第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3-二阶非线性光学效应
2 2 2
• 则解为
dA3 ( z ) 2 2 k[ A1 (0) 2 A3 ( z ) ] dz A1 (0) A3 ( z ) tanh( 2k A1 (0) z ) 2
•则
A1 ( z ) A1 (0) sech ( 2k A1 (0) z )
直接对方程(3-6)积分求解，并假定E3(z)的边界条件
E1 ( z) E1 (0)
E12 (0)(e ikL 1) (3 7)
晶体长度为L，则得到输出谐波的振幅
( 2)
cn3k
• 引进倍频系数d代替极化率
且
d
( 2)
2
n1 n , n3 n2 ，则式(3-7)变成
•或
8 2 d 2 L2 2 2 kL I3 I sinc ( ) 3 2 1 0c n2 n 2
• 函数 sinc 2 (kL / 2) 与 kL / 2的关系
光倍频的效率表示为倍频光功率P3与基频光功率P1之比
P3 ( L) I 3 8 2 d 2 L2 P 2 kL 1 sinc ( ) 3 2 P I1 0c n2 n S 2 1 (0)
第三章 二阶非线性光学效应
§1 三波相互作用的耦合波方程
一、各向异性介质的慢变振幅近似波方程 只讨论远离共振区的情况，且忽略介质的吸收
在各向异性介质中，由于D和E的方向不同，则光波的
传播方向(k )与能流方向( I E H )不同，其间具有夹
角。对大多数晶体， 很小(<30) x。
k
i ( kz t ) E ( z , ) E ( z )e e0 E ( z )ei ( kz t ) NL NL i ( k z t ) P ( z, ) P ( z )e
光波在非线性介质中传播的基本方程(1)光波在各向异性晶体中的传播特性
第三章 光波在非线性介质中传播
的基本方程
3.1 光波在各向异性晶
体中的传播特性
3.1.1 光波在晶体中传 播的解析法描述
介电常数张量
七大晶系
七大晶系的介电常数张量
晶体中的麦克斯韦方程组
Fresnel方程
双正交条件
光电场矢量方向和电位移矢量方向
光在晶体中的传播规律
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
折射率曲面
利用折射率曲面确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率曲面确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
THANKS!
晶体在各向同性介质中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在双轴晶体中的传播
光在双轴晶体的传播
光在双轴晶体中的传播
3.1.2 光波在晶体中传 播的几何法描述
两种几何描述方法
折射率椭球
折射率椭球
利用折射率椭球确定各向同 性介质的光学特性
6.4 光波在介质中的传输
非均匀介质中光线的传输4.1引言：傍轴方程在第三章里，我们得到了在折射率为n 0=c /v 的均匀介质中传输光场的相位部分所满足的亥姆霍兹方程，其中c 为真空中光速，v 是光束在介质中的传输速度：020222222=+∂∂+∂∂+∂∂p p p p k z y x ϕϕϕϕ, vk 00ω=4.1.1如果把Ψp 写成)exp(),,(),,(0z jk z y x z y x e p -=ϕϕ 4.1.2并且假设Ψe 是z 的缓变函数，即0/k zee 〈〈∂∂ϕϕ 4.1.3就可得到Ψe 的傍轴波动方程e t e jk z ϕϕ2021/∇=∂∂ 4.1.4 其中，(∇t )2为横向拉普拉斯算子2222yx ∂∂+∂∂，对方程4.1.4进行傅里叶变换得到以x ，y 为变量的常微分方程e y x e k k k j dz d Φ+=0222)(ϕ 4.1.5 解该方程课得到与下述方程类似的旁轴传输函数]2)(exp[),,(022k zk k j z k k H y x y x e += 4.1.6当我们考虑光波在传播常数或者折射率是位置的函数的介质中传输时，这种折射率渐变效应是由材料本身的侧面（例如由折射率渐变光纤或介质的三阶非线性效应决定）或者三阶非线性效应导致的，傍轴方程可写成e e t e nk j jk z ϕϕϕ02021/∆-∇=∂∂ 4.1.7 其中△n 是相对于主折射率n 0的偏离量。
当传播常数或者波数是与位置（x , y , z ）有关的方程时，如光栅、光纤或者是折射率与光强有关的介质是，可以把标量波方程4.1.4进行修正得到4.1.7.旁轴传输方程4.1.7是一个偏微分方程，不一定有解析解。
但在某些特殊情况下，如△n 的空间变化率是确定的或者在非线性光学里，可以用精确的积分或者逆散射法寻找该偏微分方程（PDE ）的特殊解。
接下来，我们首先将讨论针对这些情况的一些精确解和解析解。
tty14光电测试技术十四：光波在非线性介质中的传播
1.光混频及光倍频的转换效率
的光波。在小信号近似条件下，可以近似认为混频过程中， ω1和ω2的光波场的强度改变量很小，可视为常数。那么三波 耦合方程组中只剩下频率为ω3光波的一个方程：
和频：设频率为ω1和ω2的光波混频产生ω3=ω1+ω2频率
dE3 32 i 2 eff E1E2 exp(ikz) dz k3c
I3
2 2 2 L2 eff 2 n1n2n33c 0
I1 I 2 sin(kL / 2) /(kL / 2)
2
