直线与方程复习练案
高中直线与方程练习题及讲解
高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。
解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。
斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。
2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。
3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。
选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。
4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。
题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。
解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。
2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。
4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。
题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。
人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习
直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。
直线与方程复习优秀教案
直线与方程复习优秀教案教案标题：直线与方程复习教学目标：1.理解直线的定义，能够识别直线的特征和性质。
2.掌握直线的各种表示方法，包括点斜式、一般式和截距式。
3.能够根据给定条件写出直线的方程，并且能够在直线和坐标系中相互转换。
4.能够应用直线的性质和方程解决实际问题。
5.培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1.直线的特征和性质。
2.直线的表示方法与转换。
3.直线的方程的写法和应用。
教学难点：1.直线方程的应用。
教学准备：1.教材课件、笔记本电脑以及投影仪。
2.小白板、粉笔、草稿纸和橡皮擦。
3.直线和坐标系的图形素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引发学生对直线的思考：请学生回答，直线有什么特征和性质？为什么我们要学习直线的方程？2.引入本节课的主要内容：通过讨论学生提出的问题，引导学生了解直线方程的重要性。
二、直线的特征和性质（10分钟）1.讲解直线的定义：直线是由无数个点连在一起形成的。
指出直线的两边无限延伸、不弯曲以及无端点等特征。
2.引导学生找出直线的性质，包括直线的斜率、方向、长度等。
三、直线的表示方法与转换（20分钟）1.介绍直线的表示方法：点斜式、一般式和截距式。
以示意图解释每种表示方法的意义和用法。
2.通过例题的演示，讲解点斜式、一般式和截距式的转换方法。
3.练习：给学生一些小练习，巩固直线表示方法和转换的理解。
四、直线的方程的写法和应用（25分钟）1.讲解直线方程的写法：写出通过给定点的直线方程、写出经过给定两点的直线方程、写出垂直于给定直线的直线方程和写出平行于给定直线的直线方程。
2.引导学生通过例题，练习直线方程的写法。
3.应用：通过实际问题，引导学生运用直线方程解决实际问题。
五、错误分析和答疑（10分钟）1.分析学生在学习过程中产生的常见错误，解释正确的做法。
2.解答学生提出的问题，澄清学生对直线和方程的疑惑。
六、课堂练习（15分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
直线与方程复习学案OK
直线与方程复习学案第一部分【知识归类】1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，他们的关系是 （)900≠α. （2）直线倾斜角的范围是 . （3）直线过))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k . 2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ；⇔⊥21l l .（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式4.几个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的 距离公式是：=d . 【题型归类】题型一：直线的倾斜与斜率问题例1 已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率为k 的变化范围.题型二：直线的平行与垂直问题例2 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线l '的方程, l '满足 （1）过点)3,1(-，且与l 平行； （2）过)3,1(-，且与l 垂直.题型三：直线的交点、距离问题例 3 已知直线l 经过点A )4,2(,且被平行直线01:01:21=--=+-y x l y x l 与所截得的线段的中点M 在直线03=-+y x 上，求直线l 的方程.题型四：直线方程的应用例4 已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.【思想方法】1.数学思想：本章用到的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想. 2.数学方法:本章涉及到许多数学方法，例如：求直线方程时用到待定系数法，求最值问题时用到配方法、换元法等.【自我检测】1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）. （A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 090 2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4,0(kN 直线的位置关系是（ ）.（A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合3. 过点)3,1(-且垂直与直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x 4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）. （A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.6.抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（ ）.（A ）34 (B) 57(C) 58(D) 3 7.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为 .8.（08浙江）已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a = .9.（09湖北）过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）. （A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 10.如图所示，在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为012=+-y x ，BAC ∠的平分线所在直线的方程为0=y ，若点B 的坐标为)2,1(，求点A 和点C 的坐标.11.（09新疆）已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.*12.已知实数x 、y 满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值.A12第二部分1．求经过直线04=-+y x 和0=-y x 的交点，且与原点距离为5102的直线方程.2．一条光线经过点)3,2(-P 射到x 轴上，反射后经过点)1,1(Q ，求入射光线和反射光线所在的直线的方程.3．△ABC 的两顶点)7,3(A ，)5,2(-B ，若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上. （1）求点C 的坐标；（2）求AC 边上的中线BD 的长及直线BD 的斜率.4．若直线01=++y ax 和直线024=++b y x 关于点)1,2(-对称，求b a ,的值.5．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标.6．直线1y x =+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值。
