初高中知识衔接(一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式)
初高中数学衔接内容
初高中数学衔接内容初中数学和高中数学在知识体系、思维方式和学习方法等方面存在着一定的差异。
为了让同学们能够顺利地从初中数学过渡到高中数学，做好衔接工作至关重要。
接下来，让我们一起来探讨一下初高中数学的衔接内容。
一、知识内容的衔接1、数与式在初中，我们主要学习了有理数、无理数、整式、分式等基本的数与式的概念和运算。
而在高中，会进一步拓展到复数的概念和运算，同时对代数式的变形和化简要求更高，例如乘法公式的灵活运用、因式分解的技巧等。
2、方程与不等式初中阶段，我们学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程以及简单的不等式。
到了高中，会接触到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）、高次方程、分式方程、绝对值不等式等内容，并且需要掌握更复杂的求解方法和应用。
3、函数函数是初高中数学的重点和难点。
初中主要学习了一次函数、反比例函数和二次函数的基本性质和图像。
高中则在此基础上，引入了指数函数、对数函数、幂函数等更多类型的函数，同时对函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像变换以及函数的综合应用有更深入的要求。
4、几何图形初中的几何主要集中在平面几何，如三角形、四边形、圆等的性质和定理。
高中则将几何拓展到空间几何，学习空间点、线、面的位置关系，空间几何体的表面积和体积等，并且需要具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。
5、三角函数初中阶段，我们初步了解了锐角三角函数的概念和简单应用。
高中会对三角函数进行系统的学习，包括任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式等。
二、思维方式的衔接1、从形象思维到抽象思维初中数学的内容相对较为直观和形象，例如通过图形来理解几何问题，通过实际例子来学习函数。
而高中数学则更加抽象，需要同学们具备更强的抽象思维能力，例如理解函数的概念、空间几何的位置关系等。
2、从常量思维到变量思维初中数学中，大多数问题涉及的是常量的计算和求解。
而高中数学中，变量的概念无处不在，函数就是研究变量之间关系的重要工具。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
2024年初升高教材衔接衔接讲义
第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。
题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。
变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。
模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。
初升高数学衔接课程(15节)
初升高数学衔接课程（例题+练习+习题+答案）1、一元二次不等式2、分式不等式3、绝对值不等式4、集合的含义与表示5、集合间的基本关系6、集合的基本运算7、映射与函数8、分式函数9、函数定义域10、函数值域11、函数单调性12、函数奇偶性13、函数解析式14、二次函数在闭区间上的最值15、集合与函数测试制作人：梁林庆时间：2015－7－1１、一元二次不等式１、１ 知识１、定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式。
２、解一元二次不等式的步骤：（１）把二次项系数变为正，令一元二次不等式＝０，得到一元二次方程； （２）解一元二次方程得到两根（一根或无根）；（３）根据不等号判断取值范围。
（若>，两根之外，若<，两根之间）。
１、２ 例题例１、 解下列不等式１、02532>-+x x ２、01692>+-x x ３、0542>+-x x４、0122<++-x x ５、0442>-+-x x例２、 已知不等式012<-+bx ax 的解集是{}43|<<x x ，求实数a,b 的值。
例３、 解关于x 的不等式 0)12(22<+++-m m x m x例４、 解关于x 的不等式 0)1(2<--+a x a x１、解下列不等式（１）03422<++x x （２）08232≤+--x x （３）21618x x ≥-（４） ()()410x x +--<； （５）232x x -+>； （６）24410x x -+>．２、已知一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数ab 的值。
３、若不等式210x mx ++>的解集为R ，求m 的取值范围。
解下列一元二次不等式1.03282>--x x2.031082≥-+x x3.041542<--x x4.02122>--x x5.021842>-+x x6.05842<--x x7.0121752≤-+x x 8.0611102>--x x 9.038162>--x x10.038162<-+x x 11.0127102≥--x x 12.02102>-+x x２、分式不等式２、１知识１、定义：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。
初高中数学衔接教学课程讲义----第1节解不等式
初高中衔接课——不等式第一讲 解不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①02>++c bx ax ； ②02≥++c bx ax ； ③02<++c bx ax ；④02≤++c bx ax )(0≠a ，其中c b a ,,为常数.3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当0<a 时，可将不等式两边同乘1-转化为上述情况求解.另外，有时题目中会隐含这类问题的条件，如02>++c bx ax 的解为n x m <<，这时必有条件0<a 成立.四、例题分析【例题】解下列不等式：（1）0822>--x x （2）062>+--x x【练习】解下列不等式：（1）022<--x x （2）01322≤+-x x【例题】若10<<a ，则不等式01<--))((ax x a 的解是（ ） A 、a x a 1<< B 、a x a<<1 C 、a x ax <>或1 D 、a x ax ><或1 【练习】已知不等式02<+-b ax x 的解是32<<x ，求b a ,的值.【练习】已知不等式：0682<-+x ax 的解集为}|{b x x x ><或1，求b a ,的值.【练习】已知不等式022<++q px x 的解是12<<-x ，求不等式022>++qx px 的解.【练习】已知,,q p n m <<若00<--<--))(())((n q m q n p m p 且，则q p n m ,,,的大小关系为__________.【分式不等式的解法】先将分式转化为一元二次不等式（组），然后再求解.转化方式：①()()()();00>⇔>x g x f x g x f ②()()()();00<⇔<x g x f x g x f ③()()()()();⎩⎨⎧≠≥⇔≥000x g x g x f x g x f ④()()()()();⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转化求解.【例题】解下列不等式：（1）042>-+xx （2）321≤+-x x （3）034622>++-+x x x x【练习】与不等式023≥--xx 同解的不等式是（ ） A 、023≥--))((x xB 、120≤-<xC 、032≥--x x D 、023≤--))((x x【练习】解下列不等式：（1）231<-x （2）2341>--x x【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④根据曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解下列不等式：（1）04321>----))()()((x x x x（2）0321>---))()((x x x（3）03212>---))()((x x x【练习】解下列不等式：（1）()032132>---)()(x x x （2）032432≤+---))((x x x x x【练习】解关于x 的不等式：0122>+--))((a x x x .