用二次常数变易法解几类非线性微分方程
微分方程中常数变易法的应用
微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。
%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。
常数变易法在微分方程中的应用
常数变易法在微分方程中的应用
常数变易法是一种求解微分方程的方法，其基本思想是通过将常数变为变量，将微分方程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
在应用常数变易法时，首先需要将微分方程的解表示为某个未知函数的线性组合，然后将这个未知函数代入微分方程中，通过求解线性微分方程得到原微分方程的解。
具体来说，对于一阶线性微分方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以将解表示为 y = e^[-∫P(x)dx]{∫Q(x)e^[∫P(x)dx]dx + C}，其中 C 是常数。
然后
我们将这个解代入原微分方程中，得到一个关于 C 的线性微分方程，通过
求解这个线性微分方程可以得到原微分方程的解。
常数变易法在求解微分方程时具有很多优点，例如可以将非线性微分方程转化为线性微分方程，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，可以求解某些无法直接求解的微分方程等。
因此，常数变易法在数学、物理、工程等领域中得到了广泛的应用。
常微分方程中的几种非线性方程的解法1
2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。
鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。
本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。
如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。
在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。
这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
非线性微分方程的解析方法研究
非线性微分方程的解析方法研究非线性微分方程在科学与工程领域中具有广泛的应用。
它们的解析方法研究对于我们理解非线性系统的行为以及预测其未来发展趋势至关重要。
本文将探讨一些常见的非线性微分方程解析方法，包括变量分离、常数变易法、积分因子法和线性化等。
1. 变量分离法变量分离法适用于形如 dy/dx = g(x)h(y) 的非线性微分方程。
该方法的基本思想是将方程两边关于变量 x 和 y 进行分离，使得每一边只包含一个变量。
通过对方程两边同时积分，我们可以得到方程的解析解。
举例而言，考虑方程 dy/dx = x^2y。
我们可以通过变量分离的方法将方程重写为 dy/y = x^2dx。
接下来对方程两边同时积分，我们得到ln|y| = (1/3)x^3 + C，其中 C 是常数。
最终我们得到方程的解析解 y =Ce^(x^3/3)。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n 的非线性微分方程。
该方法的基本思想是猜测一个形如 y = u(x)v(x) 的解，并通过适当选择u(x) 和 v(x) 来将方程化简为一个可求解的方程。
举例而言，考虑方程 dy/dx + xy = x^3y^2。
我们可以猜测一个解形如 y = x^m，并通过常数变易法将方程化简为 m(m-1)x^(m-1) + x^(m+1) = x^3。
通过比较方程两边的幂次，我们求得 m = 2。
因此方程的一个解析解为 y = Cx^2。
3. 积分因子法积分因子法适用于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的非齐次线性微分方程。
该方法的基本思想是通过乘以一个适当的积分因子，将方程化为一个可求解的形式。
举例而言，考虑方程 dy/dx + y/x = x^2。
首先我们求得方程的积分因子为μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^ln|x| = |x|。
通过乘以积分因子，我们将方程重写为 |x|dy/dx + y = x^3。
常数变易法的原理
常数变易法的原理
1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。
它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。
2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法，对于一阶线性非齐次微分方程，y+P（x）y=Q（x）。
二分算法a的概念：就是通过折半查找来进行枚举。
二分答案就是直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。
如果合法，就将答案进一步靠近，如果不合法，就接着判断。
这样就可以大大的减少时间。
我们进行二分答案的时候，会对判断到的答案进行验证是否正确，看看这个答案是小还是大了。
