2020-2021学年天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
天津市东丽区九年级上学期期末考试数学考试卷(解析版)(初三)期末考试.doc
天津市东丽区九年级上学期期末考试数学考试卷（解析版）（初三）期末考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】首先根据题目已知条件画出树状图，由图不难得到共有20种等可能的结果，一个白球的有6种情况，结合概率公式，用取到的是一个白球的情况数除以所有的情况数即可解答.本题解析:画树状图，得∵共有20种等可能的结果，取到的是一个白球的有6种情况，∴取到的是一个白球的概率为：P==故选C.点睛：此题考查了概率的计算，需要掌握列举法（列表法或树状图法）求概率的方法；通过画树状图或列表得到所有等可能的结果，并确定取到的是一个白球的结果数；再利用概率的计算公式，用取到的是一个白球的结果数除以所有等可能的结果数即可.【题文】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可.本题解析:把x=1代入x²−x−m=0得1−1−m=0，评卷人得分解得m=0.故选B.【题文】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，点睛：1、此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握它们的基本特征；2、根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.可判断哪些图形是轴对称图形；3、根据中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.可判断哪些图形是中心对称图形.只符合这一条的即为答案.【题文】抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】此题给出的解析式就是二次函数的顶点式,由二次函数的顶点式为y=a(x-h) ²+k（a≠0），它的顶点坐标为（h，k）即可求解.本题解析:解：抛物线y=(x+2) ²+3的顶点坐标是(-2, 3）【题文】下列判断中正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【答案】C【解析】根据等弧概念对A进行判断,根据垂径定理对B、C、D选项进行逐一判断即可．本题解析:A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.B. 由垂径定理可知平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，而不是直线,也未注明被平分的弦不是直径，故选项B错误；C. 由垂径定理可知弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧，故选项C正确D.由垂径定理可知平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦,而不是直线.故本选项错误。
天津东丽区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 19 页2019-2020学年天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知﹣2是一元二次方程2x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）A ．2B ．4C ．﹣6D ．﹣43．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A ．拔苗助长B ．守株待兔C ．竹篮打水D ．水涨船高4．将二次函数y ＝2x 2﹣4x +1的右边进行配方，正确的结果是（ ）A ．y ＝2（x ﹣1）2+1B ．y ＝2（x +1）2﹣1C ．y ＝2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝2（x +1）2+15．已知⊙O 的半径是5cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm6．下列说法中正确的是（ ）A ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件B ．“正八边形的每个外角的度数都等于45°”是随机事件C ．“200件产品中有8件次品，从中任抽9件，至少有一件是正品”是不可能事件D ．任意抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则反面向上一定是50次7．如图，⊙O 的直径AB 长为10，弦BC 长为6，OD ⊥AC ，垂足为点D ，则OD 长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．方程x 2﹣2x ＝5的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个实数根9．一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个绿球，5个黄。
2020-2021学年天津市河东区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年天津市河东区九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为14，则这个袋子中蓝球的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．12个3．（3分）关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．（3分）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE ＝1.2m ．测得AB ＝1.6m ．BC＝18.4m ．则建筑物的高CD ＝（ ）A ．13.8mB ．15mC ．18.4mD ．20m5．（3分）不论m 取何值时，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣1与x 轴的交点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．（3分）下列判断中，不正确的有（ ）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣12，﹣8）C ．（﹣3，﹣2）或（3，2）D ．（﹣12，﹣8）或（12，8）8．（3分）如图，将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，DB 的延长线交EF 于点H ，则∠DHE 的大小为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°9．（3分）如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AE ，交BC 于点F ，则∠1与∠2的大小关系为（ ）A ．∠1＞∠2B ．∠1＜∠2C ．∠1＝∠2D ．无法确定10．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =−16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m11．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3B．﹣3C．﹣6D．912．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为．14．（3分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是．15．（3分）已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．连接BC，BD．如图，若∠CBD＝20°，则∠A的大小为（度）．16．（3分）一个扇形的弧长是65πcm ，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 度． 17．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x… −32 ﹣1 −12 0 12 1 32 … y … −54 ﹣2 −94 ﹣2 −54 0 74 … 则ax 2+bx +c ＝0的解为 ．18．（3分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（1）边AC 的长等于 ．（2）以点C 为旋转中心，把△ABC 顺时针旋转，得到△A 'B 'C '，使点B 的对应点B '恰好落在边AC 上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知关于x 的一元二次方程：x 2+ax ﹣5＝0的一个根是1，求a 的值及该方程的另一根．20．（8分）已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点．连接AC ，DO ．（Ⅰ）如图①，求∠BOD 及∠A 的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，若⊙O 的半径为2．求CH 的长．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B＝30°，AT=√3，求⊙O的直径AB和弦BC的长．22．（10分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？23．（10分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？24．（10分）如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B 出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S 的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市河东区九年级上学期期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A ．2．（3分）在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为14，则这个袋子中蓝球的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．12个【解答】解：设袋子中蓝球有x 个，根据题意，得：33+5+x =14， 解得：x ＝4，即袋中蓝球有4个，故选：B ．3．（3分）关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 【解答】解：垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．故选：C ．4．（3分）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE ＝1.2m ．测得AB ＝1.6m ．BC＝18.4m ．则建筑物的高CD ＝（ ）A ．13.8mB ．15mC ．18.4mD ．20m【解答】解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE CD =AB AC ，∵BE ＝1.2，AB ＝1.6，BC ＝18.4，∴AC ＝20，∴1.2CD =1.620，∴CD ＝15．故选：B ．5．（3分）不论m 取何值时，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣1与x 轴的交点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣1，∴△＝（﹣m ）2﹣4×1×（﹣1）＝m 2+4≥4＞0，∴不论m 取何值时，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣1与x 轴的交点有2个，故选：C ．6．（3分）下列判断中，不正确的有（ ）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【解答】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选：B ．7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣12，﹣8）C ．（﹣3，﹣2）或（3，2）D ．（﹣12，﹣8）或（12，8）【解答】解：∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，点B 的坐标为（﹣6，﹣4），∴点B 的对应点B ′的坐标为（﹣6×12，﹣4×12）或（6×12，4×12），即（﹣3，﹣2）或（3，2），故选：C ．8．（3分）如图，将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，DB 的延长线交EF 于点H ，则∠DHE 的大小为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°【解答】解：∵将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，∴∠BAE ＝35°，∠E ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ABH ＝135°，∴∠DHE ＝360°﹣∠E ﹣∠BAE ﹣∠ABH ＝360°﹣135°﹣35°﹣90°＝100°， 故选：C ．9．（3分）如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AE ，交BC 于点F ，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1＝∠2D．无法确定【解答】解：∵∠AED+∠CEF＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，∵∠ADE＝∠ECF＝90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE＝2EF，AD＝2DE，又∵∠ADE＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1＝∠2．10．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（）A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m【解答】解：根据题意，得OA＝12，OC＝4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即−b2a=b13=6，∴b＝2，∵C（0，4），∴c＝4，所以抛物线解析式为：y=−16x2+2x+4=−16（x﹣6）2+10当y＝8时，8=−16（x﹣6）2+10，解得x1＝6+2√3，x2＝6﹣2√3．则x1﹣x2＝4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3．故选：D．11．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3B．﹣3C．﹣6D．9【解答】解：由图象可得，二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，∴﹣m≥﹣3，解得，m≤3，∴m的最大值是3，故选：A．12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当﹣3＜x ＜2时，ax 2+kx ＜b ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【解答】解：①抛物线y ＝ax 2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确； ②根据图象得：直线y ＝kx +b （k ≠0）为增函数；抛物线y ＝ax 2（a ≠0）当x ＞0时为增函数，则x ＞0时，直线与抛物线函数值都随着x 的增大而增大，本选项正确； ③由A 、B 横坐标分别为﹣2，3，若AB ＝5，可得出直线AB 与x 轴平行，即k ＝0， 与已知k ≠0矛盾，故AB 不可能为5，本选项错误； ④直线y ＝﹣kx +b 与y ＝kx +b 关于y 轴对称，如图所示： 可得出直线y ＝﹣kx +b 与抛物线交点C 、D 横坐标分别为﹣3，2， 由图象可得：当﹣3＜x ＜2时，ax 2＜﹣kx +b ，即ax 2+kx ＜b ，本选项正确； 则正确的结论有①②④． 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 2：√3 ． 【解答】解：设正六边形的半径是r ， 则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是√32r ， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：√3． 故答案为：2：√3．14．（3分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是59．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，至少有一辆汽车向左转的有5种情况， ∴至少有一辆汽车向左转的概率是：59．故答案为：59．15．（3分）已知，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC ＝CD ．连接BC ，BD ．如图，若∠CBD ＝20°，则∠A 的大小为 70 （度）．【解答】解：∵AC ＝CD ， ∴AĈ=CD ̂， ∴∠ABC ＝∠CBD ＝20°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣20°＝70°． 故答案为70．16．（3分）一个扇形的弧长是65πcm ，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 36 度．【解答】解：设扇形的圆心角为n ． 由题意：65π=nπ⋅6180，解得n ＝36°， 故答案为36．17．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…−32﹣1−12012132…y…−54﹣2−94﹣2−54074…则ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣2或1．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=−1 2，∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（﹣2，0），∴ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或1．故答案为：x＝﹣2或1．18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）边AC的长等于5．（2）以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．【解答】解：（1）根据网格可知：AB＝4，BC＝3，∴AC=√AB2+BC2=5，故答案为：5；（2）取格点E，F，M，N，作直线EF，直线MN，MN与EF交于点A′，EF与AC交于点B′，连接CA′．△A'B'C即为所求．