【练习】1、解下列不等式：（1）0342>+-x x （2）05232≥++-x x （3）132+≥+-x x x（4）)()(339->+x x x2、已知关于x 的不等式02<+-m x mx 的解是一切实数，求m 的取值范围.3、解下列不等式：（1）122->+x （2）0112≥-+x x （3）21213<-+x x4、若00>>b a ,，则不等式a xb <<-1等价于（ ） A 、ax x b 1001<<<<-或 B 、b x a 11<<- C 、bx a x 11>-<或 D 、a x bx 11>-<或 5、已知不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，求m 的值.初高中衔接课——不等式第一讲 解不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①02>++c bx ax ； ②02≥++c bx ax ； ③02<++c bx ax ；④02≤++c bx ax )(0≠a ，其中c b a ,,为常数.3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当0<a 时，可将不等式两边同乘1-转化为上述情况求解.另外，有时题目中会隐含这类问题的条件，如02>++c bx ax 的解为n x m <<，这时必有条件0<a 成立.四、例题分析【例题】解下列不等式：（1）0822>--x x （2）062>+--x x解析：（1）420420822>-<→>-+→>--x x x x x x 或))(( （2）23032060622<<-→<+-→<-+→>+--x x x x x x x ))((【练习】解下列不等式：（1）022<--x x （2）01322≤+-x x解析：（1）21021022<<-→<-+→<--x x x x x ))(( （2）121011201322≤≤→≤--→≤+-x x x x x ))(( 【例题】若10<<a ，则不等式01<--))((ax x a 的解是（ ）B 、a x a 1<< B 、a x a <<1C 、a x a x <>或1D 、a x ax ><或1 解析：0101>--→<--))(())((a x a x a x x aa a a 110<∴<<, ax a x 1><∴或 答案：C 【练习】已知不等式02<+-b ax x 的解是32<<x ，求b a ,的值. 解析：当2=x 时，0222=+-b a ① 当3=x 时，0332=+-b a ② ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧65b a ②① 答案：65==b a ,【练习】已知不等式：0682<-+x ax 的解集为}|{b x x x ><或1，求b a ,的值. 解析：由解集取两端可知，不等式一定为一元二次不等式，0<∴a当1=x 时，2068-=∴=-+a a , 06820682068222>+-→<-+-→<-+∴x x x x x ax0310********>--→>+-→>+-))((x x x x x x∴不等式的解集为}|{31><x x x 或，3=∴b答案：32=-=b a ,【练习】已知不等式022<++q px x 的解是12<<-x ，求不等式022>++qx px 的解. 解析：由不等式022<++q px x 的解是12<<-x 得：⎩⎨⎧-==→⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+⨯=+-⨯+-⨯420112022222q p q p q p )()( 所以不等式022>++qx px 可写为02422>+-x x 即10101222≠→>-→>+-x x x x )(答案：11><x x 或【练习】已知,,q p n m <<若00<--<--))(())((n q m q n p m p 且，则q p n m ,,,的大小关系为__________.解析：由0<--))((n p m p 和n m <可得n p m << 由n m n q m q <<--和0))((可得n q m <<又因为q p <结合上面的不等式可得：n q p m <<<答案：n q p m <<<【分式不等式的解法】先将分式转化为一元二次不等式（组），然后再求解.转化方式：①()()()();00>⇔>x g x f x g x f ②()()()();00<⇔<x g x f x g x f③()()()()();⎩⎨⎧≠≥⇔≥000x g x g x f x g x f ④()()()()();⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转化求解.【例题】解下列不等式：（4）042>-+xx （5）321≤+-x x （6）034622>++-+x x x x 解析：（1）42042042042<<-→<-+→>-+→>-+x x x x x xx ))(())(( （2）0254026310321321≤+--→≤+---→≤-+-→≤+-x x x x x x x x x 452245220542020542-≥-<→⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≥-≤→⎩⎨⎧-≠≥++→⎩⎨⎧≠+≤--+→x x x x x x x x x x x 或或))(())(( （3）0313*******462222>+++-→>++-+→>++-+))()()(())((x x x x x x x x x x x x 213303122>-<<--<→>++-→x x x x x x 或或))()((答案：（1）42<<-x ；（2）452-≥-<x x 或；（3）2133>-<<--<x x x 或或. 【练习】与不等式023≥--xx 同解的不等式是（ ） E 、023≥--))((x x B 、120≤-<xC 、032≥--x x D 、023≤--))((x x 解析：原题中不等式023≥--x x 等价于： 32232202302023≤<→⎩⎨⎧≠≤≤→⎩⎨⎧≠≤--→⎩⎨⎧≠-≥--x x x x x x x x x ))(())((； A 选项中，没有02≠-x 的限制条件；B 选项中，32120≤<→≤-<x x ，符合题意；C 选项中，032≥--x x 没有限制条件02≠-x 同时多出了限制条件03≠-x ； D 选项中，没有02≠-x 的限制条件.答案：B【练习】解下列不等式：（3）231<-x （4）2341>--x x 解析：（1）0327036210231231<--→<-+-→<--→<-x x x x x x ()()27307230273><→>--→<--→x x x x x x 或))(( （2）04251404212322023412341>--→>-+--→>---→>--)()(x x x x x x x x x 4514014542051442<<→<--→>--→x x x x x ))(())(( 答案：（1）273><x x 或；（2）4514<<x . 【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④根据曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解下列不等式：（4）04321>----))()()((x x x x（5）0321>---))()((x x x（6）03212>---))()((x x x解析：（1）令04321=----))()()((x x x x ，得43214321====x x x x ,,,标在数轴上，并画出图象，如图：04321>----∴))()()((x x x x 的解为4321><<<x x x 或或（2）03210321<---→>---))()(())()((x x x x x x ，令0321=---))()((x x x ，得：321321===x x x ,,标在数轴上，并画出图象，如图：0321>---∴))()((x x x 的解为321<<<x x 或（3）令03212=---))()((x x x得：321321===x x x ,,，标在数轴上，并画出图象，如图：03212>---∴))()((x x x 的解为3321><<<x x x 或或【练习】解下列不等式：（3）()032132>---)()(x x x （4）032432≤+---))((x x x x x解析：（1）令()032132=---)()(x x x 得：321321===x x x ,,，标在数轴上，并画出图象，如图：()032132>---∴)()(x x x 的解为31><x x 或.