高考数学题型全归纳第六章第2-3节

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高三数学第六章知识点归纳

高三数学第六章知识点归纳高中数学是学生学习的一门重要学科，不仅涉及到基本数学概念和运算，还包含了各种数学定理和解题技巧。

在高三的学习中，数学的重点是加强对基础知识的掌握和运用能力，为高考打下坚实的基础。

第六章是高三数学重点章节之一，主要涉及函数及其表示、数列与数学归纳法等内容。

本文将对高三数学第六章的知识点进行归纳和总结，以便于同学们更好地理解和掌握这些知识。

首先，我们来讨论函数及其表示这个部分的内容。

函数是现代数学的重要概念之一，也是高中数学的重点内容。

在这章中，我们需要了解函数的定义、性质以及函数的图像表示等。

函数的定义是指，给定两个非空集合A和B，如果存在一个对应关系f，使得A中的每一个元素都在B中有唯一对应的元素，则称f为从A到B的函数。

函数的性质有定义域、值域和可逆性等，这些性质对于理解函数的特点和运用非常重要。

此外，函数的图像表示是通过绘制函数的图形来直观地表示函数的变化规律，我们需要学会使用坐标系和画出函数的图像。

接下来，我们来看一下数列与数学归纳法这一部分的内容。

数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的，是数学中重要的概念之一。

在高三数学中，我们需要了解数列的定义、性质和常见的特殊数列等。

数列的定义是指，设有一列按照一定规律排列的数ai（i=1,2,3,...），则称ai为数列的第i个项。

我们需要研究数列的性质，如递增、递减、等差、等比等，这些性质能够帮助我们找到数列的规律并进行推理。

此外，高三数学中还需要了解数列的求和公式和通项公式，这些公式是计算数列和推导数列规律的有效方法。

最后，我们来讨论作为数学归纳法在高三数学中的应用。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学中也有广泛的应用。

数学归纳法通常涉及三个步骤：基本步骤、归纳假设和归纳步骤。

基本步骤是证明给定命题在某个特定条件下成立；归纳假设是假设命题对于某个正整数成立；归纳步骤是证明当命题对于某个正整数成立时，对于下一个正整数也成立。

高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文

所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立．因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所以 m＜x2－6x＋1．因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．

高三数学第六章知识点梳理

高三数学第六章知识点梳理数学作为一门科学，具有严密的逻辑和抽象的思维方式。

对于高中生来说，数学的学习尤为重要，特别是高三学生们即将面临的高考。

第六章是高三数学的重要章节之一，主要包括数列与数学归纳法、函数基本性质和函数的应用等内容。

在这篇文章中，我们将对这些知识点进行梳理和总结。

一、数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定的规则依次排列的一系列数的集合。

数列的概念是数学归纳法的基础，数学归纳法是一种重要的证明方法。

利用数学归纳法，可以证明一些具有递推关系的命题成立。

在数列的学习中，我们需要掌握数列的定义、通项公式和递推关系，以及数列的等差数列和等比数列的性质。

等差数列中，相邻项之间的差值是常数，而等比数列中，相邻项之间的比值是常数。

这些性质对于数列的研究和应用都具有重要的作用。

二、函数基本性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数的学习主要包括了函数的定义、函数的基本性质、函数的图像和函数的运算等方面。

在函数的学习中，我们需要掌握函数的各种性质。

例如，函数的定义域和值域，函数的奇偶性，函数的单调性，函数的图像和函数的反函数等等。

这些性质都是描述函数特点的重要依据，对于对函数进行研究和利用具有重要的意义。

三、函数的应用函数的应用是数学中一个非常重要的领域。

函数的应用范围广泛，涵盖了物理、化学、经济、生物等各个领域。

在高三数学中，我们主要学习了函数的最值、函数的模型和函数的解析几何等应用。

函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

对于函数的求解，我们可以通过求导的方法来求解函数的最值问题。

函数的模型是指利用函数来描述实际问题的模型，通过建立函数模型，可以对实际问题进行分析和解决。

函数的解析几何是利用函数的方法来研究几何的问题，常见的应用有直线和曲线的方程、圆的方程、参数方程等。

高三数学第六章的知识点的梳理和总结对于学生的学习和应试有着重要的意义。

掌握这些知识点，不仅可以为高考提供更多的应对策略，还可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

高二第六章数学知识点总结

高二第六章数学知识点总结本文旨在对高二学生在数学学科中学习的第六章内容进行总结和归纳，帮助学生复习巩固所学知识点，并提高解题能力。

以下是第六章数学知识点的概要总结。

1. 平面向量平面向量是高中数学中的重要概念，涉及向量的表示、向量的加减法、数量积和向量积等基本运算。

在解决向量问题时，需要熟练掌握向量的坐标表示、模长和方向角计算方法以及向量的运算规则。

特别需要注意的是，数量积和向量积的应用，如向量共线、垂直、面积计算等。

2. 三角函数三角函数是解决三角形问题的重要工具，包括正弦、余弦和正切等常用三角函数。

初步掌握三角函数的定义、性质和图像特点，能够熟练地计算角度的大小以及三角函数值。

需要注重解三角方程、证三角恒等式，以及三角函数与平面几何和解析几何的应用。

3. 平面几何平面几何主要包括直线、圆和曲线的性质与应用。

对于直线和圆，需要掌握其标准方程和一般方程的求解方法，以及直线和圆的位置关系。

在曲线的研究中，需要熟悉抛物线、椭圆和双曲线的特性与性质，并能应用相关知识解决曲线方程的求解和应用题。

4. 空间几何空间几何主要涉及点、线、面等在三维空间中的性质与运算。

学生需要掌握空间向量的坐标表示、模长和方向角计算方法，以及空间向量的加减法和数量积的运算规则。

此外，还需熟悉空间直线和平面的方程与性质，并能解决与空间几何相关的实际问题。

5. 概率与统计概率与统计是数学的重要分支，涉及随机事件、概率计算和统计分析等内容。

在概率的学习中，需要了解随机事件的定义与性质，掌握概率的计算方法和概率模型的应用。

在统计学的学习中，需要理解总体、样本和抽样方法，以及数据处理与统计分析的方法与应用。

以上是高二第六章数学知识点的简要总结。

希望同学们能够认真复习巩固这些知识点，并能够灵活应用于解题中。

通过不断练习和积累，提高数学解题的能力和水平，为高中数学学科的学习打下坚实的基础。

祝愿同学们在数学学科中取得优异的成绩！。

高一第六章数学知识点归纳

高一第六章数学知识点归纳数学作为一门重要的科学学科，涉及到各个学年的学习内容。

而在高中数学中，第六章是一个重要的知识点集合，主要涉及到三角函数与解三角形。

本文将对这一章的主要知识点进行归纳，以帮助学生更好地理解和掌握这些内容。

1. 三角函数的概念首先，我们需要了解三角函数的概念。

在平面直角坐标系中，对于任意一个实数x，我们可以定义它的正弦(sin x)、余弦(cos x)和正切(tan x)。

这些函数与直角三角形的边长之间有密切的关系，通过对角度与弧度的转换，我们可以得到更为精确的数值。

2. 三角函数的性质了解了三角函数的概念之后，我们需要深入了解它们的性质。

比如，正弦函数和余弦函数的图像都是周期函数，而正切函数的图像则呈现出周期性和奇偶性的特点。

此外，还有诸如反三角函数的定义域、值域以及图像等方面的性质需要掌握。

3. 三角恒等式的运用在解题过程中，三角恒等式的应用是不可或缺的。

熟练掌握各种三角恒等式可以帮助我们化简复杂的表达式，同时也能用于解决一些等式和不等式的求解问题。

比如，利用余弦定理可以处理不等边三角形的相关计算，而正弦定理则适用于处理含有角度的等式和比例关系。

4. 三角函数的解析式对于给定的一个三角函数，我们可以通过数学推导得到其解析式。

例如，正弦函数的解析式是sin x = a/b，其中a表示三角形的对边，b表示斜边的长度。

借助这些解析式，我们可以利用已知条件求解未知量，解决一些几何问题。

5. 解三角形的方法除了研究三角函数的性质和解析式，解三角形也是这一章的重点内容之一。

常见的解三角形的方法有正弦定理、余弦定理以及正弦规则等。

通过运用这些方法，我们可以求解确定三角形各边和角的未知量，从而获得完整的三角形信息。

6. 三角函数在物理问题中的应用最后，三角函数的应用不仅仅局限在纯数学的领域，它也广泛应用于物理学中。

比如，通过运用三角函数可以计算物体在斜面上受到的重力分力和垂直分力，进而求解物体在斜面上的运动轨迹。

2020年高考数学(理科)考点与题型全归纳(第六章数列)

