一类具有垂直传播的捕食传染病模型的全局分析
一类食饵中存在疾病的捕食系统的SIS传染病模型
整（ ｅ ｃｔ Ｈ ｔ ｏｅ等【】 ｈ １没有讨论正平衡点的稳定性） ０ 。本文通过理论分析，给出了各类平衡点全局
渐近稳 定性 的条件 ，揭 示 了捕食 因素对疾病 传播的影响 ，并且与相应 的单种群传染病模型进行 了详细的 比较 。所得结论表 明，捕食者 的引入 ，将会使原来 的单种群传染病模 型的稳定性态无 论是定量 上还是定性上都将产生变化 。
文章￣ ： ０ － ８（ ０）１ ０１ ８ １ ５ ０５２ ７ ・ ７・ ０ ３ ０ ００ ０
一
类食饵 中存在疾 病 的捕食 系统
的 ＳＳ传染病模 型半 Ｉ
韩丽涛
（ 中国人民大学信 息学院，北京 １０ ７） ０８２
摘
要： 究 了一类疾病 只在食饵 中存 在的捕食系统 的 ＳＳ传染病模 型。在此模型 中，不考虑疾病对 捕 研 Ｉ 获率的影响。通过理论分析 ，给 出了各类平衡 点全局渐近稳定性 的条件 ，揭示 了捕食因素对疾病 传播的影响。所得结论表明，捕 食者 的引入 ，将会使原来 的单种群传染病模型 的稳定性态无论是
工
程
数
学
学
报
第２卷 ４
警 一ｒ 一吴 日一Ｅ Ｈ ， （ ） ｙ—ａ Ｐ ｉ
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为食饵 的环 境容 纳量 ，０为捕
食作用系数，ｂ ； 为食饵的出生率，ｄ １ ）Ｈ 为食饵的 自 一旦 ＋（ 一 可 ｒ 然死亡率，ｋ为捕食者的
一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳
文 章编 号：１ ６ ７ ４ － ８ ０ ８ ５ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ０ １ ３ － ０ ４
一
类具 有饱和传 染率 、免疫接种和垂直传染 的 Ｓ Ｉ Ｒ
传 染病 模 型 的 全局稳 定性 分 析
朱 春 娟
（ 韶关 学院 数学 与统 计学 院 ，广东 ，韶 关 ５ １ ２ ０ ０ ５ ）
ｓ ａｂ ｔ ｉ ｌ ｉ ｙ ｔ
还 有更 符 合实 际 的饱和接 触 率 。在 传 统 的流 行 病模
０ 引言
传染 病在 现实 生活 中广 泛存 在 ，利 用动力 学方 法来 研究 传染 病是 非常 重要 的方 法之 一【 】 。 】 。 在 文献
型 中 ，通常 假设平 均 每个 染病者 在 单位 时问 内可与
ｒ
能力 总是 有 限的 ，因而接 触率不 会 随着种 群规 模 的
无 限增大 而增 大 ，而应 该逐 渐趋 于一 个饱和 状 态 。 在对 １ ９ ７ ３ 年 发 生 在 巴里 的霍 乱 疫 情 研 究 之 后 ，
Ｃ ａ ｐ ａ ｓ ｓ ｏ ａ ｎ ｄ Ｓ ｅ ｒ ｉ ｏ在传 染 病模 型 中引进 了饱 和传染 ｇ （ Ｉ ） Ｓ［ １ ０ ］ ０
摘
要 ：针对一类具有饱和传染率 、免疫接种和垂直传 染的 Ｓ Ｉ Ｒ传染病模型 ，确 定了疾病 的基 本再生数 。得 出结
论 ：当疾病 的基 本再 生数 小于 ｌ 时，无病平衡点是全局渐近稳定的 ，当疾 病基 本再生数大于 １ 时，地方病平衡 点
是全局渐近稳定的。
关键词 ：Ｓ Ｒ 传染病模 型；饱和传染率 ；免疫接种 ；垂直传染；稳定性 Ｉ
Ｚ ＨＵ Ｃ ｈ ｕ ｎ － ｊ ｕ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｓ ｈ ａ ｏ ｇ ｕ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｓ ｈ ａ ｏ ｇ ｕ ａ ｎ ， Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ ５ １ ２ ０ ０ ５ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
一类手足口病模型的全局稳定性分析
一类手足口病模型的全局稳定性分析刘俊利;刘文娟【摘要】研究具有隐性传染和隔离措施的手足口病模型,计算模型的基本再生数.结果表明,当基本再生数小于1时,模型仅有唯一的无病平衡点,利用线性化方法和Lyapunov函数方法,讨论无病平衡点的全局渐近稳定性.当基本再生数大于1时,无病平衡点不稳定,模型还存在唯一的地方病平衡点,通过构造合适的Lyapunov函数证明地方病平衡点的全局渐近稳定性.%To study a hand-foot-mouth disease model with recessive infection and quarantine measure,the basic reproduction number is obtained.The result show that when the basic reproduction number is less than unity,there is only the disease free equilibrium,by the linearization and Lyapunov function methods,the global stability of the disease-free equilibrium is discussed.When the basic reproduction number is great than unity,the disease free equilibrium is unstable,there is also an endemic equilibrium,appropriate Lyapunov function is constructed to prove the global stability of the endemic equilibrium.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2017(030)001【总页数】6页(P29-34)【关键词】手足口病;基本再生数;全局稳定性;Lyapunov函数【作者】刘俊利;刘文娟【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.1手足口病是由肠道病毒引起的传染病,引发手足口病的肠道病毒有20多种,其中以柯萨奇病毒A16型(Cox A16)和肠道病毒71型(EV 71)最为常见[1-2].患者、隐性感染者、无症状带毒者为主要传染源[3].人群普遍易感,受感后可获得免疫力,主要传染人群为5岁以下儿童.其感染途径包括消化道,呼吸道及接触传播.大部分的患者会伴有食欲不振、恶心、呕吐、头疼等症状,少数人会出现严重症状,甚至导致死亡,还有些患者则不表现任何症状(文中称这一部分为隐性患者).目前缺乏有效治疗药物. 传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法[4-5],对手足口病传播的理论研究,目前已有一些相关的数学模型.文献[6]研究了一个简单的SIR模型来预测沙捞越的手足口病患病人数和疾病的持续时间.文献[7]研究了一类具有隔离且潜伏期及感染期均有传染性的手足口病SEIQR模型,得到了无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点局部稳定的条件.文献[8]研究了手足口病的最优控制策略.文献[9]建立了一个带有隐性传染的手足口病模型,证明了无病平衡点的稳定性,疾病的一致持续性和正平衡点的存在性.文献[10-11]研究了具有周期结构的手足口病模型,表明了隔离措施在疾病控制上有较好的作用.文献[12]建立了具有年龄结构和隔离措施的偏微分方程手足口病模型,讨论了无病平衡态和地方病平衡态的局部渐近稳定性．文献[6-8]中均没有考虑儿童手足口病患病者中的隐性患者,而且只给出了地方病平衡点的局部稳定性分析.文献[9]虽然考虑了隐性患者,但是地方病平衡点的唯一性和稳定性均没有考虑.本文在文献[6-9]手足口病模型的基础上,考虑儿童手足口病的隐性患者,并加入隔离措施,给出模型的全局性态分析.首先给出模型的基本再生数,然后通过线性化方法和Lyapunov函数方法,讨论无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性,所得结论推广了以往文献中的相关结论.