第26讲 平面向量(2)(教师)
人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (26)
第二十七教时教材：复习六——解斜三角形目的：巩固对正弦、余弦的掌握，并能较熟练地应用解决具体问题。
过程：一、复习：1︒两个定理 2︒两个定理能解决的问题 二、 例题：1．证明射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A证一：右边 =a aa acbc a c ab c b a b==-++-+22222222222= 左边 证二：右边 = 2Rsin B cos C + 2Rsin C cos B =2Rsin(B +C )=2Rsin A = a = 左边其余两式同 2．已知：在△ABC 中，∠A =45︒，AB =6，BC =2，解此三角形。
解一：232226sin sin sin sin sin =⨯==⇒==BC A AB C B AC A BC C AB ∴当∠C = 60︒时, ∠B = 75︒ ∴13sin sin +==A BBC AC ∴当∠C = 120︒时, ∠B = 15︒ ∴13sin sin -==ABBC AC 解二：设AC = b ，由余弦定理： 45cos 62)6(422b b -+=即：02322=+-b b 解得：13±=b再由余弦定理：21cos ±=C ∴∠C = 60︒或120︒, ∠B = 75︒或15︒3．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，判断△ABC 的形状。
解一：由正弦定理：B A BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A = B 或 A + B = 90︒ ∴△ABC 为等腰或直角三角形解二： 由题设：22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2) ∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形4．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为 15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ， 求此山对于地平面的斜度θ。
26平面向量基本定理及坐标运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行的向量， 那 么该平面内的任一向量 a， 存在唯一 的一对实数 a1， a2，使 a＝ a1e1＋a2e2 . 其中， 不共线的向量 e1， 2 叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组 基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2 叫做向 量 a 关于基底{e1，e2}的分解式． (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做 把向量正交分解．
→ → → → → → → → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 → → → → → ＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． → ＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM ∴OM ＝3c＋OC → → → → → → → → → ＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN ∴M(0, 20)．又∵CN ＝ON－OC＝－2b， → → → → → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， → → → ＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN ∴N(9, 2)．∴MN ＝(9，－18)．
平面向量的概念_课件
。
不是，方向不同
说明
有向线段与向量的区别 ：有向线段：有固定起点、大小、方 向向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向 。
知识梳理
1平行向量:方向_相___同__或__相__反____的_非__零___向量叫做平行向 量(1).记法:向量a与b平行，记作 a//b _(2__)规___定_.:零向量与任意向量 平行 _2_.相___等_.向量:长度_相__等___且方向_相__同___的向量叫做相等向 量3.共. 线向量:由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所 以平行向量也叫做共_线_____向量要注意避免向量平行、共线与平面 几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
教学重点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的 概念，会表示向量.
教学难点
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联 系.
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追 到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向 、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没 有方向？
向量概念的判断
总结
1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生 的. 2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有 向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.零向量 与任意向量平行.
精品 课件
高中数学必修2
第六章 平面向量及其应用
平面向量的概念
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
总复习《第26讲 平面向量的概念与线性运算》
C． λ＝－2 D． λ＝－1 解析：选 B.由 a＝2e1－ e2 与 b＝ e1＋ λe2 共线，得存在实数 k，
使得 a＝kb，即 2e1－ e2＝ k(e1＋ λe2)．又 e1，e2 不共线，所以 k ＝ 2，－ 1＝ kλ， 1 得 λ＝－ . 2
栏平面向量
3.如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， 下列结论中错误的是 ( C ) → → A.AB＝ DC → → → B.AD ＋AB＝AC → → → C.AB－ AD ＝BD → → D.AD ＋ CB＝0
解析：选 C.A 显然正确，由平行四边形法则知 B 正确． → → → C 中 AB－AD ＝DB，所以错误． → → → → D 中 AD ＋CB＝AD ＋DA＝ 0.
λa＋λb ③λ(a＋b)＝_______.
栏目 导引
第四章
平面向量
4．两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 b＝λa 数λ，使得_______.
温馨提示：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包 括两向量所在直线平行和重合两种情形．
栏目 导引
第四章
平面向量
1．设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正 确的是( C )
栏目 导引
第四章
平面向量
→ → → 2 4．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB－CB＋CD |＝________.
→ → → → → → → 解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
栏目 导引
第四章
平面向量
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共 1 － 3 线，则λ＝________.
AB DC 即AB与DC平行且相等 ABCD为平行四边形
人教版数学必修第二册6.1平面向量的概念课件
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？
课前小测
边长相等
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，
an，则这n个向量( D )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．有下列物理量：
①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
√
√
×
×
×
其中可以看成是向量的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
C
2
B
1
A
||＝ 22 − 12 = 3
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量
(1)作出向量， ，；
(2)求的模．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
了10 2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量， ，；
D
C
北
西
A
南
东
B
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字
母表示，例如： ， .
注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用Ԧ .
?
思考
(1)向量可以比较大小吗？
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段就是向量吗？
有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版
第二十五页，共45页。
所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且 长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A， 在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C， 则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
第二十二页，共45页。
(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
第三十四页，共45页。
三 平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共 线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
第三十五页，共45页。
【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
平面向量的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
3．关注两个“特殊”向量 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确 定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无 数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m
与向量
―→ AB
是平行
向量，与―B→C 是共线向量，则m ＝________.
解析：因为A，B，C三点不共线，所以
―→ AB
与
―→ BC
不共
线，又因为m ∥―A→B 且m ∥―B→C ，所以m ＝0.
答案：0
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
，
―→ CO
是模相等的向
量．故选C.
答案：C
6 . 1 平 面向 量的概 念-【 新教材 】人教 A版（2 019）高 中数学 必修第 二册课 件(共 29张PP T)
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意书写规 范，等长且同向的有向线段表示同一个向量．
3.注意向量共线与线段共线的不同.
