高三数学第一次联考试题 文
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
湖北省部分学校2025届高三上学期第一次大联考(一模) 数学试题(含解析)
高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，数列，平面向量.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+ B.20,12a a ∃+ C.20,12a a ∀>+ D.20,12a a ∀+ 2.已知集合{}230,{013}A xx B x x =-<=<+<∣∣，则A B ⋂=（）A.(-B.()2C.(D.()1,2-3.已知函数()()e 1x f x f x '=-，则（）A.()e12f =- B.()e 12f '=-C.()22e e f =- D.()22e ef '=-4.已知函数()*(2),n f x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若对任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+，则()4f =（）A.6B.4C.2D.06.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s （单位：百万元）与新设备运行的时间ι（单位：年，*t ∈N ）满足23225098,8,102,8,t t t s t t t t ⎧-+-<=⎨-+-⎩ 当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =（）A.6B.7C.8D.97.如图，在ABC 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=== 是BC 边上靠近B 点的三等分点，E 是BC 边上的动点，则AE CD ⋅ 的取值范围为（）A.710,73⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.77,73⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.410,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.47,33⎡⎤-⎢⎣⎦8.已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（）A.⎡-⎣B.[]1,1-C.[]0,1D.⎡⎣二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在等比数列{}n a 中，1232,4a a a ==，则（）A.{}n a B.{}n a 的公比为2C.3520a a += D.数列21log n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列10.已知函数()()1tan (0,0π)2f x x ωϕωϕ=-><<的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π3ϕ=C.()f x 的图象与y 轴的交点坐标为0,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.函数()y f x =的图象关于直线7π12x =对称11.已知41log 100102,ln ,930a b c ===，则（）A.c a> B.a b >C.c b > D.b a>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量,m n 满足3m n ⋅= ，且()2m m n ⊥- ，则m = （）13.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.14.已知正实数,a b 满足232a b +=，则224ab a b -++的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且5a 是2a 与14a 的等比中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n n n b c a b ==，求数列{}n c 的前n 项和n S .16.（15分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2221a b c c b ac-=≠-.（1）证明：2B C =.（2）若点D 在边AC 上，且4CD BD ==，求a 的取值范围.17.（15分）已知函数()()2ln 1f x x a x =-+.（1）若4a =，求()f x 的极值点；（2）讨论()f x 的单调性.18.（17分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11,212n n n a S a ==-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：24212n S S S >.19.（17分）当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由3,y x x =∈R ，得,3y x y =∈R ，通常用x 表示自变量，则写成,3x y x =∈R ，我们称3,y x x =∈R 与,3x y x =∈R 互为反函数.已知函数()f x 与()g x 互为反函数，若,A B 两点在曲线()y f x =上，,C D 两点在曲线()y g x =上，以,,,A B C D 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”.（1）若函数()f x =11,4A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线()y f x =上.（i ）求曲线()y f x =在点A 处的切线方程；（ii ）求以点A 为一个顶点的“关联矩形”的面积.（2）若函数()ln f x x =，且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S .证明：2122S ⎫>⎪⎭.1ln20-<）高三数学考试参考答案1.C 存在量词命题的否定为全称量词命题.2.A因为((),1,2A B ==-，所以(A B ⋂=-.3.C 因为()()e 1x f x f x '=-，所以()()e 1x f x f =-''，则()()1e 1f f =-''，所以()e 12f '=，则()e e 2x f x x =-，所以()()()22e e 1,2e ,2e e 22f f f '==-=-.4.A 由()(2)n f x x =-，得()1(2)n f x n x -=-'，则当21,n k k =+∈N 时，()(2)n f x x =-是增函数，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.5.D 令0y =，则由()()()2f x y f x f y +=+，可得()()20f x f =-为常数函数，令0x y ==，可得()00f =，故()40f =.6.B 由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润298250,8,102,8.t t s y t t t t t ⎧--+<⎪==⎨⎪-+-⎩ 当8t <时，98228t t + ，当且仅当7t =时，等号成立，则9825022t t--+ .当8t 时，22102(5)2314t t t -+-=--+ ，当且仅当8t =时，等号成立.故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间7t =.7.C 由222||||1cos 22AB AC BC BAC AB AC∠+-==-，解得BC = 设,01CE CB λλ= ，则()()()222221433333AE CD AC CE CD AC CB CB AC CB CB AC AB AC λλλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+=⋅-+ 22214414410,3333333AC AB AC λλ⎡⎤=⋅-+=-+∈-⎢⎥⎣⎦.8.D 令()()313g x f x x x =-=+，则()2330g x x =+>'恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x ⎡⎤-=-+-⎣⎦，即()()sin cos g x g m x =--，从而sin cos x m x =--，即πsin cos 4m x x x ⎫⎡=--=+∈⎪⎣⎭9.BC 设{}n a 的公比为q ，则21212,4,a q a q ⎧=⎨=⎩解得11,2,a q =⎧⎨=⎩则124352,2220n n a a a -=+=+=，21log 1n n a =-，则数列21log n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列.10.AD 由图可知，()f x 的最小正周期ππ2T ω==，则2ππ2,π,32k k ωϕ=-=+∈Z ，由0πϕ<<，得π6ϕ=，即()1πtan 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()306f =-.由()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可得函数()y f x =的图象关于直线7π12x =对称.11.ACD 4211log log 10010110911122,ln ln ln 1,ln 110910101010a b a b ⎛⎫⎛⎫=====-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()()()ln 1,0,1f x x x x =+-∈，则()()110,11x f x f x x x -=-=<--'在()0,1上单调递减，所以()10010f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即a b <.因为1030c ==，所以10ln 9b c -=-令()()ln 1,h x x x ∞=+∈+，则()()23322121(1)0,22x h x h x x x x '---=-==<在()1,∞+上单调递减，所以()10109h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即b c <.因为()2m m n ⊥- ，所以()20m m n ⋅-= ，则226m m n =⋅=，所以m = 13.π12-由πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得()222cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.14.126因为232a b +=，所以。
广东省六校2024届高三上学期第一次联考数学试题及参考答案
2024届高三第一次六校联考试题数学本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只需将答题卡上交.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}220,ln 2A xx x B x y x =+->==-∣∣，则A B ⋂=（）A.{21}x x -<<∣B.{12}xx <<∣C.{2}xx <∣ D.{2xx <-∣或12}x <<2.在复平面上，复数34i z =-的共轭复数z 对应的向量OM 是（）A. B.C. D.3.已知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率等于（）B.3D.24.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()210,N ξσ~，根据检测结果可知()9.9810.020.98P ξ=，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量10.02kg 以上的袋数大约是（）A.5B.10C.20D.405.已知等差数列{}n a 的公差不为10,1a =且248,,a a a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则（）A.20234045a = B.5434a a a a <C.119462a a a a +=+ D.1112n S n n ++=+6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）A.0.475B.0.525C.0.425D.0.5757.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()()0.8221log ,log 4.1,25a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a<< B.b a c <<C.a b c<< D.c a b<<8.已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（）A.10,30⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,29⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,28⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（）A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法10.