设儿童的总人口数量为N(t),把儿童人群分为6个仓室:易感者,潜伏者,显性患者,隐性患者,被隔离者,恢复者,其人口数量分别记为S(t),E(t),I1(t),I2(t),Q(t)和R(t).假设A 为成年人群每年的出生率,βk和β分别为显性患者和隐性患者的传染率,d表示儿童的自然死亡率,σ为儿童从潜伏者到染病者的转化系数,γ1,γ2,γ3分别为显性患者,隐性患者和被隔离者的恢复率,α1,α2,α3分别为显性患者,隐性患者和被隔离者的因病死亡率,p为儿童患者中显性患者所占的比例(0<p<1),q为患病者的隔离率,a为从儿童群体到成人群体的转移率.根据以上假设,得到如下手足口病模型因为总人口N(t)=S(t)+E(t)+I1(t)+I2(t)+Q(t)+R(t),则有因此.则模型(1)的正向不变集为模型(1)总有一个无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0),其中.根据文献[13]的第3部分,计算得到模型(1)的基本再生数为当R0>1时,模型(1)还存在唯一的地方病平衡点,其中d.本节将利用线性化方法和构造Lyapunov函数来证明平衡点的全局渐近稳定性. 定理1 当R0<1时,无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)全局渐近稳定;当R0>1时,无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)不稳定.证明对模型(1)在P0=(S0,0,0,0,0,0)处进行线性化,则得到P0=(S0,0,0,0,0,0)处的特征方程为其中显然λ1=-(γ3+α3+d),λ2=λ3=-(a+d)为特征方程(3)的3个特征根.当R0>1时,c3<0,因此方程(3)有正根,故P0=(S0,0,0,0,0,0)不稳定.当R0<1时,c3>0,且,则有c2>ω1ω2,c1c2-c3>(σ+d)ω1ω2-ω1ω2(σ+d)×(1-R0)=ω1ω2R0(σ+d)>0.由Routh-Hurwitz判据知方程(3)的所有特征根均具有负实部,则无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)是局部渐近稳定的.由模型(1)得(a+d)S,因此对任意给定的ε>0,存在T>0,当t>T时,有ε.当R0<1时,存在充分小的ε>0,使得当t>T时,构造如下Lyapunov函数则有β[S(t)-(S0+ε)](kI1(t)+I2(t))≤0.记则M1中的最大不变集为{P0},由LaSalle不变集原理[14]得当R0<1时P0=(S0,0,0,0,0,0)是全局渐近稳定的.已知函数g(x)=x-1-lnx≥0(x∈(0,+∞)),即1-x≤-lnx,下面利用此不等式证明地方病平衡点P*的全局稳定性.定理2 当R0>1时,地方病平衡点在Ω\{P0}内全局渐近稳定.证明令,则有令D=a1D1+a2D2+a3D3,其中ai(i=1,2,3)为待定的正常数,得取,得D′|(1)≤0,记则M2中的最大不变集为{P*},由LaSalle不变集原理[14]知当R0>1时,全局渐近稳定.当儿童患者中显性患者所占比例p=1时,即所有患病儿童均为显性患者,文献[7,9,15-17]考虑的模型均是这种情况,此时模型(1)变为如下形式模型(4)的正向不变集为模型(4)总有一个无病平衡点0=(S0,0,0,0,0).模型(4)的基本再生数为.当R0>1时,模型(4)还存在一个地方病平衡点,其中当时,构造如下Lyapunov函数与证明定理1和定理2类似,对模型(4)的平衡点,有如下全局稳定性结论.定理3 当0<1时,无病平衡点0=(S0,0,0,0,0)全局渐近稳定;当0>1时,无病平衡点不稳定,地方病平衡点在{}内全局渐近稳定.本文讨论了具有隐性传染和隔离措施,且显性患者和隐性患者都有传染性的手足口病传染病模型,得到了模型的基本再生数,此基本再生数完全决定了模型的动力学行为.利用特征根方法和Lyapunov函数方法得到了模型的无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性.E-mail:*****************LIU Junli,LIU Wenjuan.Global stability analysis of a class of hand-foot-mouth disease model[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2017,30(1):29-34.【相关文献】[1] WANG Xiaoli,WU Xiaona,JIA Lei,et al.Estimating the number of hand,foot and mouth disease amongst children aged under-five in Beijing during 2012,based on a telephone survey of healthcare seeking behavior[J].BMC Infectious Diseases,2014,14:437.[2] 郑跃杰,王文建.儿童手足口病[J].中华实用儿科临床杂志,2013,28(22):1692-1694.ZHENG Yuejie,WANG Wenjian.Children hand-foot-mouth disease[J].Journal of Applied Clinical Pediatrics,2013,28(22):1692-1694.[3] 赵永男,刘萍,史峻平,等.2008年中国阜阳手足口病爆发的研究调查[J].数学的实践与认识,2009,39(20):86-91.ZHAO Yongnan,LIU Ping,SHI Junping,et al.The research about outbreak of hand,foot and mouth disease in Fu-yang China,in 2008[J].Mathematics in Practice andTheory,2009,39(20):86-91.[4] LIU Junli,JIA Ying,ZHANG Tailei.Existence of periodic solution in eco-epidemic system with impulsive effect[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(3):315-321.[5] 彭宝洋,刘俊利,刘璐菊.一类具有卡介苗接种的肺结核模型的全局动力学分析[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(3):271-275.PENG Baoyang,LIU Junli,LIU Luju.Global dynamics of a tuberculosis model with BCG vaccination[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(3):271-275.[6] TIING F C S,LABADIN J.A simple deterministic model for the spread of hand,foot and mouth disease (HFMD) in Sarawak[J].Second Asia International Conference on Modelling and Simulation,2008:947-952.[7] 孟新友,向红,朱毓杰,等.一类手足口病SEIQR传染病模型的稳定性分析[J].甘肃科学学报,2012,24(2):42-46.MENG Xinyou,XIANG Hong,ZHU Yujie,et al.Stability analysis of a class of SEIQR epidemic model for hand,foot and mouth diseases[J].Journal of Gansu Sciences,2012,24(2):42-46.[8] YANG Junyuan,CHEN Yuming,ZHANG Fengqin.Stability analysis and optimal control ofa hand-foot-mouth disease (HFMD) model[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2013,41(1):99-117.