[思考发现]
1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度； ⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是
()
A．1
2012届高考复习方案新课标北师大版数学(文科)第26讲 平面向量的数量积及应用
第26讲 │ 要点探究 26讲
a·b [思路 第(1)小题由夹角公式 cos〈a，b〉＝ 思路] 可知， 思路 小题由夹角公式 〈 ， 〉＝ 可知，要 |a||b| 及两向量模的积|a|·|b|，本 求两个向量夹角必须求出数量积 a·b 及两向量模的积 ， 题的切入点是由条件(2a＋ 题的切入点是由条件 ＋ b)·b＝0 得出数量积与模的关系，进 ＝ 得出数量积与模的关系， 而求出比值， 而求出比值， 从而得解； (2)小题利用向量数量积及夹角公式 从而得解； 第 小题利用向量数量积及夹角公式 求取值范围． 求取值范围．
第26讲 │ 要点探究 26讲
(1)[2010·广东卷 若向量 a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝ 广东卷] 广东卷 ＝ ， ＝ ， ＝ (3，x)满足条件 － b)·c＝30，则 x＝( ， 满足条件 满足条件(8a－ ＝ ， ＝ A．6 B．5 C．4 D．3 ． ． ． ． )
[思路 把题中涉及的向量用坐标表示 ，再利用公式 a·b 思路] 把题中涉及的向量用坐标表示， 思路 即可得解． ＝ x1x2＋ y1y2 即可得解．
第26讲 │ 知识梳理 26讲
方向上(或 方向上)的投影是一个 向量 a 在 b 方向上 或 b 在 a 方向上 的投影是一个 数量 ________，不是向量，当 0°≤θ＜90°时，它是 正数 ；当 θ ，不是向量， ＜ 时 它是________； 它是________； 90°＜θ≤180°时， 它是________． ＝90°时， 时 它是 ； 当 ＜ 时 它是 负数 ． 图 0 26－1 表示 b 在 a 方向上的投影的三种情况： 方向上的投影的三种情况： －
第26讲 │ 要点探究 26讲
C [解析 已知 a＝(1,1)，b＝(2,5)，得 解析] 解析 ＝ ， ＝ ， 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)． － ＝ － ＝ ． ∵ (8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， － ＝ ， ＝ ， ， 由向量数量积的坐标公式， ∴由向量数量积的坐标公式，得 6×3＋3x＝30， × ＋ ＝ ， 解得 x＝4，故选 C. ＝ ，
26。平面向量的概念及其运算
第26课时平面向量的概念及线性运算编者：季明宏 审核： 束必祥第一部分 预习案一、知识回顾：1。
向量的有关概念3. 班级________ 学号_________ 姓名_________二、基础训练1． 若＝“向东走8 km ”， ＝“向北走8 km ”，则|＋|＝________；＋的方向是________．2. 如图在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝，AD →＝，则BE →＝____________.3． 已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．4．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．三、我的疑惑第二部分 探究案探究一 平面向量的概念辨析 1．给出下列命题：①若||＝||，则＝；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若＝b ，b ＝c ，则＝c ；④＝b 的充要条件是||＝||且∥. 其中正确命题的序号是________．2．下列命题中正确的是________．(填序号)①与共线，与共线，则与也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行．探究二 向量的线性运算1．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用，表示OM →，ON →，MN →.2．在△ABC 中，AB →＝，AC →＝，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________.(用、表示)探究三 共线向量定理及应用 1．设两个非零向量与不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k ＋和＋k 共线．2．设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，13(＋)三向量的终点在一条直线上？3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝，OB →＝.试用和表示向量OM →.4．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋2＋2＝0，则△ABC 和△BOC 的面积之比为________．5．知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．我的收获第三部分 训练案 见附页。
方法技巧专题26 平面向量(解析版)
方法技巧专题26 平面向量解析版【一】向量的概念1.例题【例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 【例2】下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足b a >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c ∥，∥，则a c ∥． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，0b =时，a b b c ∥，∥，，则a 与c 不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0． 2.巩固提升综合练习 【练习1】给出下列命题： ①若c b b a ==,则c a=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③b a==且b a //；④若c b b a //,//，则c a //； 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②【解析】①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵DC AB ==且DC AB //， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，=且DC AB //，，因此，DC AB =.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②.【二】平面向量的线性表示1.例题【例1】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （ ）A.AC AB 4143- B. AC AB 4341- C. AC AB 4143+ D. AC AB 4341+ 【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【例2】在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( )A ．－13AB →＋23AD → B ．－23AB →＋43AD → C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形， 则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【例3】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角为__________． 【解析】由()12AO AB AC =+可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB 与AC 的夹角为90°. 2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B【练习2】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++OC OB OA 22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】如图所示：设AB 的中点是E ，△O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，△2EO →＝OC →， △OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，△P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【练习3】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，BD =.设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【三】向量共线的应用1.例题【例1】设两个非零向量a 与b不共线．(1)若b a AB +=，b a BC 82+=，)(3b a CD-=，求证：D B A ,,三点共线；(2)试确定实数k ，使b a k +和b k a+共线．【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1.【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.【例2】已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭1.共线向量定理：向量a (0≠a )与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得a b λ=2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：B P A ,,三点共线OB t OA t OP +-=⇔)1((O 为平面内任一点，R t ∈)．【解析】(4,3)AB =-,∴向量AB 的方向相反的单位向量为4343(,)(,)5555||AB AB --=-=-，2.巩固提升综合练习【练习1】设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【练习2】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【四】平面向量基本定理及应用 1.例题【例1】如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-，【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以， 所以 ， ， 故的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n △R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB →＋13AD →，又AC→＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12△m ＋n ＝32. 故应填答案32.ABC ∆D 34BD BC =E AD A AE AB AC λμ=+()221λμ++()1,+∞E AD A ,0AE k AD k =<34BD BC=()()33444kk AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦4{34kk λμ==()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221λμ++()1,+∞【练习2】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，EA BE 2=，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【五】平面向量的坐标运算1.例题【例1】已知向量)3,2(=a，)2,3(=b ，则=-b a （ ）A ．2B ．2C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b故选A【例2】在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3 D.6＋2＋1 【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)， △|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点， 求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【例3】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又△OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， △|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.△|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，△OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， △OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，△|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，△|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C. 5D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【练习2】如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65 D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．△AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μλμλ2,2，△⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，△M ，N 分别为BC ，CD 的中点， △AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【例1】已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A.C.D.0【答案】C 【解析】.【例2】若()3,4a =-，则与a 同方向的单位向量0a =____________【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】与a 同方向的单位向量0134(3,4)(,)555aa a ==-=-2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2， 则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝， AD ＝，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝32=D（）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-，3）+μ（2,1），所以，2223μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【练习2】已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )△b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55 B.15 C ．－55 D ．－15【解析】 △a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，△a －c ＝(3－k,3)，△(a －c )△b ， △(3－k )·3＝3×1，△k ＝2，△a ·c ＝3×2＋1×(－2)＝4，△|a |＝10，|c |＝22， △cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A.【一】平面向量数量积的概念 1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知0120,2,1=∠==MON ON OM ,NA CN MA BM 2,2==则OM BC •的值为（ ）1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量a 和b ，作a =，b =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角．（2）范围：向量夹角θ的范围是πθ≤≤0；a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b垂直，记作b a ⊥.