已知函数()sin 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线6x π=对称B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.当2,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC 的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2e xf x x =-，则下列结论正确的是（）A.()0f x >的解集为()()2,02,∞-⋃+B.当0x <时，()()2e xf x x -=+C.()f x 有且只有两个零点D.[]()()1212,1,2,ex x f x f x ∀∈-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.14.已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________.15.设函数()y f x =''是()y f x ='的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的图像都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=.已知三次函数()321f x x x =+-，若120x x +=，则()()12f x f x +=__________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆22:12x C y +=，则C的蒙日圆O 的方程为__________；在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆C 的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知等差数列{}n a 满足()218n n a n n k +=-+，数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列.（1）求n a 和n b ；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的最大项.18.（本小题12分）在ABC 中，4,AB D =为AB中点，CD =.（1）若3BC =，求ABC 的面积；（2）若2BAC ACD ∠∠=，求AC 的长.19.（本小题12分）.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，BC ∥平面1,1,2PAD BC AD E ==是棱PD 上的动点.（1）当E 是棱PD 的中点时，求证：CE ∥平面PAB ：（2）若1,AB AB AD =⊥，求点B 到平面ACE 距离的范围.20.（本小题12分）某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm ）得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)）和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线[)53,54[)54,55[)55,56[)56,57[)57,58[)58,59[]59,60甲49232824102乙214151716151（1）完成22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？一等品非一等品合计甲乙合计（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望()E ξ，（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中0.05; 3.841n a b c d x =+++=21.（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左､右焦点分别为12,F F ，短轴的顶点分别为12,B B ，四边形1122B F B F的面积为,A B （点A 在x 轴的上方）为椭圆上的两点，点M 在x 轴上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线AB 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN .22.（本小题12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.一､单选题，二多选题2024届高三第一次六校联考数学参考答案：三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）13.7.8514.6240x 15.-216.223,55x y r +=≤≤+四､解答题17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为()218n n a n n k +=-+，所以12371215,,234k k k a a a ---===.因为数列{}n a 是等差数列，所以2132a a a =+，即127152324k k k ---⨯=+，解得9k =-所以()()()218919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-.所以()()()22111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，所以118,9d a k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以9n a n =-（2）因为193n n n n a n c b --==，当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n 时，0n c >.当10n 时，11891920333n n n n n n n nc c +-----=-=<，即，1n n c c +<.所以数列{}n c 的最大项是第10项10913c =18.解：（1）在BCD中，2,3,BD BC CD ===，由余弦定理可知2224971cos 22322BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，因为0B π<<，所以3sin 2B =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⨯⨯= ；（2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理sin2sin CD ADθθ=，即22sin cos sin θθθ=，得()cos ,0,4θθπ=∈ ，所以3sin 4θ=，2371sin22sin cos 2cos 188θθθθθ===-=-，所以2ADC ∠πθθ=--，所以()377139sin sin 2848416ADC ∠θθ=+=-⨯=，.由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD∠∠=，即92316324AC ⨯==.19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BC AD ∥.取PA 的中点F ，连接BF EF ､，因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且12EF AD =，因为BC AD ∥且12BC AD =，所以，EF BC ∥且EF BC =，所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ..（2）取AD 的中点O ，连接PO .因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1,,2BC AD BC AD O =∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =，所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥，因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，设(()0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ，则()()()0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，所以()1111020n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12z λ=-，得),,2n λ=-，设点B 到平面ACE距离为,AB nd d n⋅==.当0λ=时，0d =；当01λ<≤时，11λ≥，则2107d <==，当且仅当1λ=时等号成立.综上，点B 到平面ACE 距离的取值范围是210,7⎡⎢⎣⎦.20.解：（1）由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180()()()()222()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.054.621 3.841x >= 依据小概率值0.05α=的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为23282431004++=，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为1517163805++=，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()()()1221132393390,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为：ξ012P110920920()19927012.10202020E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）由已知零件为三等品的频率为4221118020+++=，设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()1402,20E X ∴=⨯=设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，340300,>∴ 应对剩下零件进行检验..21.解：（1）由题意知2ce a ==，四边形1122B F B F 为菱形，面积为，即2bc =，又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，由2AM MB = 得122y y =-，联立221,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224240t y tmy m +++-=，()()()22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---则212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，得()()2212121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB的距离d =又直线AB 与圆224:7O x y +=相切，所以=2271,4t m =-由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =，则243t =，满足Δ0>，所以,03M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt OMN中，42121MN ==.22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，则()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x'+---=--==，令()0h x '=，得1x =（舍负），.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()121212,f x g x f x g x x x -='-'=211212121ln 12x ax x a x a x x x -+--∴-==-，12122a x x ∴=+，代入21211221ln .x x x ax x a x -=-+--.得222221ln 20424a a x a x x ++++-=∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x --=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x x ϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。
2021年高三上学期联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题含答案