（2）()⎩⎨⎧≠+-≤+---→≤+---032032430324322))(()])(([))((x x x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧-≠≠≠≤+--+→32003241x x x x x x x x ,,))(())((令03241=+--+))(())((x x x x x ，得：4201354321===-=-=x x x x x ,,,,标在数轴上，并画出图象，如图：032432≤+---∴))((x x x x x 的解为42013≤<<≤--<x x x 或或. 【练习】解关于x 的不等式：0122>+--))((a x x x .解析：0430122>+-+→>+--))()(())((a x x x a x x x 令043=+-+))()((a x x x ，得：43321=-=-=x x a x ,,分类讨论如下：①33>-<-a a 即时，321x x x <<标在数轴上，并画出图象可知：0122>+--))((a x x x 的解为：43>-<<-x x a 或；②33=-=-a a 即时，321x x x <=标在数轴上，并画出图象可知：0122>+--))((a x x x 的解为：4>x ；③当3443<<-<-<-a a 即时，312x x x <<，标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：43>-<<-x a x 或④当44-==-a a 即时，132x x x =<标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：443><<-x x 或⑤当44-<>-a a 即时，132x x x <<标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：a x x -><<-或43【练习】2、解下列不等式：（5）0342>+-x x （6）05232≥++-x x （7）132+≥+-x x x （8）)()(339->+x x x解析：（1）310310342><→>--→>+-x x x x x x 或))(( （2）3510523052322≤≤-→≤--→≥++-x x x x x （3）()10101213222-=→≤+→≤++→+≥+-x x x x x x x （4）303096939339222-≠→>+→>++→->+→->+x x x x x x x x x x )()()( 答案：（1）31><x x 或（2）351≤≤-x （3）1-=x （4）3-≠x 4、已知关于x 的不等式02<+-m x mx 的解是一切实数，求m 的取值范围.解析：讨论：当0=m 时，不等式变为00>→<-x x ，不符合题意；当0>m 时，函数图象朝上，总会有一部分图象在x 轴的上方，不符合题意；当0<m 时，二次函数开口方向朝下，需保证0<∆，才能符合题意， )(,舍或21210412>-<<-=∆∴m m m 答案：21-<m 5、解下列不等式：（4）122->+x（5）0112≥-+x x （6）21213<-+x x 解析：（1）02402220122122>++→>+++→>++→->+x x x x x x 24024->-<→>++x x x x 或))((（2）12111210101120112>-≤→⎪⎩⎪⎨⎧≠≥-≤→⎩⎨⎧≠-≥-+→≥-+x x x x x x x x x x 或或))(( （3）0123012241302121321213<-+-→<-+-+→<--+→<-+x x x x x x x x x 32101230123><→>--→>--x x x x x x 或))((32101230123><→>--→>--x x x x x x 或))(( 答案：（1）24->-<x x 或；（2）121>-≤x x 或；（3）321><x x 或. 5、若00>>b a ,，则不等式a xb <<-1等价于（ ） B 、a x x b 1001<<<<-或 B 、bx a 11<<- C 、b x a x 11>-<或 D 、a x b x 11>-<或 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->→<<-010********xax x bx a x b x a x b x a x b0001010101>>⎩⎨⎧>->+→⎩⎨⎧<->+→b a ax x bx x ax x bx x ,,)()()()(a xb x a x x x b x 111001>-<→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>-<∴或或或 答案：D6、已知不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，求m 的值. 解析：m x m m m x x m ≤≤-→≥≤→≥-)(||||00又因为不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，对比可知，1=m 答案：1=m。
初高中数学衔接知识点
分章节突破1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－1（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <． 解： （1）1223b b =；（2）2(0)a b a b a b a ==≥； （3）633422(0)x y x y x y x ==-<．例2 计算：3(33)÷-．解法一：3(33)÷-＝333-＝3(33)(33)(33)⋅+-+＝33393+-＝3(31)6+＝312+．解法二：3(33)÷-＝333-＝33(31)-＝131-＝31(31)(31)+-+＝312+． 例3 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－. 解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++， 1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．（2）∵226(226)(226)2226,1226226===－－+－++又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴264+＜226－.例4 化简：20042005(32)(32)+⋅-．解：20042005(32)(32)+⋅-＝20042004(32)(32)(32)+⋅-⋅-＝2004(32)(32)(32)⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041(32)⋅-＝32-．例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<．解：（1）原式5454=++22(5)2252=+⨯⨯+2(25)=-25=-52=-．（2）原式=21()x x-1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知3232,3232x y -+==+-，求22353x xy y -+的值 ． 解： ∵223232(32)(32)103232x y -++=+=-++=+-， 323213232xy -+=⋅=+-， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： （1）1313-+＝__ ___；（2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___； （3）4246543962150-+-=__ ___； （4）若52x =，则11111111x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．