信号与系统第6章
信号系统第6章离散信号与系统
end
6.4 应用举例
例
信号与系统
6.4-22
菲波那契数列：如小兔的繁殖、蝗虫灾害 {0,1,1,2,3,5,8,13,……} 其数学模型为： 如小兔的繁殖、蝗虫灾害。方程的解： 图6为求解结果。
end
图6
阶跃响应s( n )与单位响应h( n ) ：
因
故
三、卷和的性质
交换律：f 1( n )
f 2( n ) = f 2( n ) f 1( n )
结合律：f 1( n ) [ f 2( n )
f 3( n ) ] = [ f 1( n ) f 2( n ) ] f 3( n )
分配律： f 1( n ) [ f 2( n ) + f 3( n ) ] = f 1( n ) f 2( n ) + f 1( n ) f 3( n )
位移不变性： f 1( n m )
f 2( n r ) y( n m r )
连续系统与离散系统的比较：
离散系统
图3 从模拟信号到数字信号
二、离散时Байду номын сангаас系统
差分方程：微分方程的离散化。对一阶RC电路
对上式取样，得
令T = 1，即 梯形网络的节点电位方程（见图5）
图5 梯形电阻网络
根据KCL，有
整理可得
一般形式：
LTI系统：
•
线性： a1f1( n ) + a2f2( n ) a1y1( n ) + a2y2( n )
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第六章-2
An-1n -1 a An-2 An-3 Bn-1 n -3 Cn-1n -5 Dn-1 -7 a a an … Bn-2 Bn-3 B2 0 0 Cn-2 Cn-3 0 0 0 Dn-2 … Dn-3 …
Ai −1 =
M
第(n-1)行 A2 第n行 第(n+1)行
An − 2 =
3
∴ H 3 ( s ) 系统不稳定
以上两个性质是判断系统稳定的必要条件
第六章 连续时间系统的系统函数
(二) 罗斯－霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据） 罗斯－霍维茨（ 准则（
内容： 若 内容： D(s) = an sn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 的根全部位于s左半平面的充要条件是 左半平面的充要条件是： 则 D(s) = 0 的根全部位于 左半平面的充要条件是： （ⅰ）D ( s ) 的全部系数 a i 为正，无缺项； 为正，无缺项； 罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同 （ⅱ）罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( A i )符号相同 -6 R－H阵列： 1行 An an Bn an -2 Cnan -4 Dnan… … 阵列： － 阵列 第
第六章 连续时间系统的系统函数
例 4 反馈系统
F(s) + _ E(s) G(s)
H(s)
Y(s)
前向通道 , 反馈通道 H ( s ) = K 问当常数满足什么条件时，系统是稳定的？ 解： E ( s) = F ( s) − H ( s)Y ( s)
Y ( s ) = E ( s )G ( s ) = G ( s ) F ( s ) − G ( s ) H ( s )Y ( s )
信号与系统自测题(第6章 离散时间信号与系统的z域分析)含答案
13
1 1 、某 LTI 系统，若输入 x (n) = ( 1 ) u (n) ，输出 y (n) = [a ( ) + 10( ) ]u (n) ， a 为实 6 2 3 7 。 数；若 x (n) = (−1) u(n) ， y (n) = 4 (−1) ，则系统函数 H ( z) 为（ A ）
二、单项选择题 1, n = 0, 4, • • •, 4m, • • • 1、 x ( n ) = ，则其双边 z 变换及其收敛域为（ 0, 其它
A
A
） 。
4 4
、 z z− 1 , z > 1
4 4
B
、 z 1− 1 , z > 1
4
C
、 1 −1z
, z >1 4
D
z 、 1− z
, z >1
B
1 、3 (−1) u (n) + (−2) u (n) 2 2 1 1 D、 δ ( n) + u ( n) + ( −2) u ( n) 2 2
n n n
1 z + z −1 注： − 1 δ (n) + (−1) u (n) + (−2) u (n) ↔ 似乎原题有错 2 2 z + 3z + 2
，则
z + 0.5 、z 2+ z − 0.75 注：
A
2
B
z + 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
C
z − 0.5 、z 2+ z − 0.75
2 2
D
z − 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
信号与系统第六章习题答案
第六章 离散系统的Ｚ域分析 ６．１学习重点 1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。
