 与响应 y (⋅) 之间的运 算关系（箭头表示信号传输的方向） 。
f ' (t ) → y f ' ( t )
（6-4） （6-5）
∫
（4）因果性： 如果 f (⋅ ) = 0 ， t （5）稳定性：
t
−∞
f ( x) dx → ∫ y f ( x )dx
−∞
t
< t0 （或 k < k0 ） ，则 y f (⋅ ) = 0 ， t < t0 （或 k < k 0 ）
（ 6-16）
（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系 统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响 应。 ） 8. LTI 系统时域分析中根据初始状态（ 0 − 状态）求初始条件（ 0 + 状态） “初始条件”（或 0 + 状态） ：在 t = 0 + 时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即 y (i ) (0 + ) ， 其中 i = 0,1,⋯ , n − 1 。
n m
∑ ai y ( i) (t ) = ∑ b j f ( j) (t)
i= 0 j= 0
∑ a N − i y ( n − i ) = ∑ bM − j f ( n − j )
i= 0 j= 0
（ 6-7）
式中， a i (i
= 0,1,⋯, N ) 和 b j ( j = 0,1,⋯ , M ) 都是常数，且 aN = 1 。
5. 系统的框图表示 表 6-1 中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励 f (⋅ ) 与响应 y (⋅) 之间的运 算关系（箭头表示信号传输的方向） 。
f ' (t ) → y f ' ( t )
（6-4） （6-5）
∫
（4）因果性： 如果 f (⋅ ) = 0 ， t （5）稳定性：
t
−∞
f ( x) dx → ∫ y f ( x )dx
−∞
t
< t0 （或 k < k0 ） ，则 y f (⋅ ) = 0 ， t < t0 （或 k < k 0 ）
（ 6-16）
（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系 统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响 应。 ） 8. LTI 系统时域分析中根据初始状态（ 0 − 状态）求初始条件（ 0 + 状态） “初始条件”（或 0 + 状态） ：在 t = 0 + 时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即 y (i ) (0 + ) ， 其中 i = 0,1,⋯ , n − 1 。
机电工程基础第六章 线性系统的综合
2）D = 0 时，闭环系统 K 的传递函数阵为 GK C[sI ( A BK )]1 B
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
பைடு நூலகம்
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
பைடு நூலகம்
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
武汉大学自动化专业《现代控制理论》第六章线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
1状态反馈和输出反馈
2极点配置
3状态观测器
4带状态观测器的状态反馈闭环系统的
特点
1
第一节
1 综合的三要素
1）对象——受控系统。
引言
AX Bu,.....X (0) X ,...t 0 X 0 y CX
2）目标——性能指标。性能指标可以有不同的形式。 3）手段——控制输入。通常取反馈控制形式：①状态反馈——将 实现综合目标的控制输入u 取为系统状态X 的一个线性向量函数 u (t ) =－K X(t )+r (t ) ； ②输出反馈——将实现综合目标的控制输 入u 取为系统输出y 的一个线性向量函数u (t ) =－Hy(t )+r (t ) 。
1 4 2 ,..K g 20 lg Gk ( j c )
4 2
13
（4）基本类型性能指标与期望闭环极点组的主导极点间的 关系：由基本类型性能指标查典型二阶系统曲线表，构成一对 共轭复数根，将其作为期望闭环极点组的主导极点。 （5）对 n 维连续线性定常系统，作为综合指标的 n 个期望 闭环极点的确定步骤： ① 根据（4）确定闭环主导极点； ②对其余的(n-2)个期望闭环极点，可在 s 左半平面远离闭环
1 , ,..... 任意给定的期望极点组： 2 n
u Hy r
( A BHC) X Br X 导出的输出反馈闭环系统： ..y CX
（2）反馈功能：状态反馈在功能上优于输出反馈，后叙综合问题 几乎全采用状态反馈。 （3）改善输出反馈达到状态反馈功能的途径：即在反馈系统中单 独或同时引入串联补偿器和并联补偿器（提高反馈系统的阶次）。 （4）反馈实现：输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈则是在 物理上不可构成的，则就反馈的物理实现而言，前者优于后者。 （5）解决状态反馈物理实现的途径：引入附加状态观测器重构状 X 态 后，构成状态反馈（注意，其同样提高了反馈系统的阶次）。 （6）说明：扩展（动态）输出反馈系统和扩展（带状态观测器） 状态反馈系统实质上是等价的，可利用简单关系将其从一种结构转 10 换到另一种结构。
1状态反馈和输出反馈
2极点配置
3状态观测器
4带状态观测器的状态反馈闭环系统的
特点
1
第一节
1 综合的三要素
1）对象——受控系统。
引言
AX Bu,.....X (0) X ,...t 0 X 0 y CX
