精细化教案：椭圆的几何性质(第五课时)
椭圆的几何性质(教案
椭圆的几何性质教学章节：第一章椭圆的定义与基本性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质；2. 掌握椭圆的标准方程及其参数；3. 能够运用椭圆的性质解决实际问题。
教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的基本性质：a. 椭圆的两个焦点距离为定值，称为椭圆的焦距；b. 椭圆的半长轴长度为定值，称为椭圆的半长轴；c. 椭圆的半短轴长度为定值，称为椭圆的半短轴；d. 椭圆的面积为定值，等于πab；e. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
教学步骤：1. 引入椭圆的概念，引导学生思考椭圆的特点和性质；2. 给出椭圆的定义，解释椭圆的焦距、半长轴、半短轴等基本概念；3. 通过实例和图形，展示椭圆的性质，引导学生理解和记忆；4. 练习椭圆的标准方程及其参数，巩固学生对椭圆的理解；5. 运用椭圆的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对椭圆定义和性质的理解程度；3. 学生对椭圆标准方程及其参数的掌握情况；4. 学生运用椭圆性质解决实际问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 椭圆的图形和实例；3. 练习题和实际问题。
教学建议：1. 通过实例和图形，让学生直观地理解椭圆的性质；2. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思考和表达能力；3. 注重练习题的讲解和反馈，帮助学生巩固知识；4. 结合实际问题，引导学生运用椭圆的性质解决问题。
椭圆的几何性质（续）教学章节：第六章椭圆的离心率教学目标：1. 理解椭圆离心率的定义及其几何意义；2. 学会计算椭圆的离心率；3. 能够运用椭圆的离心率解决实际问题。
教学内容：1. 椭圆的离心率定义：椭圆的离心率是焦距与半长轴之比，用e表示；2. 椭圆的离心率几何意义：离心率e反映了椭圆的扁率，e越接近1，椭圆越扁；3. 计算椭圆的离心率公式：e = c/a，其中c是焦距，a是半长轴。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质第五课时（一）教学目标理解直线与椭圆的位置关系，能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线截椭圆所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题．（二）教学过程 【情境设置】问题一：直线与圆的位置关系有几种？（相交、相切、相离），那么直线与椭圆的位置关系有几种？（仍是相交、相切、相离）问题二：如何判断直线与圆的位置关系？又怎样判定直线与椭圆的位置关系呢？（直线与圆位置关系有两种判定方法：一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较当r d <时相交，当r d =时相切，当r d >时相离，另一种判别方法是直线与圆联立方程组，转化为一元二次方程根的判别式来解决，当0>∆时，直线与圆相离直线与椭圆的位置关系应用一元二次方程根的判别式来解决．）【探索研究】1．练习：已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系．（1）025103=-+y x ，142522=+y x （2）023=+-y x ，141622=+y x 答案：（1）⎪⎭⎫⎝⎛583， 相切 （2）()20，，⎪⎭⎫⎝⎛--37703748，，相交． 2．例题分析例1 中心在原点，一个焦点为()5001，F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程． 由于学生接触类似的问题不多，可教师讲解．解：设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a由()5001，F 得5022=-b a ① 把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得()()0412*******=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为()11y x A ，，()22y x B ，，则由根与系数关系得22221912b a b x x +=+．又AB 中点的横坐标为21． ∴2196222221=+=+b a b x x ．得223b a = ② 解①，②得752=a ，252=b ．故所求椭圆的方程为1257522=+x y ． 例 2 过椭圆141622=+y x 内一点()12，M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．分析：本例与例1有相似之征，可让一位学生板演，再提问学生是否有不同的解法，然后教师归纳出以下三种解法：解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理，得()()()0161242142222=--+--+k x k k x k．设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，，则2x ，2y 是上述方程的两根，于是()14282222+-=+k kk y x ． 又M 为AB 的中点∴()2142422221=+-=+k kk x x ． 解得21-=k ．故所求直线的方程为042=-+y x ．解法二：设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，．∵()12，M 为AB 的中点 ∴421=+x x ，221=+y y ． 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得()()0422212221=-++y y x x于是()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ．∴()()21244421212121-=⨯-=-+-=--y y x x x x y y即21-=AB k 故所求直线的方程为042=-+y x ．解法三 设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12，M ，则另一个交点为()y x B --24，．∵A 、B 两点都在椭圆上． ∴16422=+y x ． ①()()1624422=-+-y x ②①－②得042=-+y x ．由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线的方程为042=-+y x ．