【最新人教版】高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案(51页)
选修4-5不等式选讲学案
选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。
怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。
当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。
高中数学 ： 选修4-5 不等式选讲
解析 原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范 围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不 等式选讲
1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等 式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思 想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7
选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)
• 一、本章的地位和作用 • 二、考纲和课程标准解读 • 三、教材分析 • 四、教学建议
9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
10．完成一个学习总结报告.
课
具体内容
要求
说明
标
不等式的基本性质
理解 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
不
式，掌握二元和三元 平均不等式证明和应
等
基本不等式
掌握 用，理解二元和三元 平均不等式几何背
式
景，理解这些不等式的实质。会求一些特
明
本、最重要的方法。它所依据是实数大小的基本事实，
不 等
综合法与分 析法
掌握
证明不等式时关键有较强的恒等变换技巧。比较法两种 中差值法是最基本而重要的一种方法。综合法是由因导
式
果，而分析法是执果索因，命题时总是交替出现。直接
的 基 反证法
由条件推结论困难时用反证法。放缩法证明题时，把握 理解 好放缩的度。证明不等式是一定注意“逻辑方法”、“思
不 不等 解 证明思路，对具有明确大小顺序、数目相同的两列数，考虑它
等式
们对应乘积之和的大小关系时，排序不等式是很有用的工具。
式
课 标
具体内容
要 求
说明
了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用
数 学
了
数学归纳法 解 数学归纳法证明一些简单问题。
选修45《不等式选讲》全册教案
选修45《不等式选讲》全册教案教案题目：不等式选讲一、教学内容：本教学内容为45《不等式选讲》，包含了不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。
二、教学目标：1.了解不等式的基本概念及性质；2.掌握不等式的解集表示法；3.掌握一元一次不等式的解法及简单应用；4.掌握一元二次不等式的解法及简单应用；5.掌握绝对值不等式的解法及简单应用；6.能够运用不等式解决实际问题。
三、教学重点和难点：教学重点：不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式和一元二次不等式的解法。
教学难点：绝对值不等式的解法及应用。
四、教学方法：1.经典讲解法：通过教师讲解不等式的概念、性质和解法，引导学生理解并掌握相关知识点。
2.讨论交流法：通过引导学生进行讨论和交流，培养学生合作解决问题的能力。
3.实践操作法：通过实际问题的解决，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
五、教学过程：1.针对不等式的基本概念及性质，教师通过举例和讲解，引导学生了解不等式的含义和不等式的常见性质。
2.针对不等式的解集表示法，教师通过讲解和练习题，帮助学生掌握不等式解集表示法的方法和技巧。
3.针对一元一次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元一次不等式的解法和简单应用。
4.针对一元二次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元二次不等式的解法和简单应用。
5.针对绝对值不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握绝对值不等式的解法和简单应用。
6.针对不等式的应用，教师通过实际问题的讲解和解决，引导学生运用所学知识解决实际问题。
七、教学评价：通过小组合作解题、课堂讨论、平时作业和期末考试等方式进行综合评价，评估学生对不等式相关知识的掌握情况和能力提升情况。
八、教学资源：1.教材：《不等式选讲》教材；2.多媒体教学设备；3.相关练习题和考试题。
九、教学反思：本次教案设计以教材为基础，以培养学生的综合应用能力为目标，通过不同的教学方法和教学环节，使学生掌握不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。
选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列11
选修4_5 不等式选讲课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。
选修4-5 不等式选讲 复习教案
第一节绝对值不等式考纲下载1．理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c．②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[例1](2014·江西高考节选)对任意x，y∈R，试求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．[听前试做] |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3.方法规律两数和与差的绝对值不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以只需a ≤3即可． 故a 的取值范围为(－∞，3]．[例2] (1)(2013·江西高考节选)在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． (2)(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[听前试做] (1)依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. (2)①因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. ②因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.方法规律绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略(1)直接求解不等式．主要利用绝对值不等式、不等式的性质想办法去绝对值号求解． (2)已知不等式求参数值．利用绝对值不等式或函数求解析式的最值，然后再求参数的取值范围．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的点的集合．(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解.1.(2013·重庆高考改编)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：|x －5|＋|x ＋3|＝|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 2．(2015·福州模拟)已知a>0，b>0，求证：a b ＋ba≥a ＋ b. 解：由于a b ＋ba a ＋b ＝a a ＋b bab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.又a>0，b>0，ab>0. ∴a b ＋ba≥a ＋ b. 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x>1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎤－1，43. 4．(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}． (2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)， 则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.5．(2015·长春模拟)设函数f(x)＝|x －a|＋x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x ＋1|，求不等式g(x)－2>x －f(x)恒成立时a 的取值范围．解：(1)由题意得，当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥2，2，x<2.∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的值域为[2，＋∞)．(2)由g(x)＝|x ＋1|，不等式g(x)－2>x －f(x)恒成立， 有|x ＋1|＋|x －a|>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a|)min >2.而|x ＋1|＋|x －a|≥|(x ＋1)－(x －a)|＝|1＋a|， ∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.第二节 不等式证明的基本方法考纲下载1．了解下列柯西不等的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.(3)（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2(通常称为平面三角不等式)． 2．会用向量递归方法讨论排序不等式． 3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立．5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．6．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b ． (2)作商法：ab >1⇔a >b (a >0，b >0)．2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤；(1)验证：当n取第一个值n0(例如n0＝1，2等)时结论正确；(2)假设当n＝k时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．[例1]设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．[听前试做]由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)≥0；当a<b时，a<b，从而(a)5<(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)>0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．方法规律作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．设不等式|2x －1|＜1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1， 解得0＜x ＜1， 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0，[例2] (2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． [听前试做] (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.方法规律综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.解：法一：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立. 法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.[例3] (2014·福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[听前试做] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.