所以，要进行这个算法的时候，就必须要保证数据有单调性。
出现“最大值最小”或“最小值最大”但多时间都可以使用二分，二分法“可以把最优化问题转化为判定性问题。
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法摘要：二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。
利用常数变易法对二阶非齐次线性微分方程yn+p（x）y′+q（x）y=f（x）进行讨论后，可给出求其通解表达式的具体方法。
关键词：微分方程；通解；常数变易法一、引言对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f （x）（其中p、q是常数）当f（x）为以下两种形式：①f（x）=pm（x）eλx，其中λ是常数，pm（x）是x 的一个m次多项式；②f（x）=eλx［pl（x）cosωx+pn（x）sinωx］，其中λ、ω是常数，pl（x）、pn（x）分别是x的l次，n次多项式，它们中有一个可为零。
此时求其通解的方法已有公式可循，具体公式这里从略。
现在的问题是假若p、q不是常数，而是x的函数p（x）、q（x），即为方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）时，又如何求其通解呢？这正是本文所要讨论的问题。
二、二阶非齐次线性微分方程的求解方法在求一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的通解时，我们使用了常数变易法。
这种方法是把齐次线性微分方程y′+p（x）y=0的通解φ（x）中的任意常数c换成未知函数u（x），即利用变换y=u（x）φ（x）来解非齐次线性微分方程。
这一方法也适用于解二阶非齐次线性微分方程。
下面我们就来讨论方程（1）的具体求解方法。
设φ（x）是方程（1）对应的齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0 （2）是一个不恒为零的解，则令y=u（x）φ（x），有y′=u′（x）φ（x）+u（x）φ′（x），y″=u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）代入方程（1），得u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）+p（x）［u′（x）φ（x）+u（x）·φ′（x）］+q（x）u（x）φ（x）=f（x）,即φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）+［φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）］u（x）=f（x）,而φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）＝0，因此上式变为φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）=f（x）。
常见的微分方程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
用二次常数变易法解几类非线性微分方程_农丽娟
第28卷第5期 河池学院学报 V o l.28N o.5 2008年10月 J O U R N A L O F H E C H I U N I V E R S I T Y O c t.2008用二次常数变易法解几类非线性微分方程农丽娟,王五生(河池学院 数学系,广西 宜州 546300)[摘 要] 非线性微分方程没有一般的求解方法,而常数变易法是求解一阶线性微分方程的主要方法.文献[1～3]研究了解非线性微分方程的常数变易法,其中文献[2]提出了用二次常数变易法求解非线性微分方程的一些具体例子.作者在此基础上构造了可用二次常数变易法求解的一阶非线性微分方程的类型,并给出相应的例子来说明二次常数变易法的重要性.[关键词] 一阶非线性微分方程;常数变易法;二次常数变易法;通解[中图分类号] O175.1 [文献标识码] A [文章编号] 1672-9021(2008)05-0029-05[作者简介] 农丽娟(1985-),女,广西大新人,河池学院数学系2004级学生;王五生(1960-),男,山西沁县人,博士,河池学院数学系教授,主要研究方向为数学建模、微分方程与动力系统.[基金项目] 1、广西新世纪教改工程“十一五”第三批资助项目(桂高教〔2007〕109号);2、广西教育厅科学研究资助项目(编号:200707M S112);3、河池学院应用数学重点学科资助项目(院科研〔2007〕2号);4、河学院重点课程资助项目(院教学〔2008〕9号).考虑一阶非齐次线性微分方程 y′=P(x)y+Q(x)(1)其中P(x),Q(x)均为某区间上x的连续函数,用常数变易法可求出(1)的通解为 y=e∫p(x)d x∫Q(x)e-∫p(x)d x d x+c.(2)型如 y′=P(x)Q(y)+f(x,y)(3)的一阶非线性微分方程是否可用常数变易法求解呢?事实上,方程y′=P(x)Q(y)是可分离变量的微分方程,分离变量后得 d yQ(y)=P(x)d s,等式两边积分可求得其通解,不妨设其通解为 φ(y)=φ(x,c),其中c为任意实常数.