八年级数学上册(北大师版)配套教学教案：2.7第1课时二次根式及其化简
024.北师大版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简(教案)
2.7二次根式第1课时二次根式及其化简教学目标1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)教学过程一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝（2a ）2·2ab ＝2a 2ab ；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：8a 中有因数4；c 9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a ≥0）的式子有意义的条件：a ≥0性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝a （a ≥0）最简二次根式 教学反思本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性，等等．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
第二章 实 数7 二次根式第1课时 二次根式及其化简教学目标1.会区分二次根式与最简二次根式;2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.教学重难点重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.教学过程导入新课1.做一做：√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√a 2= ｜a ｜ , （√a ）2=a.2.观察下列代数式：(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；(5)√a 2+1 ； (6)√(c +b )(c −b)(其中b =24，c =25).这些式子有什么共同特征？(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数. 探究新知一般地，形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式,其中a 是被开方数.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.(1) √32； (2)6； (3) √−12；(4) √−m （m ≤0）； (5) √xy ； (6)√53.【解】（1）（4）.（2）没有开方运算；（3）被开方数是负数；（5）xy 可能是负数；（6）根指数不是2活动：探究二次根式的性质计算下列各式，你能发现什么?（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；√16×√25= 20， √16×25=20；√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45． （2）用计算器计算：√6×√7 ≈6.481 ， √6×7≈6.481；√6√7≈0.925 8 ， √67≈0.925 8. 即：√4×√9= √4×9；√16×√25=√16×25；√6×√7=√6×7； √4√9=√49； √16√25=√1625； √6√7=√67. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. √a b =√a √b(a ≥0,b ＞0).【例2】化简：（1）√81×64；（2）√25×6；（3）√59. 观察：化简以后结果中的被开方数又有什么特征？【解】（1）√81×64=√81×√64=9×8=72;（2）√25×6=√25×√6=5×√6=5√6; （3）√59=√5√9=√53. 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.最简二次根式的特点：①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式;③分母不含根号.【例3】化简：（1）√50；（2）√27； （3）√3. 【解】（1）√50=√25×2=√25×√2=5×√2=5√2； （2）√27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147； （3）√3=√3√3×√3=√33. 注：化简时，要求最终结果是最简二次根式.课堂练习 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．√7B ．√3C ．√12D ．√22．若x 为任意数，则下列各式中一定成立的是（ ）A.24x x =B.24x x -=C.x x =2D.x x -=23．下列各式中正确的是（ ）A.416±=B.()222-=-C.24-=-D.3327=4．化简()225-⨯，结果是( ) A.-52 B.52 C.－10 D.10 5.要使式子√a+2a 有意义，a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0B. a ＞-2且a ≠ 0C. a ＞-2或a ≠ 0D. a ≥-2且a ≠ 0参考答案1.C2.A3.D4.B5.D课堂小结1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.2.二次根式的性质： √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a√b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式满足的条件：①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）；③分母不能含有根号. 布置作业习题2.9第1，2，3题板书设计7 二次根式第1课时 二次根式及其化简 1.二次根式的定义及其判断依据；2.二次根式的性质：√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a √b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式的定义及其判断依据.。
北师大版-数学-八年级上册--2.7 二次根式 精品教案
第二章 实数2.7．二次根式（第1课时）一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时。
第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．为此，确定本节课教学目标是：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．问题2：二次根式怎样进行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，ba b a =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ； 2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
二次根式及其化简（教案）
北师大版数学八年级上册2.7.1 二次根式及其化简教学设计课题 2.7.1 二次根式及其化简单元第二单元 学科数学年级八学习 目标知识与技能：1.了解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.重点 认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质 难点 能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式教学过程教学环节 教师活动学生活动 设计意图 导入新课师：思考回答下面几个问题。
（1）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2， ∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 师：上述结果有什么共同特征？生：思考回答问题 （1）由勾股定理得AB=13 （2）面积为S 的正方形的边长是s (3)r=2通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．讲授新课观察下列代数式：5，，，ABCDE F，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：生：（1）分别表示5，11，7.2， （c+b ）（c-b ）的算术平方根．介绍二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．最终归纳出ba b a •=⋅从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），b a ba=（a ≥0， b ＞0）．说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
北师大版八年级上册数学 第1课时 二次根式及其化简教案精选教案2
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简【教材分析】本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ、最简二次根式概念Ⅱ、利用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式。