方法规律柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明.若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值． 解：由柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，①得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————2个方面——证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.1.(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y>0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy. 2．已知x 、y 、z 均为正数，求证： 33⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2.证明：由柯西不等式得(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z 2， 则3× 1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z ， 即33⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2. 3．(2013·江苏高考)已知a ≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a ≥b>0，所以a －b ≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13(12＋12＋12)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1×⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋1×⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2＝13[1＋(a ＋b ＋c)(1a ＋1b ＋1c )]2≥13×(1＋9)2＝1003.即该不等式成立． 5．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2， 即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取得最小值1.。
选修4-5--不等式选讲
选修4－5⎪⎪⎪不等式选讲第一节 绝对值不等式突破点(一) 绝对值不等式的解法基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0|x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a{}x |x >a 或x <－a{}x ∈R|x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法[典例] (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0. (2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x ＋1＋2x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，2x ＋1＋2x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ＋1－2x －1>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1， 解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.绝对值不等式的常用解法[方法技巧] (1)基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ， |x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集． 解：不等式|x －1|－|x －5|<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－x －1＋x －5<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5<2或⎩⎪⎨⎪⎧ x >5，x －1－x －5<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－4<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x <8或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，4<2，故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅＝{x |x <4}．2．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.3．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15即为x 2－8x ＋18≤0，解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15即为x 2－10x ＋22≤0，解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15即为x 2－8x ＋12≤0，解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 4.已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.结合a >0，解得x ≤－a2，即不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. ∵不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}， ∴－a2＝－1，故a ＝2.突破点(二) 绝对值三角不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”证明绝对值不等式[例1] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤6，|x －y |≤4，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例2] 设函数f (x )＝x ＋|x －a |. (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围． [解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 017，x ≥2 017，2 017，x <2 017.因为f (x )在[2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为[2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立， 即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |>2，解得a >1或a <－3.故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2．[考点二](2017·保定模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R)． (1)当a ＝4时， 求不等式f (x )≥5的解集； (2)若f (x )≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝4时， 不等式即为|x －1|＋|x －4|≥5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5，解得x ≤0或x ≥5，故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}． (2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|， 所以f (x )min ＝|a －1|，故|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5.故a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．3．[考点一]已知函数f (x )＝ax 2＋x －a 的定义域为[－1,1]． (1)若f (0)＝f (1)，解不等式|f (x )－1|<ax ＋34；(2)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.解：(1)f (0)＝f (1)，即－a ＝a ＋1－a ，则a ＝－1， 所以f (x )＝－x 2＋x ＋1，所以不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34，①当－1≤x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，解得－32<x <0； ②当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，解得0≤x <12.综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－32<x <12. (2)证明：由已知x ∈[－1,1], 所以|x |≤1，又|a |≤1，则|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 4．[考点一](2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0.(1)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－1x≥2；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，求a 的取值范围．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x－a ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＋a≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0.当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，则f (x )＋f (2x )≥－a ； 当a <x < a 2时， f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ，则－a2<f (x )＋f (2x )<－a ； 当x ≥a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ，则f (x )＋f (2x )≥－a2， 则f (x )＋f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，即为12>－a2，解得，a >－1，由于a <0，则a 的取值范围是(－1,0)．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 2．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡 1．已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R)．(1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，f (x )>6，即|x ＋3|－|5－x |>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x ＋3－x －5>6，解得x ≥5；或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <5，x ＋3＋x －5>6，解得4<x <5；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －5>6，解集是∅.故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|，由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5，故m 的取值范围为[－15,5]． 2．