2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题（答案在最后）审题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i 2i 1i 2i 2i i 31i 2i 2i 2i 555z z -+-+--====---+，复数12z z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,点位于第四象限.故选：D ．2.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C ．4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故只需11001a a -=-≤+，即1a ≥，故选：A ．5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A.20种B.40种C.80种D.160种【解析】【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262C A 20240=⨯=种排法，另一侧的种植方法有22A 2=种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有40280⨯=种排法，故选:C.6.将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A .2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，当π02x <<时，πππ2π121212x ωω<+<+，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则由2cos y x =的图像可得π2ππ4π12ω<+≤，解得23471212ω<≤，因为*N ω∈，所以ω的最大值为3.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B.1C.D.1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8.已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意确定0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，构造函数()e (0)x g x x x =>，由其单调性即可求解.【详解】由()0f x =得222e 2e e ln xx x =-，即22e e (2ln )xx x =-，即222ee e ln xx x=，因为0x >，所以22e e e ln xx x x =，所以0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，令()e (0)x g x x x =>，则()e (1)0x g x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又222e e e ln ln g x xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2e ln 2ln x x x ==-，即002ln x x =-，即00ln 2x x +=，故选：B ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A.若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B.若()(),a b a b +⊥-则||||a b = C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故b c ⊥ ，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b= ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（）A.11//B C 平面QMNB.1AA =C.点Q 到平面DMN 的距离为D.三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π18【答案】AC 【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q 到平面DMN 的距离判断C ,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D .【详解】由题，11//,//MN BC BC B C ，所以11//,MN B C MN ⊂平面QMN ,11B C 不在平面QMN 内，故11//B C 平面QMN ，A 正确；由题可得，,QM QN DM DN ==，设12AA a =，易得22224,12QM a QD a =+=+，2244DM a =+，因为222DM QD QM =+，即22244124a a a +=+++，解得a =，故1AA =，B 错误；因为222DM QD QM =+，所以222DN QD QN =+，所以,,,DQ QN QN QM Q QN QM ⊥⋂=⊂平面QMN ,MN ⊂平面QMN ,得出DQ ⊥平面QMN ，112322QMNS MN ==⨯= ，所以13Q DMN D QMN QMN V V S DQ --==⋅=△133⨯⨯=又12DMNS MN == ，设点Q 到平面DMN 的距离为d，则13Q DMN DMN V S d -===△，得d =，C 正确；将三棱锥D QMN -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥D QMN -的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，sin 10QMN ∠=，故QMN 的外接圆半径152sin 3QN r QMN =⨯=∠，设外接球半径为R，则22251313218R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥D QMN -的外接球表面积2262π4π9S R ==，D 错误．故选：AC ．11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（）A.若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-B.直线PN 的倾斜角π4α≥C.若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+=D.||MF 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点20,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分000,0x x ≤>两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，结合焦半径公式计算最小值判断D.【详解】由题cos ,1FA FB 〈〉=- ，则向量,FA FB的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设:1AB y kx =+，与C 的方程联立得2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124x x k +=，124x x =-，故1221242,1k y y y y =+=+，由抛物线的定义得12||1,||1AF y BF y =+=+，故21224440AF BF y y k k +=++=+==，，·4FA FB =-，所以A 错误；设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)N -，当00x ≤时，直线PN 倾斜角大于等于π2，当00x >时，200011414PNx x k x x +==+≥=，所以直线PN 的倾斜角π4α≥，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令21()4f x x =，则1()2f x x '=，则()()11122211,22k f x x k f x x '=='==，又()222121212121144x x y y k x x x x x x --===+--，所以122k k k +=，所以1k =，又直线AB 过点(0,1)F ，故直线AB 的方程为10,C x y -+=正确；()111:2x MA y y x x -=-，又2114x y =，所以211:24x x MA y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)M k -，又(0,1)F ，所以||2MF =≥，当0k =时，等号成立，所以MF 的最小值为2，D 正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知1πsin ,cos()26ααα=+=______________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】利用辅助角公式得到π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin 2αα=，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππππ1cos sin sin 62634ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：14-13.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为______．【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则()13483524555210W =⨯+⨯+⨯=，故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．故答案为：13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．【答案】13【解析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数，令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率.【详解】设{},,,1,2,3a b c d ∈，则4位四进制数转换为十进制为3232444(13)(13)(13)a b c d a b c d⨯+⨯+⨯+=⨯++⨯++⨯++()()01223301223333222C C 3C 3C 3C C 3C 33a b c c d =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++()()1223312233322C 3C 3C 3C 3C 33a b c a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+++++，若这个数能被3整除，则+++a b c d 能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有24A 12=个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有24C 6=个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有4381=个，所以能被3整除的概率1264411813P ++++==．故答案为：13.【点睛】关键点点睛：本题关键在于将4进制转化为10进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM AB ⊥，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则111,2),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN的一个法向量为12)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,4B BC C B B C C B B C C ⋅==⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．（1）求BAD ∠；（2）P 为边BC 上一点，且PCD △ABP 的外接圆半径．【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD △和BCD △中，利用余弦定理，分别求得2BD 的表达式，两式作差求得1cos 2BAD ∠=-，即可求解；（2）由（1）求得BD =PCD ∠，结合题意，求得2PC =，进而求得2PD =，再在ABD △和BCD △中，求得cos cosABD DBC ∠=∠1cos 7ABP ∠=，得到sin 7ABP ∠=，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以cos cos BAD BCD ∠∠=-，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 54cos BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⋅∠=-∠，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD BCD BAD =+-⋅∠=+∠，两式作差得：816cos 0BAD +∠=，解得1cos 2BAD ∠=-，因为(0,π)BAD ∠∈，所以2π3BAD ∠=．【小问2详解】解：因为1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=由（1）知22π54cos73BD =-=，可得BD =π3PCD BCD ∠=∠=，则1sin 22PCD S PC CD PCD =⋅∠==△所以2PC =，在PCD △中，可得2222cos 4PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠=，所以2PD =，在ABD △中，可得222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⨯⨯在BCD △中，可得222cos 2BD BC CD DBC BD BC +-∠===⨯⨯可得ABD DBC ∠=∠,所以27cos 2cos 11ABP ABD ∠∠-==，则sin 7ABP ∠=，所以222122cos 7AP AB BP AB AP ABP =+-⋅∠=，解得7AP =，设ABP 的外接圆半径为R ，由正弦定理得772sin 2437AP R ABP ==∠，解得74R =，所以ABP的外接圆半径为4．