选择题：等式22x xx x =--成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若22111a ab a -+-=+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45（D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(23)(23)+-＝________；（2）若22(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________； （3）111111223344556++++=+++++________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+__ __；2．已知：11,23x y ==，求y y x y x y--+的值． C 组1．选择题：（1）若2a b ab b a ---=---，则 （ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算1a a-等于 （ ） （A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式1．（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （1）32- （2）35x ≤≤ （3）86- （4）5． 2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 21- 4．99100习题1．1 A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61-B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4． C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，∴221x x +-=(12)(12)x x ⎡⎤⎡⎤--+---⎣⎦⎣⎦=(12)(12)x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(222)x y =-+，1(222)x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B 2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++ （3）(12)(12)x x ---+ （4）(2)(22)y x y --+．习题1．21．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+- （3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-2．（1）51351322x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()2525x x ---+； （3）2727333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(15)(15)x x x x -+---+．3．等边三角形 4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142a a x ++=， 2242a a x -+=． （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根111x a =+-， 211x a =--；②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2] ＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a---=， ∴| x 1－x 2|＝2224424222b b ac b b ac b aca a a-+------=24||||b ac a a -∆==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a ∆（其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3．已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ）（A ）3 （B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝0 3．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．1 A 组1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－23．（3）C 提示：当a ＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．2． （1）2 （2）174（3）6 （3）33．当m ＞－14，且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m ＝－14时，方程有两个相等的实数根；当m ＜－14时，方程没有实数根．4．设已知方程的两根分别是x 1和x 2，则所求的方程的两根分别是－x 1和－x 2，∵x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝－1，∴(－x 1)＋(－x 2)＝－7，(－x 1)×(－x 2)＝x 1x 2＝－1，∴所求的方程为y 2＋7y －1＝0．B 组1．C 提示：由于k =1时，方程为x 2＋2＝0，没有实数根，所以k ＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．（1）| x 1－x 2|＝24||b ac a -，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -．5．∵| x 1－x 2|＝164242m m -=-=，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．（1）B （2）A（3）C 提示：由Δ≥0，得m ≤12，∴α＋β＝2(1－m )≥1． （4）B 提示：∵a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，∴a ＋b ＞c ，∴Δ＝(a ＋b )2－c 2＞0． 2．（1）12 提示：∵x 1＋x 2＝8，∴3x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋x 1＝2×8＋x 1＝18，∴x 1＝2，∴x 2＝6，∴m ＝x 1x 2＝12．3．（1）假设存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝16k 2－16k (k +1)=－16k ≥0，∴k ＜0． ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝14k k+， ∴ (2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝2 x 12－51x 2＋2 x 22＝2(x 1＋x 2)2－9 x 1x 2＝2－9(1)4k k+＝－32，即9(1)4k k+＝72，解得k ＝95，与k ＜0相矛盾，所以，不存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．（2）∵1221x x x x +－2＝222212121212121212()2()224x x x x x x x x x x x x x x ++-+-=-=- ＝444(1)44111k k k k k k -+-==-+++， ∴要使1221x xx x +－2的值为整数，只须k ＋1能整除4．而k 为整数，∴k ＋1只能取±1，±2，±4．