2）目标——性能指标。性能指标可以有不同的形式。 3）手段——控制输入。通常取反馈控制形式：①状态反馈——将 实现综合目标的控制输入u 取为系统状态X 的一个线性向量函数 u (t ) =－K X(t )+r (t ) ； ②输出反馈——将实现综合目标的控制输 入u 取为系统输出y 的一个线性向量函数u (t ) =－Hy(t )+r (t ) 。
1 4 2 ,..K g 20 lg Gk ( j c )
4 2
13
（4）基本类型性能指标与期望闭环极点组的主导极点间的 关系：由基本类型性能指标查典型二阶系统曲线表，构成一对 共轭复数根，将其作为期望闭环极点组的主导极点。 （5）对 n 维连续线性定常系统，作为综合指标的 n 个期望 闭环极点的确定步骤： ① 根据（4）确定闭环主导极点； ②对其余的(n-2)个期望闭环极点，可在 s 左半平面远离闭环
1 , ,..... 任意给定的期望极点组： 2 n
u Hy r
( A BHC) X Br X 导出的输出反馈闭环系统： ..y CX
（2）反馈功能：状态反馈在功能上优于输出反馈，后叙综合问题 几乎全采用状态反馈。 （3）改善输出反馈达到状态反馈功能的途径：即在反馈系统中单 独或同时引入串联补偿器和并联补偿器（提高反馈系统的阶次）。 （4）反馈实现：输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈则是在 物理上不可构成的，则就反馈的物理实现而言，前者优于后者。 （5）解决状态反馈物理实现的途径：引入附加状态观测器重构状 X 态 后，构成状态反馈（注意，其同样提高了反馈系统的阶次）。 （6）说明：扩展（动态）输出反馈系统和扩展（带状态观测器） 状态反馈系统实质上是等价的，可利用简单关系将其从一种结构转 10 换到另一种结构。
重庆大学现代控制工程-第六章线性系统状态反馈
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。
而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。
采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。
然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。
设SISO 系统的状态空间表达式为：bu Ax x+= cx y =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：()()xAx b v kx A bk x bv =+-=-+cx y =式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n o k k k k ，称为状态反馈增益矩阵。
)(bk A -称为闭环系统矩阵。
闭环特征多项式为)(bk A I --λ。
可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。
【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100200110010 ， []x y 004= 解：[]x k k k v kx v u21-=-=其中[]21k k k k=称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142x y u x x x x xx x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个m r ⨯维矩阵。
即mr rm r r m m k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。
线性系统理论第6章 线性反馈系统的时间域综合
Q P 1
0 1 0 k k Q 4, 66, 14 0 1 12 14, 186 1 18 144
1220
4/4,8/40
6．4 状态反馈极点配置：多输入情况 极点配置定理：
对多输入n维连续时间线性时不变系统 x Ax Bu
x Ax Bx y Cx dim u dim y
采用包含输入变换的状态反馈系统
L B
x
∫
x
C
y
A
K
u Kx Lv
det L 0
1/9,13/40
则系统状态空间描述为：
x A BK x BLv y Cx GKL s C sI A BK BL
B
x(0) x0
x
t0
x
∫
C
y
A
K
结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。
1/3,2/40
输出反馈
设连续时间线性时不变系统 0 : x Ax Bu
Байду номын сангаас
x ( 0) x 0
t0
y Cx
输出反馈下受控系统输入u=-Fy+υ ,F∈Rp×q
3/9,15/40
C1 Ad1 1 若 det E 0, 取 F C Ad p 1 p L E 1 , K E 1 F
则可导出包含输入变换状态反馈系统 x A BE 1 F x BE 1v
y Cx GKL s C sI A BE 1 F BE 1
信号与系统第六章 (1)
பைடு நூலகம்
特征方程为： 3 7 2 16 12 0 ( 2) 2 ( 3) 0
特征根为： 1 2 2，3 3
齐次解为： rc (t ) ( A1t A2 )e2t A3e3t
• 二、特解
特解的函数形式由激励信号的函数形式决定，已知激励信号， 查表得到特解的函数形式，代入方程中解得待定系数。 d 2 r (t ) dr(t ) de(t ) 例：求微分方程 2 2 3r (t ) e(t )的特解， dt dt dt 已知e(t ) t 2
• 四、系统的分析方法（系统的描述）
系统的分析：对于给定的某具体系统，求出给定激励的响应 第一步：建立系统的数学模型
连续系统：微分方程；离散系统：差分方程