例3 椭圆122=+ny mx ，与直线1=+y x 相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点．若22=AB ，斜率为22（O 为原点），试确定椭圆的方程．（如图） 分析：注意利用弦长公式2121x x k AB -+=，因为计算比较复杂，可由教师讲解． 解法一：由方程组⎩⎨⎧=+=+1122y x ny mx 得()0122=-+-+n nx x n m 设()11y x A ，、()22y x B ，、()00y x C ，，则n m n x x +=+221 nm n x x +-=121 ()nm nn m n x x y y +=+-=+-=+22222121．∴n m n x x x +=+=2210，n m ny y y +=+=2210 由题设得22=n m ① 又()2122121422x x x x x x AB -+=-=()n m n n m n +--⎪⎭⎫⎝⎛+=142222222=+-+⋅=nm mnn m ②解①、②得31=m ，32=n ．∴椭圆方程为132322=+y x ．解法二：由22=OC k 得OC 的方程为x y 22=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 解得()1222--，C ． 又由⎩⎨⎧=+=+1122ny mx y x 得()()0122=-+-+n nx x n m ．所以22221-=+=+nm nx x 即m n 2= ①． 又因为()[]()22112212=--+=x x AB 得()12=+-+n m mnn m ②， 由①、②求出31=m ，32=n 故所求椭圆方程为1323122=+y x ．解法三：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 得()1222--，C ．因为1-=AB k ，所以直线的l 的倾斜角为135°． 又知C 是AB 的中点，22=AB ，所以2==BC AC ．即()221，-A 同理求出点()2223--，B ． 将A 、B 坐标代入椭圆方程122=+ny mx ，得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1222312212222n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231n m ．所以所求椭圆方程为1323122=+y x ． 点拨：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成()b a b a by ax ≠>>=+，，00122，强以避免对焦点位置的讨论，且使运算过程简化，而弦中点问题常使用韦达定理来解决．（三）随堂练习1．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()24，平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x2．已知直线m x y l +=2：，椭圆1422=+y x C ：（1）当m 为何值时，l 与C 有两个不同的交点？没有交点？ （2）当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截的弦长为1720？ 答案：1．D 2．（1）1717<<-m ，17>m 或17-<m （2）32±m （四）总结提炼1．直线与椭圆的位置关系，一般是通过方程组转化为一元二次方程，运用一元二次方程的知识（如求根、判别式、根与系数关系）求得．2．要注意二次曲线与二次方程，二次函数三个二次之间的关系． （五）布置作业1．过点()02，-M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于1P 、2P 两点，线段1P 2P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．21- 2．直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．()10， B ．()50， C ．[)()∞+，，551 D ．()∞+，13．已知椭圆C 的方程为()0116222>=+m m y x ，如果直线x y 22=与椭圆的一个交点P 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（ ）A ．2B ．22C ．32D ．84．求与椭圆14922=+y x 相交于A 、B 两点，并且线段AB 的中点为()11，M 的直线方程．5．已知椭圆204522y x +的焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程．答案：1．D 2．C 3．B4．设A 、B 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ， ∵点A 、B 都在椭圆上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②149①14922222121y x y x①－②得()()04921212121=-++++y y y y x x x x ∵AB 的中点为()11，M ∴221=+x x ，221=+y y∴942121-=--x x y y ，即直线AB 的斜率为94-．∴所求直线方程为()1194+--=x y 即01394=-+y x 5．易求得()052，F ，设直线AB 方程为my x =，代入椭圆方程得：()900452022=+y my 即()0900452022=-+y m∴452060221+=-m y y ．∴45201502122122+=-⋅=∆m y y OF S ABF ． 由2045201502=+m 得43±=m ，∴直线AB 的方程为y x 43±=即034=±y x ． （六）板书设计。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及标准方程；（2）掌握椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）能够运用椭圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察实物，培养学生的直观思维能力；（2）利用数形结合思想，引导学生发现椭圆的性质；（3）运用合作交流的学习方式，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对椭圆几何性质的兴趣，培养学生的探究精神，提高学生对数学的热爱。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的定义及标准方程；（2）椭圆的几何性质；（3）运用椭圆性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）椭圆几何性质的推导；（2）运用椭圆性质解决复杂问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的椭圆实例，如地球、鸡蛋等，引导学生关注椭圆形状的物体，激发学生对椭圆的兴趣。