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点(1,3P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-．（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．（ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值．【答案】（1）2213x y +=（2）（i ）3535y x =+；（ii【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,a b 即可得出椭圆方程；（2）（i ）设()()1122,,,M x y N x y 结合1()2OA OB OM =+ ，1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程:(l y k x =+联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入C 的方程得：221213a b +=①，设C 的焦距为2(0)c c >，则12(,0),(,0)F c F c -，故12233113PF PF k k c c ⋅=⨯=-+-，解得c =又222a b c =+③，由①②③解得21b =或23a =，所以C 的方程为2213x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由题，(0,),,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，O 为坐标原点，因为A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，所以BA NB AM == ,则1()2OA OB OM =+ ，即110,12m x k y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得112m x k y m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1()2OB OA ON =+ ，即222,1022m x k m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,m x k y m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2,,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点M ，N 的坐标代入C 的方程得22222241,3413m m k m m k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211,35k m ==，因为0,0k m >>，所以,35k m ==，所以直线l的方程为35y x =+．（ⅱ）由题直线l过点1(F，所以:(l y k x =+，与椭圆方程联立22(13y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222213630k x x k +++-=，212120k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y，则2212122263,1313k x x x x k k--+==++，所以21MN x =-=22113k k+=+，又(21212221313y y k x x k k k ⎛-+=++=+= ++⎝，所以MN 中点为222322,1313k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以MN的垂直平分线方程为22211313y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =得2213x k -=+，故22,013Q k ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以212113k QF k +==+，所以1MN QF =【点睛】关键点点睛：（2）（i ）解题的关键点是应用1()2OA OB OM =+ 1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程；19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．（1）求数列{}n a 的前5项和；（2）求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；（3）记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．【答案】（1）10（2）122n n a -=，31371080a ⨯=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和；（2）先根据定义得出122n n a -=，再求出3137a ⨯即可；（3）应用错位相减法计算得出2158162n n n n S -++=-即可证明.【小问1详解】由题，11a =；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以21a =；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以32a =；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以42a =；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以54a =．所以数列{}n a 的前5项和为1122410++++=．【小问2详解】若2为质数，则小于等于2n 的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于2n 的正整数中，2的倍数有12n -个，所以112222n n n n a --=-=．在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以()()31373137313713113711080a ⨯=⨯--+=--=．【小问3详解】由（2）知122n n a -=，所以212n n n n b -+=，所以222201211122332222n n n n S -++++=++++ ，故222223111223322222n n n n S ++++=++++ ，作差得：2012111232222222n n n n n n S -+⎛⎫=++++- ⎝⎭，所以201211123422222n n n n n n S --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ．令01211232222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，作差得：2311111111221212222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-，故221112584(4)16222n n n n n n n n n S ---++++=⨯--=-，因为*N n ∈，所以215802n n n -++>，所以16n S <得证．。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试卷[含答案]
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数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
2024届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题参考答案
2024届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题参考答案2024届高三T8第一次联考数学试题2024届高三T8第一次联考数学试题参考答案什么是t8联考秉承发展教育、服务教学宗旨，本着推动进步、共同提高的原则，华中师范大学测量与评价研究中心联合华中师范大学第一附属中学、东北育才学校、福建省福州第一中学、广东实验中学、湖南师范大学附属中学、南京师范大学附属中学、石家庄二中、西南大学附属中学等学校于组成T8联盟。
作为以共同进入第已批高考试点省(市)学校为主的高中名校教育教学联合体，T8联盟以专业的教育评价研究机构作为学术引领和支撑，基于联盟内高中名校多年教育教学实践，以高中学校高考命题研究为切入点，着力服务于高中学校的学业质量检测、学业水平提升、教学管理与教学研究水平的提高，并助推高中教师的专业发展。
八省(市)学业质量评价联考(T8联考)先后于12月、2021年12月、2022年3月及2022年12月成功举办，其具有高度原创性的试题，精准地把握了新高考的方向与特质，引起高中学校和教育研究领域专家的高度关注，赢得师生广泛好评。
T8联考虽然是八省参与，但并不是八省内所有高三生都参加，而是由新高考八省各派出省内重点高中学校进行PK，也是8所名校之间的PK。
高三联考会影响高考吗不影响。
虽然联考只是几所相当的学校，一起出试题，进行考试，并不是真正意义上的高考，所以相对来说，成绩并不会影响什么，只能说，对于高三的学子，多了一种考试的方式，所以并不是很重要。
其实很简单，一旦参与了联考的学生，就能够感受到浓烈的危机意识，毕竟高考在即，要提前适应高三整个学年的高度紧张的学习氛围，从而让学生感受到压力潜意识的去拼搏，为自己博得一个好的人生。
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2025届河南省信阳市第一高级中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届河南省信阳市第一高级中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.52．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月3．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．25．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16276．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．5B ．22C ．23D ．338．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间9．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 10．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．1411．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=12．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 3．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．226．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．28．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或99．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 12．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
浙江省Z20名校联盟2024届高三第一次联考数学试题及参考答案