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程：x2+ax﹣5＝0的一个根是1，求a的值及该方程的另一根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣5＝0的一个根是1，∴12+a﹣5＝0，解得a＝4；（2）设方程的另一个根为x2，则x2+1＝﹣4，解得：x2＝﹣5．故方程的另一根为﹣5．20．（8分）已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH 的长．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，∵AB为直径，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD=13×180°＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠A＝60°；即∠BOD及∠A的大小为60°，60°；（Ⅱ）如图②，连接OC，∵CF⊥AB，∴CF＝HF，在Rt△OCF中，∵∠COF＝60°，∴OF=12OC＝1，∴CF=√3OF=√3，∴CH＝2CF＝2√3．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B＝30°，AT=√3，求⊙O的直径AB和弦BC的长．【解答】解：连接AC，如图所示：∵直线AT切⊙O于点A，∴∠BAT＝90°，在Rt△ABT中，∠B＝30°，AT=√3，∴tan30°=ATAB，即AB=√3tan30°=3；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，∴cos30°=BC AB，则BC＝AB•cos30°=3√3 2．22．（10分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？【解答】解：设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，依题意，得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵尽快减少库存，∴x ＝20， ∴200−x 200×10＝9．答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应打9折出售．23．（10分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB 宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这是水面宽度为10m ． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？【解答】解：（1）解：设所求抛物线的解析式为：y ＝ax 2（a ≠0）， 由CD ＝10m ，可设D （5，b ），由AB ＝20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ， 则B （10，b ﹣3），把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2得： {25a =b 100a =b −3， 解得{a =−125b =−1．∴y =−125x 2； （2）∵b ＝﹣1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1m ， ∴10.2=5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．24．（10分）如图1．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ．连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．（1）图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 PM ＝PN ，位置关系是 PM ⊥PN ；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=12BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由：如图2，连接CE，BD，由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）若DE＝2，BC＝6，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝6，∴AB=√22BC＝3√2，同理：AD=√2由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝4√2，∴PM＝2√2，∴S △PMN 最大=12PM 2=12×（2√2）2＝4．25．（10分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点B （4，0），C （0，﹣2），对称轴为直线x ＝1，与x 轴的另一个交点为点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从点A 出发，沿AC 向点C 运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N 从点B 出发，沿BA 向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M 、N 有一点到达终点时，运动停止，连接MN ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AMN 的面积S 最大，并求出S 的最大值；（3）点P 在x 轴上，点Q 在抛物线上，是否存在点P 、Q ，使得以点P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P 坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，将B （4，0），C （0，﹣2），对称轴为直线x ＝1，代入抛物线解析式，得{16a +4b +c =0c =−2−b 2a =1， 解得：{ a =14b =−12c =−2，∴抛物线的解析式为：y=14x2−12x−2；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM=√22t，∴S=(6−2t)⋅√22t⋅12=−√22(x−32)2+98√2，∴由二次函数的图象及性质可知，当t=32时，S最大值为9√28；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入y=14x2−12x−2，得x1＝1+√17，x2＝1−√17，∴当x Q＝1+√17时，x P＝﹣3+√17；当x Q＝1−√17时，x P＝﹣3−√17，∴P1（﹣3+√17，0），P2（﹣3−√17，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入y=14x2−12x−2，得x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+√17，0），P2（﹣3−√17，0），P3（6，0），P4（2，0）．。
2021-2022学年天津市九年级上学期数学期末试卷及答案
2021-2022学年天津市九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）A. B. 22y x =-3y x =C. D.221y x x =+-2y x =-【答案】C【解析】【分析】二次函数满足的三个要求：函数关系式右边是整式；自变量的最高次数是2次；二次项系数不等于0，根据要求分析判断即可得到正确答案．【详解】解：A 、函数右边是分式，不是二次函数，选项不符合题意；B 、函数是反比例函数，不是二次函数，选项不符合题意；C 、函数是二次函数，符合题意；D 、函数是一次函数，选项不符合题意．故选：C 【点睛】本题考查二次函数识别，牢记相关知识点并能够灵活应用是解题关键．2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】解：利用中心对称图形的概念可知：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是中心对称图形，故此选项正确；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后180︒与原图重合．3. 已知x=1是关于x 的一元二次方程的一个根，则m 的值是（ ）250x mx +-=A. 5B. ﹣5C. ﹣4D. 4【答案】D【解析】【分析】把x=1代入方程，得出一个关于m 的方程，解方程即可．250x mx +-=【详解】解：把x=1代入方程得：1+m-5=0，250x mx +-=解得：m=4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m 的方程．4. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠BAC＝38°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 80°B. 76°C. 62°D. 52°【答案】B【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC 的度数．【详解】解：∵点A 、B 、C 都在⊙O 上，∠BAC=38°，∴∠BOC=2∠BAC=76°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP 总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A. y ＝2.4（1+2x ）B. y ＝2.4（1-x ）2C. y ＝2.4（1+x ）2D. y ＝2.4+2.4（1+x ）+2.4（1+x ）2【答案】C【解析】【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第二季度季度GDP 总值约为2.4（1+x ）元，第三季度GDP 总值为2.4（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=2.4（1+x ）2．故选：C ．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）2(2)3y x =-++A. 开口向上B. 当x ＝2时，y 有最小值是3C. 对称轴是D. 顶点坐标是（-2，3） 2x =【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【详解】解：， 2(2)3y x =-++ 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，有最大值3， ∴2x =-(2,3)-2x =-故、、说法错误，说法正确，A B C D 故选：．D 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是2(0)y ax bx c a =++≠，，对称轴直线，二次函数的图象具有如(2b a -24)4ac b a -2b x a=-2(0)y ax bx c a =++≠下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的0a >2(0)y ax bx c a =++≠2b x a<-y x 增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即2b x a >-y x 2b x a=-y 244ac b a -顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线的开口向下，0a <2(0)y ax bx c a =++≠2b x a <-时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值y x 2b x a >-y x 2b x a=-y ，即顶点是抛物线的最高点． 244ac b a-7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）x 2690kx x -+=k A.B. C. 且 D. 1k <1k ≤1k <0k ≠1k ≤且0k ≠【答案】B【解析】【分析】本题分两种情形讨论：当k=0时，判断此时方程是否有根；当k≠0时，根据判断判别式列出不等式求解即可.【详解】解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意； 32x =当k≠0时，∵关于的方程有实数根，x 2690kx x -+=∴ ，2(6)490k ∆=-- ≥∴ ，1k ≤又k≠0，∴ 且k≠0，1k ≤综上所述，当时，关于的方程有实数根.1k ≤x 2690kx x --=故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.8. 若是关于x 的二次函数，则a 的值是（ ） ()313a y a xx +=+-+A. 1B. -5C. -1D. -5或-1【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】依题意可得 1032a a +≠⎧⎨+=⎩解得a=-5故选B ．【点睛】此题主要考查二次函数的定义及特点，解题的关键是熟知二次函数二次项系数不为零．9. 抛物线y ＝x 2﹣2x﹣a 上有A （﹣4，y 1）、B （2，y 2）两点，则y 1和y 2的大小关系为（ ）A. y 2＜y 1B. y 1＜y 2C. y 2＜y 1＜0D. y 1＜y 2＜0【答案】A【解析】【分析】首先确定出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向，根据与对称轴的远近即可判断．【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线，1x =∵抛物线二次项系数为1＞0，∴抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴直线越远，函数值越大，1x =∵A（﹣4，y 1）与直线的距离为，1x =()145--=B （2，y 2）与直线的距离为，1x =211-=∴点A 到直线的距离比点B 更远，则，1x =12y y >∵原抛物线中待定，则的符号也待定，无法判断正负，a 12y y 、∴只能判断出，12y y >故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，理解并熟练运用利用二次函数的性质比较函数值大小的方法是解题关键．10. 如图，OA 为⊙O 的半径，弦BC⊥OA 于点P ．若BC=8，AP=2，则⊙O 的半径长为（ ）A. 5B. 6C. 10【答案】A【解析】 【分析】连接OB ，根据垂径定理和勾股定理列方程即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，∵，，BC OA ⊥8BC =∴，， 142BP PC BC ===222BP OP OB +=∵，2AP =∴，2224(2)OB OB +-=解得，，5OB =则的半径长为，O 5故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．11. 如图，正方形OABC 的顶点B 在抛物线y ＝的第一象限的图象上，若点B 的横坐标与2x 纵坐标之和等于6，则对角线AC 的长为（ ）A. 2B. C.【答案】C【解析】 【分析】设点B （x ，），构造方程+x=6，确定点B 的坐标，计算OB 的长度，根据正方2x 2x 形的性质即可得到AC ．【详解】设点B （x ，y ）∵正方形OABC 的顶点B 在抛物线y ＝的第一象限的图象上，若点B 的横坐标与纵坐标之2x 和等于6，∴AC=BO，+x=6，2x 解得（舍去），12x 2x -3==，∴B（2，4），=∴AC=故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键．12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；2y ax bx c =++0abc <②；③；④其中，其中正确的结论有a cb +>30ac +<()(+>+a b m am b 1)m ≠( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根a y c 据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．x 【详解】解：①由图象可知：，，0a <0c >， 02b a-> ，0b ∴>，故此选项正确；0abc ∴<②当时，，故，错误；1x =-0y a b c =-+=a c b +=③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且， 3x =0=930y a b c =++=12b x a=-=即，代入得，得，故此选项错误；2b a =-960a a c -+=30a c +=④当时，的值最大．此时，，1x =y y a b c =++而当时，，x m =2y am bm c =++所以，2a b c am bm c ++>++故，即，（其中，故此选项正确．2a b am bm +>+()a b m am b +>+1)m ≠故①④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为()20y ax bx c a =++≠一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的0a <2b x a =-y 交点坐标为．()0,c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 已知x 1，x 2是一元二次方程的两根，则_____．280x x -=12x x +=【答案】8【解析】【分析】利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：利用根与系数的关系可知：， 128==81-+=--b x x a 故答案为：8．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，，关键是要12b x x a +=-12c x x a = 记住公式．14. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______． 【答案】 13【解析】【分析】用列举法列出全部的等可能结果，共有3种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：随机地抽取一张卡片有，，共有种等可能的结果，抽取的卡片数字1-233是负数的的结果有种，1抽取的卡片数字是负数的概率为． ∴13故答案为：． 13【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能的结果，并且根据概率公式：概率所=求情况数与总情况数之比求解是解决本题的关键．15. 如图，矩形ABCD 中，，．以点A 为中心，将矩形ABCD 旋转得到矩形3AB =4BC =AB'CD'，使得点B'落在边AD 上，此时DB'的长为______．【答案】1【解析】【分析】利用矩形和旋转的性质，推出，，所以．4AD BC ==AB AB 3'==431'=-=DB【详解】解：由题意可知：，，AB AB 3'==4AD BC ==∴，431'=-=DB 故答案为：1．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，关键是利用旋转性质得到，再AB AB 3'==利用矩形的性质得．4AD BC ==16. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为_____________．