又∵k ＜0，∴k ＋1＜1， ∴k ＋1只能取－1，－2，－4，∴k ＝－2，－3，－5．∴能使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5． （3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ②①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=，∴322λ=±． 4．（1）Δ＝22(1)20m -+>；（2）∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴115x =+，215x =-．②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)＜0， 即 x 1x 2－(x 1＋x 2)+1＜0， ∴ a －(－1)＋1＜0，∴a ＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a 的取值范围是a ＜－2．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x 2 …18822818从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 图2.2-2xyO －1y ＝2x 2y ＝2(x ＋1)2y ＝2(x ＋1)2＋1 y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1xO y当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 233(,0)3-和C 233(,0)3+-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165 y /件70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2； （3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0； （4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．y ① x y O －2 a a 24图2.2－6 x y O a －2 2 4 a 2②－2 x y O a a 2 4 ③3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac 有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳1.数的概念与运算-自然数：1,2,3,…，初中数学的基础-整数：包括正整数、零和负整数，初中时学习整数的加减运算-分数：初中开始介绍分数的概念，学习分数的四则运算-小数：分数与小数之间可以互相转换，小数也可以进行四则运算2.代数与方程-代数运算：包括整式的加减乘除-一元一次方程：化简方程，通解，解方程的应用-二元一次方程组：解方程组，解方程组的应用-不等式：不等式的性质，不等式的解集3.几何基础-点、线、面的概念：初中开始学习几何基础，了解点、线、面的定义与性质-角的概念：初中学习角的概念、角的度量方法，熟练掌握角的性质-直线与圆的性质：线段、射线、直线与圆的性质，角平分线、垂直线与平行线的性质4.解析几何-平面直角坐标系：了解直角坐标系的概念与性质，熟练使用坐标表示点的位置-直线的方程：了解直线的一般方程、截距式与点斜式，掌握直线的特殊情况-圆的方程：了解圆的一般方程与标准方程，掌握圆的性质与相关定理5.数列与数学归纳法-等差数列：掌握等差数列的概念与公式，了解等差数列的前n项和公式-等比数列：了解等比数列的概念与公式，掌握等比数列的前n项和公式-通项公式与前n项和公式：掌握数列的通项公式与前n项和公式的推导与应用6.实数与函数-有理数与无理数：了解有理数与无理数的概念与性质，实数的分类-函数的概念与表示：函数的定义、函数的表示方法，了解函数与变量的关系-函数的性质：函数的奇偶性、周期性，了解函数的分类与图像的特点7.图形的性质与变换-三角形：了解三角形的性质与分类，三角形的周长与面积-二次曲线与圆锥曲线：了解二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）与圆锥曲线的性质-平面图形的变换：包括平移、旋转、翻折与对称等变换，了解平面图形的性质与变换规律8.概率与统计-概率的概念与计算：了解概率的定义与计算方法，掌握基本概率的计算规则-统计图与统计量：了解统计图（条形图、折线图、饼图）的表示与应用，掌握统计量的计算与分析以上是初高中数学知识点的大致归纳，其中涵盖了数的概念与运算、代数与方程、几何基础、解析几何、数列与数学归纳法、实数与函数、图形的性质与变换、概率与统计等主要内容。
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）初高中知识衔接知识点一：简单不等式（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）1.一元一次不等式的解法：（解方程→画图形→写解集）（a>o 且0>?时，简记为：开口向上时，小于夹中间，大于走两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=?，则2.含有绝对值的不等式的解法：①等价转化②平方法（两边非负时）③分类讨论法a x a )0a (a x <<-?><，图示：___________ a x a x )0a (a x >->或. 图示：___________3．分式不等式的解法：移项通分，化除为乘，分母不为0 例1解出以下5个不等式（1）2230x x -++≥ （2）2410x x -+>（3）213x -< （4）2103x x+<- （5）12x x-≥例2：若不等式210ax x ++>的解集为12x x t ??-<<，则a =________,t =_______.变式2：已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<="">x 的不等式02>+-c bx ax 的解集是_____________________________.知识点二二次函数二次方程二次不等式一、选择题1.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 ( ) C.f （1）≤25 D.f（1）＞252.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三 D.等腰三角形3.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A. f(2)<f(1)<f(2)<f(4)<f(2)<f(1)<="" p="">二、填空题5.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________. 6．已知函数)32lg()(2--=x x x f ，则)(x f 的单调递增区间为三、解答题7.方程21222320,kx x k x x ---=有两根且（1）12,x x 都小于零；（2）都小于1；（3）121x x <<；（4）1220x x -<<、（5）恰有一根在（1，2）区间内。