20Z 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考数学试题卷一、单选题1.已知集合(){}2{2,1,0,1,2},|ln 56A B x y x x =--==--,则A B = A.{2,1,0,1,2}-- B.{2}- C.{0,1,2}D.{2,1,0}--2.已知复数1z i =-(i 为虚数单位),则574z=-A.1 C.3D.43.已知向量||5||4a b a b a ==，，，，与b 的夹角为120︒,若(2)()ka b a b -⊥+,则k =A.45-B.35-C.45D.354.已知等轴双曲线Γ经过点(3,2)A ,则Γ的标准方程为A.22155x y -= B.22155y x -= C.221y x -= D.221x y -=5.已知等差数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若17515a S a ==，,则数列{}n a 的公差d =A.1B.2C.-1D.-26.已知函数1()ln 1x x e f x e +=-,则[(3)]f f =A.ln 3B.3C.3eD.3ln 3e 7.已知1sin cos 05αααπ-=≤≤，,则sin 24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.50- B.50C.50-D.508.在三棱锥P ABO -中,PO ⊥平面ABO OB BA OH BP ⊥⊥，，于||4H AP C =，，为PA 中点,则三棱锥P HOC -的体积的最大值为A.263B.23C.63D.22二、多选题9.已知()*N nx n ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项,则n 的可能取值为A.4B.6C.8D.1010.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=,直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=,则下列说法正确的是A.直线l 恒过定点(3,1)B.直线l 被圆C 截得的弦最长时,13m =-C.直线l 被圆C 截得的弦最短时,34m =-D.直线l 被圆C截得的弦最短弦长为11.设数列{}{}n n a b ，都是等比数列,则A.若n n n c a b =,则数列{}n c 也是等比数列B.若nn na db =,则数列{}n d 也是等比数列C.若{}n a 的前n 项和为n S ,则232n n n n n S S S S S --，，也成等比数列D.在数列{}n a 中,每隔k 项取出一项,组成一个新数列,则这个新数列仍是等比数列12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足如下条件:①()()()f xy xf y yf x =+；②当1x >时,()0f x >：则下列结论中正确的是A.(1)0f =B.()()()f xy f x f y =C.()f x 在(1,)+∞上单调递增D.不等式33()22xf x x f x ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[2,)+∞三、填空题13.已知成对样本数据()()()1122,,,,,,(3)n n x y x y x y n ≥ 中12,,,n x x x 互不相等,且所有样本点()1,(1,2,,)i x y i n = 都在直线112y x =-+上,则这组成对样本数据的样本相关系数r =.14.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用80C ︒的开水泡制,再等茶水温度降至35C ︒时饮用,可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是0C T ︒,经过一定时间min t 后的温度C T ︒,则可由公式()01ha a T T T T e ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭求得,其中a T 表示室温,h 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有一杯80C ︒的绿茶放在室温为20C ︒的房间中,已知茶温降到50C ︒需要10min .那么在20C ︒室温下,用80C ︒的开水刚泡好的茶水大约需要放定时间min ,才能达到最佳饮用口感.15.杭州亚运会举办在即,主办方开始对志愿者进行分配.已知射箭场馆共需要6名志愿者,其中3名会说韩语，3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有种.(用数字作答)16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,过点F 作倾斜角为4π的直线交椭圆C 于,A B 两点,弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,若||1||4PF AB =,则椭圆C 的离心心e =.四、解答题17.(10分)已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的周期为π,且图像经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，,若2426ABC C af c b c S π∆⎛⎫++=== ⎪⎝⎭，，求a 的值.18.(12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11AA CC ，上,且1133AE EA CF FC ==，.(1)证明:1//BE D F ；(2)若1124AB AD AA ===，，,求平面DEF 与平面BDF 夹角的余弦值.19.(12分)在数列{}n a 中，()(){}*111N 2(1)1n n n n na a a n a n na +==∈++，，的前n 项为n S .(1)求证:1n na ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列,并求{}n a 的通项公式；（2）当2n ≥时,1116n n n a S a λ-+≥恒成立,求λ的取值范围.20.(12分)已知函数(ln )()a x a f x x+=.(1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间；（2）求证:当0a >时,22()a f x e -≤.21.(12分)2023年中央一号文件指出,民族要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有(30)N N >名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动,每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直播时这N 名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X (不重复计数).(1)若甲是这N 名顾客中的一人,且甲被抽中的概概为925,求N ；(2)求使(30)P X =取得得大值时的整数N .22.(12分)已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r +-=>相交于A B C D ，，，四个点.(1)当2r =时,求四边形ABCD 的面积；(2)四边形ABCD 的对角线交点是否可能为M ,若可能，求出此时r 的值；若不可能，请说明理由；(3)当四边形ABCD 的面积最大时,求圆M 的半径r 的值.Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考数学参考答案选择题填空题13．−1 14．20 15．140 16．21 部分小题详解：7．解析：将−=αα5sin cos 1平方得−=αα2512sin cos 1，所以=αα252sin cos 24，则∈απ2(0,)。
湖南省常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考数学试卷(解析版)
常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知等比数列中，，，则公比为（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.{}2{31}0123,4A x x B =->=∣,,,,A B = {}3,4{}2,3,4{}0,1{}0,1,22{31}A x x =->∣A x =<<A B = {}01，x ∈R 38x >2x >382x x >⇔>22x x >⇔><2x -38x >2x >{}n a 3101a a ⋅=62a =q 1214【详解】.故选：C.4. 已知，则（ ）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，431031032266611124a a a a q q q a a a ⋅=⋅=⋅===1cos 3π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 236αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10949-2365ππππππsin sin 2cos cos 2362362αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππcos cos 26αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππcos 2cos 166αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111021339⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A BCD -AB ⊥BCD AB =BC =5CD =BD =196π3244π3196π5244π5BCD △设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为，则，，．三棱锥外接球的表面积为．故选：B6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（ ）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.在BCD △M M MO 12MO BA =O BCD △BC =5CD =BD =2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯sin BCD ∠=BCD △r r ==2OM =∴22226123OB R =+==∴2612444π4ππ33R =⨯=216y x =F ()()22511x y -+-=P Q PF PQ +PF PN =PF PQ PN PQ +=+P Q N 、、Q min QN MN r =-【详解】由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.7. 将三个分别标注有 ，x ，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解.【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，216y x =()4,0F 4x =-P N P PF PN =PF PQ PN PQ +=+Q P Q N 、、QN Q ()()22511x y -+-=()5,1M 1r =min 8QN MN r =-=e x 1ln x()(),f x g x ()()()h x f x g x =()h x ()0,1x ∈16291323()()()e xh x f x g x x ==e ,==x y y x ()0,1()h x ()0,1()()()ln x h x f x g x x ==()0,1x ∈()2ln 10ln x h x x-'=<()h x ()0,1()()()e ln xh x f x g x x==()0,1x ∈()()221e ln e e ln 10ln ln x x x x x x x h x x x x-='-=<()h x ()0,1故在上单调递减的概率为,故选：D8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①所以，所以，②①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），()h x ()0,1x ∈23()f x ()g x R ()()2xf xg x +=()()0g f x a -≥a (),1-∞(],1-∞()1,+∞[)1,+∞()f x ()g x ()g x ()0f x a -≥()min f x ()f x ()g x R ()()f x f x -=()()g x g x -=-()()2x f x g x +=()()2x f x g x --+-=()()2x f x g x --=+22()2x x f x -+=22()2x x g x --=2x y =R 2xy -=R 22()2x xg x --=R (0)0g =()()0g f x a -≥()()()0g f x a g -≥()0f x a -≥()f x a ≥()min a f x ≤20x >20x ->222-+≥=x x 22-=x x 0x =所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知关于x 的方程 的两复数根为和则（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，不妨设，，，故A 正确；由韦达定理可得，故B 错误；，故C 正确；，，当时，，故，故D 错误．故选：AC ．10. 若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下()2212x xf x -+=≥0x =1a ≤a (],1-∞()²4044x tx t ++=-<<1z 2z 12z z =121z z =12||||z z =1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1z 2z 2160t ∆=-<x ∴=12t z =-+22t z =-12z z ∴=124z z =122z z ===124z z = ∴2222111212184422z z z t t z z z ⎛⎫-===-+= ⎪ ⎪⎝⎭0t ≠12R z z ∉1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭R ()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=⋅()12f =列判断正确的有（ ）A. 函数的图象关于原点对称B. 在定义域上单调递增C. 当时，D.【答案】BCD 【解析】【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可.