【重点分析】①本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是最简二次根式；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为最简二次根式的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对最简二次根式概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧1、难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
重难点的解决办法是对于最简二次根式这一概念，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此在过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时中应充分对最简二次根式概念理解后应用具体的实例归纳出把一个二次根式化为最简二次根式的方法，在观察对比中引导学生具体解决问题的方法技巧。
八年级数学上册 2.7.1 二次根式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数学教案
课题：二次根式教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.积的算术平方根与商的算术平方根的性质．积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式．4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识．教学重点与难点：重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简.难点：（a≥0，b≥0）=（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题:1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？2. 5的算术平方根是多少？3.一个正数的平方是，这个数多少？4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？问题1：它们的值有什么共同特点?问题2：它们的值是最简形式吗？处理方式：学生独立完成，然后同伴交流所提出的两个问题。
引入我们今天要学习的内容.设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入了新课.二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习．练一练：1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2.当x X 围内有意义？3.m 能取得最小整数值是（）. 参考答案：， 2. 13x ≥ 3. 1处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足)0(≥a a 的形式.即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数.设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识.1x活动内容2：（多媒体出示）计算下列各题，你发现了什么规律？(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？94⨯＝； 94⨯＝，2516⨯＝2516⨯＝，；处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律.设计意图：引导学生发现算式的特点及规律，并产生猜想, 增强学生的求知欲．(2). 猜猜76⨯＝76⨯＝，也有类似的关系吗？你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证.设计意图：引导学生验证猜想，得出规律,使学生获得成功的喜悦.并且收获了研究数学问题的探究方法．问题1：你能用字母表示这个规律吗？问题2：能用语言描述这个结论的意义吗?处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件.小组总结出结论a b = ( a ≥0，b ≥0)，这里应强调a ,b 的取值X 围.预设：如果不能得出a ,b 的取值X 围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。
北师大版-数学-八年级上册-2.7《二次根式(1)》教学设计
2.7《二次根式（1）》教学设计教学目标：1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
2．用类比着的方法，引入实数的运算法则、运算律，并用这些法则、运算率在实数范围正确的计算。
3．通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性和创新能力。
教学重点：实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算教学难点：有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
教学过程：一、导入新课活动过程：复习巩固实数范围内相反数、倒数和绝对值的意义。
活动成果：体会实数范围内相反数、倒数和绝对值的意义。
【设计意图】：概念习题化，习题题组化，通过练习，进一步感受实数范围内相反数、倒数和绝对值的意义。
二、探究新知活动一：活动过程： 通过实例验证：实数的运算法则、运算律。
活动成果：通过实例验证，体会数学的严谨性。
【设计意图】： 借助于实例验证，总结运算公式，为下面的知识做铺垫。
三、例题精讲讲解过程：运用实数的运算法则及最简根式的要求，对所给题目进行化简。
解题思路：运用实数的运算法则，对所给题目进行化简。
解题方法：演绎法答案：（1）728964816481=⨯=⨯=⨯四、课堂练习课本随堂练习五、课堂总结课时小结本节课用类比的方法验证了有理数范围内的运算率、运算法则在实数范围内仍然成立，你还有哪些新的收获？六、课后作业课本课后习题 习题2.9 1、2、3、4七、板书设计课题：2.7二次根式（1）1.二次根式运算法则：2.最简二次根式：3.例题讲解：八、教学反思本节课，引导学生运用恰当的方法，使学生学会学习，在探索实数范围内的运算律、运算法则的过程中，使学生经历了类比、猜想、验证、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的过程，体会到研究问题、解决问题的方法。
2019-2020学年八年级数学上册 2.7 二次根式(第1课时)教案 (新版)北师大版.doc
2019-2020学年八年级数学上册 2.7 二次根式（第1课时）教案 （新版）北师大版一、教学目标是：1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．二．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题第二环节：知识探究1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？例3 计算：（1）326⨯；（2）236⨯；（3）52。
解：（1）略（2）236⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3 （3）52＝＝52＝5552⨯⨯=510 面积8 面积2说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．第三环节：巩固练习例4 计算：（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(⨯-；（6）2188+。
解：（1）3322⨯=32⨯⨯32⨯=66； （2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯=； （6）2188+5329421828=+=+=+=。
例5 计算：（1（2）515-；（3）。
解：（1＝；（2）515-＝2555-＝2555-＝555-＝554；（3）==== 课堂练习1：1.化简：（1）18；（2）25；（3）7533-；（4）2112-．（5）6)334(⨯+ 第四环节：知识拓展1化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；（4）325092-+； （5）5145203--； （6）3223+． 2已知 23,23-=+=y x ，求)(22y x yx y xy x +-+++.例2 如图，方格纸上最小的正方形边长为1，请在图中作出一条长度为25的线段.第五环节：课堂小结 在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？五、教学反思。
北师版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简
2 二次根式的双重非负性
新课讲解
【思考】 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算
术平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
9
93
新课讲解
最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开
得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式.