用-ω2代替ω2，用E2*代替E2，就是差频过程。 当ω1=ω2=ω，ω3=2ω时，就是倍频过程。频率为ω的光波称 为基波，频率为2ω的光波为倍频波，或二次谐波。倍频的 光强为
(r )
2.6.1 非线性电极化率
强光作用下，介质的感应极化强度P:
P PL PNL 0 L E PNL
取
0 (1 L )
非线性作用的波动方程:
2E 2 PNL E 0 2 0 t t 2
所以，只要求出PNL，就可以在一定的边界条件下求解 麦克斯韦方程组，从而求得非线性辐射场。
dE3 i eff E1E2 exp( kz) i dz k3c
2 3 2
三波耦合方程组说明：
某频率的光波随传播距离的变化率是另两个频率的光波 场强的函数，即不同频率的光波在非线性介质中可以发生能 量的互相转移，这种能量的相互转移是通过非线性介质的有 效非线性电极化率χeff来耦合的。
对于二阶非线性光学效应，仅讨论 ijjk (1 , 2 ) 。
在远高于离子共振频率处，极化仅由电子位移引起，而 离子的贡献可忽略（例如红外，中红外，可见光波段）。 若非线性介质无损耗（即场频率低于电子吸收带），则 非线性极化率张量具有完全互易对称性，所以其 独立张量可 进一步减少。
04 第三章 光波在非线性介质中传播的基本方程1
kxk y kyky kz k y
k x k z Ex Ex 2 k y k z E y n E y E E kz kz z z
k k z2 0 2 2 2 1 / n 1 / xx 1 / n 1 / yy 1 / n 1 / zz
no no ne
k
ne ( )
ne
k
no
no ne no
k
cos2 sin 2 ne ( ) 2 2 ne no
1 2
Ee
c. 波面传播与能量传播
波矢：波面传播的方向 能流：光线传播的方向（垂直于折射率曲面） o光（寻常光）：两者一致 e光（非寻常光）：两者不一致，存在离散角 离散角：
Di 0 ii Ei
0 0
yy
0
各晶系的相对介电常数张量矩阵
2 晶体光学的基本方程
Maxwell方程组（均匀、不导电、非磁性介质）
D 0 B 0 B E t D H t
i (t k r ) D D0 e i (t k r ) E E0e i (t k r ) B B 0e H H 0e i (t k r )
2 2 D D Dz2 1 1 x y w ED 2 2 0 xx yy zz Dy Dx Dz x y z 2w 0 2w 0 2w 0
A.
考虑偏振方向
( x, y, z)
x2 y2 z2 2 2 1 2 nx n y nz
xx xy xz Ex 2 kxkx c yx yy yz E y k y k x zx zy zz Ez kz kx
第三章(2)光的吸收、色散、散射全解
性质以及周围介质等关系比较复杂。这种散射称 为米氏散射。 例1、白云由大气中的水汽组成，颗粒较大，它产 生的散射与波长关系不大，所以呈白色，属于米 氏散射。 例2、吸烟时，从点燃的烟头冒出的烟是蓝色的， 而从嘴里吐出的烟是白色的。这是由于烟头冒出 的烟颗粒很小，遵守瑞利散射定律，对蓝光散射 厉害。而从嘴里吐出的烟中，含有颗粒较大的蒸 汽团，属于米氏散射，散射光呈白色。
瑞利群速公式
Vg V p λ
dVp dλ
在真空中 V p ( λ ) c
Vg V p c
dV p c dn 2 d n d
dV p c dn 2 >0 d n d
c 在介质中 V p n
dn 在正常色散区 0 dλ
由瑞利群 速公式
Vg V p
dn 2B 3 将上式对求导得： D dλ λ
2、反常色散
在发生强烈吸收的波段，折射率n 随波长的增 加而增大，即dn /d0 。这种现象称为反常色散。
n
P
Q R
S
T
可见光
吸收带
石英的色散曲线
上图反映了物质在吸收区普遍遵从的色散规律。 在吸收区以外仍是正常色散，只是A、B、C等常量 的具体数值并不一定相同。
I
式中负号表示随吸收 层厚度增加光能量减小
O
x x dx x
若x = 0时光强为I0，x = L时光强为I
由积分
II0L 源自I 0 dx II 得： ln I αL 0
αL
朗伯定律
I I 0e
2、比尔定律 实验表明，当光通过透明溶液时，溶液对光 的吸收与溶液的性质及浓度有关，若不考虑溶剂 对光的吸收，稀溶液的吸收系数与溶质在溶液中 的浓度 (书上称质量分数C)成正比。
在非线性介质中的光传播行为
在非線性介質中的光傳播行為文／石明豐一、簡介1834年時，一位蘇格蘭科學家John S. Russell[1]沿著一條窄而淺的運河旁騎馬，他發現了如下景象，當一艘小船突然停下後，原本在船艏前方被推動的水因慣性的關係繼續向前進，奇特的是，在這單一“突起的水”的前方和後方，運河的水面是非常平靜而沒有任何波動，他好奇地騎馬跟隨這單一“突起的水”走了好幾哩後，發現這“突起的水”的形狀、大小仍不見有任何改變，Russell 於是在他的筆記本記下了他觀察到這樣一個“孤立升起”(solitary elevation)的水波現象。
50年後，兩位荷蘭科學家Korteweg 和de Vries 發現要觀察上述“孤立升起”的水波現象，這升起水面的振幅必須非常的大，如果這升起水面的振幅不夠大時，就只能引起一般的水波，而且在傳播不久後就會消散。
他們了解到，這表示著大的振幅和小的振幅會使水波有不同的行為，也可以說水--這個傳播水波的介質--對水波振幅的反應是非線性的。
