(江苏)高考物理总复习 一轮基础过程导学复习配套课件：微小专题4 圆周运动的临界问题

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【解析】 在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度 等于 0 时，内管对小球产生弹力，大小为 mg，故最小速度为 0，故 A 错误，B 正确； 小球在水平线 ab 以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心 力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故 C 正确； 小球在水平线 ab 以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心 力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故 D 错误．
第四章 曲线运动 微小专题4 圆周运动的临界问题
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水平面内圆周运动的临界极值问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题， 一类是与弹力有关的临界问题． 1. 与摩擦力有关的临界极值问题分析 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是 摩擦力提供向心力，则有 Fm＝mrv2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外 还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内 滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力 的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
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【解析】 球 B 运动到最高点时，球 B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力， 有 mg＝m2vL2 ，解得 v＝ 2gL，故 A 错误；由于 A、B 两球的角速度相等，则球 A 的速 度大小 v′＝ 22gL，故 B 错误；B 球到最高点时，对杆无弹力，此时 A 球受重力和拉 力的合力提供向心力，有 F－mg＝mv′L 2，解得 F＝1.5mg，故 C 正确，D 错误．
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3. 如图所示，水平转台高 1.5 m，半径为 0.2 m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动，
转台的同一半径上放有质量均为 0.4 kg 的小物块 A、B(可看成质点)，A 与转轴间距离
为 0.1 m，B 位于转台边缘处，A、B 间用长 0.1 m 的细线相连，A、B 与水平转台间最
大静摩擦力均为 0.54 N，取 g＝10 m/s2.
A. b、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B. 当 a、b 和 c 均未滑落时， a、c 所受摩擦力的大小相等 C. b 和 c 均未滑落时线速度一定相等 D. b 开始滑动时的转速是 2kgl
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【解析】 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心 力，则 f＝mrω2，当圆盘的角速度增大时，圆盘提供的静摩擦力随之增大，当需要的向 心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动，b、c 同时达到最大静摩擦力，故 b、c 同时 从水平圆盘上滑落，但 b、c 质量不等，角速度转动半径相等，由 f＝mrω2 知 b、c 所受 摩擦力不等，A 选项错误；当 a、b 和 c 均未滑落时，在同一转盘上无相对运动，因此 它们的角速度相等，f＝mrω2，所以 a、c 所受摩擦力的大小相等，B 选项正确；b 和 c 均未滑落时由 v＝rω 知，线速度大小相等，方向不相同，故 C 选项错误；b 开始滑动时， 最大静摩擦力提供向心力，kmg＝m·2lω2，解得 ω＝ k2gl ，转速为2ωπ，故 D 选项错误．
的摩擦力提供，根据牛顿第二定律和向心力公式有 f＝mrω2≤fm，解得 ω≤ mfmr，显然， 由于 rB＞rA，所以物块 B 所受静摩擦力将先达到最大值，解得 ω1≤ mfmrB＝32 3 rad/s， 即当转台的角速度达到 ω1＝32 3 rad/s 时细线上出现张力．
(2) 当转台的角速度继续增大，小物块 A 受指向转轴的摩擦力也将继续增大，直至 增大至最大静摩擦力时，开始滑动，此时还受细线的拉力 T 作用，根据牛顿第二定律和 向心力公式有 fm－T＝mrAω22，
(1) 当转台的角速度达到多大时细线上出现张力？
(2) 当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动？
(3) 若 A 物块恰好将要滑动时细线断开，求 B
物块落地时与转动轴心的水平距离．(不计空气阻力)
【答案】
(1)
3 2
3 rad/s
(2) 3 rad/s
(3) 0.36 m
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【解析】 (1) 当细线上无拉力时，小物块 A、B 随转台转动的向心力由转台对它们
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【解析】Q 处于临界状态时 kmg＝mω2·2x，解得 ω＝ k2gx，P 处于临界状态时 2kmg
＝mω2·x＋mω2·2x，解得 ω＝ 23kxg，ω 在 k2gx＜ω＜ 23kxg范围内增大时，Q 所受摩
擦力不变，故 A 错误；当 ω＞ k2gx时，绳子一定有弹力，故 B 正确；当 ω＞ 23kxg时，
(1) 求物块从 A 端运动到 B 端的时间． (2) 试判断传送带能否将物块运送到平台上．若能，求出在 C 点时物块对圆弧轨道 的压力大小；若不能，写出判断理由．
＝
klg，而转盘的角速度
2kg 3l <
klg，小木块 a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩
擦力来提供，由牛顿第二定律可得 f＝mω2l＝23kmg，D 错误．