[9] 马扬军,刘茂省,赵金庆,等.具有隐性传染的手足口病模型分析[J].数学的实践与认识,2012,42(24):205-210.MA Yangjun,LIU Maoxing,ZHAO Jinqing,et al.Analysis of a hand-foot-mouth disease with the recessive infection[J].Mathematics in Practice and Theory,2012,42(24):205-210. [10] LIU Junli.Threshold dynamics for a HFMD epidemic model with periodic transmission rate[J].Nonlinear Dynamics,2011,64(1):89-95.[11] MA Yangjun,LIU Maoxing,HOU Qiang,et al.Modelling seasonal HFMD with the recessive infection in Shandong,China[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2013,10(4):1159-1171.[12] 苏细容,刘胜.具有年龄结构和隔离措施的手足口病SEIQR模型[J].科学技术与工程,2009,9(18):5311-5315.SU Xirong,LIU Sheng.Age-structured HFMD Model with Isolation[J].Science Technology and Engineering,2009,9(18):5311-5315.[13] Van den DRIESSCHE P,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180:29-48.[14] LASALLE J P.The stability of dynamical systems[M].Philaelphia:SIAM,1976:49-78.[15] 王晓红.一类具有潜伏期的SEIR手足口病模型的研究[J].吕梁学院学报,2015,5(3):9-12. WANG Xiaohong.Research for a class of latency HFMD SEIR model[J].Journal of Luliang Higher College,2015,5(3):9-12.[16] 李春.手足口病传播的数学模型与数值模拟[J].郑州轻工业学院学报(自然科学版),2013,28(6):105-108.LI Chun.Mathematical model and numerical simulation of hand foot and mouth diseasespread[J].Journal of Zhengzhou University of Light Industry(Natural Science Edition),2013,28(6):105-108.[17] 黄娜,陈学华.手足口病型传染病的数学模型[J].淮阴师范学院学报(自然科学版),2008,7(4):267-269.HUANG Na,CHEN Xuehua.The mathematical model of infectious disease of HFMDtype[J].Journal of Huaiyin Teachers College(Natural Science Edition),2008,7(4):267-269.。
一类具有垂直传染且带隔离项的SIQS模型
２ 平 衡 点
定理１ 记尺 ＝ 。 丽 ， 对于系统（） １总存在无病平衡 Ｐ（ ｏ ，，）当 ＜ 。。 ， １
时， 只存在 这一 个无 病平 衡点 ， Ｒ ＞１ ， 当 。 时 系统 还存 在唯 一 的正地 方病平 衡 点 Ｐ Ｓ ， Ｑ ， 中 ： （ ， ， ） 其
利用稳 定性 理论 ， 到 了各 类平衡 点 的全局 稳 定性 。 得 关 键词 ： 行病 ； 病平衡 点 ； 方病 平衡 点 ； 流 无 地 阈值 ； 全局 稳 定性
中图分 类号 ： １ ５ Ｏ ７
文 献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ ３—０ ６ （ ０ １ ０ ０ １ — ４ １７ ５ ９ ２ １ ） ３— ２ １ ０
０ 引 言
众所 周 知 ， 染病 的传 播规 律 和 防 治 对 策 的研 究 是 关 系 到 围计 民生 的萤 大 问题 ， 在 １２ 传 早 ９７年 ， ｅ— Ｋｒ ｍ ｒ Ｍｃｅｄｉ ａｋ和 ｋｎ ｒｋ就利 用动 力学 方法 建立 了传染病 传 播 的基本 数学 模 型 ＳＲ传染 病 模 型 ， 过 对 这种 数 ｃ Ｉ 通 学模 型 的研究 ， 出 了阈值 理论 ， 提 揭开 了传 染病 数 学模 型 研究 的篇 章 。随 着传 染 病 模 型研 究 的深 入 ， 们 人
在 现 实生 活的一 些疾 病 的传播 过 程 中 ， 某些 疾病 不 仅通 过接 触传 染 ， 而且 还具 有遗 传性 ， 即垂直 传染 ，
这种传 播方 式在 维持 疾病 的延 续 有着 重 要 的作用 。垂 直传 染 病 模 型 已有 广 泛 的研 究 ， 献 ［ ］ 文 ４ 研究 了具
有 标准 传染 率 的脉 冲免疫 及垂 直传 染模 型 ， 出 了无病 周期 解 的全局 稳 定性 和基 本再 生数 。 给 本 文研 究 了一类 具有 垂 直传 染 和带 有 隔离 项 想 ， 义 了模 型 ５— ］ 定
一类具有预防接种和垂直传染的SIRS传染病模型分析
中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １
文献标识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ７ － ５ ３ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２ — ０ ０ １ ０ － ０ ４
近年 来 ， 研究 的传染 病模 型考 虑 了不 同的 因素（ 如移 民， 隔离 ， 治疗 等） ， 也越 来 越符 合 实 际情 况． 若 考虑 到 传染 病是 可 以遗 传 的（ 如 乙肝 ， 艾 滋病 等） ， 则 研 究垂 直 传染 对 控制 流 行病 的流行 和 防治 有着 重 要 的意 义 ． 文［ １ — ７ ］ 研究 了垂直 传 染对 疾 病 流行 的影 响 ， 但 是 没考 虑 对新 生 儿接 种 ， 或 者认 为 母体 染 病 的新 生 儿 是 不
１ 模 型 的 建 立
｝ ５ （ ） ＝ （ １ 一 ｍ ） ｇ － ｌ ｆ （ Ｎ ） Ｓ Ｉ － ｐ ｌ ｚ Ｉ － Ｉ ｚ Ｓ ＋ ｒ Ｒ ，
｛ ， （ ｆ ） （ ５ ， 斗
＋ ＋ ）
（ １ ）
Ｉ Ｒ ） ＝ ， — ＋ ， ｒ 一 ．
ｏ ｔ （ ｂ ｔ ＋ ｒ ） ＋ ㈣＝ （ １ ＋ 上
，
㈣ ［ ＋ 盟 ｏ ｔ （ ｂ ｔ ＋ ｒ ） ＋ ］ 。
｝ 一 ＋ ＋ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｐ ， 则 ：
） ［ ∽ ］ ０ ， 故 是 关 于 Ⅳ 的单调不 减 函数 ・ 由于 ０ ） （ ０ ） ［ 一
２ ０ １ ３年 １ ２月
韶 关学 院学 报 ・自然科 学
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｏ ｇ ｕ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ・Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ３ Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． １ ２
一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质
