福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文 规避导数学习中的错误

福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文 规避导数学习中的错误
导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带。

导数的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。

而在导数学习的过程中，学生却经常犯以下几点错误： 一、导数为零的点是极值点
例1．函数()2
23a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，求a ,b 的值．
错解()b ax x x f --='232
由题意得()01='f ，且()101=f ，即
⎩⎨⎧=+--=--1010
232a b a b a ，解得⎩⎨⎧-==33b a 或⎩
⎨⎧=-=114
b a ． 分析：
()0
0='x f 是可导函数()x f y =在0x x =处有极值的必要不充分条件．只有加上在0
x
附近导数的符号相反，才能判定在
x x =处取得极值。

因此上述解法在解出a ,b 的值后，还应
检验()93323++-=x x x x f 和
()161142
3+-+=x x x x f 分别在1=x 附近导数符号的变化情况．经检验只有4-=a ,11=b 符合条件． 二、极值点只在导数为零时 例2．求函数
()6
2--=x x x f 的极值．
错解：由于
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=32,632,62
2
x x x x x x x x f 或，于是()⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=<<-+->-<-='32,3
2,123
2,12x x x x x x x x f 或不存在或
令()0='x f ，得.21=x 当212<<-x 时，()0>'x f ；当3
21<<x 时，()0<'x f ．所以当21=x 时，函数有极大值425．
分析：在确定极值时，只讨论满足()0='x f 的点0x 附近导数的符号变化情况是不全面的，
在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论2-=x 和3=x 处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在2-=x 和3=x 处函数取
到极小值0．
三、单调性判断中易忽视特殊情况
例3．已知函数
()12
3--+-=x ax x x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围． 错解：
()1232
-+-='ax x x f 因为()x f 在R 上是减函数，所以()0<'x f 在R 上恒成立，即△
01242
<-=a 解得33<<-a ，所以a 的取值范围为33<<-a ． 分析：()0<'x f 恒成立的充要条件并不是()x f 在R 上是减函数．事实上，
当3=a 时，()()
2
13--='x x f ，则：
当⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∞-∈33,x 时，()0<'x f ； 当
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,33x 时，()0<'x f ． 而函数()x f 在
33
=
x 处连续，因此()x f 在R 上是减函数．同理可知当3-=a 时，()
x f 在R 上是减函数，所以a 的取值范围为33≤≤-a ．
四、误用求导法则 例4．
x y ln =的导数是_______．
错解：x
y 1=
'．
分析：应分情况求导．
（i ）当0>x 时，
x y 1=
'；（ii ）当0<x 时，
()[]x x y 1
ln =
'-='．故x y 1=' 例5．求
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=32sin 2πx y 的导数． 错解：设u y 2
sin =，
32π
-=x u ，则()
⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅=''='32sin 4sin 2sin 2
πx u u u u y 正解：设
2
u
y =，
v
u sin =，
3
2π
-
=x v ，
则
()
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=='
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-''
='32cos 32sin 4cos 432sin 2
πππx x v u x v u y x
v u
五、求曲线的切线方程时审题不细
例6．求曲线
()x x x x f 232
3+-=过原点的切线方程． 错解：
()2632
+-='x x x f ，设切线的斜率为k ，则()20='=f k ，所以所求曲线切线方程为x y 2=．
分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切
线，此点并不一定是切点．
正解：
()2632
+-='x x x f ，设切线的斜率为k ． （i ）当切点是原点时，()20='=f k ，所以所求曲线的切线方程为x y 2=．
（ii ）当切点不是原点时，设切点是()00,y x ，则有02
030023x x x y +-=，
2302
00
0+-==
x x x y k
①，又()26302
00+-='=x x x f k ②，由①、②得230=x ，4100-==x y k ，
故所求曲线的切线方程为
x
y 41-=． 例7．考察3
2x y =在点()0,0处的切线．
错解：()
3
31
3
2
32
32x x x y =='
=
'-，显然在0=x 处的导数不存在，所以曲线在该点处没
有切线．
分析：0=x 处的导数不存在，这说明曲线在点()0,0处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为2π
，。