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量a 与b ，则数量θcos b a ⋅叫做a 与b的数量积，记作b a •，即：b a •=θcos b a ⋅，其中θ是a 与b的夹角．规定：00=•a ；（2）b a •的几何意义：数量积b a•等于a 的长度a与b在a的方向上的投影θcos b的乘积． 3.数量积的运算律：（1）交换律：a b b a•=•；（2）分配律：()c b c a c b a •+•=•+；（3）对R ∈λ，()())(b a b a b aλλλ•=•=•．4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即b a •=θcos b a⋅，其中θ是a 与b的夹角．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．OA OBA ．B ．C ．D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【例2】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅的值是（ ）A.12B.C.26D.36【答案】C 【解析】连接,OC OD ，由C 、D 是弧AB 的三等分点，得∠AOD ＝∠BOC ＝60°，()()MD NC OD OM OC ON ⋅=-⋅-OD OC OD ON OM OC OM ON =⋅-⋅-⋅+⋅66cos6062cos12026cos12022=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯18664=++-26=．【练习2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【练习3】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.【解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.1.例题【例1】已知平面向量,a b不共线，且1a=，1a b⋅=，记b与2a b+的夹角是θ，则θ最大时，a b-=（）A．1B C D．2【答案】C【解析】设|b|=x，则()22·22?2b a b a b b x+=+=+，22|2+|=44?8a b a a b b++=+所以()2·22cos 28b a bb a bx θ++==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x xx θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=2?12a b a a b b --+=-=故选C.【例2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【例3】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【解析】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A.6πB.2π C.23π D.56π 【解析】将2a b a b a +=-=平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩ . 222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-.所以向量a b +与a b -的夹角是23π.【练习2】已知非零向量a与b满足b a2=，且b b a⊥-）（，则a与b的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【练习3】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】由|2a －b |＝10，得4 a 2－4 a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×cos45°＋|b |2＝10，即－6－22|b |＋|b |2＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．1.例题【例1】已知e b a ，，是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e的夹角为3π，向量b 满足0342=+•-b e b ，则b a-的最小值是（ ）A ．1-3B ．13+C ．2D ．3-2 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【例2】在ABC △，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos BC C B =⨯-，故()cos cos 0BC C B ⨯-=，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A ABACAB AC⨯⨯⋅===⨯，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.【例3】如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b △R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12 D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，△e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，△(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，△ab ＝14.【答案】 A2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形ABCD 中，o90=∠BAD ，1,2==AD AB ，若CB CA BC BA AC AB •=•+•34， 则CD CB 21+的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【练习2】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.1.已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=，则OC =（ ） A.2OA OB - B.2OA OB -+C.2133OA OB - D.1233OA OB -+【答案】A【解析】因为20AC CB +=，所以2()()0OC OA OB OC -+-=, 所以OC =2OA OB -， 故选：A.2.已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________ 【答案】4GD【解析】因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD .3.在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4.在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.5.已知数列{}n a 为等差数列，且满足12107OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．12【答案】D6.设向量a，b 满足|+|=a b ||-=a b ，则a ·b ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．5 【解析】∵|+|=a b (a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵||-=a b ，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1.故选A.7.已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb 平行，则λ＝________.【解析】 △a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，△λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)，△λa ＋b △a ＋λb ，△(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)， 解得λ＝±18.在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2 D ．211 【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG △AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，△AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，△EF →＝GB →，△|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，△|EF →|＝|GB →|＝25，故选B.9.已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，△a＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，△BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. △π3<A <π2，△π3<2A －π3<2π3，△32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，△3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32. △BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,3.10.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心． 【答案】 C11.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a △b ＝(a 1，a 2)△(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m △OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ．23【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m △OP →＋n △(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21△(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π△(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π△⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π△y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x △⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时，由π6≤x ≤π3△π3≤2x ≤2π3△0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1△2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标， 则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以 P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.13.已知O 是正△ABC 的中心．若CO AB ACλμ→→→=+，其中λ， R μ∈，则λμ的值为（ ） A ． 14-B ． 13-C ． 12- D ． 2 【解析】由题O 是正△ABC 的中心，延长CO 交AB 与.D 则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦ 即121,,.332λλμμ==-=- 故选C.。
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)
必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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A．5 课件
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)． 答案：D
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．
平面向量 (2)
一．知识讲解1.基本概念：1）既有大小又有方向的量叫做向量；2）向量AB （a ）的大小，也就是向量AB （a ）的长度（模）.记做：)(||a AB ； 3）长度为零的向量叫做零向量.记做：0（方向不确定）； 4）单位向量为长度等于1个单位的向量；5）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（共线）； 6）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量2.向量的加法：三角形法则AC BC AB =+；平行四边形法则AC AD AB =+3.平行向量基本定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使得b a λ=4.平面向量基本定理：如果21e e 和是一个平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数21,a a ，使得2211e a e a a +=推论：在一条直线上任意三点C B A 、、，O 为直线外一点，且OB OA OC βα+=则有1=+βα5.向量的坐标运算：设),(),,(2121b b b a a a ==),(2211b a b a b a ±±=±；),(21a a a λλλ=；2211b a b a b a +=⋅ 如果),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --= 6.投影：a 在b 上的投影为><⋅b a a ,cos 7.向量的数量积：><=⋅b a b a b a ,cos ||||结论：)),(),,((022112121y x b y x a y y x x b a b a ==+⇔=⋅⇔⊥； 21212y x a a a +==⋅或2121y x a +=；b a b a b a ⋅±+=±2222二．知识讲解题型一 向量的有关概念例1 ：下列各式： ①a a a ⋅=；②)()(c b a c b a ⋅=⋅；③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2MN ； ⑤a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 与b 不共线，则(a ＋b )⊥(a －b ).其中正确的是____________练习：下列命题：①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是 .题型二 与向量线性运算有关的问题例2：如图，ABCD 是平行四边形，BD AC 、交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 31,设AB a =, AD b =,试用b a ，表示AM ，AN ，MN .练习：O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋＋λ(AB ＋AC )，若λ＝12时，则PA ∙(PB ＋PC )的值为 .题型三 向量共线问题例3：已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（ ）A.32B.23C.2D.13练习： 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. 题型四 向量的坐标运算例:4：已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.题型五 利用平面向量数量积解决模、夹角问题例5： 已知a ，b 夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )； (3)a 与(a ＋b )的夹角θ.练习：已知向量a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小是 . 题型六 与三角形有关 1.给出MP MBMB MAMA =+)(λ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线2.在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）3.在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）4.在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高线的交点）5.