一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质宋志强;李明山;周效良【摘要】探讨一类具有垂直传染和连续治疗传染病模型.从模型中找到无病平衡点和地方病平衡点,借助李雅普诺夫函数和 LaSalle 不变集原理证明平衡点的全局渐近稳定性,最后通过中心流形研究了模型的跨临界分岔和正规形,得到了模型平衡点的稳定性与分岔性质.%This paper discusses a type of vertical transmission and continuous treatment model of an infectious disease. First, the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point were determined from the model. Then, the invariant set principle was proved by the global asymptotic stability of the equilibrium point using Lyapunov function and LaSalle. Using the center manifold and normal form of the cross critical bifurcation model, a biological explanation for the transcritical bifurcation was provided. Eventually, the stability and bifurcation properties of the equilibrium point model were obtained.【期刊名称】《广东海洋大学学报》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】6页(P51-56)【关键词】SIRS垂直传染病模型;治疗函数;全局渐近稳定;跨临界分岔;正规形【作者】宋志强;李明山;周效良【作者单位】暨南大学信息与计算科学学院,广东广州 510632;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048【正文语种】中文【中图分类】O175.12传染病病毒的垂直传播给人类健康带来极大的威胁作用，人们为了把握传染病的传播方式及其规律，通过建立治疗模型来使之达到更好的效果。
一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析
Ｊ Ｍｘ （ ）一 － ＃ －
ｔＪ（ １ 一 一 ｒ Ｍ ）
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一 （ ＋￡ ）一 （ ＋ ６ ）＜ ０
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２ ． ） ｒ
手 ＋） ０ （ｃ ＜
Ｊ＝ ０ 垒
Ｄ ＝ ｆｓ Ｉ Ｉ （ ，） ｓ≥ ０ ≥ ０ ｓ Ｉ １ ， ，十 ≤ ｌ
２ 平 衡点 的存 在性
＋： 一 妻 ： ±
＋ ｅ（ ＋ ６ ） ）一
令 系统 （ ）右 端 等于零 易 得 系 统有 两 个 平 衡 ２
由 Ｒ ＜ １可 得 。
＞ ０ 特 征 方 程 有 两 个 负 ，
准 发 生 率 的 Ｓ Ｒ 传 染 病 模 型 。借 助 再 生矩 阵 求 得 了模 型 的基 本 再 生 数 ， 讨 论 了平 衡 点 的存 在 性 Ｉ 并
和 全局 稳 定 性 。
关 键 词 ： 染 病 模 型 ； 衡 点 ； 局 稳 定 性 传 平 全 中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６—７ ５ ２ １ ） ５ ０ ６ － ０ １０ ３ ３（ ０ １ ０ － ０ １ ２
１ 模 型
点 ： Ｏ ０ ， 。Ｓ Ｉ Ｍ （ ，） Ｍ （ ， ）
建 立传 染病 动 力学 模 型对传 染病 的流 行规 律
进行 定 性定 量 的研究 是 一种 重要 方法 。本 文研 究 的是具 有 标 准 发 生 率 的 Ｓ Ｒ 模 型 ， （） Ｙ （） Ｉ ￡ ， ￡ ， Ｙ （）分 别表 示 ｔ 刻 易 感 者 和 两 类 染 病 者 的人 ￡ 时
一类感染疾病的捕食-被捕食模型的研究
｛ ＝，ｒ 一（ １—Ａ Ｓ—ａｌ 一ａ Ｎ ］ ， ［， ０ｌ ） ｌ ， １ ２， ２
（） ２
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２
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：， （ ２＋。】 ｖ 一ｒ ２ ２ ５＋。 ，一ｎ２ ． ２ｖ） ，
收稿 日期 ：０ １１ －３ 修 回 Ｅ期 ：０ ２ —１ ２ １．２２ ； ｌ ２ １ ￣２２ 基金项 目： 山东省 自然科学基金（ Ｒ ０ ９ Ｌ １ ； Ｚ ２ ０ Ａ ００） 山东省高等学 校科技计划项 目（０ Ｌ ５ ） Ｊ９ Ａ １ 作者简介 ： 陈珍珍 （ ９９ ） 女 ， Ｉ８ 一 ， 山东潍 坊人 。硕士研究生 ， 研究方 向为动力系统与生物数学。Ｅｍａ ： ｅ ｚｅ ｃｅ１２ ＠１３ ｃｍ。 － ｉ ｚ ｎｈｎｈｎ ２ １ ６ ．ｏ ｌｈ
通讯作者 ： 赵建东（ ９７ ） 男 ， １６ 一 ， 山东邹 城人 。教授 ， 士研究生导师 ， 硕 博士 ， 研究方 向为常微分方程与动力 系统 、 生物数学 。Ｅｍ ｉ － ａ ｌ
ｊｚａ＠ ｕｔ．ｄ 。 ｄｈｏ ｓ ｅ ｕ ｅ
１２ １
鲁东大学学报 （ 自然科学版 ）
第 ２ 卷 ８
其 中
０ ＜ （ ｌ ＋Ａ），＜ Ｉ ｒ ０１ ｒ ｌ ，２＞０ ０ ＜Ａ ＜ｎ１０ ｒ ， Ｉ， ＞０ ｉ ，， １２ ＝ ，． （） ３
模 型 （ ） 际上是一 个 三维 ＬｔａＶ ｌｒ 模 型 ． ２实 ｏ —ｏｔ ｒ ｋ ｅａ 若被 捕食 者没有 感染疾 病 ， ｆ＝０， Ｎ ， 则 Ｓ＝ ｒ ：ｒ， 此 时模 型 （ ）就是 模 型 （ ）若 不存 在捕食 者 Ⅳ２ 满 足不 等式 （ ） ２ １． ， ３ 的模 型（ ） ２ 简化 为 以下模型 ：
关键词 ： ｅ ａ ＬｔａＶ ｈ ｒ 模型 ； ｒ 平衡 点 ； 基本再生数
一类具有垂直传染的传染病模型的分析
病平衡点 的全局稳定性； 用Ｊｃｂａ 阵研 究 了地方病平衡点的局部稳定性 ，并利 用 Ｍａａ 利 ａｏ ｉ ｎ矩 ｄｂ数 学软件， 通过数值
模 拟 ， 所 建 立 的模 型进 行 了仿 真 ． 对
关 键 词 ： 染病 模 型 传 垂直传染 稳 定性
中图 分 类 号 ： ７ ．３ Ｏ１５１
仃 一
其中， 所有 参数 均为 正 ：
墨 一（ ＋ ｌ ６ （ ＋２ － ６ ６ ｒ ）６ ｒ＋ ） ｑ
平均死亡率系数 ； ： 口出生率系数 ； ： ｂ人 平均传 染率系数 （ 即易感者单位时间内被感染者感染的次
：
是系统的修正再生数．
数 ） ｃ 一 个 人 单 位 时 间 内接 触 的人 数 ；ｄ 因病 死 ； ： ：
（ ＋ ＋１Ｅ ｐ Ｅ ｑ ｌ ｒ） ＋ ｂ — ｂ ，
闭集 中对 系统进 行 研究 ， 以证 明 Ａ是 关 于系 统 的 可
， 一， ｄ ｒ）， Ｅ （ ＋ ＋２， ＝ 上
＝ｒ Ｅ＋ｒ ｌ ２
正 向不 变集 ． 系统 在 中有 两个 平衡 点 ：无 病平 衡 点 Ｐ＝ １０ ０ 和地方 病平 衡点 Ｐ （ ｅ ｉ） ｏ（ ，， ） ｓ ， 且 ，
病 者 （ ｆｃｏｓｉｄ－ｉ ａ ） 和 治 愈 者 （ｒａ ｄ Ｉ ｅｔ ｕ ｎｉｖ ｕｌ ｎ ｉ ｄ ｓ Ｔｅｔ ｅ ｉ ｉｄａｓ，分别 简 写 为 ：， ， 总人 口用 Ⅳ 表 ｎ ｖ ｕｌ） ｄｉ ｓ Ｅ，，
示 ， 有 则
Ｎ＝ Ｅ＋Ｉ Ｔ Ｓ＋ ＋
ｓ＝ （ — ）卢 ｓ ｐ ｅ ｇ ｄ ６ １ ｓ— ６ — ６— ， ＿ ｅ＝， ｉ（ ＋｝ｒ）＋ ｂ — ｂ＋ ｉ， ｔ ？ｓ ６ Ｉ １ｅｐ ｅ ｑ ｉｄｅ ｌ 一 ｉ ｃ ＋
捕食者有病且具有垂直传染的生态-流行病SIS模型分析
１ 基本准备
鉴 于生态 意 义只在 Ｒ３ ｛Ｘ ， ， ∈ Ｒ。 ＝ （ Ｓ，） ： Ｘ ≥ ０ Ｓ≥ ０ ， ０｝ ， ， ≥ 上讨论 ， Ｕ０＝ （ ， ｏ 记 ＸｏＳ ，
Ｊ） ０．
之间传播而且染病的捕食者会因病死亡 ， 但其仍 能繁殖后代且具有垂直传染的 ＳＳ 型． Ｉ模 假设染
＞ ０使 当 ￡ Ｔ ＞
，
时 ， （ ） Ｍ ， Ｘ（ ）＋Ｓ（ ） ， ｔ ≤ Ｍ ． ｔ≤ 即 ｔ ｔ ＋ （）