【详解】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.()f x ()f x ()0,x ∈+∞()1f x >()()()()()()()()()()24620222024 (2024)135********f f f f f f f f f f +++++=()2xf x =()()()211f f x f x ==-()0f x ≠()20222x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0f x >()()2log g x f x =()()221log 1log 21g f ===()()()()()()()()()2222log log log log g x y f x y f x f y f x f y g x g y +=+==+=+()11g =()()()g x y g x g y +=+()()()()()0000020g g g g g =+=+=()00g =()()()()111g x g x g g x +=+=+()()g n n n =∈Z ()0m m ∈≠Z ()11g x g x g m m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1n g n g n m m ⎛⎫⎛⎫=⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 1m g m g m m ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111m g g g m m m mm ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0m n m ∈≠Z 1n ng n g m m m⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()g q q q =∈Q ()()2qf q q =∈Q r {}n q n q r →()f x ()()n f q f r →()22n q r n f q =→()2r f r =这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A 错误；由于在定义域上单调递增，且当时，，故B ，C 正确；对于D ，由可得，从而，D 正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例.11. 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（ ）A. 无论点在何位置，总有B. 直线与平面所成角的最大值为C. 三棱锥体积的范围为D. 当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，构造正方形的中心，然后利用线面垂直的判定定理和性质即可；对于B ，直接利用点的轨迹即可否定；对于C ，确定点到平面的距离的取值范围，再相应确定三棱锥体积的范围即可；对于D ，先说明此时点的位置，再利用等体积法求出内切球半径即可..()2xf x =()()11212f f -=≠-=-()2x f x =()2xf x =()0,x ∞∈+()0221xf x =>=()()11222x x f x f x ++==()()()()()()()()()()24620222024...213520212023f f f f f f f f f f ======()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=()f x r ()2rf r =()f x →R Q ()11P =()P x ()()2P x f x =ABCD ABC AC B D S B D S AC SD ⊥SD ACD π3S ACD -⎛ ⎝SAC ⊥ACD S ACD --ABCD O S S ABCD S ACD -S【详解】对于A ，设是正方形的中心，则.过在正方形上方作直线，使得平面，，再在平面内以为圆心，，则的轨迹为圆位于正方形上方的部分（不含点）.由于平面，在平面内，故.而，和在平面内交于点，所以平面.又因为在平面内，所以，A 正确；对于B ，由于平面，平面的两直线和相交，故直线与平面所成角即为，而当在圆的上半部分（不含点）运动时，的范围是，B 错误；对于C ，由于到平面的距离的取值范围是，即，而三棱锥的体积，故其取值范围是，C OABCD OA OB OC OD ====O ABCD OP OP ⊥ABCD OP =PBD O O S O ABCD ,BD OP ⊥ABCD AC ABCD OP AC ⊥AC BD ⊥OP BD PBD O AC ⊥PBD SD PBD AC SD ⊥OP ⊥ABCD PBD OP SD SD ACD SDB ∠S O ,B D SDB ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭S ABCD d 0d OP <≤0d <≤S ACD -118363S ACD ACD dV S d AD AC d -=⋅=⋅⋅= ⎛ ⎝正确；对于D ，若平面平面，由于平面，在平面内，故.而平面平面，在平面内，，平面和平面的交线是，故平面.而平面，故位于同一直线上，而均在正方形上方，故点和点重合.设三棱锥的内切球半径为.由于，故而，，且由C 选项的计算可知.，得D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造点的轨迹，然后方可利用圆的性质求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 曲线在处的切线方程是__________________________【答案】【解析】【分析】求导可得切点处斜率，即可由点斜式求解直线方程.【详解】由可得，故处的切线斜率为，又切点为，故切线方程为，故答案为：SAC ⊥ACD AC ⊥PBD SO PBD SO AC ⊥SAC ⊥ACD SO SAC SO AC ⊥SAC ACD AC SO ⊥ACD OP ⊥ABCD ,,O P S OP OS ==,P S ABCD S P P ACD -r 4AP PD AB BC PC =====24APD CPD S S === 11822PAC S OP AC =⋅=⋅= 1144822ACD S AD CD =⋅=⋅⋅= P ACD V -=()(111633P ACD PAC ACD APD CPD V r S S S S r -==+++=+ r ==-S ln y x x =+1x =21y x =-ln y x x =+11y x'=+1x =12x y ='=()1,121y x =-21y x =-13. 已知双曲线 的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________【解析】【分析】设，根据已知条件及双曲线的定义可得到，，然后解该齐次方程组即可得到离心率.【详解】设，则，，从而，.再由可知，.故，，整理得方程组.由有，代入第一个方程可得，所以.14. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】()2222:10,0x y C a b a b -=>>12,F F 2F ,A B 223AF F B = 1AB BF ⊥2F B t = ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2F B t = 23AF t = 4AB t = 132AF t a =+ 12F B t a =+1AB BF ⊥ 2221212F B F B F F += 22211F B AB AF += ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2222222t at a cat t ⎧++=⎨=⎩2at t =t a =2252a c =e ===ABCD 2DE CD ＝AP AB AE λμ=+λμ+[]0,4【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则，所以，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角的对边分别是，且.（1）判断的形状；（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】（1）等腰三角形 （2）,,,P AB P BC P CD P DA ∈∈∈∈λμ+()()1,0,2,1B E -()2,AP AB AE λμλμμ=+=-P AB ∈021λμμ≤-≤⎧⎨=⎩01,0λμ≤≤=λμ+[]0,1P BC ∈2101λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()123134λμλμμμ≤+=-+=+≤λμ+[]1,4P CD ∈0211λμμ≤-≤⎧⎨=⎩()()323234λμλμμλμ≤+=-+=-+≤λμ+[]3,4P DA ∈2001λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()02333λμλμμμ≤+=-+=≤λμ+[]0,3λμ+[]0,4[]0,4ABC ,,A B C ,,a b c 2cos ab C=ABC ABC ABC【解析】【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证明，最后说明等号可以取到，即得结果.【小问1详解】由正弦定理并结合已知有.故，从而.由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.【小问2详解】设的外接圆半径为.一方面，我们有故；另一方面，当的等边三角形时，有，.B C =sin sin sin A B C ++≤a b c ++≤()sin 2cos sin sin cos sin cos sin sin 2sin cos a B b C BB C C B B C A B C b b+=+====sin cos sin cos B C C B =()sin sin cos sin cos 0B C B C C B -=-=(),0,πB C ∈()π,πB C -∈-()sin 0B C -=B C =ABC ABC R ()sin sin sin sin sin sin A B C B C B C++=+++sin cos sin cos sin sin B C C B B C=+++sin sin B C=++sin sin B C≤++sin sin B C=++22sin sin B B C C =+-++22sin sin B C =-+≤()2sin sin sin 2a b c R A B C R ++=++≤==ABC a b c ===π3A B C ===此时，.所以周长的最大值是.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的. 若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果. 但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.16. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面?【答案】（1）证明见解析； （2）存在.【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可.【小问1详解】21cos 2a b C ===2sin a R A ===a b c ++=ABC a b c ++≤B C =sin sin sin A B C ++()2sin cos sin B B B +2sin sin sin B B B +≤+=111ABC A B C -1AB AC AA ==,M N BC 1BB P 11A C 11AN A C ⊥ANP ⊥1A MP 111A P A C λ= λ11AA B B PMN 14λ=AN⊥1A MP λλ由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即.由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故.设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故.这就得到，从而，即.111ABC A B C -1AA ⊥ABC AC ABC 1AA AC ⊥11//AC A C 11AN A C ⊥AN AC ⊥AN AC ⊥1AA AC ⊥AN 1AA 11AA B B A AC ⊥11AA B B AB 11AA B B AB AC ⊥AB R ,M R BC BA //MR AC 11//AC A C 11//MR A C 1//MR A P ,M R BC BA 1111122MR AC A C A P ===1MRPA 1//A R MP 1A R AN T 11111222BN BB AA AB AR ====1AB A A =190ABN A AR ∠=︒=∠ABN 1A AR 19090TRA A RA ANB BAN RAT ∠=∠=∠=︒-∠=︒-∠90TRA RAT ∠+∠=︒90RTA ∠=︒1AN A R ⊥而，故.由于，即，而，和在平面内交于点，故平面.由于平面，在平面内，故平面平面.【小问2详解】有，又因为平面，和在平面内，故，.由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到，，，，，，，.据题设有，显然，此时.从而有，，，.设和分别是平面和平面的法向量，则，.即，，从而可取，.此时平面与平面所成角的余弦值为，，解得，所以存在，使得平面与平面.17. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP ”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.