【答案】【解析】【详解】解：如图，△ABC 为圆O 的内接正三角形，OB=2，过点O 作OD⊥BC 于点D ，连接OB 、OC ，则OB=OC ， 则∠BOD=∠BOC=×2×∠A=60°，1212则OD=OB=1，12则则故答案为17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm 的半圆，则该圆锥的底面积是 ___cm 2． 【答案】π【解析】【分析】利用底面圆的周长＝侧面半圆的弧长即可求得圆锥的底面半径，进而可求得底面积．【详解】解：由题意可得：底面圆的周长＝侧面半圆的弧长，∴＝， 2r π12222ππ⨯⨯=解得：，1r =∴底面积（cm 2），21ππ=⨯=故答案为：．π【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与底面圆之间的关系是解决本题的关键．18. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的ABCD O PA PD O A D PD 延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．BC E 2AB =【答案】5π-【解析】【分析】连接AC ，OD ，根据已知条件得到AC 是⊙O 的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=【详解】解：连接AC ，OD ，∵四边形BCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC 是⊙O 的直径，∠AOD=90°，∵PA，PD 分别与⊙O 相切于点A 和点D ，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四边形AODP 是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP 是正方形，∴∠P=90°，AP=AO ，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∵AB=2，，，，，∴图中阴影部分的面积221111()52222AC PE AP AO πππ=+⋅-⋅=+-⋅=-故答案为：5-π．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解下列方程：（1）x 2+4x﹣1＝0；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．【答案】（1）x 1，x 22）x 1＝1，x 2＝2．【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）x 2+4x﹣1＝0，∵a＝1，b ＝4，c ＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x ＝﹣2即x 1，x 2（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，(x﹣1)(x﹣2)＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．20. 如图，已知△ABO 中A （﹣1，3），B （﹣4，0）．（1）画出△ABO 绕着原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A 1B 1O ；（2）求第（1）问中线段AO 旋转时扫过的面积．【答案】（1）如图所示，△A 1B 1O 即为所求；见解析；（2）线段AO 旋转时扫过的面积为． 52π【解析】【分析】（1）根据题意，画出图形即可；（2）先根据勾股定理求出AO ，再根据扇形的面积公式计算即可.【详解】解：（1）根据题意，将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，如图所示，△A 1B 1O 即为所求；（2）根据勾股定理：AO ==线段AO ＝． 52π【点睛】此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.21. 如图，∠O=30°，C 为OB 上一点，且OC=6，以点C 为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.【答案】相切【解析】【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可试题解析：相切，理由如下：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：（1）抽到的数字有几种可能的结果？（2）抽到的数字是1的概率是多少？（3）抽到的数字会是0吗？（4）抽到的数字小于6的概率是多少？（5）抽到的数字不大于4的概率是多少？【答案】（1）有五种可能的结果（2）抽到的数字是1的概率是1 5（3）不可能（4）抽到的数字小于6的概率是1（5）抽到的数字不大于4的概率为4 5【解析】【分析】（1）根据数字的数量可以判断出结果；（2）据概率公式解答就可求出抽到的数字是1的概率．（3）纸团中没有数字0，故可得结论；（4）由数字1，2，3，4，5均小于6可得结论；（5）根据数字不大于4有4个，故可得结论．【小问1详解】解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能的结果；【小问2详解】解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个，故抽到的数字是1的概率是； 15【小问3详解】解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0，故不可能抽到数字0；【小问4详解】解：∵数字1，2，3，4，5均小于6，∴抽到的数字小于6的概率是1； 【小问5详解】解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个，∴抽到的数字不大于4的概率是. 45【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．（2）求该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【答案】（1）100；（2）y ＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【解析】【分析】（1）根据“实际销量＝原销售量+10×(销售单价－原计划销售单价)”列式计算12即可；（2）根据以上等量关系求函数关系式即可；（3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可．【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件）， 100902-故答案为：100； （2）依题意得：， ()1501001055502y x x =+-⨯=-+∴y 与x 的函数关系式为y=－5x+550；（3）依题意得：y(x －50)=4000，即(－5x+550)(x －50)=4000，解得：x 1=70，x 2=90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数表达式，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．24. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥AC，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】【详解】试题分析：连结OD ，∵AD 平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD ， ()1∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，从而得证. 在Rt△AFO 中，利用勾股定理：AF 2＋OF 2＝AO 2，得出的长，四边形ODEF 是矩形，()2OF 从而得到的长.DE 试题解析：连结OD ．()1∵AD 平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：作OF⊥AC，垂足为F ． 132AF AC ∴==，在Rt△AFO 中，AF 2＋OF 2＝AO 2， 152AO AB ==，∴32＋OF 2＝52，∴ OF ＝4，∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF 是矩形，∴DE＝OF ＝4．25. 如图，已知抛物线y= - x 2+mx+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）．（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标，【答案】（1）m ＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．【解析】【分析】（1）将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；（2）求出点A 、C 的坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）点A 关于函数对称轴的对称点为B ，连接BC 交函数对称轴于点P ，此时点P 即为所求点，即可求解．【详解】解：（1）将点B 的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m ＝2，则函数对称轴为：x ＝﹣＝1，代入y= - x 2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）； 2b a（2）函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x+3，令y ＝0，则x ＝3或﹣1，令x ＝0，则y ＝3，故点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），AB=4，OC=3，△ABC 的面积为． 1143622AB OC =⨯⨯=（3）点A 关于函数对称轴的对称点为B ，连接BC 交函数对称轴于点P ，此时点P 即为所求点，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 得：，解得：， 033k b b =+⎧⎨=⎩13k b =-⎧⎨=⎩故直线BC 的表达式为：y ＝﹣x+3，当x ＝1时，y ＝2，故点P （1，2）．【点睛】本题考查了求函数解析式和图象与坐标轴交点坐标，最短路径问题，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用对称性确定点P 的位置．。
天津市东丽区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
天津市东丽区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.一元二次方程2x2−3x+a=0有一个根是x=2，则a的值及方程的另一个根是()A. a=2，x=1B. a=−2，x=−12D. a=2，x=2C. a=−2，x=123.下列成语所描述的事件为随机事件的是()A. 水涨船高B. 水中捞月C. 守株待兔D. 缘木求鱼4.将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为()A. y=(x+3)2+2B. y=(x−3)2+2C. y=(x+3)2−2D. y=(x−3)2−25.已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径为()A. 2B. 4C. 8D. 166.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()A. 可能有5次正面朝上B. 必有5次正面朝上C. 掷2次必有1次正面朝上D. 不可能10次正面朝上7.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 88.方程x2−4x+3=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根9.在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是()A. 3m+n B. 3m+n+3C. m+nm+n+3D. m+n310.正六边形的周长为6，则它的面积为()A. 9√3B. 3√3C. 32√3 D. 14√311.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为()A. 25(1+x)2=82.75B. 25+50x=82.75C. 25+25(1+x)2=82.75D. 25[1+(1+x)+(1+x)2]=82.7512.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，有下列结论：①ab>0；②a+b+c<0；③b+2c<0；④a−2b+4c>0；⑤a=32b.其中正确的有()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程(x−1)2=1的解为．14.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是_____．15.点A(a+1,3)与点B(−4,1−b)关于原点对称，则a+b=______．16.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30−x)件．若使利润最大，每件的售价应为______元．17.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．18.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若⊙O的半径为5，CD=2，那么AB的长为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，甲在O点正上方1m的P处发球，羽毛球飞行的高度y(m)与羽毛球距离甲站立位置(点O)的水平距离x(m)之间满足函败表达式y=a(x−4)2+ℎ.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m，球场边界距点O的水平距离为10m．(1)当a=−1时，求h的值，并通过计算判断此球能否过网．20(2)若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离lm处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离lm，离地面高度2.2m处飞过，通过计算判断此球会不会出界？四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点．求抛物线的解析式和顶点坐标．21.如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题：(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；(2)在DE上画出点P，使PA+PC最小．22.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“中”“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“国”的概率是多少？(2)若从中任取一个球，不放回，再从中任取一球，请用列表法或树状图法的方法，求出取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的概率．23.如图，在⊙O中，点C为AB⌢的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若CE=4，求弦AB的长．24.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．25.已知函数y=mx2−(2m−5)x+m−2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C1．①当n≤x≤−1时，函数C1中y的取值范围是1≤y≤−3n，求n的值；②函数C2：y=2(x−ℎ)2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为√5的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：B解析：本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系与一元二次方程的解的定义．首先将x=2代入求出a的值，利用两根之和求得另一根即可．解：∵关于x的一元二次方程2x2−3x+a=0有一个根是x=2，∴2×22−3×2+a=0，解得a=−2；设方程的另一个根为x2，，则x2+2=32解得：x2=−1．2故选：B．3.答案：C解析：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、是必然事件，故A不符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是随机事件，故C符合题意；D、是不可能事件，故D不符合题意；故选：C．4.答案：C解析：解：y=x2+6x+7=(x2+6x+9)−9+7=(x+3)2−2．故选：C．利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2)(a,b，c是常数，a≠0)．5.答案：B解析：本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，∴⊙O的半径为4．故选B．6.答案：A解析：本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件，属于基础题，根据随机事件、必然事件和不可能事件可得答案．解：A、5次正面朝上是随机事件，故A正确；B、5次正面朝上不是必然事件，故B错误；C、掷2次有1次正面朝上不是必然事件，故C错误；D、10次正面朝上不是不可能事件，故D错误；故选A．7.答案：C解析：本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的运用，属于中档题．根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，进而根据OC=4计算CE的长，然后利用CD=2CE进行计算即可．解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE=√2OC=2√2，2∴CD=2CE=4√2．故选C．8.答案：D解析：本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式△=b2−4ac判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．解：△=(−4)2−4×1×3=4>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选D．9.答案：B解析：解：∵袋子中一共有(m+n+3)个小球，其中红球有3个，∴任意摸出一个球是红球的概率是3m+n+3，故选：B．用红球的个数除以球的总个数即可得．本题主要考查概率公式，属于基础题．10.答案：C解析：此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC=12×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为6，∴BC=6÷6=1，∴OB=BC=1，∴BM=12BC=12，∴OM=√OB2−BM2=√32，∴S△OBC=12×BC×OM=12×1×√32=√34，∴该六边形的面积为：√34×6=3√32．故选C．11.答案：D解析：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“−”)．