奥数讲义
(完整版)小学奥数经济问题综合讲义五套(全部含答案)
经济问题 1例1. 某商品按定价的八折出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润是百分之多少？例2. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润是百分之多少？例3. 有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？例4.开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分比是多少？例5.一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？例6.某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？例7.张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？练习11．某商品按每个5元利润卖出11个的钱，与按每个11元的利润卖出10个的钱一样多。
这种商品的成本是多少元？2．商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。
问这批钢笔的进货价是每支多少钱？3．租用仓库堆放2吨货物，每月租金6000元，这些货来估计要销售2个月，实际降低了价格，结果1个月就销售完了，由于节省了租金，结算下来，反而多赚1000元。
每千克货物降低了多少元？4．某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80 %。
奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案
数的整除(3)最大公因数、最小公倍数教室______ 姓名_________ 学号________【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作(a, b)。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作]a, b]。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：(1)(a, b)x[ a, b] =a x b；(2)若a>b,则a- b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
(3)a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4,求乙数。
解：由性质(1)得到乙数=168 X 4 - 24 = 28.例2•将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
( 90, 42) =6.至少能剪90X 42-( 6 X 6) =105 (块).例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473 ;李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43 X 11 , 407 = 37 X 11，所以甲数是47,甲乙两数的乘积应为：47X 11=517 或1X477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数加上 1. [2, 3, 4, 5, 6, 7] =420, 最小数是：420+1=421。
小学三年级奥数教程讲义
导语：一、集合与运算1.集合的概念：集合是由一些确定的事物组成的整体，用大括号{}表示。
2.交集和并集：交集是两个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示；并集是两个集合中所有元素组成的集合，用符号∪表示。
3.集合的运算规则：交换律、结合律、分配律。
二、逻辑推理1.逻辑运算：与、或、非。
与运算表示两个条件同时满足，用符号∧表示；或运算表示两个条件中至少一个满足，用符号∨表示；非运算表示否定一个条件，用符号¬表示。
2.推理方法：包括归纳法和演绎法。
归纳法是通过观察现象归纳出一般规律；演绎法是通过已知条件推导出结论。
三、数形关系1.数形结合：通过图形找规律、通过规律解题。
2.填数表：根据规律填写表格。
四、排列组合1.排列：从一组元素中取出若干个不同的元素进行排列，共有多少种可能性。
2.组合：从一组元素中取出若干个不同的元素进行组合，共有多少种可能性。
3.排列组合应用：根据具体情况应用排列组合的原理进行解题。
五、数论与整数运算1.质数与合数：质数是只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5等；合数是除了1和自身还能被其他数整除的自然数，例如4、6、8等。
2.最大公约数与最小公倍数：最大公约数是两个数都能整除的最大自然数；最小公倍数是两个数都能被整除的最小自然数。
3.因数与倍数：一个数能被整除的因数称为因数；一个数能被另一个数整除的称为倍数。
4.逢完数：一个数的所有因数相加等于这个数本身。
5.奇数与偶数：一个数能被2整除的称为偶数，不能被2整除的称为奇数。