2. 知识讲解：（1）介绍椭圆的定义及标准方程；（2）讲解椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）引导学生发现椭圆性质之间的关系。
3. 实例分析：通过具体例子，让学生了解如何运用椭圆的性质解决问题，如计算椭圆的长轴、短轴等。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生巩固所学知识。
四、课后作业1. 复习椭圆的定义及标准方程；2. 熟练掌握椭圆的几何性质；3. 尝试运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆几何性质的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑，及时解答疑问，提高教学质量。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论，探究椭圆性质之间的内在联系，培养学生合作交流的能力。
2. 课堂展示：每组选代表进行成果展示，分享探讨过程中的发现和感悟，提高学生的表达能力和逻辑思维。
3. 教师点评：对学生的讨论成果进行点评，总结椭圆性质的关键点，引导学生深入理解。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对椭圆性质的理解程度，及时发现并解决问题。
椭圆的几何性质 教案(教学设计) 【第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动】
2.2.2 椭圆的几何性质江苏省丹阳高级中学张宏鹏苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1【教学内容解析】1. 平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2. 圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3. 椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4. 能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；a b c,,能解释椭圆标准方程中的几何意义；2． 在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3． 在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立与椭圆圆扁程度的对应b a关系，再利用与的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，b a c a丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列 自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动 自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法 自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法， 即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1 除了利用定义，你能根据椭圆方程画出它的简图吗？ 2212516x y +=【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法.二、问题驱动 合作探究问题2 一般地，以椭圆为例，你准备研究它的哪些性质？如何22221(0)x y a b a b+=>>研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知，求的取值范围. 22221(0)x y a b a b+=>>y x ,探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点也在曲线上图形关于轴对称. (,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴⇒y 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的。
(第5课时)椭圆的简单几何性质(2)
课 题：8．2椭圆的简单几何性质（二）教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性； 3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点：椭圆第二定义授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+by ax ，12222=+bx ay （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by ax (0>>b a )(1)范围: ax a ≤≤-,by b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+b y a x 的顶点 椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by ax 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ac e =⇒e =10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4. 回顾一下焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：22)(y c x +-＋22)(y c x ++＝a 2 ⑴⇒)()(222x caa c x a ca yc x -=-=+-，即ac cax y c x =-+-222)( ⑵同时还有 ac cax y c x =--++)()(222(3)观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2．