直线与方程总复习及练习.doc
直线与方程总复习及练习知识点：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
001800<≤α2. 斜率：αtan =k1212x x y y k --= 斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在3.两直线平行与垂直的判定：①两直线平行的判定：（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2 且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。
（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠②两直线垂直的判定：（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。
（2）1 ⊥2 ⇔12120A A B B +=4.直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
直线与方程第三章总复习习题课导学案
第三章直线与方程习题课 编写人： 审核人：使用时间： 课 型：复习课【例1】 已知M(2m ＋3，m )，N(m －2,1)，当m ∈___________ 时， 直线MN 的倾斜角为锐角；当m ＝___________时，直线MN 的倾斜角为直角； 当m ∈___________时，直线MN 的倾斜角为钝角.【变式训练1】直线2xcos α－y －3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2] D.[π4，2π3]【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_________【变式训练2】设α是直线l 的倾斜角，且有sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率为( )A.34B.43C.－43D.－34或－43【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.(3).经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离【变式训练3】已知直线l 经过点P(1，2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程.【例4】设直线l 1 的方程式是x+y=2，直线l 2的方程是ax+y=1. （1）当_______时，l 1与 l 2相交；（2）当_______时，l 1与 l 2平行；（3）当_______时，l 1与 l 2垂直；（2）当l 1与 l 2平行时，他们之间的距离是___________； 【变式训练4】求经过直线l 1：3x+4y-5=0与 l 2:2x-3y+8=0的交点M ，且满足下列条件的方程（1）经过原点；____________________ （2）与直线2x+y+5=0平行；____________________ （3）与直线2x+y+5=0垂直；____________________【例5】光线自点A （-3，3）射出，经x 轴反射以后经过点B （2,5），求光线自点A 到B 所经过的路程。
习题课 直线与方程 学案(含答案)
习题课直线与方程学案（含答案）习题课直线与方程学习目标1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.知识点一对称问题1.点关于直线对称设点Px0，y0，lAxByC0A，B不全为0，若点P关于l的对称点为点Qx，y，则l是线段PQ的垂直平分线，故PQl且PQ的中点在l上，解方程组即可得点Q的坐标.常用的结论1Aa，b关于x轴的对称点为Aa，b.2Ba，b关于y轴的对称点为Ba，b.3Ca，b关于原点的对称点为Ca，b.4Da，b关于直线yx的对称点为Db，a.5Ea，b关于直线yx的对称点为Eb，a.6Pa，b关于直线xm的对称点为P2ma，b.7Qa，b关于直线yn的对称点为Qa,2nb.2.直线关于点对称已知直线l的方程为AxByC0A2B20和点Px0，y0，求l关于点P的对称直线l的方程.设Px，y是对称直线l上的任意一点，它关于点Px0，y0的对称点2x0x，2y0y在直线l上，则A2x0xB2y0yC0即为所求的对称直线l的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上.常用的结论设直线lAxByC0A，B不全为0，则1l 关于x轴对称的直线是AxByC0.2l关于y轴对称的直线是AxByC0.3l关于原点对称的直线是AxByC0.4l关于直线yx对称的直线是AyBxC0.5l关于直线yx对称的直线是AyBxC0.知识点二最值问题1.利用对称转化为两点之间的距离问题.2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.一.对称问题命题角度1关于点对称问题例11求点Px0，y0关于点Aa，b的对称点P的坐标；2求直线3xy40关于点2，1的对称直线l的方程.解1根据题意可知点Aa，b为PP的中点，设点P的坐标为x，y，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为2ax0，2by0.2方法一设直线l上任意一点M的坐标为x，y，则此点关于点2，1的对称点为M14x，2y，且M1在直线3xy40上，所以34x2y40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A0，4，B1，1，则点A0，4关于点2，1的对称点为A14,2，点B1，1关于点2，1的对称点为B13，1.可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思感悟1点关于点的对称问题若两点Ax1，y1，Bx2，y2关于点Px0，y0对称，则点P是线段AB的中点，并且2直线关于点的对称问题若两条直线l1，l2关于点P对称，则l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上.若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等.过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.跟踪训练1已知点Ax,5关于点1，y的对称点为2，3，则点Px，y到原点的距离是________.答案解析由中点坐标公式，得1且y，解得x4，y1，所以点P的坐标为4,1，则点Px，y到原点的距离d.命题角度2关于直线对称问题例2点P3,4关于直线xy20的对称点Q的坐标是__________.答案2,5解析设对称点坐标为a，b，由题意，得解得即Q2,5.反思感悟1点关于直线的对称问题求点Px0，y0关于AxByC0A，B不全为0的对称点Px，y时，利用可以求出点P的坐标.2直线关于直线的对称问题若两条直线l1，l2关于直线l对称，则l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上.过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点.跟踪训练2求直线x2y10关于直线xy10对称的直线l的方程.解由得两直线的交点为A1,0.在直线x2y10上取点B，设点B关于直线xy10的对称点为Cx0，y0，则有解得即点C的坐标为.由所求直线经过A，C两点，得，即2xy20，所求直线l的方程为2xy20.二.最值问题例3在直线yx2上求一点P，使得点P到直线l13x4y80和直线l23xy10的距离的平方和最小.解设直线yx2上一点Px0，x02到直线l1和l2的距离分别为d1和d2.d1，d2，设Sdd，S，当x0时，S有最小值，这时，x02.所求点P的坐标为.反思感悟解决此类问题通常有两种途径一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题.跟踪训练3已知实数x，y满足6x8y10，则的最小值为________.答案解析，上式可看成是直线6x8y10上一个动点Mx，y到定点N0,1的距离，即为点N到直线l6x8y10上任意一点Mx，y的距离，MN的最小值应为点N到直线l 的距离，即MNmind.三.对称与最值的综合应用例4在直线l3xy10上求一点P，使得1点P到点A4,1和点B0,4的距离之差最大；2点P到点A4,1和点C3,4的距离之和最小.解1如图，点B关于l的对称点为B3,3.