自动控制原理 第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答

第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b aaa a a E dtdi L i R U ++=+ dtd K E mbb θ= a m m i C M =dt d f dt d J M mmm m m θθ+=22 )()([)()(2m b m a a m m a m a ma m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 my θ=,试建立其动态方程。

解：（1）由题意可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121xy xx x x x m m mmθθθθ ，由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m ma m mmb ba a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-===12333221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x xa ma mm a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 0100010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a m J L C 00a U y =[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x（2）由题意可知：,1a i x =mm m y x x θθθ===,,32 可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==23133231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a aa b a a a a m a b a a a aθθθθθ可列动态方程如下[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321010x x x y由 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm mx x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm a x x i x θθ 321得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-======3133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=m m m m J f J C T 01000108-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++。

式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。

试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解： 由题意可得：10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U aC f x x mm J J m m ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3266116=+++yu s s s可控标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132132161611611xxxyuxxxxxx状态变量图如下：由方程得可观测标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132132116611116xxxyuxxxxxx状态变量图如下：8-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为321,,xxx。

试求动态方程，并画出状态变量图。

由结构图可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+--=⇒+=-==⇒=-=+-=+⇒+=-u x x x u x x sx s x u x x xx sx s x x x x x x x x sx x s s s x x x 232232322222)1(221221212313113321132112321 即即即由上述三式，可列动态方程如下：[]1122331123001023020230100x x x x u x x x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态变量图如下：8-4 已知系统传递函数为2268()43s s G s s s ++=++，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。

解：(1) 可控标准型[]ux x y u x x x x+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212125104310（2）可观测标准型[]ux x y u x x x x+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110254130（3）12332113486)(22++++=++++=s s s s s s s G由上式可得对角型 []ux x y u x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121211123211003 8-5 已知系统传递函数 )2()1(5)(2++=s s s G ，试求约当型动态方程，并画出状态变量图。

解：2515)1(5)2()1(5)(22+++-+=++=s s s s s s G 由上式，可得约当型动态方程[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011x x x y u x x x x x x8-6 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为32122112321321321212261162x x x y x x y u x x x xu u x xu x x-+=-=+---=-+=+= 写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图解： 由题中给定方程可列写出动态方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121213213211012112100216116100010x x x y y u u x x x x x x状态变量图如下8-7 已知系统动态方程为 []010********* 0 0 1x x uy ⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=--+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎩，试求传递函数G(s)解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-=-21031103201100])[()(1s s s B A sI C s G =[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-----210231567123s s s s s s =6737232--++s s s s8-8 已知系统矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，至少用两种方法求状态转移矩阵。

解：（1）级数法：+++=2221t A At I e At + =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++-+- 4324324131211004131211t t t t t t t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-t te e 00 (2) 拉氏变换法⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---1100111001)(11s s s s A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=--t tAte e s s L e 001100111 8-9 已知系统t 2tt 2t 1t 2tt 2t 6e 5e 4e 4e (t)3e 3e 2e 3e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥-+-+⎣⎦，和 t 2tt 2t 2t 2tt 2t 2e e e e (t)2e 2ee 2e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥-+-+⎣⎦判断12ΦΦ，是否是状态转移矩阵。

若是，则确定系统的状态阵A ；如果不是，请说明理由。

解：转移矩阵应满足：I A =ΦΦ=Φ)0(,()1100I 01⎛⎫Φ== ⎪⎝⎭ 210(0)01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Φ 假设1()t Φ，2()t Φ为转移矩阵则 A 1=2212204461048()343626t tt t ttt t t t e e e e t e e e e Φ--------==⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ A 2=22222001222()23244--------==⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦t t t t ttt t t t e e e e t e ee e Φ 则A 1()1t Φ=t 2tt 2t t 2tt 2t 12e 8e 8e 4e 9e 8e 6e 4e --------⎡⎤--⎢⎥-+-+⎣⎦1()≠t Φ A 2()2t Φ=t 2tt 2t t 2tt 2t 2e 2e e 2e 2e 4ee 4e --------⎡⎤-+-+⎢⎥--⎣⎦=2()t Φ＝()2t ΦA 2 所以1()t Φ不是转移矩阵，()2t Φ是转移矩阵，其状态阵为0123⎡⎤⎢⎥--⎣⎦。

8-10 试求下列状态方程的解 x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=300020001 的解 解：由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==-=---011010)()()()(xA sI L t x x A sI x xx A sI Ax x320111000000310002100011300020001)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=------8-11 已知系统状态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101 ，初始条件为0)0(,1)0(21==x x 。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解：此题为求非奇次状态方程的解，对于非奇次状态方程。

τττd Bu t x t t x t)()()0()()(0⎰-Φ+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=Φ-----t tte te e s s s L s s s L A sI L t 011)1(10111101)()(211111⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---tt t t t t t ttte e d e e t e e te e t x 22111)(0010)(0τττττ 8-12 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，并且y(0)=0,y(1)=1,试列写可控标准型离散动态方程，并求出(0)1()(1)1u u k u ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时的系统响应。