現在回到我們的主題--光在非線性材料中傳播的行為，雖然我們在大學時學電磁學及電磁波的時候，教科書總會在例題或習題中假設，電磁波傳播的介質是線性的，意即不管電磁波的振輻大小，折射率(介電係數和介磁係數的函數)總是不會改變，這樣在解題時，線性的微分方程式是比較容易解的，然而介電係數代表的是電場(E)和極化強度(P)之間的比例關係，如同彈簧的虎克定律一樣，當外力大到某一個程度時，彈簧的形變量和外力就不再是成正比，相同地，當電場強度大到某一個程度時，極化強度和電場就不再是正比關係，如此介電係數在電磁波的電場振幅較大時，和電場振幅較小時的值必然不同，這就表示這個傳播電磁波的介質對電磁波振幅的反應是非線性的，換句話說，折射率將會是電磁波振幅的一個函數。
在光學上，我們也可以說，折射率不是一個定值而是一個光強度的函數。
但如此一來，要解一個電磁波或光波在介質中的行為就變得複雜的多了，而且在不同材料中，折射率和電場關係也不儘相同，所以我們無法找到一個電磁波或光波在非線性材料中傳播的通解，甚至在很多的情況下，找不到解析解。
第三章 单模光纤传输特性及光纤中非线性效应
第三章 单模光纤的传输特性及光纤中的非线性效应单模工作模特性及光功率分布 ............................................................. 错误!未定义书签。
单模光纤中LP 01模的高斯近似 ............................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤的双折射（单模光纤中的偏振态传输特性） ............................. 错误!未定义书签。
双折射概念 ............................................................................................... 错误!未定义书签。
偏振模色散概念 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤中偏振状态的演化 ................................................................. 错误!未定义书签。
单模单偏振光纤 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤色散 ................................................................................................... 错误!未定义书签。
色散概述 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
第3讲 光波在非线性介质中传播的基本方程
0 0
m eE
结论：晶体中两个自由传播模的电 位移矢量是正交的。
非线性光学耦合波方程(Wave-Equation of Nonlinear Optical Interaction：
由平面光波在晶体中传播的基本方程：
2 或 r E n E e eE 0 0 m 相当于求解一个本征方程，其本征值为 nm , 本征矢为 E
2 D 0n E e e E
麦克斯韦方程组回顾（Review of Maxwell’s Equations：
B (1)麦克斯韦 E t 方程组 D H j j=0 No free currents t No free charges D =0 B 0 L NL 本构方程 D 0 E P P P P ) B 0 H M 0 H Nonmagnetic medium
由麦克斯韦方程 D H 0 2 组和本构方程 E 0 t t
2
光波在真空中传播， P 0
由，
. D 0 . E 0
2 ， E 2 E . E E 0 0 2 t
是一个3×3对称方阵，本应有三个相互正交的本征矢，而光波为横波，光 电场振动方向通常在近似垂直于波法线的平面内，因此晶体中有两个可以传 播的本征矢。 设本征方程的另一个本征值和电场本征矢分别为： 分别用一个电场本征矢标量乘本征方程：
第三章 介质的非线性极化
及
r Ñ×E = 0 ，
w e k0 = , k = k 0 n n = c e0
r r E ( z, w ) = E ( z )ei ( kz -wt )
(3.1.20)
2 r r r r r k0 NL r 2 2 Ñ E ( k , w ) + k E (k , w ) = - P (k , w ) e0
(3.1.5) (3.1.6) (3.1.7)
和自由电荷密度， M 为磁化强度，s为介质的电导 r 率，P 为介质的极化强度。由于我们研究光与介 质相互作用 主要是电作用，可以假定介质是非磁 r r 性的，而且无自由电荷。即 M = 0 J = 0, r = 0 则上述方程可简化为：
r 上两式中的 J , r 分别为介质中的自由电荷面密度 r
负频率
(3.2.10)
则频率为w的极化强度分量为：
(1) Pm(1) (w ) = å e 0 c ma (w , w ) Ea (w )
a
( 2) Pm( 2 ) (w ) = å e 0 c mab (w , w1 , w 2 ) Ea (w1 )E b (w 2 )
ab
( 3) Pm(3) (w ) = å e 0 c mabg (w , w1 , w 2 , w 3 ) Ea (w1 )E b (w 2 ) Eg (w 3 )
r r r (1) dP (t ) = e 0 c (t - t1 ) × E (t1 ) dt1
(3.2.1)
r r (1) 考虑E (t1 )在t之前所有时间电场强度对P (t ) 的贡献，则有：
