北师大附中上学期高一数学月考试卷
2022-2023学年全国高中高一上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知全集，，，则( )A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A.，B.，C.，D.，3. 若，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 A.B.U =R A ={x |−2x <0}x 2B ={x |x ≥1}A ∪(B)=∁U (0,+∞)(−∞,1)(−∞,2)(0,1)∀x ≥0−2x ≥1e x ∀x ≥0−2x <1e x ∀x <0−2x <1e x ∃x ≥0−2x <1e x ∃x <0−2x <1e x a ∈R a >2|a|>2y =mx −1m +4mx +3x 2R m ()(0,]34(0,)340,]3C.D.5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.6. 不等式的解集为( )A.B.C. D.7. 已知，则( )A.B.C.D.8. 已知函数的定义域为，且是偶函数，若，在上单调递增，则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）[0,]34[0,)34a =3+log 2log 23–√b =9−log 2log 23–√c =2log 3a b c a =b <ca =b >ca <b <ca >b >c5−>4x x 2(−∞,−5)∪(1,+∞)(−∞,−1)∪(5,+∞)(−1,5)(−5,1)f (x +1)=x +2f (0)=12−1f (x)R f (x +1)f (2)=3f (x)(−∞,1]f (2x −1)>3(−∞,)∪(,+∞)1232(,)1232(−∞,1)∪(3,+∞)(1,3)(x)={，−2≤x <1，29. 已知函数关于函数的结论正确的是( )A.的定义域为B.的值域为C.若，则的值是D.的解集为10. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则可能为( )A.B.C.D.11. 已知，则 A.为奇函数B.为偶函数C.在上单调递增D.在上单调递减12. 已知，且，则下列说法中正确的有（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）f (x)={，−2≤x <1，x 2−x +2，x ≥1，f (x)f (x)Rf (x)(−∞,4]f (x)=2x −2–√f (x)<1(−1,1)a +2>b >0x (+2a)+2bx −≤0a 2x 2b 24a 012231f (x)=1−2x1+2x ()f (x)f (x)f (x)R f (x)R x >0,y >02x +y =2xy 124+x 2y 22+4x 2y 4+2x xy 4π13. 若点在函数的图象上，则的值为________． 14. 函数的定义域为________．15. 已知函数 若存在实数 ，当时，满足，则的取值范围是________．16. 已知函数 有以下结论：①任意 ，等式 恒成立；②任意 ，方程 有两个不等实数根；③存在无数个实数，使得函数 在上有个零点；④函数 在区间 上单调递增.其中正确结论有________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数＝．（1）当＝时，求函数在的值域；（2）若存在零点，求的取值范围． 18. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．19. 已知函数，且满足，.求函数的解析式；判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论.20. 已知正实数，，，满足.证明：；证明：. 21.已知实数满足关系式（且，且)．若，求的表达式；在的条件下，若当时，有最小值，求和的值．(a,27)y =x 3tan πaf (x)=(2x −1)log 2f(x)={|x|，0<x <4,log 4sin(x −)，4≤x ≤12,π4π2,,,x 1x 2x 3x 4<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2f (x)=,x ∈(−1,1)x |x|−1x ∈(−1,1)f (−x)+f (x)=0m ∈[0,+∞)|f (x)|=m k g(x)=f (x)−kx (−1,1)3f (x)(−1,1)f(x)2a ⋅−−14x 2x a 1f(x)x ∈[−3,0]f(x)a A {x |0≤x ≤2}B {x |a ≤x ≤3−2a}(A)∪B ∁U R a A ∩B ≠B a f(x)=2x +ax +b f(2)=13f(9)=32(1)f(x)(2)f(x)[0,+∞)a b c ab +bc +ac =abc (1)a +b +c ≥9(2)++≥1b a 2c b 2a c 2t =log a t a 3log t y a3a >0a ≠1t >0t ≠1(1)t =a x y =f(x)(2)(1)x ∈(0,2]y 8a x22. 22已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(2-x)=f(x-D),且方程f(x)=x有两个相等的安根(1)求f(x)的解析式(2)设g(x)=kx+1,若F(x)=g(x)-f(x),求F(x)在[,2上的最小值3)是存在实数m,川(m 11参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法才能正确解答此题．【解答】解：由题意得，.∵全集，，∴，则.故选．2.【答案】C【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定为特称命题即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题“，”的否定是“，”.故选.3.Venn A =(0,2)U =R B ={x |x ≥1}B =(−∞,1)∁U A ∪(B)=(−∞,2)∁U C ∀x ≥0−2x ≥1e x ∃x ≥0−2x <1e x C【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知 ，解得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选.4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的定义域为，则对于任意，有恒不等于成立，然后分和讨论求解．当时需要分母所对应方程的判别式小于．【解答】解：∵的定义域为，当，∴满足题意；当时，由，解得．综上，当，即时，函数的定义域为．故选．5.【答案】B【考点】|a|>2a <−2a >2a >2|a|>2A y =mx −1m +4mx +3x 2R x ∈R m +4mx +3x 20m =0m ≠0m ≠00y =mx −1m +4mx +3x 2R m =0m +4mx +3=3x 2m ≠0Δ=16−12m <0m 20<m <340≤m <34m ∈[0,)34y =mx −1m +4mx +3x 2R D不等式比较两数大小【解析】利用对数的运算性质可求得，，而，从而可得答案．【解答】解：∵，，∴，又，∴．故选：．6.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即解得，所以不等式的解集为.故选．7.【答案】A【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】用换元法，设，得，从而得，即，即可求出结果.【解答】a =3log 23–√b =3>1log 23–√0<c =2<1log 3a =3+=3log 2log 23–√log 23–√b =9−==3>1log 2log 23–√log 293–√log 23–√a =b >10<c =2<1log 3a =b >c B +4x −5<0x 25−>4x x 2+4x −5<0x 2(x +5)(x −1)<0−5<x <1(−5,1)D x +1=t x f (t)f (x)解：设，则.由，得，即，则．故选．8.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】答案未提供解析．【解答】解：因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，因为在上单调递增，所以等价于，即．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】利用分段函数的定义域、值域、自变量等知识对四个选项逐一进行判断正误即可.【解答】x +1=t x =t −1f (x +1)=x +2f (t)=(t −1)+2=t +1f (x)=x +1f(0)=0+1=1A f (x +1)f (x)x =1f (0)=f (2)=3f (x)(−∞,1]f (2x −1)>30<2x −1<2<x <1232B A f (x)[−2,1)∪[1,+∞)[−2,+∞)A解：，的定义域为，即，故错误；，当时，，当时，，则的值域为，即，故正确；，当时，，此时或(舍去)，当时，，(舍去)，故的值为，故正确；，当时，，此时，即，当时，，此时，即，综上可得的解集为，故错误.故选.10.【答案】B,C【考点】一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：，由于该不等式的解集中的整数恰有个，则有，，故．由不等式，解得.要使该不等式的解集中的整数恰有个，且，那么，得.又，所以，则.故选．11.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】可先得出的定义域为，求，从而得出为奇函数，根据指数函数的单调性便可看出增大时，减小，从而得到在上单调递减，这样便可找出正确选项．A f (x)[−2,1)∪[1,+∞)[−2,+∞)A B −2≤x <10≤f (x)≤4x ≥1f (x)≤1f (x)[0,4]∪(−∞,1](−∞,4]B C −2≤x <1f (x)==2x 2x =−2–√2–√x ≥1f (x)=−x +2=2x =0x −2–√C D −2≤x <1f (x)=<1x 2−1<x <1−1<x <1x ≥1f (x)=−x +2<1x >1x >1f (x)<1(−1,1)∪(1,+∞)D BC (+2a)+2bx −≤0a 2x 2b 24+2a >0a 2a +2>0a>0(+2a)a 2+2bx −≤0x 2b 2−≤x ≤b a b a +240<<1b a +2−4<≤−3−b a 3a ≤b <4a a +2>b a +2>3a 0<a <1BC f (x)R f (−x)=−f (x)f (x)x f (x)f (x)R【解答】解：，，的定义域是，定义域关于原点对称，，是奇函数，故正确，错误；，设，且，则，，，，，，，即，，在上为减函数，故错误，正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据均值不等式逐项分析解答【解答】解：，，， 由均值不等式 ，，，当且仅当，即，时，“”成立， ，故正确；，，当且仅当，即，时，“”成立，，故错误；，由均值不等式，，∵>02x 1+>12x ∴f (x)=1−2x1+2xR f (−x)===−f (x)1−2−x 1+2−x −12x +12x ∴f (x)A B f (x)==−1+1−2x 1+2x 21+2x ∀,∈(−∞,+∞)x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()=−1++1−x 1x 221+2x 121+2x 2=2(−)2x 22x 1(1+)(1+)2x 12x 2∵<x 1x 2∴0<<2x 12x 2∴−>02x 22x 11+>02x 11+>02x 2∴>02(−)2x 22x 1(1+)(1+)2x 12x 2f ()−f ()>0x 1x 2∴f ()>f ()x 1x 2∴f (x)R C D AD ∵x >0y >02x +y =2≤≤ab −−√a +b 2+a 2b 22−−−−−−√A ∵=1≥2x +y 22xy −−−√2x =y x =12y =1=∴xy ≤12A B ∵=1≤2x +y 24+x 2y 22−−−−−−−−√2x =y x =12y =1=∴4+≥2x 2y 2B C +=+≥2=2=44x 2y 22x 2y 22x+y −−−−√22−−√=1当且仅当，当且仅当，即，时，“”成立，，故正确；，，，由均值不等式，， 当且仅当，即时“”成立，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点代入，求出的值，再计算的值．【解答】解：把点代入得，，解得，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．=4x 2y 2x =y x =12y =1=∴+≥44x 2y C D ∵2x +y =2∴x +=1y 2(+)(x +)=2+++2x x y y 2y x x 2y x 2=2++y x x (2x +y)2y ≥2+2⋅y x x (2x +y)2y −−−−−−−−−−−−√=2+2=42x +y 2−−−−−−√=y x x (2x +y)2y x =y =23=D ACD 3–√(a,27)y =x 3a tanπa (a,27)y =x 3=27a 3a =3tan ==πaπ33–√3–√(，+∞)12f(x)【解答】解：函数，，解得；∴的定义域为．故答案为：.15.【答案】【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，函数画出函数的图象，如图所示，令，则 .由图象可知，设 和函数 的图象有四个交点，可得 ，其中 ，则 ，解得 ，且，则,所以 ，其中 .设，则当时，函数单调递增，则，所以的取值范围是 .故答案为：.f(x)=(2x −1)log 22x −1>0x >12f(x)(，+∞)12(,+∞)12(−2，10)f(x)={|x|,0<x <4，log 4sin(x −),4≤x ≤12π4π2={|x|,0<x <4,log 4−cos(x),4≤x ≤12,π4y =a 0<a <1y =a y =f(x)0<<<4<<8<<12x 1x 2x 3x 4=−log 4x 1log 4x 2+==0log 4x 1log 4x 2log 4x 1x 2=1x 1x 2+=16x 3x 4=16−x 4x 3⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2=1×(16−)−50×1x 3x 3=−+16−50=−(−8+14x 23x 3x 3)24<<6x 3g(x)=−(x −8+14)2x ∈(4,6)g(x)g(4)=−2,g(6)=10⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2(−2,10)(−2，10)16.【答案】①③【考点】函数恒成立问题根的存在性及根的个数判断奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：①，即函数为奇函数，∴ 恒成立，∴①正确；由①知 为奇函数，∴ 为偶函数，当时，即时，方程 只有一个实根，∴②错误；③由得，，∴，即是函数的一个零点，又函数 为奇函数，且在上单调递减，∴可以存在无数个实数，使得函数在上有个零点，∴③正确；④当 时，为减函数，当时，f (x)=,x ∈(−1,1)x |x|−1f (−x)==−=−f (x),x ∈(−1,1)−x |x|−1x |x|−1f (x)f (−x)+f (x)=0f (x)=,x ∈(−1,1)x |x −1|f (x)|x =0|f (0)|=0m =0|f (x)|=m g(x)=f (x)−kx =0f (x)=kx f (0)=0x =0f (x)(−1,1)k g(x)=f(x)−kx(−1,1)3x ∈[0,1)f (x)=x |x|−1=x x −1=x −1+1x −1≤0x ∈(−1,0]f (x)=x |x|−1=x −x −1=x +1−1−x −1−1+1为减函数，综上函数在上为单调函数，且单调递减，④错误.故答案为：①③.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】当＝时，＝＝，令＝，，可得那么＝＝根据二次函数的图象，可得值域为．由存在零点，即＝有解转化为＝在有解①当＝时，可得＝，不成立；②当时，对称轴图象过，显然不成立；③当时，对称轴，图象过，必有一个正根，显然存在零点，成立；综上，的取值范围是【考点】函数的值域及其求法【解析】（1）当＝时，＝＝，转化为二次函数问题即可求解的值域；（2）转化为二次函数存在零点，求的取值范围即可．【解答】当＝时，＝＝，令＝，，可得那么＝＝根据二次函数的图象，可得值域为．由存在零点，即＝有解转化为＝在有解①当＝时，可得＝，不成立；②当时，对称轴图象过，显然不成立；③当时，对称轴，图象过，必有一个正根，显然存在零点，成立；综上，的取值范围是=−1+1x +1≥0f (x)(−1,1)a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x t 2x x ∈[−3,0]t ∈[,1]18g(t)2−t −1t 22(t −−14)298[−,0]98f(x)2a(−−12x )22x 02a −m −1m 20(0,+∞)a 0m −1<0a <0m =<014a (0,−1)a >0m =>014a (0,−1)a (0,+∞)a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x x ∈[−3,0]a a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x t 2x x ∈[−3,0]t ∈[,1]18g(t)2−t −1t 22(t −−14)298[−,0]98f(x)2a(−−12x )22x 02a −m −1m 20(0,+∞)a 0m −1<0a <0m =<014a (0,−1)a >0m =>014a (0,−1)a (0,+∞)18.【答案】由集合＝，所以＝，又＝，＝，所以，解得；所以实数的取值范围是．若＝，则，当＝时，；当时，有，要使，则，解得；综上知，实数的取值范围是；所以时的取值范围是的补集，为．【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：∵，，∴代入可得方程组解得∴函数的解析式为.在区间上是增函数．证明如下：任取，且，A {x |0≤x ≤2}A ∁U {x |x <5或x >2}B {x |a ≤x ≤3−4a}(A)∪B ∁U R a ≤0a (−∞,0]A ∩B B B ⊆A B ∅6−2a <a B ≠∅a ≤1B ⊆A a A ∩B ≠B a (1)f(2)=13f(9)=32 =,2×2+a 2+b13=,2×9+a 9+b 32{a =−3,b =1,f(x)f(x)=2x −3x +1(2)f(x)[0,+∞)，∈[0,+∞)x 1x 2<x 1x 2()−f()=−则.