椭圆的准线方程 对于12222=+by ax ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线cax l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线cax l 22:=对于12222=+bx ay ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线cay l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ay l 22:=准线的位置关系：caa x 2<≤焦点到准线的距离cbcc a c cap 2222=-=-=（焦参数）其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 三、讲解范例：例1 求下列椭圆的准线方程：（1）4422=+y x (2)1811622=+yx解：⑴方程4422=+y x 可化为1422=+yx，是焦点在x 轴上且1,2==b a ，3=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 334±=±=x⑵方程1811622=+yx是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆所以此椭圆的准线方程为 65816581±=±=y例2 椭圆13610022=+yx上有一点P ，它到椭圆的左准线距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离解：椭圆13610022=+yx的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点P 到椭圆的左焦点距离为 810=e 再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12四、课堂练习：1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程（1）13610022=+yx（2）8222=+y x答案：⑴焦点坐标)0,8(),0,8(21F F -；准线方程8100±=±=x ⑵焦点坐标)2,0(),2,0(21F F -；准线方程428±=±=x 2．已知椭圆的两条准线方程为9±=y ，离心率为31，求此椭圆的标准方程答案：19822=+yx五、小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来上面)()(222x ca a c ya x -=+-（2） 即ex a x ca a c ya x -=-=+-)()(222 同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
罗老师椭圆的简单几何性质教案
一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及简单几何性质；（2）掌握椭圆的标准方程及焦点、半长轴、半短轴等基本概念；（3）能够运用椭圆的性质解决一些实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等活动，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力；（2）利用数形结合的思想，引导学生从几何图形中探索椭圆的性质；（3）学会用椭圆模型解释生活中的现象，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探究、合作交流的良好学习习惯；（3）引导学生认识椭圆在现实生活中的应用，体会数学与实际的联系。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）椭圆的定义及简单几何性质；（2）椭圆的标准方程及基本概念；（3）椭圆性质在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）椭圆标准方程的推导；（2）椭圆性质的证明及运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握椭圆的相关知识；（2）准备教学课件、图形软件等教学工具；（3）设计好教学过程中的提问及探究活动。
2. 学生准备：（1）预习椭圆相关知识；（2）准备好笔记本，记录重点知识；（3）积极参与课堂讨论，主动提出问题。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）利用多媒体展示椭圆的图片，引导学生关注椭圆在生活中的应用；（2）回顾圆的相关知识，为新课学习做好铺垫。
2. 知识讲解：（1）介绍椭圆的定义及简单几何性质；（2）讲解椭圆的标准方程及基本概念；（3）引导学生通过数形结合的思想，理解椭圆的性质。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明生活中的椭圆现象；（2）组织学生进行小组讨论，探究椭圆性质的应用；（3）回答学生提出的问题，解答学生的疑惑。
4. 巩固练习：（1）布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识；（2）挑选一些典型的练习题，进行讲解和分析，帮助学生提高解题能力。
五、课后反思：1. 课堂效果总结：（1）学生对椭圆的定义及简单几何性质的理解程度；（2）学生对椭圆标准方程及基本概念的掌握情况；（3）学生在课堂互动中的表现及提出的问题。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质【教学目标】1．了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义。
2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系。
并能相互转化。
提高综合运用能力。
【教学重难点】教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导。
教学难点：深入理解推导方程的过程。
灵活运用方程求解问题。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
2．标准方程：2222 1 x y a b +=，2222 1 y x a b += （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程2222 1 x y a b+=(0>>b a )（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中。
（2）对称性：图像关于y 轴对称。
图像关于x 轴对称。
图像关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。
