第1章_预备知识

模糊数学
第一章
预备知识
主要内容
1.1 集合 1.2 关系与映射 1.3 格
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
集合：一般指具有某种特定属性的、确定 的、彼此间可以区别的事物的全体。 论域：所讨论的全体事物组成的集合，又 称为全集、全域，空间，一般用 U 表示。 集合的基数：一个集合的元素的个数。 有限集(有穷集)；无限集(无穷集)。
例 2 设 X = Y = R 是实数集，则直积 XY = R2 是整个实平面。令 R1 = {(x, y) | y = 2x, xX, yY } R2 = {(x, y) | x > y, xX, yY } 则 R1 和 R2 均为 R 上的二元关系，分别表示“y 是 x 的 2 倍”和“x 大于 y”的关系。它们都是 直积 R2 的子集，如图 5 中的直线 l 和图 6 中直 线 y = x 下方的阴影所示。
集合系(集合族)：以集合为元素组成的一 个新的集合。 幂集：由论域 U 的所有子集组成的集合系， 称为 U 的幂集，记为 P (U)。 论域：所讨论的全体事物组成的集合，又 称为全集、全域，空间，一般用 U 表示。 空集；包含； 子集； 相等； 并集 AB；交集 AB；补集(余集) AC； 差集：由属于 A 但不属于 B 的所有元素组 成集合。
(3) 图示法 图示法就是用文氏图(Venn diagram)来表示 集合或者集合之间关系。 文氏图是在不太严格的意义下用以描述集 合(或类)的一种草图，一般用它们来展示集合 或集合之间大致的数学或逻辑联系，也常常被 用来帮助推导(或理解)关于集合运算的一些规 律。 如图 1 所示。
图 1 表示集合的文氏图
(1) 枚举法：也称为列举法 即一一列写出集合的全体元素。 如果 x1, x2, …, xn 是论域 U 中属于集合 A 的元素的全体，则 A 用枚举法记为 A = {x1, x2, …, xn}。 例如， A = {1, 6, 11, 50} ——有限集 B = {1, 2, 3, …} ——无限集
1, 60 x 100 A ( x) , x U 0, 否则
特征函数的示意图如图 3 所示。
χ (x) A
1
0.5
x
0
60
A
100
x
图 3 集合 A 的特征函数示意图
特征函数与集合是一一对应的。对于论域 U 中的任意一个子集 A，都存在唯一的一个特 征函数 A(x) 与之对应；反之，任给一个特征函 数 A(x)，都唯一确定一个集合 A = {x | A(x) = 1} 在这种意义下，我们说集合 A 与其特征函 数 A(x) 是等价的，记作 A A(x)。
习惯上，X ... X 简记为 X n。因此，数学 上经常用 R2 和 R3 来表示 2 维和 3 维欧氏空间。 直积是两个或多个集合元素之间的无约束 搭配(序偶)。若对搭配予以约束，就形成了通 常意义下的“关系”。
例 1 设 X = {x1, x2, x3, x4} 表示父辈 4 个人 x1, …, x4 的集合，Y = {y1, y2, y3, y4} 表示子辈 4 个 人 y1, …, y4 的集合。如果 x1 与 y3、x2 与 y4、x3 与 y2 分别是父子，并且用 R 表示“父子关系”，则 R 可以看成是 XY 中一些序偶的集合，即 R = {(x1, y3), (x2, y4), (x3, y2)}，或者说 R 是 XY 中受某种约 束的序偶构成的集合。如果 x1 与 x3、x2 与 x1、x2 与 x3 分别是兄弟，并且用 Q 表示“兄弟关系”， 则 Q 可以看成是 X2 中一些序偶的集合，即 Q = {(x1, x3), (x2, x1), (x2, x3)}，或者说 Q 是 X2 中受某种 约束的序偶构成的集合。
容易看出，直积 XY 中受约束的所有序偶 构成 XY 的一个子集，即 RP (XY)。 因此 ， 集 合 直 积 的 子 集 可 以 描 述 所 谓的 “关系”，关系的内涵寓于两个集合元素之间 搭配(序偶)的约束之中。
定义3 给定非空集合 X 和 Y。如果 RP.(XY)，则称 R 为从 X 到 Y 的一个二元关 系。当 (x, y)R 时，称 x 与 y 适合关系 R，记作 xRy；当 (x, y)R 时，称 x 与 y 不适合关系 R， 记作 xR y。特别地，当 X = Y 时，从 X 到 Y 的关 系 R 称为 X 上的二元关系。 显然，例 1 中的 R 是从 X 到 Y 的一个二元 关系，而 Q 是 X 上的一个二元关系。
(6)零壹律：A = A, AU = A AU = U, A = (7) 复原律：(AC)C = A, 或 A A (8) 互补律：AAC = U, AAC = (9) 对偶律(De Morgan 律)： (AB)C = ACBC (AB)C = ACBC