的1A RMP AN MP ^11AN A C ⊥1AN A P ⊥AN MP ^1A P MP 1AMP P AN ⊥1A MP AN⊥1A MP AN ANP ANP ⊥1A MP AB AC ⊥1AA ⊥ABC AB AC 11AA B B 1AA AB ⊥1AA AC ⊥1,,AB AC AA A 1,,AB AC AA,,x y z 12AB AC AA ===()0,0,0A ()0,2,0B ()2,0,0C ()10,0,2A ()10,2,2B ()12,0,2C ()1,1,0M ()0,2,1N 111A P A C λ=01λ≤≤()2,0,2P λ()0,2,0AB = ()10,0,2AA = ()2,2,1NP λ=- ()1,1,1MN =-()1,,n p q r = ()2,,n u v w = 11AA B B PMN 1110n AB n AA ⋅=⋅=220n NP n MN ⋅=⋅= 220q r ==220u v w u v w λ-+=-++=()11,0,0n = ()23,21,22n λλ=+-11AA B B PMN 121212cos ,n n n n n n ⋅====22784142λλ-+=14λ=14λ=11AA B B PMN（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.（2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n 的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布 ，则，，.【答案】（1）（2）① ②【解析】【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解；（2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值.【小问1详解】由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.【小问2详解】①直接计算可得.所以故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为.②由于，故.当时，有，得.所以的最小值是.18. 已知椭圆 的短轴长为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上.X ()2,N μσ10σ=μ[]50,70ξX ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈21408414750X ≥ξ0.6827n n 1237310C C 32121C 12040p ⋅⨯===354390835045827562356010μ+++++++++==()()()11500.8413522P X P X P X μσμσμσ≥=≥-=+-≤≤+≈10000.84135841⨯≈()()50700.6827P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+≈()0.6827E n ξ=()32E ξ≥0.682732n ≥46.8727n ≥n 47()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F R的一点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，，然后解出即可得到方程；（2）先确定，然后由已知可得的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线的斜率.【小问1详解】由已知有，即，.所以，从而.故椭圆的方程为.【小问2详解】我们有，故直线的方程为.将代入可得，解出，故，.由于，故的斜率互为相反数.12RF F △6C 2F x l ,E F E ,P Q C l QEF PEF ∠=∠PQ 22143x y +=3a c +=b =a 31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,PE QE PQ 12PQ k =2b =1212226c a F F RF RF +=++=3a c +=b =222313a cb ac a c a c --====++3122222a c a c a +-=+=+=C 22143x y +=1c ===l 1x =1x =22143x y +=21143y +=32y =±31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭QEF PEF ∠=∠,PE QE设的斜率分别是，则由可知它们的方程分别是和.将直线与椭圆方程联立可知，即.由知此方程必有一根，故另一根是.这得到，同理有.所以直线的斜率.19. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若函数有三个不同零点，求的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，无单调递增区间， （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证；（3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解．的,PE QE ,k k -31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭32y kx k =+-32y kx k =-++32y kx k =+-22334122x kx k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭()()()2223443232120k xk kx k ++-+--=31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =()2222321241233443k k k x k k ----==++()2222412312129,43243k k k k P k k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭()2222412312129,43243k k kk Q k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭PQ ()()222222222212129121291224324314324412341232434343PQk k k k k k k k kk k k k k k k k -++--+-+++===+----+++()12ln f x x x x=-+()f x ()2*3222211111111e N 2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()221ln 20g x m x x m x=--+>m ()f x (0,)+∞(1,)+∞()f x ()f x (1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2111ln(11122n n n +<--+()g x ()(ln ln g x m x m x =ln y m x =+1x =t =()g x ()h t 01m <≤1m >【小问1详解】函数定义域为，因为，所以在上单调递减，故的单调递减区间为，无单调递增区间，【小问2详解】证明：由（1）时，，所以，令，则，，故所以；【小问3详解】，因为与同号，所以，令，，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，函数定义域为，因为，()f x (0,)+∞()2222212121()10x x x f x x x x x---+-'=--=≤=()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1)ln(1)ln(1)234n++++++++ 111111()()()1111112233222222n n <-+-++--+-+-+2121332n =-<+()*222211112ln 1111N 22343n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2322221111(1)(1)(1(1)e 234n++++< 222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=+ln x 1x -ln y m x =+1x =t =1ln 2ln y m x m t t t =--+()10f =()g x 1()2ln (0)h x m x x m x =-+>()h x (0,)+∞2222121()1m x mx h x x x x -+-'=--=设，则，①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意，②当时，，有两个零点，，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．故在，,上单调递减，在,上单调递增；因为，且，所以，所以，由（2）知，时，，所以，即，所以，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，因为，因为，所以，所以时，存在三个不同的零点，1，，故实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0∆≤()0h x '≤()h x (0,)+∞1m >0∆>()k x 1x m =-2x m =10x x <<()0k x <()0h x '<12x x x <<()0k x >()0h x '>2x x >()0k x <()0h x '<()h x 1(0,)x 2(x )∞+1(x 2)x ()10h =121=x x 121x x <<()1()1h x h <=02()h x <1x >1ln 22x x x <-<-ln x <2222222211114(4)2ln(4)42(2404244m h m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<()h t 22(,4)t m 0t 000000001111()(2ln 2ln 0h t h m t t m t t t t t +=-++-+=0()0h t =01(0h t =1m >()h t 01t 0t m (1,)+∞。
江西省红色七校2022届高三第一次联考数学(文)试题 Word版含答案
2022届红色七校第一次联考数学（文科）试卷（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学） 命题人：任弼时中学 邓青兰 南城一中 刘 杨一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1．设集合(){}{}{}23,log 2,,1A a B a a b A B =-=+⋂=，若，则b 的值为 ( ) A.3-B. 3C.1D.1-2．设复数Z 满足Z （1-2i ）=2+i （其中i 为虚数单位）则z 的模为（ ） A.1 B.2 C.5 D.33.王昌龄《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”。
其中最终一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分条件D.必要条件 4.已知tan()24x，则Sin2x=( )A.35B. 105C. 35D.1 5. 已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）A.B.C. D.7.设0,3x执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a ，则“a ≤5”的概率为（ ）A. 23B. 56 C. 27 D. 578.某四周体的三视图如图所示，则该四周体的六条棱中最长棱的棱长是（ ） A. 25 B. 27 C. 26 D. 429.若实数a 、b 、0c >，且()()625a c a b +⋅+=-， 则2a b c ++的最小值为（ ）A.51-B.51+C.252+D.252-10.已知圆C ：22222210x y ax by a b （a<0）的圆心在直线330xy 上，且圆C 上的点到直线30xy的距离的最大值为13，则22a b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.411.设实数x ，y 满足3010210xy y x x 则y xux y的取值范围为（ ） A. 33[,]22 B. 2[,2]3 C. 23[,]32 D. 1[,2]212.已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则MA MB 的取值范围是（ ） A.[-1，0] B.[-1，2] C. [-1，3] D.[-1，4] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13.函数()sin()f x A x （A>0，>02）的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递增区间为14.某书法社团有男生30名，妇生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生。
陕西省商洛市山阳中学等校2023届高三上学期第一次联考文科数学试题
例如当
x
=
1 5
，
y
=
1 10
时，
lg
(
x
-
y)
=
lg
æ çè
1 5
-
1 10
ö ÷ø
=
lg 1 10
=
-1
<
0
，故选项
D
不正确.