第六章数列第一节数列的概念与简单表示一、基础知识1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有限数列：项数有限个；无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C (常数)，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.考点一由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. [解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)－2n －1[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解．(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．[题组训练]1.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)(n∈N*)，则a n＝() A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1解析：选C当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，∴数列{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n.2.设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，则a n＝____________.解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝22n－1.答案：2 2n－1考点二由递推关系式求数列的通项公式[典例](1)设数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1＝a n＋n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________________．(2)在数列{a n}中，a1＝1，a n＝n－1n aa n－1(n≥2)，则数列{a n}的通项公式为________________．(3)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，则数列{a n}的通项公式为________________．[解析](1)累加法由题意得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，a n＝a n－1＋n(n≥2)，以上各式相加，得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)累乘法∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．(3)构造法∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *) (2)a n ＝1n (n ∈N *) (3)a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[解题技法]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n－1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .答案：4－1n2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2.答案：2n (n －1)23.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－13考点三数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，a a 1＝35，则数列的第 2 019项为________．[解析] 因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [解析] (1)∵2S n ＝4a n －1,2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)，两式相减可得2a n ＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)．又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2，设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)， ∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n 恒成立， ∵(3－2n )max ＝1，∴λ>1，故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．(2)当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6. [答案] (1)(1，＋∞) (2)5或6[解题技法]1．解决数列的单调性问题的3种方法2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．[题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 因为a n ＝na bn ＋c＝a b ＋c n ，而函数f (x )＝ab ＋c x(a >0，b >0，c >0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 019＝a 3×673＝a 3＝－1.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选D 由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23，故选D. 2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.故选A.3．(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[2,3)解析：选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x ≤3，故x 的取值范围为[2,3]．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32. 答案：⎝⎛⎭⎫192，329．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2，得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0，令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n (n ＋2－λ)>0，所以n ＋2－λ>0，则λ<n ＋2.又n ∈N *，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．答案：(－∞，3)11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：972．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：283．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a na n －1>1(n ≥2)，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n －1>1(n ≥2)，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1. 令a na n ＋1>1，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1>1，整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>….又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列{}a n 的最大项．第二节等差数列及其前n 项和一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．二、常用结论已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .考点一等差数列的基本运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.[答案] (1)B (2)D[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[题组训练]1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340，选D.3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 5＋a 10＝12，所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 考点二等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[题组训练]1．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及应用考法(一) 等差数列项的性质[典例] (1)已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25(2)(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6[解析] (1)因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.(2)由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.[答案] (1)B (2)A考法(二) 等差数列前n 项和的性质[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. [答案] B考法(三) 等差数列前n 项和的最值[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A[解题技法]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[题组训练]1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．13解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18[课时跟踪检测]A 级1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．130解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A ．20B ．40C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )A ．4n ＋2B ．4nC ．2n ＋1D ．2n解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)．答案：514(15n －n 2)8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：69．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 510．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：1011．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.B 级1．设a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，则下列命题中不正确的是( ) A ．{a n ＋1－a n }是等差数列 B ．{b n ＋1－b n }是等差数列 C ．{a n －b n }是等差数列D ．{a n ＋b n }是等差数列解析：选D 对于A ，因为a n ＝(n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋2)2－(n ＋1)2＝2n ＋3，设c n ＝2n ＋3，所以c n ＋1－c n ＝2.所以{a n ＋1－a n }是等差数列，故A 正确；对于B ，因为b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝2n ，设c n ＝2n ，所以c n ＋1－c n ＝2，所以{b n ＋1－b n }是等差数列，故B 正确；对于C ，因为a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以a n －b n ＝(n ＋1)2－(n 2－n )＝3n ＋1，设c n ＝3n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝3，所以{a n －b n }是等差数列，故C 正确；对于D ，a n ＋b n ＝2n 2＋n ＋1，设c n ＝a n ＋b n ，c n ＋1－c n 不是常数，故D 错误． 2．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36， ∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－123．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S nn ＋c＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．第三节等比数列及其前n 项和一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .考点一等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C.2D ．22解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法中项公式法通项公式法前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2 C.2D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C. 2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|，则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －1。

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版单选题1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（） A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.2、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C3、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =√3，则b+csinB+sinC等于（）A ．12B ．√3C ．√32D ．2 答案：D解析：由已知结合正弦定理即可直接求解．A ＝60°，a =√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC =asinA =√3√32=2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，则b+csinB+sinC =2．故选：D ．小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题． 4、若A(−2,3)，B(3,2)，C (12,m)三点共线，则实数m 的值为A ．2B ．−2C ．52D ．−12答案：C分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题. 因为A(−2,3)，B(3,2)，C (12,m)三点共线，所以方向向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,−1)与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(52,m −3)共线，所以5(m −3)−(−1)×52=0，解得m =52. 故选：C小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.5、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5，∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D.6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b⃑ |求解即可. 由已知必有||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b ⃑ |，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=0，则△ABC 的形状是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，可得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，等式|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |两边平方，化简得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 8、已知向量a =(2，3)，b ⃑ =(3，2)，则|a –b ⃑ |= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a −b ⃑ ，再根据模的概念求出|a −b ⃑ |．由已知，a −b ⃑ =(2,3)−(3,2)=(−1,1)，所以|a −b ⃑ |=√(−1)2+12=√2，故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．9、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ，若 bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA =sin 2A ，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为bcosC +ccosB =asinA ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ，即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形. 故选：A.10、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2，|b ⃑ |=3，|a −2b ⃑ |=2√13则a 与b⃑ 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C分析：先对|a −2b ⃑ |=2√13平方，代入已知条件整理得a ⋅b ⃑ =−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a −2b ⃑ |=2√13，∴|a −2b ⃑ |2=a 2−4a ⋅b ⃑ +4b ⃑ 2=52，又|a |=2，|b ⃑ |=3，∴a ⋅b ⃑ =−3，设a 与b ⃑ 的夹角为θ， ∴cosθ=a⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ ||b ⃑ |=−12，从而θ=2π3，所以a 与b ⃑ 的夹角θ=2π3. 故选：C 填空题11、已知非零向量a ，b ⃑ ，|a |=8, |b ⃑ |=5，则|a +b ⃑ |的最大值为______．答案：13分析：根据向量数量积的运算性质，有|a +b ⃑ |2=|a |2+2a ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2，即可求|a +b ⃑ |的最大值. ∵|a +b ⃑ |2=|a |2+2a ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2=89+80⋅cos <a ,b ⃑ >， ∴当cos <a ,b ⃑ >=1时，|a +b ⃑ |2有最大值为169. ∴|a +b ⃑ |的最大值为13. 所以答案是：13.12、在菱形ABCD 中，AB =3，∠BAD =60°，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =___________. 答案：−3分析：利用向量加减法的几何意义可得AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再应用向量数量积的运算律及已知条件求AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 即可. 由题意，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−9+3+3=−3.所以答案是：−313、在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，∠BCD =150°，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC =4√33，AE =2√3，若点M 为边CD 上的动点，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为________.答案：154分析：根据题目条件，建立适当的直角坐标系，并结合已知条件得到相关点的坐标，设出线段CD 上的动点的坐标，求得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标关于t 的表达式，得到AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 关于t 的表达式，利用二次函数的性质求得最小值. 如图所示，建立直角坐标系.由AE =2√3得E(2√3,0),由AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得EB = 2√33, 又∵BC =4√33，∠ABC =60°，∴∠BEC =90°，且EC =2,∠BCE =30°.∴C(2√3,2),作CF ⊥AD 于F ,∵∠BCD =150°，∴∠DCF =30°，由FC =AE = 2√3,∴DF =2，∴D(0,4),∵M 在线段CD 上，故可设AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3t,4−2t),（0<t <1） ∴EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3(t −1),4−2t), ∴AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(t 2−t )+(4−2t )2=16t 2−28t +16, 当t =78时取得最小值4×16×16−2824×16=154,所以答案是：154.小提示：本题考查平面向量的数量及的最值问题，关键是建立坐标系，并利用已知条件得到相关点的坐标，要熟练掌握线段上的点的坐标的设法. 解答题14、在△ABC 中，内角A ，B ， C 所对的边分别为a,b,c .已知b +c =2a ，3csinB =4asinC .（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）求sin (2B +π6)的值. 答案：(Ⅰ) −14；(Ⅱ) −3√5+716. 分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB 的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin (2B +π6)的值. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理b sinB=c sinC得bsinC =csinB ，又由3csinB =4asinC ，得3bsinC =4asinC ，即3b =4a . 又因为b +c =2a ，得到b =43a ，c =23a .由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos 2B =√154，从而sin2B =2sinBcosB =−√158，cos2B =cos 2B −sin 2B =−78.故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716. 小提示：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.15、如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．答案：(1)7√3；(2)tan∠ABD =2√33．分析：(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan∠ABD 的方程，解之即得.(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC 得： 28=22+x 2−2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x −24=0，而x>0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12⋅2⋅4⋅√32=2√3，梯形ABCD 中，AB //CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB 2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=5√3，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =7√3； (2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2−α，∠DBC =2π3−a ，∠BCA =α−π6，在△ABC 中，由正弦定理ABsin∠BCA =BCsin∠BAC 得：2sin(α−π6)=BCsin(π2−α)，在△BDC 中，由正弦定理CDsin∠DBC=BC sin∠BDC得：5sin(2π3−α)=BC sinα，两式相除得：2sin(2π3−α)5sin(α−π6)=sinαsin(π2−α)⇒2⋅(√32cosα+12sinα)5⋅(√32sinα−12cosα)=sinαcosα，整理得5√3sin 2α−7sinαcosα−2√3cos 2α=0，即5√3tan 2α−7tanα−2√3=0 解得tanα=2√33或tanα=−√35，因为α∈(π6,π2)，则tanα=2√33，即tan∠ABD =2√33．小提示：(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解； (2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.。