r (1) r ¥ r (1) P (t ) = ò e 0 c (t - t1 ) × E (t1 )dt1
06光波在非线性介质中的传播
2.7光波在非线性介质中的传播激光出现后，强光场足以展现物质对光场的非线性响应。
这种与光强有关的光学效应通常称为非线性光学效应。
将非线性光学介质中感应极化强度P展开为外光场E的幂级数形式，即+++=3)3(2)2()1(ˆˆˆE E E P χχχ(2.7-l)1. 非线性电极化率介质的感应极化强度克表示为NL L NL L P E P P P+=+=χεˆ0，取)ˆ1(ˆ0L χεε+=，则有 220220ˆtP t EE NL ∂∂-∂∂-=⨯∇⨯∇ μεμ (2.7-2) “物理光学”用经典线性谐振子模型导出了线性极化率的表达式ωγωωωχi mNe 2)(1)(ˆ2202--= (2.7-3)非简谐运动方程为)(2220t E m e Ar r rr -=+++ωγ(2.7-4)当给定电场E (t )，解出r ，由感应极化强度P =Ner 及P 和电场E 的幂级数形式，就可求出P 和电极化率χˆ。
一般用微扰法对方程逐级近似求解。
考虑频率为ω1和ω2的光场..)]exp()exp([21)(2211c c t i E t i E t E +-+-=ωω(2.7-5)可解得)(2])([12)(12)(1),(ˆ21221202222012122321ωωγωωωγωωωγωωωωωχ+-+-⨯⨯----=i i i mA Ne (2.7-6)由以上各个解看出，非线性响应的特点是频率为ω1和ω2的光场在非线性介质中感应的电极化强度，不仅具有频率ω1和ω2的分量，还具有频率为2ω1，2ω2，ω1±ω2的分量。
这些极化强度分量作为次波辐射源，将辐射出2ω1，2ω2，ω1±ω2的电磁波，这就是非线性光学中的倍频、和频以及差频等光学效应。
2. 光波在非线性介质中的传播设相互作用的光波为单色平面波，则其振幅不随时间而变化。
把非线性激励项作为一种微扰处理。
单色平面波的振幅相对变化很小，即可用慢变化近似。
第三章 光在非线性介质中传播.
表 3.1 各晶系的相对介电常数张量矩阵
在各向异性晶体中，储存的电能密度为：
e
1 1 E D Ei o rij E j 2 2
Di o rij E j Di ij E j
对上式进行时间微分得：
E j e 1 Ei ij E j Ei t 2 t t
第三章 光在非线性介质中传播的基本方程
3.1 实函数体系与复函数体系描述 3.2 电磁场能量和功率的考虑 3.3 电磁波在各向异性晶体中的传播 3.4 非线性光学耦合波方程
习题
本章基本内容：
了解电磁场在介质中传播而产生的功率输出， 功率耗散和能量存储的表达式。 理解电场对介质极化所做的平均功率 了解电磁波在各向异性晶体中传播 掌握在单轴晶体中，利用折射率椭球确定在 任一波矢，所对应的折射率和电磁感应的方 向。 理解非线性光学耦合波方程
y
0Байду номын сангаас
0 Ex 0 Ey z Ez
2 2 2e x E x y Ey z E z2 式可写成：
2 e
2 Dx
x
2 Dy
y
D z2
z
在D空间中，等能量密度 e 可以写成：
x
2 Dx2 D y Dz2 2e o
y
z
x , y , z 是相对主介电常数
利用矢量公式： ( A B) B A A B
单位时间内垂直通过单位横截面积的电磁场的能量
(E H ) E J
o o P M E E H H E H o t 2 2 t t
非线性光学 非线性光学极化率与性质
非 线 性 光 学 极 化 率 与 性 质
• 非线性介质的波方程 • 非线性光学极化率的构造 • 非线性极化率的经典理论 • 非线性极化率的对称性
• 非线性极化率的微扰理论
• 非线性极化率的密度矩阵理论 • Kramers-Kronig色散关系
一、非线性介质的波方程
1、各向异性非线性介质中光传播的时域方程
3/35
2、各向异性非线性介质中单色平面波的频域方程
2 PNL E 2ε E E 0 0 0 2 t t t 2
时域波动方程：比线性波动方程仅多了右边的一项， 相当存在一个次波源。左边第二项与介质的吸收损耗 有关，若介质为无损耗的，即σ=0，有
P
2 2 t d d R 0 1 2 1 , 2 : E t 1 E t 2
n P 同理，n阶非线性极化强度 t 可以写成
P
n
t 0 d 1 d 2
E t 1 E t 2 ...E t n
d n R n 1 , 2 ,... n |
其中 R n 1 , 2 ,..., n 为介质的n阶极化响应函数， n+1阶张量 11/35
2、介质极化的频域响应函数 时间域内我们讨论了介质的极化强度对光电场的响应， 原则上我们知道了响应函数就可给出介质的光学性质， 但多数情况非线性光学常常在频域讨论介质的极化， 利用介质极化率张量描述非线性物理过程。 线性极化率张量
在激光与非线性介质相互作用中P和E的关系是非 线性的，介质感应的极化强度P可以展开为E的幂级数
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
光波在非线性介质中的 传播方程
非线性介质的波动方程
非线性介质的定 义
非线性介质的分 类
非线性介质的波 动方程推导
非线性介质的波 动方程应用
非线性介质的传输方程
非线性介质的定义 非线性介质的传输方程推导 非线性介质的传输方程形式 非线性介质的传输方程应用
非线性介质的演化方程