1.1.4 集合运算的推广
定义 1 设 X 和 Y 是两个非空集合，若 xX, yY，将 x 与 y 搭配成元素对 (x, y)，称 (x, y) 为 x 与 y 构成的序偶(2元有序组)。一般地 (x, y) (y, x)
定义 2 所有序偶 (x, y) 构成的集合称为 X 与 Y 的直积(笛卡尔积)，记为 XY = {(x, y) | xX, yY} 一般地 XY YX。 设 X1, ..., Xn 是 n 个非空集合，若 xiXi，i = 1, 2, ..., n，则称 (x1, x2, ..., xn) 为 n 元有序组，称 X1 ... Xn = {(x1, ..., xn) | xiXi, i = 1, ..., n} 为 X1, X2, ..., Xn 的直积(笛卡尔积)。
tT tT
2. A (t )C ( At )C
tT tT
4. ( At )C ( At )C
tT tT
1.2 关系与映射
关系可以用集合的直积来严格地表述。映 射则是特殊的二元关系。 1.2.1 二元关系的概念
u A B 对u U , u A, 或u B 对u U , C A (u ) 1或CB (u ) 1 对u U , max{C A (u ), CB (u )} 1 C A B (u ) max{C A (u ), CB (u )} u A B 对u U , u A且u B C A (u ) 0且CB (u ) 0 C A B (u ) max{C A (u ), CB (u )}
(4) 特征函数法 在经典集合论中，一个元素 x 和一个集合 的关系只能是 xA 或者 xA。这种关系除了可 以用枚举法或描述法刻划之外，还可以通过特 征函数来刻划。
设 A 是论域 U 的一个子集，即 AU，则集 合 A 的特征函数是从 U 到 {0, 1} 的映射
A: U {0, 1}，x A(x)
A ( x) 1 A ( x)
C
AB ( x) max{ A ( x), B ( x)} AB ( x) min{ A ( x), B ( x)}
然而我们知道一个普通集合总是与论域到{0,1}上的一个映射 （即特征函数）对应的，所以利用特征函数可将通常的集合的 关系与运算方式转化成“点态”式操作（或运算），设 1, u A 1, u B C A (u ) C B (u ) 0, u A 0, u B 则A B u U , 若x A, 则x B u U , 若C A (u ) 1, 则CB (u ) 1, 若C A (u ) 0，则CB (u ) 0或CB (u ) 1 对u U , C A (u ) CB (u ). A B 对u U , C A (u ) CB (u ).
注意：以后常用的一种提法 论域中具有某些特定属性的元素的全体称 为论域的经典子集或普通子集，也称为论域上 的经典集合或普通集合，简称集合或集。
1.1.2 集合的表示及特征函数
通常我们知道的集合表示方法有三种：枚 举法，描述法和图示法。
此外 ， 还 有 一 种 后 面 常 常 用 到 的 表 示方 法——特征函数法。
集合的运算性质：
对任何 A, B, CP (U) (1) 幂等律：AA = A, AA = A (2) 交换律：AB = BA, AB = BA (3) 结合律：(AB)C = A( B C ) (AB)C = A(B C)
(4) 吸收律：(AB)A = A, (AB)A = A (5) 分配律：A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC)
Y
l y = 2x
4
0
2
X
图 5 描述 y = 2x 的二元关系
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
图 6 描述 x > y 的二元关系
令
例 3 设 X 是非空集合，P.(X) 为 X 的幂集。 R1 = {(A, B) | A=B, A, BP.(X)} R2 = {(A, B) | AB, A, BP.(X)} R3 = {(A, B) | AB, A, BP.(X)} R4 = {(A, B) | AB = , A, BP.(X)}
其中
1, x A A ( x) , x U 0, x A
特征函数的示意图如图 2 所示。
χ A (x)
1 1
χ (x) A
0.5
0.5
0 2 1.5
A
x
0
60
图 2 集合 A 的特征函数示意图
例如，对于集合 A = {x | 60 < x 100}，其 特征函数如下：
集合的并、交运算可以推广到集合族上去。
设 {At | tT} 是一集合族，T 是指标集(有 限集或无限集)，定义
tT
At x | x U , t T , 使得 x At } At x | x U , t T , 使得 x At }