第二步：应用数学方法求解数学模型（时域法和变换域法） 时域法：经典法解方程 变换域法：将数学模型通过变换（傅立叶变换拉式变换、Z 变换）转换成相应变换域自变量、s、z的函数，将微积分
系数a、b由系统的元件参数R、L、C决定 微分方程的经典解法：方程的完全解由齐次解和特解两部分组成
r (t ) rc (t ) B(t )
齐次解 特解
• 一、齐次解
d n r (t ) d n1r (t ) dr(t ) 齐次方程：an an 1 a1 a0 r (t ) 0的解 n n 1 dt dt dt
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
e(t)
r(t)
例：平移r (t ) T [e(t )] e(t 1) r (0) e(1)，即0时刻的输出要由 1时刻的输入决定 所以为非因果系统
• 4、稳定性
有界输入产生有界输出，当|e(t)|<M时，|r(t)|<∞
特征方程为： 3 7 2 16 12 0 ( 2) 2 ( 3) 0
特征根为： 1 2 2，3 3
齐次解为： rc (t ) ( A1t A2 )e2t A3e3t
• 二、特解
特解的函数形式由激励信号的函数形式决定，已知激励信号， 查表得到特解的函数形式，代入方程中解得待定系数。 d 2 r (t ) dr(t ) de(t ) 例：求微分方程 2 2 3r (t ) e(t )的特解， dt dt dt 已知e(t ) t 2
• 四、系统的分析方法（系统的描述）
系统的分析：对于给定的某具体系统，求出给定激励的响应 第一步：建立系统的数学模型
连续系统：微分方程；离散系统：差分方程
第二步：应用数学方法求解数学模型（时域法和变换域法） 时域法：经典法解方程 变换域法：将数学模型通过变换（傅立叶变换拉式变换、Z 变换）转换成相应变换域自变量、s、z的函数，将微积分
系数a、b由系统的元件参数R、L、C决定 微分方程的经典解法：方程的完全解由齐次解和特解两部分组成
r (t ) rc (t ) B(t )
齐次解 特解
• 一、齐次解
d n r (t ) d n1r (t ) dr(t ) 齐次方程：an an 1 a1 a0 r (t ) 0的解 n n 1 dt dt dt
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
e(t)
r(t)
例：平移r (t ) T [e(t )] e(t 1) r (0) e(1)，即0时刻的输出要由 1时刻的输入决定 所以为非因果系统
• 4、稳定性
有界输入产生有界输出，当|e(t)|<M时，|r(t)|<∞
2019-第六章线性反馈系统的时间域综合-tgh-PPT精品文档-文档资料
u ( ) ，使指标 J (u ( )) 为极小值。 u ( ) 为最优控制，J (u ( )) 为最优性能。
研究综合问题的思路
综合问题可分解为两个性质不同的问题。 （1）建立可综合条件
给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。 （2）建立确定相应控制律（器）的算法/表达形式 确定满足要求的控制律。
使向量组 b,A b, ,A n 1 b张满整个n 维空
间，也即 A , b 为完全能控对。
（4）若 A, B 为能控，且 A 为循环，则对几乎任意的
p 1 实向量 ，单输入矩阵对 A, B 为能控。
（5）若 A 非循环的，但{A,B} 为能控，则对几乎任意
的 p n 常阵 K ，A-BK 为循环。
6.1 引言
综合与分析是相反的一个命题。 分析 ：
已知系统结构和参数及外输入作用， 研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、 稳定性等）和定量的变化规律。
综合： 已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些 特征。 确定需要施加于系统的外输入作用，即控制规律
综合是建立在系统分析的基础上的。
控制律常取为反馈的形式(状态反馈或输出反馈)。 无论抗扰动还是抗参数摄动，反馈系统优于非反馈系统。 本章以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系
统的综合问题。
综合问题的提出
受控对象：线性定常系统（状态空间描述）
xAxBu x(0)x0,t0 yCx
目标：即性能指标，如某些特征值、或某种期望形式、 或关于极小（或极大）值的某个性能函数。
t 时，xˆ ( t ) 和 x ( t ) 相等。
v u
B
x C
第六章 线性反馈系统的时间域综合
1
研究
6．1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
Ax Bu x(0) x0 t 0 0 : x y Cx
目标
手段 状态反馈输入：u (t) =－Kx(t)+(t) 输出反馈输入：u (t) =－Fy(t)+(t)
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ， 使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。 系统综合 系统设计 工程设计－考虑各种实际问题
υ
u
B
x
∫ A
x
C
y
ˆ x
K
状态观测器
扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。
6
6．3 状态反馈极点配置：单输入情形
极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。 问题的提法
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作 为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。 极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点 恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。