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意； 当－2<x <1时，令f (x )＝2x ＋1>1，得x >0， 即0<x <1;当x ≥1时，f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)，即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．3．(2017·长春模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x(a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集是∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0； 当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1x－1≥2a －1，当且仅当x ＝aa时等号成立，所以g (x )min ＝2a －1， 当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 4．设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R)．(1)若不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤1，求k 的值；(2)若f (1)＋f (2)<5，求k 的取值范围． 解：(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2， 即－1≤kx ≤3，所以－13≤k3x ≤1，由已知，得k3＝1，所以k ＝3.(2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|<5.当k ≤12时，－(k －1)－(2k －1)<5，得k >－1，此时－1<k ≤12；当12<k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)<5，得k <5，此时12<k ≤1；当k >1时，(k －1)＋(2k －1)<5，得k <73，此时1<k <73.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，73.5．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|<5;(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解不等式得－2<x <4，所以原不等式的解集是{x |－2<x <4}．(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．6．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围． 解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |x ≤－4.当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |－4<x <－1.当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |x >5.综上，原不等式的解集为{}x |x <－1或x >5.(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10， 故a 的取值范围是[]－8，10.7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a (其中a 为常数)．(1)若集合{x |－4≤x ≤3}是关于x 的不等式f (x )≤6的解集的子集，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3≤－4，∴a ≤－1. 即实数a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)由题可知，只需m ≥[f (n )＋f (－n )]min 即可． 令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，在(1)的条件下a ≤－1，则φ(n )＝|2n －a |＋|2n ＋a |＋2a ≥|(2n －a )－(2n ＋a )|＋2a ＝|2a |＋2a ＝0，当且仅当(2n －a )(2n ＋a )≤0，即12a ≤n ≤－12a 时取等号．∴φ(n )的最小值为0，故实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12. (2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.第二节 不等式的证明突破点 不等式的证明基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．基本不等式本节重点突破1个知识点： 不等式的证明.定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b . (2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证A B≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”比较法证明不等式[例1] 设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)，因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．综合法证明不等式[例2] 已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.[证明] 因为a ，b ，c ＞0，且互不相等，abc ＝1， 所以a ＋b ＋c ＝ 1bc＋1ac＋1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c， 即a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.[方法技巧]综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋ba≥2(ab >0)； a b ＋ba≤－2(ab <0)．分析法证明不等式[例3] (2017·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥ 3；(2)a bc ＋b ac ＋ cab≥ 3(a ＋b ＋c )． [证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．所以原不等式成立． [方法技巧]分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．1．[考点三]已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴－c ＝a ＋b ，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0. ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立．2．[考点一]已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 3．[考点二]已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc . (1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |； (2)t ·a 2＋b2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ， 所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，所以t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥2ac ，b 4＋d 4≥2bd ， 又已知t ·a 2＋b2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥2(ac ＋bd )，故t ≥2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤12；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以12≤x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |<|c －d |， 则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ac ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，其最小值为t .(1)求t 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝t ，求证：1a ＋4b ≥94. 解：(1)因为|x ＋3|＋|x －1|＝|x ＋3|＋|1－x |≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以f (x )min ＝4，即t ＝4.(2)证明：由(1)得a ＋b ＝4，故a 4＋b 4＝1，1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 4＝14＋1＋b 4a ＋a b ≥54＋2b 4a ×a b ＝54＋1＝94，当且仅当b ＝2a ，即a ＝43，b ＝83时取等号，故1a ＋4b ≥94. 2．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0解得－12<x <12， 则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0. 所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.3．(2017·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3. 解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |.要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1.(2)因为α，β≥1，f (x )＝2x －1(x ≥1)，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3. (当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立) 故4α＋1β≥3.4．(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2；(2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc . 证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2.因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .①同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0， 因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 5．已知x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1.求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy.证明：∵211－x 2＋11－y 2≤1－x 2＋1－y 22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |， ∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．6．(2017·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.7．(2017·重庆模拟)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2. 证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．8．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3. 解：(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)； 当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c＋(a ＋b ＋c ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫ b 2a ·a ＋ c 2b ·b ＋ a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )． (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.。