(完整版)初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．b a -a b4.两个重要绝对值不等式：ax a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a 问题导入：问题1：化简：（1）：（2) :12-x 31-+-x x 问题2：解含有绝对值的方程(1); （2）642=-x 5223=--x 问题3：至少用两种方法解不等式41＞-x 知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：; （2）.xy =32+-=x y 例2：解不等式：431＞-+-x x 练 习1、若等式 , 则成立的条件是----------aa -=2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B 之间的距离为--------3、已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么表示（ ）1+a A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x ，y 满足，则______ ()01212=+-+-y x x =+22y x 5、若，则x=_________；若，则x=_________．5=x 4-=x 6、如果，且，则b ＝________；若，则c ＝________．5=+b a 1-=a 21=-c 7、下列叙述正确的是（）（A ）若，则（B ）若，则 a b=a b =a b >a b >（C ）若，则（D ）若，则a b <a b<a b=a b=±8．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1、2 二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一a个非负数时，的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不a0)a≥能够开得尽方的式子称为无理式.例如等是无理式，而32a b，等是有理式．21x++22x y++二次根式的性质：1 ；())0(2≥=aaa2 =2a(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩3 （a≥0，b≥0）baab∙=4 ()0,0＞bababa≥=分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:1 ；aa与2 ；bba-+a与3 ；bba-+a与4 ba nmbnam-+与分式：分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且B ≠0，则称为分式BABA分式的通分与约分：当M≠0时，MBMABAMBMABA÷÷=⨯⨯=,综合练习：例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（2；（3．0)a≥0)x<（4）（5）()12122＜＜xxx-+3131+-例2．(3÷-1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；22()()a b a b a b+-=-（2）完全平方公式．222()2a b a ab b±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；2233()()a b a ab b a b+-+=+（2）立方差公式；2233()()a b a ab b a b-++=-（3）三数和平方公式；2222()2()a b c a b c ab bc ac++=+++++（4）两数和立方公式；33223()33a b a a b ab b+=+++（5）两数差立方公式 ．33223()33a b a a b ab b -=-+-应用：平方差公式下列各式：①；②；③；④)1)(1(+--a a )1)(1(a a +-)1)(1(+--a a 能利用平方差公式计算的是)1)(1(+---a a 完全平方公式若，求的值31=+a a 21(a a -问题3：立方和（差）公式练 习1．填空：（1）（ ）；221111()9423a b b a -=+ （2）；(4m +22)164(m m =++) (3 ) ．2222(2)4(a b c a b c +-=+++)2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （）k mx x ++212k （A ）（B ）（C ）（D ）2m 214m 213m 2116m（2）不论，为何实数，的值 （ ）a b 22248a b a b +--+（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.2 分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）2x 2-x+6（4）2x 2-（a+2）x+a （5）（6）232+-x x 2762+-x x 2．提取公因式法 例2 分解因式：（1）x 2-5x ；（2）（2）2242abb a -)5()5(2b a b a -+-3. 公式法分解因式（1）（2）x 2-4412+-x x2.1 一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。
初高中衔接知识点
初高中数学衔接重要知识点初中重要知识点：绝对值、含有绝对值的不等式乘法公式、因式分解（平方差公式、完全平方公式、十字相乘法、拆项/分组） 根式、根式的计算与化简一元二次方程的根（二次函数），∆，根与系数关系直角坐标系，函数图像（一次函数、二次函数、反比例函数） 二次函数的图像和性质，二次函数的三种形式，分段函数，最值 不等式，一元二次不等式绝对值，绝对值的性质，相反数⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a 0)0()0()0(<=>a a a 或⎩⎨⎧-=a a a )0()0(<≥a a 或⎩⎨⎧-=a a a )0()0(≤>a a数的加、减法，乘、除法，乘方，混合运算解一元一次方程 例 解方程104.002.001.03.01.02.0-+=-x x 幂的运算★ 同底数幂的乘法：a m ·a n =a m+n (m 、n 都是正整数) 幂的乘方：(a m )n =a mn (m 、n 都是正整数) 积的乘方：(ab )n =a n b n (n 是正整数)同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m 、n 都是正整数，且m >n ) 零指数幂的意义：a 0=1(a ≠0) 负整数指数幂的意义：p p a a 1=-(a ≠0，p 是正整数) nnb a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-)0(≠ab单项式与多项式相乘：m (a +b +c )=ma +mb +mc (m 、a 、b 、c 都是单项式) 多项式乘多项式(a +b )(m +n )=am +an +bm +bn平方差公式：(a +b )(a -b )=a 2-b 2 完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2 (a -b )2=a 2-2ab +b 2 例 计算：[(x +3)2+(x +3)(x -3)]÷(2x )三角形中角的关系（1）三角形三个内角和等于180°；（2）直角三角形的两个锐角互余。
初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4.两个重要绝对值不等式：a x a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a问题导入：问题1：化简：（1）：12-x （2) : 31-+-x x问题2：解含有绝对值的方程 (1)642=-x ; （2） 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象： xy =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x练 习1、若等式a a -= , 则成立的条件是----------2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B 之间的距离为--------3、已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a 表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______5、若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则x=_________．6、如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________．7、下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b>，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 8．