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设利润平均每月的增长率为x，根据“第一季度的利润是82.75万元”，可得出方程．解：设利润平均每月的增长率为x，又知：第一季度的利润是82.75万元，所以，可列方程为：25[1+(1+x)+(1+x)2]=82.75；故本题选D．12.答案：D解析：解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a =−13，∴b=23a<0，∴ab>0，所以①正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵b=23a，∴a=32b，所以⑤正确；而x=−1时，y>0，即a−b+c>0，∴32b−b+c>0，∴b+2c>0，所以③错误；∵x=−12时，y>0，∴14a−12b+c>0，∴a−2b+4c>0，所以④正确．所以①②④⑤均正确，共4个，故选D．由抛物线开口方向得a<0，由抛物线的对称轴得到b=23a<0，则可对①进行判断；由x=1时函数值为负数，可对②进行判断；由b=23a，得到a=32b，则可对⑤进行判断；由x=−1时，a−b+c>0，和a=32b得到b+2c>0，则可对③进行判断；由x=−12时，y>0，可对④进行判断．本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b 异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．13.答案：x1=0,x2=2解析：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.直接利用开平方法，即可求得答案．解：(x−1)2=1，x−1=±1，解得：x1=0,x2=2．故答案为x1=0,x2=2．14.答案：16解析：本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键.利用随机事件A的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行计算即可．解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种可能，向上一面的点数为5有一种可能，，所以向上一面的点数为5有的概率是：16．故答案为：1615.答案：7解析：解：∵点A(a+1,3)与点B(−4,1−b)关于原点对称，∴a+1=4，1−b=−3，解得：a=3，b=4，故a+b=7．故答案为：7．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．16.答案：25解析：解：设利润为w元，则w=(x−20)(30−x)=−(x−25)2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价−每件进价．再根据所列二次函数求最大值．本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17.答案：3√2解析：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′=√2AP=3√2．故答案为3√2．利用等腰直角三角形的性质得AB=AC，∠BAC=90°，再根据旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=90°，则△APP′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．18.答案：8解析：解：连接OB，∵⊙O的半径为5，CD=2，∴OD=5−2=3．∵OC⊥AB，∴∠ODB=90°，AB=2BD，∴BD=√OB2−OD2=√52−32=4，∴AB=2BD=8．故答案为：8．连接OB，根据⊙O的半径为5，CD=2得出OD的长，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19.答案：解：(1)当a =−120时，y =−120(x −4)2+ℎ，将点P(0,1)代入得：1=−120(−4)2+ℎ，解得：ℎ=95，∴y =−120(x −4)2+95，当x =5时，y =−120×(5−4)2+95=74，∵74=1.75>1.55，∴球能过网．(2)由题意知，球过P(0,1)、(6,2.2)两点，则{1=a(0−4)2+ℎ2.2=a(6−4)2+ℎ， 解得：{a =−110ℎ=135， 所以y =−110(x −4)2+135， 当x =10时，y =−110(10−4)2+135=−1<0，∴此球不会出界．解析：(1)a =−120时，y =−120(x −4)2+ℎ，将点P(0,1)代入求得h 的值即可得函数解析式，再求出x =5时y 的值，与球网高度比较即可得；(2)将(0,1)、(6,2.2)代入解析式求得函数解析式，再求出x =10时y 的值，大于零说明出界，小于零说明不出界．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解． 20.答案：解∵抛物线经过A(−1,0)，B(3,0)两点，∴{1−b +c =09+3b +c =0, 解得b = −2，c = −3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．解析：本题考查了待定系数法、二次函数的性质．把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标．21.答案：解：(1)如图所示(2)连接AC1，交直线DE于点P，点P就是要求作的点解析：本题主要考查有关轴对称−最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．(1)根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)连接AC1，与DE的交点就是点P．22.答案：解：(1)∵一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“国”的概率为：14；(2)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的有4种情况，∴P=412=13．解析：此题考查了树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，注意掌握放回试验与不放回实验的区别．(1)由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．23.答案：(1)证明：如图，连接OA，∵CA⏜=CB⏜，∴CA=CB，又∵∠ACB=120°，∴∠B=30°，∴∠O=2∠B=60°，∵∠D=∠B=30°，∴∠OAD=180°−(∠O+∠D)=90°，∴AD与⊙O相切；(2)∵∠O=60°，OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠ACO=60°，∵∠ACB=120°，∴∠ACB=2∠ACO，AC=BC，∴OC⊥AB，AB=2BE，∵CE=4，∠B=30°，∴BC=2CE=8，∴BE=√BC2−CE2=√82−42=4√3，∴AB=2BE=8√3，∴弦AB的长为8√3．解析：本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．(1)连接OA，由CA⏜=CB⏜，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；(2)由题意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函数得BE=4√3，即可得出AB的长．24.答案：解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CBQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°;(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，∵∠ABP+∠PBC=∠CBQ+∠PBC=90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．解析：此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△PCQ是直角三角形是解本题的关键．(1)先由旋转得出△ABP≌△CBQ，即：∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，即可得出结论；(2)先求出AC，进而求出PC，最后用勾股定理即可得出结论；(3)先判断出△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，最后用勾股定理即可得出结论．25.答案：解：(1)∵函数图象与x轴有两个交点，∴m≠0且[−(2m−5)]2−4m(m−2)>0，解得：m<2512且m≠0．∵m为符合条件的最大整数，∴m=2．∴函数的解析式为y=2x2+x．(2)①抛物线的对称轴为x=−b2a =−14．∵n≤x≤−1<−14，a=2>0，∴当n ≤x ≤−1时，y 随x 的增大而减小．∴当x =n 时，y =−3n ．∴2n 2+n =−3n ，解得n =−2或n =0(舍去)．∴n 的值为−2．②∵y =2x 2+x =2(x +14)2−18，∴M(−14,−18). 如图所示：当点P 在OM 与⊙O 的交点处时，PM 有最大值． 设直线OM 的解析式为y =kx ，将点M 的坐标代入得：−14k =−18，解得：k =12．∴OM 的解析式为y =12x. 设点P 的坐标为(x,12x)．由两点间的距离公式可知：OP =√x 2+(12x)2=√5， 解得：x =2或x =−2(舍去)．∴点P 的坐标为(2,1)．∴当点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式为y =2(x −2)2+1．解析：(1)函数图形与x 轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△>0，故此可得到关于m 的不等式组，从而可求得m 的取值范围；(2)①先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤−1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值−3n，然后将x=n，y=−3n代入求解即可；②先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，找出PM取得最大值的条件是解题的关键．。
2019届天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019届天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A. B. C. D.2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（）A. B. C. D.3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4. 抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5. 下列判断中正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6. 如图，是⊙的弦，点在圆上，已知，则（）A. B. C. D.7. 如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转，得到△，连接，若，，则线段的长为（）A. B. C. D.8. 一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定9. 已知抛物线，与轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. B. C. D.10. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是（）A. 5B. 7C. 5或7D. 1011. 函数中，当时，函数值的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知△和△都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题13. 已知一元二次方程的两根为、，则_____________________．14. 如图，在半径为的⊙中，弦，于点，则_______．15. 已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．16. 圆内接正六边形的边心距为cm，则这个正六边形的面积为 _______．17. 如图，是半径为的⊙的直径，是圆上异于，的任意一点，的平分线交⊙于点，连接和，△的中位线所在的直线与⊙相交于点、，则的长是____.18. 如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有__________________个.三、解答题19. 解方程20. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21. 如图，⊙是△的外接圆，为直径，弦，交的延长线于点，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）是⊙的切线．22. 已知：抛物线经过、两点，顶点为．求：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求△的面积．23. 如图，用长为的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）．（Ⅰ）求出与的函数关系式；（Ⅱ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24. 如图1，已知为正方形的中心，分别延长到点，到点，使，，连结，将△绕点逆时针旋转角得到△（如图2）．连结、．（Ⅰ）探究与的数量关系，并给予证明；（Ⅱ）当，时，求：①的度数；②的长度．25. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线的解析式；（Ⅱ）当点在线段上运动时，求线段的最大值；（Ⅲ）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析
九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。
2020-2021学年天津市部分区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年天津市部分区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3x2+x＝6B．x2+y2＝4C．﹣2＝0D．6x+1＝0 2．（3分）下列图形中，中心对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）方程x2+5x＝0的解为（）A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5 4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 5．（3分）三角形的内心是（）A．三角形三条中线的交点B．三角形三条高线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点D．三角形三条角平分线的交点6．（3分）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形7．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x﹣3）2﹣4 8．（3分）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x支球队，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝6B．x（x+1）＝6C．D．9．（3分）扇形的圆心角为50°，半径是18，则扇形的弧长为（）A．2πB．3πC．4πD．5π10．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5B．4C．D．211．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）12．（3分）已知抛物线y＝ax2+4ax+c（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列结论：①一元二次方程ax2+4ax+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；②此抛物线与y 轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，则CD＝4；③点E（1，y1），点F（﹣4，y2）在此抛物线上，则y1＞y2．正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）关于x的方程x2﹣x+c＝0的一个根是3，则c＝．14．（3分）下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②购买1张彩票，中奖；③13人中至少有2人的生日在同一个月．其中是必然事件的是（填序号）．15．（3分）已知点A（3，5）与点A'（﹣3，a）关于原点对称，则a的值等于．16．（3分）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为m2．17．（3分）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为°．18．（3分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）已知，如图，点A、B、C、O均在方格网的格点上，请用直尺在方格网中画出△A′B′C′，要求：△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．（保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）某种品牌手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．21．（10分）一个不透明的口袋中有2个红球，1个白球，1个绿球．这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（Ⅰ）从中任意摸出1个球，恰好摸到白球的概率是；（Ⅱ）若从中摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树形图或列表的方法，求摸出一个红球和一个绿球的概率．22．（10分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t （单位：s）之间满足关系式h＝﹣5t2+20t．（Ⅰ）小球运动的时间是多少时，小球回落到地面？（Ⅱ）圆圆说小球的高度能达到21米，你认为圆圆的说法对吗？为什么？23．（10分）已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A．过⊙O上的点C作CD ∥AB交AD于点D，连接BC，AC．（Ⅰ）如图1，若DC为⊙O的切线，切点为C．求∠ACD和∠DAC的大小；（Ⅱ）如图2，当线段CD与⊙O交于点E时，连接AE．若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．24．（10分）如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE 绕点C逆时针旋转，旋转角为α．