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版
1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔（2）判断：下列说法是否正确？①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>2.预习自测（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.【知识点】作差比较法【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >A.⇒B.⇔C.⇐D.≠【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出11a b<? 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=，因为a b >，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当0ab >时，11a b<. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.（3）如果a b >，那么a c b c +>+.（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：()ac bc c a b -=-，如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；（2）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；（3）如果0,ab a b >>，那么11a b<. 对于上述（2），可由如下方法证明：()()()()0ac bd ac bc bc bd c a b b c d -=-+-=-+->，所以ac bd >.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知0,0a b c d >>>>>. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0,0a b c d >>>>，所以110,0a b d c >>>>.所以a b d c >>. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果0,0a b c d >><<，那么ac bd <.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以两式可相乘，得ac bd ->-，所以ac bd <.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若011<<ba ，以下结论中正确的有 ①ab b a <+； ②||||b a >； ③b a <； ④02<-ab a【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由011<<ba ，得0<<ab ，所以ab b a <<+0，①正确，②③错误； 0)(2<-=-b a a ab a ，④正确法2：取2,1-=-=b a ，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果b a >，那么bc ac >；（2）如果b a >，那么22bc ac >；（3）如果b a >，那么)(*N n b a n n ∈>)(R ∈>n b a n n ；（4）如果d c b a <>,，那么d b c a ->-.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c 的正负；（2）是假命题，因为当0=c 时不成立；（3）是假命题，因为不知b a ,的正负；（4）是真命题，因为d c b a ->->,，由同向不等式的可加性知,d b c a ->-.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若2()0a b a -<，则a b <；若a b <，则2()0a b a -≤，所以“2()0a b a -<”是“a b <”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中:①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】,0a b c >≠，当0c <时，ac bc >不成立，①是假命题；a b >，当20,0c c ==时，22ac bc >不成立，②是假命题；因为22ac bc >，所以，20c >，a b >，③是真命题；,a b >当,a b 同号时，11a b <成立，而,a b 异号时，11a b <不成立，④是假命题；0,a b c d >>>时，ac bd >不一定成立，只有当0,0a b c d >>>>时，ac bd >成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果0a b <<, 那么（ ）A.0a b ->B. ac bc <C.22a b <D.11a b> 【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 1100a b b a <<⇒<< 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4.不等式22lg lg x x <的解集是（ ） A.1(,1)100 B.(100,)+∞ C.1(,1)100(100,)+∞ D.(0,1)(100,)+∞【知识点】不等式性质及对数运算. 【解题过程】：由22lg lg x x < 22lg lg x x ⇒< lg 2x ⇒>或lg 0x < 100x ⇒>或01x <<【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.2a b >B.11a b >C.11a b< D.22a b > 【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由11b -<< 201b ⇒<<, 又1a >, 2a b ∴>.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b b a 11>- B.ab a <2 C.a a b a > D.1||1||||++<a b a b 【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当012<-=<-=b a 时，b b a 11=-，141=<=a a b a ，∴选项A 、C 都不成立， 又0<<b a ，ab a >∴2，∴选项B 不成立，又0)1|(|||)1|(|||||||1||1||||<++-=+-=++-a a a b a a a b a b a b ，即1||1||||++<a b a b 成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x x ax a ∃∈++-=R ，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.2a ≥D.21a -≤≤【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p 为真命题时，要使2[1,2],0x x a ∀∈-≥，只需2min ()a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以214x ≤≤，所以2min ()1x =，所以1a ≤①；命题q 为真命题时，2,220x x ax a ∃∈++-=R ，即2220x ax a ++-=有实数根，所以2(2)4(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或②.因为p q ∧是真命题，所以,p q 均为真命题.①②取交集得2a ≤-或1a =.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知,,a b c ∈R ，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若0ab ≠，则2a b b a+≥；③若0,a b n *>>∈N ，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则,a b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a <，所以②为假命题；因为0,a b n *>>∈N ，所以n n a b >，③为真命题. ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即,a b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合()*{,,S x y z x y z =∈N 、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈可三个不等式，(),,z w x S ∈也可得三个不等式，组合之后可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有y z w <<或w y z <<或y z w <<或w x y <<，于是(),,x y w S ∉不一定成立，(),,y z w S ∉也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11a b a b +>+ C.11b b a a +>+ D.11b a b a->- 【知识点】不等式的性质 【解题过程】11110,0,a b a b b a b a >>∴>>∴+>+. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）A.ab ac >B.22cb ab <C.()0c b a ->D.()0ac a c -<【知识点】不等式的性质.【解题过程】c a <且0ac <，故0,0c a <>，由不等式的性质知A ，C ，D 都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知,a b ∈R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A.1>ba B.22b a > C.()ln 0a b -> D.21a b -> 【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设,,a b c ∈R 且a b >，则（ ）A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若0c 时,结果错,故A 不正确;选项B 中若0a b >>时,结果错,故B 不正确;选项C 中若0a b >>时,结果错,故C 不正确;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当01x <<时，下列大小关系正确的是（ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x <<【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>【知识点】比较大小.【解题过程】 1.41a =>，3231b =>，3ln 12c =<，所以c 最小，而2 1.42a =，23327b ==， 所以22a b <，即a b <，所以综上得：c a b <<.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为 ，bb a +2的取值范围为 . 【知识点】不等式的性质【解题过程】因为53,42≤<<≤b a ，所以35,1236-<-≤-<≤b a ，所以 931<-≤b a ；31151,824<≤<≤b a ，所以38254<≤b a ，所以3111259<+≤b a ，即311259<+≤b b a . 【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】)9,1[；)311,59[。
《选修4－5 不等式选讲》优秀教案