非线性介质的定义 非线性介质的演化方程推导 非线性介质的演化方程形式 非线性介质的演化方程应用
光波在非线性介质中的 传播特性分析
非线性介质的折射率与光波的频率关系分析
非线性介质的定义和性质 折射率与光波频率的关系 非线性介质中的光波传播特性 折射率与光波频率关系的实验验证
非线性介质的色散关系分析
定义：非线性介质中光波的传播速度与频率之间的关系 分类：正常色散、反常色散和零色散 正常色散：随着频率的增加，光波的传播速度逐渐减小 反常色散：随着频率的增加，光波的传播速度逐渐增加 零色散：光波在某一特定频率下传播速度为零
非线性介质的波动方程解法分析
线性波动方程的拟方法的应用
实验验证与结果分析
光波在非线性介质中的 传播应用研究
非线性介质在光学器件中的应用研究
非线性介质在光学器件中的重要性 非线性介质在光学器件中的应用案例 非线性介质在光学器件中的优势与挑战 非线性介质在光学器件中的未来发展前景
折射率与频率的关系：在非线性介质中，折射率与光波的频率成正比关系，即频率越高，折射率越 大。
光强传输方程
光强传输方程光强传输方程是光学中用来描述光在介质中传输行为的方程。
它是根据光的强度随着距离变化的规律得出的一种数值关系，可以用来描述光的传输过程以及介质中的吸收、散射等现象。
在光学领域中，光强传输方程被广泛应用于光学通信、光电子技术等领域。
光强传输方程的基本形式是：I = I₀ * exp(-α * d)其中，I是光的强度，I₀是初始光强度，α是材料的吸收系数，d是光线传输的距离。
光强传输方程的物理意义可以通过分析其各个参数的影响来理解。
首先，初始光强度I₀表示光线在传输起点的强度，它决定了光的初始强度水平。
吸收系数α表示材料对光的吸收能力，即光在介质中被吸收的程度。
吸收系数越大，说明介质对光的吸收越强，光线传输距离越短。
散射系数描述了光在介质中的散射行为，反映了光在介质中的传播方向变化和能量分布的改变。
通过光强传输方程可以得到光线在介质中的衰减关系。
衰减是指光在传输过程中强度的减少。
当距离d增加时，指数项exp(-α * d)会使光的强度指数级下降。
这意味着光线传输距离越远，光的强度越小。
因此，光强传输方程可以用来预测光在介质中的传输距离，并且可以用来优化光学系统中的光路径布局和设计。
光强传输方程在光学通信领域中有着广泛的应用。
在光纤通信系统中，通过分析光强传输方程可以评估不同纤芯材料对光信号的吸收程度，并确定最佳的传输距离。
此外，在光学传感器、光电子器件等领域中，光强传输方程也被用于计算光的能量衰减情况，从而确定光学器件的性能和使用寿命。
值得注意的是，光强传输方程假设光线传输过程中没有其他因素的影响，比如散射和折射。
在实际应用中，这些因素的存在会对光线传输产生一定的影响，因此需要在使用光强传输方程时进行综合考虑和修正。
综上所述，光强传输方程是一种描述光在介质中传输行为的数学方程，它可以用来分析光的强度随传输距离变化的规律。
在光学通信、光电子技术等领域中，光强传输方程被广泛应用于光学系统设计和性能评估中，它为我们研究光的传输行为提供了重要的理论基础。
第3章光波在非线性介质中传播的基本方程
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
表 3.1 - 1 各晶系的相对介电常数张量矩阵
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2. 晶体光学的基本方程 在均匀、 不导电、 非磁性的晶体中, 若没有自由电 荷存在, 麦克斯韦方程组为
H D t
E
0
H t
B 0
(3.1 - 5) (3.1 - 6) (3.1 - 7)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2) 单轴晶体
对于这类晶体有εxx=εyy=ε⊥=no, εzz=ε∥=ne , 主轴x、 y的
kx 0
ky
sin
kz
cos
(3.1-29)
式中, θ是z轴与k方向之间的夹角。 将上述关系代
入（3.1-22）式, 得
( n 2 ) n / 2 [ c / 2 o s s2 i ) n // ] 0
xx 0 0
0
yy
0
0 0 zz
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
εxx,εyy,εzz称为相对主介电常数。 由麦克斯韦关系式
n r
还可以相应地定义三个主折射率nx,ny,nz。 在主轴坐标系 中, （3.1 - 3）式可表示为
Di 0 iiEi
i=x,y,z (3.1 - 4)
1) 各向同性介质 这是最简单的一种情况。 对于各向同性介质有
εxx=εyy=εzz=εr=n20 代入（3.1-22）式后, 得
(n2r)2 0
由此可得, 折射率n为
(3.1-23)
n r n0
(3.1-24)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
D′ E′
E″
O
非线性光学-第三章
特点：周期变化
z变化周期为 2 k
定义: 晶体长度L= π/k (1/2周期)
I2
Δ k 较小
为 相位失配下的相干长度
(正常色散下，相干长度为几十 m-100m)
0
Δ k 较大
L
2L
3L
4L
z
与Δk关系
思考：当Δk=0的情况？
若 k 0 基波光高消耗的情况
k k2 2k1 4