在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a ，等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）6.在ABC ∆中，给出)(21AC AB AD +=，等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线 例6：已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA ，2=⋅AC AB ，且60=∠BAC ，则OBC ∆的面积为（ ）33 B.21 C.23D.32练习：若不重合的四点C B A P ,,,满足0=++PC PB PA ，AP m AC AB =+，则实数m 的值为（ ）A.2B.3C.4D.5变式：ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若033=++GC c GB b GA a ，则=∠A ___________随堂练习：1.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是_______ 2.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .3.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =4.对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0 a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 5.设A )1,(a ，B ),2(b ，C )5,4(，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ ）(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a6.已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值 拔高练习：1.在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为．2.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 .3.在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =· ．4.若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ）A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，5.设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，6.设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]7.在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=8.直角坐标系xOy 中，i j，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．49.在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .10.在平面上，21AB AB ⊥,121==OB OB ,21AB AB AP +=，若21<OP ，则OA 的取值范围是.A ]25,0( .B ]27,25( .C ]2,25( .D ]2,27( 11.设1e ，2e 的是单位向量，非零向量21e y e x b +=（R y x ∈,）若21,e e 的夹角为6π，在bx 的最大值等于 。
专题26 平面向量的概念及线性运算-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题26平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.基础知识融会贯通1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—————→＋A 2A 3—————→＋A 3A 4—————→＋…＋A n －1A n —————————→＝A 1A n —————→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.重点难点突破【题型一】平面向量的概念【典型例题】已知点C （1，﹣1）、D （2，x ），若向量（x ，2）与的方向相反，则||＝（ ）A ．1B ．﹣2C ．2D ．【解答】解：点C （1，﹣1）、D （2，x ）， 则（1，x +1）， 又向量（x ，2）与的方向相反，则，解得x＝1或﹣2．∵向量（x，2）与的方向相反，∴x＝﹣2．则||．故选：C．【再练一题】在四边形ABCD中，，且•0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【解答】解：∵即一组对边平行且相等，•0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．【题型二】平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算【典型例题】在△ABC中，，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．【再练一题】如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，，，，，∴．故选：C．命题点2根据向量线性运算求参数【典型例题】已知G是△ABC的重心，若，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图，G是△ABC的重心，延长AG交BC于D，则：D为BC的中点；∴；又；∴根据平面向量基本定理得，．故选：A．【再练一题】如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若m，其中m，n∈R，则m+n的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：因为，，所以，，又，所以m，n，故m+n，故选：C．思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．【题型三】共线向量定理的应用【典型例题】已知平面向量（l，x），（4，2），若向量2与向量共线，则x＝（）A．B．C．D．【解答】解：；∵与共线；∴12﹣4（2x+2）＝0；∴．故选：B．【再练一题】在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ，μ＞0），则2λ+μ的最小值为（）A．B．3 C．D．4【解答】解：如图所示，，，又2，∴2（），∴，又P、M、N三点共线，∴1，∴2λ+μ＝（2λ+μ）•（），当且仅当μ＝2λ时取“＝”，∴2λ+μ的最小值是．故选：A．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．基础知识训练,e e的夹角为 ，则下列1．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知两个非零单位向量12结论不正确的是（）A ．不存在θ，使122e e •=B ．2212ee =C ．R θ∀∈，()1212()e e e e −⊥+ D ．1e 在2e 方向上的投影为sin θ【答案】D 【解析】对于A ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，所以 12e ?e ＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A 正确． 对于B ，因为两个非零单位向量221212e ,e ?e e =，所以＝1，B 正确； 对于C ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，且 ()()1212e e e e −+22120ee =−= ，所以()()1212e e e e −⊥+，∴C 正确； 对于D ，因为两个非零单位向量12e ,e ? ，所以1e 在2e 方向上的投影为|1e |cosθ＝cosθ，D 错误； 故选：D ．2．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（新课标Ⅱ卷)】已知平面向量m ，n 均为单位向量，若向量m ，n 的夹角为23π，则23(m n += )A ．25B ．7C ．5D【答案】D 【解析】因为1==m n ，且向量m ，n 的夹角为23π， 所以222|23|4129+=+⋅+=m n m m n n 2131273cos π+=，所以237+=m n ． 本题选择D 选项.3．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测】在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，|a |＝2 ，(b −1e ) •(b −2e ) ＝0 ，则|a −b |的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】由题意(b −1e ) •(b −2e ) ＝0，即2b -（1212••e e b e e ++）=0，又1e ，2e 是方向相反的单位向量，120e e +=，所以有21b =，即|b |＝1，记a OA b OB ==，,则A,B 两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当a b ，反向共线时，如图： |a −b |的最大值为1+2=3，故选D.4．【山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试】设是非零向量，则成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B5．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测】设向量(1,)a x x =−，(1,2)b =−，若//a b ，则x =（ ） A ．32−B ．-1C ．23D ．32【答案】C 【解析】//a b2(1)0x x ∴−+=∴23x =．故选：C6．【山东省聊城市2019届高三三模】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．12−B ．12C ．1−D ．1【答案】B 【解析】 由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=−+=−+, 11,1,22λμλμ∴=−=∴+=.故选：B7．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试】已知向量a 、b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则a b −=（ ）A B C ．D【答案】A 【解析】a b −=()2220242cos601a ba ab b a b −=−⋅+=−⋅+=，因此本题选A .8．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知向量()1,2a −=，(),1b x x =−，若()2//b a a −，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A 【解析】由题意得，()22,5b a x x −=+−，()2//b a a −，()2250x x ∴++−=，解得13x =. 故选:A.9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试】已知向量()1,1a =，()2,b x =，若()//a a b −则实数x 的值为（ ） A ．2− B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】∵()1,1a =，()2,b x =，∴()1,1x a b −=−−，又()//a a b − ∴1x 1−=− ∴2x = 故选：D10．【山东省德州市2019届高三下学期第一次练习】如图所示，ABC 中，2AD AB 3=，1BE BC 2=，则DE (= )A ．11AC AB 32− B ．11AC AB 36−C ．11AC AB 23− D ．11AC AB 26− 【答案】D 【解析】()1111DE DB BE AB AC AB AC AB 3226=+=+−=−，故选：D ．11．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在ABC ∆中，13BD BC =，若AB a =，AC b =，则AD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．1233a b −D ．2133a b − 【答案】A 【解析】因为13BD BC =，AB a =，AC b =， 所以13AD AB BD AB BC =+=+()1212133333AB AC AB AB AC a b =+−=+=+，故选A.12．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在ABC △中，12BD DC =，则AD =（ ）A ．1344AB AC + B ．21+33AB AC C ．12+33AB ACD ．1233AB AC −【答案】B 【解析】如下图，12BD DC =，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==, 则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC =+=+,故答案为B.13．【天津市部分区2019届高三联考一模】在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________. 【答案】200 【解析】ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥， 10AB =，15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=−⋅−()2OC OC OA OB OA OB =−⋅++⋅ 22OC OC OD =−⋅22100100200OC OC =+=+=，故答案为200.14．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】已知向量()1,a λ=，(),2b λ=，若()()//a b a b +−，则λ=__________．【答案】. 【解析】因为向量()1,a λ=，(),2b λ=，所以(1,2),(1,2)a b a b λλλλ+=++−=−− 又因为()()//a b a b +−所以(1)(2)(1)(2)λλλλλ+−=−+⇒=故答案为15．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试】已知向量，若，则的值为__________．【答案】2 【解析】 因为，所以因为，所以有.16．【山东省莱西市第一中学2019届高三第一次模拟考试】已知向量(3,4)a =−，(,2)b m =，若向量23a b −与b 共线，则实数m =_________. 【答案】32− 【解析】解：()23632a b m −=−−，； ∵23a b −与b 共线；∴2m +2（6+3m ）＝0；解得32m =−． 故答案为：32−．17．【安徽省涡阳第一中学2018-2019学年高一下学期第二次质量检测】如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴 ，12,e e 分别是x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标，假设1232OP e e =+.（1）计算OP 的大小；（2）设向量(,1)a m =−，若a 与OP 共线，求实数m 的值；（3）是否存在实数n ，使得OP 与向量(1,)b n =垂直，若存在求出n 的值，若不存在请说明理由.【答案】（1（2）32−；（3）见解析. 【解析】（1） 12111cos602e e ⋅=⨯⋅︒=， 所以21232(32)OP e e e e =+=+22(3)12(2)e e e e =+⋅+229124e e e e =+⋅+=；（2）12(,1)a m me e =−=−若a 与1232OP e e =+共线，则存在实数λ使得a OP λ=即121212(32)32me e e e e e λλλ−=+=+，由平面向量基本定理得： 312m λλ=⎧⎨−=⎩，解得32m =−所以实数m 的值32−（3）假设存在实数n ，使得OP 与向量(1,)b n =垂直，则有：0OP b ⋅= 即1212(32)()OP b e e e ne ⋅=+⋅+2211223()(32)2()e n e e n e =++⋅+2211223(32)2e n e e n e =++⋅+13(32)202n n =+++=，得87n =−所以，存在实数87n =−， 使得OP 与向量(1,)b n =垂直.18．【湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末】在平面直角坐标系内，已知），．（I ）若，求证为直角三角形．（Ⅱ）若，求实数λ、t 的值．【答案】（I ）见解析； （II ）．【解析】（Ⅰ）在平面直角坐标系内，已知A （0，5），B （-1，3），C （4，t ）． 由于t=3，则：，所以：，所以：为直角三角形．（Ⅱ）由于，所以，则 解得． 