选修4－5不等式选讲全国卷错误!年考情图解高考命题规律把握高考对本章考查主要有以下两个方面：1绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立❶定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb－c≥0时，等号成立2绝对值不等式的解法1含绝对值不等式||＜a与||＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0||＜a 错误!∅∅||＞a {|＞a或＜－a}{|∈R且≠0}R2|a＋b|≤cc＞0和|a①|a＋b|≤c⇔－c≤a＋b≤c；②|a＋b|≥c⇔a＋b≥c或a＋b≤－c3|－a|＋|－b|≥cc＞0和|－a|＋|－b|≤cc＞0型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大小值时，应特别注意2定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0分区间讨论时，要注意以下两点：1不要把分成的区间的端点遗漏2原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集[熟记常用结论]错误![小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若||＞c的解集为R，则c≤02不等式|－1|＋|＋2|＜2的解集为∅3对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立4对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立答案：1×2√3×4×二、选填题，b为满足ab＜0的实数，那么A|a＋b|＞|a－b|B|a＋b|＜|a－b|C|a－b|＜||a|－|b|| D|a－b|＜|a|＋|b|解析：选B∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|2不等式3≤|5－2|＜9的解集为A[－2,1∪[4,7 B－2,1]∪4,7]C－2，－1]∪[4,7 D－2,1]∪[4,7解析：选D由题意得错误!即错误!解得错误!不等式的解集为－2,1]∪[4,73不等式|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，则a＋b的值为A－2 B2C8 D－8解析：选C∵|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，∴b＞0，由|2－a|＜b，得－b＜2－a＜b，即错误!＜＜错误!∴错误!＝4，∴a＋b＝8，故选C4不等式|＋1|－|－2|≥1的解集是________解析：令f＝|＋1|－|－2|＝错误!当－1＜＜2时，由2－1≥1，解得1≤＜≥2时，f＝3＞错误!答案：错误!＝|－4|＋|＋4|的最小值为________解析：因为|－4|＋|＋4|≥|－4－＋4|＝8，所以所求函数的最小值为8答案：8考点一绝对值不等式的解法[师生共研过关][典例精析]2021·洛阳第一次统考已知函数f＝错误!|－a|a∈R1当a＝2时，解不等式错误!＋f≥1；2设不等式错误!＋f≤的解集为M，若错误!⊆M，求实数a的取值范围[解]1当a＝2时，原不等式可化为|3－1|＋|－2|≥3①当≤错误!时，原不等式可化为－3＋1＋2－≥3，解得≤0，所以≤0；②当错误!＜＜2时，原不等式可化为3－1＋2－≥3，解得≥1，所以1≤＜2；③当≥2时，原不等式可化为3－1＋－2≥3，解得≥错误!，所以≥2综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{|≤0或≥1}2不等式错误!＋f≤可化为|3－1|＋|－a|≤3，依题意知不等式|3－1|＋|－a|≤3在错误!上恒成立，所以3－1＋|－a|≤3，即|－a|≤1，即a－1≤≤a＋1，所以错误!解得－错误!≤a≤错误!，故所求实数a的取值范围是错误![解题技法]解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a∈R＋，||＜a⇔－a＜＜a，||＞a⇔＜－a或＞a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解[过关训练]已知函数f＝|＋1|－|2－3|1画出＝f的图象；2求不等式|f|＞1的解集解：1由题意得f＝错误!故＝f的图象如图所示2由f的表达式及图象可知，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f＞1的解集为{|1＜＜3}；f＜－1的解集为错误!所以|f|＞1的解集为错误!考点二绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析] 2021·银川模拟设函数f＝2－－15，且|－a|＜11解不等式|f|＞52求证：|f－fa|＜2|a|＋1[解]1因为|2－－15|＞5，所以2－－15＜－5或2－－15＞5，即2－－10＜0或2－－2021，解得错误!＜＜错误!或＜－4或＞5，所以不等式|f|＞5的解集为错误!2证明：因为|－a|＜1，所以|f－fa|＝|2－－15－a2－a－15|＝|－a＋a－1|＝|－a|·|＋a－1|＜1·|＋a－1|＝|－a＋2a－1|≤|－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2|a|＋1，即|f－fa|＜2|a|＋1[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式[过关训练]若对于实数，有|1－|≤2，|＋1|≤1，求|2＋3＋1|的最大值解：因为|2＋3＋1|＝|2－1＋3＋1|≤2|－1|＋3|＋1|≤7，所以|2＋3＋1|的最大值为7考点三含绝对值不等式的综合问题[师生共研过关][例1]2021·辽宁五校联合体模拟已知函数f＝|－a|＋|2－a|a∈R1若f1＜11，求a的取值范围；2若∀a∈R，f≥2－－3恒成立，求的取值范围[解]1f1＝|1－a|＋|2－a|＝错误!当a≤1时，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；当1＜a＜2时，1＜11恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7综上，a的取值范围是－4,72∵∀a∈R，f≥2－－3恒成立，又f＝|－a|＋|2－a|≥|－a－2－a|＝||，∴||≥2－－3，∴错误!或错误!解得0≤≤3或－错误!≤＜0，∴的取值范围是[－错误!，3][例2]2021·南昌模拟设函数f＝|2＋3|＋|－1|1解不等式f＞4；2若存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立，求实数a的取值范围[解]1由已知，得f＝错误!∴f＞4⇔错误!或错误!或错误!⇔＜－2或0＜≤1或＞1综上，不等式f＞4的解集为－∞，－2∪0，＋∞2存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立⇔a＋1＞f min，∈错误!由1得，∈错误!时，f＝＋4，f min＝错误!，∴a＋1＞错误!，∴a＞错误!，∴实数a的取值范围为错误![解题技法]1含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法1分离参数法：运用“f≤a⇔f ma≤a，f≥a⇔f min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值2更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法3数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题2不等式能成立问题1在区间D上存在实数使不等式f＞A成立，等价于在区间D上f ma＞A；2在区间D上存在实数使不等式f＜B成立，等价于在区间D上f min＜B3不等式恰成立问题1不等式f＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f＞A的解集为D；2不等式f＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f＜B的解集为D[过关训练]12021·惠州第一次调研已知函数f＝|2－1|＋|＋1|，g＝|－a|＋|＋a|1解不等式f＞9；2若∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围解：1f＝错误!f＞9等价于错误!或错误!或错误!解得＞3或＜－3，所以原不等式的解集为{|＞3或＜－3}2∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，等价于f min≥g min因为g＝|－a|＋|＋a|≥2|a|，由1知f≥f 错误!＝错误!，所以2|a|≤错误!，解得－错误!≤a≤错误!，所以实数a的取值范围是错误!22021·全国卷Ⅰ已知函数f＝－2＋a＋4，g＝|＋1|＋|－1|1当a＝1时，求不等式f≥g的解集；2若不等式f≥g的解集包含[－1,1]，求a的取值范围解：1当a＝1时，不等式f≥g等价于2－＋|＋1|＋|－1|－4≤0①当＜－1时，①式化为2－3－4≤0，无解；当－1≤≤1时，①式化为2－－2≤0，从而－1≤≤1；当＞1时，①式化为2＋－4≤0，从而1＜≤错误!所以f≥g的解集为错误!2当∈[－1,1]时，g＝2所以f≥g的解集包含[－1,1]，等价于当∈[－1,1]时，f≥2又f在[－1,1]的最小值必为f－1与f1之一，所以f－1≥2且f1≥2，得－1≤a≤1 所以a的取值范围为[－1,1]错误! 12021·沈阳模拟已知函数f＝|－1|＋|－a|1若函数f的值域为[2，＋∞，求实数a的值；2若f2－a≥f2，求实数a的取值范围解：1∵|－1|＋|－a|≥|－1－－a|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－12由f2－a≥f2，得3|a－1|－|a－2|≥1，则错误!或错误!或错误!解得a≤0或错误!≤a≤2或a＞2，综上，实数a的取值范围是－∞，0]∪错误!＝|2＋3|－|2－1|1求不等式f＜2的解集；2若存在∈R，使得f＞|3a－2|成立，求实数a的取值范围解：1不等式f＜2等价于错误!或错误!或错误!解得＜－错误!或－错误!≤＜0，∴不等式f＜2的解集是－∞，02∵f≤|2＋3－2－1|＝4，∴f ma＝4，∴|3a－2|＜4，解得－错误!＜a＜2，∴实数a的取值范围是错误!32021·成都模拟已知函数f＝|－2|＋|＋1|，∈R1当＝1时，若不等式f＜4的解集为{|1＜＜2}，求1＋2的值；2当∈R时，若关于的不等式f≥恒成立，求的最大值解：1由题意，得|－2|＋|＋1|＜4当＞2时，原不等式可化为2＜5，∴2＜＜错误!；当＜－1时，原不等式可化为－2＜3，∴－错误!＜＜－1；当－1≤≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤≤2综上，原不等式的解集为错误!，即1＝－错误!，2＝错误!∴1＋2＝12由题意，得|－2|＋|＋1|≥在∈R上恒成立，则当＝2时，不等式3≥成立，∴≥0①当≤－2或≥0时，∵|＋1|≥1，∴不等式|－2|＋|＋1|≥恒成立②当－2＜≤－1时，原不等式可化为2－－－≥，可得≤错误!＝－1＋错误!，∴≤3③当－1＜＜0时，原不等式可化为2－＋＋≥，可得≤1－错误!，∴＜3综上，可得0≤≤3，即的最大值为342021·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f＞1的解集；2若∈0,1时不等式f＞成立，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f＞1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|＞成立，等价于当∈0,1时|a－1|＜1成立若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不满足题意；若a＞0，则|a－1|＜1的解集为错误!，所以错误!≥1，故0＜a≤2综上，a的取值范围为0,2]52021·甘肃第二次诊断检测设函数f＝|－3|，g＝|－2|1解不等式f＋g＜2；2对于实数，，若f≤1，g≤1，证明：|－2＋1|≤3解：1解不等式|－3|＋|－2|＜2①当＜2时，原不等式可化为3－＋2－＜2，可得＞错误!，所以错误!＜＜2②当2≤≤3时，原不等式可化为3－＋－2＜2，可得1＜2，所以2≤≤3③当＞3时，原不等式可化为－3＋－2＜2，可得＜错误!，所以3＜＜错误!综上，不等式f＋g＜2的解集为错误!2证明：|－2＋1|＝|－3－2－2|≤|－3|＋2|－2|≤1＋2＝3，当且仅当错误!或错误!时等号成立＝5－|＋a|－|－2|1当a＝1时，求不等式f≥0的解集；2若f≤1，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝错误!。
选修4-5-不等式选讲 课件
(2)由函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象可知，当且仅当 a≥12或 a<－2 时，函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交点．故不等式 f(x)≤ax 的解集 非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪12，＋∞.