直线AB的方程为2xy90，由解得即所求点P的坐标为2,5.2如图，点C关于l的对称点为C，由图可知，当A，P，C 三点共线时，PAPC取得最小值.AC所在的直线方程为19x17y930，联立解得即所求点P的坐标为.反思感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法.跟踪训练4已知直线lx2y80和两点A2,0，B2，4.1在直线l上求一点P，使PAPB最小；2在直线l上求一点P，使|PBPA|最大.解1设A关于直线l的对称点为Am，n，则解得故A2,8.因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值AB，点P即为直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为2,3.2A，B两点在直线l的同侧，点P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值AB，点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为12,10.1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种点关于点对称.点关于线对称.线关于点对称.线关于线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型.转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线.光线反射等也可转化成对称问题.2.最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.1.过点A1,2且与原点距离最大的直线方程为____________.答案x2y50解析设O0,0，则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于，由点斜式求得所求的直线方程为y2x1，化简可得x2y50.2.设两条直线的方程分别为xya0，xyb0.已知a，b是方程x2xc0的两实根，则这两直线间距离的最大值为________.答案解析a，b是方程x2xc0的两个实根，ab1，abc，ab2ab24ab14c.又两直线间的距离d，d，两直线间距离的最大值为.3.点P2,5关于直线xy1对称的点的坐标是____________.答案4，1解析设对称点坐标为x0，y0，则解得4.已知点A3，1，B5，2，点P在直线xy0上，若使PAPB取最小值，则点P坐标是__________.答案解析点A3，1关于直线xy0的对称点为A1，3，直线AB的方程为yx，与xy0联立方程组并解得所以点P.5.已知点Px，y满足xy10，求x2y22x2y2的最小值.解原式可化为x12y12，其几何意义为点Px，y到点Q1,1的距离的平方，而点Px，y在直线xy10上.设d为点Q到直线xy10的距离，由PQd，得，即x2y22x2y2.故所求的最小值为.。
直线与方程
班级姓名学号分数第1章直线与方程（A 卷·知识通关练）核心知识1．直线的斜率与倾斜角1．（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤≤C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ2．（2022·重庆南开中学高一期末）过(1,3)A -，(2,0)B -两点的直线的倾斜角是（）A ．45B ．60°C ．120°D ．135°3．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则（）A ．4321k k k k <<<B ．3421k k k k <<<C ．4312k k k k <<<D ．3412k k k k <<<4．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 核心知识2．直线的方程1．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（） A ．10x y +-= B ．50x y -+= C ．10x y ++= D ．50x y --=2．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______．3．（2022·江苏·高二）过定点()2,1且倾斜角是直线x －y ＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．4．（2022·江苏·高二）在①它的倾斜角比直线1y =-的倾斜角小12π，②与直线1y x =-+垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知直线l 过点()2,1，且______，求直线l 的方程．核心知识3．直线的平行与垂直1．（2022·江苏南通·高二期末）设R m ∈，直线()1:26280l m x y m ++--=，2:210l x my m +++=，则“1m =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·四川·成都七中高一期末）已知直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:(1)10l a x y --+=互相垂直，则实数a 的值为（）A ．0B ．2-C ．0或2-D ．0或23．（2022·山东·高二课时练习）（多选）已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a ∈R ，则（） A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直 B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等4．（2022·山东临沂·三模）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC 的顶点()()()2,0,0,4,4,0A B C -，则其欧拉线方程为______．核心知识4．两条直线的交点问题1．（2022·湖北·高二专题练习）直线10kx y --=与直线220x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值范围为____．2．（2022·江苏·高二）经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______．3．（2022·江苏·高二专题练习）若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.4．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在ABC 中，已知()2,0A ，()0,4B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=．求：(1)外心F 的坐标；(2)重心G 的坐标；(3)垂心H 的坐标．核心知识5．直线中的距离问题1．（2022·江苏·高二）若直线1:21l y x =-与直线2l 2l 的方程为___________.2．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A B C D 3．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点()3,4，点()2,2A -，()4,2B -到l 的距离相等，则l 的方程可能是() A ．220x y B ．220x y --= C ．23180x y +-= D ．2360x y -+=4．（2022·北京·高二课时练习）已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P 使||4PM =，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（）A ．1y x =+B ．2y =C ．43y x =D ．210y x =+核心知识6．点、直线的对称问题1．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．2．（2022·重庆·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A B ．5 C D ．1633．（2022·广东·高二专题练习）如图已知()()()400400A B O ，、，、，，若光线L 从点()20P ，射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为________．4．（2022·江苏·高二）已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=.