长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率： c e a =⇒e =，10<<e 。
椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。
解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。
解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。
2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。
解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。
2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。
解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释面积公式中π的作用和意义。
3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。
举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。
解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。
4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。
举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。
第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。
解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。
5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。
举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
《椭圆的简单几何性质》参考教案
椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课教学工具：多媒体设备一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x 1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.]问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。
（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。
《椭圆的几何性质》说课教案
一、说课稿基本信息1. 说课科目：《椭圆的几何性质》2. 说课年级：高中数学3. 说课时长：45分钟二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的基本几何性质，包括椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率等。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质，培养学生的抽象思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学的美。
三、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的焦点与直径3. 椭圆的离心率4. 椭圆的性质与应用四、教学过程1. 导入：通过展示生活中的椭圆现象，如地球、月球绕太阳的运动等，引导学生关注椭圆，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍椭圆的定义与标准方程，引导学生理解椭圆的基本概念。
3. 课堂讲解：讲解椭圆的焦点与直径、离心率等性质，通过示例让学生理解并掌握这些性质。
4. 练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生形成系统化的知识结构。
五、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质。
2. 运用多媒体课件辅助教学，使抽象的椭圆概念形象化、直观化。
3. 采用分组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队合作精神。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导与关爱，使每个学生都能在课堂上得到锻炼与提高。
六、课后作业设计1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固对椭圆几何性质的理解。
2. 布置一些拓展性的作业，如研究椭圆在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 课后访谈：与学生进行交流，了解学生对椭圆几何性质的理解程度及在学习过程中遇到的问题。
椭圆的几何性质教案
学生回答
y 轴对称.同理,把 y 换成-y,或同时把 x,y 换成-x,-y 时,方程都不变.所以, 椭圆关于 x 轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭 圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 椭圆的中心. 椭圆的中心 3.顶点 3.顶点 ⑴首先,我们要知道,何为曲线的顶点.曲线的顶点是指曲线与其对称 轴的交点. ⑵观察曲线的图像，在已知椭圆对称性的基础上，大家觉得哪几个点 是椭圆的顶点？ ｙ B2 b A1 -a B1 -b A2 a
方程 长轴长 短轴长 焦点坐标 a,b,c 关系 顶点坐 标 离心率 对称中心 对称轴
x2 y2 + =1 a2 b2
y 2 x2 + =1 a 2 b2
1．请大家课后将表格填完整. 请大家课后将表格填完整. 2.思考 思考， 对椭圆的形状有影响吗？有什么影响？ 2.思考，a，b 对椭圆的形状有影响吗？有什么影响？ 3.书后练习 3.书后练习 5.7.9.10.
x2 y2 + =1 a2 b2
当焦点在 y 轴上时方程为：
y 2 x2 + =1 a 2 b2
其中：a ＞ b ＞ 0 ,且有 c = a + b . ｙ ｙ
2 2 2
指定学生回答,并 引导其他学生进 行更正
ｘ
ｘ
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