设方程(3)的通解为 y=ψ-1(φ(x,c(x))).(4)对上式两端求导,得: y′=1ψ′(ψ-1(φ(x,c(x)))(P(x)+φ′c(x)·c′(x))=P(x)Q(ψ-1(φ(x,c(x))))+φ′c(x)·c′(x)Q(ψ-1(φ(x,c(x)))),又y′=P(x)Q(ψ-1(φ(x,c(x))))+f(x,ψ-1(φ(x,c(x)))),故 φ′c(x)·c′(x)Q(ψ-1(φ(x,c(x))))=f(x,ψ-1(φ(x,c(x)))),(5)29这是一个关于未知函数为c(x)的一阶微分方程,若能从此方程中求出其解c(x),再将c(x)的表达式代入y=ψ-1(φ(x,c(x))),即可得出非线性微分方程 y′=P(x)Q(y)+f(x,y)的通解.由此可见,只有当方程(5)能求出未知函数c(x)时,一阶非线性微分方程 y′=P(x)Q(y)+f(x,y)才能用常数变易法求解.显然,只有当方程(5)是线性的或可分离变量的,或是其他可积类型时,才可求出未知函数c(x).在此只着重介绍前两种类型.定理1: 若方程(5)具有形式 c′(x)=M(x)c(x)+N(x),其中M(x),N(x)均为某区间上x的连续函数,则一阶非线性微分方程(3)的通解为 y=ψ-1φx,e∫M(x)d x∫N(x)e-∫M(x)d x d x+c1,其中c1为任意实常数.证明:若方程(5)具有形式 c′(x)=M(x)c(x)+N(x),(6)可以再次使用常数变易法,求出方程(6)的与(2)形式相同的通解为 c(x)=e∫M(x)d x∫N(x)e-∫M(x)d x d x+c1.(7)把(7)式代入y=ψ-1(φ(x,c(x))),即得一阶非线性微分方程(3)的通解为 y=ψ-1φx,e∫M(x)d x∫N(x)e-∫M(x)d x d x+c1,其中c1为任意实常数.我们把此种求解方法称为二次常数变易法.推论1: 设P(x)和f(x)均为某区间上x的连续函数,a、b为实常数,则型如 y′=a e b y P(x)+f(x)(8)的非线性方程的通解为 e-b y=-a b∫P(x)d x-b e-b∫f(x)d x∫f(x)e b∫f(x)d x∫P(x)d xd x+c e-b∫f(x)d x,其中c为任意实常数.证明:方程(8)对应的齐次方程y′=a e b y P(x)是可分离变量方程,设方程(8)的通解为 -1e-b y=∫P(x)d x+c1(x).(9)a b对上式两端求导得e-b y·y′=P(x)+c′1(x). 1a把y′=a e b y P(x)+f(x)代入上式得 1e-b y(a e b y P(x)+f(x))=P(x)+c′1(x),a即 P(x)+a-1e-b x f(x)=P(x)+C′1(x).从而 c′1(x)=-b f(x)∫P(x)d x+c1(x),即 c′1(x)=-b f(x)c1(x)-b f(x)∫P(x)d x.(10) 30这是一个关于c1(x)的一阶非齐次线性微分方程,故方程(6)可用二次常数变易法求解.解方程 c′1(x)=-b f(x)c1(x),得 c1(x)=c2e-b∫f(x)d x.设方程(10)的通解为 c1(x)=c2(x)e-b∫f(x)d x,(11)对上式求导,由(10)得 c′1(x)=c′2(x)e-b∫f(x)d x-b f(x)e-b∫f(x)d x c2(x)= -b f(x)e-b∫f(x)d x c2(x)-b f(x)∫P(x)d x.从而c′2(x)=-b f(x)e b∫f(x)d x∫P(x)d x,对上式积分,得 c2(x)=-b∫f(x)e b∫f(x)d x∫P(x)d x d x+c.(12)把(11)和(12)代入(9)得原方程的通解为 e-b y=-a b∫P(x)d x-b e-b∫f(x)d x∫f(x)e b∫f(x)d x∫P(x)d xd x+c e-b∫f(x)d x.(13)例1: 求方程y′=2e3y x2+x2的通解.解:此方程具有方程(8)的形式,且满足推论1的条件,其中a=2,b=3,P(x)=f(x)=x2,则由公式(13)得: e-3y=-6∫x2d x-3e-3∫x2d x∫x2e3∫x2d x∫x2d xd x+c e-3∫x2d x=-613x3-3e-x3∫13x5e x3d x+c e-x3=-613x3-e-x313x3e x3-∫x2e x3d x+c e-x3=-613x3-13x3+13+c e-x3=-2+c1e-x3,其中c1=-6c为任意常数.定理2: 假设方程d(c(x))Q1(c(x))=P1(x)d x的通解为c(x)=(x,c1),若方程(5)具有形式 c′(x)=P1(x)Q1(c(x)),其中P(x),Q(x)均为某区间上x的连续函数,则方程(3)的通解为 y=ψ-1(φ(x,(x,c1))),证明:若方程(5)具有形式 c′(x)=P1(x)Q1(c(x)),即 d(c(x))Q1(c(x))=P1(x)d x.对上式积分得(5)的通解为 c(x)=(x,c1).把c(x)=(x,c1)代入(4)式得非线性微分方程(3)的通解 y=ψ-1(φ(x,(x,c1))),其中c1为任意常数.推论2(参见文献[1]): 若f(y)在某区间上具有连续的导函数,P(x),Q(x)均为某区间上x的连续函数,则方程 f′(y)y′=P(x)f(y)+Q(x)f n(y)(14)31的通解为 f (y )=e ∫P (x )d x(1-n )∫Q (x )e(n -1)∫P (x )d xd x +c11-n,的通解为 f (y )=e ∫P (x )d x (1-n )∫Q (x )e(n -1)∫P (x )d xd x +c11-n,其中c 为任意常数。