（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF ＝（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点P（2，3），Q（﹣1，6）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及其顶点坐标；（Ⅱ）若点M（m，n）在此抛物线上．①当n＝11时，求m的值；②若点M到y轴的距离小于2，求n的取值范围．2020-2021学年天津市部分区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．【分析】根据中心对称图形的概念解答．【解答】解：根据中心对称图形的概念，知第1，3个图形都是中心对称图形，故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形，注意在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵x2+5x＝0，∴x（x+5）＝0，∴x＝0或x＝﹣5，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，则x2+6x+9＝﹣4+9，即：（x+3）2＝5，故选：C．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．【分析】直接利用三角形内心的性质进行判断．【解答】解：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．6．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【解答】解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题．7．【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣3）2+4．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．【分析】设该小组有x支球队，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有x（x﹣1）场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．【解答】解：设该小组有x支球队，则共有x（x﹣1）场比赛，由题意得：x（x﹣1）＝6，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n支球队参加，那么就有n（n﹣1）场比赛，此类虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．9．【分析】直接代入弧长公式计算即可．【解答】解：由题意可得，扇形的弧长为：＝5π．故选：D．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．10．【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD＝AB＝5，根据垂径定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．11．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．12．【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断③．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1,0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3,0），则一元二次方程ax2+4ax+m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确；根据题意，设C（0，c），D（n，c），由抛物线的对称轴为x＝﹣2知＝﹣2，得n＝﹣4，∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；由题意知，当x＝﹣3时，y1＝0，而当抛物线开口向上时，若x＝1，则y2＞0，即y2＞y1，当抛物线开口向下时，若x＝1，则y2＜0，即y2＜y1，故③错误；综上所述，正确的结论有2个．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】把x＝3代入方程x2﹣x+c＝0得9﹣3+c＝0，然后解关于c的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣x+c＝0得9﹣3+c＝0，解得c＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；②购买1张彩票，中奖，是随机事件；③13人中至少有2人的生日在同一个月，是必然事件；故答案为：③．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．15．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a的值．【解答】解：∵点A（3，5）与点A'（﹣3，a）关于原点对称，∴a＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．16．【分析】设：AB＝x，则BC＝24﹣x，则S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，求面积的最大值即可．【解答】解：设：AB＝x，则BC＝24﹣x，S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝12，∵a＝﹣1，故函数有最大值，当x＝12时，函数取得最大值，＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，则：S矩形花园ABCD故：答案是144．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．17．【分析】先利用平行线的性质得到∠C′CB＝90°，则可计算出∠ACC′＝40°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C′AC即可．【解答】解：∵AB∥CC'，∴∠ABC+∠C′CB＝180°，而∠B＝90°，∴∠C′CB＝90°，∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，即旋转角为100°．故答案为100．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．18．【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA＝PB，再根据PD+PB＝PD+PA ≥AD，求出AD即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴PA＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝3，∵PB+PD＝PA+PD≥AD，∴PD+PB≥3，∴PD+PB的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】根据中心对称的性质，找出△ABC关于点O的对称点，顺次连接即可画出图形．【解答】解：如图所示，△A′B′C′即为所求．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，解决问题的关键是掌握中心对称的性质．20．【分析】设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设每次下降的百分率为x，依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：每次下降的百分率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．【分析】（Ⅰ）直接利用概率公式计算；（Ⅱ）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出摸出的一个红球和一个白球的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）从中任意摸出1个球，恰好摸到白球的概率是，故答案为：；（Ⅱ）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中摸出的一个红球和一个绿球的结果数为4，所以摸出一个红球和一个绿球的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．【分析】（Ⅰ）求出h＝0时t的值即可；（Ⅱ）将h＝21代入h＝﹣5t2+20t，整理为一般式，再利用根的判别式判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当h＝0时，﹣5t2+20t＝0，解得t＝0或t＝4，∴小球运动时间是4s时小球落回到地面；（2）圆圆的说法不对，理由：将h＝21代入，则﹣5t2+20t＝21，即5t2﹣20t+21＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×5×21＝﹣20＜0，∴方程无解，∴圆圆的说法不对．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，将实际问题转化为二次函数的问题求解．23．【分析】（Ⅰ）根据AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，可得DA⊥AB，根据DC为⊙O的切线，切点为C，可得DC＝DA，所以得三角形ADC是等腰直角三角形，进而求出∠ACD和∠DAC的大小；（Ⅱ）根据AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，可得DA⊥AB，根据∠EAD ＝30°，可得∠BAE＝60°，根据圆内接四边形对角互补可得∠BCE＝120°，根据AB 是⊙O的直径，可得∠BCA＝90°，进而求得∠ACD和∠DAC的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．24．【分析】（Ⅰ）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，即可求解．（Ⅱ）由等腰直角三角形的性质可求CO＝DO＝OE＝1，由勾股定理可求AD的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：（Ⅰ）如图，延长BE交AD于H，∵将△DCE绕点C逆时针旋转，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，又∵∠AMH＝∠BMC，∴∠AHE＝∠BCM＝90°，∴BE⊥AD；（Ⅱ）设AC与DE的交点为O，∵CE＝，BC＝3，△ACB和△DCE是等腰直角三角形，∴DE＝CE＝2，AB＝BC＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，∵α＝45°，∴∠ACD＝∠BCE＝45°，∴∠COD＝90°，∴CO⊥DE，∴DO＝CO＝OE＝1，∴AO＝2，∴AD＝＝＝，∵sin∠ADO＝，∴，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式得到顶点坐标；（Ⅱ）①把（m，11）代入抛物线解析式得到m2﹣2m+3＝11，然后解关于m的一元二次方程即可；②利用点M到y轴的距离小于2得到﹣2＜m＜2，由于m＝﹣2时，n＝11；m＝2时，n＝3；x＝1时，y有最小值2，然后写出﹣2＜m＜2时对应的函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）把P（2，3），Q（﹣1，6）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；（Ⅱ）∵点M（m，n）在此抛物线上，∴n＝m2﹣2m+3；①当n＝11时，m2﹣2m+3＝11，解得m1＝﹣2，m2＝4；即m的值为﹣2或4；②∵点M到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，而m＝﹣2时，n＝11；m＝2时，n＝3，∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，x＝1时，y有最小值2，∴当﹣2＜m＜2时，n的范围为2≤n＜11．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．。
2020年-2021年第一学期期末考试九年级数学试卷(含答案)
3
（ 2）原式 = 20 2 5
2
3
=
4
4
3
=
2
20．解下列方程（每小题
4 分，共 8 分）
解：（ 1） x
2 4 4 1 ( 3) 2
2 16
=
2
=1 2
∴ x1 1 ，
x2
3
（ 2） 2 x ( x 1) ( x 1 ) 0
( x 1 )( 2 x 1 ) 0
∴ x1 1，
21．图形略 .
A1 ( 3 , 2) B 1 ( 2 ,1 ) C1 ( 2, 3)
2
22．解：（ 1） P( 偶数 )
3
………………………………………３ 分
（ 2）能组成的两位数为 :67， 68， 76， 78， 86， 87. ……………………６ 分
1
（ 3） p ( 68 )
6
………………………………………８ 分
23．（ 1）证明：∵ AB 为⊙ O 直径， CD 是弦，且 BA⊥ CD 于 E
根据题意得： x (38 2 x ) 180
…………………………２ 分
整理得： x 2 19 x 90 0
解得： x 1 10 , x 2 9
…………………………３ 分
当 x1 10 时， 38-2 x =18 ，
当 x 2 9 时， 38-2 x =20
∵可利用的墙长是 18 米，则长为 20 米不符合题意舍去
……４分
由上图可知：共有 20 种可能出现的结果，其中 “一红一黄 ”的结果有 12 种， ……６分
所以 P( 摸出一红一黄）
12 3 20 5
………………………………………８ 分
天津市部分区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
首先根据题意判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△= -4ac的值的符号即可．
故选：D．
【点睛】
本题考查根的判别式．一元二次方程 的根与△= -4ac有如下关系：（1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根；(3) △<0⇔方程没有实数根．Βιβλιοθήκη 9．D【解析】【分析】
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
21．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
参考答案
1．D
【分析】
利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．
【详解】
2020-2021学年最新天津市九年级上期末模拟数学试卷及答案
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下面图案中是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选：D．2. 下列事件中，必然事件是()A. 昨天太阳从东方升起B. 任意三条线段可以组成一个三角形C. 打开电视机正在播放“天津新闻”D. 袋中只有5个红球，摸出一个球是白球【答案】A【解析】解：A、昨天太阳从东方升起是必然事件；B、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件；C、打开电视机正在播放“天津新闻”是随机事件；D、袋中只有5个红球，摸出一个球是白球是不可能事件；故选：A．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3. 将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式是()A. y=−(x+3)2+2B. y=−(x−3)2+2C. y=−(x+3)2−2D.y=−(x−3)2−2【答案】B【解析】解：∵将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=−(x−3)2+2．故选：B．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．4. 二次函数y=(x+1)2−2的图象大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：在y=(x+1)2−2中由a=1>0知抛物线的开口向上，故A错误；其对称轴为直线x=−1，在y轴的左侧，故B错误；由y=(x+1)2−2=x2+2x−1知抛物线与y轴的交点为(0,−1)，在y轴的负半轴，故D错误；故选：C．分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．5. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C=30∘，则∠BOD的度数是()A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘【答案】D【解析】解：如图，连接AO，∵∠C=30∘，∴∠AOD=60∘，∵直径CD⊥弦AB，∴A^D=B^D，∴∠AOD=∠BOD=60∘，故选D．连接AO，由圆周角定理可求得∠AOD，由垂径定理可知A^D=B^D，可知∠AOD=∠BOD，可求得答案．本题主要考查圆周角定理及垂径定理，掌握同弧所对的圆周角等于心角的一半是解题的关键．6. 从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是()A. 5√2B. 10√2C. 5√3D. 10√3【答案】C【解析】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D；∵圆内接多边形是正六边形，∴∠AOB=360∘6=60∘，∵OA=OB，OD⊥AB，∴∠AOD=12∠AOB=12×60∘=30∘．∴OD=OA⋅cos30∘=10×√32=5√3．故选C．根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，进而由正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，则由直角三角形的性质即可求出OD的长．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．7. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是()A. 360πcm2B. 720πcm2C. 1800πcm2D. 3600πcm2【答案】D【解析】解：圆锥的侧面积=12×80π×90=3600cm2，故选：D．根据圆锥的侧面积公式计算即可．本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：S侧=12⋅2πr⋅l=πrl．8. 某校八年级举行拔河比赛，需要在七年级选取一名志愿者，七(1)班、七(2)班、七(3)班各有2名同学报名参加，现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是七(1)班同学的概率是( )A. 13B. 12C. 23D. 56【答案】A【解析】解：∵共有6名同学，七(1)班有2人，∴被选中的这名同学恰好是七(1)班同学的概率是=26=13，故选：A．用七(1)班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9. 