二、课题引入： 课题引入： 1.给同学们展示国家大剧院的外部景观,并提出疑问为什么国家大 1. 剧院会选择椭球形的设计？ 2.国家大剧院之所以会选择椭球形的设计,其根本原因是椭球形 2. 非常美观,然而椭球形的美又是源于椭圆的美.那么椭圆到底美在何 处？它又具有哪些几何性质？接下来,这节课就让我们一起来研究 椭圆的几何性质. 三、探索新知： 探索新知： 我们以焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程
椭圆的几何性质说课稿
椭圆的几何性质说课稿一、教学目标1. 知识目标：学生能够理解椭圆的定义和性质，包括焦点、半长轴、半短轴等概念，并能运用这些概念解决相关的几何问题。
2. 能力目标：学生能够运用椭圆的几何性质解决实际问题，培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
3. 情感目标：培养学生对几何学的兴趣，培养学生的观察力和思量能力，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重难点1. 教学重点：椭圆的定义和性质，包括焦点、半长轴、半短轴等概念的理解和运用。
2. 教学难点：椭圆的几何性质的运用，如椭圆的切线问题，椭圆的离心率等。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过一个生活中的例子引入椭圆的概念，如行星绕太阳的轨道。
2. 概念讲解（10分钟）介绍椭圆的定义，包括焦点、半长轴、半短轴等概念，并给出相应的示意图进行解释和演示。
3. 性质讲解（15分钟）详细讲解椭圆的几何性质，如椭圆的对称性、切线性质、离心率等，并通过具体的例子进行说明和演示。
4. 练习与巩固（20分钟）分发练习题册，让学生在课堂上进行练习，巩固所学的概念和性质。
同时，教师在课堂上进行指导和解答。
5. 拓展与应用（15分钟）给学生提供一些拓展问题，让他们运用所学的知识解决实际问题，培养他们的逻辑思维和几何推理能力。
6. 总结与归纳（5分钟）对本节课所学的概念和性质进行总结和归纳，让学生对椭圆的几何性质有一个清晰的认识。
7. 课堂小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，回顾学生的学习情况，对学生的表现赋予肯定和鼓励。
四、教学资源1. 教材：教科书《几何学》第三章第四节。
2. 教具：投影仪、黑板、彩色粉笔、练习题册。
五、教学评价1. 学生练习题册的完成情况，包括基本题目和拓展题目的解答是否正确。
2. 学生的课堂表现，包括积极参预讨论、思维敏捷、合作意识等方面的评价。
3. 学生对椭圆的几何性质是否掌握，能否运用所学的知识解决实际问题。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对椭圆的几何性质有了更深入的理解和掌握。
《椭圆的几何性质》说课学习教案学习教案正式版本
《椭圆的几何性质》讲课教课方案梁玉俊一、教课背景剖析（一）教材剖析1、教材地位和作用分析几何的基本思想是：利用代数方法来研究几何问题。
而由曲线的方程来研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，正是这一思想的直接表现。
本节课是在学习了椭圆定义及其标准方程以后，由方程来研究椭圆的几何性质，这类研究方式学生是第一次碰到，所以不单要注意对研究结果的理解和运用，并且还要注意对研究方法的学习。
因为掌握这类研究方法就为后边学习双曲线，抛物线及进一步学习其余知识确立了基础，所以本节课拥有举足轻重的地位，起着承前启后的桥梁作用。
2、教课构造的调整本节课教材安排了两课时，将椭圆的范围、极点、对称性及离心率安排一课时，这样讲堂容量较大，考虑到学生实质，我将本节课分为三课时，第一课时只研究椭圆的范围、极点及对称性，目的是使学生有充足的研究时间。
3、教课目的依据本节教材的特色、新纲领对本节课的教课要求，以及学生身心发展的合理需要，我从三个不一样方面确立了以下教课目的：知识与技术：经过研究，掌握椭圆的几何性质，提高猜想能力，合情推理能力，培育发现问题，提出问题的意识。
过程与方法：经过对问题的研究活动，亲历知识的建构过程，理解坐标法中由曲线方程研究曲线几何性质的思想方法。
感情态度与价值观：经过研究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热忱，初步培养创新意识和科学精神。
（二）学生状况剖析进入高二后，一部分学生已经养成了优异的学习习惯，而有些学生学习方法不科学，基础单薄，个别学生甚至失掉了学习数学的兴趣，数学成了一门最使他们惧怕的学科，所以在培育了部分“尖子生”的同时，也造就了相当数目的“学困生”，所以在教课中应激发学生学习数学的动机，培育学生学习数学的兴趣，多让学生试试“成功”的快乐，培育其创新意识。
二、教课睁开剖析（一）教课要点和难点剖析本节课的知识要点是椭圆的几何性质，难点是怎样贯彻数形联合思想，由曲线方程来研究其几何性质。
《椭圆的简单几何性质》教案徐州35中学胡传辉
数学《椭圆的简单几何性质》教学案【教学目标】1、学生会画具体的椭圆的图形，分析图形特征，从而归纳出椭圆的几何性质；2、根据椭圆的标准方程，学生能用代数方法验证所得出的几何性质；3、学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心率、长轴、短轴等问题． 【教学重点】1. 用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2. 椭圆的简单几何性质．【教学难点】1.用方程研究椭圆的范围和对称性；2.离心率的引入【教学实录】 1.1复习引入：教师：根据椭圆的定义，上节课我们在平面直角坐标系中研究了、图形和标准方程．大家看看这是什么：10=,口算化简结果：2212516x y +=，引导学生用定义将椭圆画出来.我们用这个方程，就可以表示椭圆，华罗庚先生曾说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微，今天我们就用结合椭圆与方程来研究椭圆的几何性质．回顾椭圆标准方程的两种形式.1.2问题引动，探究新知10=的几何意义将方程化简，并画出方程表示的曲线.2222(1)1(0);x y x a b ab+=>>焦点在轴上：22221(0).y x y a b a b+=>>(2)焦点在轴上：根据椭圆的定义和为定值，我们知道，椭圆是封闭的，这个封闭的如何用数来刻画？设计目的(1))通过问题引出椭圆是有界的,并引导学生用方程说明;53±（2）点(,在椭圆上，你还能得到哪些点在椭圆上，从而引出椭圆的对称性，并引导学生尝试用任意点验证.(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果．)