2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版

(名师选题)2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案. 解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →. 故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题 2、在平行四边形ABCD 中，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2),BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2 答案：A分析：根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案； ∵ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12+22−(32+42)=−20， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，故选：A3、对任意量给非零向量a ，b ⃑ ，定义新运算：a ×b ⃑ =|a ⃑ |sin⟨a ⃑ ,b ⃑⟩|b ⃑|．已知非零向量m ⃑⃑ ，n ⃑ 满足|m ⃑⃑ |>3|n ⃑ |，且向量m ⃑⃑ ，n ⃑ 的夹角θ∈(π4,π2)，若4(m ⃑⃑ ×n ⃑ )和4(n ⃑ ×m ⃑⃑ )都是整数，则m ⃑⃑ ×n ⃑ 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．174 答案：B 分析：由n ⃑ ×m ⃑⃑ =|n ⃑ |sinθ|m ⃑⃑⃑ |=k 4(k ∈Z )结合|m ⃑⃑ |>3|n ⃑ |>0可得0<k 4<13，从而求得k ,可得|m ⃑⃑⃑ ||n⃑ |=4sinθ，确定34<sinθ<1，再根据m ⃑⃑ ×n ⃑ =|m ⃑⃑⃑ |sinθ|n ⃑ |=4sin 2θ即可确定答案.由题意可得n ⃑ ×m ⃑⃑ =|n ⃑ |sinθ|m ⃑⃑⃑ |=k4(k ∈Z )．因为|m ⃑⃑ |>3|n ⃑ |>0，所以0<|n ⃑ ||m ⃑⃑⃑ |<13．因为θ∈(π4,π2)，所以√22<sinθ<1，所以0<|n ⃑ ||m ⃑⃑⃑ |sinθ<13，即0<k4<13，解得0<k <43．因为k ∈Z ，所以k =1，所以n ⃑ ×m ⃑⃑ =|n ⃑ |sinθ|m ⃑⃑⃑ |=14，则|m ⃑⃑⃑ ||n⃑ |=4sinθ，则|n ⃑ ||m ⃑⃑⃑ |=14sinθ<13，得34<sinθ<1，故m ⃑⃑ ×n ⃑ =|m ⃑⃑⃑ |sinθ|n ⃑ |=4sin 2θ∈(94,4),符合该条件的是3，故选：B4、在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =m ⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =n ⃑ ，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3m ⃑⃑ −2n ⃑ B ．−2m ⃑⃑ +3n ⃑ C ．3m ⃑⃑ +2n ⃑ D ．2m ⃑⃑ +3n ⃑分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ )，所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑ = 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3n ⃑ −2m ⃑⃑ =−2m ⃑⃑ +3n ⃑ ．故选：B ．5、在△ABC 中，sin 2A =sinBsinC ，若∠A =π3，则∠B 的大小是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC 的形状，即可判断选项. 因为sin 2A =sinBsinC ，所以a 2=bc ，由余弦定理可知a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc =bc ，即(b −c)2=0，得b =c ，所以△ABC 是等边三角形，∠B =π3.故选：C6、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C =30∘，c =10.如果△ABC 有两解，则a 的取值范围是（） A ．[10,20]B ．[10,10√3]C ．(10,10√3)D ．(10,20) 答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a 的不等式，由此可解得a 的取值范围. 如下图所示：因为△ABC 有两解，所以asinC =12a <c =10<a ，解得10<a <20.7、下列条件中能得到a =b ⃑ 的是（） A ．|a |=|b ⃑ |B ．a 与b ⃑ 的方向相同； C ．a =0⃑ ，b ⃑ 为任意向量D ．a =0⃑ 且b ⃑ =0⃑ 答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a =b ⃑ ，所以a 与b ⃑ 的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D.8、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac=c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B9、过△ABC 的中线AD 的中点E 作直线PQ 分别交AB ､AC 于P ､Q 两点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则1m+1n =（）A ．4B ．43C ．3D ．1分析：由D 为BC 的中点得到 AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，设PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再由AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，然后利用AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线求得m ，n 即可.解：由D 为BC 的中点可知，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )， =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，设PE⃑⃑⃑⃑⃑ =λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ， =AP⃑⃑⃑⃑⃑ +λ(AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ −AP ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−λ)AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵ AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴ AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ∵ AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴ 14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵ AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线， ∴ {λn =14(1−λ)m =14，解得{n =14λm =14(1−λ)， ∴ 1m+1n=4故选：A .10、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =2√3或c =−√3（舍），∴c =2√3. 故选：B.11、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ , BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ．其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2 C ．3D ．4 答案：A分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案. 对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确．对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形ABCD 为平行四边形，则AB =DC ，且方向相同，BC =DA 但方向相反，所以BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 与DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.12、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（）A．a B．1C．-1D．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a−2b⃑)⋅a，再借助投影向量的意义计算作答.因|a|⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a⊥b⃑，则(a−2b⃑)⋅a=a2−2b⃑⋅a=1，令向量a−2b⃑与向量a的夹角为θ，于是得|a−2b⃑|cosθ⋅a⃑|a⃑ |=(a⃑ −2b⃑)⋅a⃑|a⃑ |⋅a⃑|a⃑ |=a，所以向量a−2b⃑在向量a方向上的投影向量为a.故选：A双空题13、法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC中，A=60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，则∠O1AO3=___________；若△O1O2O3的面积为√3，则三角形中|AB|+|AC|的最大值为___________.答案：120∘ 4分析：第一空，根据正三角形的外接圆圆心也即正三角形的中心，即可求得答案，第二空，根据等边△O1O2O3的面积求出边长|O1O3|，利用正弦、余弦定理求出O1A、O3A和O1O32，求出b2+ c2+bc=12，结合基本不等式，求得答案.第一空，由于O1,O3是正△ABC′,△AB′C外接圆圆心，故也是它们的中心，所以在△O1AB中，∠O1AB=30∘，同理∠O3AC=30∘,由∠BAC =60°，所以∠O 1AO 3=120∘;第二空：由题意知△O 1O 2O 3为等边三角形，设边长为m ，则S △O 1O 2O 3=12m 2sin60°=√34m 2=√3，解得|O 1O 3|=m =2；设BC =a ，AC =b ，AB =c ，在等腰△BO 1A 中，∠O 1AB =∠O 1BA =30∘,∠AO 1B =120∘，则ABsin120°=O 1Asin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 3中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2−2O 1A ⋅O 3A ⋅cos120°，即4=c 23+b 23−2⋅bc 3⋅(−12)，即b 2+c 2+bc =12，即(b +c)2−bc =12 ，故(b +c)2−12=bc ≤(b+c 2)2，解得b +c ≤4 ，当且仅当b =c =2时取等号，故三角形中|AB |+|AC |的最大值为4，所以答案是：120∘;414、在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =3，点D 在线段AC 上，满足BD =8√35，∠BDC =60°，则sinC =_______，△ABD 的面积为_______. 