所以．19．【河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试】如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点．设．（1）用表示；（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F ．设=p=p，求的值．【答案】(1) 5.【解析】 （1）设，则，∵三点共线，∴共线，从而又C ，M ，B 三点共线，∴共线，同理可得联立①②，解得，故．（2）∵.．∵共线，∴，整理得．20．【河南省郑州市八校2018-2019学年高一下学期期中联考】设12,e e 是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=−−=−（Ⅰ）若a b ，求λ的值； （Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值． 【答案】（Ⅰ）12λ=−（Ⅱ）2λ=【解析】解：（Ⅰ）若a b ，则存在唯一的μ，使b μ=，∴1212(2)e e e e λμ−=−−1212μλμλμ=−⎧∴⇒==−⎨−=−⎩，∴当12λ=−时a b ，；（Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，1212(2)()0e e e e λ−−⋅−= 2211222(21)0e e e e λλ⇒−+−⋅+=因为12,e e 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=∴当2λ=时，a b ⊥.21．【河南省开封市、商丘市九校2018-2019学年高一下学期期中联考】已知：(2,5)(4,12)(2,13)A m B C m −，，三点,其中0m <.（1）若,,A B C 三点在同一条直线上，求m 的值； （2）当AB BC ⊥时，求AC ． 【答案】(1）83m =−（2）10AC = 【解析】（1）依题有：()()42,7,24,1AB m BC m =−=−−，,,A B C 共线()()427240m m ∴−++= 83m ∴=−.（2）由AB BC ⊥得：()()242470m m −++=32m ∴=±又0m < 32m ∴=−()()4,86,8AC m ∴=−=10AC ∴=能力提升训练1．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，点E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则AE BF ⋅=（ ）A ．3B ．1 C．2D ．32【答案】D 【解析】点E 为BC 的中点 所以1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+; 点F 为CD 的中点，所以111222BF BC CF AD CD AD BA AD AB =+=+=+=−,∴AE BF ⋅=11()()22AB AD AD AB +⋅−=2222111311224422AB AD AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅−+−⋅=⋅−+因为菱形ABCD 的边长为2,所以2AB AD ==,又因为60DAB ∠=︒，运用数量积公式，可求AE BF⋅＝22311422AB AD AB AD ⋅−+＝34AB AD ⋅＝3cos 4AB AD DAB ⨯⋅∠ =31322422⨯⨯⨯=故本题选D 。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《第26讲 平面向量基本定理及坐标表示》理 新人教B版
[第24讲 正弦定理和余弦定理的应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A.35B.45C.34D.432．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°3．如图K24－1，在某地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________．K24－1K24－2.[2013·天津模拟] 如图K24－2，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42 n mile ，则此船的航行速度是________________________________________________________________________ n mile/h.能力提升5．如图K24－3，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m6．[2013·潍坊模拟] 已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为( )A ．1 kmB ．2 kmC ．3 kmD ．(6－1) km7．[2013·广州一模] 一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5 n mileB ．5 3 n mileC ．10 n mileD ．10 3 n mile8．[2013·东北师大附中检测] 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762 n mile/h B ．34 6 n mile/hC.1722 n mile/h D ．34 2 n mile/h 9．[2013·长春检测] 如图K24－4，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 n mile 的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10 n mile C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ的值等于( )A.217B.22C.32D.5714K24－4K24－510．[2013·泰州调研] 如图K24－5，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．11．[2013·开封模拟] 在△ABC 中，已知BC ＝4，AC ＝3，且cos(A －B )＝1718，则cos C＝________．12．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．13．如图K24－6，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了 3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________________________________________________________________________ m.14．(10分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31 km 的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，问这人还要走多少千米可到达城A?15．(13分)如图K24－7所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ⎝⎛⎭⎪⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为10 5 n mile/h. (1)求出发后3 h 两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？ (3)两船在航行中能否相遇，试说明理由．－7难点突破16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C处，如图K24－8所示．(1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处．(i)求证：BC⊥平面PAD；(ii)计算B，D两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周围0.25 km内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处．为使游艇不会触礁，试求AE的最大值．课时作业(二十四)【基础热身】1．B [解析] 因为tan α＝34，所以cos α＝45.2．B [解析] 如图，∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故选B.3.1063[解析] 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x ＝1063.4．16 [解析] 在△ABS 中，由正弦定理，有 AB sin S ＝BS sin A ，∴AB ＝42sin （75°－30°）sin30°＝8， 故此船的航行速度是8÷12＝16(n mile/h)．【能力提升】5．A [解析] 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得ABsin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin Csin B＝50×2212＝502(m)．6．D [解析] 如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.设BC ＝x ，则由余弦定理可得AB 2cos120°，即32＝22＋x 2－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5， 解得x ＝6－1(负值舍掉)．7．C [解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10 nmile/h.8．A [解析] °，∠PNM ＝45°.在△PMN 中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN ＝68×3222＝34 6. 又由M 到N 所用时间为14－10＝4 h ，∴船的航行速度v ＝3464＝1726 n mile/h.9．D [解析] 根据题目条件可作图如图，在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠CAB ＝120°，由余弦定理有BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠CAB ＝202＋102－2×20×10cos120°＝700， ∴BC ＝107，再由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB，∴sin ∠ACB ＝AB sin ∠CAB BC ＝20×sin120°107＝217， cos ∠ACB ＝277.所以sin θ＝sin(30°＋∠ACB )＝sin30°cos ∠ACB ＋co s30°sin ∠ACB ＝12×277＋32×217＝5714. 10．2 [解析] 在△AOB 中，由正弦定理得ABsin ∠AOB＝1，sin ∠AOB ＝AB ，在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin ∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2. 11.16[解析] 从A －B 入手，思考在△ABC 内作出A －B 即可． 在△ABC 内作∠BAD ＝∠B ，交BC 于点D ，如图所示．设DC ＝x ，则BD ＝AD ＝4－x ，∠DAC＝∠BAC －∠B .在△ADC 中，由余弦定理得x 2＝(4－x )2＋9－2×3×(4－x )×cos (∠BAC －∠B )，即x 2＝(4－x )2＋9－173(4－x )，整理得73x ＝73，解得x ＝1.∴cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝9＋1－92×3×1＝16.12.32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin ∠ORP ，在△ORQ 中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.13．507 [解析] 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD ·cos ∠ODC ，即OC 2＝10 000＋22500－2×100×150×12，∴OC 2＝17 500，∴OC ＝507 m.14．解：如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中．由余弦定理得cos β＝2BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437×12＋32·17＝5314.在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin α，即21sin60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin60°＝15 km.所以这人再走15 km 才可到城A .15．解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1122处． 则⎩⎨⎧x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t ，由tan θ＝12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，故⎩⎨⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40.(1)令t ＝3，P ，Q 两点的坐标分别为(45，45)，(30，20)，|PQ |＝（45－30）2＋（45－20）2＝850＝534.即出发后3 h 两船相距534 n mile. (2)由(1)的解法过程易知：|PQ |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（10t －15t ）2＋（20t －40－15t ）2＝50t 2－400t ＋1 600＝50（t －4）2＋800≥202， ∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发4 h 后距离最近，最近距离为20 2 n mile.(3)由(2)可知，两船之间的最近距离为202海里，所以两船在航行中不会相遇． 【难点突破】16．解：(1)(i )∵游艇距离观察站P 最近的点为D 处，∴PD ⊥BC . 又依题意可知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又PA ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面PAD .(ii)依题意知PA ⊥AB ，∠PBA ＝45°，PA ＝1，∴AB ＝1， 同理AC ＝1，且∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°.又BC ⊥AD ，∴D 为BC 的中点，且BD ＝32.(2)方法一：依题意过点B 作圆D 的切线交AC 于点E ，切点为G ，则AE 取得最大值．设AE ＝x ，则CE ＝1－x ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF ＝1－x2.连接DG ，则DG ⊥BE ，∴Rt△BGD ∽Rt △BFE ，∴BE ＝3(1－x )．在△ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAC ，即3(1－x )2＝1＋x 2＋x ，化简得2x 2－7x ＋2＝0，解得x 1＝7＋334，x 2＝7－334.又∵0<x <1，∴x ＝7－334，所以BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km. 方法二：在平面ABC 内，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE 与圆D 相切时AE 最长．由已知AB ＝1得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，可设直线BE 为y ＋32＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即kx －y ＋k 2－32＝0，由(1)知D 为BC 的中点，由C (1，0)知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34.则D 到直线BE 的距离为14，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k4－341＋k2＝14， 得4k 2－33k ＋1＝0，即k ＝33＋118⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33－118舍去，∴直线BE 的方程为y ＋32＝33＋118⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 令y ＝0时，得x ＝7－334，即AE ＝7－334，所以BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km.。
2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理!