（预案一：利用002222≥≥by a x 和的特点；预案二：观察方程形式，122=+）（）（by a x 联系1sin cos 22=+θθ；预案三：与函数定义域和值域联系，222211ax b y a x b y --=-=和）（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生 回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题．） 师：是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？（学生回答） 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取 一点”．学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处． 研究该椭圆对 称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别．师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置．要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出它与x 轴和y 轴的交点坐标．问题1：该椭圆与x 轴和y 轴的交点坐标分别是什么？221(,)1259(1)65=_________.3x y p x y x x y +===问题:是椭圆上的点.可以吗？(2)当时，222221(0)x y a b a b +=>>问题：结合以上研究，你能通过方程研究椭圆的范围、对称性、关键点吗？（指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x 轴和y 轴为该椭圆的对称轴，这四个交点为椭圆的顶点．）问题3：椭圆的顶点如何定义？（预案：学生可能会回答“椭圆与x 轴和y 轴的交点称为椭圆的顶点”） 【设计意图】让学生明确特殊与一般的区别,引出特征三角形学生讨论完成． 探究四：问题1：用c b a ,,中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？（先思考（过了3分钟）小组合作讨论，互相交流看法;小组展示成果）（预案一：a b ；预案二：b a ；预案三：a c ；预案四：b c…）师：其实，用c b a ,,中任意两个量的比值都可以刻画椭圆的扁平程度．为什么采用a c 来刻画椭圆的扁平程度？c a 和是原始量，另外采用ac也是为了后边研究圆锥的统一性等性质的方便． 问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？（预案：学生可能假设a 不变，长轴长不变，改变c ，短轴长改变去说明离心率对椭圆的扁平程度的影响．老师肯定他们做法的同时，也要指出“长轴1212A A B B 问题4：已知椭圆的长轴和短轴，怎样作图确定焦点的位置？22221:11259254x y x y +=+=问题结合椭圆性质，在同一坐标系中分别画出以下椭圆：，；2:问题比较以上两个椭圆的“圆、扁”程度，思考用什么量来刻画它们的“圆、扁”程度？长可能改变”，引导学生用a c 与ab的关系去刻画．） （让学生用逼近的思想想象当e 0时，椭圆接近于圆；当e 1时，椭圆接近【设计意图】:通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆12222=+by a x 的性质；另一方面让学生类比已有的知识，得出椭圆12222=+bx a y 的知识．(三)知识应用：例1．椭圆400251622=+y x 的长轴长__________,短轴长________，离心率_______，焦点坐标__________,顶点坐标_________________例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 经过点)2,0(),0,3(--Q P (2)长轴长为20，离心率等于53预案一：例2(1)学生可能设方程为),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+代入求方程； 预案二：例2(1)学生可能由顶点坐标直接判断焦点位置和b a ,的值．(老师要肯定学生不同解法，并指出预案一方法的一般性以及预案二方法的简洁)【设计意图】：例1由方程得性质，例2由性质得方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系．(四)课堂小结：本节课你有什么收获？结合所学知识和知识探究过程．(五)分层作业：1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？学生：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．会解决已知椭圆基本量求椭圆的标准方程；会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质．2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质 （定义域、值域、奇偶性、单调性等）．本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数方法研究曲线的性质，是解析几何研究曲线的常用方法，研究时可以用从特殊到一般的方法．1.372.210p p36练习1、2、3；2.课后的思考：习题第题；。
椭圆的性质教学设计
椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计【1】（一）指导思想与理论依据1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。
在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。
2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的内容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。
在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。
这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。
另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。
（二）教学背景分析A、学情分析 1、能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