解两类非线性微分方程的常数变易法
) (
x
一
,1
一
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( 15 )
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其 中
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二阶微分方程通解的方法
二阶微分方程通解的方法二阶微分方程是指形如y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)的方程，在数学中有着广泛的应用。
解决二阶微分方程的过程中，通解的求解方法是比较重要的一部分。
以下是二阶微分方程通解的方法：1. 利用特征方程求解齐次方程的通解对于齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0，其特征方程为λ+p(x)λ+q(x)=0。
通过求解特征方程的根λ1和λ2，可得到齐次方程的通解为y(x)=c1e^λ1x+c2e^λ2x。
2. 利用常数变易法求解非齐次方程的通解对于非齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)，首先解出其对应的齐次方程的通解y0(x)，然后考虑将y(x)表示为一个特解y1(x)加上齐次方程的通解y0(x)的形式，即y(x)=y0(x)+y1(x)。
通过常数变易法，可得到特解y1(x)的形式，从而得到非齐次方程的通解。
3. 利用指数函数求解特解对于形如f(x)=e^(px)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为Ae^(px)的形式，其中A为需要求解的常数。
将特解代入非齐次方程，求解常数A的值即可得到特解。
4. 利用三角函数求解特解对于形如f(x)=sin(mx)或cos(mx)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为Asin(mx)+Bcos(mx)的形式，其中A和B为需要求解的常数。
将特解代入非齐次方程，求解常数A和B的值即可得到特解。
综上所述，二阶微分方程通解的求解方法可以通过特征方程、常数变易法、指数函数和三角函数这些基本方法得到。
掌握这些通解的求解方法，有助于我们在解决实际问题时更加准确和高效。
毕业论文《某些非线性常微分方程的常数变易法》
湖北工程学院本科毕业论文某些非线性常微分方程的常数变易法年级: 大四学号: 111114109姓名:胡博专业: 数学与应用数学指导老师: 樊自安2014年12 月毕业设计（论文）任务书班级1111141 学生姓名胡博学号111114109发题日期：2014 年9月10日完成日期：2015 月01 日题目某些非线性常微分方程的常数变易法1、本论文的目的、意义：本论文的主要目在于通过对常微分方程的深入分析，分别对一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的性质、解法进行系统地分析、比较、归纳、总结，并深入探讨两类方程的解法。
最后，利用两类方程的理论知识去分析和解决某些特殊的非线性常微分方程，并给出相关应用的例子。
将常数变易法可以运用到一些物理或者化学一些其他学科的问题解决中，对于其中的那些非线性常微分方程进行求解，使得问题更加简便化。
2、学生应完成的任务1、通过查阅相关资料，进一步掌握常数变易法的背景，意义及研究现状；2、掌握有关常数变易法和非线性常微分方程的基础知识；3、分析并总结两类非线性常微分方程的性质及求解方法；4、举例说明两类非线性常微分方程的解法；5、检查论文中的内容是否有错误；6、做好相关的英文文献翻译工作；3、论文各部分内容及时间分配：（共15 周）第一部分参阅相关书籍和利用网上有关资料，掌握常数变易法的背景，意义等基础知识； (2 周) 第二部分探讨，分析并总结一阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (2 周)第三部分探讨，分析并总结二阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (3周)第四部分举例说明两类非线性常微分方程的解法； (3 周)第五部分检查论文的内容是否有错误； (2 周)第六部分完成英文翻译工作和论文的修改。
(2 周) 评阅及答辩(1周)备注指导教师：年月日审批人：年月日摘 要常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。
列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。
常数变易法求二阶非齐次微分方程
常数变易法求二阶非齐次微分方程咱们得了解什么是二阶非齐次微分方程。
说白了，它就像一条有点复杂的道路，里面有些障碍物。
咱们的目标就是找到一条能够顺利到达终点的路径。