专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b 的数量积(或内积)，记作a²b，即a²b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0²a＝0.(2)几何意义：数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a²b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a²a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a²b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21²x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a²b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a²b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21²x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(交换律)．(2)λa²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(结合律)．(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ²b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一 平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →²NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________；DE →²DC →的最大值为________．(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →²CB →＝(t ，－1)²(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →²DC →＝(t ，－1)²(1,0)＝t ≤1， 故DE →²DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →²CB →＝|CB →|²1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →²DC →)max ＝|DC →|²1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →²BP →＝2，则AB →²AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →²BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016²全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )²b ＝0， 即4³3＋(－2)³(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D. (2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )²c <0，即(2k －3，－6)²(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3.答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ²b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ²b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式探究】 (1)(2016²全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016²全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA sup 6(→)²BC →|BA →|²|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°. (2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以m ³1＋1³2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →²AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223 (2)C解析 (1)∵|a |＝ 3e 1－2e 2 2＝9＋4－12³1³1³13＝3，|b |＝ 3e 1－e 2 2＝9＋1－6³1³1³13＝22，∴a ²b ＝(3e 1－2e 2)²(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1²e 2＋2e 22＝9－9³1³1³13＋2＝8， ∴cos β＝83³22＝223.(2)∵AB →²AC →＝－1，∴|AB →|²|AC →|²cos120°＝－1， 即|AB →|²|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →²AC →＋AB →2 ≥2|AB →|²|AC →|－2AB →²AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ²n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ²n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－45 C.45 D.34答案 A高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →²BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)²AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形 答案 (1)12 (2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →²BE →＝(AD →＋AB →)²(AD →－12AB →) ＝AD →2－12AD →²AB →＋AD →²AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2 ＝1＋12³12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴()avs4alco1(f(1,2)－|AB →|)|AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)²AC →＝DB →²AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →²CM →＝0，则yx ＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6³7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →²CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3. 【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ²b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →²PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →²PF →最小值是HE →²HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →²HF →＝|HE →|²|HF →|cos ∠EHF ＝23³23³12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →²OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →²ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →²ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1²(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2³⎝⎛⎭⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →²OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →²OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4³12³2³2sin π3＝4 3.1.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅ ()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯= ，选C.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a == ，所以||1a = ，又22(2)4||222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+ ，所以()4C a b +⊥B，故选D. 【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP = （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t- =（，-4)，1PC - =（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ= 12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== ，AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为2918. BA1．（2014²北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】5【解析】∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5. 2．（2014²湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．【答案】±3【解析】因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )²(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2014²江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 234．（2014²全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22 【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014²新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ²b ＝4，所以a ²b ＝1. 6．（2014²山东卷）在△ABC 中，已知AB →²AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______． 【答案】16【解析】因为AB ²AC ＝|AB →|²|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|²|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|²|AC →|sin A ＝12³23³sin π6＝16 .7．（2014²天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →²AF →＝1，CE →²CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】C【解析】建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ²AF ＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →²CF →＝(λ－1,3(λ－1))²(μ－1,3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－31529．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ²b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2 C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]解析：由a ，b 为单位向量且a ²b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c |＝ x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，即2－1≤|c |≤ 2＋1.答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ²b ，求f (x )的最大值． 解析：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ²b ＝3sin x ²cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.11．(2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ²b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12²(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos60°＝4＋4＋2³2³2³12＝12，|a ＋b |＝2 3. 2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( ) A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ²b ＝(1，3)²(3，m )＝3＋3m ，a ²b ＝12＋ 3 2³32＋m 2³cos π6， ∴3＋3m ＝12＋ 3 2³32＋m 2³cos π6， ∴m ＝ 3.3．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72 答案 A4．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)²(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)²(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →²(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)²(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →²AF →等于( )A.89B.109C.259D.269答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →²AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →²AC →，即有AB →²AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →²AF →＝(AC →＋CE →)²(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫avs4alco1(o(AC ,sup6(→))＋13CB →)²⎝⎛⎭⎫avs4alco1(o(AB ,sup6(→))＋13BC→)＝⎝⎛⎭⎫avs4alco1(f(2,3)AC →＋13AB →)²⎝⎛⎭⎫avs4alco1(f(1,3)AC →＋23AB →)＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →²AC →＝29³(1＋4)＋0＝109.故选B.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则PA →²(PB →＋PC →)的值为________．答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以PA →²(PB →＋PC →)＝PA →²2PM → ＝2³2³1³cos180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →²AC →＝|AB →|²|AC →|cos60°＝1³3³12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →²AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.8．在△ABC 中，若OA →²OB →＝OB →²OC →＝OC →²OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．答案 垂心解析 ∵OA →²OB →＝OB →²OC →， ∴OB →²(OA →－OC →)＝0，∴OB →²CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线．同理OA →²BC →＝0，OC →²AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ²b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ²b －27＝61，∴a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝42＋2³(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12³4³3³32＝3 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ²n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ²n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →²AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →²AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32 y －b ， ∴⎩⎨⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )²b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )²b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4.因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. ∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12. 13.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.解 (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ²b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ²b －27＝61，∴a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝42＋2³(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ²n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ²n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5³4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2³5c ³⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1³22＝22.15.在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R).(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.。