六、巧用计算1.分数和小数的运算：分数与小数互相转换及运算。
2.百分数：将小数转换为百分数，百分数之间的运算。
3.运算顺序：根据运算法则确定计算的顺序。
尾声：通过学习本教程，相信大家对小学三年级奥数的基本概念和解题方法已有初步了解。
在学习过程中，勤动手、多实践、灵活思维是很重要的。
希望同学们能够善于总结经验，多积累解题思路，为进一步学习和应用奥数打下坚实的基础。
五年级上册秋季奥数培优讲义——5-03-倍数因数4-讲义-教师
第3讲倍数和因数【学习目标】1、掌握三类数字整除特征；2、掌握公因数、公倍数和其实际应用。
【知识梳理】1、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。
2、一些特殊的数的倍数的特征：（1）尾数系：2、5 / 4、25 / 8、125①末一位：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；②末两位：末两位组成的数是4或者25的倍数；③末三位：末三位组成的数是8是125的倍数。
（2）和系：3、9①看数字之和是否为3或9的倍数；②划数法：弃3、弃9。
（3）差系：7、11、13①把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7、11、13的倍数；②11：从右边开始，奇数位数字和与偶数位数字和的差值，能否被11整除。
3、公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数；4、公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.5、记法：两个数A、B的最因大公因数记做(A、B)；两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]。
6、结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数。
【典例精析】【例1】下面6个自然数:136、990、522、6375、9063、1125中:（1）哪些能被2整除? 哪些能被4整除? 哪些能被8整除?（2）哪些能被5整除?哪些能被25整除整除? 哪些能被125整除整除?（3）哪些能被3整除? 哪些能被9整除?（1）2：136、990、522；4：136；8：136（2）5：990、6375、1125；25：6375、1125；125：6375、1125（3）3：990、522、6375、9063、11259：990、522、9063、1125【趁热打铁-1】下面五个自然数：238224、95147、75163哪些能被7整除? 哪些能被11整除? 哪些能被13整除?7：23822411：7516313：95147【例2】从0、5、6、7四个数中任意选出三个数，组成一个是3的倍数的三位数。
四年级升五年级奥数综合讲义第1讲-巧妙求和
第一讲巧妙求和一、专题简析：数列中从第二项起，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
通项公式：第n项=首项＋（项数—1）×公差项数公式：项数=（末项—首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2二、典型例题例1：等差数列4,10,16,22，……，52共有多少项？练一练：1.等差数列2,5,8,11，……，101共有几项？2.有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下面一层有25根，这堆圆木共有几层？例2：已知等差数列3,7,11,15，……，则该等差数列的第100项是多少？练一练：1.已知等差数列1,4,7，10，……，则该等差数列的第30项是多少？2.已知等差数列2,6,10,14，……，则该等差数列的第100项是多少？，例3：有这样一个数列1,2,3,4，……，99,100，请求出这个数列各项相加的和？练一练： 1+2+3+4……+49+50 6+7+8+9+……+75100+99+98+97+……+60 120+119+118+……+2+1例4．琳琳读一部小说，第一天读了40页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，共花10天读完，这本书共有多少页？练一练：1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层是120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？2.按一定规律排列的算式：4+2,5+8,6+14,7+20，……，那么第100个算式是什么？三、熟能生巧1、有一个等差数列：9,12,15,18，……，2004，这个数列共有多少项？2、求等差数列1,6,11,16，……，的第61项。
3、1—2＋3—4＋5—6……＋2009—2010＋2011 160+154+148+……+16 5+10+15+20+……+195+200 9+18+27+……+261+270（2+4+6+……+100）—（1+3+5+7+……+99）880—3—6—9—…—572+3—4+5+6—7+8+9—10+11+12—13+……+101+102—1034.5个连续自然数的和是225，求第一个数是多少？5.有30把锁的钥匙都搞乱了，为了使每把锁都被打开，至多要开多少次？。