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1、2 二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x +，22x y +等是有理式． 二次根式的性质：① ())0(2≥=a a a ；②=2a (0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩③ b a ab •=（a ≥0，b ≥0）④ ()0,0＞b a b a b a ≥=分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类: ① a a 与；②b b a -+a 与； ③ b b a -+a 与；④ b a n m b n a m -+与分式： 分式的意义：形如B A 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称B A为分式分式的通分与约分：当M ≠0时，M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,综合练习：例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥； （30)x <．（4）()102122＜＜x x x -+（5）3131+-例2(3．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22 ()()a b a b a b+-=-；（2）完全平方公式222 ()2a b a ab b±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233 ()()a b a ab b a b+-+=+；（2）立方差公式2233 ()()a b a ab b a b-++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac++=+++++；（4）两数和立方公式33223 ()33a b a a b ab b+=+++；（5）两数差立方公式33223 ()33a b a a b ab b-=-+-．应用：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--aa；②)1)(1(aa+-；③)1)(1(+--aa；④)1)(1(+---aa能利用平方差公式计算的是完全平方公式若31=+aa，求2)1(aa-的值问题3：立方和（差）公式练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.2 分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）2x 2-x+6 （4）2x 2-（a+2）x+a（5）232+-x x （6）2762+-x x2．提取公因式法例2 分解因式：（1）x 2-5x ； （2） 2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-3. 公式法分解因式（1）412+-x x （2）x 2-42.1 一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。
1、初高衔接之一元二次不等式
第一讲 初高衔接之一元二次不等式一、学习目标导航1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．二、基础知识3、因式分解法因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
【例1】解下列方程①0562=-+x x ②()()03232=-+-x x x③02272=--x x ④6)31)(2(=--x x4、十字相乘法（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++【例2】对下列整式进行因式分解，并直接写出后一个方程的解。
①=+-672x x ①=+-672x x 0 ②=++232x x ②=++232x x 0 ③=-+1522x x ③=-+1522x x 0（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．【例3】对下列整式进行因式分解，并直接写出后一个方程的解。
①8x 2＋6x －35= ①8x 2＋6x －35=0 ②18x 2－21x ＋5= ②18x 2－21x ＋5=0 ③5x 2－8x －13= ③5x 2－8x －13=0【例4】解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)－2x2＋3x－2<0.方法归纳解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【例5】解下列不等式①11xx+-＜0 ②132xx+-＞1【例6】解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.【例7】已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．【例8】解不等式：（1）（2）课后作业1．不等式x (x ＋1)≤0的解为( )A ．x ≥ -1B ．-1≤x <0C ．x ≤-1D ．-1≤x ≤0 2．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．x <－1 B.C. -1<x <D. x <-1或3．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．x <－n 或x >m B ．－n <x <m C ．x <－m 或x >n D ．－m <x <n4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2、3，a <0，那么不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ． x >3或x <－2 B ． x >2或x <－3 C ．－2<x <3 D ．－3<x <25．不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0的解集为________． 6．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0； (2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． （4）7．解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x。
初高中数学衔接知识
初高中数学衔接知识一、绝 对 值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要的概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】接触含字母的绝对值，含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．含字母的绝对值运算贯穿于整个高中数学中.【建议】掌握含字母的绝对值及简单的含绝对值的方程（不等式）的解法． 【补 充 知 识】1. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系b a b a b a +≤+≤- b a b a b a +≤-≤-2. 含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法 n无解无解的解为)0()0()0(<<=<<<-><a a x a a x a x a a a x 一切实数的全体实数的解为或的解为)0(0)0()0(<>≠=>-<>>>a a x x a a x a x a x a a x（2）①⎩⎨⎧<+->+⇔<+<-⇔><+cb ax cb axc b ax c c c b ax )0(②c b ax c b ax c c b ax >+-<+⇔>>+或)0( 【高一前应掌握的练习】例1：解关于x 的不等式14<-x二、分 式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值． 【高中】不再学习. 但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习.【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程． 【补 充 知 识】 1. 繁分式像pn m pn m d c b a++++2,这样的分子或分母中含有分式的分式叫繁分式，一定要分清谁是分子，谁是分母，将其化简。