若关于x的一元二次方程kx2−4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是()A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3【答案】A【解析】解：根据题意得：△=16−12k≥0，且k≠0，解得：k≤43，则k的非负整数值为1或0．∵k≠0，∴k=1．故选：A．根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根10. 某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为()A. x(x+12)=210B. x(x−12)=210C. 2x+2(x+12)=210D. 2x+2(x−12)=210【答案】B【解析】解：设场地的长为x米，则宽为(x−12)米，根据题意得：x(x−12)=210，故选：B．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．11. 某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=−x2+70x−800，要想获得最大利润，则销售单价为()A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元【答案】B【解析】解：∵y=−x2+70x−800=−(x−35)2+425，∴当x=35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利润最大，故选：B．将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．12. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a−b+c<0；③4a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为(2,b)；⑤当x<1时，y随x增大而增大.其中结论正确的是()A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标(4,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，故①正确，当x=−1时，y=a−b+c>0，故②错误，∵−b2a =2，得4a+b=0，b=−4a，∵抛物线过点(0,0)，则c=0，∴4a+b+c=0，故③正确，∴y=ax2+bx=a(x+b2a )2−b24a=a(x+−4a2a)2−(−4a)24a=a(x−2)2−4a=a(x−2)2+b，∴此函数的顶点坐标为(2,b)，故④正确，当x<1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，故选C．根据题意和二次函数的性质可以判断各个小题是否成立，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 若x=1是一元二次方程x2+3x+m=0的一个根，则m=______．【答案】−4【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2+3x+m=0，得1+3+m=0，即m=−4．故本题答案为m=−4．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．14. 将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，那么A(−3,2)的对应点A′的坐标是______．【答案】(3,−2)【解析】解：将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，对应点关于原点对称，A(−3,2)的对应点A′的坐标是(3,−2)；故答案为：(3,−2)将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，对应点关于原点对称，利用关于原点对称的性质解答即可．本题考查了旋转的性质的运用，解答时利用关于原点对称的性质解答是关键．15. 已知蚂蚁在如图所示的正方形ABCD的图案内爬行(假设蚂蚁在图案内部各点爬行的机会是均等的)，蚂蚁停留在阴影部分的概率为______．【答案】12，【解析】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的12因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：1．2．故答案为：12，进而得出答案．根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的12本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为A^C的中点，若∠B=50∘，则∠A的度数为______度.【答案】65【解析】解：连接OD、OC，∵点D为A^C的中点，∴∠AOD=∠COD，∵∠B=50∘，∴∠AOC=100∘，∴∠AOD=∠COD=50∘，∴∠A=∠ODA=65∘，故答案为：65．连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC=100∘，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．17. 为了估计一个不透明的袋子中白球的数量(袋中只有白球)，现将5个红球放进去(这些球除颜色外均相同)随机摸出一个球记下颜色后放回(每次摸球前先将袋中的球摇匀)，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.2，由此可估计袋中白球的个数大约为______．【答案】20个【解析】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，∵假设有x个白球，=0.2，∴55+x解得：x=20，∴口袋中有白球约有20个．故答案为：20个．根据口袋中有5个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．18. 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的右侧，OC=6cm，那么，当t为______s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．【答案】1或6或11或26【解析】解：如图，∵OC=6，DE=10，∴OD=OE=5，CD=1，EC=11，∴t=1或11s时，⊙O与直线AC相切；当⊙O′与AB相切时，设切点为M，连接O′M，在Rt△BMO′中，BO′=2MO′=10，∴OO′=6，当⊙O″与AB相切时，设切点为N，连接O′N，同法可得BO″=10，OO″=26，∴当t=6或26s时，⊙O与AB相切．故答案为1或6或11或26分四种情形分别求解即可解决问题．本题考查切线的判定，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 如图，⊙O的直径AB为20cm，弦AC=12cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴BC=√AB2−AC2=16(cm)；∵CD是∠ACB的平分线，∴A^D=B^D，×AB=10√2(cm)．∴AD=BD=√22【解析】根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理得到AD=BD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是圆周角定理、勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20. 用适当的方法解下列方程(1)x2−8x+1=0(2)x(x−3)+x−3=0．【答案】解：(1)∵x2−8x=−1，∴x2−8x+16=15，即(x−4)2=15，则x−4=±√15，∴x=4±√15；(2)∵(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，解得：x=3或x=−1．【解析】(1)配方法求解可得；(2)因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21. 如图，△ABC，∠C=90∘，将△ABC绕点B逆时针旋转90∘，点A、C旋转后的对应点为A′、C′．(1)画出旋转后的△A′BC′；(2)若AC=3，BC=4，求C′C的长；(3)求出在△ABC旋转的过程中，点A经过的路径长.(结果保留π)【答案】解：(1)如图所示，△A′BC′即为所求；(2)若AC=3、BC=4，则BC′=BC=4，∴CC′=√BC2+BC′2=√42+42=4√2；(3)∵AC=3、BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5，∴ÂA′=90∘⋅π⋅5180∘=52π，即点A经过的路径长为52π.【解析】(1)分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90∘所得对应点，再顺次连接可得；(2)由旋转性质知BC′=BC=4，再根据勾股定理可得；(3)根据勾股定理知AB=5，再根据弧长公式计算可得．本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．22. 向阳村种植的水稻2013年平均每公顷产7200kg，近几年产量不断增加，2015年平均每公顷产量达到8712kg．(1)求该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，2016年该村每公顷水稻产量能否到达10000kg？【答案】解：(1)设该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为x，依题意得：7200(1+x)2=8712，解得x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)答：该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为10%；(2)由题意，得8712×(1+0.1)=9583.2(kg)因为9583.2<10000，所以，2016年该村每公顷水稻产量不能到达10000kg．【解析】(1)设该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为x，就可以表示出2014年水稻的产量，根据2015年平均每公顷产量达到8712kg建立方程求出x的值即可；(2)根据(1)求出的年增长率就可以求出结论．本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．23. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中摸出一球(不放回)；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．(1)同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；(2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案．【答案】解：(1)同学甲的方案公平．理由如下：由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一红一白”有4种，摸到“一白一蓝”的概率有2种，故小刚获胜的概率为412=13，小明获胜的概率为212=16，所以这个游戏不公平．(2)拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变.游戏就公平了．【解析】(1)这个游戏不公平，分别求出两人获胜的概率即可判断；(2)拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．此题主要考查了用列树状图的方法解决概率问题；得到两次都摸出相同颜色球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．24. 已知△ABC的边AB是⊙O的弦．(1)如图1，若AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，且DM⊥AC于M，请判断直线DM与⊙O的位置关系，并给出证明；(2)如图2，AC交⊙O于点E，若E恰好是A^B的中点，点E到AB的距离是8，且AB长为24，求⊙O的半径长．【答案】证明：(1)连接OD．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD//AC，∵DM⊥AC，∴DM⊥OD，∴DM是⊙O的切线．(2)连接OA、连接OE交AB于点H，∵E是AB中点，AB=24，AB=12，∴OE⊥AB，AH=12连接OA，设OA=x，∵EH=8，可得OH=x−8，在Rt△OAH中，根据勾股定理可得(x−8)2+122=x2，解得x=13，∴⊙O的半径为13．【解析】(1)连接OD，只要证明OD//AC即可解决问题；(2)连接OA、连接OE交AB于点H，连接OA，设OA=x，在Rt△OAH中，根据勾股定理可得(x−8)2+122=x2，解方程即可；本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、勾股定理、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.属于中考常考题型．25. 如图1，抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2,0)和点B，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标；(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．【答案】解：(1)A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式y =−x 2+mx +n ， 得{n =2−4−2m+n=0，解得{n =2m=−1，∴抛物线的解析式为y =−x 2−x +2．(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0)，设M(m,n)然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得： 12⋅AO ×|n|=2×12×OB ×OC ， ∴12×2×|−m 2−m +2|=2， ∴m 2+m =0或m 2+m −4=0，解得x =0或−1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：(0,2)或(−1,2)或(−1+√172,−2)或(−1−√172,−2)．(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A(−2,0)，C(0,2)代入得到{b =2−2k+b=0，解得{b =2k=1，∴直线AC 的解析式为y =x +2，设N(x,x +2)(−2≤x ≤0)，则D(x,−x 2−x +2)，ND =(−x 2−x +2)−(x +2)=−x 2−2x =−(x +1)2+1，∵−1<0，∴x =−1时，ND 有最大值1．∴ND 的最大值为1．【解析】(1)把A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式求解即可；(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0).然后依据S △AOM =4S △BOC 列方程求解即可；(3)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A(−320)，C(0,2)代入可求得直线AC 的解析式，设N 点坐标为(x,x +2)，(−2≤x ≤0)，则D 点坐标为(x,−x 2−x +2)，然后列出ND 与x 的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
2020-2021学年天津市东丽区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年天津市东丽区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝23．下列描述的事件为必然事件的是（）A．汽车累积行驶10000km，从未出现故障B．购买1张彩票，中奖C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．明天一定会下雪4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2﹣x+＝0B．x2+2x+4＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣2x＝05．已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°7．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm8．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3 9．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（）A．B．C．D．10．半径为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．11．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝750012．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝16二、填空题（共6小题）.13．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为．14．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．16．若抛物线y＝3x2﹣4x﹣k与x轴没有交点，则k的取值范围为．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为．18．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共7小题，共66分）19．解方程：10x2﹣5x ﹣＝x2﹣5x +．20．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6，随机摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球．（1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；（2）求两次抽出数字之和为奇数的概率．21．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（Ⅰ）旋转中心是点，旋转角度是度；（Ⅱ）若连结EF，则△AEF是三角形，并证明你的结论．22．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（Ⅰ）若AD＝BC，证：△CBA≌△DAB；（Ⅱ）若BE＝BF，∠DAC＝32°，求：∠EAB的度数．23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）55606570销售量y（千克）70605040（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？24．