引理 ［ 考 虑模 型 Ｎ ： ＮＦ（ ， ５ ］ Ｎ）如果 函数 Ｆ（ 满 足下 列条件 ， Ｎ） 则该 模 型是全 局稳定 的 ．
．
又 因 为 Ｘ（ ）≥ ０ Ｓ（ ）≥ ０ ｊ ｔ ｔ ， ｔ ， （ ）≥ ０ ，故
中图分 类号 ： Ｏ１ ５ ７ 文献标识 码 ： Ａ
近年来 ， Ｖｏｔｒ 以 ｌ ｒ Ｌ ｔａ 代 表 的种 群 ｅ ａ和 ｏｋ 为 动力 学和 以 Ｋ ｒ ｃ ｅｍａｋ及 Ｍｃｅｄｉ ｋｎ ｒ ｋ为代 表 的流 ｃ 行病 动力学 已有 了相 当 的发展 ． 最新 的研 究 动 向
表明， 国内外 已有学者 把种 群动 力学 和流 行病 动
食者的死亡率 ， 由于考虑 因病死亡 ， 以 ｄ 所 ＜ ｄ ． 为恢复率 ， ２ 卢为接触率 ， ｑ为垂直传染 的概 率， ＝１ （ Ｐ 一ｑ ０＜ ｑ＜ １ ， １ ）ａ 为染病类捕食者 的出生率 ， 考虑到染病类捕食者种群 由于染病使 得出生率较低 ， 死亡率较高 ， 不妨设 ｄ ＞ ａ ． ２ １
一
ｄ 一Ｐ ）同理有 对任 意 ￡＞ ０ １ ／， ，
，
Ｐ
／
（ 一 十∞ ） ￡ ．
Ｓ ｔ ≥ Ｓ ｐ （ （） ０ｘ ［ｅ ｅ Ｘ—ｄ —ｐ）］ ０定理证毕． ｌ Ｉｔ ≥ ．
一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析
Ｒａ 一 。
定理 ３ １ 系统 （ ） ． １ 总存在平衡点 ＥｏＯ Ｏ Ｏ Ｅ１ ０ （ ， ， ）， （ａ， ， ｏ ）。当 Ｒ。 ＞１时 ， 还存在平衡 点 Ｅ （ ， ２ ，） ｏ 。当
在捕食系统 中， 假设疾病只在捕 食者种群 中传 播 ， 捕食 将
者 种 群 分 为 两 个 仓 室 ： 感 者 仓 室 （ ）染 病 者 仓 室 （ ） 易 Ｓ， Ｊ 。假 设
一
个易感者被染病者传染后 ， 进入染 病者仓 室 ， 病者不 能恢 染
Ｒ １，ＥＥＥｂ 统１ 存 平 点 （， Ｉ 时 ｏ１２， （还 在 衡 Ｂ老０ ＞ ，， 系 ） Ｐ ，
定ｉ Ｃ ） 。当 Ｒ ＞ １， ２ １且 Ｒ ＜ １时 ， ｏ Ｒ＞ 。 系统 （ ） １ 还存在 ， ） 其 中， ， 平衡 点 Ｅ － ４（ ， ｚ 色 ± 二！生
Ｓ ｋ ｌ － ｄ 一ｆ ） Ｏ （ｃｘ １ ｌ 一 ， Ｉ
Ｌ （ ｃ ＋ 一 ２ 一 Ｏ Ｉｋ２ ）
（） ２
其中， ａ为食饵种群 的内禀增长率 ， ｂ为密度制 约系 数 ， 为捕 Ｃ
食者种群 中易感 者的捕 获率 ，ｚ为捕食 者种 群 中染病 者 的捕 ｃ 获率 ， 通常 Ｃ≥ ｃ， 转化系 数 ， ｚ 忌为 为传 染率 系数 ， 为捕 食 ｄ 者种群 的 自然死 亡率 ， ａ为因病 死亡率 ， ｚ ＋ａ ｄ ＞ ， ｄ— ，ｚ 参 数 ａ ６ ｆ，２ ，， ｌｄ 均为正常数 。 ， ’１Ｃ， 尼 ｄ ， ２ 由系统 （） １ 的第 一个 方程 可得 ｚ 一ｘ（ 一 一ｃＳ ｃＤ ａ － ｚ
。
复， 染病者会 因病死 亡且具有垂直传 播的能力 ， 病影 响捕食 疾 者的捕 获率 ， 但不影 响能量转化率 ， 通常 易感者 的捕获率 不小
一类具有垂直传播的SIS捕食传染病模型的全局分析
ｔ ｅ ｐ ｅ ａｏ ｐ ｃ ｅ ｎ ｙ ｉ ｅ ｔｂ ｉ ｅ ｎ ｈ ｘｓｅ ｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆｔ ｅ ｅ ｕ ｌ ｒａ ａ ｅ ｓ ｄ ｅ ． Ｉ ｄ ｉ ｏ ，ｂ ｈ ｒ ｄ ｔｒｓ ｅ ｉｓｏ ｌ ｓ ｓ ｌ ｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉ ｎ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｑ ｉ ｂ ｒ ｔ ｉ ｄ ｎ ａ ｄｔ ｎ ｙ ａ ｓ ｔ ｉ ｈ ｉｉ ｕ ｉ
ｔ ｐ ｃｅ ｆｔ ｒ ｄ ｔ ｒｐ ｅ ｙ ｔ ｍ ． ｅ ｈｏ ｓ Ａ ｒ ｄ ｔｒｐ ｅ ｏ ｅ ｔ ｎ Ｓ Ｓ ｔｐ ｆｄ ｓ ａ ｅ ｓ ｒ ａ ｓｉ ｗｏ ｓ ｅ ｉ ｓｏ ｈｅ ｐ ｅ ａｏ ・ ｒ ｙ ｓ ｓｅ Ｍ ｔ ｄ ｐ ｅ ａｏ — ｒ ｙ ｍ ｄ ｌｗｉ ａ Ｉ ｙ ｅ ｏ ｉｅ ｓ ｐ ｅ ｄ ｎ ｈ
果关Βιβλιοθήκη 得 到 了平衡 点局 部渐近稳 定 的充要 条件 和无病平衡 点全局 渐近稳 定 的条件 。结论
键 词： 垂直传播 ； 染病模 型 ； 传 平衡 点 ； 定性 稳
表 明可 以
通过 减 小传 染率和增 大恢 复率 来控 制疾病 的流行 。 中 图分 类号 ： １ ５ １ Ｏ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ０２ ４ （０ １ ０ －５ ２０ １０ － Ｘ ２ １ ）４０ ８ －５ ７
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ａｉ Ｔ ｎ ｅ ｔ ａｅ ｔ ｅ ｐ ｔ ｒ ｆｔｅ ｉｆ ｃｉ ｕ ｉ ａ ｅ ｗ ｔ ｅ ｔ ａ ｔ ｎ ｍｉ ｉｎ ｓ ｒ ａ ｅｗ ｅ ｈ ｍ ｏ ｉ ｖ ｓｉ ｔ ｈ ａｔ ｎ ｏ ｎ ｅ ｔ ｓ ｄ ｓ ｓ ｉ ｖ ｒ ｃ ｌ ｒ ｓ ｓ ｏ ｐ ｅ ｄ ｂ ｔ ｅ ｎ ｔ ｅ ｇ ｅ ｈ ｏ ｅ ｈ ｉ ａ ｓ
３ Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｐｌ ｄＭ ｔｅ ａｃ ｎ ｈｓ ｓ Ａｒ ｏｃ ｎ ｎｅｉｇＵ ｉ ｒｔ， ｉ １０ １ Ｃ ｉａ ． ｅａｔ ｎ ｏ Ａ ｐｉ ａ ｍ ｔ ｓａｄＰ ｙｉ ， ｉＦ ｒｅＥ ｇ ｅｒ ｎｖｓ ｙ Ｘ ７ ０５ ， ｈｎ ） ｍ ｅ ｈ ｉ ｃ ｉ ｎ ｅｉ ｎ ａ
一个疾病在捕食者中传播的捕食与被捕食模型的分析
，
为讨 论 Ｅ２的稳 定性 ， 方 程 （ ） 把 ５ 改写 为
（ — ） （ ＝０ ｆ ） ．
—
一 √ ＝ 丝 一 —
其中 ： ＊：
ｒ＇
＋
ｒ１ｒ２
２ ｆ（ ： ２ ， ２） ＋
１ ２ 平衡 点的存 在条 件 ．
ｂ ｄ１
— —
摘
要 ：建立 并分析 了一个疾 病 在捕 食 者 中传 播 的 捕食 与被 捕 食 模 型 ．并且 ， 用特 征 根 法 得 到 应
了平衡 点的局 部渐 近稳 定 的充分 条件 ．分析 了其 中平衡 点 的全局 稳 定 性 ， 到 了边 界 平 衡 点 和正 得
平衡 点全局 稳定 的充 分条件 ．
的死 亡率 ， 由于 考虑 因病 死 亡 ， 以 ｄ ＜ｄ ， 为接 所 １ ２
传染 病在 自然界 和 人 类 的 生 活 中广 泛 存 在 ， 其
控制和 预 防一直 是政府 和相 关专 业 的人士 非常关 注 的 问题 ， 因此对 疾 病 流行 规 律 的把 握 就 显得 尤 为 重
要， 染病 动 力学 就 是研 究这 类 问题 的 一 种可 行 的 传 办法 ．然而 ， 在对 传染 病所做 的研 究 中， 多是针 对 很
其模型为：
１ 奇 点 分 析
｛＝一 ）Ｘ Ⅺ 『 ｘ ＿Ｓ （ ｒ ｄ Ｓ
ｘ ｓ ｓ一 ， （） １
１模１ 负 点 ， 、 ． 型的 平 １ （非 衡 ）
Ｅ 。
？ ） Ｅ ｏｊ Ｅ ，０， ，’ ｚ ｏ
ｌ ｚ 十卜 ： ： ． ｄ Ⅺ Ｉ ＝
关 键词 ：生态一 流行 病模 型 ；局部 渐近 稳定 ；全局稳 定
中图分 类号 ： ７ ． ３ Ｏ１ ５ １
一类考虑垂直传染、接种及人均病床数的SIVS传染病模型分析
一类考虑垂直传染、接种及人均病床数的SIVS传染病模型分
析
王琪;窦霁虹
【期刊名称】《西南师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(47)10
【摘要】基于疫苗接种不完全有效的实际情况,研究了一类考虑垂直传染、接种及人均病床数的SIVS传染病模型,同时采用与人均病床数有关的治疗函数以研究医疗资源数量对传染病防治工作的影响.首先,利用下一代生成矩阵法得到疾病基本再生数的表达式,并且分别采用几何法和特征值法得到各平衡点稳定性的一些结论;其次,通过对平衡点的讨论发现此类模型会发生后向分支,同时结合理论证明和数值模拟对其进行验证;最后,基于已有文献对加入垂直传染和新生儿接种因素后的理论结果异同点进行比较,得出了通过大幅减少有效接触和提供丰富的医疗资源可以避免发生后向分支从而消灭疾病,通过增加疫苗的接种比例和接种效率可以控制疾病传播的结论.