3．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，
当 x＜－7 时，原不等式为
－(x＋7)＋(3x－4)＋ 2－1＞0，
得 x＞6－ 22，与 x＜－7 矛盾；
综上，不等式的解为－12－
42＜x＜5＋
2 2.
考[例向2二] (2绝012对年值高不考等江苏式卷的)已证知明实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，
求证：|y|<158.
综上所述得x<1且x≠－1，故选D.
答案：D
3．(2013年青岛模拟)若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实 数x均成立，则实数a的最大值是( )
A．7
B．9
C．5
D．11
解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝ (x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋ 5≥5.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只 需a≤5即可，从而a的最大值为5.
1．(2013 年南京模拟)解不等式|x＋7|－|3x－4|＋ 3－2 2＞0. 解析：原不等式化为|x＋7|－|3x－4|＋ 2－1＞0， 当 x＞43时，原不等式为 x＋7－(3x－4)＋ 2－1＞0， 得 x＜5＋ 22，即43＜x＜5＋ 22； 当－7≤x≤43时，原不等式为 x＋7＋(3x－4)＋ 2－1＞0， 得 x＞－12－ 42， 即－12－ 42＜x≤43；
最新人教版高中数学选修4-5《不等式和绝对值不等式》本讲综述
第一讲不等式和绝对值不等式本讲综述在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况.不等式在解决实际问题中有着广泛的应用.不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，生活中存在着大量的不等关系，我们要学会理解它们的数学意义，增强应用数学的意识，从而激发学习兴趣.本讲知识是在原来学习的不等式的基础上的延伸和拓广，也是学习本讲后续章节的一个基础，起着一种承上启下的作用.本章所学知识在现实生产与生活中有着较为广泛的应用，并且与函数、数列、向量等知识有着密切的联系，所以通过本章知识的学习对培养大家在丰富数学知识、加强知识之间的内部联系、完善数学思维能力、提高数学的应用意识及动手能力等方面，都有着重要的促进作用.同时对培养大家的数学兴趣、认真态度、锲而不舍的科学探索精神和正确的人生观、世界观、价值观等都有着十分重要的指导意义.本讲知识的重点是两个正数、三个正数的平均值不等式的应用以及含绝对值不等式的解法，难点是利用基本不等式和绝对值三角不等式等证明不等式，疑点是对上述不等式的几何意义的直观理解.本讲所学不等式大都有比较明确的几何背景，把握这些几何背景，对我们理解这些不等式的实质是非常重要的.所以在学习本讲知识的过程中，应尽量避免过分复杂化和技巧化的代数恒等变形，尽可能地借助几何直观来证明这些基本而重要的不等式，从中领悟数形结合等重要的数学思想方法在研究不等式中的作用，同时在利用平均值不等式进行求最值以及证明不等式的时候，要对所给的式子进行适当转化，使之符合不等式的应用条件，并且在绝对值不等式的证明和求解过程中应注意理解数形结合、等价转化和分类讨论等数学思想方法的应用.所以通过本讲知识的学习，应注意体会和加强上述数学思想与方法的运用.学习本讲知识要注意复习和回顾前面我们学习过的不等式的基本知识，掌握一元一次、一元二次不等式，整式方程、函数等知识相互之间的联系，以便对不等式知识有一个较为准确、完整的了解与认识.要熟练掌握不等式的性质、基本不等式的应用.其中绝对值不等式的解法是关键内容，同时在研究不等式的过程中要善于抓住不等式的几何意义这一关键环节去体会数形结合、等价转化等数学思想方法的运用.。
选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列13
选修4_5 不等式选讲课 题： 第13课时 几个著名的不等式之三：平均不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。
2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。
推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33a b cc b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式： ①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式： na a a n+++ 21≥nna a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
选修4-5 不等式选讲
选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.❶定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法：(2)|ax ＋b |≤c (c ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大(小)值时，应特别注意. (2)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0. 分区间讨论时，要注意以下两点： (1)不要把分成的区间的端点遗漏.(2)原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.[熟记常用结论]常用绝对值不等式的性质(1)|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |；(2)|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立.( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、选填题1.设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( ) A.|a ＋b |＞|a －b | B.|a ＋b |＜|a －b | C.|a －b |＜||a |－|b ||D.|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |. 2.不等式3≤|5－2x |＜9的解集为( ) A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7] C.(－2，－1]∪[4,7)D .(－2,1]∪[4,7)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|＜9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9＜2x －5＜9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).3.不等式|2x －a |＜b 的解集为{x |－1＜x ＜4}，则a ＋b 的值为( ) A.－2 B.2 C.8D.－8解析：选C ∵|2x －a |＜b 的解集为{x |－1＜x ＜4}， ∴b ＞0，由|2x －a |＜b ，得－b ＜2x －a ＜b ，即a －b 2＜x ＜a ＋b 2.∴a ＋b 2＝4，∴a ＋b ＝8，故选C. 4.不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________. 解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2.当－1＜x ＜2时，由2x －1≥1，解得1≤x＜2.又当x ≥2时，f (x )＝3＞1恒成立.所以不等式的解集是{}x |x ≥1.答案：{}x |x ≥15.函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________. 解析：因为|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8， 所以所求函数的最小值为8. 答案：8考点一 绝对值不等式的解法 [师生共研过关][典例精析](2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎡⎦⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. [解] (1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3. ①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3， 解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}.(2)不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在⎣⎡⎦⎤13，12上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. [解题技法]解绝对值不等式的常用方法[过关训练]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集.解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32.故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 考点二 绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析](2019·银川模拟)设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |＜1. (1)解不等式|f (x )|＞5.(2)求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1). [解] (1)因为|x 2－x －15|＞5，所以x 2－x －15＜－5或x 2－x －15＞5， 即x 2－x －10＜0或x 2－x －20＞0，解得1－412＜x ＜1＋412或x ＜－4或x ＞5，所以不等式|f (x )|＞5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－4或1－412＜x ＜1＋412或x ＞5.(2)证明：因为|x －a |＜1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|＜1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|＜1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1 ＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.[过关训练]若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值. 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)| ≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.考点三 含绝对值不等式的综合问题 [师生共研过关][例1] (2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R ). (1)若f (1)＜11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围. [解] (1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1＜a ＜2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a ＜11，解得a ＞－4，∴－4＜a ≤1； 当1＜a ＜2时，1＜11恒成立；当a ≥2时，2a －3＜11，解得a ＜7，∴2≤a ＜7. 综上，a 的取值范围是(－4,7). (2)∵∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， ∴|x |≥x 2－x －3，∴⎩⎨⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x ＜0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0，∴x 的取值范围是[－3，3].[例2] (2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1＞f (x )成立，求实数a 的取值范围. [解](1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧－3x －2，x ＜－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x ＞1，∴f (x )＞4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－3x －2＞4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4＞4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x ＋2＞4⇔x ＜－2或0＜x ≤1或x ＞1. 综上，不等式f (x )＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).(2)存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1 使不等式a ＋1＞f (x )成立⇔a ＋1＞f (x )min ，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52， ∴a ＋1＞52，∴a ＞32，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. [解题技法]1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法：运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题.