答案： 45##0.896−24√325分析：△BCD 中由正弦定理求得sinC 得cosC ，从而求得AC ，AB ，△ABD 中由诱导公式、两角和的正弦公式求得sin∠ABD ，然后由面积公式计算．由BCsin∠BDC =BDsinC 得sinC =BD⋅sin∠BDCBC=45，所以cosC =35，又cosC =BC AC =3AC ，所以AC =5，cosA =45，sinA =35，AB =4，sin∠ABD =sin (∠A +∠ADB )=sin∠Acos∠ADB +cos∠Asin∠ADB =4√3−310，S △ABD =12|AB |⋅|BD |⋅sin∠ABD =12×4×8√35×4√3−310=96−24√325. 所以答案是：45；96−24√325．15、在△ABC 中，B =45°,C =60°,b =35，则a =___________，c =___________．答案：35(1+√3)235√62分析：由题意得A =75°，再根据正弦定理即可求出答案．解：∵B =45°,C =60°， ∴A =75°，又b =35，由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得a =bsinA sinB=35sin(30°+45°)sin45°=35(12×√22+√32×√22)√2235(1+√3)2，c =bsinC sinB=35sin60°sin45°=35×√32√22=35√62，所以答案是：35(1+√3)2；35√62．小提示：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题．16、已知平面向量a ，b ⃑ ，c 满足a 与b ⃑ 的夹角为锐角，|a |=4，|b ⃑ |=2，|c |=1，且|b ⃑ +ta |的最小值为√3，则实数t 的值是_____，向量(c −12a )⋅(c −b ⃑ )的取值范围是_____. 答案： −14 [3−2√3, 3+2√3]解析：①由题可知|b ⃑ +ta |2的最小值为3，用含t 的式子表示|b ⃑ +ta |2，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得a ⋅b ⃑ =±4，由a 与b ⃑ 的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t ；②表示|12a +b ⃑ |，展开(c −12a )⋅(c −b ⃑ )（设θ=⟨12a +b ⃑ ,c ⟩），将已知模长代入展开式，可化简为3−2√3cosθ，利用三角函数的值域，得答案. ①由题|b ⃑ +ta |2=|b ⃑ |2+2ta ⋅b ⃑ +t 2|a |2因为|a |=4，|b ⃑ |=2，所以|b ⃑ +ta |2=22+2a ⋅b ⃑ t +t 2⋅42=16t 2+2a ⋅b⃑ t +4因|b ⃑ +ta |最小值为√3，且由二次函数分析可知，当t =−2a ⃑ ⋅b ⃑ 2⋅16=−a⃑ ⋅b ⃑ 16时，|b ⃑ +ta |2最小所以|b ⃑ +ta |2min=16(−a⃑ ⋅b ⃑ 16)2+2a ⋅b ⃑ (−a ⃑ ⋅b ⃑ 16)+4=−(a ⃑ ⋅b ⃑ )216+4=(√3)2，解得a ⋅b⃑ =±4 又因为a 与b ⃑ 的夹角为锐角，所以a ⋅b ⃑ =4，故t =−a ⃑ ⋅b ⃑ 16=−14；②因为(c −12a )⋅(c −b ⃑ )=c 2−b ⃑ ⋅c −12a ⋅c +12a ⋅b ⃑ =c 2+12a ⋅b ⃑ −(12a +b ⃑ )⋅c又有|12a +b ⃑ |=√(12a +b ⃑ )2=√14a 2+a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=√14⋅42+4+22=2√3 将模长代入(c −12a )⋅(c −b ⃑ )=c 2+12a ⋅b ⃑ −(12a +b ⃑ )⋅c ，设θ=⟨12a +b ⃑ ,c ⟩即原式=c 2+12a ⋅b ⃑ −|12a +b ⃑ ||c |cosθ=12+12⋅4−2√3⋅1cosθ=3−2√3cosθ 因为cosθ∈[−1,1]，所以(c −12a )⋅(c −b⃑ )∈ [3−2√3, 3+2√3] 所以答案是：①−14；②[3−2√3, 3+2√3]小提示：本题考查了由平面向量的模的最值求参数，还考查了以平面向量的运算法则、数量积运算为载体转化为三角函数求最值问题，属于难题.17、如图，在△ABC 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EB ⃑⃑⃑⃑⃑ .若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xa +yb ⃑ ，则x +y =___________；若AB =3，AC =4，∠BAC =π3，则BP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =___________.答案： −13 43分析：利用平面向量基本定理求解出BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +13b ⃑ 及ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =−16a +12b⃑ ，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算. 连接DF ，因为D ，F 分别为BC ，AC 的中点，所以DF 是△ABC 的中位线，所以DF AB=PD AP=12，则BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23×12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−23a +13b⃑ ，所以x =−23,y =13，所以x +y =−13； ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =EA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−16a +12b ⃑ ，故BP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−23a +13b ⃑ )(−16a +12b ⃑ )=19a 2−718a ⋅b⃑ +16b ⃑ 2=1−718|a |⋅|b ⃑ |cos π3+83=1−718×3×4×12+83=43所以答案是：−13，43解答题18、如图，在梯形ABCD 中，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =25BC⃑⃑⃑⃑⃑ .（1）用BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CD⃑⃑⃑⃑⃑ ；（2）若AB =AD =2，且AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =9，求∠ABC 的大小. 答案：（1）AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −35BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ；（2）π3. 分析：（1）利用向量的线性运算直接求解即可；（2）根据AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得cos∠ABC ，由此求得∠ABC .（1）AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC⃑⃑⃑⃑⃑ =25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ )=BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −35BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ；（2）∵AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =25BC⃑⃑⃑⃑⃑ ，AD =2，∴BC =5. ∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+35BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，且AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =9，∴−22+35×2×5×cos∠ABC +25×52=9，解得：cos∠ABC =12， ∵∠ABC ∈(0,π)，∴∠ABC =π3.19、在△ABC 中，A ，B 为锐角，C 为钝角，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且S △ABC =√34(c 2+a 2−b 2)．(1)求角B ； (2)求ca 的取值范围．答案：(1)B =π3；(2)(2,+∞)分析：（1）利用B 角的余弦定理代入S △ABC =√34(c 2+a 2−b 2)得到sin (B −π3)=0，结合B 的范围求出答案；（2）利用正弦定理边化角得到12+√32⋅1tanA，接着根据题意求出A 角的范围，继而求出答案（1）因为a 2+c 2−b 2=2accosB ，所以S △ABC =√34(a 2+c 2−b 2)=√34⋅2accosB =√32accosB =12acsinB ，从而sinB −√3cosB =0，即sin (B −π3)=0，因为B ∈(0,π)，所以B −π3∈(−π3,2π3)所以B −π3=0，即B =π3；（2）因为asinA =csinC ，sinC =sin(A +B)=sinAcosB + sinBcosA =12sinA +√32cosA ，所以ca =sinCsinA =12+√32⋅cosA sinA =12+√32⋅1tanA ，因为B =π3，C 是钝角，B 为锐角，所以{0<A <π2π2<C <π，即{0<A <π2π2<2π3−A <π，解得0<A <π6，所以0<tanA <√33，于是1tanA>√3，从而ca=12+√32⋅1tanA>2，因此ca 的取值范围是(2,+∞)20、在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asin2B =bsinA. （1）若a =3,b =√7，求c ；（2）求acosC−ccosAb的取值范围.答案：（1）c =2；（2）(−1,1).分析：（1）由正弦定理及二倍角公式可得cosB =12，进而得解；（2）根据正弦定理边角互化可得∴acosC−ccosAb=√3(2A −2π3)，结合锐角三角形的范围可得解.（1）由asin2B =bsinA ，得sinAsin2B =sinBsinA ，得2sinAsinBcosA =sinBsinA ，得cosB =12，在△ABC ，∴B =π3，由余弦定理b 2=c 2+a 2−2accosB ，得7=c 2+9−2c ×3cos π3，即c 2−3c +2=0，解得c =1或c =2.当c =1时，b 2+c 2−a 2=−2<0,cosA <0 即A 为钝角（舍），故c =2符合.（2）由（1）得B =π3，所以C =2π3−A ， ∴acosC−ccosAb=sinAcosC−cosAsinCsinB=√32=√3(2A −2π3)，∵△ABC为锐角三角形，∴π6<A<π2，∴−π3<2A−2π3<π3，∴−√32<sin(2A−2π3)<√32，∴−1<acosC−ccosAb<1，故acosC−ccosAb的取值范围是(−1,1).小提示：关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.。