六年级寒假奥数培优讲义——6-09-走走停停3-讲义-学生
第9讲走走停停【学习目标】1、进一步学习行程问题；2、掌握走走停停的类型题型。
【知识梳理】在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。
遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。
这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。
【典例精析】【例1】龟和兔进行1500米的赛跑，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑325米，兔自以为能得第一，途中睡了一觉．结果龟到终点时，兔还有200米，兔睡了多少分钟？【趁热打铁-1】龟兔赛跑，同时同地出发，全程是20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑。
(1)若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？(2)如果兔子在途中要睡1.5小时（乌龟和兔子的速度保持不变）,且兔子不输给乌龟，则路程至少为多少米？【例2】龟兔赛跑，全程10.8千米，兔子每小时跑50千米，乌龟每小时跑8千米，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟，然后玩10分钟，又跑2分钟，玩10分钟，再跑3分钟，玩10分钟……那么先到达终点的比后到达终点的快分钟。
【趁热打铁-2】龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？【例3】小明和爸爸一起锻炼时发现：小明每跑8步而爸爸只能跑5步，但是爸爸跑2步的距离相当于小明跑5步的距离。
如果从同一起点小明跑了27步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上小明至少需要跑步。
【趁热打铁-3】森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上去。
猎狗步子大，它跑5步的路程，野兔要跑9步；但野兔动作快，猎狗跑2步的时间，野兔能跑3步。
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数系统讲义完整版Ø归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式：0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。
11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？Ø归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解：（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）答：现在可以做904套。
13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。
六年级寒假奥数培优讲义——6-01-分段计费3-讲义-学生
第1讲分段计费【学习目标】1、进一步学习经济问题；2、熟悉分段计费常见题型及解法。
【知识梳理】分段计费就是按阶梯收费，每一段的收费单价不一样，这一类题首先找出拐点，找出每一段的费用标准，从而分段计算。
【典例精析】【例1】某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元（不足1千米按1千米算）．现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先往前走800米再乘车到B地，结果还是24元，那么如果先走AB的一半路程，再打车需要多少元？【趁热打铁-1】自从9月1日某市首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便，下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：车型起步公里数起步价格超出起步公里数后的单价普通燃油型 3 13元 2.3元/公里纯电动型 3 8元2元/公里老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内）,结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位多少公里？【例2】成都市公布的居民用电电价听证方案如下:（1）培培家5月份的电费为139.5元，请你求出培培家5月份的用电量；（2）若新新家某月的电费为248元，则新新家该月用电量是多少？属于第几档？【趁热打铁-2】安民小区对用电的收费标准如下：每月用户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度部分按每度0.80元收费。
某月培培家比新新家多交5.80元，那么培【例3】某城市按以下规定收取每月的水费，如果用水不超过50吨，按每吨1．8元收费；如果超过50吨不足100吨，超过部分按每吨2元收费；如果超过100吨，超过部分按照每吨3元收费。