(4)期望闭环极点组的确定 工程型的性能指标 n-2个期望闭环极点
2
s1 , s2 n j n 1
Re(si) =(46)Re(s1) ,
2
i=3,4,· · · ,n
8
极点配置定理
Ax bu x 对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：
系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。
3 2 (s) ( s * i ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) s 4s 6s 4 * i 1 3
研究
6．1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
Ax Bu x(0) x0 t 0 0 : x y Cx
目标
手段 状态反馈输入：u (t) =－Kx(t)+(t) 输出反馈输入：u (t) =－Fy(t)+(t)
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ， 使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。 系统综合 系统设计 工程设计－考虑各种实际问题
υ
u
B
x
∫ A
x
C
y
ˆ x
K
状态观测器
扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。
6
6．3 状态反馈极点配置：单输入情形
极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。 问题的提法
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作 为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。 极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点 恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。
(4)期望闭环极点组的确定 工程型的性能指标 n-2个期望闭环极点
2
s1 , s2 n j n 1
Re(si) =(46)Re(s1) ,
2
i=3,4,· · · ,n
8
极点配置定理
Ax bu x 对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：
系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。
3 2 (s) ( s * i ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) s 4s 6s 4 * i 1 3
线性系统理论第六章精品文档135页
受控系统的传递函数矩阵为：
ห้องสมุดไป่ตู้G o(s)C (sIA ) 1B
则 G F (s ) G o (s )I F G 0 (s ) 1 或 G F (s ) I G 0 (s )F 1 G o (s )
证 ： G F ( s ) C ( s I A B F C ) 1 B C 1 G F ( s ) ( s I A B F C ) 1 B
015
线性反馈系统的时间域综合
( s I A B F C ) C 1 G F ( s ) B ( s I A ) C 1 G F ( s ) B F G F ( s ) B G F ( s ) C ( s I A ) 1 B F G F ( s ) C ( s I A ) 1 B G F ( s ) G o ( s ) F G F ( s ) G o ( s )
线性反馈系统的时间域综合
所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和 输出反馈系统。
综合 ：确定控制 u 的规律和形式。 设计 ：还要考虑控制 u 的实现问题。
性能指标的类型
非优化型指标 ：不等式型的指标， 即可。
优化型指标 ：一类极值型指标，所有值中取极值。
005
线性反馈系统的时间域综合
008
线性反馈系统的时间域综合
控制系统工程实现中的一些理论问题 （1）状态反馈的构成问题
x 利用可测输入 u 和输出 y 来构造出不能测的状态 。
称为状态重构，观测器问题。
（2）系统模型的不准确和参数慑动问题 模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的
控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的
传递函数矩阵为：
G K (s ) C (s I A B K ) 1 B
ห้องสมุดไป่ตู้G o(s)C (sIA ) 1B
则 G F (s ) G o (s )I F G 0 (s ) 1 或 G F (s ) I G 0 (s )F 1 G o (s )
证 ： G F ( s ) C ( s I A B F C ) 1 B C 1 G F ( s ) ( s I A B F C ) 1 B
015
线性反馈系统的时间域综合
( s I A B F C ) C 1 G F ( s ) B ( s I A ) C 1 G F ( s ) B F G F ( s ) B G F ( s ) C ( s I A ) 1 B F G F ( s ) C ( s I A ) 1 B G F ( s ) G o ( s ) F G F ( s ) G o ( s )
线性反馈系统的时间域综合
所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和 输出反馈系统。