求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值； ③利用性质“||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |”求最值.(2)更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题.2.不等式能成立问题(1)在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，等价于在区间D 上f (x )max ＞A ； (2)在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，等价于在区间D 上f (x )min ＜B . 3.不等式恰成立问题(1)不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ； (2)不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .[过关训练]1.(2018·惠州第一次调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围.解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9，解得x ＞3或x ＜－3，所以原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}.(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，等价于f (x )min ≥g (x )min . 因为g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |， 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32， 所以2|a |≤32，解得－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34. 2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1].[课时跟踪检测] 1.(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值； (2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围.解：(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1. (2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a ＞2，综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 2.已知f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )＜2的解集；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －2|成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)不等式f (x )＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－(2x ＋3)＋(2x －1)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，(2x ＋3)＋(2x －1)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，(2x ＋3)－(2x －1)＜2，解得x ＜－32 或－32≤x ＜0，∴不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0).(2)∵f (x )≤|(2x ＋3)－(2x －1)|＝4，∴f (x )max ＝4， ∴|3a －2|＜4，解得－23＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，2. 3.(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值. 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜52，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k 在x ∈R 上恒成立， 则当x ＝2时，不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. ①当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立. ②当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.③当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ，∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.4.(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1. 故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立，等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立.若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不满足题意；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0＜x ＜2a ， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2].5.(2018·甘肃第二次诊断检测)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋g (x )＜2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3.解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|＜2.①当x ＜2时，原不等式可化为3－x ＋2－x ＜2，可得x ＞32，所以32＜x ＜2. ②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2＜2，可得1＜2，所以2≤x ≤3.③当x ＞3时，原不等式可化为x －3＋x －2＜2，可得x ＜72，所以3＜x ＜72. 综上，不等式f (x )＋g (x )＜2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜72. (2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立.6.设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1；当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立.故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).7.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧ －3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.8.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋8m ＋|x －2m |(m ＞0). (1)求证：f (x )≥8恒成立；(2)求使得不等式f (1)＞10成立的实数m 的取值范围.解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m ＞0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋8m ＋|x －2m |≥⎪⎪⎪⎪x ＋8m －(x －2m ) ＝⎪⎪⎪⎪8m ＋2m ＝8m ＋2m ≥2 8m·2m ＝8， 当且仅当8m＝2m ，即m ＝2时取等号. 所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)＝⎪⎪⎪⎪1＋8m ＋|1－2m |(m ＞0)， 当 1－2m ＜0，即m ＞12时，f (1)＝1＋8m －(1－2m )＝8m ＋2m ， 由f (1)＞10，得8m ＋2m ＞10，化简得m 2－5m ＋4＞0，解得m ＜1或m ＞4，所以12＜m ＜1或m ＞4； 当1－2m ≥0，即0＜m ≤12时，f (1)＝1＋8m ＋(1－2m )＝2＋8m －2m . 由f (1)＞10，得2＋8m －2m ＞10，此式在0＜m ≤12时恒成立. 综上，当f (1)＞10时，实数m 的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞). 第二节不等式的证明1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 2.比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证A B ≥1.3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )答案：(1)× (2)√ (3)×二、选填题1.已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为( )A.1B.2C.4D.8 解析：选B ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立).故选B. 2.若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( )A.x ＞yB.x ＜yC.x ≥yD.x ≤y解析：选A x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab. 由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y . 3.若a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A.b ＋m a ＋m ≥b aB.b ＋m a ＋m ＞b aC.b ＋m a ＋m ≤b aD.b ＋m a ＋m ＜b a解析：选B ∵a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ，∴b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )＞0， 即b ＋m a ＋m ＞b a，故选B. 4.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________.解析：∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .答案：s ≥t5.已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析：由a ＋b ＋c ＝1，得1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 故1a ＋1b ＋1c 的最小值为9.答案：9考点一 比较法证明不等式 [师生共研过关][典例精析]设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).[证明] ∵a ，b 是非负实数，∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5].当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a ＜b 时，a ＜ b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]＞0.故a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).[解题技法]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负.作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小.[过关训练]已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明：(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2.因为a ，b 都是正数，所以a ＋b ＞0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2＞0.于是(a ＋b )(a －b )2＞0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.考点二 综合法证明不等式[师生共研过关][典例精析]已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ·a b＋4＝8， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [解题技法]1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0.(2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有 a ＋1a ≥2(a ＞0)；a b ＋b a ≥2(ab ＞0)； a b ＋ba ≤－2(ab ＜0).(5)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[过关训练]已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1.