3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。
4、z 域系统函数()z H 及其应用。
5、离散系统的稳定性。
6、离散时间系统的z 域模拟图。
7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。
６．２ 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。
（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。
第六章信号与系统的时域和频域特性
H ( j) t0
上式表明： 当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移 t 0 ， 则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了 t 0 ,在频域 里发生了相移。 上述改变并没有丢失信号所携带的任何信息，只是 发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的，通常 认为信号没有失真。
8
2.系统相位为非线性相位
s(t ) h(t ) * u(t ) h d
t
24
见P318,Fig6.14
理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从 c 延伸到 ，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到
最显著的变化。也就是说阶跃响应的所谓上升时间是 反比于相关滤波器的带宽；
c
在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量， 并且出现称之为振铃的振荡现象。产生这一结果的重
率成正比，也即系统的相位特性是一条通过原点的直线。 时延的概念可以推广到包括非线性相位特性的系统中。 对于传输系统，其相移特性可以用“群时延”（或称 为“群延时”）来描述。 定义群时延为：
d H j d
12
由于一个非线性相位系统，在 0 窄带范围内 可近似为相位的变化为线性的，即
模特性改变 相位特性改变
系统相移
7
二、 线性与非线性相位
1. 系统相位为线性相位
若连续时间LTI系统： 则 Y ( j )
X j e
y(t ) x(t t0 )
时移系统
输入信号相移 随频率线性变化； 斜率为时移值。
jX j jt0
e
H ( j) e jt0 ,
28
理想滤波器特性
1.通带绝对平坦，衰减为零
非理想滤波器特性
信号与系统第三版 第六章习题答案
2 t 2
cos
2 2
t ]u (t )
6.13 一个因果LTI系统的频率响应为：
5 jw 7 H ( jw) ( jw 4)[( jw) 2 jw 1]
(a) 求该系统的冲激响应
(b) 试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 (c)试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 解:(a) 5 jw 7 1 jw 2
I 2 (w) 2 jw H ( jw) E (w) 8 jw 3
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
2 jw 1 H ( jw) 8 jw 3 4
h(t ) F 1{H ( jw)}
3 32 3 jw 8 3t 1 3 8 (t ) e u (t ) 4 32
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
3 3 3( jw 3) 2 H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
3 2t h(t ) F {H ( jw)} (e e 4t )u (t ) 2 (c) 3( jw 3) 3 jw 9 Y ( w) H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw) 6 jw 8 X ( w)
1 X ( w) ( jw 2) 2
Y (w) H ( jw) X (w)
2 Y ( w) 3 ( jw 2) ( jw 4)
1 1 4 2 3 ( jw 2) ( jw 2) ( jw 2) ( jw 4) 1 4 1 2
1 2t 1 2t 1 2 2t 1 4t y (t ) F {Y ( w)} ( e te t e e )u (t ) 4 2 2 4 2 2 ( jw ) 2 (c) H ( jw) ( jw) 2 2 jw 1
奥本海姆-信号与系统-第6章
即z
lim k f (k )
k
Rx 2
可见左边序列的收敛域是半径为 R x 2的圆内部分。 6、双边序列的收敛域
F ( z)
k 1
z平面
f (k ) z k f (k ) z k f (k ) z k
k k 0
故只有 Rx1 Rx 2 时，两个收敛域才有 重叠，z变换存在收敛域为 Rx1 z Rx 2
z a (k ) za
k
z a
z a
第6章 离散系统的Z域分析
6.2
1、线性性质
if