综合 ：确定控制 u 的规律和形式。 设计 ：还要考虑控制 u 的实现问题。
性能指标的类型
非优化型指标 ：不等式型的指标， 即可。
优化型指标 ：一类极值型指标，所有值中取极值。
005
线性反馈系统的时间域综合
008
线性反馈系统的时间域综合
控制系统工程实现中的一些理论问题 （1）状态反馈的构成问题
x 利用可测输入 u 和输出 y 来构造出不能测的状态 。
称为状态重构，观测器问题。
（2）系统模型的不准确和参数慑动问题 模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的
控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的
传递函数矩阵为：
G K (s ) C (s I A B K ) 1 B
第六章 线性反馈系统的状态空间综合(1)
第六章 线性反馈系统的状态空间综合6.1 引言1）什么是综合问题？系统综合问题由被控系统、性能指标和控制输入3个要素组成。
¾ 被控系统：兼顾应用广泛性和理论分析的简单性，限于考虑严格真线性时不变系统 Cxy t x x Bu Ax x=≥=+=000,)(, ¾ 性能指标：控制系统具备的性能。
¾ 控制输入：通常取反馈形式，包含状态反馈和输出反馈，即系统综合问题就是，对给定的被控系统，确定反馈控制，使得导出的闭环系统运动行为 达到期望的性能指标。
性能指标分类可区分为“非优化型性能指标”和“优化型性能指标”。
非优化型性能指标：属于不等式型指标，目标是使综合的系统达到期望指标。
优化型性能指标：极值型指标，目标为使系统性能指标函数极大或极小。
典型的非优化型性能指标 1) 渐近稳定：镇定问题2) 一组期望闭环极点：极点配置问题 3) MIMO 系统化为多个SISO 系统：解耦问题4) 使输出在外部干扰环境下无静差的跟踪参考信号：跟踪问题优化型性能指标通常取为000>>+=∫∞R Q dx Ru u Qx x u J T T ,,)()(2）研究综合问题的思路建立“可综合条件”，建立确定相应控制规律的“算法”。
3）综合与工程实现中的一些理论问题及外部扰动的影响等。
¾ 状态反馈的物理构成：状态一般不能直接测量，需要引入状态重构或估计；¾ 系统结构参数摄动的影响：系统模型总是存在不确定性因素，鲁棒性问题；¾ 外部扰动的影响：扰动抑制。
6.2 反馈6.2.1 状态反馈1)状态反馈结构图2）系统描述⎩⎨⎧=≥=+=CxytxxBuAxx0,)(,:Σ)()()(tvtKxtu+−=⎩⎨⎧=≥=+−=⇒CxytxxBvxBKAxxf,)(,)(:Σ闭环系统传递函数：定理：状态反馈的引入，不改变系统的能控型，但可能改变系统的能观测性。
证明：1）能控性BBKAsICsGK1−+−=)()(设0∑和k ∑的能控型判别矩阵分别为c Q 和ck Q ，有()()n 1n 1ck c −−⎡⎤=−−⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q BA BK BA BKB I KBKBK KA *0I K *BAB A B 00I *000I I KBKBK KA *0I K *Q 00I *000I """""###%#""""###%#"可以看出，ck Q 与c Q 的秩相同，从而k ∑能控，而且仅当0∑能控。
线性系统理论-6b
1 0 ɺ x= 0 0 0 −2 0 0 1 x + 0 u − 3 1
y = [10 0 0]x
（1×3）状态反馈阵为 × ） k=[k0 k1 k2] 状态反馈系统特征方程为 λI − ( A − Bk ) = λ3 + ( 3 + k 2 )λ2 + ( 2 + k1 )λ + k0 = 0 期望极点对应的特征方程为 比较两特征方程， 比较两特征方程，得 k=[k0 k1 k2]=[4 4 1]
8
§6-4 状态观测器
渐近等价： 渐近等价：
ˆ lim x ( t ) = lim x ( t )
t →∞ t →∞
u
B
ɺ x ∫ x
A
C
y
♣ 全维状态观测器
ɺ x = Ax + Bu, x(0) = x0 t≥0 y = cx , ɺ ˆ ˆ ˆ x = Ax + Bu + L( y − cx ) ˆ ˆ x ( 0) = x 0
G f ( s ) = C ( sI − A + BFC ) −1 B
y ( s ) = G f ( s )v ( s )
1
-
F
结论1：状态反馈的引入，不会改变系统的能控性， 结论 ：状态反馈的引入，不会改变系统的能控性， 但可能改变系统的能观测性。 但可能改变系统的能观测性。 结论2： 结论 ：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能 观测性。 观测性。
~ ~ ɺ x = ( A − Lc ) x ~ ~ ˆ x (0) = x0 = x0 − x0
9
使(A-Lc)的特征值 的特征值 ~ ~ λi , Re λ < 0 ( i = 1, 2, ⋯ , n) 则可使
y = [10 0 0]x
（1×3）状态反馈阵为 × ） k=[k0 k1 k2] 状态反馈系统特征方程为 λI − ( A − Bk ) = λ3 + ( 3 + k 2 )λ2 + ( 2 + k1 )λ + k0 = 0 期望极点对应的特征方程为 比较两特征方程， 比较两特征方程，得 k=[k0 k1 k2]=[4 4 1]
8
§6-4 状态观测器
渐近等价： 渐近等价：
ˆ lim x ( t ) = lim x ( t )
t →∞ t →∞
u
B
ɺ x ∫ x
A
C
y
♣ 全维状态观测器
ɺ x = Ax + Bu, x(0) = x0 t≥0 y = cx , ɺ ˆ ˆ ˆ x = Ax + Bu + L( y − cx ) ˆ ˆ x ( 0) = x 0
G f ( s ) = C ( sI − A + BFC ) −1 B
y ( s ) = G f ( s )v ( s )
1
-
F