(1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程.核心知识7．直线中的最值问题1．（2022·四川达州·高一期末）在直角坐标系中，若()2,1A 、()1,2B 、()()0,R C y y ∈，则AC BC +的最小值是______．2．（2022·湖南·高二课时练习）已知点(4,1)A ，(0,4)B ，直线:310l x y --=，点P 为直线l 上一点，则||||||PB PA -的最大值为________．3．（2022·江苏·高二课时练习）过点()1,2P 作直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于点A ，B .(1)若AOB 是等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)对于①OA OB +最小，②AOB 面积最小，若选择___________作为条件，求直线l 的方程. 4．（2022·江苏·高二专题练习）已知点C 的坐标为()1,2-，O 为原点．(1)直线l 不过原点且在x 轴、y 轴上的截距相等，点()1,2C -到直线l 的距离为2，求直线的方程；(2)已知点()00,P x y ，直线CM MP ⊥，且2CM =，若PM PO =，求使PM 取最小值时点P 的坐标． 通关训练1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）点()2,0P 关于直线:10l x y ++=的对称点Q 的坐标为（） A ．()1,3-- B ．()1,4-- C ．()4,1 D ．()2,32．（2022·江苏·高二）将直线30x =绕着原点顺时针旋转90，得到新直线的斜率是（）A ．BCD ． 3．（2022·江苏·高二）已知直线l 过()2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（）． A ．10x y --=或30x y +-=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=4．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选题）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点5．（2022·江苏·高二单元测试）（多选题）已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23 6．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为___________.7．（2022·全国·高二专题练习）若直线经过两点(),2A m ，(),21B m m --且倾斜角为45︒，则m 的值为______. 8．（2022·全国·高三专题练习）若三点(2,2),(,0),(0,6)A B a C 共线，则a 的值为_________．9．（2022·全国·高二专题练习）到直线3410x y +=－的距离为3且与此直线平行的直线方程是____．10．（2022·江苏·高二专题练习）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.11．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）①点()3,2P -到直线:34210l x y +-=的距离是___________.②两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离是___________.12．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知直线l 过点()2,1M ，O 为坐标原点．(1)若l 与OM 垂直，求直线l 的方程；(2)若O 到l 的距离为2，求直线l 的方程．13．（2022·江苏·高二）若点()1,2A 和()5,1B -到直线l 的距离都是()0m m >.(1)根据m 的不同取值，讨论满足条件的直线l 有多少条？(2)从以下三个条件中：①2m =；②3m =；③52m =；选择一个条件，求出直线l 的方程.14．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对(,)x y 满足10x y ++=的最小值；（2）求y （提示：联想两点间的距离公式）班级姓名学号分数第1章直线与方程（A 卷·知识通关练）核心知识1．直线的斜率与倾斜角1．（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤≤C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ 0,，即θ∈tan θk ，故均错误；4tan 3π=，此时直线的倾斜角为重庆南开中学高一期末）过A ．45B ．60°C ．120°D ．135°3．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线1234的斜率分别为1234，则（） A ．4321k k k k <<< B ．3421k k k k <<< C ．4312k k k k <<< D ．3412k k k k <<<是（）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】B【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.0,，5,6ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭.故选：1．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（）A ．10x y +-=B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --= 【答案】B【分析】利用直线的点斜式方程求解.【详解】解：因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32y x ，即50x y -+=，故选：B 2．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______．3．（2022·江苏·高二）过定点2,1且倾斜角是直线x －y ＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．【答案】20x -=【分析】先求出直线x －y ＋1＝0的倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角，得到直线方程.【详解】直线x －y ＋1＝0的倾斜角为45°，故过定点()2,1的所求直线的倾斜角为90°，故所求直线方程为：20x -=.故答案为：20x -=4．（2022·江苏·高二）在①它的倾斜角比直线1y =-的倾斜角小12π，②与直线1y x =-+垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知直线l 过点()2,1，且______，求直线l 的方程．【答案】10x y --=1．（2022·江苏南通·高二期末）设R m ∈，直线()1:26280l m x y m ++--=，2:210l x my m +++=，则“1m =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由12//l l 可求得实数m 的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若12//l l ，则()()()()2261228m m m m m ⎧+=⎪⎨++≠-+⎪⎩，解得1m =或3-， 因此，“1m =”是“12//l l ”的充分不必要条件.故选：A.2．（2022·四川·成都七中高一期末）已知直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:(1)10l a x y --+=互相垂直，则实数a 的值为（）A ．0B ．2-C ．0或2-D ．0或2 【答案】D【分析】直接由直线垂直的公式求解即可.【详解】由题意得，()()()11110a a --+⨯-=，解得0a =或2.故选：D.3．