【总页数】11页(P26-36)
【作者】王琪;窦霁虹
【作者单位】陕西工业职业技术学院;西北大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.一类具有非线性传染率和脉冲接种的SIV传染病模型
2.一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳定性分析
3.一类具有预防接种和垂直传染的SIRS传染病模型分析
4.一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳定性分析
5.一类具有预防接种和垂直传染的SIR传染病模型的定性分析
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一类三物种食物链模型解的全局存在性
一类三物种食物链模型解的全局存在性汪玉霞1王辉1，2*1.伊犁师范大学数学与统计学院；2.伊犁师范大学应用数学研究所新疆伊宁 835000摘要：在生态学中，三物种食物链模型是一类极其重要的模型，它能够描述食饵、中间捕食者和高级捕食者之间的相互作用与数量随时间、空间变化规律。
主要考虑了一类具有非线性趋食敏感函数的食物链模型，在齐次Neumann边界条件下，当模型中的初值和参数都满足一定条件时，利用抛物方程正则性理论及必要的先验估计，得到在高维情形下该模型解的全局存在性。
关键词：食物链模型 趋食性 全局存在性 先验估计中图分类号：Q141;O175文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2024)05-0237-04Global Existence of the Solution of a Three-Species Food ChainModelWANG Yuxia1WANG Hui1,2*1.School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University;2.Institute of Applied Mathematics, Yili NormalUniversity, Yining, Xinjiang Uygur Autonomous Region, 835000 ChinaAbstract:In ecology, the three-species food chain model is a very important model, and it can describe the inter⁃action among prey, intermediate predators and higher predators and the change law of their number over time and space. This study considers a food chain model with the nonlinear prey-taxis sensitive function. Under homoge⁃neous Neumann boundary conditions, when both the initial value and parameter in the model meet a certain condi⁃tion, the regularity theory of parabolic equations and the necessary prior estimation are used to obtain the global ex⁃istence of the solution of the model in the case of high dimensions.Key Words: Food chain model; Prey-taxis; Global existence; Prior estimation1 引言在生态系统当中，捕食行为是物种之间相互作用的基本特征之一，捕食者将猎物作为其食物来源。
一类捕食者带有传染病的捕食模型的定性分析的开题报告
一类捕食者带有传染病的捕食模型的定性分析的开
题报告
题目：一类捕食者带有传染病的捕食模型的定性分析
背景介绍：
传染病是指可通过直接或间接接触传播的病原体引起的疾病，在各
个领域都有着广泛的研究。
在生态学领域中，传染病的存在也对生态系
统的稳定性和物种相互作用产生了很大的影响。
特别是在食物链中，捕
食关系是一种基本的物种相互作用，而捕食者的感染状态则影响着其对
猎物的控制能力。
研究意义：
本课题旨在研究一类带有传染病的捕食者与其食物链关系间的相互
影响，从而探究疾病对生态系统的影响。
这一研究具有重要的实践意义，不仅有助于人们更好地了解生态系统的稳定性和动态演化规律，还可以
提供一定的理论基础和实践指导，为传染病的有效控制和防治提供科学
依据。
研究内容：
1.构建带有传染病的捕食者与猎物的捕食模型，并分析其稳定性条件。
2.利用数学分析方法，探究疾病对捕食者和猎物种群数量的影响。
3.通过数学仿真建模，分析捕食者感染率、猎物再生率、两者的交
互作用等因素对模型的影响。
4.利用图像处理技术，模拟模型中捕食者数量和猎物数量的变化过程，对结果进行图形化呈现。
预期结果：
本研究将可探究捕食者带病对食物链稳定性的影响，揭示传染病对生态系统的影响规律，为抗击传染病提供科学依据。
同时，通过数学仿真建模，可直观地观察捕食者和猎物数量的变化过程，从而加深人们对生态系统的认知和理解，实现对自然界的科学保护。
仅食饵有病的生态传染病模型的全局性态分析
仅食饵有病的生态传染病模型的全局性态分析刘俊利;贾滢;张太雷【摘要】文章研究了仅食饵有病的捕食-食饵传染病模型的全局动力学行为.根据Routh-Hurwitz判据、Lyapunov函数和LaSalle不变集原理,得到无病平衡点、边界平衡点与正平衡点的局部和全局渐近稳定性.数值模拟给出了正平衡点处Hopf 分支的存在性.%The global behavior of a predator-prey epidemic model with disease in the prey is studied.Based on the Routh-Hurwitz criteria, Lyapunov function and LaSalle invariant set principle, local and global asymptotic stability of the disease-free equilibrium, boundary equilibria and positive equilibrium are derived.The existence of Hopf bifurcation at the positive equilibrium is proved by numerical simulation.【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)006【总页数】5页(P860-864)【关键词】捕食-食饵模型;平衡点;全局稳定性;Hopf分支【作者】刘俊利;贾滢;张太雷【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048;长安大学理学院,陕西西安 710064【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来,以Lotka和Volterra为代表的种群动力学和以Kermack及Mckendrick 为代表的流行病动力学已经有了相当大的发展,而将两者结合建立生态传染病模型则更具有实际意义。
捕食者具有传染病的捕食系统模型分析
ω,化简系统得 , t =βK
dx dt ds dt = = a0 x ( 1 - x) r1 sx t1 a0 sx
βK
r0
β
作辅助方程
( t ) = y ( t ) ( 1 - y ( t ) ) , y ( 0) = x ( 0) y′
βK
s [ 1 - ( s + i) ] - si +
时,
无 病 平 衡 点
1 模型建立
讨论模型
X dX = X a0 - r1 S X ω K d dS dω dI dω = r0 S 1 S + I K - β SI + t1 S X
r ( a - m) a ( r + p) , , 0 存在 ;当 a > m ,β> d 时 ,地 ar + pm ar + pm
E3
β- m d a β a
,
β β- p m d r a - rda + pa 是 局部 渐 β β ) a ( r +β
d ,
解之得
u ( t) = e
- dt
近稳定的 .
∫
T
t
M d dτ + e
τ d
dT
V ( T)
R =
β a
md
=
a0 β
2
r 1 d1
则根据比较定理知
V ( t) ≤ u ( t) = M d M d + V ( T) M d e
方
病
平
衡
点
E3
β- m d a , β a
d
β
,
βa - r d a + p a β- pm d r 存在 . β ) a ( r +β 证略 . 为讨论解的有界性 , 引入引理 1 [ 4 ] . 引理 1 在 系 统 N′= N F ( N ) 中 , 如 果 函 数
一类具有Beverton-Holt出生函数的阶段结构传染病模型的全局分析