Z变换性质
f 2 (k ) F2 ( z)
式中a,b为任意常 数。叠加后新的 z变换的收敛域至 少是原两个z变换 收敛域重叠部分
f1 (k ) F1 ( z )
then af1 (k ) bf2 (k ) aF 1 ( z ) bF 2 ( z)
z e j 1
z e j 1
a
z 1
第6章 离散系统的Z域分析
2、移位特性
（1）双边z变换 若f (k )是双边序列，其双边z变换为 f (k ) F ( z )
F[ f (k )]
k
f (k ) z k
f (1 n) z1n f (n) z n f (1 n) z 1n
z n ( ) a n 1
k
f (k )z k a z
k k
1
k
n k
n
n n a z
1
z 1即 z a，有 a z Z[ak (k 1)] a z z za 1 a z k 收敛域 即 a ( k 1) za
信号与系统第6章拉氏变换
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
信号与系统 第六章
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统 第六章典型例题
∞
e(t) = ∑δ (t − nT), k =−∞
e(t)
＋
－
延迟Ｔ (a)
n = 0,±1,±2,L,其波形如图(b)所示。
e(t )
rzs (t)
∫
L
(1)
LБайду номын сангаас
-T 0 T 2T
t
(b )
解：系统的单位冲激响应为：
h(t )
=
∫t
−∞
[δ
(τ
)
−
δ
(τ
− T )]dτ
=
u(t) − u(t
−T)
∴ rzi (t) = c1e−t + c2 e−2t
又
rz′ri (zi0()0)==−cc11
+ −
c2 2c
=1 2=
1
∴
cc21
=3 = −2
∴ rzi (t) = (3e −t − 2e−2t )u(t)
2）求冲激响应 h(t)
由特征根及 n > m ，得： h(t) = (k1e−t + k2e−2t )u(t) h′(t) = (k1 + k2 )δ (t) + (−k1e−t − 2k2e−2t )u(t) h′′(t) = (k1 + k2 )δ ′(t) + (−k1 − 2k2 )δ (t ) + (k1e −t + 4k 2e −2t )u(t) 将 e(t) = δ (t) ， r (t) = h(t ) 代入微分方程，各系数对应相等，有
∴ r4 (t ) = 2rzi(t) + 0.5rzs (t) = 6e −3tu(t ) − 0.5e−3tu(t ) + 0.5 sin 2t ⋅ u(t) = (5.5e −3t + 0.5sin 2t )u(t )
信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
信号与系统PPT 第六章 离散时域分析
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。
Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。
当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。
因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。
而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。
那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。
只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。
X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。
在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。
6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。
在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。
信号与系统第6章拉氏变换
的收敛性
f (t ) u (t ) e tu ( t ) 举例：信号
FB ( s )
0
ee
t
st
dt
0
e st dt
1 1 1 s s
对前一项，收敛域 1 ，对后一项， 0 总的收敛域为 0 1
2、双边拉氏变换同付里叶变换的 关系
t
jwt
F1 ( w)e st dw
ds 而： s jw ，若选定 ，即令 为常数，有 dw j
，同
时 F ( s ) F1 ( w) ，上式改写为：
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
对信号 f (t ) ，
F (s)
d [(s p1 ) k F ( s)] 显然 K12 ds s p
1
继续微分：
1 d 2 [(s p1 ) k F ( s)] K13 2 ds 2 s p
1