（2022·山东·高二课时练习）（多选）已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a ∈R ，则（）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】对于A ，通过两直线的斜率关系判断即可，对于B ，由两直线平行，列方程求解，对于C ，直接求解定点判断，对于D ，由直线方程求出直线l 在两坐标轴上的截距判断【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，其斜率为1，而直线0x y +=的斜率为1-，所以当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直，所以A 正确，对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则211a a ++=，解得0a =或1a =-，所以B 错误，对于C ，当0x =时，1y =，与a 无关，故直线l 过定点()0,1，所以C 正确，对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D 错误，故选：AC4．（2022·山东临沂·三模）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC 的顶点()()()2,0,0,4,4,0A B C -，则其欧拉线方程为______． 【详解】设ABC 的重心为由重心坐标公式得02420404,3333x y ，所以G 由题，ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为0x =，:4BC y x ，()2,0A ，所以ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为(00,22x H y x =⇒=-+所以欧拉线GH 的方程为4232203y x ，即x -故答案为：x y -．两条直线的交点问题1．（2022·湖北·高二专题练习）直线10kx y --=与直线220x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值范围为____．．（江苏高二）经过两条直线1和2的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______． 【答案】270x y ++=【分析】联立两直线方程，求出方程的解，即可求出焦点坐标，设所求方程为20x y n ++=，代入交点坐标，即可求出参数的值，从而得解；【详解】解：由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =， 所以直线方程为270x y ++=；答案为：270x y ++=3．（2022·江苏·高二专题练习）若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.【答案】1-【分析】求解出直线2100x y --=，43100x y +-=的交点坐标，再代入直线280ax y ++=即可求解.【详解】由题意，直线2100x y --=，43100x y +-=，280ax y ++=交于一点，所以210043100x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩，所以直线280ax y ++=过点()4,2-， 得()42280a +⨯-+=，求解得1a =-.故答案为：1-4．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在ABC 中，已知()2,0A ，()0,4B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=．求：(1)外心F 的坐标；(2)重心G 的坐标；(3)垂心H 的坐标．(1)AB 中点为1．（2022·江苏·高二）若直线1:21l y x =-与直线2l 2l 的方程为___________.眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A B C D3．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点，点，到l 的距离相等，则l 的方程可能是() A ．220x y B ．220x y --= C ．23180x y +-= D ．2360x y -+=称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（）学习群QQ550349787 A ．1y x =+ B ．2y =C ．43y x =D ．210y x =+【答案】BC【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点(5,0)M 到直线的距离，与4比较大小即可得结论1．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（） A B ．5 C D ．163【答案】A【分析】先找出B 关于直线的对称点C 再连接AC 即为“将军饮马”的最短路程. 【详解】如图所示，设点()2,0B -关于直线23x y +=的对称点为()11,C x y ，在直线23x y +=上取点P ，连接PC ，3．（2022·广东·高二专题练习）如图已知400400A B O ，、，、，，若光线L 从点20P ，射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为________． OA OB =由对称性可知∴直线1P P 联立x x -⎧⎨+⎩4．（2022·江苏·高二）已知点0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=. (1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程. 【答案】(1)(3,1)-(2)250x y --=【分析】（1）设点(,)B x y ，则由题意可得210222110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解方程组求出,x y ，从而可(2,1)，所以50-=，5x y --1．（2022·四川达州·高一期末）在直角坐标系中，若()2,1A 、()1,2B 、()()0,R C y y ∈，则AC BC +的最小值是______．上一点，则||||||PB PA -的最大值为________．学习群QQ5503497873．（2022·江苏·高二课时练习）过点1,2P 作直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于点A ，B . (1)若AOB 是等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)对于①OA OB +最小，②AOB 面积最小，若选择___________作为条件，求直线l 的方程.322b a+，122ab，由基本不等式等号成立的条件，即可求，y 轴正半轴交于点，且AOB 是等腰直角三的斜率为k (1,2)P 可得122ab，8ab ，当且仅当4AOBSab =，即AOB 面积最小为4，直线l 方程为()22y x -=-，即2x +4．（2022·江苏·高二专题练习）已知点C 的坐标为1,2-，O 为原点．(1)直线l 不过原点且在x 轴、y 轴上的截距相等，点()1,2C -到直线l 的距离为2，求直线的方程；(2)已知点()00,P x y ，直线CM MP ⊥，且2CM =，若PM PO =，求使PM 取最小值时点P 的坐标．1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）点()2,0P 关于直线:10l x y ++=的对称点Q 的坐标为（）A ．()1,3--B ．()1,4--C ．()4,1D ．()2,3，得到新直线的斜率是A ．B C D ．3．（2022·江苏·高二）已知直线l 过2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（）．A ．10x y --=或30x y +-=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=【答案】C【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为45︒或135︒，即直线的斜率为1或-1， 故直线方程为12y x -=+或1(2)y x -=-+， 即30x y -+=或10x y ++=.故选：C.4．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选题）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【分析】对A ，令0k =即可判断正误；对B ，化简直线方程，根据定点满足k 的系数为0，且满足方程即可；()1,1Q ，则下列说法正确的是（）学习群QQ550349787A ．线段PQ 的长度的最小值为45 B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23直线方程为___________. 