结论1：状态反馈的引入，不会改变系统的能控性， 结论 ：状态反馈的引入，不会改变系统的能控性， 但可能改变系统的能观测性。 但可能改变系统的能观测性。 结论2： 结论 ：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能 观测性。 观测性。
~ ~ ɺ x = ( A − Lc ) x ~ ~ ˆ x (0) = x0 = x0 − x0
9
使(A-Lc)的特征值 的特征值 ~ ~ λi , Re λ < 0 ( i = 1, 2, ⋯ , n) 则可使
线性系统的校正与状态反馈
1.3 线性系统的校正与状态反馈控制系统的校正与状态反馈就是在被控制对象已确定，在给定性能指标的前提下,要求设计者选择控制器（校正网络）的结构和参数，使控制器和被控制对象组成一个性能满足指标要求的系统。
1.3.1频域法串联超前校正超期网络的特性是相角超前，幅值增加。
串联超前校正的实质是将超前网络的最大超前角设计在校正后系统的剪切频率w c处，提高校正后系统的相位裕度和剪切频率，从而改善系统的动态性能。
频域法校正主要是通过对被控对象的开环对数幅频特性和相频特性（伯德图）观察和分析实现的。
1. 观测被控系统的开环对数幅频特性L（w）和相频特性φ（w），幅值穿越频率w c,相位裕度γ，按“校正后系统的相位裕度γ'”要求，设计校正参数，构建校正后系统。
2. 观测校正前、后的时域特性曲线，并测量校正后系统的相位裕度γ'、超调量Mp、峰值时间tp。
3. 改变“校正后系统的相位裕度γ'”要求，设计校正参数，构建校正后系统，画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线，观测校正后相位裕度γ'、超调量Mp、峰值时间tp填入实验报告。
1.未校正系统的时域特性的测试未校正系统的时域特性的测试模拟电路图见图1-3-1图1-3-1 未校正系统的时域特性的测试模拟电路图图1-3-1 未校正系统的开环传递函数为：6 (S)0.2(10.3) GS S=+实验内容及步骤：（1）构造模拟电路（2）运行、观察、记录实验结果如下图：实验结果分析：（1）理论上在未校正系统的时域特性特性曲线上可测得时域特性：超调量Mp=59%，峰值时间tp=0.336S,调节时间ts=1.8S（Δ=5时）（2）实测结果为：超调量Mp=3.931 2.52.5=57.24%,峰值时间tp=0.322S,调节时间ts=1.825S（Δ=5时）所以实测结果与理论上基本相等。
2.未校正系统的频域特性的测试未校正系统的频域特性的测试模拟电路图见图1-3-2图1-3-2 未校正系统的频域特性的测试模拟电路图实验内容及步骤:（1）构造模拟电路（2）运行、观察、记录实验结果如下图：实验结果的分析:（1）理论上测得未校正系统频域特性：穿越频率W c=9.44rad/s,相位裕度γ=19°。
《线性系统综合》PPT课件
用,主要内容为
状态反响与输出反响、 状态观测器，
带观测器的状态反响闭环系统。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
概述
系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对系统构造和参数,以及确定好系统
的外部输入(系统鼓励)下,对系统运动进展定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析
如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。
– 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机 实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定 性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不 断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响 逐渐减弱。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
• 在综合问题中,不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
• 状态获取问题
• 对状态反响控制系统,要实现已求解的状态反响规律,需要获 取被控系统的状态信息,以构成反响。
• 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的 一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
而系统综合问题为系统系统构造和参数,以及所期望的 系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征,所需要确定的是那么需要施加于系统的外部 2021/5/29 输入的大第小6章或线性规系统律综合。
– 一般情况下,控制理论开展与控制系统设计的追求目标为解析的反 响控制作用规律(反响控制律)。
– 对复杂的动力学被控系统,在解析反响控制规律难于求解的情形下, 需要求系统的数值反响控制规律或外部输入函数的数值解序列(开 环控制输入)。
状态反响与输出反响、 状态观测器，
带观测器的状态反响闭环系统。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
概述
系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对系统构造和参数,以及确定好系统
的外部输入(系统鼓励)下,对系统运动进展定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析
如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。