故选：C. 5．B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解 sina
=（
）
A． -2
B．0
C． 4 5
D．
-
14 3
10．已知
a
，
b
，
c
都是正实数，且
a
+
b
+
c
=
2
，则当
2 2
+ -
b c
+
b b
+ +
a c
取得最小值时，
ab
的最大值为（ ）
A．
1 2
B．1
C．2
D．3
11．已知函数 f ( x) = 1+ lnx ， g ( x) = ex ，若 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，则 x1 - x2 的最小值为
{ } 15．设集合 A = 0,1, a2 ，若 a -1Î A ，则实数 a = ______．
16．已知a ， b 满足(1+ tana )(1- tanb ) = 2 ，则 b -a = ______．
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江西省九江市十校2017届高三数学第一次联考试题 文第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|(1)(2)},{|9}00A x x x B x x Z =+->=∈-≤，则A B = （ ）A.{,}01B.(,)01C.[,)(,]3123--D.{,,}323--2.“2x <”是“lg()10x -<”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.4cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒= （ ）A.0B.12C.34D.324.若函数1,1()(ln ),1x e x f x f x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()f e =（ ）A.0B.1C.2D.1e +5.已知||2a =，2a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为 （ ）A.4-B.2-C.2D.46.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，满足1()10a q -<且0q >，则 （ ）A.{}n a 的各项均为正数B.{}n a 的各项均为负数C.{}n a 为递增数列D.{}n a 为递减数列7.已知各项不为0的等差数列n a 满足2478230a a a ,数列n b 是等比数列,且77b a ，则3711b b b 等于 （ ）A.1B. 2C.4D. 88.已知0,10a b >-<<，那么下列不等式成立的是 （ ）A.2a ab ab <<B.2ab a ab <<C.2ab ab a <<D. 2ab a ab <<9.将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的一个单调递增区间是 （ ）A.[],44ππ-B. 3[],44ππC.[],36ππ-D. 2[],63ππ10.设11323233log ,log ,,3222a b c d ====，则这四个数的大小关系是（ ）A.a b c d <<<B.a c d b <<<C.b a c d <<<D.b a d c <<<11.函数2||ln y x x =-在[,]22-的图像大致为 （ ）A.B.C.D.12.已知函数323()12f x ax x =-+存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是 （ ）A.2(,)2-∞-B.(,)2-∞-C.1(,)2+∞ D. 2(,)2+∞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上. 13.若向量(,)11a =与(,)2b λ=-的夹角为钝角，则λ的取值范围是 . 14.函数2()||f x x x =-的定义域为 .15.已知直线(1)10k x ky ++-=与两坐标轴围成的三角形面积为k S ，则128S S S +++= .16.已知,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且30A =︒，1a =，D 为BC 的中点，则AD 的最大值为 .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知(2,1)(0,1)(1,2)a b c =-==-,,．（1）若a mb nc =+，求实数m n 、的值； （2）若()()//a d b c ++，求||d 的最小值．x y O 1-1xy O 1-1x y O 1- 1x yO 1- 118.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,,n n a S 是等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．19.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，,,a b c 为角,,A B C 所对的边，4C π=，且222sin A 1sin B -=．（1）求tan B 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．20.（本小题满分12分）某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫 “团队之星”。
每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g ，皮革300g ；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g ，皮革400g 。
且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元。
现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg ，皮革12kg ． （1）求该作坊可获得的最大利润；（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润。
若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．21．（本小题满分12分）已知()ln (1)f x x ax ax =-+，a R ∈． （1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若函数()f x 在(,1]0内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分） 函数()|1||2|f x x x a =-+-． （1）当1a =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式2()3f x a ≥对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本小题满分10分）已知0,0a b >>，且242a b a b +=+（1）证明24a b +≥； （2）若(1)(1)0a b -->，求2231log log a b+的最小值．九江市2017届高三年级“十校”第一次联考试卷答案文科数学命题：九江县一中 王锋 审题：瑞昌一中 周珍第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|(1)(2)},{|9}00A x x x B x x Z =+->=∈-≤，则A B = A.{,}01 B.(,)01C.[,)(,]3123--D.{,,}323--【答案】D【解析】依题意{|12}A x x x =<->或，{3,2,1,0,1,2,3}B =---，则A B ={,,}323--，故选D.2.“2x <”是“lg()10x -<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由lg(1)0x -<，得011x <-<，即12x <<，“2x <”是“12x <<”的必要不充分条件，故选B.3.4cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒= A.0 B.12C.34D.32【答案】C【解析】4cos15cos75sin15sin753cos15cos75cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒=︒︒+︒︒-︒︒3cos15cos75cos90=︒︒+︒32cos15sin152=⨯︒︒3sin302=⨯︒34=，故选C.4.若函数1,1()(ln ),1x e x f x f x x ⎧+<=⎨≥⎩ ，则()f e =A.0B.1C.2D.1e +【答案】C 【解析】01,()(ln )(1)(ln1)(0)12e f e f e f f f e >∴=====+=，故选C.5.已知||2a =，2a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为 A.4- B.2- C.2 D.4【答案】D【解析】由2a b a -⊥知(2)0a b a -⋅=即220a a b -⋅=，又||2a =，所以2||||||2a a b -=||82cos ,0a b b -<>=，得||cos ,4a b b <>=，即b 在a 方向上的投影为4，故选D.6.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，满足1()10a q -<且0q >，则 A.{}n a 的各项均为正数 B.{}n a 的各项均为负数C.{}n a 为递增数列D.{}n a 为递减数列【答案】D【解析】由等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=⋅，知111111(1)n n n n n a a a q a q a q q --+-=⋅-⋅=⋅-，由1()10a q -<且0q >知，11(1)0n a q q -⋅-<，即10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，故选D.7.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a ,数列{}n b 是等比数列,且77b a ，则3711b b b 等于 A.1 B. 2C.4D. 8【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，484886873()2224a a a a a a a a ，则277420a a ，且70a ≠，所以72a ，又772b a ，故等比数列{}n b 中，3371178b b b b ，故选D.8.已知0,10a b >-<<，那么下列不等式成立的是 A.2a ab ab << B.2ab a ab <<C.2ab ab a <<D. 2ab a ab <<【答案】C【解析】由0,0a b ><知，20,0ab ab <>，又由10b -<<知201b <<，所以2ab a <，故选C.9.将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的一个单调递增区间是 A.[],44ππ-B. 3[],44ππC.[],36ππ-D. 2[],63ππ【答案】C 【解析】()()sin[2()]sin(2)6666g x f x x x ππππ=+=+-=+，由222,262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z∈得,36k x k ππππ-+≤≤+知()g x 在[,],36k k k Z ππππ-++∈上是增函数，故选C.10.设11323233log ,log ,,3222a b c d ====，则这四个数的大小关系是A.a b c d <<<B.a c d b <<<C.b a c d <<<D.b a d c <<<【答案】A【解析】233log 02a =<，由3log 2b =知01b <<，1312c =>，1231d =>，又由1636()42c ==，1662(3)9d ==知d c >，所以a b c d <<<故选A.11.函数2||ln y x x =-在[,]22-的图像大致为A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数2ln ||y x x =-知0x ≠，排除B C 、。