【答案】30x y --=【分析】结合点斜式求得直线方程. 【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，直线10x y +-=关于直线2x =对称的直线的斜率为1， 点()0,1是直线10x y +-=上一点， 点()0,1关于直线2x =对称点为()4,1，所以直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为()114,30y x x y -=⨯---=. 故答案为：30x y --=7．（2022·全国·高二专题练习）若直线经过两点(),2A m ，(),21B m m --且倾斜角为45︒，则m 的值为______.【答案】34##0.75【答案】3【分析】由三点共线得AB BC k k =，即可求出答案. 【详解】由三点(2,2),(,0),(0,6)A B a C 共线 故AB BC k k = 故答案为：3.9．（2022·全国·高二专题练习）到直线3410x y +=－的距离为3且与此直线平行的直线方程是____．10．（2022·江苏·高二专题练习）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.11．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）①点3,2P -到直线:34210l x y +-=的距离是___________.②两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离是___________.12．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知直线l 过点2,1M ，O 为坐标原点．(1)若l 与OM 垂直，求直线l 的方程；(2)若O 到l 的距离为2，求直线l 的方程．综上可得，直线l 的方程为34100x y +-=或20x -=．13．（2022·江苏·高二）若点()1,2A 和()5,1B -到直线l 的距离都是()0m m >.(1)根据m 的不同取值，讨论满足条件的直线l 有多少条？(2)从以下三个条件中：①2m =；②3m =；③52m =；选择一个条件，求出直线l 的方程.的最小值； （2）求y （提示：联想两点间的距离公式）。
必修二 第三章直线与方程 3.2直线的方程专题训练
必修二 第三章直线与方程 3.2直线的方程专题训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如果0,0AB BC >>,那么直线0Ax By C --=不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列说法正确的是（ ）A.方程11y y k x x -=-表示过点111(,)P x y 且斜率为k 的直线B.直线y kx b =+与y 轴的交点为(0,)B b ,其中截距b OB =C.在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为1x y a b +=D.方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示过任意不同两点()()111222,,,P x y P x y 的直线 3.过点(2,3)A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为（ ）A. 240x y -+=B. 270x y +-=C. 230x y -+=D. 250x y -+=4.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则有( )A. 2,5a b ==B. 2,5a b ==-C. 2,5a b =-=D. 2,5a b =-=-5.已知0a >,若平面内()()()231,,2,,3,A a B a C a -三点共线,则实数a 的值为( )A. 1B.1C.1D.116.已知直线l 经过点()1,2A ,且不经过第四象限,则直线l 的斜率k的取值范围是( )A. (]1,0-B. []0,1C. []1,2D. []0,27.已知两直线()1:3454l a x y a ++=-与()2:259l x a y ++=平行,则a 等于( )A.-7 或-1B.7或-1C.-7D.-18. 若点()00,M x y 是直线0?Ax By C ++=上的点,则直线方程可表示为( )A. ()()000A x x B y y -+-=B. ()()000A x x B y y ---=C. ()()000B x x A y y -+-=D. ()()000B x x A y y ---=9.已知0m ≠,直线320ax my a ++=在y 轴上的截距为2,则直线的斜率为( )A. 1B. 13-C. 23- D. 2 10.已知直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直,则l 的方程是( )A. 3210x y +-=B. 3270x y ++=C. 2350x y -+=D. 2380x y -+=二、填空题11.若直线:20l x ay ++=与直线230x y -+=平行,则直线l 在坐标轴上的截距之和为__________.12.已知直线123:210,:250,:210l x y l x y l x y +-=+-=--=,则1l 与2l 的位置关系是__________,1l 与3l “的位置关系是__________,2l 与3l 的位置关系是__________.(填“平行”或“垂直”)13.已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的方程为__________. 14.垂直于直线3470x y --=,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是__________.15.直线12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k 的取值范围是________. 三、解答题16.已知坐标平面内三点()()()1,1,1,1,1A B C -.1.求直线,,AB BC AC 的斜率和倾斜角;2.若D 为△ABC 的边AB 上一动点,求直线CD 的斜率k的取值范围.17.(1)求过点()2,2A 且与直线34200x y +-=平行的直线的方程;(2)求过点()2,2A 且与直线34200x y +-=的垂直的直线的方程.参考答案1.答案：B解析：把直线方程如0?Ax By C --=转化为斜截式为A C y x B B =-,因为0,0AB BC >>,所以0,0A C B B>-<,所以直线如0?Ax By C --=不经过的象限是第二象限. 2.答案：D解析：因为方11y y k x x -=-表示的直线不包括点111(,)P x y ,故A 错;截距为b ,但b 不一定等于OB ,因为它可能为负数,故B 错;当a 、b 中至少有一个为零时,不能用截距式表示直线方程,故C 错;D 正确.3.答案：A解析：设此直线方程为20y x c -+=,将(2,3)A 代入,知4c =-.4.答案：B解析：令0x =得5y =-即5b =-；令0y =得2x =即2a =故选B.5.答案：B解析：由已知,得232232,2132AB BC a a a a k a a k a a +-==+==---. ∵,,A B C 三点共线,∴AB BC k k =,即232a a a a +=-.又0a >,∴12a =+.6.答案：D解析：由图,可知当直线位于如图阴影部分所示的平面区域内时,满足题意, 所以直线l 的斜率满足02k ≤≤.故选D.7.答案：C解析：由题意得,直线1l 的斜率()134a k -+=,。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
直线与方程总复习二教案
（1） 的变化范围；
（2）当 取最大值时，两条直线的方程。
（目的：利用动画协助学生对题目的形象理解。）
二、与对称相关的直线问题
先复习几种对称关系
例2光线通过点A(2,3)在直线 上反射，反射光线经过点B（1,1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。
教学
重点
难点
1）重点：
如何通过条件选择合适的直线方程
2）难点：
分类讨论以及数形结合。
教法与学法
启发和探究相结合。
教学过程
备注
一、
知识回顾
由一道题做引入，让学生回忆所学的直线方程。
【想一想】
设直线 经过 两点，你能写出几种形式的直线 的方程？
（提出思考：选择哪一种形式最好？如何选择）
对5种方程形式实行总结归纳，让学生更深刻地体会该如何选择方程形式。
例题演示区
投影区