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题组跟进 1 1. (多选)如图所示，在水平转盘上放有两个可视为质点的相同的木块 P 和 Q，两者 用长为 x 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 k 倍，P 放在距离转 轴 x 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2 转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，下列说法中正确的是( BD ) A. ω 在 k2gx＜ω＜ 23kxg范围内增大时，Q 所受摩擦力变大 B. 当 ω＞ k2gx时，绳子一定有弹力 C. 当 ω＞ k2gx时，P、Q 相对于转盘会滑动 D. ω 在 0＜ω＜ 23kxg范围内增大时，P 所受摩擦力一直变大
A. b 一定比 a 先开始滑动 B. a、b 所受的摩擦力始终相等 C. ω＝ k2gl 是 b 开始滑动的临界角速度 D. 当 ω＝ 23klg时，a 所受摩擦力的大小为 kmg
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【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆
盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据
圆心并随 v 的增大而增大
在最
高点
的 FN
图象
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
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举题固法 2 一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖 直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法中正确的是( A )
A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B. 小球过最高点的最小速度是 gR C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
根据几何关系可知 B 物块落地时与转动轴心的水平距离为 s＝
x2＋rB2 ＝
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m≈0.36 m.
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竖直平面内圆周运动的“轻绳”、“轻杆”模型
1. 模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一 是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑 (如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
对小物块 B，则有 T＋fm＝mrBω22，
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联立解得 ω2＝ mr2Af＋m rB＝3 rad/s， 即当转台的角速度达到 ω2＝3 rad/s 时 A 物块开始滑动． (3) 细线断开后，拉力 T 消失，小物块 B 将沿转台切线做平抛运动，其初速度为 v
＝rBω2＝0.6 m/s，
根据平抛运动规律可知小物块 B 做平抛运动的水平射程为 x＝v 2gh＝0.3 m，
讨论
(1) 过最高点时，v≥ gr，FN＋ mg＝mvr2，绳、轨道对球产生弹力
(2) 当 0＜v＜ 背离圆心并随
gr时，mg－FN＝mvr2，FN v 的增大而减小
分析 FN
(3) 当 v＝ gr时，FN＝0
(2) 不能过最高点 v＜ gr，在到达 最高点 v＞
gr时，mg＋FN＝mvr2，FN 指向
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2. 两类模型对比
轻绳模型
轻杆模型
图示
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
除重力外，物体受到的弹力方向：向 除重力外，物体受到的弹力方向：
受力特征
下或等于零
向下、等于零或向上
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受力 示意图
过最高点的 临界条件
由 mg＝mvr2 得 v 临＝ gr
由小球能运动即可得 v 临＝0
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(1) 当 v＝0 时，FN＝mg，FN 背离圆心
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2. 与弹力有关的临界极值问题分析 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好 拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．
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举题固法 1 (多选)如图所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水 平圆盘上，a 与转轴 OO′的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦 力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转 动，用 ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法中正确的是( AC )
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2. (多选)(2017·常州中学)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动， 内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法中正确的是( BC )
A. 小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR＋r B. 小球通过最高点时的最小速度 vmin＝0 C. 小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球 一定无作用力 D. 小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
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3. (2016·扬州一模)如图所示，水平传送带以 v0＝6 m/s 顺时针匀速转动，L＝6 m， 右端与光滑竖直半圆弧轨道平滑对接，圆弧轨道的半径 R＝0.5 m，O 为圆心，最高点 C 正下方有一挡板 OD，CD 间距略大于物块大小，平台 OE 足够长．现将质量为 m＝1 kg 的物块轻放在传送带的最左端 A 处，物块(可视为质点)与传送带间的动摩擦因数 μ＝0.5， 取 g＝10 m/s2.