因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上是增函数．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴代入可得方程组解得∴函数的解析式为.在区间上是增函数．证明如下：任取，且， 则.因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上是增函数．20.【答案】证明：因为，所以，所以，f()−f()=x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 20<<x 1x 2−<0x 1x 2(+1)(+1)>0x 1x 2f()−f()=<0x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)[0,+∞)(1)f(2)=13f(9)=32 =,2×2+a 2+b 13=,2×9+a 9+b 32{a =−3,b =1,f(x)f(x)=2x −3x +1(2)f(x)[0,+∞)，∈[0,+∞)x 1x 2<x 1x 2f()−f()=x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 20<<x 1x 2−<0x 1x 2(+1)(+1)>0x 1x 2f()−f()=<0x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)[0,+∞)(1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c =3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c−−−−−√a =b =c当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．21.【答案】解：由，得，由，，知，代入上式得，a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2ac 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21bc b 21c a c 21a≥++−1=12a 2b2ca =b =c ++≥1b a 2c b 2a c 2(1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c =3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c −−−−−√a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2a c 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21bc b 21c a c 21a ≥++−1=12a 2b 2ca =b =c ++≥1b a 2cb 2ac 2(1)=log a ta 3log t ya 3t −3=y −3a log a log t log t t =a x t ≠1x =t ≠0log a x −3=−+y 3x 1x log a y =(x ≠0)−3x+32∴，即．令，则，①若，要使在区间上有最小值， 则在上应有最大值，但在上不存在最大值，不符合题意．②若，要使在区间上有最小值，则在上应有最小值．∴当时，，，由，得．综上，可知所求，．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，由，，知，代入上式得，∴，即．令，则，①若，要使在区间上有最小值， 则在上应有最大值，但在上不存在最大值，不符合题意．②若，要使在区间上有最小值，则在上应有最小值．∴当时，，，由，得．y =−3x +3log a x 2y =(x ≠0)a −3x+3x 2(2)u =−3x +3=+(x≠0)x 2(x −)32234y =(u≠3)a u 0<a <1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]u (0,2]a >1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]x =32=u min 34=y min a 34=8a 34a =16a =16x =32(1)=log a ta 3log t ya 3t −3=y −3a log a log t log t t =a x t ≠1x =t ≠0log a x −3=−+y3x 1xlog a y =−3x +3log a x 2y =(x ≠0)a −3x+3x 2(2)u =−3x +3=+(x≠0)x 2(x −)32234y =(u≠3)a u 0<a <1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]u (0,2]a >1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]x =32=u min 34=y min a 34=8a 34a =16=3综上，可知所求，．22.【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法待定系数法求二次函数解析式二次函数的应用一元二次不等式与二次函数函数的单调性及单调区间函数最值的应用【解析】（1）结合一元二次函数的图形特征，列出与.（2）根据对称轴与区间的关系来分类讨论；（3）观察图形知在 上单调递增，求解方程即可.【解答】此题暂无解答a =16x =32−=b 2a 12Δ=02n ≤=n ≤f (x)1418m,n {f (m)=2mf (n)=2n。
2019_2020学年10月北京西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期月考数学试卷(详解)
【解析】 若关于 的不等式
的解集为 ，
则函数
的图象开口向上，
且与 轴至多一个交点，所以
，且
．
故选 ．
7. 集合 A.
， B.
【答案】 D
【解析】 ∵ ∴集合 的子集个数为 故选 ．
，则集合 的子集的个数是（ ）．
C.
D.
， ．
8. 若关于 的不等式
．
A.
B.
对于一切
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
∵
，
∴当
时， 取得最小值
当
时， 取得最大值
故 的值域为
．
， ．
，
； ，
20. 设
，函数
1 ）若不等式
2 ）求不等式
，
．
的解集为
的解集．
，求 ， 的值．
【答案】（ 1 ） （ 2 ）当 当 当 当 当
，
．
时，解集为
，
时，解集为
，
时，解集为
时，解集为
时，解集为
， ， ．
【解析】（ 1 ）由题可知 ∴ 由 可知
D.
【答案】 D
【解析】 A 选项：当
，
，
时，
，
立，本选项不一定成立；
B 选项：
时，
，本选项不一定成立；
C 选项：
时，
，本选项不一定成立；
D 选项：∵
，∴
，又
，∴
立．
故选 D .
，显然不成 ，本选项一定成
3. 不等式
的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】
不等式 为
等价于 ．
2023-2024学年北京首都师大附中高一(上)10月月考数学试卷和答案
2023北京首都师大附高一10月月考数 学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 命题“2x ∃<,220x x −<”的否定是（ ） A. 2x ∃≤,220x x −≥ B. 2x ∀≥,02x << C. 2x ∃<,220x x −≥D. 2x ∀<,0x ≤或2x ≥3. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（ ） A. 224x x + B. 2312x −C. 26x x +−D. ()()228216x x −+−+4. 若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B =（ ）A. ()1,1−B. ()3,3−C. {}1,1−D. {}3,1,1,3−−5. 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P SB. ()M P SC. ()M P SD. ()M P S6. 已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列结论成立的是（ ） A. 若ac bc <，则a b > B. 若a b >，则22a b > C. 若a b >，则11a b< D. 若110a b<<，则0b a <<8. 设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（ ） A. MNB. M NC. N MD. M N ⋂=∅9. 已知,,A B C 是三个集合，若A B B C ⋃=⋂，则一定有（ ） A. A C ⊆B. C A ⊆C. C A ≠D. A =∅10. 设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥⎧⊗=⎨−<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（ ）A. 0B. 0，−C. 0，D. −，0，第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 方程组322327x y x y +=⎧⎨−=⎩的解集用列举法表示为______________.12. 若“25x m >−”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___________ 13. 设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b −=，则a b +的值是______.14. 已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______． 15. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是______；若A 与B 构成“偏食”，则a 的取值范围是______.三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 已知全集U =R ，集合{R |211}A x x =∈−≤，集合{R |12}B x x =∈−<≤． （1）求集合A B ⋂及()UA B ⋃；（2）若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围． 17. 已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +−+=有两个实数根1x ，2x .（1）求实数m 的取值范围； （2）若12126x x x x +=−，求m 的值.18. 已知全集U =R ，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬−⎩⎭，{}22240B x x mx m =−+−<，{}14C x x =−<<，在①Ux A ∈；②x A C ∈；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19. 已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①BA ⊆；②B m =；③1i BA ≤（1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .（1）当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值； （2）当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 【答案】A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确， 由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确， 由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确， 故错误的个数为1， 故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题. 2. 【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果. 【详解】命题“2x ∃<,220x x −<”是存在量词命题, 又22002x x x −<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”. 故选:D. 3. 【答案】C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D. 【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =−=+−，不符合题意；对于C 原式()()23x x =−+，符合题意； 对于D.原式()()22242x x =−+=+，不符合题意. 故选：C. 4. 【答案】C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x −<<，即()3,3A =−，B 为奇数集，故{}1,1A B =−.故选：C 5. 【答案】C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ， 故选：C ． 6. 【答案】D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系. 【详解】()11110010111x x x x x x −<⇒−<⇒<⇒+>+++， 所以:0p x >或1x <−，而:10q x −<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件， 故选：D 7. 【答案】D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误； 选项B ：若1a =，2b =−满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误； 选项C ：当0a b >>或0a b >>时， 11a b <，当0a b >>时， 11a b>，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确； 故选：D 8. 【答案】B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍； 由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍； 即可知M 是N 的真子集，即M N . 故选：B 9. 【答案】A 【分析】根据()B C B ⋂⊆，以及()B C C ⋂⊆，结合已知条件，即可判断集合之间的关系. 【详解】因为()B C B ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂， 故可得()A B B ⋃⊆，则A B ⊆； 因为()B C C ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂,故可得()A B C ⋃⊆，则B C ⊆； 综上所述：A B C ⊆⊆. 故选：A.【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题. 10. 【答案】D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【详解】解：由2220xax x ax 可得20x ax或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=， 所以集合B 中的元素个数为1个或3个， 当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨−<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=−=⎩，解得a =a =−综上所述，0a =或a =a =− 故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】(){}3,7−【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨−=⎩，所以37x y =⎧⎨=−⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7−.故答案为(){}3,7−.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y . 12. 【答案】(],2−∞【分析】根据题意得到(1,1)− (25,+)m −∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可. 【详解】||<1,1<<1x x ∴−>25x m −是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴− (25,+)m −∞,251,2m m ∴−≤−∴≤, ∴实数m 的取值范围是(,2]−∞,故答案为： (,2]−∞. 13. 【答案】0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可. 【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b −=，则21a a b ⎧=⎨=−⎩或21a ba ⎧=⎨=−⎩，解得11a b =⎧⎨=−⎩或11a b =−⎧⎨=⎩，故0a b += 故答案为：0 14. 【答案】0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B ⋂=∅， 若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤， 综上，0a ≥. 故答案为：0a ≥.15. 【答案】 ①. {|0a a <或}1a = ②. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】由{}2B x x a ==|可知，当a<0时，B =∅，此时B A ⊆； 当0a =时，{}0B =，此时A B ⋂=∅，当0a >时，{B =； 又11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆， 当a<0时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =−1=，解得1a =； 综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =； 若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ⋂≠∅，所以11,22B ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 【答案】（1）(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞；（2）(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()UA B ⋃.