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（Ⅰ）如图1所示，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①求∠DAO的度数；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．（Ⅱ）设∠AOB＝α，∠BOC＝β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，请你直接写出OA+OB+OC的最小值．25．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：B．3．下列描述的事件为必然事件的是（）A．汽车累积行驶10000km，从未出现故障B．购买1张彩票，中奖C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．明天一定会下雪解：A．汽车累积行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，不合题意；B．购买1张彩票，中奖，是随机事件，不合题意；C．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；D．明天一定会下雪，是随机事件，不合题意；故选：C．4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2﹣x+＝0B．x2+2x+4＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣2x＝0解：A．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；B．此方程判别式△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，不符合题意；C．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，不符合题意；D．此方程判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．5．已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为12cm．故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°解：如图，连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠CDA＝118°，∴∠ODA＝∠CDA﹣∠ODC＝118°﹣90°＝28°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝28°，∴∠DOC＝2∠ODA＝56°，∴∠C＝90°﹣∠DOC＝34°，故选：C．7．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．8．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．9．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（）A．B．C．D．解：∵从袋子中随机摸出一个小球有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有6种，∴摸出的小球是红球的概率是＝，故选：A．10．半径为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝3，正六边形的周长l＝6a＝18，故选：A．11．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝16解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1＝0，x2＝2．解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，14．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是解：根据题意可得：掷两枚质地均匀的硬币，有4种情况，则两枚硬币全部反面朝上的概率是．故本题答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于15π．解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．故答案为：15π．16．若抛物线y＝3x2﹣4x﹣k与x轴没有交点，则k的取值范围为k＜﹣．解：∵抛物线y＝3x2﹣4x﹣k与x轴没有交点，∴一元二次方程3x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣k）＜0，∴k＜﹣．故答案为：k＜﹣．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为24°．解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故答案为：24°．18．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为．解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，∴OB＝OC＝2，∴△BOC是等边三角形，∵过C作OA的垂线交AO于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠AOC＝30°，∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD＝﹣+＝π﹣．故答案为π﹣．三、解答题（共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解方程：10x2﹣5x﹣＝x2﹣5x+．解：整理得9x2﹣1＝0，∴（3x+1）（3x﹣1）＝0，∴3x+1＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝﹣，x2＝．20．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6，随机摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球．（1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；（2）求两次抽出数字之和为奇数的概率．解：（1）列表如下：4564（4，4）（5，4）（6，4）5（4，5）（5，5）（6，5）6（4，6）（5，6）（6，6）（2）所有等可能的结果有9种，其中之和为奇数的情况有4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．21．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（Ⅰ）旋转中心是点A，旋转角度是90度；（Ⅱ）若连结EF，则△AEF是等腰直角三角形，并证明你的结论．解：（Ⅰ）旋转中心是点A，旋转角度是90度．故答案为：A，90．（Ⅱ）由旋转的性质可知，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．22．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（Ⅰ）若AD＝BC，证：△CBA≌△DAB；（Ⅱ）若BE＝BF，∠DAC＝32°，求：∠EAB的度数．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠EAB＝∠DAC＝32°．23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55606570销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70605040（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：，解得：．∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得x1＝60，x2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w元，则：w＝（x﹣50）（﹣2x+180）＝﹣2（x﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝70时，w最大值＝800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．24．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（Ⅰ）如图1所示，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①求∠DAO的度数；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．（Ⅱ）设∠AOB＝α，∠BOC＝β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，请你直接写出OA+OB+OC的最小值．解：（Ⅰ）①∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2＝OC2．如图1，连接OD．∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．∴∠DAO＝90°．在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2+AD2＝OD2．∴OA2+OB2＝OC2．（Ⅱ）①如图2，当α＝β＝120°时，OA+OB+OC有最小值．作图如图2，如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′．∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°．∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝BC，∠A′O′C＝∠AOC．∴△OCO′是等边三角形．∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°．∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°．∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°．∴四点B，O，O′，A′共线．∴OA+OB+OC＝O′A′+OB+OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，∵OB＝OC，∴∠OBC＝30°，在Rt△BDC中，BD＝BC•cos30＝，∴BA'＝2BD＝，∴OA+OB+OC的最小值A′B＝．25．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G的坐标为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．。
天津市东丽区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
天津市东丽区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（）A．2 B．4 C．﹣6 D．﹣43．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．拔苗助长B．守株待兔C．竹篮打水D．水涨船高4．将二次函数y=22x−4x+1化为顶点式,正确的是( )A．y=2(x−1)2+1 B．y=2(x+1)2−1C．y=2(x−1)2−1 D．y=2(x+1)2+15．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm6．下列说法中正确的是（）A．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件B．“正八边形的每个外角的度数都等于45°”是随机事件C．“200件产品中有8件次品，从中任抽9件，至少有一件是正品”是不可能事件D．任意抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则反面向上一定是50次7．如图，⊙O的直径AB长为10，弦BC长为6，OD⊥AC，垂足为点D，则OD长为（）A．6 B．5 C．4 D．38．方程225-=的根的情况是（）x xA．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根9．一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ）A ．15B ．310C ．13D ．1210．边长为2的正六边形的面积为（ ）A ．B ．C ．6 D11．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝150 12．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＝0；③若m 为任意实数，则a+b ＞am 2+bm ；④a ﹣b+c ＞0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．方程()()121x x +-=的根是________．14．任意抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等________． 15．已知点A （a ，2）与点B （3，b ）关于原点对称，则a +b 的值等于_____． 16．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（10≤x ≤20且x 为整数）出售，可卖出（20﹣x ）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元． 17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP ′重合，如果AP ＝3，那么线段PP ′的长等于_____．18．如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD ． ①AD _____AN （填“＞”，“＝”或“＜”）；②AB ＝8，ON ＝1，⊙O 的半径为_____．三、解答题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3），求抛物线的解析式和顶点坐标．20．在所给网格图（每小格均为边长△ABC是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）绕点A顺时针旋转90度的△A2B2C2；（3）在DE上画出点M，使MA+MC最小．21．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.22．如图，在⊙O中，点C为AB的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若CE＝4，求弦AB的长．23．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．24．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝P A2+PC2=x2+bx+3与轴分别交于点A（-3，0），B（m，0）．将y1向右25．已知：抛物线y1平移4个单位得到y2．（1）求b的值；（2）求抛物线y2的表达式；（3）抛物线y2与轴交于点D，与轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．参考答案1．D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B【分析】根据两根之和为2即可求另外一根.【详解】解：设方程的另一根为a，∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，∴﹣2+a＝42，解得a＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两根之和为ba，两根之积为ca，求一元二次方程的根时能够灵活应用是解题的关键. 3．B【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【详解】A、拔苗助长，是不可能事件；B 、守株待兔，是随机事件；C 、竹篮打水，是不可能事件；D 、水涨船高，是必然事件；故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．C【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案。
2021-2021学年天津市东丽区九年级(上)期末数学试卷