高二第六章数学知识点归纳

高二第六章数学知识点归纳在高二数学学习中，第六章是一个关键的章节，它包含了许多重要的数学知识点。

本文将对这些知识点进行归纳总结，并进行适当的讲解和说明，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

一、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种特殊的数学关系，它将自变量和因变量联系起来。

2. 函数的表示方法：可以通过函数的解析式、图像和表格等方式来表示函数。

3. 导数的概念：导数表示函数在某一点上的变化率，是函数的重要性质之一。

4. 导数的计算方法：可以通过极限定义或运用求导法则来计算导数。

5. 常见函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等导函数的计算规则。

二、函数的应用1. 高中数学中经典函数的应用：如利用一元二次函数解决实际问题、利用指数函数或对数函数解决增长与衰减问题等。

2. 最值问题：利用函数的导数求解函数的极大值和极小值问题，包括区间最值问题和最优化问题等。

3. 函数的图像和性质：对于给定函数，通过绘制函数的图像，可以帮助我们更好地理解函数的性质，如奇偶性、周期性和单调性等。

三、三角函数与图像变换1. 三角函数概念与性质：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和基本性质。

2. 三角函数的图像变换：如平移、纵伸缩和反射等对三角函数图像的变换操作。

3. 利用三角函数解决实际问题：如利用三角函数解决直角三角形的边长和角度问题，以及应用三角函数解决周期性问题等。

四、概率与统计1. 概率的基本概念：包括试验、随机事件、样本空间、事件的概念等。

2. 概率的计算：如频率法、古典概型、几何概型和条件概率等不同的概率计算方法。

3. 统计学基本概念：包括总体、样本、样本调查和统计量等基本概念。

4. 统计学的应用：如通过统计方法对数据进行分析和解读，包括频数分布、直方图、折线图和饼图等。

五、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：如等差数列、等比数列、递归数列等的定义和基本性质。

2. 等差数列与等差数列的应用：利用等差数列和等比数列解决实际问题，如等差数列的通项公式和等比数列的通项公式的应用。

高中数学第六章平面向量及其应用重点知识归纳(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用重点知识归纳单选题1、已知a ⃗，b ⃗⃗是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λa ⃗+μb ⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗−2b ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−3b ⃗⃗，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3−λ)a ⃗−(2+μ)b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗−b ⃗⃗；再由AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗//BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λa ⃗+μb ⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗−2b ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−3b⃗⃗，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3−λ)a ⃗−(2+μ)b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗−b ⃗⃗；若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗//BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.2、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则=（）A ．3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ．3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ．3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案. 解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →=3CM →−2CA →.CB u u u r故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题 3、下列命题中假命题是（） A ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误. 对于A 选项，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确；对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误. 故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.4、已知向量a ⃗,b ⃗⃗ 满足|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为（） A ．a ⃗B ．1 C ．-1D ．−a ⃗ 答案：A分析：根据给定条件，求出(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗=a ⃗2−2b ⃗⃗⋅a ⃗=1，令向量a ⃗−2b ⃗⃗与向量a ⃗的夹角为θ，于是得|a ⃗−2b ⃗⃗|cosθ⋅a ⃗⃗|a ⃗⃗|=(a⃗⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a ⃗⃗|⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|=a ⃗，所以向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为a ⃗. 故选：A5、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22，则ω=（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22，即|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π，故选：C ．6、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为，由正弦定理可得，即sin (B +C )=sin 2A ，即，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.7、在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数λ＋μ的值为（）A ．−15B ．15C ．−75D ．75 答案：B解析：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →，结合平面向量的基本定理，化简得到−a →+b →=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →，即可求解. 由题意，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，则在平行四边形ABCD 中，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且CF =2DF ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →，又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →−a →，所以−a →+b →=λAE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(a →+12b →)+μ(13a →+b →)=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →，所以{λ+13μ=−112λ+μ=1，解得{λ=−85μ=95，所以λ+μ=15。

高中数学高考复习：第六章第3讲

2 ab
D．ba＋ab≥2
[解析] 因为 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以 A 错误．对于 B，
C，当 a<0，b<0 时，明显错误．
对于 D，因为 ab>0，
所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2.
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第六章不等式
2．(2017·郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是( C )
栏目导引
第六章不等式
3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
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第六章不等式
1．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C．1a＋1b>
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第六章不等式
利用基本不等式求最值需满足的三个条件 (1)“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．
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第六章不等式
【解】 (1)由题意可得，xy＝1 800，b＝2a，则 y＝a＋b＋3 ＝3a＋3，所以 S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－3 3＝1 808－ 3x－83y(x＞3，y＞3)．
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第六章不等式
(2)法一：S＝1
808－3x－83×1
800 x
＝1
808－3x＋4

新课标高三数学总复习课本重难考点大全(第六章：不等式、推理与

第六章：不等式、推理与证明Ⅰ不等关系与不等式，一元二次不等式、可分解因式的高次不等式、绝对值不等式、分式不等式及其解法1、实数的运算性质和大小顺序间的关系；；；2、不等式的基本性质（熟记）（1）反对称性：如果，那么；如果，那么；（2）传递性：如果且，那么；如果且，那么；（3）可加性：如果，那么；（4）可乘性：如果且，那么；如果且，那么；（5）乘方法则：如果，那么；（6）开方法则：如果，那么；3、一元二次不等式的解法（略）复习韦达定理：对于方程（）两根为，则有4、绝对值不等式的解法（重点掌握）（1）绝对值的意义：；（2）绝对值不等式的解法：1）当时，；；2）当时，不等式的解集为；不等式的解集为无解或空集；3）当时，不等式的解集为；不等式的解集为无解或空集；4）当时，；；（3）型不等式的解法：（重点掌握）1）零点分段法：即令各个绝对值为0，解出零点，然后在数轴上把数轴分成几个区间来分别讨论；2）利用绝对值的几何意义:数形结合思想；3）通过构造函数，利用函数图像求解（函数与方程结合思想），一般需要按1）的方法将函数写成分段函数形式；（4）绝对值不等式的几个重要结论：（重点掌握）1）如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立；2）如果是实数，那么，当且仅当异号时，等号成立；3）如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立；5、简单分式不等式的解法（掌握）此类不等式切忌去分母，一律移项通分化为形式，再转化为求解；6、可化为的高次不等式的解法：（掌握）数轴标根法（穿针引线法、数轴穿根法）解高次不等式（考试一般最多只考查到三项）基本思路：将不等式化为含未知数一次因式的连乘或连除即：，找到使得各个因子等于零的x的值，将这些值按大小关系在数轴上标出，再从右上方开始画一条曲线，顺次穿过各点，数轴上方的部分标“+”即不等式 >0时的取值范围，数轴下方的部分标“-”即不等式<0时的取值范围。