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围． 【小问1详解】由211x −≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=−，则(1,)UA =+∞，由(1,2]B =−，所以(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞．【小问2详解】 因为C B ⊆且0a >， 所以2a ≤2，解得1a ≤． 所以a 的取值范围是(0,1]． 17. 【答案】（1）34m ≤ （2）1m =−【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=−+，212x x m =，然后代入求解即可.【小问1详解】因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=−−=−+≥，解得34m ≤. 【小问2详解】由题意得()122323x x m m +=−−=−+，212x x m =，所以2236m m −+=−，整理得 ()()310m m −+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =−. 18. 【答案】答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解. 【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔−>⇔<−−−，即()()320x x +−<， 解得：32x −<<，即{}32A x x =−<<，()()22240220x mx m x m x m −+−<⇔−−−+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m −<<+，即{}22B x m x m =−<<+， 若选①，{3UA x x =≤−或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤−或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BUA ,即23m +≤−或22m −≥，解得：5m ≤−或4m ≥；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤−或4m ≥； 若选②，{}12A C x x ⋂=−<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2122m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件； 若选③，{}34A C x x ⋃=−<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2324m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解得：12m −≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m −≤≤； 19. 【答案】（1）答案见解析 （2）不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论. 【小问1详解】当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =， 或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =； 【小问2详解】当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可） 此时由于4B =，由抽屉原理可知，必有()223i B A i ⋂=≤≤， 与题设矛盾，假设不成立， 所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。
2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 已知集合，，，则的真子集共有A. 个B.个C.个D.个3. 命题，，则命题的否定形式是（ ）A.，B.，C.，D.，4. “”是“双曲线的离心率为”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件A ={x|−8>0}2x B ={x|x −1>6}A ∪B =(3,+∞)(7,+∞)(3,7)(−∞,7)S ={0,1,2}T ={0,3}P =S ∩T P ()0123p :∀x >0>12x p ∀x >0≤12x ∀x ≤0>12x ∃>0x 02≤1∃≤0x 02>1m =1−=1x 2m y 232D.既不充分也不必要条件5. 设集合，，若，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 已知集合，，则 A. B. C. D.7. 使不等式成立的的取值范围是（ ）A.B.C.D.以上答案都不对8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.）C.）D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论不正确的是( )A.A ={x|(x +2)(x −3)≤0}B ={a}A ∪B =A a −2234<|x |x 2x x >1x <−1−1<x <1x >2x +≥a 1x −2a (−∞,2][2,+∞[4,+∞(−∞,4]1∈N∈Q –√B.C.D.10. 下列关于命题的结论正确的是（ ）A.命题“，或”的否定是“，或”B.若命题“，”是真命题，则实数C.若命题“，”是真命题，则实数D.命题“中，若，则”是假命题11. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（ ）A.B.C.D.12. 设，，且，则下列说法正确的有( )A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知全集，集合，则________．14. 已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.∈Q2–√0∈N ∗−3∈Z∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0∀x ∈R+x +≥4k xk ∈[4,+∞)∃x ∈R 2sin x +3cos x =m m ∈[−,]13−−√13−−√△ABC A >B sin A >sin B x 1x 20<<1<<3x 1x 2m −2−3−4−5x >0y >0x +y =4xy 4+1x 1y1+x 2y 28+x −√y √2U =R A ={x |<1}1x A =∁U15. 已知函数若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是________.16. 若，则的最小值是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数的定义域为集合，函数＝的定义域为集合．Ⅰ当＝时，求；Ⅱ若＝，求的值． 18. 已知函数.若，在上恒成立，求实数的取值范围；若成立，求实数的取值范围. 19. 命题：实数满足,命题：实数满足，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20. 已知集合，.若，，求实数的取值范围；若，且，求实数的取值范围．21. 如图，矩形草坪中，点在对角线上．垂直于于点，垂直于于点，米，米，设米，米．求这块矩形草坪面积的最小值．22. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.求的值；若每吨产品出厂价为万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？f(x)={x +4,x <a ，−2x,x ≥a ，x 2b x 0f()=x 0b a x ∈(0,+∞)x +4xf(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√A g(x)lg(−2x +a)x 2B ()a −8A ∩B ()A ∩B ∁R {x |−1<x ≤3}a f(x)=−x +1x 2a 2(1)f(x)≥0R a (2)∃x ∈[1,2],f(x)≥2a p x <02x −3x −1q x −4ax +3<0(a >0)x 2a 2p q a A ={x|(x −7)(x +2)≤0}B ={y|−3≤y ≤5}(1)C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)m (2)D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅m AMPN C MN CD AN D CB AM B |CD |=|AB |=3|AD |=|BC |=2|DN |=x |BM |=y AMPN y x y =2+（15−4k ）x +120k +8x 2k x =1y =142(1)k (2)48参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】无【解答】解：因为，，所以．故选．2.【答案】B【考点】子集与真子集【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，，所以的真子集只有一个.故选.3.【答案】C【考点】A ={x|x >3}B ={x|x >7}A ∪B =(3,+∞)A P =S ∩T ={0}P B命题的否定【解析】直接利用含有量词的命题的否定方法进行求解即可．【解答】命题，，则命题的否定形式是，．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】可以求出，根据可得出，从而可以得出的最大值．【解答】解：∵ ，，且，∴ ，∴ 的最大值为．故选．6.【答案】p :∀x >0>72x p ∃>0x 05≤1A ={x|−2≤x ≤3}A ∪B =A B ⊆A a A ={x|−2≤x ≤3}B ={a}A ∪B =A B ⊆A a 3CB【考点】分式不等式的解法【解析】解对数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得两个集合的交集和并集，进而判断出正确选项．【】则故选．【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】二元一次不等式组【解析】由已知可以判断出与的大小关系，从而确定的范围．【解答】∵不等式成立，而和都是正数，∴，∴，∴且，∴或．8.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析A B 加加A ={x |x <1}={x |0<x <3}B ={x |≤0}={x |−1<x <2}log 3x +1x −2A ∩B ={x |0<x ≤2}A ∪B ={x |−1≤x <3}B <|x |x 2|x |1x <|x |x 2x 2|x |||<|x |x 2|x |×|x |<|x ||x |<1x ≠0−1<x <00<x <1【解答】设，因为，所以，则，所以，因此要使不等式恒成立，则，所以实数的取值范围是，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】无【解答】解：由集合的概念可知，，是自然数，故正确；，是无理数，而表示有理数，故错误；，是自然数，但不是正整数，故错误；，是整数，故正确.故选．10.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定全称命题与特称命题【解析】利用命题的否定以及量词的否定，依次写出命题，判断选项求出范围，即可得到答案.【解答】f (x)=x +1x −2x >2x −2>0f (x)=x −2++2≥2+2=41x −2(x −2)×1x −2−−−−−−−−−−−−−√f =4(x)min x +≥a 1x −2a ≤4a (−∞,4]D A 1A B 2–√Q B C 0C D −3D BC >02≤02解：选项，命题“，或”的否定是“，且”，故错误 ；选项，命题“，”是真命题， 若 则存在 使得 ，则命题不成立,，，，，， ，故正确；选项，命题“，”是真命题， ， ,， 故正确；选项，若，，由正弦定理，（为外接圆半径），，故为真命题，故错误.故选.11.【答案】B,C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式的常规模型判断即可，利用特殊值排除.A ∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0AB ∀x ∈R+x +≥4k x k ≤0=x 0−k −−−√+=0x 0k x 0∴k >0∴x >0>0k x ∴x +≥2=2k x x ×k x −−−−−√k −√∴2≥4k −√∴≥2k −√∴k ≥4BC ∃x ∈R 2sin x +3cos x =m 2sin x +3cos x =sin(x +φ)4+9−−−−√∵sin(x +φ)∈[−,]13−−√13−−√13−−√∴m ∈[−,]13−−√13−−√C D A >B ∴a >b a =2R sinA b =2R sinB R ∴sin A >sin B D BC ABC D【解答】解：由题意得，，，，，，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，当时，，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】补集及其运算【解析】根据的正负求出中不等式的解集确定出，由全集，求出的补集即可．【解答】解：中不等式，当时，解得：；当时，解得：，此时，综上，的范围为或，即，则，故答案为：14.【答案】【考点】一元二次不等式与一元二次方程【解析】x >0y >0x +y =4A xy ≤=4()x +y 22x =y =2xy 4A B +=(+)(x +y)=(2++)≥11x 1y 141x 1y 14x y y xx =y =2+1x 1y1B C ≥=8+x 2y 22()x +y 22x =y =2+x 2y 28C D x =y =2+=+>2x −√y √2–√2–√D ABC [0,1]x A A U =R A A <11x x >0x >1x <0x <1x <0x x <0x >1A =(−∞,0)∪(1,+∞)A =[0,1]∁U [0,1]{2}−1)x (x +)<02a +2变换得到，化简得到，根据解集得，解得答案【解答】，则，即化简得到，不等式解集是故且，解得或（舍去）．故答案为：15.【答案】【考点】函数恒成立问题二次函数的性质【解析】根据二次函数的最小值分类讨论，从而解得．【解答】解：①当时，∵对任意实数，总存在实数，使得，∴，解得，；②当时，，解得，，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式求最值即可.||<1ax +1x −1(−1)x (x +)<0a 22a +2−1a 2−=−22a +2−1a 2−1<<1ax +1x −1||−1ax +1x −1<(ax +1)2(x −1)2(−1)x(x +)<0a 22a +2−1a 2{x |−2<x <0}−1>0a 2−=−22a +2−1a 2a =2a =−1{2}[−5,4]−2x x 2a ≤1b x 0f()=x 0b a +4≥1−2a ≥−5a >1a +4≥−2a a 2−1≤a ≤4a [−5,4][−5,4]4【解答】解：∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------【考点】交集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】求出函数、的定义域，再根据交集的定义写出；根据补集与交集的定义，结合一元二次不等式与方程的知识，即可求出的值．【解答】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，x ∈(0,+∞)x +≥2=44x x ⋅4x −−−−√x =4x x =2x +4x 44(I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(I)f(x)g(x)A ∩B (II)a (I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------18.【答案】解：由题意得在上恒成立，，解得，∴实数的取值范围为 .由题意得 成立， ，成立．令，则在区间上单调递增，解得∴实数的取值范围为.【考点】全称命题与特称命题函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得在上恒成立，，解得，∴实数的取值范围为 .由题意得 成立， ，成立．令，则在区间上单调递增，R≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(1)f (x)=−x +1≥0x 2a 2R ∴Δ=−4≤0a 24−4≤a ≤4a [−4,4](2)∃x ∈[1,2],−x +1≥2x 2a 2∴∃x ∈[1,2]≤x −a 21x g(x)=x −,x ∈[1,2]1x g(x)[1,2]∴g =g(2)=,(x)max 32∴≤,a 232a ≤3,a (−∞,3](1)f (x)=−x +1≥0x 2a 2R ∴Δ=−4≤0a 24−4≤a ≤4a [−4,4](2)∃x ∈[1,2],−x +1≥2x 2a 2∴∃x ∈[1,2]≤x −a 21x g(x)=x −,x ∈[1,2]1x g(x)[1,2]∴g =g(2)=,(x)max 32≤,3解得∴实数的取值范围为.19.【答案】解：由，得，即，记.由得 ，记.∵是的充分不必要条件，，有即【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，即，记.由得 ，记.∵是的充分不必要条件，，有即20.【答案】解：，∴.