初升高初中数学及高中数学衔接紧密地知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对a(a 0)值是他的相反数， 0 的绝对值是 0 ，即 a0( a0) ⑶两个负数比拟大小，绝对值大的反而小a( a 0)⑷两个绝对值不等式 : | x | a(a 0) a x a ； | x | a(a 0)xa 或 x a2 乘法公式：⑴平方差公式： a 2 b 2 (a b)(ab)⑵立方差公式： a 3 b 3 ( a b)(a 2 ab b 2 ) ⑶立方和公式：a 3b 3 (a b)( a 2 ab b 2 )⑷完全平方公式：( a b) 2 a 2 2ab b 2 ， (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac2bc⑸完全立方公式： (a b)3 a 33a 2b 3ab 2 b 33 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1 ，这样的方程叫一元一次 方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。
⑶关于方程 axb 解的讨论①当 a 0 时，方程有唯一解 xb 0 ， b 0 时，方程无解；②当 aa③当 a 0 ， b 0 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组： 〔1〕两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
〔2 〕适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
〔3 〕二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
〔4 〕解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组〔 1 〕不等式：①用符不等号〔 > 、≠、< 〕连接的式子叫不等式。
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初高中知识衔接
知识点一：简单不等式（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）
1.一元一次不等式的解法：（解方程→画图形→写解集）
（a>o 且0>∆时，简记为：开口向上时，小于夹中间，大于走两边）
设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2
-=∆，则
2.含有绝对值的不等式的解法：①等价转化②平方法（两边非负时）③分类讨论法
a x a )0a (a x <<-⇔><，图示：___________ a x a x )0a (a x >-<⇔>>或. 图示：___________
3．分式不等式的解法：移项通分，化除为乘，分母不为0 例1解出以下5个不等式
（1）2
230x x -++≥ （2）2
410x x -+>
（3）213x -< （4）21
03x x
+<- （5）1
2x x
-≥
例2：若不等式2
10ax x ++>的解集为12x x t ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
，则a =________,t =_______.
变式2：已知关于x 的不等式02
<++c bx ax 的解集为}2
12|{->-<x x x 或。
那么关于
x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集是_____________________________.
知识点二 二次函数 二次方程 二次不等式
一、选择题
1.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 ( ) C.f （1）≤25 D.f （1）＞25
2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三 D.等腰三角形
3.如果函数f(x)＝x 2
＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ） A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)
二、填空题
5.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________. 6．已知函数)32lg()(2--=x x x f ，则)(x f 的单调递增区间为
三、解答题
7.方程21222320,kx x k x x ---=有两根且 （1）12,x x 都小于零； （2）都小于1； （3）121x x <<； （4）1220x x -<<、 （5）恰有一根在（1，2）区间内。
分别求k 的取值范围。
8.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围
9.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。
四、提炼总结
1.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象性质是处理二次函数问题的重要依据。
2．题型.思想.方法:
(1)二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。
(2)二次方程根的分布问题，可用韦达定理或借助二次函数图象列不等式组求解。
(3)三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数
为核心，三者密切相连。
五、同步练习 二次函数 方程 不等式
【选择题】
1． 0122
=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A 10≤<a
B 1<a
C 1≤a
D 10≤<a 或0<a
2.（2004重庆）一元二次方程2
210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ）
（A ）0a < （B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a > 3．设f (x )=x 2-4x (x ∈R )，则f (x )>0的一个必要而不充分条件是 ( ) A 、x <0 B 、x <0或x >4
C 、│x -1│>1
D 、│x -2│>3 【填空题】
4.二次函数y=ax 2+bx +c (x ∈R)的部分对应值如下表： 则不等式ax 2+bx +c >0的解集是___________.
5. 已知a ,b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++则5a b -= .
6.已知f （x ）=x 2
－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是_________________
【解答题】
7．已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m 的范围。
8.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）
（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；
（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.。