1 d i 1[(s p1 ) k F ( s)] K1i 一般形式： (i 1)! ds i 1 s p
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d
0
，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
此时，有： F (s)
信号与系统(郑君里)课后答案 第六章习题解答
6-1 解题过程：图6-5所示的矩形波如解图所示，它表示为()()()1012πππ+<<⎧⎪=⎨−<<⎪⎩t f t t在[]0,2π内()()()()()()()20020cos cos cos 11sin sin 01,2,3ππππππ=+−⎡⎤⎣⎦=−==∫∫∫"f t nt dt nt dt nt dtnt nt n n n故有()f t 与信号()()cos ,cos 2,cos "t t nt ,正交（n 为整数）。
6-2 解题过程： 在区间()02π，内，有()()()21212120cos cos π≠∫n t n t dt n n n n ，且均为不为零的整数()()()()2121202212121212001cos cos 21111sin sin 220πππ=++−⎡⎤⎣⎦=⋅++⋅−+−=∫n n t n n t dt n n t n n t n n n n ()()()222220001cos 2cos 21222nt nt cos nt dt dt dt dt πππππ+==+=∫∫∫∫满足正交函数集的条件，故()()cos ,cos 2,cos "t t nt ,正交（n 为整数）是区间()02π，中的正交函数集。
6-3 解题过程： 在区间02π⎛⎞⎜⎟⎝⎠，内()()()21212120cos cos π≠∫n t n t dt n n n n ，且均为不为零的整数()()()()()()212120221212121200121212121cos cos 21111sin sin 221111sin sin 2222πππππ=++−⎡⎤⎣⎦=⋅++⋅−+−+−⎡⎤⎡⎤=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦∫n n t n n t dt n n t n n t n n n n n n n n n n n n只有当()12+n n 和()12−n n 均为偶数时上式为零，因此不满足函数之间的正交性条件，()()cos ,cos 2,cos "t t nt ,正交（n 为整数）不是区间02π⎛⎞⎜⎟⎝⎠，中的正交函数集。
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
陈后金《信号与系统》(第2版)名校考研真题(系统的频域分析)
第6章系统的频域分析一、选择题1．选择题已知信号f（t）的最高频率，则对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔等于（）。
[北京交通大学研]A．B．C．D．【答案】A【解析】信号f（t）的最高频率为，根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高频率为（Hz），再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔2．下列说法中正确的是（）。
[东南大学研]A．罗斯—霍维茨准则也能判断离散系统的稳定性B．信号经调制后带宽一定增加C．抽样频率必须是信号最高频率的2倍以上才不产生混叠D．积分器是线性运算，不改变信号的带宽【答案】AD【解析】本题考查信号与系统的综合应用。
罗斯霍维茨准则是稳定性判定准则，信号经调制后带宽不一定增加，有时只是频谱的搬移，积分运算是累加运算，也即线性运算，抽样频率必须是信号最高频率的2倍或者2倍以上才不产生混叠。
因此选择AD。
3．系统的幅频特性和相频特性如图6-1（a）、（b）所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是（）。
[西安电子科技大学研]A．B．C．D．【答案】B【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知：若输入信号的频率均处于之间，既不产生幅度失真又不产生相位失真。
只有（B）满足这一条件。
图6-1二、填空题1．已知一连续时间LTI系统的频响特性该系统的幅频特性相频特性是否是无失真传输系统______。
[北京交通大学研] 【答案】否【解析】由于的分子分母互为共轭，故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为由于系统的相位响应不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。
三、解答题1．某因果数字滤波器的零、极点如图6-2所示，并已知其H（π）=-1试求：图6-2（1）它的系统函数H（z）及其收敛域，且回答它是IIR、还是FIR的什么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器；（2）写出图6-2（b）所示周期信号x[n研]的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数；（3）该滤波器对周期输入x[n研]的响应y[n研]。