想象一下，二阶微分方程就像是你家的电梯，上下的运动不光有重力的影响，还有一些额外的力量在干扰着它，比如你要搬的家具。
这些额外的力量就是“非齐次”部分。
哎呀，这种东西可不是我们想当然就能解决的，需要点技巧。
常数变易法呢，就像是给这台电梯加装一个聪明的导航系统。
通过这个方法，我们可以找出它在特定条件下的运动状态。
咱们得搞定对应的齐次方程。
齐次方程就好比是电梯在没什么负担的情况下的运行情况。
我们先求解出这个，然后就能得到一组基本解。
这个过程其实也蛮简单的，像找个路标，只要找到几条能代表方向的路就行。
就是咱们的重头戏，常数变易法的魔法来了！在这个过程中，我们把之前找到的常数给变成变量。
这就像你把电梯的负担减轻了一样，瞬间灵活多了。
咱们设定一个新的函数，通常叫做 (y_p)，它的形式取决于非齐次部分的特征。
嘿，虽然有点繁琐，但其实也不难理解。
就像你在做一道复杂的菜谱，虽然步骤多，但熟练了就能做得得心应手。
这时候，咱们得用“猜测”的方式来找到 (y_p)。
就好比你在猜谜语，得试几个可能的答案。
通常来说，咱们会把非齐次部分的形式搬过来，稍微改改，比如加点常数或变量，看看能不能“贴合”得更好。
如果说不清楚的地方，那就多试几次，直至找到合适的函数。
这是个摸索的过程，就像打游戏，前期得多死几次才能找到通关的钥匙。
当找到 (y_p) 之后，咱们就可以把它和之前的齐次解结合起来。
这个时候，就像给你的电梯加了新功能，既能轻松应对没有负担的状态，又能处理复杂的情况。
咱们最终的解就是这两部分的和，简直就是完美结合！可别小看这个过程，很多时候就是这一步让人困惑，但只要用心琢磨，没什么难得过的。
记得检验一下最终的解哦，看看它是不是真的符合方程。
这就像是确认一下电梯的运行是否顺畅，确保没有遗漏的地方。
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解需要根据具体的方程形式来确定。
一般来说，我们可以使用初值条件或特定的边界条件来求解。
以下是一些常见的二阶常微分方程及其对应的特解方法：
1. 齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的方程，其中p(x) 和q(x) 是已知函数。
可以使用特征方程法来求解。
首先假设
y=e^(mx)，代入方程得到特征方程m^2 + p(x)m + q(x) = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
2. 非齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 的方程，其中f(x) 是已知函数。
可以使用常数变易法来求解。
首先求齐次线性方程的通解y_0(x)，然后假设特解为y_p(x) = u(x)y_0(x)，代入方程中求解u(x)。
最后特解为y(x) = y_0(x) + y_p(x)。
3. 高阶常系数线性齐次方程：形如a_ny^(n) + a_(n-1)y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = 0 的方程，其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 是已知常数。
可以使用特征方程法来求解。
假设y=e^(mx)，代入方程得到特征方程a_nm^n + a_(n-1)m^(n-1) + ... + a_1m + a_0 = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
这些只是二阶常微分方程的一些常见特解方法，实际问题中可能还有其他特殊情况需要考虑。
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法数学物理方程与特殊函数复习资料二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法20XX年-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程y 2y 0如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况y 2y f(x)y(0) ,y(0)两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题y (x) ry(x) f(x),x 0y(0)先求解简化的（源函数为零）的方程：y (x) ry(x) 0由分离变量：dydyrdx ry，ydx积分：lny rx c，y(x) Cexp( rx)应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即y(x) u(x)exp( rx)求导数，得y (x) u (x)exp( rx) ru(x)exp( rx)u (x)exp( rx) ry(x)数学物理方程与特殊函数复习资料将其代入化简前的方程，得等式u (x)exp( rx) f(x)，u (x) exp(rx)f(x)积分，得u(x)xexp(r )f( )d C代入表达式y(x) u(x)exp( rx)，得y(x) [ exp(r )f( )d C]exp( rx)x应用初始条件，得解函数y(x) exp( rx) exp[ r(x )]f( )dx从两部分解读解函数的意义。