一类具有Beverton-Holt出生函数的阶段结构传染病模型的全局分析王玉萍;蔺小林;李建全【摘要】针对一些疾病仅在成年个体间传播和成年个体的成长受到密度制约等因素,建立了一类具有幼年和成年两个阶段且疾病仅在成年个体间传播的传染病模型,其中以具有饱和性质的Beverton-Holt函数作为幼年出生函数.通过构造恰当的Lyapunov函数和定性分析,得到了模型的全局动力学性态,并确定了决定模型动力学性态的种群存活的基本再生数和疾病传播的基本再生数.所得结果表明:当种群的基本再生数不大于1时,种群灭绝;当种群的基本再生数大于1而疾病传播的基本再生数不大于1时,种群持续生存而疾病灭绝;当疾病传播的基本再生数大于1时,种群持续存活且疾病会发展成地方病.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】10页(P451-460)【关键词】阶段结构;传染病模型;平衡点;全局稳定性;基本再生数【作者】王玉萍;蔺小林;李建全【作者单位】陕西科技大学文理学院,西安 710021;陕西科技大学文理学院,西安710021;陕西科技大学文理学院,西安 710021【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言传染病的广泛存在，严重影响着人类的身心健康和国家的经济建设等，如何控制和预防传染病的传播，长期以来一直受到数学、医学、公共卫生和生态环境等学术界研究者的广泛关注.借助数学模型分析传染病的传播机理和关键因素，以及评估防控措施的效果，在一些疾病的防治方面都已取得了许多理论和应用成果[1,2].现实生活中，种群个体的成长需经历幼年、成年等阶段.相应地，一些疾病的传播常常与种群成长的这种阶段结构有关，如白喉、钩端螺旋体病、多种性病等主要在成年人群中传播；而麻疹、水痘、手足口病等主要在儿童(幼儿)阶段传播.因此，研究具有阶段结构的传染病模型有着重要的理论价值和现实意义.关于具有阶段结构的传染病模型的研究已有一些结果[3-12].文献[3–5]讨论了疾病仅在幼年个体间传播的情形，而文献[6–12]均假设疾病仅在成年个体间传播.在文献[3–8]中，都以固定时滞来描述幼年的成熟期，而在文献[9–12]中，假设幼年向成年的转化服从指数分布.另一方面，文献[3–8,12]以指数输入刻画幼年的出生率，文献[9–11]则以(A/N +B)N 来描述幼年的出生率，其中N 为成年个体的数量.上述文献主要分析了所研究模型的动力学性态.在上述文献考虑的模型中，无论假设幼年的出生服从指数分布，还是以(A/N+B)N 形式输入，都反映当成年个体数量很大时，幼年个体的输入率也就很大，这与一些实际情形显然不符.具有饱和性的Beverton-Holt 出生函数BN/(1+AN)[13]就克服了这一缺陷.同时在现有的具有阶段结构的模型中，由于数学分析的复杂性，大多没有完整考虑成年个体成长的密度制约因素.基于以上分析，本文将考虑幼年以Beverton-Holt 函数形式出生、以指数分布向成年转化、成年个体的生长受到密度制约、疾病仅在成年个体间传播的传染病模型，通过分析模型平衡点的存在性及其稳定性，确定出决定模型全局动力学性态并具有生物学和传染病学意义的阈值.2 模型的建立及其有界性假设种群个体生长分幼年和成年两个阶段；幼年按Beverton-Holt 函数输入，其成长不存在密度制约；成年个体的生长会受到密度制约；幼年向成年的转化服从指数分布；疾病以双线性发生率仅在成年个体间传播，于是成年个体分为成年易感者和成年染病者两类；感染者不具有生育能力，仅有易感者有生育能力；染病者恢复后具有永久免疫力.对应上述假设的传染病模型为其中x= x(t),y= y(t)和z= z(t)分别表示t 时刻幼年个体、成年易感者、成年染病者的数量.所有参数均为正常数.d1 和d2 分别表示幼年个体和成年易感者的自然死亡率；d3 表示成年染病者的移除率，包含染病者的自然死亡率、因病死亡率和恢复率等.µ表示单个幼年个体的平均成熟率；δ 和η 分别表示成年易感者与成年感染者的密度制约系数；k 表示传染病的传染率系数.在该模型中，基于一些动物疾病(比如，猪水泡病)会致使成年个体的生育力下降，甚至丧失，假设仅有成年个体可以生育，其生育率服从Beverton-Holt 函数形式这里b 表示y 充分小时单个成年个体的平均生育率，m 为决定幼年出生率的饱和水平的常数.对于函数f(y)= by/(1+my)，当y 充分小时，f(y)近似于函数by；而当y 足够大时，f(y)又接近于常数b/m.所以此类出生率函数是介于常数出生率和指数输入之间的一种形式.设初始条件为x(0)> 0,y(0)> 0,z(0)≥0，则易知模型(1)的解是非负的.这里z(0)=0 意味着种群中没有疾病存在；若z(0)>0，则疾病存在于种群之中.由模型(1)中的第一个方程知故有进一步由模型(1)可得其中d=min{d1,d2,d3}.故从而模型(1)有正不变集这意味着模型(1)的解是最终有界的.3 无传染病时种群的动力学模型分析当z(0)=0 时，由模型(1)的第三个方程，可得z≡0，即传染病不存在，则模型(1)退化为由模型(2)可得其中d0=min{d1,d2}.从而同时也有所以是模型(2)的一个正不变集，且模型(2)的解是最终有界的.对于模型(2)，平衡点满足方程组由该方程组的第二个方程可得将(4)式代入方程组(3)的第一个方程可得由(5)式，得y=0 或y 满足将y=0 代入(4)式，得x=0，故模型(2)总有种群灭绝平衡点(0,0).另一方面，当且仅当µb>d2(d1+µ)时，方程(6)有一个正根故当µb > d2(d1 + µ)时，模型(2)有唯一的种群存活平衡点Ē1(x1,y1)，其中x1 可由(4)式相应得到.综上所述，关于模型(2)平衡点的存在性有：定理1 模型(2)总有种群灭绝平衡点时，模型(2)还存在种群存活的平衡点其中x1=y1(δy1+d2)/µ，y1 由(7)定义.关于模型(2)的稳定性结论如下：定理2(i) 当µb ≤d2(d1+µ)时，种群灭绝的平衡点在D 上是全局渐近稳定的；(ii) 当µb>d2(d1+µ)时，种群存活平衡点在D 内是全局渐近稳定的.证明(i) 构造Lyapunov 函数L1=d2x+by，则L1 沿着系统(2)的解的全导数为当µb ≤ d2(d1 + µ)时，当µb < d2(d1 +µ)时，当且仅当x=0,y=0 时，于是由Lyapunov 稳定性定理[14]知，种群灭绝平衡点在D 上是全局渐近稳定的；当µb= d2(d1 +µ)时，当且仅当且y=0 时，将y=0 代入(2)的第二个方程得x=0，因此，模型(2)在集合上的最大不变集是单点集{}，所以由LaSalle 不变性原理[15]知，(0,0)在D 上是全局渐近稳定的.(ii) 由方程组(3)，对于种群存活平衡点有同时，令则模型(2)可变形为相应地，模型(2)的平衡点就转化为系统(8)的平衡点对于系统(8)，构造关于点(u,v)=(1,1)的正定函数则L2 沿着系统(8)的解的全导数为由于且当且仅当u= v=1 时等号成立.因此负定.由Lyapunov 稳定性定理[14]知，系统(8)的平衡点在第一象限内是全局渐近稳定的.相应地，模型(2)的种群存活平衡点在D 内是全局渐近稳定的.4 传染病存在时种群的动力学模型分析当z(0)>0 时，由模型(1)的第三个方程知对于t>0，有z(t)>0，即传染病存在. 关于模型(1)平衡点的存在性有：定理3 模型(1)总有种群灭绝平衡点O(0,0,0).当µb>d2(d1+µ)时，还存在种群存活且疾病灭绝平衡点E1(x1,y1,0)，其中x1 和y1 与定理1 中的相同.进一步，当时，地方病平衡点E2(x2,y2,z2)也存在，其中y2 是方程的正根.证明令x′=0,y′=0,z′=0，得模型(1)的平衡点满足方程组当z=0 时，由无传染病时种群平衡点的存在性知，模型(1)总存在种群灭绝平衡点O(0,0,0).当µb > d2(d1 + µ)时，模型(1)有唯一的种群存活且疾病灭绝的平衡点E1(x1,y1,0)，其中x1 和y1 与定理1 中的相同.当z =0，即z >0 时，由方程组(9)的第三个方程可得则y >d3/k.由方程组(9)的第一个方程可得当y =0 时，将(10)式、(11)式代入方程组(9)的第二个方程可得显然F′(y)<0，且当y 充分大时F(y)<0.因此，当且仅当F(d3/k)>0，即时，方程F(y)=0 存在唯一正根，记为y2.因此，模型(1)存在唯一地方病平衡点E2(x2,y2,z2)，其中x2,z2 分别由(11)式、(10)式所确定.关于模型(1)的稳定性结论如下：定理4(i) 当µb ≤d2(d1+µ)时，种群灭绝平衡点O 在Ω 上是全局渐近稳定的；(ii) 当µb>d2(d1+µ)且k2µb ≤(d1+µ)(k+md3)(kd2+δd3)时，种群存活且疾病灭绝平衡点E1 在Ω\{O}上是全局渐近稳定的；(iii) 当k2µb>(d1+µ)(k+md3)(kd2+δd3)时，地方病平衡点E2 在Ω 内是全局渐近稳定的.证明(i) 构造Lyapunov 函数L3=µx+(d1+µ)(y+z)，则L3 沿着系统(1)的解的全导数为当µb ≤ d2(d1 + µ)时，dL3/dt|(1) ≤ 0.当且仅当y= z=0 时，dL3/dt|(1)=0.将y=0 代入系统(1)的第二个方程可得x=0，则模型(1)在集合上的最大不变集是单点集{O}，从而由LaSalle 不变性原理[15]知，种群灭绝平衡点O 在Ω上是全局渐近稳定的.(ii) 为了分析种群存活且疾病灭绝平衡点E1(x1,y1,0)的全局渐近稳定性，令u=x/x1,v=y/y1，结合系统(8)，模型(1)可变形为定义函数易证函数L4 在可行域内关于点(1,1,0)正定.L4 沿着系统(12)的解的全导数为注意到k2µb ≤(d1 + µ)(k+md3)(kd2 + δd3)等价于ky1 ≤ d3，因此dL4/dt|(12) ≤ 0.当且仅当u= v=1,z=0 时，dL4/dt|(12)=0，因此dL4/dt|(12)关于点负定.