信号与系统 第6章-作业参考答案
Hd
(z)
=
Hc(z)
s
=1− 1+
z z
−1 −1
证明：H������(z)有一个位于单位圆内的极点和一个位于单位圆外的零点
c）对于系统函数H������(z)，证明�H�������ejω�� = 1
证明：
16
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
6-4 计算机设计题 答案暂略
17
和 x2(n) = �14�n u(n)
设序列x1(n)的单边和双边 变换分别为 X1( X2(z) 和 X2d (z) 。
1） 根据双边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 2） 根据单边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 3） 解释 1）和 2）的结果为何不同。 解：
，试用
z
变换的初值
和终值性质确定离散序列 x(n) 的初值 x(0) 和终值 x(∞) 。
6
第六章 z 变换 解：直接求出。
第 6 章 习题参考答案
6-2-26 某离散LTI系统由差分方程
y(n)
−
10 3
y(n)
+
y(n
+
1)
=
x(n)
描述。试求系统的单位样值响应 h(n) ，并确定系统的稳定性。
解：
5
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
∞
∑ 6-2-21 序列 x(n) 的自相关序列定义为φxx (n) = x(k)x(n + k) 。试利用 x(n) 的 z 变换 k =−∞
求出φxx (n) 的 z 变换。
解：
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n ≤ −1
an z −n ) ∑(
∞ ∞ ∞
−1
令m = − n
X ( z) = ∑ ( a−m z m ) = ∑ ( a−m z m ) − a0 z 0 = ∑ a−m z m − 1
m =1 m=0 m=0
z 当 < 1，即 z < a 时收敛 a 1 a −z X (z) = −1 = −1 = z a−z z−a 1− a
X
第
二．两种判定法
1．比值判定法 若有一个正项级数， ∑ a n 令 则： ρ<1：收敛 ρ=1：可能收敛也可能发散 ρ>1：发散
n = −∞ ∞
11 页
lim
n→ ∞
an+1 =ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 an 的n次根的极限等于ρ， n a = ρ lim n
n→ ∞
则
ρ<1：收敛 ρ=1：可能收敛也可能发散 ρ>1：发散
z >1
X
z变换的收敛域
收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况
第
一．收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n) ，能使 X ( z ) = 收敛的所有z 值之集合为收敛域。
即满足
n = −∞
10 页
x( n) z − n ∑
∞
n = −∞
∑
∞
x ( n) z − n < ∞
的区域（ ROC）
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
x ( nT ) e − snT ∑
∞
其中
s = σ + jω z = e sT ， 为连续变量 ，将x (nT )表示为 x (n ) X s ( s ) |z =e sT =
n= −∞ ∞
引入复变量
x ( n) z − n = X ( z ) ∑
对任一信号 x( n)的（双边） z变换式为
X (z) = x ( n) z − n ∑
j Im( z )
2 0 Re(z )
所以
z <1 2
收敛域为： z < 2
X
第
4．双边序列的收敛
x (n) = b
n
18 页
−∞ ≤ n≤ ∞ b > 0
x (n ) = b
n
或 x (n ) = b n u(n ) + b − n u(− n − 1)
n≥ 0 n< 0
0<b<1
1
…
z n b u(n ) ↔ z−b
X
∞
n = −∞
第
三．对z变换式的理解
X (z) =
n = −∞
5 页
x ( n) z − n ∑
∞
= … x ( −2) z 2 + x ( −1) z 1
z的正幂
+ x (0) z 0 + x (1) z −1 + x( 2) z − 2 +
z的负幂
x ( n) z − n + …
X (z )是z −1的幂级数
Z [ax ( n) + by( n)] = aX ( z ) + bY ( z )
(R
x1 y1
< z < Rx2 ) < z < Ry2
(R
)
1
< z < R2 )
a,b为任意常数。 ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( R x 1 , R y1 ) < z < min( R x 2 , R y 2 )
