竞赛讲座 17数学归纳法

竞赛讲座17
-数学归纳法
基础知识
数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．
1．数学归纳法的基本形式
（1）第一数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；
②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
（2）第二数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；
②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
2．数学归纳法的其他形式
（1）跳跃数学归纳法
①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，
②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．
（2）反向数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
①)(n P 对无限多个正整数n 成立；
②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．
3．应用数学归纳法的技巧
（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．
（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．
（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．
（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．
（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．
5．归纳、猜想和证明
在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．
例题分析
例1．用数学归纳法证明：
313)2
311()711)(411)(11(+>-++++n n （1,*≥∈n N n ） 例2．已知对任意*N n ∈，1≥n ，0>n a 且22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ，
求证：n a n =．
例3．如果正整数n 不是6的倍数，则11986-n 不是7的倍数．
例4．设n a a a ,,,21 都是正数，证明n n n a a a n
a a a 2121≥+++． 例5．已知函数)(x f 的定义域为],[
b a ，对于区间],[b a 内的任意两数d
c ,均有)]()([2
1)2(d f c f d c f +≤+．求证：对于任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，均有 )]()()([1)(2121n n x f x f x f n
n x x x f +++≤+++ ． 例6试证：对一切大于等于1的自然数n 都有
2
sin 2212sin cos 2cos cos 21ααααα+=++++n n ． 例7试证：对一切自然数n （1≥n ）都有222n n >+．
例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．
例9．设10<<a ，a a +=11，a a a n
n +=+11，求证：对一切N n ∈均有1>n a 例10．已知121==a a ，n n n n a a a 1212
)1(-++-+=，求证：对一切N n ∈，n a 都是整数． 例11．设n
n f 131211)(++++= ，是否存在关于正整数n 的函数)(n g 使等式]1)()[()1()2()1(-=-+++n f n g n f f f 对于2≥n 的一切自然数都成立？并证明你的结论．
例12．设整数数列}{n a 满足11=a ，122=a ，203=a ，且n n n n a a a a -+=+++12322．证明：任意正整数n ，141++n n a a 是一个整数的平方．
例13．设n x x x ,,,21 为正数（2≥n ），证明：
12
12212121432222322121-≤++++++++--n x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n ． 例14．已知11=a ，211n
n n a a a +=+（1,*≥∈n N n ），求证：309000>a ． 例15．整数列}{n a （1,*
≥∈n N n ）满足7,221==a a ，且有221121≤-<--+n n n a a a ．求证：2≥n 时，n a 是奇数．
训练题
1．证明N n ∈时，153222221-+++++n 能被31整除．
2．设n 不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成n 个较小的正三角形．
3．用数学归纳法证明：22
1412111<++++
-n 4．设n 为自然数，求证：2131211222<++++n ． 5．对于自然数n （3≥n ），求证：n n n n
)1(1+>+． 6．已知121==a a ，n n n n a a a 1212
)1(-++-+=，求证：对于一切*N n ∈，n a 是整数． 7．设有n 2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲
戴盆望天的球数p 不小于乙堆的球数q ，则从甲堆拿q 个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆．
8．已知数列}{n a 满足：31=a ，82=a ，20
2453)(4221+-+=+--n n a a a n n n （3≥n ），试证：n n n a 22+=．。