新课讲解
【例5】化简： (1) 50； (2) 2 ； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2. (2) 2 2 2 7 1 14. 7 7 7 7 7 (3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3
★商的算术平方根等于算术平方根的商
a a bb
（a≥0， b＞0）．
新课讲解
【例4】化简：
5
（1） 81 64；（2） 25 6 ；（3） 9 .
解：(1) 81 64 81 64 98 72.
(2) 25 6 25 6 5 6.
(3) 5 5 5 .
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
新课讲解
【例2】(1)当x取何值时, x 2 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义. （2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值. 解：当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义； 当x=9时， x 2 9 2 7.
北师大版八年级上册数学北师大版八年级上册数学 3.学案2.7 第1课时 二次根式及其化简
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简一、目标1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
二、重点难点1、重点会把二次根式化简为最简二次根式2、难点准确运用化二次根式为最简二次根式的方法三、方法程序式四、课时安排二课时五、过程1、复习引入准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。
【预备资料】⑴、二次根式的性质⑵、二次根式性质例题⑶、二次根式性质练习题【引入材料】看下面的问题：已知：＝1.732，如何求出的近似值?解法1：解法2：比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
2、概念讲解与巩固【概念讲解材料】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【概念理解学习材料1】例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有，因为被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
2.7第1课时二次根式及其化简2-2021-2022学年八年级上册初二数学(教案)(北师大版)
-指出学生在进行二次根式化简时容易出现的错误，如误将√(a/b)化简为√a/√b，强调正确的化简方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式及其化简》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非完全平方数的平方根的情况？”（如计算√9、√16等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解普遍较好，他们能够较快地掌握二次根式的定义，并且在一些简单的例题中运用性质进行计算。然而，当我引入化简二次根式的环节时，明显感觉到一部分学生在处理复杂的化简步骤时遇到了困难。
我意识到，对于二次根式的化简，特别是涉及到分数和乘除法的混合运算，是学生们的一个明显难点。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生，通过更多的例题和练习，帮助他们逐步掌握化简的技巧和方法。
2.教学难点
-理解并运用二次根式的性质进行化简。例如，将复杂的二次根式化简为最简二次根式，如√(12/16) = √(3/4)。
-解决实际问题时，正确识别并运用二次根式进行计算。例如，计算长方形对角线的长度，需要运用二次根式。
八年级数学上册2.7二次根式第1课时二次根式及其化简教案1北师大版(new)
2．7 二次根式第1课时二次根式及其化简1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点）2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点）一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC 中,AC＝3，BC＝2，∠C＝90°,那么AB边的长是多少？（2）面积为S的正方形的边长是多少？(3）要修建一个面积为6。
28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14）上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中,哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)错误!；（2）错误!;(3) 3，3;(4）错误!；(5）错误!（x≥0，y≥0);(6）错误!；(7)错误!.解：(1）(2）(5）(6）是；(3）（4）(7）不是．方法总结:在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题错误!＝2,错误!是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，错误!＋错误!在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋错误!在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1。
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况:一是分母不为零,二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二:二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1）错误!；（2)错误!（a≥0，b ≥0）；（3)（－36）×169×（－9）。
解析：本题主要考查运用错误!＝错误!·错误!(a≥0，b≥0）及错误!＝a(a≥0)进行化简．解：(1)错误!＝错误!＝错误!×错误!＝4错误!;（2）错误!＝错误!＝错误!·错误!＝2a错误!；(3)错误!＝错误!＝6×13×3＝234.方法总结:(1)若被开方数中含有负因数,则应先化成正因数，如(3）题．（2）将二次根式尽量化简，使被开方数（式）中不含能开得尽方的因数（因式）,即化为最简二次根式(后面学到）．探究点三：最简二次根式在二次根式错误!,错误!,错误!，错误!中，最简二次根式共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析:8a中有因数4；错误!中有分母9；a3中有因式a2。
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2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简重点难点提示本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。
1．二次根式的重要性质：要注意以下问题：（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。