A3 i3 D ( 2 ) ( 3 ; 1 , 2 ) : A1 A2e i ( k3 k1 k2 ) z z 2cn(3 ) * i ( k k k ) z A1 i1D ( 2 ) ( 1; 3 ,2 ) : A3 A2 e 1 3 2 z 2cn(1 ) * i ( k k k ) z A2 i2 D ( 2 ) ( 2 ; 3 ,1 ) : A3 A1 e 2 3 1 z 2cn(2 )
第三章
光学倍频、混频与参量转换
1、光学倍频 2、光学和频、差频（三波混频） 3、光学参量振荡和放大 … 1、三次谐波 2、四波混频 3、双光子吸收
典型的非线性现象
二阶非线性 光学现象
介质不具有对称中 心的各向异性介质
三阶非线性 光学现象
对介质对称无要求
4、光学自聚焦
5、受激散射 …
这些效应是产生光学变频的较成熟的手段之一，它为人们提供了一 种研究物态结构、分子跃迁驰豫和凝聚态物理构成的新的有效手段。
倍频的
耦合波方程
i ( k - 2 k ) z A3 i ( 2 ) ( 2 ; , ) : A1 A1e 3 1 z cn3 * i (2 k -k ) z A1 i ( 2 ) ( ;2 , ) : A3 A1 e 1 3 z cn1
第3章介对光的吸收、色散和散射
第3章介对光的吸收、⾊散和散射第3章介质对光的吸收、⾊散和散射在前两章中讨论了光在各向同性和各向异性介质中的传播规律。
应当注意的是，光在介质中的传播过程实际上就是光与介质相互作⽤的过程。
由于光在介质中传播时会与物质发⽣相互作⽤，因此会使光波的特性发⽣改变，例如，介质对光波的吸收会使光波的强度或能量减弱；不同波长的光在介质中传播时速度不同，并且按不同的折射⾓散开，即发⽣光的⾊散；光在浑浊介质中传播时还会发⽣光的散射等。
光的吸收、⾊散和散射现象是光在介质中传播时发⽣的普遍现象，这⼀章将对这些现象和所遵循的基本规律进⾏讨论，并介绍它们在物质成分、含量和浓度分析与检测等⽅⾯的应⽤。
3.1 光与物质相互作⽤的经典理论光在介质中的吸收、⾊散和散射现象实际上就是光与介质相互作⽤的结果。
因此，要正确认识光的吸收、⾊散和散射现象，就要深⼊研究光与介质相互作⽤的理论。
本节将讨论光与介质相互作⽤的经典理论以及⾊散和吸收曲线。
3.1.1 光与介质相互作⽤的经典理论洛仑兹的电⼦论假定：组成介质的原⼦或分⼦内的带电粒⼦被准弹性⼒束缚在它们的平衡位置附近，并且具有⼀定的固有振动频率。
在⼊射光的作⽤下，介质发⽣极化，带电粒⼦随⼊射光的频率作受迫振动。
由于带正电荷的原⼦核质量⽐电⼦⼤很多倍，因此，可认为正电荷的中⼼不动，⽽负电荷相对于正电荷作振动。
因为正、负电荷的电量绝对值相同，这样构成⼀个电偶极⼦，其电偶极矩为r q p（3.1-1）式中，q 是电荷的电量，r是从正电荷中⼼指向负电荷中⼼的⽮径。
⽽且，这个电偶极⼦将辐射次波，如图3-1所⽰。
假设光波 t i r E E ex p ~⼊射到⽓体介质内，并对⽓体介质内的束缚电⼦受迫振动。
这样，根据⽜顿定律，电⼦受迫振动的⽅程为dt r d g r k E q dtr d m 22 （3.1-2）式中，等号右边的三项分别为电⼦受到的⼊射光电场强迫⼒、准弹性⼒和阻尼⼒；m 和q 是电⼦的质量和电荷，r是位移，k 弹性系数，g 为常数。
《光波的传输》
出了这种便宜的个人太阳望远
镜。尽管通过hydrogen-alpha
滤镜人们能够异常清晰地观测
太阳的表面活动，但是它的售
价也非常昂贵。于是科罗拉多
技术公司利用多重滤镜技术和
经过特殊设计的镜片，制作出
了这种相对便宜的个人太阳望
远镜，用它可以观测到太阳焰
等 丰 富 的 细 节 。 /500 美 元
/
的相速等于单色光在真空中传播的相速。但在媒质中，各单色光
以不同的相速传播，复色光传播，复色光传播的问题也随之复杂
化。为简明起见，假设复色光由两列单色光波组成，其振幅均为
E0 ， 频 率 分 别 为 ω1=ω0+dω ， ω2=ω0-dω ； 波 数 分 别 为 k1=k0+dk ， k2=k0-dk，向z方向传播，则这两列单色光波分别为：
1 r
2 r 2
(rE )
12
单色球面波的推导
2E k2E 0
1.39
2E
1 r
2 r 2
rE
2 rE k 2 rE 0
r 2
Ez rEr
d
2E dz
z
2
k
2
E
z
0
Ez,t E0 exp ikz t
E(r,t)
E0 r
exp[i(kr t)
0 ]
Φ0= 0
E(r) E0 eikr r
16
3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
▪ 电磁场是一种物质，它具有能量。在一定区 域内电磁场发生变化时，其能量也随着变化。能 量按一定方式分布于场内，由于是运动着的，场 能量也随着场的运动而在空间传播。描述电磁场 能量的两个物理量：
➢ 能量密度w表示场内单位体积的能量，是空 间位置x和时间t的函数，w=w (x,t)；
非线性光学原理
2
sin L k / 2 2 Lk / 2 Ac
2
SHG
P P
2
5 1 2 L d P
5 2 2
n n 2 2
2
sin L k / 2 2 Ac L k / 2
2 2
折射率椭球找相位匹配角
n e 和 n o 两 椭 圆 截 线 交 与 P点 ， P点 处 符 合 相 位 匹 配 条 件 ， ne
2
2
no , O P与 Z 轴 的 夹 角 m
就是相位匹配角。
最佳相位匹配角
非线性晶体折射率随温度而变，m 是温度函数。 有 些 非 线 性 晶 体 温 度 改 变 时 ， ne和 n0 变化差别很大，所以可以通过改变晶体温度 可 能 在 光 速 传 播 方 向 与 晶 体 光 轴 成 90 时 实 现 相 位 匹 配 ， 即 ne