∴≤,a 232a ≤3,a (−∞,3]<02x −3x −1(2x −3)(x −1)<01<x <32A ={x|1<x <}32−4ax +3<0(a >0)x 2a 2a <x <3a B ={x|a <x <3a}p q ∴A B {a ≤1，3a ≥，32≤a ≤1.12<02x −3x −1(2x −3)(x −1)<01<x <32A ={x|1<x <}32−4ax +3<0(a >0)x 2a 2a <x <3a B ={x|a <x <3a}p q ∴A B {a ≤1，3a ≥，32≤a ≤1.12(1)A ={x|(x −7)(x +2)≤0}={x|−2≤x ≤7}A ∩B ={x|−2≤x ≤5}C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)若，，当时，，解得；当时，则解得：，∴，∴实数的取值范围为..若，且，则，∴，∴实数的取值范围为.【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题并集及其运算【解析】分两种情况讨论求解即可；若，且，则，求解即可.【解答】解：，∴.若，，当时，，解得；当时，则解得：，∴，∴实数的取值范围为..若，且，则，∴，∴实数的取值范围为.21.【答案】解：由题意…．C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)C =∅2m −1<m +1m <2C ≠∅ m +1≥−2,2m −1≤5,m +1≤2m −1,2≤m ≤3m ≤3m (−∞,3](2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7m ≥1m [1,+∞)(1)(2)D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7(1)A ={x|(x −7)(x +2)≤0}={x|−2≤x ≤7}A ∩B ={x|−2≤x ≤5}C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)C =∅2m −1<m +1m <2C ≠∅ m +1≥−2,2m −1≤5,m +1≤2m −1,2≤m ≤3m ≤3m (−∞,3](2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7m ≥1m [1,+∞)∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y =(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2yS MPN…．…．当且仅当，即，时取得等号．…．面积的最小值为平方米． …．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．…．…．当且仅当，即，时取得等号．…．面积的最小值为平方米． …．22.【答案】解：由题意，除尘后，当日产量时，总成本，代入计算得；由，总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，∴除尘后日产量为吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为万元.【考点】二次函数的应用基本不等式在最值问题中的应用函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】=(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2y S AMPN ≥12+2=243x ⋅2y −−−−−√3x =2y x =2y =324∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y ∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y =(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2y S AMPN ≥12+2=243x ⋅2y −−−−−√3x =2y x =2y =324(1)y =2+(15−4k)x +120k +8+kx x 2=2+(15−3k)x +120k +8x 2∵x =1y =142k =1(2)(1)y =2+12x +128x 2L =48x −(2+12x +128)=36x −2−128,(x >0)x 2x 2==36−2(x +) 36−4=4L x 64x x ⋅64x −−−−−√x =64x x =884(1)解：由题意，除尘后，当日产量时，总成本，代入计算得；由，总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，∴除尘后日产量为吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为万元.(1)y =2+(15−4k)x +120k +8+kx x 2=2+(15−3k)x +120k +8x 2∵x =1y =142k =1(2)(1)y =2+12x +128x 2L =48x −(2+12x +128)=36x −2−128,(x >0)x 2x 2==36−2(x +) 36−4=4L x 64x x ⋅64x −−−−−√x =64x x =884。
北师大附中上学期高一数学月考试卷
北师大附中上学期高一数学月考试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.每个小题的四个选项中,只有一个是正确的,请将你认为正确的答案对应的字母填入答案卷的表格中)1．已知集合A {x |2x },a =π=＜＜,则下列关系正确的是A ．a A ⊆B ．a =AC ．a ∈AD ．a ∉A2．在区间)0,(-∞上为增函数的是A ．1=yB ．21+-=xx y C ．122---=x x y D ．21x y +=3. 如果S {1,2,3,4,5},M {1,3,4},N {2,4,5}===那么 S （M ）ð∩S ( N)ð等于A ．∅B ．{1,3}C ．{4}D ．{2,5}4．已知定义在R 上函数y f (x)=满足f (1)f (3)>，若12x x <,则关于1f (x ),2f (x )的大小关系正确的是A ．12f (x )f (x )<B ．12f (x )f (x )>C ．12f (x )f (x )=D ．无法确定5．函数y=f(x)的图象经过第三、第四象限,则1y f (x)-=的图象经过A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三 、四象限D ．第一、四象限6．已知函数f (x)=的定义域是A,g(x)=B,则使A ∩B=∅的实数a 的取值范围是A ．{a|-1＜a ＜3}B ． {a|-2＜a ＜4}C ．{a|-1≤a ≤3}D ． {a|-2≤a ≤4}7．已知函数f (x)|x |=，在①y =,②2y =,③2x y x =,④x ,x 0 ;y x,x 0 .>⎧=⎨-<⎩中与f (x)为同一函数的函数的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知p ：x=2或x=4,q ：则 p 是 q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数y f (x)=的反函数为1y f (x)-=,则函数1y f (x 1)-=+的反函数的是A. y f (x 1)=+B. y f (x)1=+C. y f (x 1)=-D. y f (x)1=- 10．已知函数22f (x)2x x , g(x)f (2x )=-=-,下面关于函数g(x)的单调性的叙述正确的是A. 在(-1,0)上是增函数B.在(0,1)上是减函数C. 在(1,+∞)上是减函数D.在(-∞,-1)上是减函数二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答案卷相应的横线上)11.若函数f (x)=[1,+∞),则实数a 取值的集合为 . 12. 已知f (x)=x 5 (x 5)f (x 4) (x 5)-⎧⎨+⎩≥＜，则(3)f = . 13．已知函数2f (x)x x =+ (x ≤12-),则f(x)的反函数为 . 14．若函数f(x)=a 2x +2x+2在区间(,4]-∞上递增，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分10分）已知a,b 为常数,若2f (x)x4x 3,=++2f (ax b)x 10x 24+=++,求5a-b 的值.16. （本小题满分10分）解关于x 的不等式 2axx ax 1++＜17. （本小题满分10分）已知a ＜b,全集U={x|-1≤x ＜3},B={x|x a x b++＞0,且x ∈U}且 U B U =ð.求实数a 的最大值,b 的最小值.18.（本小题满分12分）已知p ：关于x 的方程2x ax a 30-++=的两根都在(- ∞,1)上;q ：|x-1|+|x+2|+a ＜0的解集不是空集.若“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数f (x)=＜0).（Ⅰ）写出函数f (x)的定义域;（Ⅱ）用函数单调性的定义证明 f (x)在其定义域上是减函数;（Ⅲ）记1y f (x)-=为函数y f (x)=的反函数,求使不等式11f (x)2a-+＞0成立的x 的集合.参考答案及评分标准：一、选择题(每小题3分,共30分)DBADB CAADC二、填空题 (每小题4分,共16分)11. {1} 12. 2 13. -1 14. [1,04-] 三、解答题(共54分)15.解：由题222f (ax b)a x (2ab 4a)x b 4b 3+=+++++………………3分 又2f (ax b)x 10x 24+=++∴22a 12ab 4a 10b 4b 324⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩…………………………………6分解得：a=1,b=3 或a=-1,b=-7 ………………………8分 ∴5a-b=2 ………………………………………………10分16.解：原不等式等价于 (ax+1)(x-1)＜0当a=0时, x ＜1当a ＞0时,1x 1a-＜＜ ………………………2分 当a ＜0时,原不等式可化为 1(x )(x 1)0a+-＞ ① 当-1＜a ＜0时,11a -＞ 1x a＞-或x ＜1; ………………4分 ② 当a=-1时, x ＜1;③ 当a ＜-1时, 11a -＜ x ＞1或x ＜1a-………………8分 ∴原不等式的解集为：（1） 当a ＞0时, 1{x |x 1}a-＜＜; （2） 当a=0时, {x|x ＜1};（3） 当-1＜a ＜0时, {x|1x a＞-或x ＜1}; （4） 当a=-1时, {x|x ∈R,且x ≠1};（5） 当a ＜-1时, {x| x ＞1或1x a＜- }. …………10分 17.解：∵a ＜b ∴-a ＞-b∴B={x|x ＞-a 或x ＜-b,x ∈U} ………………2分∵ U B U =ð∴{x|x ＞-a 或x ＜-b }∩U=∅ ………………4分 ∴{a 3b 1---≥≤ ………………………………………6分 ∴a ≤-3,b ≥1 …………………………8分 故a 的最大值为-3,b 的最小值为1. …………10分18.解：由题p ：a ≤-2 p ：a ＞-2 ………………3分q ：a ＜-3 q ：a ≥-3 ………………6分∵p 且q 为假, ∴p,q 至少一个为假 …………8分 ∴满足要求的a 的取值范围是 {a|a ＞-2}∪{a|a ≥-3}={a|a ≥-3}. …………………12分19.解：(Ⅰ)函数的定义域为 {x|x ≤1a-} …………2分 (Ⅱ)证明（略） …………………7分 (Ⅲ)f (x)的值域为[0,+∞)∴反函数的定义域为[0,+∞)………8分 又f (x)在1(,)a-∞-上为减函数∴原不等式等价于 11f[f (x)]f ()2a 2--=＜∴0≤x ＜2原不等式的解集为 x |0x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭≤ …………12分。
2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. ，，若，则的值为（ ）A.B.或C.D.2. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有名学生喜欢篮球或足球，名学生喜欢篮球，名学生喜欢足球，则该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数是( )A.B.C.D.3. 已知，，若，则 A.B.C.D.4. 已知集合，，则（ ）A.A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B c −1−1−12−12185766346485254A ={1,x,y}B ={1,,2y}x 2A =B x −y =()1211432A ={x|−8>0}2x B ={x|x −1>6}A ∪B =(3,+∞)(7,+∞)B.C.D.5. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为( )A.B.C.D.6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.7. 已知命题：实数满足，命题：实数满足．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )A.B.C.D.8. 正数，满足＝，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.(7,+∞)(3,7)(−∞,7)x >k <13x +1k (−∞,−1][1,+∞)[2,+∞)(2,+∞)A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}A ⊆B a [−5,−4][4.5][−3,−6][3,6]p x −+6x −8>0x 2q x −(m +1)x +m <0(m >1)x 2p q m 1<m <41<m ≤4m >4m ≥4a b 2a +b 12−4−≤t −ab −−√a 2b 212t (−∞,]2–√2[,+∞)2–√2[−,]2–√22–√2[,+∞)12二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于空集的说法中，正确的有（ ）A.B.C.D.10. 若集合＝恰有两个子集，则的值可能是（ ）A.B.C.D.或11. 下列结论中正确的是（ ）A.“”是“”的充要条件B.函数的最小值为C.命题“”的否定是“”D.若函数有负值，则实数的取值范围是或12. 下列命题中正确的是( )A.的最小值是B.的最大值是C.的最大值是D.有最大值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）∅∈∅∅⊆∅∅∈{∅}∅⊆{∅}A {x |a −2x −1＝0}x 2a 0−1101ab >0>0ab y =++2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√2∀x >1,−x >0x 2∃≤1,−≤0x 0x 20x 0y =−ax +1x 2a a >2a <−2y =+3x 2+2x 2−−−−−√2y =x +(x <0)1x −2y =2−3x −(x >0)4x 2−43–√y =+3x 2+2x 2−−−−−√13. （5分） 若命题“ ，”为假命题，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知集合，，若，求实数的值．15. 已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，．若，且当直线轴时，．求椭圆的方程；设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；记的面积为，求的最大值．16. 已知函数的最小值等于．（1）求的值；（2）若正数，，满足，求的最大值． 17. 解不等式． 18. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．若为真命题，求实数的取值范围；若为假命题，为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数.求关于的不等式的解集；若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围．∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2m A ={x|−3x +2=0}x 2B ={x|−ax +a −1=0}x 2A ∪B =A a C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A F C F l C P Q AF =3l ⊥x PQ =3(1)C (2)AP AQ k 1k 2k 1k 2(3)△APQ S S f(x)=|x +m|−|2x −4|(m >0)3m a b c a +b +c =3m ++a −√b √c √<0x −3x +7p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2(1)p m (2)p ∧qp ∨q m f (x)=−4x +5(x ∈R)x 2(1)x f (x)<2(2)f (x)>m −3x ∈R m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】集合的相等【解析】根据集合相等确定元素关系即可得到结论．【解答】解：∵，，∴若，则①或②，由①消去得，当时，集合，不成立，由②消去得，当或时，当时，此时，满足条件.故选：.2.【答案】D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】记“该中学学生喜欢篮球”为事件，“该中学学生喜欢足球”为事件，则“该中学学生喜欢篮球或足球”为事件，“该中学学生既喜欢篮球又喜欢足球”为事件·，然后根据积事件的概率公式可得结果．【解答】解：记“该中学喜欢篮球的学生”为集合，“该中学喜欢足球的学生”为集合，A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B {a +b =ac a +2b =ac 2{a +b =ac 2a +2b =acb c =1c =1B =B ={a,a,a}b c =1c =1c =−12c =−12b =−a 34C A B A +B A B P (A ⋅B)=P (A)+P (B)−P (A +B)A B A ∪B则“该中学喜欢篮球或足球的学生”为集合，如图，所以该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数为人.故选.3.【答案】C【考点】集合的无序性集合的相等【解析】化简，，利用，即可得出结论．【解答】解：，假设，解得或(舍去)，(舍去)，该假设不合题意；假设，解得，，该假设满足题意；.故选.4.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】A ∪B =85A ∩B =63+76−85=54D A B A =B ∵A =B {x =，x 2y =2y ，∴x =0x =1y =0∴{=y ，x 2x =2y ，∴(2y =y )2y =14x =12∴∴x −y =−=121414C无【解答】解：因为，，所以．