而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。
去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。
若无法决定，要对其进行讨论。
（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。
2．的区别（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。
而表示对实数a先平方，再开方。
知识点精析例1．判断下列各式是否正确(1)(2)(3) (4)(5)解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。
例2．化简(1) (2) (-1<x<8) (3) (0<x<1)(4)解：(1) ∵x2+1>0,∴(2) ∵-1<x<8,∴x+1>0, x-8<0.∴=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.(3) ∵0<x<1,∴.∴.(4) ==|x-4|+|x-3|当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1.当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。
∴原式=说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。
而正确去掉绝对值符号是化简的关键。
去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。
此类问题，一般可分为两类。
第一类是不需要讨论直接化简。
属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。
③给出明确的条件，如（2）小题。
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2.7二次根式第1课时二次根式及其化简教学目标1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)教学过程一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x ＋1≠0，解得x ≥－3且x ≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式． (1)48；(2)8a 3b(a ≥0，b ≥0)； (3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)及a 2＝a(a ≥0)进行化简． 解：(1)48＝16×3＝16×3＝43； (2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝（2a ）2·2ab ＝2a 2ab ； (3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：8a 中有因数4；c 9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式． 三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a ≥0）的式子有意义的条件：a ≥0性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝a （a ≥0）最简二次根式 教学反思本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性，等等．励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
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2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简重点难点提示本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。
1．二次根式的重要性质：要注意以下问题：（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。
而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。
去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。
若无法决定，要对其进行讨论。
（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。
2．的区别（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。
而表示对实数a先平方，再开方。
知识点精析例1．判断下列各式是否正确(1)(2)(3) (4)(5)解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。
例2．化简(1) (2) (-1<x<8) (3) (0<x<1)(4)解：(1) ∵x2+1>0,∴(2) ∵-1<x<8,∴x+1>0, x-8<0.∴=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.(3) ∵0<x<1,∴.∴.(4) ==|x-4|+|x-3|当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1.当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。
∴原式=说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。
而正确去掉绝对值符号是化简的关键。
去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。
此类问题，一般可分为两类。
第一类是不需要讨论直接化简。
属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。
③给出明确的条件，如（2）小题。
2.7.1 二次根式及化简 教学设计(表格式)北师版八年级上册数学(2024年)
7 二次根式第1课时二次根式及化简课题第1课时二次根式及化简授课人教学目标1.认识二次根式和最简二次根式.2.探索积的算术平方根与商的算术平方根的性质.3.利用积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式.4.通过利用二次根式的性质进行计算,理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识.5.利用二次根式及最简二次根式的概念及性质,能把一个二次根式化成最简形式,培养学生解决问题的能力.6.引导学生认识从特殊到一般的认知规律,大胆猜测结果,从例子中归纳出一般适用的方法.7.通过探索规律,培养学生学习的主动性,使学生敢于探索,鼓励学生大胆猜想,积极与他人交流,增强学生学习数学的信心.教学重点二次根式的概念、性质及化简.教学难点利用二次根式的性质化简二次根式.授课类型新授课课时教具课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾问题1:什么叫做平方根?问题2:什么叫做算术平方根?问题3:什么数有算术平方根?通过复习让学生对知识有熟悉感.