2、认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤;②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解;③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。
3、情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。
B、教材分析在教材处理上，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；②难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。
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课题：椭圆的应用
1、有相同离心率的椭圆系方程的设法： 与椭圆
)0(12
22
2 b a b y a x =+有相同离心率的椭圆系方程可设为：
t t b y a x (2
22
2=+>0，
)0 b a 和k k b
x a y (22
22=+>0，)0 b a
理由：椭圆
)0(12
22
2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程t t b y a x (2
2
22
=+>0，)0 b a 的离心率也是a c
e =；k k b
x a y (22
22
=+>0，)0 b a 的离心率也是a
c
e =。
【例】求经过点M(1,2)且与椭圆122x +6
2
y =1有相同离心率的椭圆的标准方程。
解：设所求椭圆方程为122x +62y =k (k>0) ,或122y +6
2
x =λ (λ>0)，将点M （1，2）代入解
得：
21,43==λk ，故所求椭圆方程为12
9922=+y x 或1362
2=+x y
2、共焦点的椭圆系方程的设法：
与椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）共焦点的椭圆系方程可设为：
)0,0(1222222
2
2λλλλλ
λ+≠+>+>+=+++b a b a b y a x 且 【例】求与椭圆45592
2=+y x 共焦点且过点)6,2(M 的椭圆方程。
解：因为椭圆45592
2
=+y x 方程可化为：19
52
2=+y x ， 设所求椭圆方程为：
1952
2=+++λ
λy x )5(->λ 将点)6,2(M 坐标代入方程解得：3=λ或7-=λ（舍）
故所求椭圆方程为：
112
82
2=+y x 3、焦点三角形的面积：
【例】 如下图，设E ：22a x +22
b y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.
求证：△PF
1F 2的面积S =b 2
t an θ.
证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，
则S =2
1
r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ，
由余弦定理有
（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2
（1+cos2θ），
于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.
所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ
2cos 122+b sin2θ=b 2
θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.
评述：椭圆中，解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.
4、最值问题
【例1】已知y x ,满足14
22
=+y x ，求y x y xy x y x f 242),(22++++=的最大值。
【例1】解：由条件可设θθsin ,cos 2==y x
故)22()4(),(22y x xy y x y x f ++++=
)sin 2cos 2sin cos 22(4θθθθ++⋅+= 4)sin (cos 2sin cos 4+++=θθθθ
令t =+θθsin cos 则1sin cos 22
-=t θθ )1(242)1(2),(22++=++-=t t t t y x f ]2,2[)4
sin(2sin cos -∈+
=+=π
θθθt
),(y x f 的最大值为)23(2]12)2[(22+=++
【例2】求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离 【例2】解法一：设与直线01623=--y x 平行且与椭圆相切的直线方程为：023=+-m y x
联立化简得07342
2
=-++m mx x （*）
0)7(44922=-⨯-=∆m m
4,162
±==∴m m ，故切线方程为：0423=±-y x
这两条切线到已知直线的距离分别是13
12,1320 故最短距离为13
12
解法二：（椭圆的参数方程求解）
【例3】设)3,2(-P ，F 为椭圆252x +16
2
y =1的右焦点，点M 在椭圆上移动，当
||3
5
||MF PM + 取得最小值时，求M 点的坐标.
【例3】解：
5
3
||||==e MN MF 故||35||MF MN = 故||||||35
||MN PM MF PM +=+
故||3
5
||MF PM +取得最小值时，
||||MN PM +取得最小值时，只有P 、M 、N 三点共线时才会取得最小值.此
时，M 点的坐标为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,4135
【例4】设AB 是过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为
F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）
A. bc
B. ab
C. ac
D. b 2
【例4】解析：如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。
又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB
的面积最大值为
1
2
cb 。
所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心
对称图形。
【例5】已知点
在圆 上移动，点
在椭圆
上移动，求
的最大值．
【例5】解析：设椭圆上一点
，又
，于是
．
而 ∴当 时， 有最大值5．故 的最大值为6． 点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．。