某公司下属甲乙两单位4月共用水113吨，如果甲、乙分别付费共需要207元。
（已知甲用水超过50吨，乙用水超过40吨，但不足50吨。
）（1）设甲用了x吨水，乙用了y吨水，则甲单位需付元；乙单位需付元。
四升五暑期奥数培优讲义——5-12-排列组合3-讲义-学生
第12讲排列组合【学习目标】1、进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2、掌握解决排列组合问题的常用策略；3、学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
【知识梳理】1、排列：不同元素中任意取出 m 个(m≤n)元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
2、组合：从 n 个不同元素中任意取出 m 个(m≤n)元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
3、常用方法：（1）优先排序法——特殊位置或特殊元素（2）捆绑法——必须在一起，先捆再排（3）插空法——不能在一起，先排再插（4）排除法——正难则反（5）隔板法——相同物品放在不同位置 (或分给不同的人)【典例精析】【例1】六个人排成一排照相，有多少种排法？【趁热打铁-1】若把英语单词hero的字母写错了，则可能出现的错误共有多少种？【例2】六个人排成一排照相，若小明必须与小丽排在一起，有多少种排法？【趁热打铁-2】若小明和小丽不能排在一起，有多少种排法？【例3】正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有多少个？【趁热打铁-3】现在有4根木棒，长度分别是4分米、6分米、8分米和10分米，从中任意取出3根木棒，能组成三角形的情况有种。
【例4】从5枚面值为1元的邮票和4枚面值为1.60元的邮票中任取1枚或若干枚，可组成不同的邮资种。
【趁热打铁-4】某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有种。
【例5】从15名同学选出5人，上场参加篮球比赛。
如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法？【趁热打铁-5】如果甲、乙、丙不能同时都入选，共有多少种选法？【例6】从10名男生，8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛。
在下列条件下，分别有多少种选法？（1）恰有 3 名女生入选；（2）至少有两名女生入选；【趁热打铁-6】（3）某两名女生，某两名男生必须入选；（4）某两名女生，某两名男生不能同时入选；（5）某两名女生，某两名男生最多入选两人。
三年级上册秋季奥数培优讲义——3-03-和差问题3-讲义-学生
第3讲和差问题【学习目标】1、学习了解和、差的变化规律；2、利用这些规律来解决一些较简单的问题。
【知识梳理】1、和差问题：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。
2、解答和差应用题的基本数量关系是：（和－差）÷2=小数（和＋差）÷2=大数【典例精析】【例1】期中考试薇薇和龙龙数学成绩的总和是178分，龙龙比薇薇少2分。
两人各考了多少分？【趁热打铁-1】两筐苹果共重85千克，第一筐比第二筐多3千克。
两筐苹果各重多少千克？【例2】把长88厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少2厘米。
长和宽各是多少厘米？【趁热打铁-2】果果沿着学校长方形操场四周跑了3圈，共跑了1800米．已知这个长方形操场的长宽相差100米，那么操场的长是____米，宽是米。
【例3】把一个减法算式的被减数、减数、差加起来和是180，已知减数比差大10，被减数、减数和差各是多少？【趁热打铁-3】在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是2200，减数比差大100，减数是________．【例4】凯凯和新新买了66个面包，新新比凯凯每周少吃3个，二人恰好用了6周吃完了所有的面包．求凯凯每周吃多少个面包？【趁热打铁-4】一列客车和7辆同样的小汽车共载客77人，客车比小汽车多承载了7人，则客车载了____人，每辆小汽车载了____人．【例5】笑笑与达达两位同学2年前的年龄和是24岁，且笑笑比达达大 2 岁，笑笑今年____岁，达达今年____岁．【趁热打铁-5】今年爸爸比妈妈大4岁，再过5年，爸爸和妈妈年龄和是80岁，今年爸爸______岁，妈妈______岁．【例6】甲乙两船共载客730人，若甲船增加34人，乙船减少56人，这时两船乘客同样多，甲船原有乘客_______人．【趁热打铁-6】培培某次考试的语文和数学成绩一共185分，若语文多考3分，数学少考2分，语文和数学就一样，那么语文分，数学分。
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义第一部分：数学基础知识1.1 自然数和整数- 自然数是指从1开始的正整数，用符号$N$表示。
- 整数是自然数和其相反数的集合，用符号$Z$表示。
1.2 加法和减法- 加法是将两个数合并在一起，得到它们的总数。
- 例如：$2 + 3 = 5$。
- 减法是从一个数中减去另一个数，得到它们的差。