注意事项：1）当为连续相乘时，可不考虑“不等式0（0）”是否可以取得使一次因子为0的值；当有除数因子存在时，必须考虑“不等式0（0）” 是否可以取得使一次因子为0的值；2）当化简的不等式里面存在同一个一次因式的多次方时，则在“穿线”时要遵循：奇穿偶不穿规则，即如果是偶数次方，则画曲线时不考虑该点，越过该点穿越下一个点，如果是奇数次方，则必须要穿过该点。

历年高考数学考点题型归纳解析第六章数列 (含解析)

1
第一节数列的概念与简单表示
一、基础知识 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集
{1,2，…，n})为定义域的函数 an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
考点一等比数列的基本运算.....................................................................................24 考点二等比数列的判定与证明.................................................................................25 考点三等比数列的性质.............................................................................................27 第四节数列求和...................................................................................................................33
数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类 (1)按照项数有限和无限分：有无限限数数列列：：项项数数有无限限个个；；
(2)按单调性来分：递递常摆减增数动数数列数列列：列：：a. n＋aa1nn＝＋＋11><anaa＝nn，，C(常数)，

全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用必考知识点归纳

(名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.2、如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 是AC 上的点且满足AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =NC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CM 与BN 交于P 点，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AC⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．12a +14b ⃑ B ．35a +15b⃑ C ．14a +12b ⃑ D ．310a +35b ⃑ 答案：B分析：根据三点共线有λ,μ∈R ，使AP⃑⃑⃑⃑⃑ =λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ +3(1−λ)4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =μ2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =NC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ +3(1−λ)4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ①，由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =μAN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =μ2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ②，由①② {λ=μ23(1−λ)4=1−μλ=15,μ=25，故AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =35a +15b ⃑ . 故选：B.3、在平行四边形ABCD 中，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,2),BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3,4)，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（） A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2 答案：A分析：根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案； ∵ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12+22−(32+42)=−20， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，故选：A4、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+ nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则m +n 的最小值是（） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+ nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ．5、如图，△ABC 中，角C 的平分线CD 交边AB 于点D ，∠A =2π3，AC =2√3，CD =3√2，则BC =（）A ．3√3B ．4C ．4√2D ．6 答案：D分析：△ACD 中由正弦定理求得∠ADC 后可得∠ACD ，从而得∠ACB ，B 角，得AB ，用余弦定理可得BC ．在△ACD 中，根据正弦定理得sin∠ADC =AC⋅sinA CD=2√3×√323√2=√22，由∠ADC <∠A ，所以∠ADC =π4，所以∠ACD =π−2π3−π4=π12，所以∠ACB =π6，则∠B =π6，所以AB =AC =2√3，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC =6．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD 中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ． 6、已知在三角形ABC 中，BC =4，|AB |=2|AC |，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（） A ．(−329,32)B ．[−329,32]C ．(0,32)D ．[0,32)答案：A分析：根据三角形三边关系得到|AC |的取值范围，再利用余弦定理表示出cos∠CAB ，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；解：因为BC =4，|AB |=2|AC |，所以{|AB |+|AC |>4|AB |−|AC |<4 ，即{2|AC |+|AC |>42|AC |−|AC |<4 ，解得43<|AC |<4，由余弦定理cos∠CAB =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB ，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos∠CAB =|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB=AC 2+AB 2−BC 22=5|AC |2−162，因为43<|AC |<4，所以169<|AC|2<16，所以−329<5|AC |2−162<32，即AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈(−329,32)；故选：A7、已知向量a =(√3,1)，b ⃑ =(−√3,1)，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a ,b ⃑⃑⟩=a ⃑ ⋅b ⃑⃑|a⃑ ||b ⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a ,b ⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a ,b ⃑⃑⟩=120°，故选：C8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+518AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+118AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+49AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+119AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：B分析：以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=FC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+23(BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−29AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−49AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+118AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 故选：B9、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√22√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373．故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．10、过△ABC 的中线AD 的中点E 作直线PQ 分别交AB ､AC 于P ､Q 两点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则1m +1n =（）A ．4B ．43C ．3D ．1答案：A分析：由D 为BC 的中点得到 AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，设PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再由AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，然后利用AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线求得m ，n 即可.解：由D 为BC 的中点可知，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )， =12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，设PE⃑⃑⃑⃑⃑ =λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ， =AP⃑⃑⃑⃑⃑ +λ(AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ −AP ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−λ)AP ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵ AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴ AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑∵ AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴ 14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵ AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线， ∴ {λn =14(1−λ)m =14，解得{n =14λm =14(1−λ)，∴ 1m +1n =4 故选：A .11、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=0，则△ABC 的形状是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，可得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，等式|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |两边平方，化简得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 12、已知向量a =(1,1)，b ⃑ =(−2,3)，那么|a −2b ⃑ |=（） A ．5B ．5√2C ．8D ．√74 答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果. 因为向量a =(1,1)，b ⃑ =(−2,3)，所以a −2b ⃑ =(5,−5) |a −2b⃑ |=√52+(−5)2=5√2.故选：B. 填空题13、如图，直径AB =4的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，∠ADC =π3，线段AC 上有动点P ，则DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为______．答案：4分析：设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑(0≤λ≤1)，可得出DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ)DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，计算得出DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2，利用平面向量数量积的运算性质可得出DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑关于λ的表达式，结合λ的取值范围可求得DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值. 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑(0≤λ≤1)，则DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λ(DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(1−λ)DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∵∠ADC =π3，|DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=12|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2，则DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|cos π3=2，所以，DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=[(1−λ)DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑]⋅2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(1−λ)DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2λDA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2×22(1−λ)+2λ×2=8−4λ∈[4,8]. 因此，DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为4. 所以答案是：4.小提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3 ，AD =5 ，∠A =30° ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________. 答案：−1.分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．建立如图所示的直角坐标系，则B(2√3,0)，D(5√32,52)．因为AD ∥BC ，∠BAD =30°，所以∠CBA =150°，因为AE =BE ，所以∠BAE =∠ABE =30°，所以直线BE 的斜率为√33，其方程为y =√33(x −2√3)，直线AE 的斜率为−√33，其方程为y =−√33x ．由{y =√33(x −2√3),y =−√33x得x =√3，y =−1，所以E(√3,−1)．所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,52)·(√3,−1)=−1．小提示：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．15、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AB AC的值是_____.答案：√3.分析：由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .6AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=32(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =32(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=32(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =32(23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+32AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=32AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2,即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,故AB AC=√3. 小提示：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.16、滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A ，B ，C 处测得阁顶端点P 的仰角分别为30∘，60∘，45∘.且AB =BC =75米，则滕王阁高度OP =___________米.答案：15√15分析：设OP =√3ℎ，由边角关系可得OA =3ℎ，OB =ℎ，OC =√3ℎ，在△OBC 和△OAB 中，利用余弦定理列方程，结合cos∠OBC +cos∠OBA =0可解得ℎ的值，进而可得OP 长. 设OP =√3ℎ，因为∠PAO =30∘，∠PBO =60∘，∠PCO =45∘，所以OA =PO tan30∘=√3ℎ√33=3ℎ，OB =PO tan60∘=√3ℎ√3=ℎ，OC =PO tan45∘=√3ℎ，.在△OBC 中，OC 2=OB 2+BC 2−2OB ⋅BC ⋅cos∠OBC ，即3ℎ2=ℎ2+752−2×75ℎcos∠OBC ①.，在△OAB 中，OA 2=OB 2+AB 2−2OB ⋅AB ⋅cos∠OBA ，即9ℎ2=ℎ2+752−2×75ℎcos∠OBA ②，因为cos∠OBC +cos∠OBA =0，所以①②两式相加可得：12ℎ2=2ℎ2+2×752，解得：ℎ=15√5，则OP =√3ℎ=15√15，所以答案是：15√15.17、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b ⃑⃑，所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题18、如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．答案：(1)7√3；(2)tan∠ABD =2√33．分析：(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan∠ABD 的方程，解之即得.(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC 得： 28=22+x 2−2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x −24=0，而x>0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12⋅2⋅4⋅√32=2√3，梯形ABCD 中，AB //CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB 2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=5√3，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =7√3； (2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2−α，∠DBC =2π3−a ，∠BCA =α−π6，在△ABC 中，由正弦定理ABsin∠BCA =BCsin∠BAC 得：2sin(α−π6)=BCsin(π2−α)，在△BDC 中，由正弦定理CDsin∠DBC =BCsin∠BDC 得：5sin(2π3−α)=BCsinα，两式相除得：2sin(2π3−α)5sin(α−π6)=sinαsin(π2−α)⇒2⋅(√32cosα+12sinα)5⋅(√32sinα−12cosα)=sinαcosα，整理得5√3sin 2α−7sinαcosα−2√3cos 2α=0，即5√3tan 2α−7tanα−2√3=0 解得tanα=2√33或tanα=−√35，因为α∈(π6,π2)，则tanα=2√33，即tan∠ABD =2√33．小提示：(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解； (2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 19、如图，为测量河对岸A ，B 两点的距离，在河的这边取C ，D 两点观察，测得CD =√3km ，∠ADB =45°，∠ADC =30°，∠ACB =75°，∠DCB =45°（A ，B ，C ，D 在同一平面内），求A ，B 两点之间的距离．答案：√5km分析：由题意，先计算得∠DBC =60°，∠DCA =120°，∠DAC =30°，由正弦定理计算BD,AD ，再由余弦定理计算AB∠DAC ＝180°﹣∠ADC ﹣∠DCB ﹣∠ACB ＝30°，∠DBC ＝180°﹣∠DCB ﹣∠ADC ﹣∠ADB ＝60° 在△ADC 中由正弦定理得：DCsin∠DAC =ADsin(∠DCB+∠ACB) ∴AD =sin(∠DCB +∠ACB)×DC sin∠DAC =3 在△CDB 中由正弦定理得：DCsin∠DBC=BD sin∠DCB∴BD =DCsin∠DBC ×sin∠DCB = √2在△ADB 中由余弦定理得：AB 2＝DB 2+AD 2﹣2DB ×AB cos ∠ADB ＝2+9﹣2×√2×3×√22＝5 ∴AB ＝√5km答：A 、B 两点间的距离为√5km20、在平行四边形ABCD 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ⃑,b ⃑⃑分别表示BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ⃑,b ⃑⃑表示AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 答案：（1）BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12a ⃑+b ⃑⃑，DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑−12b ⃑⃑（2）AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=14a ⃑+34b ⃑⃑. 分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑+b⃑⃑， DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑−12b ⃑⃑；（2）AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+14DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+14(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=14AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=14a ⃑+34b ⃑⃑.。