平面向量的坐标系和基底
平面向量的坐标系和基底平面向量是在平面上有方向和大小的量，一般用箭头表示。
在平面上表示向量时，需要建立坐标系和基底。
坐标系用来描述向量在平面上的位置，基底用来描述向量的方向。
接下来将介绍平面向量的坐标系和基底的相关知识。
1. 坐标系的建立在平面上建立坐标系时，通常选择两条互相垂直的轴作为坐标轴，分别称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点称为坐标原点O。
坐标系中规定x轴正方向为右，y轴正方向为上，这样确定了平面的正交坐标系。
对于任意一点P(x, y)，其坐标可表示为一个有序数对 (x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。
建立了坐标系后，可以通过坐标表示向量的位置。
2. 基底的选择在平面向量中，通常考虑单位向量作为基底。
单位向量是长度为1的向量，通常用i和j表示。
其中，i表示x轴正方向的单位向量，j表示y轴正方向的单位向量。
任意向量都可以表示为基底i和j的线性组合。
例如，一个向量a可以表示为a = xi + yj，其中x和y分别为向量在x轴和y轴上的投影长度。
这样，基底的选择也对向量的表示起到了重要作用。
3. 坐标系变换在平面向量的运算中，有时需要将一个向量在不同坐标系下进行表示。
坐标系变换需要考虑坐标系的旋转和平移。
对于旋转，可以通过矩阵乘法来表示向量相对于坐标系的旋转关系；对于平移，可以通过向量的加法来表示向量相对于坐标原点的平移。
坐标系变换的目的是为了方便向量的运算，使得问题更易解决。
总结平面向量的坐标系和基底是描述向量位置和方向的重要工具。
建立坐标系需要确定坐标轴和原点，选择基底需要考虑单位向量。
坐标系变换可以通过矩阵乘法和向量运算来表示。
通过对坐标系和基底的理解和应用，可以更好地解决平面向量的问题。
平面向量的坐标系和基底是向量分析的基础，对于深入理解向量运算和空间几何具有重要意义。
高中数学讲义(人教A版必修二)：第26讲 平面(教师版)
第26课平面课程标准课标解读1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．1.前面我们从整体的角度认识了柱体、锥体、台体、球等简单几何体的结构特征，接下来从局部的角度来认识构成空间几何体的基本元素一点、直线、平面之间的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力.2.本节内容的安排是首先让学生认识新的几何元素“平面”及其性质，其次让学生经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，最后让学生在直观感受的基础上形成三个基本事实和三个推论，初步体会欧几里得公理化体系，为后续学习做好准备因此本节内容具有极其重要的地位与价值3.本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、逻辑推理等知识精讲知识点01平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的．2．平面的画法画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画图示3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.【即学即练1】反思感悟知识点02点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l【即学即练2】知识点03平面的基本性质及作用1．三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B ，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l2.三个推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面【即学即练3】给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有________．(填序号)答案①解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A ，B ，C ，但A ，B ，C ，D ，E 不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．考法01图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【典例1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，b⊂βC．A⊂b，b⊂βD．A⊂b，b∈β答案B解析直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b⊂β.反思感悟用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．【变式训练】如图所示，用符号语言可表述为()B．α∩β＝m，n∉α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n答案A解析由题图知α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A，A∈m，A∈n.考法02点、线共面【典例2】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示，∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面．反思感悟证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．【变式训练】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．考法03证明点共线、线共点问题【典例3】)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明如图，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于点M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．【变式训练】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E ∈β，∴E 在α与β的交线l 上．同理，F ，G ，H 也在α与β的交线l 上，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．反思感悟(1)点共线与线共点的证明方法①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养．分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC ，13CH DC，则直线FH 与直线EG （）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直∵四边形ABCD 是空间四边形，EF 为三角形ABD 的中位线//EF BD 且12EF BD又∵11.33CG BC CH DC ，CHG CDB ∽，且//HG BD 2．下列命题中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面D ．四边形可确定一个平面【答案】B【分析】根据确定平面的依据，判断选项.【详解】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误；D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；故选：B3．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC 正确，根据异面直线的定义可判断D 错误.【详解】在A 图中，分别连接,,,PS QR AB CD ，由正方体可得四边形ABCD 为矩形，则//AB CD ，因为,P S 为中点，故//PS AB ，则//PS QR ，所以,,,P S R Q 四点共面.在B 图中，设,E F 为所在棱的中点，分别连接,,,,,PS SR RF FQ EQ PE ，由A 的讨论可得//PS ER ，故,,,P S E R 四点共面，同理可得//ER QF ，故//PS QF ，同理可得//EP RF ，//SR EQ 故F 平面PRS ，Q 平面PRS ，所以,,,,,P S R Q E F 六点共面.在C 图中，由,P Q 为中点可得//PQ AB ，同理//RS AB ，故//PQ RS ，所以,,,P S R Q 四点共面.在D图中，,故选：D.4．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.5．在空间中，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形【答案】C【分析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．【详解】对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A 不正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的四边相等，但不是平面图形．故B 不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故C 正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D 不正确．故选：C6．平面内8条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（）A ．9个B ．10个C ．11个D ．12个【答案】C【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，如图123////l l l ，456////l l l ，这6条线共有9个交点，如图交点分别为,,,,,,,,A B C D E F G H M ，若要使交点最少可以使7l 过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，因为平面内8条直线没有四条直线共点，8l 不能过三条线的公共点，比如不能过图中的,,A E M ，由于不能过点E 为了保证交点最少，8l 可以过两条直线的交点，最少增加2个新的交点，如图点,O P ，所以至少有9211 个交点，故选：C.二、多选题7．已知直线a ，b 和平面 ，且a ，//b ，则a 与b 的关系可以为（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】BCD【分析】根据,a b 是否共面，讨论a ，//b 时,a b 之间的位置关系即可.【详解】当,a b 共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 相交；当,a b 不共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 不相交，即异面垂直关系；故选：BCD8．下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面 内，又在平面 内，则 与 相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面【答案】ABC【分析】由基本事实3可判断选项A ，B 和选项C ；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D ．【详解】由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误．故选：ABC三、填空题9．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面各项中的哪几种：___________（填序号）.①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台.【答案】①②③⑤【分析】根据多面体和旋转体的特征去分析截面形状即可.【详解】对于棱柱、棱锥和棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三个点的截面即为三角形，①②③正确；作圆锥的轴截面即可得三角形截面，⑤正确；对于圆柱和圆台，无法作出三角形截面，④⑥错误.故答案为：①②③⑤.10．如图所示．1111ABCD A B C D 是正方体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、1A 不共面：③A 、M 、C 、O 共面；④B 、1B 、O 、M 共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④【详解】连接11AC ，因为O 是11B D 的中点，所以11O AC ，平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ，则平面11AB D ∩平面11AA C C AO ，对于①，11,M CA CA 平面11AAC C ，则M 平面11AAC C ，因为M 平面11AB D ，则M AO ，即A ，M ，O 三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A ，M ，O 三点共线，所以A ，M ，O ，1A 共面，A ，M ，C ，O 共面，所以②错误，③正确；对于④，连接BD ，则1,,B B O 都在平面11BB D D 上，若M 平面11BB D D ，则直线OM 平面11BB D D ，所以A 平面11BB D D ，显然A 平面11BB D D ，所以④错误，故答案为：①③11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D 中，,E F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点,,A E F 的平面把正方体1111ABCD A B C D 截成两部分，则截面与11BCC B 的交线段长为________.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．【答案】②③【分析】根据1B D 平面11A BC ，1B D 平面1ACD ，分点E 与1A 或1D 重合和点E 与 11A D 不重合，两种情况讨论求解判断.【详解】如图所示：1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．M 的面积为 11222S t 232212t t，当12t 时，1S 取得最大值334M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．已知三角形ABC 的三个顶点都在平面 上，求证：该三角形的内心I 也在平面 上．【答案】证明见解析【分析】根据平面的基本性质分析证明.【详解】记A 的平分线与BC 交于点D ，则I AD ．∵B ，C ，∴BC ．又D BC ，∴D ．∵A ，∴AD ，∵I AD ，∴I ．14．如图，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是梯形，且//BC AD ，//BE FA 且12BC AD ，12BE FA ，,G H 分别为,FA FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形．(2),,,C D F E 四点是否共面？为什么？题组B 能力提升练一、单选题1．若点Q 在直线b 上，b 在平面 内，则Q ，b ， 之间的关系可记作（）A ．Q bB ．Q bC ．Q bD ．Q b【答案】B【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.【详解】因为点Q (元素)在直线b (集合)上,所以Q b .又因为直线b (集合)在平面 (集合)内,所以b .所以Q b .故选：B2．