- 例如：$5 - 2 = 3$。
1.3 乘法和除法- 乘法是将两个数相乘，得到它们的积。
- 例如：$2 × 3 = 6$。
- 除法是将一个数分割成若干等份，得到它们的商。
- 例如：$6 ÷ 3 = 2$。
第二部分：奥数技巧和练2.1 快速计算- 利用9的乘法法则，可以快速计算一个数乘以9的结果。
- 例如：$4 × 9 = 36$。
- 利用倍数关系，可以快速计算一个数的倍数。
- 例如：$3 × 4 = 12$。
2.2 算式变换- 利用算式的性质，可以将复杂的算式转化为简单的算式。
- 例如：$(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35$。
- 利用分配律，可以将一个数拆分成两个数的和或差。
- 例如：$8 × 7 = (5 + 3) × 7 = 5 × 7 + 3 × 7 = 35 + 21 = 56$。
2.3 枚举法和猜想法- 枚举法是一种通过列举所有可能情况来解决问题的方法。
- 例如：求两个数的最大公约数，可以列举出所有可能的公约数，然后找出其中最大的一个。
- 猜想法是一种根据已有规律猜测答案的方法，然后通过严谨的推理来证明猜想是否正确。
- 例如：猜测一个数是偶数时，它一定能被2整除，然后通过证明偶数定义来证明猜想的正确性。
第三部分：练题1. 计算：$2 + 3 × 4 - 5 = ?$2. 计算：$7 - (4 × 2 + 1) = ?$3. 快速计算：$6 × 9 = ?$4. 快速计算：$5 × 7 = ?$5. 利用枚举法找出10以内的所有偶数。
高中数学奥数解题技巧讲义
高中数学奥数解题技巧讲义
一、应试技巧
1. 读清题目
在做题之前，首先要认真仔细地读题。
数学解题重在分析和推理。
通读题目，了解问题整体，理解各个部分之间的联系，确定问题求解思路和方法，有利于节约时间，提高解题效率。
2. 弄清楚考点
弄清楚考点是解题的关键。
不同的数学考试重点不同。
例如，高考热点非常明显，每年数学试题中都出现一些易错题型。
备考过程中对这些易错题型进行重点攻克，效果非常好。
3. 知识点掌握
理解数学知识点是解题的基础。
每个学生都应该掌握最基本的数学概念和定理，同时也要理解它们的应用方法和注意事项。
二、解题技巧
1. 图形转化
图形转化是指将一些抽象的数学概念或者特殊的几何形状转化为熟悉的图形或者几何图形问题，便于进行分析和计算。
例如，将一些三角函数转化为相应的正弦函数或余弦函数，方便计算。
2. 合理逆推
逆推是通过逆向思考，以返推的方式寻找问题的答案。
即，将答案看作已知，通过“已知->推断->假设”的推理模式，找出合理的方法来考虑问题。
有时候，逆推比正推更加简单和直观。
3. 多种方法
在解决数学问题时，不同的方法可能会导致不同的结果，因此善于尝试和探索多种解决方案是非常必要的。
对于难题，可能需要从不同的角度入手，采用不同的方法来解决。
总之，数学解题的关键在于认真仔细的思考和分析，掌握基本知识点和理论，同时结合具体问题进行综合考虑，多角度、多方法进行解题，才能使得解题更加轻松和高效。
奥数讲义-数论--综合-第1讲
第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x ＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
小学四年级奥数竞赛班讲义第25讲加乘原理与归纳递推
加乘原理与归纳递推是奥数竞赛中非常重要的概念。
今天我们来讲解一下这两个概念。
首先是加乘原理。
加乘原理是指：假设有两个事件A和B，事件A有m种可能发生的方式，事件B有n种可能发生的方式，那么两个事件A和B同时发生的方式有m*n种。
这个概念可以用来解决一些计数问题，特别是当两个事件独立发生时。
例如，一件衣服有5种颜色选择，一条裤子有3种颜色选择，一双鞋子有2种颜色选择。
那么一套包括衣服、裤子和鞋子的搭配有5*3*2=30种可能。
接下来是归纳递推。
归纳递推是一种通过已知情况推导出未知情况的方法。
通常需要找到递推公式，然后利用已知情况通过递推公式计算得到未知情况。
例如，我们要计算斐波那契数列中的第n项。
斐波那契数列的前两项是1，第三项开始的每一项都是前两项之和。
根据这个规律，我们可以得到递推公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
根据已知情况F(1)=1和F(2)=1，我们可以通过递推公式计算得到未知情况的值。
通过加乘原理和归纳递推，我们可以解决一些奥数竞赛中的难题。
下面我们来看一个例子。
例题：小明有3个红色球、4个蓝色球和5个绿色球。
他想从这些球中挑选3个，问他一共有多少种挑法？解法：根据加乘原理，我们可以得到红色球的选择方式有C(3,1)种，蓝色球的选择方式有C(4,1)种，绿色球的选择方式有C(5,1)种。
根据乘法原理，一共有C(3,1)*C(4,1)*C(5,1)=3*4*5=60种挑法。
上面的题目可以通过加乘原理解决。
但是有些问题可能需要通过归纳递推来解决。
下面是一个需要用到归纳递推的例子。
例题：一只蜗牛在一个50级的楼梯上爬行。
蜗牛每次只能往上爬1级或者2级，问蜗牛爬到第50级楼梯的方法数是多少？解法：我们可以用F(n)表示蜗牛爬到第n级楼梯的方法数。
根据题目要求，蜗牛在第50级楼梯时，只能从第49级楼梯或者第48级楼梯爬上来。