故选．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断求解．【解答】解：由得，解得或．要使“”是“”的充分不必要条件，则．故选.6.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由已知先求出集合，然后结合集合的包含关系即可直接求解．【解答】解：因为，，若 ，则解得：.故选.7.A ={x|x >3}B ={x|x >7}A ∪B =(3,+∞)A <13x +1<13x +1−1=<03x +1−x +2x +1x <−1x >2x >k <13x +1k ≥2C B A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}={y|2+a ≤y ≤4+a}A ⊆B {4+a ≥−1,2+a ≤−2,−5≤a ≤−4A【答案】D【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求出，为真时的值，再利用充分必要条件求解即可.【解答】解：由，可得，由，可得.∵是的充分不必要条件，∴，∴.故选.8.【答案】B【考点】不等式恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】由，，＝得，＝，于是问题转化为：恒成立，令＝，求得的最大值，只需即可．【解答】∵，，＝，∴＝，∴恒成立，转化为恒成立，令＝＝，又由，，＝得：＝，∴（当且仅当，时取“＝”）；∴＝．p q x −+6x −8>0x 22<x <4−(m +1)x +m <0x 21<x <m p q {x|2<x <4} {x|1<x <m}m ≥4D a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −ab −−√12f(a,b)t ≥f(a,b)max a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab 2−4−≤t −ab −−√a 2b 212t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −=4(ab +−)ab −−√1212ab −−√184−(+)ab −−√14234a >0b >02a +b 112a +b ≥22ab −−−√ab ≤18a =14b =12f(a,b)max 4−=(+)18−−√142342–√2≥–√．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】略10.【答案】A,B【考点】子集与真子集【解析】恰有两个子集的集合只有一个元素，进而求解．【解答】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，当＝时，，满足题意；当时，＝＝，即＝，此时＝，满足题意；故的值为，．11.【答案】A,D【考点】命题的真假判断与应用t ≥2–√2A A a 0a ≠0△4+4a 0a −1A {−1}a 0−1必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，由，能得到，反之也成立，故正确.对于，由基本不等式可知 当且仅当，解得 ，无解，所以等号不成立，所以取不到最小值，错误；对于，命题""的否定是“”，故错误.对于，函数有负值，则，解得或，故正确.故选.12.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】结合基本不等式以及基本不等式取得最值的条件对每个选项进行分析即可求解.【解答】解：对于，，当且仅当时取等号，解得无解，即式子最小值取不到，故错误；对于，时，，当且仅当时取等号成立，故正确；A ab >0>0a b AB +≥2,+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=−1x 2B C ∀x >1,−x >0x 2∃>1,−≤0x 0x 20x 0C D y =−ax +1x 2Δ=−4>0(−a)2a >2a <−2D AD A y ==++3x 2+2x 2−−−−−√+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√≥2=2⋅+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√x 2A B x <0y =x +=−[(−x)+(−)]1x 1x ≤−2=−2(−x)⋅(−)1x−−−−−−−−−−√x =−1B =2−3x −≤2−2=2−4−−−−−对于，时，，当且仅当时取等号，即式子的最大值是，故正确；对于，由中结论可知，无最大值，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由于命题：“，使得”为假命题，可得命题的否定是：“，”为真命题，因此，解出即可．【解答】解：∵命题：“，使得”为假命题，∴命题的否定是：“，”为真命题，∴，即，解得，∴实数的取值范围是．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，C x >0y =2−3x −≤2−2=2−44x 3x ⋅4x −−−−−√3–√3x =4x 2−43–√CD A y =+3x 2+2x 2−−−−−√D BC [−1,2]∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤0∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤04−4(m +2)≤0m 2−1≤m ≤2m [−1,2][−1,2]A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,无解；当时，得．综上可知，或．【考点】集合关系中的参数取值问题根与系数的关系【解析】【解答】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，无解；当时，得．综上可知，或．15.【答案】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为．为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3(1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1=122联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证． 由知，所以．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题利用导数研究函数的最值根与系数的关系直线与椭圆结合的最值问题+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92椭圆的标准方程【解析】对第（1）问，由，，及可求得，；对第（2）问，可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；对第（3）问，根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．【解答】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为． 为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证． 由知，所以AF =3PQ =3=+a 2b 2c 2a 2b 2PQ P Q k 1k 2=AF ⋅|−|S △APQ 12y 1y 2|−|y 1y 2m m (1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=18−−−−−−−−−−．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．16.【答案】【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}【解析】（1）由题意可得：，或，进而即可得解．【解答】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．18.【答案】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则 解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.【考点】一元二次不等式的解法复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】{x −3>0x +7<0{x −3<0x +7>0<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}(1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254x ∈[0,1],≥−3m(2x −2)2命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数的取值范围．【解答】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则 解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.19.【答案】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式 对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.【考点】不等式恒成立问题二次函数的性质P x ∈[0,1],≥−3m (2x −2)min m 2m 4x ∈[−1,1],≤0(−x +m −1)x 2min m P 4P 4m (1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式 对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)。
北京师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学第一次月考试题含解析
北京师大附中2019-2020学年高一（上）数学月考试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若集合{0,1,2,3},{2,3,4}A B ==，则集合A B 等于（ ）A. {2,3}B. {0,1}C. {0,1,4}D.{0,1,2,3,4}【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】{}{0,1,2,3}{2,3,4}2,3A B ==故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定为（ ）A. 2000,10x R x x ∃∈++≥B. 2000,10x R x x ∃∈++≤C. 2000,10x R x x ∀∈++≥D. 2000,10x R x x ∀∉++≥【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定变换形式即可得出选项.【详解】命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定为：2000,10x R x x ∀∈++≥.故选：C【点睛】本题考查了含有一个量词命题否定变换形式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3. 设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若四边形为菱形，则对角线；反之若，则四边形为正方形或菱形或等腰梯形，故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件，选A.考点：平行四边形、菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题.4. 对于任意实数a b c d ,,,，有以下四个命题： ①若22ac bc >，则a b >；②若a b >，c d >，则a c b d +>+； ③若a b >，c d >，则ac bd <； ④若a b >，则11a b>. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得.【详解】选项①22ac bc >，则a b >正确，由不等式的性质可得； 选项②若a b >，c d >，则a c b d +>+正确，由不等式的可加性可得；选项③若a b >，c d >，则ac bd <错误，比如若acbd 均为正数，可得ac bd >； 选项④a b >，则11a b >错误，比如−1＞−2，但1112<--. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，属基础题.5. 已知正数,x y 满足16xy =，则x y +（ ） A. 有最大值4 B. 有最小值4C. 有最大值8D. 有最小值8【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】16,0,022168xy x y x y xy =>>∴+≥==当且仅当4x y ==时取等号，因此x y +有最小值8 故选：D【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属基础题. 6. 如图所示，I 是全集，,,M P S 是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()MP SB. ()M P SC. ()()IM S P ⋂⋂D. ()()IM S P ⋂⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据阴影部分与对应集合关系可直接判断得结果.【详解】由图可知：阴影部分中元素在集合M 中、且在集合P 中、且不在集合S 中,即在集合I S 中,因此阴影部分表示的集合为()()IM P S故选：C【点睛】本题考查韦恩图、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题. 7. 已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -∈，则实数a 的值为（ ） A. -1 B. -3C. -3或-1D. 无解【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得23a -=-或243a a +=-解方程，再利用集合元素的互异性即可求解. 【详解】若3A -∈，可得当23a -=-时，解得1a =-，此时{}3,3,10A =--， 不满足集合的互异性，故1a =-（舍去），当243a a +=-，解得1a =-（舍去）或3a =-，此时{}5,3,10A =--， 满足题意，故实数a 的值为-3. 故选：B【点睛】本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题. 8. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．二、填空题共8小题，每小题4分，共32分9. 不等式组21030{x x +≥-<的解集为_________【答案】1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先解不等式，再求交集得结果.【详解】12101323023x x x x x ⎧+≥≥-⎧⎪∴∴-≤<⎨⎨-<⎩⎪<⎩故答案为：1[,3)2-【点睛】本题考查求不等式组解集，考查基本求解能力，属基础题. 10. 若集合2{||1|1},{|0}A x x B x x x =-<=-=，则A B =__________【答案】{|02}x x ≤< 【解析】 【分析】由集合的描述求得集合，再利用集合的并运算求集合.【详解】根据集合的描述，知：{|02}A x x =<<，{0,1}B =， ∴{|02}AB x x =≤<，故答案为：{|02}x x ≤<【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，结合并运算求集合，属于简单题. 11. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则+a b 的值为________ 【答案】0 【解析】 【分析】根据不等式解集得对应方程的根，解得结果.【详解】由题意得，1,2-为方程220ax bx ++=的根212,12,1,1b a b a a-+=--⨯=∴=-=0a b ∴+=故答案为：0【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 已知1x >，当x =_________时，则491y x x =+-有最小值为____________ 【答案】 (1). 53(2). 21 【解析】 【分析】 令1t x =-，即499y t t=++，利用定义证明其单调性，进而得出最值. 【详解】令1t x =-，则1,0x t t =+>，即499y t t=++ 设120t t <<，()()()12121212121294449t t t t y y t t t t t t ---=-+-= 当12203t t <<<时，1212120,940,0t t t t t t -<-<>，即12y y > 则函数499y t t =++在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 当1223t t <<时，1212120,940,0t t t t t t -<->>，即12y y < 则函数499y t t =++在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 则当23t =，即53x =时，函数499y t t =++取最小值324992123⨯+⨯+= 故答案为：53；21【点睛】本题主要考查了利用单调性的定义求函数的最值，属于中档题.13. 若不等式210ax ax +->的解集为∅，则实数a 的取值范围为____________ 【答案】[]4,0- 【解析】 【分析】根据不等式解集为空集，分类讨论参数0a =、0a ≠求参数a 的范围，然后求并即可. 【详解】当0a =时，10->不成立，此时解集为∅；当0a ≠时解集为∅，有240a a a <⎧⎨∆=+≤⎩解得40a -≤<， ∴综上，有40a -≤≤， 故答案为：[]4,0-【点睛】本题考查了由不等式解集为空求参数范围，分类讨论的方法分别求得参数范围，最后合并即为所求. 14. 已知集合{0}x aA x x a-=<+，若1A ∉，则实数a 的取值范围为_______________ 【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】先求1A ∈时a 的取值范围，再求补集得结果. 