例1已知正方形的中心为G（-2,0），一边所在直线方程为 ，求其他三边所在直线的方程。
（目的：让学生认知如何选择合适的方程形式来协助解题）
练习1设直线 与直线 交于P点，当直线 过P点，且原点O到直线 的距离为1时，求直线 的方程。
（目的：1、选择合适的方程形式；2、对题目有深入理解，能用分类讨论的思想方法解决问题）
5、经过点（4，-3）且在两坐标轴上的截距相等
学生做思路分析，口答（ppt辅助展示）
让学生初步感受选择合适方程的重要性。
三、
综合应用
将题目升级，与其他条件相结合，让学生从中学会如何选择直线方程，设出合适的直线方程有利于题目的运算。同时也能复习距离问题、交点问题、对称问题等。
专题七 直线与方程练习
专题七直线与方程练习一、选择题（每题3分，共36分）1．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A. B. C. D.－2，－32．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直3．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（）（A）2x－3y＝0; （B）x＋y＋5＝0;（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5或x－y＋5＝0 4．直线x=3的倾斜角是（）A.0B.C.D.不存在5．圆x2+y2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（）A.(－2,0),2B.(－2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),46．点（1，2）关于直线y = x 1的对称点的坐标是（A）（3，2）（B）（3，2）（C）（3，2）（D）（3，2）7．点（2，1）到直线3x 4y + 2 = 0的距离是（A）（B）（C）（D）8．直线x y 3 = 0的倾斜角是（）（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°9．与直线l：3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为（A）3x＋4y－5＝0 （B）3x＋4y＋5＝0（C）－3x＋4y－5＝0 （D）－3x＋4y＋5＝010．设a、b、c分别为ABC中A、B、C对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c ＝0与直线bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系（）（A）平行；（B）重合；（C）垂直；（D）相交但不垂直11．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为（）（A）－（B）－3; （C）（D）312．直线当变动时，所有直线都通过定点（）（A）（0，0）（B）（0，1）（C）（3，1）（D）（2，1）二、填空题（每题4分，共16分）13．直线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为14．直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为15．如果三条直线mx+y+3=0,xy2=0,2xy+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是_______.16．已知两条直线l1：y＝x；l2：ax－y＝0（a∈R），当两直线夹角在（0，）变动时，则a的取值范围为三、解答题（共48分）17. 中，点AAB的中点为M重心为P求边BC的长（12分）18．若，又三点A(，0)，B（0，），C（1，3）共线，求的值（12分）19．若直线和直线垂直，求的值（12分）20．如图，在ABC中，C=90，P为三角形内的一点，且，求证：│PA│2+│PB│2=5│PC│2（12分）。
直线与方程复习学案
1.公比为2等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =， 则210log a =（ ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 2．在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=41-，则b=_______ 3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______4已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值. 55.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________直线与方程一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 5. 对称问题(点对称、轴对称) 二、基础知识练习：1. 直线倾斜角的取值范围___________,直线斜率的定义公式_____________, 过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的斜率公式______________,斜率的取值范围______________.2．x=1的倾斜角为__________,直线3310x y ++=的倾斜角是__________,90α= 时的斜率_________.3. 直线方程的点斜式方程_________________,直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________,直线方程的截距式方程_________________,直线方程的一般式方程_______________,与x 轴垂直的直线方程___________,与y 轴垂直的直线方程___________.4.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,若1l ∥2l ,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________;已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若1l ∥2l ,则_________________,若1l 、2l 重合,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________. 5. 与:0l Ax By C ++=平行的直线可设为______________,与:0l Ax By C ++=垂直的直线可设为____________________.6. 平面上任意两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式__________________________, 点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d=_________________,两条平行直线1:0l Ax By C ++=与2:0l Ax By C ++=间的距离为d=________________.三、典例解析例1.下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.例 2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ，则12l l 与相交时，a_________;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时，a=________ .例3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5) 经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零. 例4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B （1）求△AOB 面积为4时l 的方程；（2）求l 在两轴上截距之和为+322时l 的方程。
人教版数学高一-人教数学A版必修二第三章《直线与方程》基础训练(含详细解析)