– 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机 实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定 性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不 断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响 逐渐减弱。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
• 在综合问题中,不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
• 状态获取问题
• 对状态反响控制系统,要实现已求解的状态反响规律,需要获 取被控系统的状态信息,以构成反响。
• 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的 一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
而系统综合问题为系统系统构造和参数,以及所期望的 系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征,所需要确定的是那么需要施加于系统的外部 2021/5/29 输入的大第小6章或线性规系统律综合。
– 一般情况下,控制理论开展与控制系统设计的追求目标为解析的反 响控制作用规律(反响控制律)。
– 对复杂的动力学被控系统,在解析反响控制规律难于求解的情形下, 需要求系统的数值反响控制规律或外部输入函数的数值解序列(开 环控制输入)。
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{A-BK,B}能控的充要条件是
rank sI A BK , B n, s C
2）能观测性可以改变： 可举反例说明。
结论6.2[输出反馈] 输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性，即
yf 能控（能观）性= o 能控（能观）性
证明：1）能控性保持不变。任一输出反馈都可等价于一 状态反馈
状态反馈和输出反馈都可改变系统结构属性和性能指标。
反馈功能上：状态反馈要优于输出反馈 令 ：K
FC 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的
一个状态反馈来实现。 但 FC K 的解 F 通常不存在。
反馈信息上：状态反馈优于输出反馈
状态 x 可完全地表征系统结构的信息， 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 反馈系统，即状态反馈。
根据循环矩阵性质，总能找到 ，使 { A, B } 能控。 问题转化为，对SISO系统 { A, B } 设计k,使其极点配置 到期望位置。
因 { A, B } 能控，故其极点可任意配置。
亦即 A BK 2 的极点可任意配置。
A BK1 BK 2 A B( K1 K 2 )
ˆ x
，来实现状态反馈。
ˆ t 时， x (t ) 和 x (t ) 相等。
v
u
B
A
x
C
y
K
ˆ x
状态观测器
6.3 极点配置问题 ：可配置条件和算法
问题的提出 相关数学基础
可配置的条件（极点配置定理）
单输入极点配置的算法
多输入极点配置的算法
状态反馈对传递函数矩阵零点的影响 输出反馈极点配置
（3）对外部干扰的抑制问题 扰动抑制问题（鲁棒控制）。
6.2 状态反馈和输出反馈
状态反馈和输出反馈的构成
反馈对系统能控性和能观测性的
影响
状态反馈和输出反馈的比较
状态反馈和输出反馈的构成形式
线性定常系统
o :
x Ax Bu y Cx
控制 u 取为状态
x的线性函数，
性能指标的类型
非优化型指标 优化型指标 ：一类极值型指标
非பைடு நூலகம்化型指标 ：
（1）以渐近稳定作为性能指标---镇定问题；
（2）以一组期望的闭环极点作为性能指标---极点配置； （3）以使一个多输入/多输出系统实现 “一个输入只控制 一个输出 ”作为性能指标---解耦问题； （4）以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号 y0 (t ) 作为性能指标---跟踪问题。
2）能观测性保持不变
C Iq 0 C sI A BFC BF I sI A n C C rank rank sI A sI A BFC
状态反馈和输出反馈的比较
解决两个问题 寻求可配置的条件； 设计算法 ：确定反馈增益矩阵 K 的算法。
相关数学基础
循环矩阵 ： 方阵 A 的特征多项式等同于其最小多项式 特性 ： （1） A 为循环矩阵当且仅当它的约当规范形中，相应于 每一个不同的特征值仅有一个约当块。
（2） 如果 A 的所有特征值为两两相异，则 A 必定是 循环的 （充分条件）。 （3）若 A 为循环矩阵，则必存在一个n维向量 b
A
x
C
y
K
输出反馈： 控制
u 取为输出 y 的线性函数：
u Fy v
称为输出反馈（静态输出反馈）。
v
为参考输入。
输出反馈闭环系统构成形式：
yf : x ( A BFC ) x Bv y Cx
传递函数矩阵为：
GF (s) C (sI A BFC ) B
来构造出不能测量的状态 x, 称为状态重构---观测器设计。 （2）系统模型的不准确和参数慑动问题 模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的 控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的 问题。
鲁棒控制：参数不确定或摄动出现在模型参数的一个
邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能指标.