【详解】若1A ∈，则110,0,111a a a a a --∴∴>++或1a <-， 因此当1A ∉时，11a -≤≤， 故答案为：[1,1]-【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题. 15. 已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤.故答案为1a ≤【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16. 设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.【答案】20192018- 【解析】 【分析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a ab a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为20192018-【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. （1）求方程组22101x y x y -+=⎧⎨+=⎩的解集 （2）已知,x y 是正实数，且x y ≠，试比较33x y +与22xy x y +的大小，并证明【答案】（1）()(){0,1,1,0}-；（2）3322x y xy x y +>+，证明见解析.【解析】 【分析】（1）解二元一次方程组即可求解. （2）利用作差法即可比较大小.【详解】（1）方程组2210,1,x y x y -+=⎧⎨+=⎩①② 由①可得1y x =+，代入②可得()2211x x ++=， 解得0x =或1-，所以方程组的解为01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，故方程组的解集为()(){0,1,1,0}- （2）()()()()()2332222x y xy x y xx y y x y x y x y +-+=---=-+,x y 是正实数，且x y ≠，0x y ∴+>，()20x y ->，()()20x y x y ∴-+>3322x y xy x y ∴+>+.【点睛】本题考查了解二元一次方程组、作差法比较两式大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 已知全集为R ，集合{15},{21143}A x x B x x x =≤≤=-≥- （1）求A B（2）求()RA B ⋂（3）若{44}M x a x a =-≤≤+，且RA M ⊆，求实数a 的取值范围【答案】（1）}{|1A B x x ⋃=≥；（2）{3x x <或5}x >；（3）()()9,,3+∞⋃-∞-. 【解析】 【分析】（1）先解不等式得集合B ,再根据并集定义的结果； （2）先根据交集定义求交集，再根据补集定义得结果； （3）先求M 补集，再根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】（1）{3}B x x =≥， {1}A B x x ∴⋃=≥（2）{35}A B x x ⋂=≤≤，(){3RA B x x ⋂=<或5}x >.（3）由题易知M ≠∅ 故{4Rx a M x =<-或4}x a >+，又RA M ⊆，所以45a ->或41a +<， 解得9a >或3a <-，所以实数a 的取值范围为()()9,,3+∞⋃-∞-.【点睛】本题考查集合交集、并集与补集、考查根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 求下列关于x 的不等式的解集 （1）256x x -< （2）()210x ax a --+<【答案】（1）()()1,23,6-⋃；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值定义化简，再分别求二次不等式，最后求交集得结果； （2）先因式分解，再根据两根大小关系分类讨论，即得结果. 【详解】（1）22|5|6656x x x x -<∴-<-<,223256016560x x x x x x x ⎧><⎧-+>∴∴⎨⎨-<<--<⎩⎩或 不等式解集为(1,2)(3,6)-； （2）2(1)0(1)(1)0x ax a x a x --+<∴--+<当11,2a a +>->-时，不等式解集为(1,1)a -+；当11,2a a +<-<-时，不等式解集为(11)a +-，； 当1=1,=2a a +--时，不等式解集为∅；综上，当2a >-时，不等式解集为(1,1)a -+；当2a <-时，不等式解集为(11)a +-，； 当=2-a 时，不等式解集为∅.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解含参数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 20. 已知M 是满足下列条件的集合：①0,1M M ∈∈②若,x y M ∈，则x y M -∈,③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈ （1）判断13M ∈是否正确，说明理由 （2）证明：若,x y M ∈则x y M +∈（3）证明：若,x y M ∈则xy M ∈【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-； （2）根据定义确定M 包含元素y -，即得结论；（3）根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得结论 【详解】（1）13M ∈正确.证明如下：由①知0,1M M ∈∈由②可得()()011,112,213M M M -=-∈∴--=∈--=∈ 由③得13M ∈ （2）证明：由①知0M ∈由题知y M ∈， ∴由②可得0y y M -=-∈又()x M x y M ∈∴--∈，即x y M +∈（3）证明：,x M y M ∈∈，由②可得1x M -∈，再由③可得11,1M M x x ∈∈- 111M x x ∴-∈-即()11M x x ∈-， ()1x x M ∴-∈即2x x M -∈，2x M ∴∈即当2,x M x M ∈∈由（2）可知，当,,x y M x y M ∈+∈112M x x x ∴+=∈2M x∴∈ ∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈ ()22222x y x y xy M ++∴-=∈ 【点睛】本题考查新定义、元素与集合关系，考查综合分析论证判断能力，属中档题.。
北京师范大学附属中学学年高一月自主学习诊断数学试题
高一数学IV 自主学习诊断 2016.2.23一、 填空题（每小题5分，共60分）1、 已知51sin +=23πα（），则cos α= 。
2、3x -的解集为 。
3、 设,,,x y z R ∈若233x y z -+=，则222(1)x y z +-+之最小值为 ，又此时y = 。
4、 已知关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
5、 已知2sin cos 0αα+=，求222sin 3sin cos 5cos αααα--= 。
6、 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 。
7、已知2sin cos )θθθπ+<<，则tan θ= 。
8、 设0,2t a π<<是大于0的常数，1()cos 1cos af t t t=+-的最小值是16，则a = 。
9、 函数22425(1)1x x x x x ++>++的最小值是 。
10、 已知函数sin[2()]3y x πϕ=-+是偶函数，且0ϕπ<<，则ϕ= 。
11、 ,,,230x y z R x y z ∈-+=，则2y xz 的最下值是 。
12、已知函数())4f x x π+，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；②点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心；③函数()f x的图像可以由函数2y x =的图像向左平移4π得到； ④若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x的值域为⎡⎣。
则所有正确结论的序号是 。
二、 解答题（共3小题，共40分）13、 已知函数()()cos (0,0)2f x x πϖϕϖϕ=+>-<<的最小周期为π，且()4f π=。
（1）（5分）求函数()y f x =解析式，并写出周期、振幅； （2）（5分）求函数()y f x =的单调递减区间；（3）（3分）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数()f x 在[]0,π上的图像。
北京师范大学附属中学学年高一月自主学习诊断数学试题
高一数学IV 自主学习诊断 2016.2.23一、 填空题（每小题5分，共60分）1、 已知51sin +=23πα（），则cos α= 。
2、3x -的解集为 。
3、 设,,,x y z R ∈若233x y z -+=，则222(1)x y z +-+之最小值为 ，又此时y = 。
4、 已知关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
5、 已知2sin cos 0αα+=，求222sin 3sin cos 5cos αααα--= 。
6、 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 。
7、已知2sin cos )3θθθπ+=<<，则tan θ= 。
8、 设0,2t a π<<是大于0的常数，1()cos 1cos af t t t=+-的最小值是16，则a = 。
9、 函数22425(1)1x x x x x ++>++的最小值是 。
10、 已知函数sin[2()]3y x πϕ=-+是偶函数，且0ϕπ<<，则ϕ= 。
11、 ,,,230x y z R x y z ∈-+=，则2y xz 的最下值是 。
12、已知函数())4f x x π+，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；②点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心；③函数()f x的图像可以由函数2y x =的图像向左平移4π得到； ④若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x的值域为⎡⎣。
则所有正确结论的序号是 。
二、 解答题（共3小题，共40分）13、 已知函数()()cos (0,0)2f x x πϖϕϖϕ=+>-<<的最小周期为π，且()4f π=。
（1）（5分）求函数()y f x =解析式，并写出周期、振幅； （2）（5分）求函数()y f x =的单调递减区间；（3）（3分）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数()f x 在[]0,π上的图像。
北京市北师大附中高一数学上学期月考试卷【会员独享】
北京市师大附中-上学期高一年级月考数学试卷试卷说明：本试卷满分120分，考试时间为90分钟一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 下列四个选项中正确的是（ ）A. {}1,01∈B. {}1,01∉C. {}1,1x ⊆D. {}{}1,01∈ 2. 已知集合{}2,1-=A ，{}20≤≤∈=x Z x B ，则B A ⋂等于（ ）A. {}0B. {}2C. {}2,1,0D. φ 3. 下列函数中，与函数x y =相同的是（ ）A. 2)(x y = B. 33x y = C. 2x y = D. xx y 2=4. 下列图象中不能作为函数图象的是（ ）5. 下列各函数中为奇函数的是（ ）A. 3+=x yB. x x y +=2C. 11+--=x x yD. x y -=6. 已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()[]{}{}2),(,),(,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）A. 1B. 0C. 1或0D. 1或27. 设集合{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若φ≠B A ，则a 的取值范围是（ ）A. 21≤<-aB. 2>aC. 1-≥aD. 1->a8. 设{}4,3,2,1=I ，A 与B 是I 的子集，若{}3,1=B A ，则称),(B A 为一个“理想配集”。
那么符合此条件的“理想配集”（规定),(B A 与),(A B 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A. 4B. 8C. 9D. 16二、填空题 （每小题5分，共30分，）9. 函数xx x f -++=211)(的定义域为______________________ 10. 已知函数⎩⎨⎧-+=44)(x x x f 0><x x ，则)]3([-f f 的值为_______________。
北京市首都师大附中2022高一数学上学期10月月考试题(含解析)
19.已知函数 .
⑴若函数 的图象经过点 ，求实数 的值.
⑵当 时，函数 的最小值为1，求当 时，函数 最大值.
【答案】⑴b＝2；⑵见解析.
【解析】
【分析】
（1）把点的坐标代入f（x）计算；
（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．
10.已知函数 为奇函数， 时为增函数且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由于函数 为奇函数， 时为增函数且 ，
可得函数在 上单调递增，且 ，
故函数 的单调性示意图如图所示：
由函数的图象可得 ，或 ，
解得 或 ，
故选A．
二、填空题
11.函数 定义域为______.
【答案】
【解析】
3.已知 满足 ，这样的集合 可能有( )
A.2个B.4个C.8个D.16个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题干条件可知：A中至少包含0,2两个元素，可能含有-1或1，列举可得全部可能的集合A，即可得到答案.
【详解】解： ，则A中至少包含0,2两个元素. 或 或 或 共4个.
故选：B
【点睛】本题考查集合并集的运算，考查子集的定义，考查学生转化的能力，属于基础题.
⑵ 等价于 ，即 ，解得： .所以不等式的解集为： .
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
18.函数 是定义在 上的奇函数。
（1）求函数 的解析式；
（2）用单调性的定义证明函数 在 上是增函数。
【答案】(1) (2) 见解析
【解析】
试题分析：（1）根据奇函数定义得 ，解得 （2）先根据定义作差，通分提取公因式，再根据自变量范围确定各因子符号，确定差的符号，由增函数定义得证
北京师范大学附属中学学年高一月自主学习诊断数学试题
高一数学IV 自主学习诊断 2016.2.23一、 填空题（每小题5分，共60分）1、 已知51sin +=23πα（），则cos α= 。
2、3x >-的解集为 。
3、 设,,,x y z R ∈若233x y z -+=，则222(1)x y z +-+之最小值为 ，又此时y = 。
4、 已知关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
5、 已知2sin cos 0αα+=，求222sin 3sin cos 5cos αααα--= 。
6、 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 。
7、已知2sin cos )θθθπ+=<<，则tan θ= 。
8、 设0,2t a π<<是大于0的常数，1()cos 1cos af t t t=+-的最小值是16，则a = 。
9、 函数22425(1)1x x x x x ++>++的最小值是 。
10、 已知函数sin[2()]3y x πϕ=-+是偶函数，且0ϕπ<<，则ϕ= 。
11、 ,,,230x y z R x y z ∈-+=，则2y xz 的最下值是 。
12、已知函数())4f x x π+，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；②点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心；③函数()f x的图像可以由函数2y x =的图像向左平移4π得到； ④若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x的值域为⎡⎣。
则所有正确结论的序号是 。
二、 解答题（共3小题，共40分）13、 已知函数()()cos (0,0)2f x x πϖϕϖϕ=+>-<<的最小周期为π，且()4f π=。
（1）（5分）求函数()y f x =解析式，并写出周期、振幅； （2）（5分）求函数()y f x =的单调递减区间；（3）（3分）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数()f x 在[]0,π上的图像。
北京市北师大附中2022高一数学上学期10月月考试题(含解析)
【分析】
（1）可设 ，从而求得 ，代入 并整理可得出
，从而得出 ；（2）配方得出 ，根据 的定义域为 即可得出 最小，并求出 ，从而可得出 的值域．
【详解】设 ，则 ，代入 得：
；
；
（2） ；
；
时， 取最小值 ，且 ；
的值域为 ．
【点睛】考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．
21.已知函数 的定义在 上的偶函数，且当 时有 .
⑴判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
⑵求函数 的解析式(写出分段函数的形式).
【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出 的表达式，即可得到 的解析式．
【详解】（1）函数 在 ， 上单调递增．
6.如果不等式ax2+bx+c<0（a≠0）的解集是空集,那么（）
A.a<0，且b2-4ac>0B.a<0且b2-4ac≤0
C.a>0且b2-4ac≤0D.a>0且b2-4ac>0
【答案】C
【解析】
【详解】设 要使不等式 的解集是 ，
需使抛物线开口向上，图象在x轴上方（或相切），
则 故选C
7.已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为 （ ）
【答案】9
【解析】
【分析】
直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数.