常数变易法求解一类四阶常系数非齐次线性微分方程
放水过 程 ， 反复 试验 ， 以减 少介质 固结 、 降 沉
对数据的影响 。 ６、在 多次 试 验 积 累 足 够 数 据 的 基 础 上 ， Ｊ 图获得 该二者 关系拟 和斜 绘Ｓｈ ～ｈ曲线 ］ 线 的斜 率 ｋ 。 ７、 对 试 验 测 定 的 “ 折减 系 数 ” 的 使 用， 应参考 基底 土壤 的连续性 、 下水 位的升 地 降频 率 ， 做适 当降低 。 进行结构 抗浮验算 时 ， 在 应 同安全 系数一 起综 合考虑 ， 合理 选取 “ 折减
Ｉｅ ｒ ｄ ｆ ｒｎ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｏ ｅ ｏ ｒ Ｔ ｅ ｍｅｉ ｉ ｉ ａ ｉ ｅｅ ｔ ａ ｉ ｓ ｏ ｒ ｒ ｆ ｕ ． ｈ ｒ ｓ ｎ ｆ ａ ｑ ｏ ｄ ｔ
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｛ｎ 二 ］｝ 二 出 ｓ［ ］ ｉ 『 『 出
ｐ ＋２ ＋ ３ ＋｛＝ （） （） ｙ “ ａ ｄ ｆ ｘ ｙ Ｙ Ｙ ３
Ｃ Ｎ ＣＥＣ Ｎ ＥＨ ＯＯ Ｙ Ｉ ＯＭ ＴＯ ｐ．０７ ＨＩ Ｓ Ｉ Ｅ Ａ Ｄ ＴＣＮ Ｌ Ｇ Ｎ Ｒ Ａ Ｉ Ａ ｒ ０ Ａ Ｎ Ｆ Ｎ ２
Ｇ 基础模 型试件 自身重 量形成 的重 力 一
Ｎ一 加水 前静 力平衡 力 系中介 质对 模型
试件的 支撑 力
等于 （ 一 Ｒ。 × Ｃ／ ｒ ・ Ｒ， ） （ Ａ）
则方程 的通解为
根 ，其 中自： ｒ ａ ｂ＝６ ＋ａ ４ ＋ ｌ２ ｒ ３， ， ｒ
３ ｌ ＋２ ｚ ＋ａ ， ａ， ａｒ ３
一
＋ａ ＋ ３ 为 ： （） 自 １ ＋∞ ）０ 勺 ２２ ａ， ｒ ＋３ ＋ ）＋（ ２＋ ＝ 自 ｏ 砌
根 ，则 由 引理 可 得
引舌
文ｆ ” 中对三阶常系数非齐次线 ｆ微分方程 生
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。
同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。
求出u，然后回代。
解出方程。
解微分方程的实质就是变量替换，然后化解为可分离变量。
然后回代。
待定系数法考虑以下的微分方程：对应的齐次方程是：它的通解是：由于非齐次的部分是()，我们猜测特解的形式是：把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：因此，原微分方程的解是：()常数变易法假设有以下的微分方程：我们首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。
然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：y = u1y1 + u2y2。
(1)两边求导数，可得：y' = u1' y1 + u2' y2 + u1y1' + u2y2'。
我们把函数u1、u2加上一条限制：u1' y1 + u2' y2 = 0。
(4)于是：y ' = u1y1' + u2y2'。
(2)两边再求导数，可得：y" = u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2"。
(3)把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得：u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2" + pu1y1' + pu2y2' + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。
整理，得：u1' y1' + u2' y2' + (u1y1" + pu1y1' + qu1y1) + (u2y2" + pu2y2' + qu2y2) = f(x)。
用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程
的解，得特征值问题，
( ) + ( ) = 0, 0 < < (0) = ( ) = 0
(10)2018.8（下） 知识 237知识 第 16 期
求解特征值为
( )=
22
= 2 ( = 1,2,3 … ) ， 特 征 函 数 为
( = 1,2,3 … ) 。利用常数变易法，设
原模型有解形如 常微分方程初值问题, 求解得，
( )+ 2 ( )=
(0) = , (0) =
其中， ， ， 是 ( )， ( )， ( , ) 关于 ( ) 的傅
里叶系数。利用拉普拉斯变换法或常数变易法，求解该常微分
方程得，
( )=
+1
故(6),(2),(7)的解为，
+1
()
0
(−)
∞
( , )= [
+1
=1
3 总结与举例
+1
()
0
(− ) ] ()
变易法，设原模型有解形如
∞
( , )=
()
(2 + 1) 2
。
=1
代入得到常微分方程初值问题, 得，
(
,
)
=
32
3
1
−2
∞ (−1) +1 (2 + 1)3
=1
−(2
+1)2 42
2
2
(2 + 1) 2
（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院）
. All Rights Reserved.