两个平面能把空间分成几个部分（）A ．2或3B ．3或4C ．3D ．2或4【答案】B【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案.【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.故选:B【点睛】关键点点睛：本题的关键是要考虑到两个平面的位置关系.3．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点G 为正方形ABCD 的中心，点E 为11A D 的中点，点F 为AE 的中点，则（）A ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 平行B ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 相交C ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 平行D ．C 、E 、F 、G 四点不共面【答案】C【分析】连接AC 、CE 、FG ，分析可知G 为AC 的中点，判断出CG 与EF 相交，结合中位线的性质可得出结论.【详解】连接AC ，因为G 为正方形ABCD 的中心，则G 为AC 的中点，因为AC AE A ，F 为AE 的中点，故C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 相交，连接CE 、FG ，因为F 、G 分别为AE 、AC 的中点，则//CE FG ，故选：C.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D 【分析】分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F HE ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N 平面HPMF ，P 平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//AC AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP 平面HPMF ，H 平面HPMF ，所以NH 平面HPMF ，得N 平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH 平面HPMF ，P 平面HPMF ，所以PE 平面HPMF ，得E 平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面，故选：D.5．已知正方体ABCD A B C D体所得的多边形的周长为（）D．A．B．C．所以六边形MNPGFE即为面MNP截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱AA 、AB、BC的中点，易知：所以截面为正六边形，故周长为62.故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D 中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N .如图，若以A ，M ，N 所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【答案】B 【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.【详解】如图，延长11,AM A B 相交于点P ，连接PN 并延长，与11B C 相交于点E ，与11A D 的延长线相交于点Q ，连接AQ ，与1DD 相交于点F ，连接,NF ME ，则五边形AMENF 即为截面.故选：B.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.二、多选题7．下列是基本事实的是（）A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面B ．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面C ．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面D ．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内【答案】ABCD【分析】利用平面的基本性质判断.【详解】A.经过两条相交直线，有且只有一个平面，是性质的推论，故正确；B.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面是性质本身，故正确；C.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面是性质的推论，故正确；D.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内是性质本身，故正确.故选：ABCD8．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是棱BC 的中点， 101CN CC ，过点B 作平面 与平面AMN 平行，则（）A ．当12时， 截正三棱柱111ABC A B C -B ．当1 时， 截正三棱柱111ABC A B C -的截面面积为152C ． 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为三角形，则 的取值范围为10,2D ．若1,12 ，则 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为四边形所以115,22,BD DC BC B ：1 时，过B 作与面AMN 所以1122,3,BA EA BE C ：由B 知：1 时，平面 与D ：若G 为1CC 中点，当N 在GC 利用平面的基本性质画出平面结合上述分析：1G C 过程中，截面为四边形，正确；故选：ABD三、填空题9．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；【答案】6【分析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，结合正方体，即可得出答案.【详解】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.故答案为：6.10．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分．【答案】248【分析】由平面的性质可借助图形说明．【详解】因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分；两个平面平行时，可把空间分成3部分，两个平面相交时，可把空间分成4部分，；综上可知，两个平面最多可把空间分成4部分.三个平面互相平行时，可把空间分成4部分；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；综上可知，三个平面最多可把空间分成8部分.故答案为：①2；②4；③8.11．已知四棱锥P ABCD 的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点作平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是______（写出所有正确结论的序号）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.PA PC ∵，则PO AC ，同理可得故22OA PA PO PB 因为平面四边形ABCD 的四条边相等，故四边形点E 、F 、G 为BP 、AB 对于②：如图所示：分别取PB 、PC 、AB 的中点所以：构成的平面EFG 交CD 因为四边形ABCD 为菱形，则又因为E 、H 分别为AB 、故四边形BCHE 为平行四边形，则所以，//FG EH 且FG EH 对于③，如上图，分别取PA 由已知条件可知KF FG 因为AB AD ，则KF MK 对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故故答案为：①②③.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．当12t 时，1S M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)A ，B ；(2)l ，m A ∩，A l ；(3)P l ，P ，Q l ，Q ．【答案】(1)详情见解析(2)详情见解析(3)详情见解析【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.（1）解：点A 在平面 上，点B 不在平面 上，如下图所示：（2）解：直线l 在平面 上，直线m 与平面 相交于点A ，且点A 不在直线l 上，如下图所示：．（3）解：直线l 经过平面 外一点P 和平面 上一点Q ，如下图所示：题组C 培优拔尖练1．如图，已知ABC 的三个顶点都不在平面 内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面 于点,,P Q R ,求证：,,P Q R 三点在同一条直线上．【答案】证明见解析【分析】根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，结合平面的性质，即可求解.【详解】证明：由已知AB 的延长线交平面 于点P ，根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，因为P 直线AB ，所以P 平面ABC ，又因为AB P ，所以P 平面 ，所以P 是平面ABC 与平面 的公共点．因为平面ABC l ，所以P l ．同理可得：Q l 且R l ．所以,,P Q R 三点在同一条直线上．2．已知空间四边形ABCD 中，,E H 分别是,AB AD 的中点，,F G 分别是,BC CD 上的点，且23CF CG CB CD .求证：（1）,,,E F G H 四点共面；（2）三条直线,,EF GH AC 交于一点.3．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ，11AA ，AB ，2AC ，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点，G 为线段1AA 的中点（1）试在图中画出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.取AB 中点M ，连接MF 、MG 则////GE AC ME ，即M F G 、、、则梯形EFMG 为所求截面的多边形则12,12EG AC MF AC ，2223122MG AM AG222234BC AB AC 22221722EF CE CF 所以该多边形EFMG 的周长为1（2）连接AF ，GF ，4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112B P PA ，112C Q QA ．求证：直线1AA ，BP ，CQ 相交于一点．5．如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为4cm ，M N ，分别是11A B 和1CC 的中点．(1)画出过点D M N 、、的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的两条交线；(2)设过D M N 、、的平面与11B C 交于点P ，求PM +PN 的值．如图示：平面DRMPN 与平面11BB C C 的交线为PN ，平面（2）由N 为1CC 的中点，易得1 △DCN N EC △，所以DC 因为11C MB P P E △∽△，所以11112142MB B P EC C P ，得1C P 所以12C N ，128433C P，114433 B P ，所以6410493 PN ，16213493PM ．所以102133PM PN．。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 平面向量及运算的坐标表示 (2)
图2-4-3
2.在平面直角坐标系内,给定点A的坐标为(1,1),则点A的位置
确定了吗?给定向量a的坐标为(1,1),则向量a的位置确定了吗?
提示:对于点A,若给定A的坐标为(1,1),则点A的位置确定.对于
向量a,给定a的坐标为(1,1),此时给出了a的方向和大小,但因
向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任意平移,因此a的
性质,向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基i,j表示?
提示:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,λa=λx1i+λy1j.
2.(1)平面向量的坐标运算
①运算法则:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么
a+b=(x1+x2,y1+y2),
提示:(1)①中b=2a,②中b=-3a,③中b=-a.
(2)共线.
(3)坐标不为(0,0)时成比例.
2.在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,则向量a,b共线
的充要条件是 x1y2-x2y1=0.
3.想一想:如果两个非零向量共线,那么你能通过其坐标判断
它们是同向还是反向吗?
位置不确定.
3.在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单
位向量 i,j 作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量 a,以坐
标原点 O 为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基
本定理可知,有且仅有一对实数 x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.把
(x,y)称为向量 a 在标准正交基{i,j}下的坐标,向量 a 可以表示为
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（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值。
解：（1）设 ， ，
点X在直线OP上 向量 与 共线 ，即 ，故 =（2y，y），又 ， ，故 ，
同理， ，
于是 ，
∴当 时， 有最小值 ，此时 =（4，2）；
（2）当 =（4，2），即 时，有 =（－3，5）， =（1，－1），
5、已知M(3,4)，N(12,7)，点Q在直线MN上，且 ，则点Q的坐标为 , 。
6、若向量 的夹角为 ， ,则向量 的模为6。
7、若三点 共线，则 的值等于 。
8、在 中， ，M为 的中点，则 __ ___。
9、已知 、 不平行，向量 与向量 平行，则 。
10、设两向量 、 满足 ， 、 的夹角为 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，实数t的取值范围是 。
解：（1） ，所以当 时 最大值为
（2）
18、已知平面上三个向量 的模均为 ，它们相互之间的夹角为 。
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的取值范围。
解：（1） ，同理 ，
于是 ，即 ；
（2）
，
即 ，所以， 或 。
19、平面内有向量 =（1，7）， =（5，1）， =（2，1），点X为直线OP上的一个动点。
11、给出下列四个命题：
①若 ，则 ∥ ；
② 与 不垂直；
③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则 ；
④设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC= 。
其中真命题的序号是①，④（请将你认为真命题的序号都填上）。
12、已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范围是 。
（1）若点P的坐标为 ，求 关于 的解析式；
（2）若点P坐标为 ， 为 与 的夹角，求 。
解：（1） · ， · ， · ，
由题意得
（2）由（1）知， ，可得cosθ＝ ，
又x0 ,∴ 中， 且 为直角，则
2、已知：D为△ABC的边BC上的中点，E是AD上的一点，且 =3 ，若 = ，则 + + = （用 表示）
二、选择题：
13、已知 ,则 是 三点构成三角形的 （B）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14、若 为非零向量，且 ，则有……………………………（ ）
（A） 且 方向相同；（B） ；（C） ；(D)以上都不对。
15、下列命题中，假命题为（B）
A．若 ，则 B．若 ，则 或
第26讲平面向量(2)
班级_________姓名_________学号_________
一、填空题：
1、若三个共点力 , , ，则合力坐标为___ （1，-1）_。
2、已知 ， ，则与 平行的单位向量为 ， 。
3、已知 =(2,3), ,则 在 方向上的投影为 。
4、设点 ， 与 同向， ，则点B的坐标为 。
3、已知以下五个命题：
①若 ， ，则 .
②若 ，则 .
③若 ，(其中 均为非零向量)，则 。
④若 均为非零向量，则 一定成立。
⑤已知 均为非零向量，则 成立的充要条件是 与 同向.
其中正确命题的序号是②、⑤.
4、已知 , ,若 ,且A、B、C为 ABC的内角，则∠B＝
5、已知 且点P在线段 的延长线上，且 ，则点P的坐标（D）
C．若k∈R，k ，则k=0或 D．若 ，则 ≤1恒成立
16、设 ， 是互相垂直的单位向量，向量 ， ，且 ，则实数m为（A）
A． B．2Ｃ． Ｄ．不存在
三、解答题：
17、已知向量 ＝(sinθ，1)， ＝(1，cosθ)，－≤θ≤。
（1）求 的最大值；
（2）当 取得最大值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形 ，求 。
A. B. C. D.
6、设 分别是 轴， 轴正方向上的单位向量， ， 。若用来表示 与 的夹角，则等于（D）
A． B． C． D．
7、在△ABC中，设 ，则 等于( D )
A、0B、 C、 D、
∴| |= ，| |= ， ，∴cos∠AXB= 。
20、四边形 中 , ， ,
(1)若 ∥ ，求 与 间的关系式；
(2)满足(1)的同时又有 ⊥ ,求 的值及四边形 的面积。
解：(1) ，所以
(2) ，则
又因为 ，的
则 ， 或 ，
所以四边形 的面积为
21、已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使 成公差小于零的等差数列。