【详解】
当 （1） 时，若 （2） ，则 （3） ， （4） ；
若 （2） ，则 （4） ， （3） ，
若 （2） ，则 （3） ， （4） ，共3种；
2021-2022学年吉林省长春市北京师大附属学校高一(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年吉林省长春市北京师大附属学校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共18小题，共90.0分）1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A. 10种B. 60种C. 125种D. 243种2.五名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有()种．A. 24B. 36C. 48D. 604.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()种A. 480B. 360C. 240D. 1205.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有()A. 60种B. 54种C. 48种D. 24种6.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种7.当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是()A. 50B. 1440C. 720D. 21608.某校从8名教师中选派4名同时去4个地区支教(每地一名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有()A. 150种B. 300种C. 600种D. 900种9.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A. 720种B. 600种C. 360种D. 300种10.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A. 30种B. 50种C. 60种D. 90种11.下列表述正确的是()A. a⊆{a}B. {B}⊆{b,a}C. ⌀⊆{−1,1}D. 0∈⌀12.命题“∀x∈R，x2−x+5≥0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+x+5<0B. ∃x∈R，x2−x+5≥0C. ∀x∈R，x2−x+5>0D. ∃x∈R，x2−x+5<013.关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<3}，则a+b=()A. −1B. 0C. 6D. 1014.设x∈R，则“x>3”是“|x−1|>1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15.若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A. 1a <1bB. a2>b2C. ac2+1>bc2+1D. a|c|>b|c|16.设x∈R，则x>√2的一个必要不充分条件为()A. x<1B. x>1C. x<πD. x>π17.对于任意实数x，不等式(a−2)x2−2(a−2)x−4≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A. {a|a<2}B. {a|a≤2}C. {a|−2≤a<2}D. {a|−2≤a≤2}18.已知正数x，y满足x2+2xy−3=0，则2x+y的最小值是()A. 1B. 3C. 6D. 9二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）19.下列四个命题中，假命题是()A. ∀x∈R，x+1x≥2 B. ∃x∈R，x2−x>5C. ∃x∈R，|x+1|<0D. ∀x∈R，|x+1|≥020.下列说法正确的是()A. 命题：“∀n∈N，6n+7为质数”是真命题B. 命题：“梯形的对角线相等”是全称量词命题C. 命题：“对任意x∈R，总有x2+x+1>0”是真命题≥0的解集为{x|x<−3或x≥2}D. 不等式2−xx+3三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）21.大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有______种.(用数字作答)22.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有______种不同的选法．23.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙，丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有______种．(用数字作答)24.将7名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)25.已知集合A={0,|a|}，集合B={1,a}，若A∩B={1}，则a=______．26.已知x>0，y>0，且x+4y=1，则x+y的最小值为______．xy≤0是真命题，则实数a的取值范围是27.已知命题“∃x∈R，使4x2+(a−2)x+14______．28.已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B={1,2,3,4}，集合C是A的子集，且C∩B≠⌀，那么这样的子集C有______个．四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）29.已知集合A={x|x2+2−8≤0}，集合B={x|x+5>3}．(1)求A∪B；(2)求∁R(A∩B)．30.(1)已知x>0，y>0，且2x+3y=1，求xy的最大值；(2)已知x>0，求y=x2+x+1的最小值．2x31.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a−1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．32.为了持续推进“喜迎生物多样性，相约莞丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．33.设非空集合A={x|−m<x<2m−3}，集合B是关于x的不等式ax2−(a+1)x+1>0的解集．(1)若a=2，且A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若a∈R，求关于x的不等式ax2−(a+1)x+1>0的解集B．答案和解析1.【答案】B【解析】解：从中选3个并分配到3个志愿中，故有A53=60种，故选：B．从中选3个并分配到3个志愿中，问题得以解决．本题考查了简单的排列组合问题，关键是分清是排列还是组合，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：先选2人(除甲外)排在两端，其余的3人任意排，故A 42A33=72，故选：D．先选2人(除甲外)排在两端，其余的3人任意排，问题得以解决．本题考查了简单的站队问题，特殊位置优先安排，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查排列数公式和分步乘法计数原理的应用，属于简单题．根据题意，分3步进行分析：①将甲、乙两本书必须放在两端，②将丙、丁两本书看成一个整体，③将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，将甲、乙两本书必须放在两端，有A22=2种情况，②，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑2本书的顺序有A22=2种顺序，③，将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，有A33=6种情况，则有2×2×6=24种不同的摆放方法；故选：A．4.【答案】C【解析】解：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，有C52=10种分法；②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44=24种情况，则不同放法有10×24=240种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组再进行排列．5.【答案】D【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，在朝天门、解放碑景点中任选1个，有2种选法；再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C31A22=6种情况，则此时有2×6=12种方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在朝天门、解放碑景点中任选1个，有C31C21=6种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22=2种情况，则此时有2×6=12种方案；则甲不到瓷器口的方案有12+12=24种；故选：D．根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，分别求出每一种情况的方案的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：第一步，为甲地选一名老师，有C21=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有C42=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题7.【答案】D【解析】解：由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型．由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：A62A44.3、3类型的结果为：A63A33．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：2A62A44+A63A33=2160．故选：D．确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数．本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名老师，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法，则不同的选法有10+15=25种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24最后，由分步计数原理，可得共有25×24=600种方法，故选：C．分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，关键是分析受到限制的四人的选派方法．9.【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析：×A55=60种情况，①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有12②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有60×5=300种不同的顺序，故选：D．根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．本题考查分步计数原理，属于简单题．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10=20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10=30种，所以总共有20+30=50种．故选：B．11.【答案】C【解析】解：对于A，集合是自身的子集，“⊆”用在集合与集合的关系中，应为“a∈{a}”，故A错误；对于B，{B}⊈{b,a}，故B错误；对于C，空集是任何集合的子集，故C正确；对于D，空集表示不含任何元素，故D错误．故选：C．根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可．本题考查了元素与集合，集合与集合关系及符号使用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则命题“∀x ∈R ，x 2−x +5≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2−x +5<0”． 故选：D ．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：∵关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集是{x|1<x <3}， ∴1和3是方程x 2+ax +b =0的的实数根， 由根与系数的关系知，{−a =1+3b =1×3，解得a =−4，b =3， 所以a +b =−1． 故选：A ．先根据不等式的解集得到对应方程的两根，再利用根与系数的关系求出a 、b 的值，再计算a +b 的值．本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程的实数根应用问题，是基础题．14.【答案】A【解析】解：因为|x −1|>1，所以x −1>1或x −1<−1，解得x >2或x <0， 因为x >3⇒x >2或x <0，但x >2或x <0推不出x >3， 所以“x >3”是“|x −1|>1”的充分不必要条件． 故选：A ．不等式|x −1|>1的解为x >2或x <0，再根据充分必要条件的概念，结合小范围能推出大范围，但反过来不成立，即可得解．本题考查充分、必要条件的判断，绝对值不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D 不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1>0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．16.【答案】B【解析】解：因为x>√2⇒x>1，而x>1推不出x>√2，所以x>√2的一个必要不充分条件为x>1．故选：B．根据必要不充分条件的概念，结合小范围能推出大范围，但反过来不成立，即可得解．本题考查充分、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】D【解析】解：当a−2=0，即a=2，原不等式即为−4≤0恒成立；当a−2>0，即a>2时，y=(a−2)x2−2(a−2)x−4为开口向上的抛物线，原不等式不恒成立；当a−2<0，即a<2时，只需Δ≤0，即4(a−2)2+16(a−2)≤0，解得−2≤a<2．综上可得，a的取值范围是[−2,2]．故选：D．讨论a−2=0，a−2<0，a−2>0，结合二次函数的图象和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】B【解析】解：由x2+2xy−3=0，可得y=3−x22x，那么2x+y=3−x22x +2x=3+3x22x=32x+3x2≥2√32x×3x2=3，当且仅当x=1，y=1时取“=”；故得2x+y的最小值是3．故选：B．根据x2+2xy−3=0，消去y，利用基本不等式得出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．19.【答案】BD【解析】解：对于A，当x<0时，该命题显然不成立，故A错误；对于B，取x=10，显然该不等式成立，故B正确；对于C，|x+1|≥0恒成立，故C错误；对于D，|x+1|≥0恒成立，故D正确．故选：BD．根据全称量词命题以及存在量词命题真假的判断方法，结合不等式的解法，逐项判断即可．本题考查全称量词命题以及存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．20.【答案】BC【解析】解：对于A ，取n =7，则6n +7=49不是质数，故A 错误；对于B ，“梯形的对角线相等”即为“任意梯形的对角线相等”是全称量词命题，故B 正确；对于C ，x 2+x +1=(x +12)2+34>0显然恒成立，故C 正确；对于D ，2−x x+3≥0⇒x−2x+3≤0⇔{(x −2)(x +3)≤0x +3≠0，解得−3<x ≤2，故D 错误．故选：BC ．根据全称量词命题的概念以及真假的判断方法，分式不等式的解法求解． 本题考查全称量词命题真假的判断以及分式不等式的解法，属于基础题．21.【答案】36【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，再在A ，B ，C ，D 四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，分别求出每一种的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的综合应用，注意要先分组，再排列． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C 32=3种分组方法，再在A ，B ，C ，D 四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C 42A 22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种； 故答案为：36．22.【答案】16【解析】 【分析】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．由题意可知需要分两类，从A ，B 两门课程选1门或从A ，B 两门课程选2门，根据分类计数原理可得． 【解答】解：第一类，从A ，B 两门课程选1门，再从C ，D ，E ，F 中选2门，共有C 21C 42=12种，第二类，从A，B两门课程选2门，再从C，D，E，F中选1门，共有C22C41=4种，根据分类计数原理，可得共有12+4=16种，故答案为16．