活动一: 【课堂引入】观察下列代数式:先从学生比较熟知的具体的根式入手,观创设情境导入新课√5,√11,√7.2,√49121,√(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25),这些式子有什么共同特征?特征:都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.察它们的形式,首先从感官上感知什么是二次根式,为二次根式的定义的提出做准备.活动二: 探究与应用【探究1】二次根式概念的探究像√2这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式(板书课题).首先我们认识一下什么叫二次根式.(给出概念)二次根式的概念:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.请同学们结合二次根式的概念回答下面的问题:问题1:你认为一个式子是二次根式应满足几个条件?问题2:下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?√2,√33,1x,√x(x>0),√0,4√2,-√2,1x+y,√x+y(x≥0,y≥0).问题3:当x是多少时,二次根式√3x−1在实数范围内有意义?其中x的最小整数值是多少?问题4:当a≥0时,√a的结果一定是什么数?【探究2】(多媒体出示)计算下列各题,你发现了什么规律?(1)计算下列各式,你能得到哪些猜想?√4×9=,√4×√9=;√16×25=,√16×√25=.(2)√6×7=,√6×√7=.你又会产生怎样的猜想?问题1:你能用字母表示这个规律吗?问题2:你能用语言描述这个结论的意义吗?小组总结出结论:√ab=√a·√b(a≥0,b≥0),这里应强调a,b的取值范围.【探究3】(多媒体出示)计算下列各式,你又发现了什么规律?√49=;√4√9=;√1625=;√16√25=.1.通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解,比空洞的讲解文字定义更直观具体,易于理解接受.问题4对于学习二次根式的双重非负性起到过渡作用,为二次根式性质的探究做了铺垫.2.本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,由特殊数入手,先让学生获得感性上的认识,然后通过猜想、归纳,得出二次根式的性质.3.由于现在还没有学习最简二次根式的概使学生明白:√a b =√a √b(a ≥0,b>0),这里应强调a ,b 的取值范围. 语言叙述:积的算术平方根等于积中各因式(非负数)算术平方根的积.商的算术平方根等于分子(非负数)、分母(正数)算术平方根的商.念,学生实际上并不知道化简的方向,因此,这里以例题的形式呈现了有关结论,增强学生对最简二次根式的理解.(续表)活动 二:探究 与应用 【探究4】 最简二次根式的概念探究思考:请同学们观察例1中的各式,怎样进行化简?(多媒体出示例1)(教材例1)化简:(1)√81×64;(2)√25×6;(3)√59.总结:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式. 例1的设计是让学生能够熟练掌握二次根式的化简方法和技巧,进一步明确最简二次根式的条件.【应用举例】 例1 (1)若式子√x−12在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 ; (2)若式子1x−2+√x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 例2 (教材例2)化简:(1)√50;(2)√27;(3)√3.例3 下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二次根式?不是最简二次根式的,请说明理由.(1)√13;(2)√x 2+1;(3)√0.2;(4)√24x ;(5)√x 3+6x 2+9x ; (6)√3+√2√3-√2. 变式训练1.下列等式中正确的是 ( ) A .(√3)2=3 B .√(-3)2=-3 C .√33=3 D .(-√3)2=-32.计算:(1)√49×64;(2)√36×7;(3)√1764.灵活应用二次根式的性质进行化简,并把结果化成最简二次根式.3.化简:(1)√32;(2)√127;(3)√1.5;(4)√5;(5)√118.4.化简:(1)√12;(2)√(-16)×(-2);(3)√-3-25;(4)√5.5.若√3m −1在实数范围内有意义,则m 能取的最小整数值是 . 【拓展提升】 1.若y=√x−4+√4−x2+2,则(x+y )y = .2.若√16−x 是整数,则自然数x= .3.对于任意不相等的两个数a ,b ,定义一种运算“*”如下: a*b=√a+b a−b ,如:3*2=√3+23−2=√5,那么8*4= .4.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图2-7-2所示,化简:√a 2-√b 2-√(a -b)2.图2-7-2拓展提升,进一步让学生熟练掌握二次根式的化简,加深理解. 【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]通过一组问题引出二次根式的概念,同时让学生感悟二次根式也需要化简,为下一步学习最简二次根式、二次根式的性质做好铺垫.②[讲授效果反思]本节课让学生理解二次根式和最简二次根式的概念,领悟二次根式的性质,明确性质的应用,知道如何化简二次根式.教师要教会学生化简的方法.③[师生互动反思]让学生根据实例进行探索,通过同学们互相交流合作,得出两个化简的公式:√ab=√a·√b(a≥0,b≥0);√ab =√a√ba≥0,b>0).这样既培养了他们的合作精神和探索能力,也让他们获得成功的体验.在教学时加强了师生互动的教学环节,充分调动学生的积极性,发挥学生的主体性,促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习.④[习题反思]计算能力的培养始终是初中阶段的一个重要目标,只有让学生多加练习才能熟练.但本节课的练习题数量较少,有待另外花时间加大训练.关于练习题目,老师们可以适当补充一些关于公式适用条件的题目,使学生对于公式有更深的了解.反思,更进一步提升.。
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全新修订版教学设计
（教案）
八年级数学上册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
2．7二次根式
第1课时二次根式及其化简
1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)
2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)
一、情境导入
问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为 6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)
上述结果有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的相关概念
【类型一】二次根式的定义
下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)2；(2)4；(3)3
3；(4)
1
x＋y
；
(5)x＋y(x≥０，y≥0)；(6)3a2＋8；
(7)－x2－12.
解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．。