由Lyapunov 稳定性定理[14]知，系统(12)的平衡点是全局渐近稳定的.相应地，模型(1)的种群存活且疾病灭绝平衡点E1(x1,y1,0)在Ω\{O}上是全局渐近稳定的.(iii) 对于地方病平衡点E2(x2,y2,z2)，根据方程组(9)，有作变换由(13)式模型(1)可变形为定义关于点(1,1,1)的正定函数则L5 沿着系统(15)的解的全导数为所以当地方病平衡点E2(x2,y2,z2)存在，即时，dL5/dt|(15) ≤0.当且仅当u=v=w=1 时，dL5/dt|(15)=0，因此dL5/dt|(15)关于点负定.由Lyapunov 稳定性定理[14]知，系统(15)的平衡点在第一卦限内是全局渐近稳定的.相应地，模型(1)的地方病平衡点E2(x2,y2,z2)在Ω 内是全局渐近稳定的.5 结束语为了清晰直观地了解有、无传染病时阶段结构模型全局动力学性态的生物学意义，记其中y1 为无感染时种群存活成年个体的平衡值，即注意到k2µb ≤(d1+ µ)(k+md3)(kd2+ δd3)等价于ky1 ≤ d3，同时 R0 >1 是R1 >1 的必要条件.因此本文的主要结论可叙述如下：无传染病存在时，模型(2)当R0 ≤1 时，种群灭绝平衡点在D 上是全局渐近稳定的；当R0 >1 时，种群存活平衡点在D 内是全局渐近稳定的.传染病存在时，模型(1)当R0 ≤1 时，种群灭绝平衡点O(0,0,0)在Ω 上是全局渐近稳定的；当R1 ≤1 < R0 时，种群存活且疾病灭绝平衡点E1(x1,y1,0)在Ω\{O}上是全局渐近稳定的；当R1 >1 时，地方病平衡点E2(x2,y2,z2)在Ω 内是全局渐近稳定的.从上述结论的表述可知，R0 和R1 就决定了所讨论模型的动力学性态，起到了阈值的作用.事实上，表示无传染病时种群的基本再生数.因为b 表示y 充分小时单个成年个体的平均生育率；µ/(d1+µ)表示幼年个体向成年个体的的转化率；1/d2 表示单个成年个体的平均生命周期.同时R1= k·y1 ·(1/d3)表示传染病的基本再生数.因为k 表示传染病的传染率系数；y1 表示无传染病存在情形下种群存活时成年易感者的平衡值；1/d3 表示单个成年染病者的平均患病周期.因此R0=1 是种群灭绝与否的阈值，R1=1 是疾病灭绝与否的阈值.为了控制和消除疾病，需要使R1 变小和小于1.根据R1 的表达式，一方面，可通过一些合理措施降低传染率(k)和增大移除率(d3)来实现；另一方面，成年易感者的密度制约系数δ 和出生率中的常数m 也影响着R1 传染病的基本再生数.由于y1 有等价表达形式直接计算可知，当R0 > 1 时，式(16)的分母会随着δ 或m 的增大而增大.这意味着也可通过这两参数对应的措施来控制疾病的传播.总之，在种群存活和疾病蔓延的情形下，可通过降低传染率(k)、增大移除率(d3)、成年易感者的密度制约系数δ 和出生率中的参数m 四个方面来实现疾病的消除.参考文献：【相关文献】[1]马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004 Ma Z E,Zhou Y C,Wang W D, et al.Mathematical Modeling and Study of Epidemic Dynamics[M].Beijing: Science Press,2004[2]Anderson R M,May R M.Infectious Diseases of Humans: Dynamics andControl[M].Oxford：Oxford University Press,1991[3]Xiao Y N,Chen L S.Analysis of a SIS epidemic model with stage structure and 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§ 模 ２
型
在捕 食系统 中， 设疾病只在捕食者种 群中传播， 假 将捕 食者种群分为 四个仓 室：易感者仓
室（）潜伏者仓室（ （ ｓ， Ｅ） 该仓室 的个体 己染病但不具有水平 传播疾 病的能力）染病者仓 室（） ， ，（ 该
了一类捕食者有病的捕食一 被捕食ＳＳ Ｉ 模型， 考虑 了染病 的捕食者不捕 食饵且会 因病死亡， 食饵有 密度制约， 染病者恢 复后再次成为易感者等 因素， 讨论 了平衡 点的存在条件， 以及平衡点的稳定 性， 得到了无病平衡点和地方病平衡 点稳定的条件．
由于 文ｆ 没 有 考虑 食 饵 种群 有 密 度 制约 ， 病 具 有潜 伏 期 和 染病 者 因 病死 亡 的情 形， １ 】 疾 文ｆ 和文『 没有考虑疾病 的潜伏期和垂直传播 因素， ４没有考虑疾病 的潜伏 期， ２ １ ３ １ 文『 １ 垂直传播和
文献标识码： Ａ
文章编 号： ０ ０４ ２ （０ ００ —２ ３０ １０ —４ ４２ １）３０ ９ —７
§ 引 言 １
传染病在 捕食系统 中传播 规律 的研 究， 是种群生态 学与传 染病 动力学 的一种结合， 目前 是 生物数学研究 的热 点问题之 一． 在现 实生活中， 有些传染病是垂直传播 的， 如风疹 、 乙型病毒性 肝炎 、艾滋病 等， 大部分传 染病 具有潜伏期 ， 的在潜伏 期 内就具 有传染 性， 乙肝潜伏 期 且 有 如 最短６ 天， 长１０ 自潜 伏期末 开始有传 染性， ０ 最 ６ 天， 艾滋病潜伏 期最 短数月， 最长５ 年，自血 中检 出ＨＩ 抗体起 即有传 染性 ， 以， Ｖ 所 为了更符合 实际情况 ， 在建 立捕食 系统的传 染病模 型时考虑这 两个 因 素 是 很 有 必 要 的 ． 是 ， 但 已有 的关 于 疾 病 仅 在 捕 食 者 种 群 中传 播 的相 关 文 献 中， 都 没有 大 考虑疾病 的垂直传播 和潜 伏期． 中：文ｆ 分别考虑 了疾病 只在食饵和捕食者之 问传 播的模型， 其 １ １ 其 中关于疾病仅在捕食者 中传播 的模型， 考虑 了垂直传播 ， 疾病影响捕获率， 染病 者恢 复后对 该 病不具有终身 免疫力 等因素， 通过 分析边界平衡点和正 平衡 点的动力学 性质， 出结 论： 得 这样建 立 的生态一流行病模型的动力学性质基本上继承 了Ｌ ｔａＶ ｔｒａ ｏｋ— ｏｅｒ系统 的动力学性质．文『 研 究 ２ １ 了一类疾病仅 在捕 食者种群 中传播 的模型， 考虑 了食饵种群有密度制 约， 染病者会因病死亡， 染 病 的捕食者不捕食饵等 因素 ， 得到 了食饵持续生存捕食 者种群将绝灭 的平衡 点和 食饵持续生存 捕食 者种群中疾病将形成地方 病的平衡点全局渐近稳定 的条件． ３讨论 了一类捕食者有病 的 文ｆ １ 食饵一 捕食者模型 ， 考虑 了染病 的捕食者会因病死亡， 食饵有密度 制约， 疾病影 响捕 食者的捕 获率 等 因素， 讨论 了平衡 点的存在性， 获得 了平衡点稳定 的条件 ， 并给 出了模 型的摄动解． ｆ 讨论 文 ４ １
２ ．陕西师 范大学 数学与信息科 学学院， 陕西西安 ７ ０ ６ ； １０ ２ ３ ．空军工程 大学理学院 应用数 学物理 系， 陕西西安 ７ ０ ５ ） １０ １
摘 要 ： 通 过 假 设 捕 食 系统 中疾 病 只 在 捕 食 者 种 群 中传 播 ， 传 染 的 易感 者 经 过 一 段 被 潜 伏 期 后 才具 有 传 染 性 ， 病 者康 复后 对 该 病 具 有 永 久 免疫 力 ， 立 了一 类 具 有 垂 直 染 建 传 播 的 捕 食 系 统 的 传 染 病 模 型 （Ｅ Ｒ） 运 用 极 限 系统 理 论 ， 两 种 情 形 讨论 了 系统 平 ＳＩ ， 分 衡 点 的 存 在 性 及 局 部 稳 定 性 ， 用Ｌａ ｕ ｏ 函 数 和 二 次 复 合 矩 阵 等 方 法 ， 到 了平 衡 利 ｉｐ ｎ ｖ 得 点 全局 渐 近 稳 定的 条 件 ． 关键词：垂直传播； 潜伏期； 捕食 系统； 传染病模 型； 平衡 点； 定性 稳 中图分类号： ７ ． ０１ ５１
高校应用数学学报
２ １ ， ５３ ： ９—９ ００ ２ （） ２ ３２ ９
一
类 具有 垂直 传播 的捕食 传 染病 模 型 的全 局分 析
刘 烁 ， 马 丽 娜 李建 全。 李 文 潮 ， ，
（ ．第四 军 医 大学 生 物 医 学工 程 系， 西 西 安 ７ ０ ３ ； １ 陕 １０２
疾病对捕获率 的影响等因素， 为此， 结合 以上模型， 本文在 捕食系统 中， 假设疾病 只在捕食者种 群中传播 ， 被传染的易感者经过一段潜伏期后才具有传染性， 潜伏者与染病者均具有垂直传播能
力， 疾病不影响捕食者的捕食能力， 建立 了一类具有垂直传播的捕食系统的传染病模￣（ＥＲ） ＳＩ ，
收稿 日期 ： ０ ９１ —５ ２ ０ —Ｏ ７２９； １６ １０ ） 陕西省 自然科学基金（Ｊ８Ｚ ３ ｓ ０一Ｔ１）
ｅ ａ ｌ ｉ ｓ ｕｏ ２ １ ３ ｃ ｒ ｍ ｉ：ｌｕ ｈ ９１ ＠ ６ ． ｏ ｎ
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷 第 ３ ５ 期
仓室的个体 己染病并能水平传播疾病）恢复者仓室（ ． ， Ｒ） 假设一个 易感者被染病者传染后进入潜 伏者仓室， 潜伏者经过一定的潜伏期后 再成为染病者， 潜伏者与染病者均 具有垂直传播能力， 疾
病不影 响捕食者的捕食能力， 染病者恢复后对该病具有终身免疫力．同时分别用Ｓ￡， ￡， ￡， （ Ｅ（ （ ） ） ） Ｒ（ 表示ｔ ｔ ） 时刻捕食者种群 中易感者 、潜伏者、染病者 、恢复者的数量， 表示ｔ 时刻食饵的数量， 于是， 相应可建立如下模型： ｆ ｘ （ —ｂ） ｘ ｄ ＝ｘａ ｘ 一ｃＳ—ｃＩ ｘ ｘ —ｃＥ—ｃＲ ｘ，