23.【答案】8【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，有4种情况，②，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法；③，将丙、丁安排在剩下的2个座位，有A22=2种情况，则有4×1×2=8种不同的选法；故答案为：8据题意，分3步进行分析：①，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，②，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法，③，将丙、丁安排在剩下的2个座位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．24.【答案】4620【解析】解：若甲校分配2名老师，剩余5位老师分成三组，则可以分成1，1，3或1，2，2，⋅A33，此时共此时甲校有C72，若分成1，1，3，则有C53A33，若分为1，2，2，则有C51⋅C422⋅A33)=21×150=3150，有C72(C53A33+C51⋅C422若甲校分配3名老师，剩余4位老师分成三组，则可以分成1，1，2，此时甲校有C73，若分成1，1，2，则有C42A33，此时有C73C42A33=1260，若甲校分配4名老师，剩余1位老师分成三组，则可以分成1，1，1，此时甲校有C74，若分成1，1，1，则有A33，此时有C74A33=210，合，3150+1260+210=4620．故答案为：4620．分别讨论甲校分，2名，3名，4名老师，剩余老师然后分成3组进行计算即可．本题主要考查排列组合的简单计数问题，根据甲校分配人数，然后进行分类讨论是解决本题的关键，是中档题．25.【答案】−1【解析】解：集合A ={0,|a|}，集合B ={1,a}， 又∵A ∩B ={1}， ∴|a|=1，a ≠1， 解得a =−1， 故答案为：−1．由A ∩B ={1}，可得1∈A ，进而可得|a|=1，a ≠1，解得即可．本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性，是基础题．26.【答案】9【解析】解：由x >0，y >0，且x +4y =1， 可得x+yxy =(x +4y)(1y +1x )=5+xy +4y x≥5+2√x y ⋅4y x=9，当且仅当x =2y =13时取等号， 所以x+yxy 的最小值为9． 故答案为：9．由乘“1”法和基本不等式，计算可得x+yxy 的最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘“1”法的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．27.【答案】{a|a ≤0或a ≥4}【解析】解：根据题意，命题“∃x ∈R ，使4x 2+(a −2)x +14≤0是真命题，即不等式4x 2+(a −2)x +14≤0的解集非空， 则有△=(a −2)2−4≥0， 解可得：a ≤0或a ≥4，即a 的取值范围为{a|a ≤0或a ≥4}； 故答案为：{a|a ≤0或a ≥4}．根据题意，分析可得不等式4x 2+(a −2)x +14≤0的解集非空，由此可得△=(a −2)2−4≥0，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及特称命题的定义，属于基础题．28.【答案】480【解析】解：∵C ∩B ≠⌀， ∴C ≠⌀，B ≠⌀，∵集合A ={1,2,3,…,9}，C ⊆A ，C ≠⌀， ∴满足条件的集合C 有29−1=511．A 中含有，B 中不含有时的元素为5，6，7，8，9． ∵{5,6,7,8,9}的非空子集有25−1=31，∴满足条件C ⊆A ，C ∩B ≠⌀的集合C 的个数有511−31=480． 故答案为：480．先考虑A 的所有子集，再求出对应集合的子集，故可求满足条件的集合C 的个数． 本题以集合为载体，考查集合的子集的个数，属于基础题．29.【答案】解：集合A ={x|x 2+2x −8≤0}={x|−4≤x ≤2}，集合B ={x|x +5>3}={x|x >−2}， (1)A ∪B ={x|x ≥−4}；(2)因为A ∩B ={x|−2<x ≤2}， 所以∁R (A ∩B)={x|x ≤−2或x >2}．【解析】化简集合A 、B ，根据并集、交集和补集的定义计算即可． 本题考查了集合的化简和运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．30.【答案】解：(1)由x >0，y >0，可得2x +3y =1≥2√6xy ，所以xy ≤124， 当且仅当x =14，y =16时，xy 取得最大值124；(2)若x>0，则y=x2+x+12x =12(x+1x+1)≥12(2+1)=32，当且仅当x=1时，y取得最小值32．【解析】(1)直接运用基本不等式，得到关于xy的不等式，再确定xy的最大值即可；(2)将函数的式子展开，再运用基本不等式求出最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，是一道基础题．31.【答案】解：(1)有题可知：A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，∵A∩B={2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4+4(a−1)+(a2−5)=0解得：a=−5或a=1当a=−5时，集合B={2,10}符合题意；当a=1时，集合B={2,−2}，符合题意综上所述：a=−5，或a=1．(2)若A∪B=A，则B⊆A，∵A={1,2}，∴B=⌀或B={1}或{2}或{1,2}．若B=⌀，则△=4(a−1)2−4(a2−5)=24−8a<0，解得a>3，若B={1}，则{△=24−8a=0x=−2(a−1)2=1−a=1，即{a=3a=0，不成立．若B={2}，则{△=24−8a=0x=−2(a−1)2=1−a=2，即{a=3a=−1，不成立，若B={1,2}.则{△=24−8a>01+2=−2(a−1)1×2=a2−5，即{a<3a=−12a=±√7，此时不成立，综上a>3．【解析】(1)根据条件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．(2)A∪B=A，等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．32.【答案】解：(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由题意可得，xy=200，则y=200x，又因为矩形草坪的长比宽至少多10米，则200x≥x+10，即(x+20)(x−10)≤0，解得−20≤x≤10，由x>0，所以0<x≤10，故草坪宽的最大值为10米；(2)设草坪的宽为x米，长为y米，由题意可得，xy=200，则y=200x，因为草坪四周及中间的宽度均为2米，则整个绿化面的长为2x+6米，宽为200x+4米，所以绿化面积为(2x+6)(200x +4)=424+8x+1200x≥424+2√8x⋅1200x=424+80√6，所以整个绿化面积的最小值为424+80√6平方米．【解析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，则y=200x，由题意，列出关于x的不等式，求解即可；(2)求出整个绿化面的长为2x+6米，宽为200x+4米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．33.【答案】解：(1)若a=2，B是关于x的不等式2x2−3x+1>0，解得B={x|x<12或x>1}，非空集合A={x|−m<x<2m−3}，A⊆B，可得{−m<2m−32m−3≤12或−m≥1，解得1<m≤74；(2)不等式ax2−(a+1)x+1<0等价于(ax−1)(x−1)<0，a∈R；当a=0时，不等式化为x−1>0，解得x>1；当a>0时，不等式等价于(x−1a)(x−1)<0，若0<a<1，则1a >1，解得1<x<1a；若a=1，则1a=1，解得x∈⌀；若a>1，则1a <1，解得1a<x<1；当a<0时，不等式等价于(x−1a)(x−1)>0，且1a <0<1，解得x<1a或x>1；综上，a=0时，不等式的解集为(1,+∞)，0<a<1时，不等式的解集为(1,1a)；a=1时，不等式的解集为空集；a>1时，不等式的解集为(1a,1)；a<0时，不等式的解集为(−∞,1a)∪(1,+∞)．【解析】(1)将a=2代人不等式求解，再结合A⊆B，建立不等关系求解即可；(2)不等式化为(ax−1)(x−1)<0，讨论a的取值，从而求得不等式的解集．本题考查了一元二次不等式与对应方程关系应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。
北京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学第一次月考试题
15．设 ， ，则当 ______时， 取得最小值.
三、双空题
16．已知 ，当 _________时，则 有最小值为____________
四、解答题
17．（1）求方程组 的解集
（2）已知 是正实数，且 ，试比较 与 的大小，并证明
故选：C
【点睛】
本题考查韦恩图、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．B
【分析】
根据题意可得 或 解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.
【详解】
若 ，可得
当 时，解得 ，此时 ，
不满足集合的互异性，故 （舍去），
当 ，解得 （舍去）或 ，此时 ，
满足题意，故实数 的值为-3.
故选：B
14．
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，根据 ：“ ”是 ：“ ”的充分不必要条件，判断出 是 的真子集，由此列不等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】
依题意 ，解得 或 .由于 ：“ ”是 ：“ ”的充分不必要条件，所以集合 是集合 的真子集，故 .即 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，属基础题.
5．D
【分析】
根据基本不等式求最值.
【详解】
当且仅当 时取等号，
因此 有最小值8
故选：D
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属基础题.
6．C
【分析】
根据阴影部分与对应集合关系可直接判断得结果.
【详解】
由图可知：阴影部分中元素在集合 中、且在集合 中、且不在集合 中,即在集合 中,因此阴影部分表示的集合为
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北师大附中上学期高一数学月考试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.每个小题的四个选项中,只有一个是正确的,请将你认为正确的答案对应的字母填入答案卷的表格中)
1．已知集合A {x |2x },a 23=π=＜＜ ,则下列关系正确的是
A ．a A ⊆
B ．a =A
C ．a ∈A
D ．a ∉A
2．在区间)0,(-∞上为增函数的是
A ．1=y
B ．21+-=x
x y C ．122---=x x y D ．21x y +=
3. 如果S {1,2,3,4,5},M {1,3,4},N {2,4,5}===那么 S （M ）
ð∩S ( N)ð等于 A ．∅ B ．{1,3}
C ．{4}
D ．{2,5}
4．已知定义在R 上函数y f (x)=满足f (1)f (3)>，若12x x <,则关于1f (x ),2f (x )的大小关系正确的是
A ．12f (x )f (x )<
B ．12f (x )f (x )>
C ．12f (x )f (x )=
D ．无法确定
5．函数y=f(x)的图象经过第三、第四象限,则1y f (x)-=的图象经过
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第三 、四象限
D ．第一、四象限
6．已知函数2f (x)x 2x 8=--的定义域是A,1g(x)1|x a |
=--的定义域为B,则使A ∩B=∅的实数a 的取值范围是
A ．{a|-1＜a ＜3}
B ． {a|-2＜a ＜4}
C ．{a|-1≤a ≤3}
D ． {a|-2≤a ≤4}
7．已知函数f (x)|x |=，在①2y x =,②2
y (x)=,③2x y x =,④x ,x 0 ;y x,x 0 .
>⎧=⎨-<⎩中与f (x)为同一函数的函数的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知p ：x=2或x=4,q ：x-4=4x -,则 p 是 q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知函数y f (x)=的反函数为1y f (x)-=,则函数1y f (x 1)-=+的反函数的是
A. y f (x 1)=+
B. y f (x)1=+
C. y f (x 1)=-
D. y f (x)1=- 10．已知函数22f (x)2x x , g(x)f (2x )=-=-,下面关于函数g(x)的单调性的叙述正确的是
A. 在(-1,0)上是增函数
B.在(0,1)上是减函数
C. 在(1,+∞)上是减函数
D.在(-∞,-1)上是减函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答案卷相应的横线上)
11. 若函数211f (x)ax ax a 4
=-++的值域为[1,+∞),则实数a 取值的集合为 . 12. 已知f (x)=x 5 (x 5)f (x 4) (x 5)-⎧⎨+⎩
≥＜，则(3)f = . 13．已知函数2f (x)x x =+ (x ≤12
-),则f(x)的反函数为 . 14．若函数f(x)=a 2x +2x+2在区间(,4]-∞上递增，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分10分）
已知a,b 为常数,若2f(x)x
4x 3,=++2f(ax b)x 10x 24+=++,求5a-b 的值.
16. （本小题满分10分）
解关于x 的不等式 2ax x ax 1++＜
17. （本小题满分10分）
已知a ＜b,全集U={x|-1≤x ＜3},B={x|x a x b
++＞0,且x ∈U}且 U B U =ð.求实数a 的最大值,b 的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知p ：关于x 的方程2x ax a 30-++=的两根都在(- ∞,1)上;
q ：|x-1|+|x+2|+a ＜0的解集不是空集.若“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分） 已知函数f (x)1ax (a =+＜0).
（Ⅰ）写出函数f (x)的定义域;
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明 f (x)在其定义域上是减函数; （Ⅲ）记1y f (x)-=为函数y f (x)=的反函数,求使不等式11f (x)2a
-+＞0成立的x 的集合. 参考答案及评分标准：
一、选择题(每小题3分,共30分)
DBADB CAADC
二、填空题 (每小题4分,共16分)
11. {1} 12. 2 13. -1 14. [1,04
-] 三、解答题(共54分)
15.解：由题222f (ax b)a x (2ab 4a)x b 4b 3+=+++++………………3分 又2f (ax b)x 10x 24+=++
∴22a 12ab 4a 10b 4b 324⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩
…………………………………6分
解得：a=1,b=3 或a=-1,b=-7 ………………………8分 ∴5a-b=2 ………………………………………………10分
16.解：原不等式等价于 (ax+1)(x-1)＜0
当a=0时, x ＜1
当a ＞0时,1x 1a
-＜＜ ………………………2分 当a ＜0时,原不等式可化为 1(x )(x 1)0a
+-＞ ① 当-1＜a ＜0时,11a -＞ 1x a
＞-或x ＜1; ………………4分 ② 当a=-1时, x ＜1;
③ 当a ＜-1时, 11a -＜ x ＞1或x ＜1a
-………………8分 ∴原不等式的解集为：
（1） 当a ＞0时, 1{x |x 1}a
-＜＜; （2） 当a=0时, {x|x ＜1};
（3） 当-1＜a ＜0时, {x|1x a
＞-或x ＜1}; （4） 当a=-1时, {x|x ∈R,且x ≠1};
（5） 当a ＜-1时, {x| x ＞1或1x a
＜- }. …………10分 17.解：∵a ＜b ∴-a ＞-b
∴B={x|x ＞-a 或x ＜-b,x ∈U} ………………2分
∵ U B U =ð
∴{x|x ＞-a 或x ＜-b }∩U=∅ ………………4分 ∴{a 3b 1---≥≤ ………………………………………6分 ∴a ≤-3,b ≥1 …………………………8分 故a 的最大值为-3,b 的最小值为1. …………10分
18.解：由题p ：a ≤-2 p ：a ＞-2 ………………3分
q ：a ＜-3 q ：a ≥-3 ………………6分
∵p 且q 为假, ∴p,q 至少一个为假 …………8分 ∴满足要求的a 的取值范围是 {a|a ＞-2}∪{a|a ≥-3}
={a|a ≥-3}. …………………12分
19.解：(Ⅰ)函数的定义域为 {x|x ≤1a
-} …………2分 (Ⅱ)证明（略） …………………7分
(Ⅲ)f (x)的值域为[0,+∞)
∴反函数的定义域为[0,+∞)
………8分 又f (x)在1(,)a
-∞-上为减函数 ∴原不等式等价于 112f[f (x)]f ()2a 2--
=＜ ∴0≤x ＜
22 原不等式的解集为 2x |0x 2⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
≤＜ …………12分。