。代入得到
( )=
+
+
()
0
故固定的有界弦强迫振动模型的形式解为:
二次项常系数微分方程
二次项常系数微分方程一、引言微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理、工程和经济等领域。
在微分方程中，二次项常系数微分方程是一类特殊的方程，其形式为ay″+by′+cy=0，其中a、b和c是常数且a≠0。
本文将详细介绍二次项常系数微分方程的基本概念、求解方法以及相关应用。
二、基本概念1. 二次项常系数微分方程的定义二次项常系数微分方程是指形如ay″+by′+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数且a≠0。
这种类型的微分方程中，最高阶导数的系数为常数。
2. 齐次和非齐次线性微分方程根据方程右侧是否为零，可以将二次项常系数微分方程分为齐次和非齐次线性微分方程两种情况。
•齐次线性微分方程：当cy=0时，称该方程为齐次线性微分方程。
•非齐次线性微分方程：当cy≠0时，称该方程为非齐次线性微分方程。
3. 特征方程对于二次项常系数微分方程ay″+by′+cy=0，可以通过特征方程来求解。
特征方程的形式为ar2+br+c=0，其中r是未知数。
通过求解特征方程的根，可以得到二次项常系数微分方程的通解。
三、求解方法1. 齐次线性微分方程的求解方法对于齐次线性微分方程ay″+by′+cy=0，可以通过以下步骤来求解：•求解特征方程ar2+br+c=0，得到特征根r1和r2。
•如果特征根为实数且不相等，则通解为y=C1e r1x+C2e r2x，其中C1和C2是任意常数。
•如果特征根为实数且相等，则通解为y=(C1+C2x)e rx，其中C1和C2是任意常数。
•如果特征根为复数，则通解为y=e ax(C1cosbx+C2sinbx)，其中C1和C2是任意常数。
2. 非齐次线性微分方程的求解方法对于非齐次线性微分方程ay″+by′+cy=f(x)，可以通过以下步骤来求解：•求解对应的齐次线性微分方程ay″+by′+cy=0的通解。
•利用待定系数法，假设非齐次方程的特解为y p=A（当f(x)是常数时）或y p=Ax+B（当f(x)是一次函数时）。
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［乍 １ 者简介 ］ 农丽娟（９ ５一） 女 ， 西大新人 ， １８ ， 广 河池 学院数 学系 ２０ ０４级 学生 ； 王五 生（ ９０一） 男 ， １６ ， 山西沁 县人 ， 博士， 河池学院数学系教授 ， 主要研 究方向为数 学建模 、 分方程与动力系统． 微 ［ 基金项 目］ １ 广 西新世 纪教 改工程“ 、 十一五” 三批资助项 目（ 第 桂高教 ［０ ７ １９号） ２ 广 西教育厅科 学 ２０ ］０ ；、
） ｓ ｄ，
等式两边 积分 可求得 其通 解 ， 妨设 其通 解为 不
（ ）＝ ，） Ｙ （ ｃ ，
其中 Ｃ 为任 意 实常数 ． 设方 程 （ ） ３ 的通解 为
Ｙ＝ （ ，（ ） ） （ ｃ ｘ ） ．
（） ４
对上 式两端 求 导 ， ： 得 ｙ （ ）＋ 出 ． ， ）＝ Ｐ ｃ（
第２ ８卷第 ５期 ２０ ０ ８年 １ Ｏ月
河 池学 院学报
Ｊ ＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＥＣ Ｉ ＥＲ ＩＹ ＯＵ ＨＩＵＮ Ｖ Ｓ Ｔ
Ｖ １２ ｏ５ ｏ． ８Ｎ ． ０ｃ． ｏｏ ｔ２ ８
用 二次 常数 变 易 法解 几 类 非 线性 微 分 方 程
农丽娟 ， 王五生
（ 池学院 河 数 学 系 ，广 西 宜州 ５ ６０ ） ４ ３０
Ｐ（ Ｑ（ ） 一（ ，（ ） ）＋ （ ｃ（ Ｑ（ Ｉ（ ，（ ） ） （ ｃ ） ） ） １ （ ｃ ） ） ， ）・ 又
故
Ｙ ＝Ｐ ） 一 （ ，（ ） ）＋ ， （ ｃ ） ） ， （ Ｑ（ （ ｃ ） ） ／ 一（ ，（ ） ） ・ ） １ （ ，（ ） ）： ， ｃ（ Ｑ（ｒ （ ｃ ） ） ｆ （ ，（ ） ） （ ｃ ） ） ，