求证：(1)(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8；(2)a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c. 证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ，三式相乘得(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8.(2)1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ac ， ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ，bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号， 三式相加化简得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c. 考点三 分析法证明不等式 [师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b ).[解] (1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；②当－1＜x ＜－12时， 不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.[解题技法]1.分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b 2，a ＞0，b ＞0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有…只需证明命题B 2为真，从而有………只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真.[过关训练]已知a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即证(a －c )2＜c 2－ab ，即证a 2－2ac ＜－ab .因为a ＞0，所以只要证a －2c ＜－b ，即证a ＋b ＜2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立. [课时跟踪检测]1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解：(1)由22＝1a ＋1b ≥2 1ab ，得ab ≥12， 当a ＝b ＝22时取等号. 故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号. 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由(a －b )2≥4(ab )3，得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2.又ab ＋1ab ≥2，当且仅当ab ＝1时取等号.所以ab ＝1.3.已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1].(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ].因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1， 因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c 2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2 a 2b ·2b a ＋2 a 3c ·3c a ＋2 2b 3c ·3c 2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立.因此a ＋2b ＋3c ≥9.4.(2019·南宁联考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4. 解：(1)当x ≥1时，原不等式可化为x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43； 当0＜x ＜1时，原不等式可化为1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，原不等式可化为1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≥43或x ≤－23. (2)证明：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴两式相加得⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立.5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，求a 的值；(2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92m. 解：(1)因为a ＞0，所以f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a －1，x ＜－1，a ＋1，－1≤x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}， 解得a ＝2.(2)证明：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )2m＝1＋b ＋c a ＋b ＋c ＋a a ＋b ＋1＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋1＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c c ＋a 2m＝3＋b ＋ca ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋b ＋c c ＋a ＋a ＋b c ＋a ＋c ＋a a ＋b 2m≥92m ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝m 3时，取等号. 6.设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立. 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}.(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.7.已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧ －3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103； 当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8，无解； 当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|＞|a －b |.因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立.8.设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立.(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3).解：(1)∵∀x ∈R ，1m－4≥f (x )恒成立， ∴m ＋1m≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立. 令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3，x ＜－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x ＞3，则函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (3)＝2，∴m ＋1m≥g (x )max ＝2， 即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m≥0，∴m ＞0. 综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞).(2)证明：由m ＞0，知m ＋3＞m ＋2＞m ＋1＞1， 即lg(m ＋3)＞lg(m ＋2)＞lg(m ＋1)＞lg 1＝0. ∴要证log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3).只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)＞lg (m ＋3)lg (m ＋2)， 即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)＜lg 2(m ＋2). 又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)22 ＝[lg (m ＋1)(m ＋3)]24＜[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3)成立.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么n n b a >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nn b a >(n ∈N ，且n>1)。
三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >。
四、练习：五、作业：选修4_5 不等式选讲课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。
a -图1-1 a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。
如图1-2所示。
–a a图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
方法1：分域讨论★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？） 例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。
原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5。
因为1，2的距离为1，所以x 在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）)2÷；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2。
这就是说，4≥x 或.1-≤x例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
三、小结：四、练习：解不等式1、 .1122>-x2、01314<--x3、 423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、 1422<--x x6、 212+>-x x .7、 42≥-+x x8、 .631≥++-x x9、 21<++x x 10、 .24>--x x五、作业：选修4_5 不等式选讲课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b baba 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b baba 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( （2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明 c b c a b a -+-≤-。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）2,2c b y c a x <-<- ， ∴c cc b y a x =+<-+-22 （2） 由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()( 例5、已知.6,4ay a x <<求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x <<，∴23,22a y a x <<， 由例1及上式，a aa y x y x =+<+≤-223232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结： 四、练习：1、已知.2,2cb Bc a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知.6,4cb yc a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、作业：链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。
关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。
我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式121+≤-+-x x x 。
题意即是在数轴上找出到11=ξ与22=ξ的距离之和不大于到点13-=ξ的距离的所有流动点x 。
首先在数轴上找到点11=ξ，22=ξ，13-=ξ（如图）。
3ξ 1x 1ξ 2ξ 2x x -1 0 1 2 3从图上判断，在1ξ与2ξ之间的一切点显示都合乎要求。
事实上，这种点到1ξ与2ξ的距离和正好是1，而到3ξ的距离是)21(1)1(2≤≤+=-+x x x 。
现在让流动点x 由点1ξ向左移动，这样它到点3ξ的距离变，而到点1ξ与2ξ的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于13-=ξ与11=ξ之间的某一个点1x 。
由),1()2()1(111--≤-+-x x x 可得.321≥x 再让流动点x 由点2ξ向右移动，虽然这种点到1ξ与2ξ的距离的和及到3ξ的距离和都在增加，但两相比较，到1ξ与2ξ的距离的和增加的要快。