二次非线性光学效应：除了基频极化波 外还有二次谐频极化波，分别辐射基频 电磁波和二次谐波，即倍频光波。
非线性光学材料特性参数
二次非线性光学系数
在 三 维 情 况 下 ， 二 次 极 化 率 是 一 个 与 E j 和 Pi 相 关 张 量 。 二次极化表达式为： Pi
jk
ijk E j E k
2 3+
倍频光输入功率P
倍 频 效 率 S H G： 表 征 非 线 性 光 学 介 质 中 能 量 转 移 特 性 的重要质量参数。 光波在非线性介质中传播的波耦合方程可得
SHG
P P
2
5 1 2 L d P
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x
或
xx
y
yy
z
zz
1
(3.1-48)
x2 y 2 z2 2 2 1 2 nx n y nz
(3.1-49)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z k sa rb sb
(k)
O ra x
图 3.1-6 利用折射率椭球确定折射率和D振动方向图示
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1 cos sin 2 n //
2 2
(3.1-31)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
De Ee
z
se k so
Do x
Eo
O
y
图 3.1-3 单轴晶体中的本征矢E和D
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3) 双轴晶体 介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴 , 称为双轴晶体。 属于正交、 单斜和三斜晶系的晶体都 是双轴晶体。 其中, 正交晶体的对称性足够高, 三个介 电主轴方向都沿晶轴方向,单斜晶体只有一个主轴方向
1) 各向同性介质
这是最简单的一种情况。 对于各向同性介质有
εxx=εyy=εzz=εr=n20
代入（3.1-22）式后, 得
(n ) 0
2 r 2
(3.1-23)
由此可得, 折射率n为
n r n0
(3.1-24)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
D′ E′ s E″ D″
1 cos2 sin2 2 2 2 ne ( ) no no
(3.1-52)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z′ k
z y′ n ′e (k)
O O no
ne
no y
x′ x
图 3.1-7 单轴晶体折射率椭球作图法
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c
0 0 0
O
2
k y
x
图 3.1-5 双轴晶体中k方向的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由（3.1-11）式出发可以证明,
个传播模的折射率满足下面关系:
若光波波法线方向
与二光轴方向的夹角为θ1和θ2（图3.1-5）, 则相应的两
1 cos2 [(1 2 / 2] sin 2 [1 2 / 2] 2 n1,2 xx zz
2） 单轴晶体
在单轴晶体中, εxx=εyy≠εzz， 或nx=ny=no, nz=ne ≠no, 因此, 折射率椭球方程为
x2 y 2 z2 2 2 1 2 no no ne
(3.1-51)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
现如图3.1-7所示, 对于一个正单轴晶体的折射率椭
球, 光波k与z轴夹角为θ, 由于单轴晶体折射率椭球是 一个旋转椭球, 所以不失普遍性, 可以选择坐标使k在 yOz平面内。 由此作出的中心截面Π(k)与椭球的交线椭 圆, 其短半轴长度与k的方向无关, 不管k方向如 何， 均为no; 长半轴长度则随k的方向而定, 其折射率ne (θ)满足如下关系: 并且可以证明,
式中, θ是z轴与k方向之间的夹角。 将上述关系代
2 (n2 )[n// cos2 sin2 ) // ] 0
(3.1-30)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由此可见, 对于满足上式第一个因子等于零, 即n2=ε⊥ 的光波来说, 其折射率与光波的传播方向无关, 称为寻 常光（o光）, 折射率为no。 对于由上式第二个因子等 于零所确定的光波, 其折射率满足如下关系:
2 2 y 2 y 2 z 2 zz xx (k z2 k y )] xx yy zz 0
(3.1-22)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
E′
D′
′
′ ″ ″
E″ D″ s″
s′ k
图 3.1-1 与给定k相应的D、E、s方向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
双 轴 晶 体 传 播 模 的 本 征 矢 可 由 （ 3.1-12 ） 式 和
（3.1-19）式求得, 其电场分量形式为
E
(m) i
(n ii ) N
2 m
ki
( m)
i x, y , z
2 ii i 1/ 2
m 1,2
(3.1-43) (3.1-44)
式中
N
(m)