高考数学第六章第二节

·
基础
数根，则实数m的取值范围是
落
综
实
A．(－1，1)
合训
B．(－2，2)
练 ·
能
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
力提
考
升
点
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
突
破 ·
解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可
规
律总
得：判别式Δ>0，即m2－4>0，解得m<－2或m>2.
结
答案 C
菜单
高考总复习·数学（理科）
理
· 基
1．解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
础
落实
解析原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
综合
因为 a>0，所以 ax－1a(x－1)<0.
训练 ·
能
考
所以当 a>1 时，解集为1a<x<1；
力提升
点突
当 a＝1 时，解集为∅；
破
· 规律
当
0<a<1
时，解为
1 1<x<a.
第六章不等式、推理与证明
要
点
梳
理
·
基
础落
2．不等式x2＋x－2<0的解集为________．
综
实
合
解析易得不等式x2＋x－2<0的解集为(－2，1)．训
练
答案 (－2，1)
· 能
力
提
考
升
点
突
破
·
规
律
总
结
菜单

高中数学第六章平面向量及其应用重点归纳笔记(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用重点归纳笔记单选题1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +518AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−1118AB⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +119AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B分析：以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1318AB⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B2、下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 答案：D分析：根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D3、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0，因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.4、若z (1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i)=i ，所以z =i1−i =i(1+i)2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限．故选：B ．5、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3. 故选：B.6、设λ为实数，已知向量m →=(-1，2)，n →=(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n →与m →之间的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m →=(−1,2),n →=(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m →⋅n →=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m →+2n →=(1,3)，所以(m →+2n →)⋅m →=1×(−1)+3×2=5，|m →+2n →|=√12+32=√10，|m →|=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m →+2n →)⋅m →|m →+2n →|×|m →|=√10×√5=√22，所以向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4. 故选：A.7、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22，则ω=（）cA ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π，故选：C ．多选题9、下列四式可以化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（） A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )B ．(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C ．QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：ABC分析：由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．A 项中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； B 项中，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； C 项中，QC⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； D 项中，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：ABC10、甲，乙两楼相距20m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（）A ．甲楼的高度为20√3mB ．甲楼的高度为10√3mC ．乙楼的高度为40√33m D ．乙楼的高度为10√3m 答案：AC分析：根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.如图示，在Rt △ABD 中，∠ABD =60°，BD =20m ， ∴AD =BDtan60°=20√3m, 在△ABC 中，设AC =BC =x ，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2−2AC BC cos∠ACB ，即1600=x 2+x 2+x 2 解得：x =40√33则乙楼的高度分别为40√33m .故选：AC小提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 11、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确；由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误．如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC12、锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a -b =2b cos C ，则（） A ．C =2B B ．B 的取值范围是(π6,π4) C ．B =2C D ．cb 的取值范围是(1,√3) 答案：AB分析：由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得C =2B ，可判断AC ；再由锐角三角形的定义可判断B ；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D ．解：由a −b =2bcosC ，可得sinA −sinB =2sinBcosC ，即sin(B +C)−2sinBcosC =sinB ，即有sinCcosB −cosCsinB =sin(C −B)=sinB ，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以C −B =B ，即C =2B ，故A 正确，C 错误；由0<B <π2，0<2B <π2，且A =π−B −C =π−3B ∈(0,π2)，解得π6<B <π4，故B 正确；而cb =sinC sinB=sin2B sinB=2cosB ∈(√2，√3)，故D 错误．故选：AB ．13、已知a 、b ⃗ 是平面上夹角为π3的两个单位向量，c 在该平面上，且(a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，则下列结论中正确的有（）A ．|a +b ⃗ |=1B ．|a −b ⃗ |=1C ．|c |<√3D ．a +b ⃗ 与c 的夹角是钝角答案：BC分析：利用平面向量的数量积运算可判断AB 选项的正误；作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，分析得出点C 的轨迹，求出|c |的最大值，可判断C 选项的正误；以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，考查∠EOC 取最大值时点C 的位置，可判断D 选项的正误.对于A 选项，|a +b ⃗ |2=a 2+b ⃗ 2+2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a |⋅|b ⃗ |cos π3=3，故|a +b ⃗ |=√3，A 错；对于B 选项，|a −b ⃗ |2=a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2|a |⋅|b ⃗ |cos π3=1，故|a −b ⃗ |=1，B 对；对于CD 选项，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则a −c =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −c =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(a −c )⋅(b ⃗ −c )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以，CA ⊥CB ，故点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，如下图所示：设线段AB 的中点为点D ，则|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，所以，|c |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+12<√3，C 对，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ，则∠EOC 为向量a +b ⃗ 与c 的夹角，当OC 与圆D 相切时（此时点C 与点Cʹ重合），此时，∠EOC 取得最大值，连接，则DC ⊥OC ，则∠EOC 为锐角，即a +b ⃗ 与c 的夹角是锐角，D 错误. 故选：BC. 填空题14、设向量a =(1,0),b ⃗ =(1,1)，若向量λa +b ⃗ 与向量c =(6,2)共线，则实数λ=________. 答案：2分析：求得λa +b ⃗ =(λ+1,1)，根据(λa +b ⃗ )//c ，列出方程，即可求解.DC由题意，向量a =(1,0),b ⃗ =(1,1)，可得λa +b ⃗ =λ⋅(1,0)+(1,1)=(λ+1,1)，因为向量λa +b ⃗ 与向量c =(6,2)共线，所以2(λ+1)−6=0，解得λ=2. 所以答案是：2.15、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______.答案：2352分析：构建直角坐标系，令AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 求P 的坐标，进而可得PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E (2,2)，M (3,1)，又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，令AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−3λ,2λ)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3λ,2λ−1)， PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1)=13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2352. 所以答案是：2352.16、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b⃗ ，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ . 所以答案是：−12a −12b⃗解答题17、已知f(x)=√3cos2x +2sin (3π2+x)sin(π−x)，x ∈R ，（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且f(A)=−√3，a =4，求BC 边上的高的最大值．答案：（1）最小正周期为π；单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）2√3．分析：（1）整理得f(x)=2cos (2x +π6)，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由f(A)=−√3，可得A =π3，设BC 边上的高为ℎ，所以有12aℎ=12bcsinA ⇒ℎ=√38bc ，由余弦定理可知：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得出bc ≤16，最后可得ℎ最大值.解：（1）f(x)=√3cos2x +2sin (3π2+x)sin(π−x)=√3cos2x −2cosxsinx=√3cos2x −sin2x=2cos (2x +π6)． f(x)的最小正周期为：T =2π|2|=π；当2kπ≤2x +π6≤2kπ+π(k ∈Z)时，即当kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)时，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)单调递减区间为：[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）因为f(A)=−√3，所以 f(A)=2cos (2A +π6)=−√3⇒cos (2A +π6)=−√32, ∵A ∈(0,π2)，∴2A +π6∈(π6,7π6)， ∴2A +π6=5π6，∴A =π3．设BC 边上的高为ℎ，所以有12aℎ=12bcsinA ⇒ℎ=√38bc ，由余弦定理可知：a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴=b 2+c 2−bc ，∵b 2+c 2≥2bc ，∴bc ≤16（当用仅当时，取等号），所以ℎ=√38bc ≤2√3，因此BC 边上的高的最大值2√3.18、设向量a =(2,m )，b⃗ =(1,3). (1)若|2a −b⃗ |=|b ⃗ |，求实数m 的值； (2)若a +2b ⃗ 与a 垂直，求实数m 的值.答案：(1)m =1或m =2(2)m =−2或m =−4 分析：（1）首先求出2a −b⃗ 的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出a +2b ⃗ ，依题意(a +2b ⃗ )⋅a =0，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；(1)b c解：因为a=(2,m)，b⃗=(1,3)，所以2a−b⃗=2(2,m)−(1,3)=(3,2m−3)，|b⃗|=√12+32=√10因为|2a−b⃗|=|b⃗|，所以√32+(2m−3)2=√10，即(2m−3)2=1，解得m=1或m=2.(2)解：因为a=(2,m)，b⃗=(1,3)，所以a+2b⃗=(2,m)+2(1,3)=(4,6+m)，因为a+2b⃗与a垂直，所以(a+2b⃗)⋅a=2×4+m(6+m)=0，解得m=−2或m=−4.。