所以，蜗牛爬到第50级楼梯的方法数等于蜗牛爬到第49级楼梯的方法数加上蜗牛爬到第48级楼梯的方法数。
二年级奥数寒假班讲义
二年级奥数寒假班讲义第一节倒过来算--XXX框框法【知识要点】同学们在玩迷宫游戏时，往往会发现，根据要求从里面往外找出路，经常会走入死路，如果反过来思考，从外面的出口往里走，却能很快走到里面的出发点。
数学中有些问题的解答，就像走迷宫一样，需要我们从所求问题出发，倒着想，回到已知条件，这种倒着想的方法，叫做倒推法。
今天我们一起探究邦德框框法的妙处！【课前热身】23＋□=30□－42=15□×3=24□÷4=5【典型例题】例1一个数加上8，再减去2，结果等于8，求这个数是多少？例2某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，则这个数是多少？例3一根铁管，第一次截去2米，第二次截去剩下的一半，还剩下5米，这根铁管原有多少米？1二年级数学A例4XXX从学校回家，坐地铁走了全程的一半，坐汽车走了剩下的路程的一半，这时离她家还有2千米，学校到XXX家有多少千米？【经典回顾】例5（1）2、5、3、5、4、5、（）、（）（2）11、4、8、4、5、4、（）、（）（3）1、2、3、5、8、13、（）（4）2、5、6、9、10、13、14、( )、( )（5）1、2、3、2、3、4、3、4、5、( )、( )、( )（6）1、2、4、8、（）（7）6、1、8、3、10、5、12、7、（）、（）；2二年级数学A【小试矛头】1．一个数减去2，再乘以4，结果是24，求这个数？2．一个数加上5，再减去8，成效是12，求这个数？3．一个数除以5，加上6，再减去2，成效是8，求这个数是多少？4．一个数加上2，乘以4，减去4，再除以4，末了成效还是4，求这个数？5．有一盘桃子，猴哥哥取走了10个，猴妹妹取了剩下的一半，这时还剩下4个桃子，问原有桃子多少个？6．有甲、乙、丙三个鸡笼，如果从甲笼取6只小鸡到乙笼，又从乙笼取5只小鸡到丙笼，再从丙笼取4只小鸡到甲笼，这时三个鸡笼里的小鸡都是12只。
求三个鸡笼原各有多少只小鸡？3二年级数学A【大显身手】1．一个数加上7，再乘以2，结果是18，求这个数？2．一个数减去2，乘以3，加上4，除以5后等于2，求这个数？3．一根绳子用去7米，再用去余下的一半，还剩9米，这根绳子原有多长？4．妈妈去商店购物，第一次用去所带钱的一半，第二次又用去了余下的一半，这时妈妈还剩下30元，妈妈原有多少钱？★5．甲、乙、丙三堆砂子，第一次从甲堆取出5千克给乙堆，第二次从乙堆取出10千克给丙堆，第三次从丙堆取出6千克给甲堆，这时三堆砂子都是48千克。
四年级学而思奥数讲义
四年级学而思奥数讲义
目录
1. 引言
2. 第一章: 基本数学运算
3. 第二章: 数字与数的关系
4. 第三章: 分数和小数
5. 第四章: 几何形状
1. 引言
学而思奥数讲义是为四年级学生设计的数学研究材料。
本讲义旨在帮助学生掌握奥数中的基础概念和解题技巧，以提升他们在数学领域的能力。
2. 第一章: 基本数学运算
这一章节将介绍四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
学生将研究如何进行这些运算，并通过练题加深理解。
3. 第二章: 数字与数的关系
在这一章节中，学生将研究数字的分类和排序，以及数字之间的关系。
他们将掌握如何使用大于、小于和等于符号来比较数字，并通过实例练加强掌握。
4. 第三章: 分数和小数
分数和小数是四年级数学中的重要概念。
本章将介绍如何读写分数和小数，并涵盖分数和小数之间的转换。
学生将通过实例练巩固所学知识。
5. 第四章: 几何形状
在这一章中，学生将探索不同的几何形状，包括正方形、长方形、圆形和三角形。
他们将研究如何计算这些形状的周长和面积，并通过练题应用所学知识。
本文档将作为四年级学生研究学而思奥数的参考资料。
学生可以根据讲义中的例题和练题进行实际操作和巩固知识。
希望这份讲义能够帮助学生提高数学能力，并享受数学研究的乐趣。
以上是《四年级学而思奥数讲义》的简要目录和介绍。
祝学生们研究愉快！。
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数系统复习讲义(完整版)小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点第一部分计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视! 基本公式1 .运算顺序第一级：括号：()T T{ }第二级：X+：同一级别可以交换运算次序第三级：+ —: 同一级别可以交换运算次序2. 去括号①a+(b+ c)=a + b + c a+ (b —c)=a + b— c②a—(b+ c)=a — b — c a— (b —c)=a—b+ c③a>(b疋)=a花比a>(b -c)=a以弋④a—b >0)=a —a—b 弋)=a —xc3 .分配律/结合律乘法：a (b + c) = a b+ a>ca>b+ a>c = a (b + c)除法：(a+ b) —= a —+ b—ca—:+ b—c = (a + b)—4 .两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大5 .