k 0 2 2 i x , y , z (nm ii )
这里, d是D振动方向上的单位矢量。
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1） 各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中, 主介电常数 εxx=εyy=εzz, 相应的主折射率nx=ny=nz=n0, 折射率椭球方 程为 x2+y2+z2=n20 (3.1-50)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
图 3.1-2 各向同性介质中E、D、k、s的关系
k
O
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2) 单轴晶体
对于这类晶体有εxx=εyy=ε⊥=no, εzz=ε∥=ne , 主轴x、 y的
k y sin k z cos kx 0
入（3.1-22）式, 得
(3.1-29)
场矢量E的方向相同, 即D矢量的每个分量只与E矢量的 相应分量线性相关。 对于各向异性晶体, D和E间的关
系为
D 0 r E
(3.1 - 2)
介量常数ε=ε0εr是二阶张量, 该关系的分量形式为
Di 0ij E j
i, j x, y, z
(3.1 - 3)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(3.1-46)
因而有
D
2e 0 xx
2 x
பைடு நூலகம்
2 Dy
2e 0 yy
D
2e 0 zz
2 z
1
(3.1-47)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
在给定电能密度we的情况下, 该方程表示为
D(Dx,Dy,Dz)空间的椭球面。 若用r2代替D2/2weε0, （3.1-47）式可改写为
(3.1-40)
当θ1=θ2=θ, 即当波法线方向k在二光轴角平分面内时, 相应两个传播模的折射率为
n1 xx cos sin n2 zz xx
2 2 1 / 2
(3.1-41)
(3.1-42)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
zz ( yy xx ) t an xx ( zz yy )
(3.1-39)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
光轴2 -
z
光轴1
O
y (向纸面内)
x
图3.1-4 双轴晶体中光轴的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 c1 -
1
(1) 与波法线方向k相应的两个传播模的折射率n1和
n2, 分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长, 即
n1(k)=|ra(k)|
n2(k)=|rb(k)|
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(2) 与波法线方向k相应的两个传播模的D振动方向 d1和d2, 分别平行于ra和rb, 即
ra ( k ) d1 ( k ) ra ( k ) rb ( k ) d 2 (k ) rb ( k )
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性 3.2 介质损耗对光波传播的影响
3.3 非线性光学耦合波方程
3.4 非线性介质中的场能量
3.5 非线性光学相位匹配
习题
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2. 晶体光学的基本方程
在均匀、 不导电、 非磁性的晶体中, 若没有自由电 荷存在, 麦克斯韦方程组为
D H t H E 0 t B 0 D 0
(3.1 - 5)
(3.1 - 6)
(3.1 - 7)
(3.1 - 8)
3.1.1 光波在晶体中传播特性的解析法描述 1. 晶体的介电常数张量 由电磁场理论已知, 介电常数是表征介质电学特性 的参量。 在各向同性介质中, 电位移矢量D与电场矢量 E满足如下关系:
D=ε0εrE
(3.1 - 1)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由于介电常数ε0εr是标量， 所以电位移矢量D与电
x2 x2 2 1 2 n x nz
(3.1-54)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 n3 c1 y 圆载面 O n2 n1 x 圆载面
-
图 3.1-9 双轴晶体双光轴示意图
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
椭圆上任一点矢径r与x轴的夹角为ψ, 长度为n, 且n 的大小在nx和nz间随ψ变化。 由于nx＜ny＜nz, 所以总可 以找到某一矢径r0, 其长度为n=ny。 设这个r0与x轴的夹 角为ψ0, 则由（3.1-54）式可以确定ψ0满足
tan0
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
将（3.1 - 5）式和（3.1 - 6）式中的H消去, 可以得到
n2 D k (k E ) 0n 2 [ E k (k E )] (3.1 - 9) 0c