x (n) x ( n − 2) 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
4
28 页
x ( n + 2)
4
4
−1O 1 2
n
− 1O 1 2
n
− 2− 1 O 1
n
同理，左移位后的 z变换为： Z [ x ( n + m )] = z m X ( z )
收敛域：只会影响 z = 0, z = ∞ 处
的z变换为 Z [ x ( n − m )] = z − m X ( z )
n= 0
∞
单边z变换
X
第
四. z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0 ∞ ∞
7 页
X (z) =
n =－∞
∑ x ( n) z
−n
• 复变量 z −1的幂级数（亦称罗朗级 数）；
• 某些文献中也称 X (z )为x( n)的生成函数。
X
第
1．单位样值函数
b − nu ( −n − 1) −z ↔ z − b −1
z >b
n
b>1
x (n ) = b
n
z < b −1
1 >b b
…
1
n
若 0<b<1
1 则ROC : b < z < b
X
第
例
⎧⎛ 1 ⎞ n ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ 3 ⎠ x ( n) = ⎨ −n ⎪⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎩⎝ ⎠ n≥0 n<0
20 页
X
§6.2 z变换的基本性质
第
主要内容
线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理 z域卷积定理（自阅）
22 页
X
第
一．线性
若 则
(表现为叠加性和均匀性）
23 页
Z [ x ( n )] = X ( z ) Z [ y ( n )] = Y ( z )
(R
X
第
三．讨论几种情况
1．有限长序列的收敛域
12 页
x( n),
n1 ≤ n ≤ n2
2．右边序列的收敛
x ( n) = a n u(n )
3．左边序列的收敛
n
0≤n≤∞
x ( n) = − a u(− n − 1)
4．双边序列的收敛
n ≤ −1
x (n) = b
n
−∞ ≤ n≤ ∞ b > 0
X
第
19 页
j Im( z )
1/3
1 ROC: < z < 2 3
2
O
Re(z )
X
第
四．总结
★x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ∞）； ★右边序列的ROC为 z = R1的圆外； ★左边序列的ROC为 z = R2的圆内； ★双边序列的ROC为 R1 < z < R2 的圆环。
若序列 x (n )的双边 z变换为 Z [ x ( n)] = X ( z )，则其右移位后
证明：Z[f(k+m)]=
k = −∞
∑
∞
f ( k + m) z
−k
n=k +m
=
n = −∞
∑
∞
f ( n) z − n z m = z m F ( z )
X
例：求长度为2M+1的矩形序列的z变 换
⎧ 1, P2 M +1 (k ) = ⎨ ⎩0, −M ≤k ≤ M k < −M , k > M
−3
所以，收敛域为 0 < z < ∞ 的z平面。
X
第
2．右边序列的收敛 x ( n) = a n u(n )
X ( z) = ∑ a n z −n
n= 0 ∞
14 页
⎛a⎞ 1− ⎜ ⎟ n ∞ ⎛a⎞ ⎝z⎠ = ∑ ⎜ ⎟ = lim n→ ∞ a n= 0 ⎝ z ⎠ 1− z
n+1
a 当 < 1，即 z > a 时收敛 z
z X (z ) = = a z−a 1− z 1
ROC： z > a
X
第
例
⎧⎛ 1 ⎞ n ⎪⎜ ⎟ 求信号 x( n) = ⎨⎝ 3 ⎠ ⎪0 ⎩ X ( z ) = ∑ x ( n) z
n=0 ∞ −n ∞
15 页
n≥0 的z变换的收敛域。 n<0
n ∞ n
⎛ 1 ⎞ −n ⎛ 1⎞ =∑ ⎜ ⎟ z =∑ ⎜ ⎟ n=0 ⎝ 3 ⎠ n = 0 ⎝ 3z ⎠
某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩 大。
X
第
例
解： 已知
求 cosh(nω 0 )u( n)的z变换。
24 页
z Z a u( n) = z−a 1 nω0 − nω0 并且 cosh(nω0 ) = e + e 2 1 1 nω0 所以 Z [cosh (nω0 )u( n)] = Z e u( n) + Z e − nω0 u( n) 2 2 1 z 1 z = + ω0 2 z−e 2 z + e − ω0 z[( z − cosh(ω0 )] = 2 z − 2 z cosh(ω0 ) + 1 同理
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n = −∞
n = −∞
⎡ ∞ ⎤ X s ( s ) = L[xs ( t )] = L ⎢ ∑ x ( nT )δ ( t − nT )⎥ ⎣ n= −∞ ⎦
X
第 4 页
X s (s ) =
n= −∞
∑
∞
x ( nT ) L[δ ( t − nT )] =