几个计算公式__ 2 2 2完全平方和(差)公式：( a±b) = a ±ab+b2 2平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)求和公式一：1+2+3+ ....... +n =两个数的积一定，则两数越分散，和越大求和公式二:1 +1 22 +3 2+……n =3 3 3 3求和公式三：1 +2 +3 +……n = __________________________6. 速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7. 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009X 2009，B=2008X 20103. 99讣9创x 99 —99 4 199—99结果末尾有多少个零？訐胆，.p “站-1 ?4. 100 + 99+ 98 —97 —96 —95+ ……+ 10+ 9 + 8—7 —6—5+ 4 + 3+ 2 —1巩固练习5. 376 + 385 + 391 + 380 + 377 + 389 + 383 + 374 + 366 + 3786. 1 —50+2 —50+3 —50+50 - 50 2010二二呦10第二部分基础知识基础知识点列表7. 9999999 >2009 7777 >333 出1118. 99*.**.+ 9 乂gg.*・*.*9 + -99*—..* 9 =99Ti9. 比较下面A,B两数的大小:归一问题A =987654321 >23456789;B =987654322 >2345678810. 1996 + 1994 —1992 —1990 + 1988 + 1986 —1984 —1982 + 1980 + 1978—1976 —1974 + 1972 + 1970…… + 4 + 2【含义】在解题时，先求岀一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求岀所要求的数量。
小学奥数学习资料[完整讲义]
![小学奥数学习资料[完整讲义]](https://img.taocdn.com/s3/m/0cff67d8f8c75fbfc67db21c.png)
第一讲观察法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
五升六暑期奥数培优讲义——6-05-圆的面积3-讲义-学生
第05讲圆的面积【学习目标】1、了解的圆面积相关知识；2、会计算圆的面积。
【知识梳理】一、圆的面积1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
2.圆面积公式的推导：把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。
圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。
3.圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²（圆面积=π×半径×半径）二、与圆相关的特殊图形1.半圆：把圆顺着一条直径切成两半，其中一半叫作半圆。
半圆的周长：半圆的周长等于所在圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝πd÷2＋d 或Ｃ＝πr＋2r 圆周长的一半=πr半圆的面积：半圆的面积等于所在圆的面积的一半公式为：Ｓ＝πｒ²÷2（半圆面积＝圆的面积÷2）2.圆环：在一个大圆中减去一个与它圆心相同的小圆，剩下的部分就是圆环。
圆环的面积：外圆的半径是R，内圆的半径是r，两个圆的圆心是同一点，它的面积是S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）（其中R＝r＋环的宽度）。
3.扇形：扇形就是圆的一部分，扇形的大小与这个扇形的圆心角的有关，扇形有一条对称轴。
扇形的面积：扇形占整个圆的几分之几，扇形的面积就是圆面积的几分之几。
【典例精析】【例1】如图，把半径为3dm的圆分成若干等分后，拼成一个近似的长方形，则这个长方形的长是 dm，宽是 dm，该长方形的周长是 dm，面积是 dm ²，该该圆的周长是 dm，面积是 dm²。
请问长方形和圆的周长有什么关系？面积呢？【趁热打铁-1】如图，一个平行四边形的底边为9.42cm，沿图中虚线剪成若干等份，然后将这若干等份拼成一个近似的圆，这个圆的面积约是多少？【例2】草地的木桩上拴着一头牛,绳长4米,这头牛能够吃到草的最大面积是多少平方米? 【趁热打铁-2】一截圆形树干的横截面的周长是125.6cm.这截树干的横截面的面积是多少？【例3】一个石英钟的分针长10cm,分针旋转扫过的面积是157cm².分针走了多少分钟?【趁热打铁-3】一个钟表的时针长40cm，从中午12时到下午3时，时针扫过的面积是多少平方厘米？【例4】某文体中心有一个圆形活动场地,周长为37.68m,现在准备将活动场地向四周拓宽1m,这样圆形活动场地的面积可以增加多少平方米?【趁热打铁-4】有一个圆形喷泉池的半径为20m,现在要在它的周围种上10m宽的环形草坪.(1)草坪的面积有多大?(2)如果每平方米草坪需60元,那么种植这块草坪需多少元?(3)如果在草坪的四周围上一圈铁栅栏,这圈铁栅栏长多少米?【例5】一个运动场的跑道如图所示，两边是半圆，中间是长方形，这个运动场的面积是多少平方米？【趁热打铁-5】如图，是一个运动场的平面图（两头都是半圆），已知中间长方形的面积是6000m ²。