det( sI Ac B c K 1 ) det( sI Ac )
这表明：不论K取何值，不可控部分的极点是 不能配置的。
（2）充分性： SISO：若{A, b}能控，则可任意配置（A-bk）的极点。
{ A, b} { A, b} 0 0 1 A P AP 0 0 b P 1b [0, 0,1]T 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 n 1
手段: 控制输入（控制器设计）
所谓综合： 寻找一个控制
u ，在其作用下系统的运动满足所给
出的期望性能指标。 控制常用的形式：
u Kx v
u Fy v
其中：K 为
状态反馈控制 输出反馈控制
p n常阵，状态反馈（增益）矩阵。
F 为 p q 常阵，输出反馈（增益）矩阵。
v为参考输入向量。
1
v
u B
A
F
x
C
y
记：开环系统（受控系统）的传递函数矩阵为：
Go (s) C (sI A)1 B
则
GF ( s) Go ( s) I FG0 ( s)
1
1
或
GF ( s) I G0 ( s) F Go ( s)
反馈系统的能控性和能观测性
极点配置定理—可配置的条件
结论 ：线性定常系统可通过线性状态反馈任意配置其全 部极点的充分必要条件是：系统为完全能控。
证明：（1）必要性：反证法 设{A，B}不完全能控，结构分解
K [ K1 , K 2 ]， K KP [ K 1 , K 2 ]
1
Ac A PAP 0
选取 则
* * k [ 0 0 , 1* 1 ,, n 1 n 1 ]
0 0 A bk 0 * 0
1 0 0 1*
0 1 0
0 0 1
* * 2 n 1
因此，现在 x Ax Bw 仍可控，A A BK1 又循环 若A循环，则取K1=0。 再引入
w K2 x v
K2
K1
v
-
w - u
B
A
x C
y
取
K2 k
( : p 1, k: 1 n)
x ( A BK 2 ) x Bv ( A B k ) x Bv
u Kx v
称为状态反馈 （静态状态反馈）；负反馈，反馈增益矩阵。
状态反馈（闭环）系统的构成：
xf : x ( A BK ) x Bv y Cx
传递函数矩阵为：
注意：闭 环系统的 特征值
GK (s) C(sI A BK )1 B
v
u B
问题的提法
已知:
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0 y Cx
* * 1* , 2 ,, n 性能指标: 期望闭环极点
要求:
构造u=-Kx+v,(即求K),使满足 i ( A BK ) i* , i 1, 2,, n
任务:什么条件下可任意配置闭环极点，如何配置？
1
A12 Ac
Bc B PB （x Px） 0
det( sI A BK ) det( sI A BKP 1 ) sI Ac B c K 1 det 0 A12 B c K 2 sI Ac
即 A bk
具有期望的特征值，
从而 A bk
由 k kP
具有期望的特征值。
可得， kP 1 k
u K1 x w x ( A BK1 ) x Bw
MIMO：首先使A循环化。 若A非循环，则引入
由于{A，B}能控，总可选择 K1 ，使 A BK1 循环。
改善输出反馈方法
欲使输出反馈也能达到满意的性能，引入串联补偿器和并 联补偿器，构成动态输出反馈系统:
v
u B 串联补偿器
A
x
C
y
并联补偿器
带状态观测器的状态反馈实现 输出变量可直接测量，状态反馈的工程实现，是引入状态
观测器，利用可量测变量 y 和 u 作为其输入，以获得
构量
x 的重
反馈（控制）的引入对能控性和能观测性有什么影响？
结论6.1[状态反馈] 状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能 改变系统的能观测性。
证明：1）能控性保持不变（ u Kx ）
In 0 sI A BK , B sI A, B K I p rank sI A BK , B rank sI A, B
研究综合问题的思路
综合问题可分解为两个性质不同的问题。
（1）建立可综合条件
给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。 （2）建立确定相应控制律（器）的算法/表达形式 确定满足要求的控制律。
控制实现中的一些理论问题
（1）状态反馈的构成问题 状态常常不能测量, 利用可测输入
u 和输出 y
无论抗扰动还是抗参数摄动，反馈系统优于非反馈系统。 本章以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系 统的综合问题。
综合问题的提出