（必修2）第三章 直线与方程 (基础训练)一、选择题1 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）A 1=+b aB 1=-b aC 0=+b aD 0=-b a 2 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A 012=-+y xB 052=-+y xC 052=-+y xD 072=+-y x 3 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A 0B 8-C 2D 104 已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限5 直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A 045,1B 0135,1-C 090，不存在D 0180，不存在 6 若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A 0≠mB 23-≠mC 1≠mD 1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________2 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________；3． 若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________4 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________5 直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________三、解答题1 已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=0002 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程3 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程4 过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5参考答案与解析一、选择题1 D tan 1,1,1,,0a k a b a b bα=-=--=-=-=2 A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=3 B 42,82m k m m -==-=-+4 C ,0,0a c a c y x k b b b b=-+=->< 5 C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在6 C 2223,m m m m +--不能同时为0二、填空题 12d == 2 234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+3 250x y --= '101,2,(1)2(2)202k k y x --==-=--=-- 4 8 22x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d == 5 23y x = 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2) 三、解答题1. 解：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零。
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圆与方程复习练案（1）
1．圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
2
1+
D ．221+ 2．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2
2
240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或
B ．2-或8
C ．0或10
D ．1或11
3．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242
2
=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 。
4．由动点P 向圆221x y +=引两条切线，切点分别为0
,,60A B APB ∠=，则P 的轨迹方程为 。
5．直线l 过点）
，（02-，l 与圆x y x 22
2=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是 . 6．已知圆()432
2
=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为 。
7．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆01222
2=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，
C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 。
8．圆C 经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C 在P 点的切线斜率为1,试求圆C 的方程.
9．已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。
10．求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。
11．已知圆C ：()2
2
19x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点。
（Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.
12.已知圆C 圆心在直线1y x =-上，且过点(1,3)A ，(4,2)B . （1）求圆C 的方程；（2）若直线20x y m ++=与圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，且60MON ︒
∠=，求m 的值．
圆与方程复习练案（1）答案
1、B ，
2、A ，
3、 1 ，
4、2
2
4x y += ，5、
），（4
2
42- 6、 5 ，7、。
8、解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 将P 、Q 、R 的坐标代入,得⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=-=+.01,2,2F E F k D k
∴圆的方程为x 2+y 2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为)2
1
2,22(
++k k . 又∵k CP =-1, ∴k=-3. ∴圆的方程为x 2+y 2+x+5y-6=0. 9、解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =
，令d =
=
而22222,927,1r d t t t =--==±
22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=
10、解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则
222()(6)x a y r -+-=，得222
(1)(106)a r -+-=
，而r =
2
2
(13)(1)16,3,5
a a a r --+=== 22(3)(6)20x y ∴-+-=。
11、解：(Ⅰ)已知圆C ：()2
2
19x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，
所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为)1(2-=x y ，即 022=--y x .
(Ⅱ)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为1
2(2)2
y x -=-
-, 即062=-+y x (Ⅲ)当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为22-=-x y ,
即0=-y x ，圆心C 到直线l
，圆的半径为3，弦AB
12、解：（1）设圆C 的方程为22
0x y Dx Ey F ++++=， 则1930164420122
D E F D E F E D ⎧
⎪+++++=⎪++++=⎨⎪⎪-=--⎩
解得4,2,0.D E F =-=-=∴圆C 的方程为2
2
420x y x y +--=． （2）
60∠=︒MON ，点O 在圆C 上，120∴∠=︒MCN ，且点C 在直线MN 下方，
在等腰MCN ∆中，得点C 到直线MN
d ∴=
=
， 解得32m =-或132m =-．
经检验，32m =-
不合题意，舍去．13
2
m ∴=-．。