2021-2021学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．25B．23C．35D．3102．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°7．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC=3，DE=1，则线段BD 的长为（ ）A ．2√5B ．2√3C ．4D ．2√108．（3分）一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定9．（3分）已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1，与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2﹣m+2016的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．201010．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（ ） A ．5B ．7C ．5或7D ．1011．（3分）函数y=x 2﹣2x ﹣3中，当﹣2≤x ≤3时，函数值y 的取值范围是（ ） A ．﹣4≤y ≤5B ．0≤y ≤5C ．﹣4≤y ≤0D ．﹣2≤y ≤312．（3分）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2√2，AD=1，F 是BE 的中点．若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是（ ）A ．4−√22≤AF ≤4+√22B ．2≤AF ≤3C ．4−√22≤AF ≤3 D ．2−√22≤AF ≤2+√22二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2√3cm，则这个正六边形的面积为cm2．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB 的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：b，你认为其中正确信息的个数①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=32有个．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）．20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．25B．23C．35D．310【解答】解：∵袋子中共有5个球，其中白球有3个，∴取到的是一个白球的概率为35，故选：C．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选：B．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【解答】解：抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选：C．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠AOB=100°，∴∠ACB=50°，故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2√5B．2√3C．4 D．2√10【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD=√32+12=√10又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT△ADB中，BD=√(√10)2+(√10)2=2√5即：BD的长为2√5故选：A．8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：B．9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选：C．10．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【解答】解：解方程x 2﹣4x+3=0， （x ﹣1）（x ﹣3）=0 解得x 1=3，x 2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7． 故选：B ．11．（3分）函数y=x 2﹣2x ﹣3中，当﹣2≤x ≤3时，函数值y 的取值范围是（ ） A ．﹣4≤y ≤5B ．0≤y ≤5C ．﹣4≤y ≤0D ．﹣2≤y ≤3【解答】解：∵y=x 2﹣2x ﹣3， ∴抛物线对称轴为x=﹣−22×1=1，开口向上，又∵2≤x ≤3，∴x=1时，函数y 有最小值﹣4；x=﹣2时，函数y 有最大值5， 即﹣4≤y ≤5． 故选：A ．12．（3分）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2√2，AD=1，F 是BE 的中点．若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是（ ）A ．4−√22≤AF ≤4+√22B ．2≤AF ≤3C ．4−√22≤AF ≤3 D ．2−√22≤AF ≤2+√22【解答】解：根据旋转的特性，画出E 点旋转一圈的轨迹，如图．结合图形可知：①当E 落在E′位置时，AF 最大，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2√2，AD=1， ∴AB=2+BC 2，AE′=2+DE 2=√2，BE′=AB ﹣AE′=4﹣√2， ∵F 是BE′的中点， ∴BF=12BE′=4−√22，AF=AB ﹣BF=4﹣4−√22=4+√22；②当E 落在E″位置时，AF 最小，∵BE″=AB +AE″=4+√2，且F 是BE″的中点， ∴BF=12BE″=4+√22，AF=AB ﹣BF=4﹣4+√22=4−√22． 综合①②可知：4−√22≤AF ≤4+√22．故选：A ．二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2= 3 ． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=3， 故答案为：3．14．（3分）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC= 4cm ．【解答】解：连接OA ，∵OC ⊥AB ，∴AC=12AB=3cm ，∴OC=√OA 2−AC 2=4（cm ）．故答案是：4cm ．15．（3分）已知二次函数y=（x ﹣2）2+3，当x ＜2 时，y 随x 的增大而减小．【解答】解：在y=（x ﹣2）2+3中，a=1，∵a ＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x ＜2时，y 的值随着x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 的值随着x 的值增大而增大．故答案为：＜2．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2√3cm ，则这个正六边形的面积为 24√3 cm 2．【解答】解：如图，连接OA 、OB ；过点O 作OG ⊥AB 于点G ．在Rt △AOG 中，OG=2√3，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA=OG cos30°=√3√32=4cm ，∴这个正六边形的面积为6×1×4×2√3=24√3cm2．2故答案为：24√3．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB 的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是4√3．【解答】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，̂=BĈ，∴AC∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB；OC=2．∴OC⊥EF，OD=12连接OE，根据勾股定理，得：DE=√42−22=2√3，∴EF=2ED=4√3．故答案是：4√3．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc ＜0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤a=32b ，你认为其中正确信息的个数有 4 个．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣13=﹣b 2a ，∴3b=2a ，则a=32b ， ∴b ＜0，∵图象与x 轴交与y 轴正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，∴32b ﹣b+c ＞0， ∴b+2c ＞0，故此选项正确；④当x=﹣12时，y ＞0， ∴14a ﹣12b+c ＞0， ∴a ﹣2b+4c ＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故答案为：4．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x （x ﹣2）=2（2﹣x ）．【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x ﹣2）=0，所以3x+2=0或x ﹣2=0，解得 x 1=﹣23，x 2=2．20．（9分）如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：412=13． 21．（9分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD ；（Ⅱ）BE 是⊙O 的切线．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，{AB=BD BO=BO OA=OD，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），所以y=﹣x2+4x+5，所以b=4，c=5；（2）因为y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则P 点坐标为（2，9），所以△ABP 的面积=12×6×9=27．23．（10分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m ，宽为xm ，∴长为6−3x 2m ， ∴y=x•(6−3x)2=﹣32x 2+3x （0＜x ＜2）， （2）由（1）可知：y 和x 是二次函数关系，a=﹣32＜0， ∴函数有最大值，当x=﹣32×(−32)=1时，y 最大=32m 2． 答：窗框的长和宽分别为1.5m 和1m 时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m 2．24．（10分）如图1，已知O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF=2OA ，OE=2OD ，连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O 的度数；②BF′的长度．【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，{OE1=OF1∠AOE1=∠BOF1OA=OB，∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB=√22AB=√2，∴在Rt△ABE'中得到AE'=√3OA=√6，又BF'=AE'∴BF′=√6．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得：{−1−;b+c=0c=3，解得：{b=2 c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得{3k+s=0s=3，解得{k=−1s=3，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P 在线段OB 上运动，∴M 点在N 点上方，∴MN=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m=﹣（m ﹣32）2+94，∴当m=32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）∵PM ⊥x 轴，∴MN ∥OC ，当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN ， 当点P 在线段OB 上时，则有MN=﹣m 2+3m ，∴﹣m 2+3m=3，此方程无实数根，当点P 不在线段OB 上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m 2+2m+3）=m 2﹣3m ， ∴m 2﹣3m=3，解得m=3+√212或m=3−√212，综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 的值为3+√212或3−√212．。
9 数学 答案(1)(1)
天津市东丽区2021～2021学年度第一学期期末考试九年级数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共36分）二、填空题：（每小题3分，共18分）13．1-1x=，22x=；14．31；15．5-；16．15；17．32；18．①＝; ②313.三、解答题：（66分）19．解：∵抛物线23y ax bx=++经过点A（3，0）和点B（4，3）．∴⎩⎨⎧=++=++33416339baba………………………… 2分解得14ab=⎧⎨=-⎩………………………… 4分∴抛物线的解析式为243y x x=-+；………………………… 5分又2243(2)1y x x x=-+=--，………………………… 7分∴抛物线顶点坐标为（2，1-）………………………… 8分20．解：（Ⅰ）△A1B1C1如图所示；…………………………3分（Ⅱ）△A2B2C2如图所示；…………………………6分（Ⅲ）如图所示，点M即为所求的使MA+MC最小的点…………………… 8分21．解：（Ⅰ）∵有汉字“美”、“好”、“东”、“丽”的四个小球，任取一球，共有4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B C B A D A D A B C种不同结果，∴球上汉字是“美”的概率为P ＝41…………4分 （Ⅱ）列举如下：美 好 东 丽 美 / （好，美）（东，美） （丽，美） 好 （美，好） / （东，好）（丽，好） 东 （美，东） （好，东） / （丽，东）丽（美，丽）（好，丽）（东，丽）/所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美好”或“东丽”的情况有4种，……8分则取出的两个球上的汉字恰能组成“美好”或“东丽”的概率为31124=……10分 （树状图法略） 22.（Ⅰ）证明：连接OA ∵ C 为AB ⋂的中点 ∴ AC CB ⋂⋂=∴ AC=BC …………1分 又∵ ∠ACB=120°∴ ∠B=30° …………2分 ∴ ∠O=2∠B=60°…………3分 ∵ ∠D=∠B=30°∴ ∠OAD=180°-(∠O+∠D)=90° …………4分 ∴ AD 与⊙O 相切 ……………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ∠O=60°, 又OA=OC ∴ △OAC 为等边三角形∴ ∠ACO=60°…………6分 又∵ ∠ACB=120°∴ ∠ACB=2∠ACO, AC=BC∴ OC ⊥AB ，AB=2BE …………7分又∵ CE=4，∠B=30°∴ BC=2CE=8 …………8分 在Rt △EBC 中BE ===9分∴ 2AB BE ==所以弦AB 的长为 …………10分23.解：（Ⅰ）∵t ＝0时，h ＝0，∴设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0），……………… 1分 ∵t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20， ∴⎩⎨⎧=+=+202415b a b a ，………………………… 3分解得⎩⎨⎧=-=205b a ，………………………… 5分∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝﹣5t 2+20t ；……………………… 6分 （Ⅱ）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝﹣5×32+20×3＝15（m ）． 答：小球飞行3s 时的高度为15米；………………………… 8分 （Ⅲ）∵h ＝﹣5t 2+20t ＝﹣5（t ﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m ，…………………………9 分 ∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．………………………… 10分24．解：（Ⅰ）∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A ＝∠ACB ＝45°，………1分∵△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ ． ∴△ABP ≌△CBQ ，………2分∴∠A ＝∠ACB ＝∠BCQ ＝45°………3分∴∠PCQ ＝∠ACB +∠BCQ ＝45°+45°＝90°………4分 （Ⅱ）在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝4，∴AC ＝24，………5分 ∵AP ＝2，∴PC ＝AC ﹣AP ＝42﹣2＝32………6分 由（Ⅰ）知，△ABP ≌△CBQ ， ∴CQ ＝AP ＝2，………7分 由（Ⅰ）知，∠PCQ ＝90°，根据勾股定理得，PQ ＝22CQ PC +＝22)2()23(+＝25………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，△ABP ≌△CBQ ， ∴∠ABP ＝∠CBQ ，AP ＝CQ ，PB ＝BQ ∴∠CBQ +∠PBC ＝∠ABP +∠PBC ＝90°，∴△BPQ 是等腰直角三角形，△PCQ 是直角三角形， ∴PQ ＝2PB ，………9分 ∵AP ＝CQ ，在Rt △PCQ 中，根据勾股定理得，PQ 2＝PC 2+CQ 2＝PA 2+PC 2 ∴2PB 2＝PA 2+PC 2．………10分25.解：（Ⅰ）把A （﹣3，0）代入y 1＝x 2+b x +3得：9﹣3b +3＝0，解得：b ＝4，………3分（Ⅱ）y 1的表达式为y ＝x 2+4x +3； 将y 1变形得：y 1＝（x +2）2﹣1………4分据题意y 2＝（x +2﹣4）2﹣1＝（x ﹣2）2﹣1＝x 2﹣4x +3；………6分∴抛物线y 2的表达式为y ＝x 2﹣4x +3；………7分（Ⅲ）∵y 2＝（x ﹣2）2﹣1，∴对称轴是x ＝2，顶点为（2，﹣1）； 当y 2＝0时，x ＝1或x ＝3， ∴E （1，0），F （3，0），D （0，3），∵直线1y kx k =+-过定点（﹣1，﹣1）………8分当直线1y kx k =+-与图象G 有一个公共点时，t ＝﹣1（经过顶点）……9分 当直线1y kx k =+-过F （3，0）时，3k +k ﹣1＝0， 解得：k ＝41， ∴直线解析式为y ＝41x ﹣43， 把x ＝2代入＝41x ﹣43，得：y ＝﹣41， 当直线过D （0，3）时，k ﹣1＝3， 解得：k ＝4，∴直线解析式为y ＝4x +3，把x ＝2代入y ＝4x +3得：y ＝11，即t ＝11， ∴结合图象可知t ＝﹣1，或﹣41＜t ≤11．………10分。
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2020-2021学年天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．﹣1D．2
3．下列事件中，是随机事件的是（）
A．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似
B．相似三角形的对应角相等
C．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外
D．直径所对的圆周角为直角
4．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）
A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5 5．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）
A．4B．8C．10D．12
6．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是0.3，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，点A、B、C在半径为2的圆O上，且∠BAC＝60°，作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，则MN的长为（）
A ．1
B ．√3
C ．2
D ．2√3
8．方程x 2﹣2x ＝5的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有一个实数根
9．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区
域内的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．16
D ．18 10．正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
A ．48√3
B ．24√3
C ．60
D ．12√3
11．如图，在长70m ，宽40m 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观
赏路面积占总面积的17，则路宽xm 应满足的方程是（ ）
A ．（40﹣x ）（70﹣x ）＝400
B ．（40﹣2x ）（70﹣3x ）＝400
C ．（40﹣x ）（70﹣x ）＝2400
D ．（40﹣2x ）（70﹣3x ）＝2400 12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；
②4a +2b +c ＞0；③b ＜a +c ；④2c ﹣3b ＜0；⑤a +b ＞an 2+bn （n ≠1），其中正确的个数有（ ）。