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3n 2 n n Ν . 故 an 2
题型87 数列的求和
2 2 n1 【例6.33】求数列 1,1 2,1 2 2 , ,1 2 2 2 , 的前 n 项的和.
【解析】数列的通项 an 1 2 22 2n1 2n 1 ，即 an 2n 1，所以数列的前 n 项的和为

1 (m 2 5m) 4
对所有的n Ν 都成立的最大正整数 m 的值. 【解析】（1）由题意， an1
9Sn 10(n … 1)
①，
故有 an 9Sn1 10(n …2) ②
an1 an 9an ，即 an1 10an (n …2) ，所以有 ①-②式，可得： an 1 10( n …2) ，令 n 1 ，代入①式，可得 a2 9a1 10 100 ， an a a 故 2 10 ，故有 n1 10(n …1) ，故数列 an 是以 10为首项， a1 an 10 为公比的等比数列，故 an 10 10n1 10n. 所以 lg an lg10n n,
n
无明显规律，但通过对偶数项各项分子分母同乘以 2，使其中分 n n2 a ( 1) 子出现规律为3, 410n2 2 2 10n1 10n2 100 （2）解法一：
2. 数列的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系，可以用一个公式 a f (n)
n
来表示，那么 a 就是数列的通项公式.
n
✎ 题型归纳及思路提示
题型86 数列的通项公式的求解
【例6.20】写出下列数列的一个通项公式 3 2 5 3 7 4 , , , , , ,...... ；（1） 7 5 13 8 19 11 2 ；（2） 2 ， 22 ， 222 ，，22

3 的前n 项和 T 是关于 n 的单调递增函数，故 T 的最小值为 n n lg an lg an1

3 1 2 3 m 5m ，解得 1 m 6 ，则最大正整数m 的值所以有 T1 , 2 4 2
为5 . 【评注】本题中的解法二更为简洁明快，其原理是一个正项数列的前n项和是关于n 的递增函数. 其求解思想是深刻的，同学们应仔细体会并加以应用，有时它会给你带来更为快捷的解题速度. 不等式
的恒成立问题，主要思想是转化为探求Sn 的最值问题，这样既
可通过分析 Sn 解析式的单调性的方法，也可通过“正项数列的前n 项和是关于n 的递增函数”得到 Sn为 n 的递增函数，故 Sn… S1 ,
2 1 1 10 n 1 10 2 10 n 1 . 9
2 2 n 2 2 解法二：原数列 9 ， 99 ，， 99 9 ，即 an 10 1 . 9 9 9 9
1 n 2 1 n n n （3） an (10 1) 10 (10 1) (10 1) (10n 2). 9 9 9
即有 lg an1 lg an (n 1) n 1 ，故lg an 是等差数列，且首项
为 lg10 1 公差为 1 . （2）解法一：由（1）可知 lg an lg10n n ， 3 3 1 1 3( ) ，所以 lg an lg an1 n n 1 n n 1
1 1 1 1 1 3 1 故 Tn 3 1 . 3 1 3 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
3 1 2 3 3 由 n… … . 以题意，须 (m 5m) ，解得 1 ，可知 Tn 3 2 4 n 1 2 1 m 6 ，则最大正整数 m 的值为 5 . 1 解法二：先由题意 Tn (m 2 5m) 对任意的 n Ν 都成立，故需 Tn 4 1 2 3 3 的最小值 (Tn ) min (m 5m) ，而 0 ，故数列 4 lg an lg an1 n n 1
1122 ， 111222 ，…… ， 12 ，（3）已知数列an 中各项为：
n个
11 1 22 2， .
n个 n个
【分析】通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项. 【解析】（1） ①符号一正一负，摆动数列乘以 1 ； ②绝对值后分子分母
n
* 【例6.21】已知数列 an 满足 an1 an 3n 2 n , 且a1 2 ，
求数列an 的通项公式.
【分析】式子 an1 an 3n 2 n 是形如an1 an f n 的形式，故
*
利用叠加法求通项公式.
1.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系和等比关系，抽象出
模型，并能用有关知识解决相应的问题.
✎知识点精讲
1. 若已知数列的第一项 a1 (或前 n 项)，且从第二项（或某一项）开始的任
一项 an 与它的前一项 an1 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.
Sn (21 1) (22 1) (2n 1)
(21 22 2n ) n
2(1 2n ) n 2n1 n 2 1 2
即 Sn 2n1 n 2 .
【评注】通过先分析数列的通项有何特点，再设法选择合适的方法求和是
* an1 an2 3n 4 ，【解析】 an1 an 3n 2 n , 得an an1 3n 1 ，
an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 a2 a1 5 ，， 3n 2 n 2 5 8 3n 1 n…2 ，且a1 2 也满足上式， 2
我们在求数列的前 n 项和问题时应该强化的意识.
题型88 数列与不等式的综合
an1 9Sn 10 . a1 10 ，【例6.40】设数列 an 的前 n 项和为 Sn，
（1）求证： lg an 是等差数列；

（2）设Tn 是数列
3 的前 n 项和，求使 Tn lg an lg an1
这种方法更能凸显考生思维的深刻度！