研 究资助项 目（ 号：０ ７７ １２ ； 、 编 ２０ ０ ＭＳ １ ）３ 河池学院应用数学重点学科资助项 目（ 院科研 ［０ ７ ２号） ４ 河 学院重点 ２０ ］ ；、
课程资助项 目（ 院教 学［０ ８ ９号） ２０ ］ ．
考 虑一 阶非齐 次线性 微分方 程
Ｙ ＝ ｘ ｙ＋Ｑ（ Ｐ（ ） ）
其中Ｃ 为任 意实 常数． 证 明 ： 方程 （ ） 若 ５ 具有 形式
Ｃ（ ＝Ｍ（ ｃ ）＋ ） ） ） （ Ｎ（ ， （） ６
可以再次使 用常数 变 易法 ， 出方程 （ ） 求 ６ 的与 （ ） 式相 同的通解 为 ２形
ｃ ） ｅ （ （ ｅＭｄ ＋ ） （＝ －（ ｄ ｃ． ） Ｉ） １ ｘ ｘ
Ｙ ＝Ｅｂ ）＋ （ ｒ Ｐ（ ｅ ＿ ） 厂 的非线性方 程 的通解 为
的通解．
由此 可见 ， 只有 当方程 （ ） ５ 能求 出未 知 函数 Ｃ ） ， 阶非线性 微分 方程 （ 时 一
Ｙ ＝Ｐ（ ） Ｙ ＿ ，） ｘ Ｑ（ ）＋ （ Ｙ 厂
才能用 常数变 易法 求解． 显然 ， 只有 当方程 （ ） 线性 的或 可分离 变量 的 ， 是其 他可 积类 型 时 ， 可求 出未 ５是 或 才 知 函数 ｃｘ ． （ ） 在此 只着重 介绍前 两种类 型． 定 理 １ 若 方程 （ ） ： ５ 具有形 式
（） ５
２ ９
这 是一 个关 于未知 函数 为 ｃ ） （ 的一 阶微 分方程 ， 能从此 方程 中求 出其解 ｃｘ ， 若 （ ）再将 ｃ ） （ 的表 达式代 入 Ｙ＝ （ ，（ ） ， （ ｃ ） ） 即可得 出非线性 微分 方程
Ｙ ＝Ｐ（ Ｑ（ ）＋ （ Ｙ ） Ｙ Ｉ ，） 厂
来说 明二 次常数 变易法的重要性．
［ 关键词 ］ 一阶非线性微 分方程 ； 常数 变易法 ； 次常数 变易法； 二 通解
［ 中图分类号 ］ ０ ７ ． １５ １ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号 ］ １７ ６ ２—９２ （０ ８ ０ ０ １ ２ ０ ）５—０２ ０ ０ ９— ５
［ 摘
要 ］ 非线性微分方程没有一般 的求解方 法， 而常数 变易法是求解 一阶线性微分 方程 的主要 方法． 献 文
［ ～３ 研究 了解非线性微 分方程的常数 变 易法 ， 中文献［ ］ 出了用． ￣ １ ］ 其 ２提 ｚ Ｌ常数 变易法求解非线性微 分方程的 一 － 些具体例子． 作者在此基础上构造 了可用二 次常数变易法求解的 一阶非线性微 分 方程的类 型， 并给 出相应 的例子
Ｃ（ ＝Ｍ（ ｃ ）＋Ｎ（ ， ） ） （ ）
其 中 Ｍ（ ， ） ）Ｎ（ 均为某 区 问上 的连续 函数 ， 则一 阶非线 性微 分方程 （ ） ３ 的通解 为
Ｙ （（ｅｘ（Ⅳ ）ｊ） ｃ） ＝ ｘｆ） 』 （ ｅＭｄ － ） ， ，（ Ｍｄ －（ ｄｌ ） ｘ ｘ － ｘ ｉ
把（ ） ７ 式代 人 Ｙ＝ （ ，（ ） ， （ ｃ ） ） 即得一 阶非线性 微分 方程 （ ） ３ 的通 解为
（ ７ ）
Ｙ （ Ⅲ （Ⅳ ）Ｉ）ｘ ｃ） ＝ 『 （ ｅＭｄ ＋ ） ， （ －ｘｄ Ｉ） （ ａ
其中 ｃ 为任意实 常数． 我们 把此种 求解 方法称 为二 次常数 变易法． 推论 １ 设 Ｐ ｘ 和 － ） ： （ ） 厂 均为某 区间上 的连续 函数 ， 、 为实 常数 ， （ ０ｂ 则型 如
其 中 Ｐ（ ）Ｑ（ 均 为某 区 间上 的连续 函数 ， ｘ ， ） 用常数 变 易法可求 出 （ ） １ 的通解 为
Ｙｅ 』 （ ｅ ｄ＋ ． ＝ （Ｑ ） ｃ ’ 一 ）
型如
（） ２
Ｙ ＝Ｐ ） （ ）＋ （ Ｑ ｙ ，） Ｙ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（） ３
的一 阶非线性 微 分方程 是否 可用 常数变 易法 求解 呢 ？ 事实上 ， 方程 Ｙ ＝Ｐ ｘ Ｑ（ ） 可分离 变量 的微 分方 程 ， 离变 量后 得 （） ｙ是 分