高等数学课件--D78常系数非齐次线性讲义微分方程

代入方程得
故
原方程通解为
y C1C2exC3e2x
由初始条件得
23.02.2021
C 22C 31 2
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解得
C1 34
C2 1
C
3
1 4
于是所求解为
y3ex1e2x1x 4 42
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二、 f ( x ) e x P l ( x ) cx o P ~ n ( x ) sx i 型 n
代入原方程 , 得
(1y ) 若p y 不 q 是y 特 征f( 方x ) 程的根,
则取
Q e(x)x为[Qm(x次)待 ( 定2 系 数p 多)Q 项( 式x ) (2 从p 而 得q 到)Q 特(x 解)]
形式为y e* xP em (xxQ )m (x).
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这说明 y1为方程 ③ 的特解 .
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第三步 求原方程的特解
原方程 ypyqye x P l( x ) co x P ~ n ( s x ) si x n
P m (x)e(i)xP m(x)e(i)x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
分析思路: 第一步将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
第四步 分析原方程特解的特点
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第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x) e x
Pl (x)
ei x ei x 2
P~n(x)ei
x
ei 2i
x
Pl2(x)P~n2(ix) e(iP)lx2(x)P~n2(ix)e(i)x
令 m m n ,a l ,则 x
因此特解为 y*x(1 2x 1 )e2x.
所求通解为
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(1 2x2x)e2x.
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例3. 求解定解问题
y3y2y1 y(0)y(0)y(0)0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1C2exC3e2x
设非齐次方程特解为
特解 y * x k Q m ( x ) e x( k 0 ,1 ,2 )
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1.
的一个特解.
解: 本题 0, 而特征方程为
0不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得
b0 1,
第四步 分析 y的特点
yy1 y1
xkexRmcox sR ~msinx
因
yy1y1 y1y1
y1 y1
y*
所以y本质上为实函数 , 因R 此 m ,R ~m均为 m 次实
多项式 .
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小 结:
对非齐次方程
ypyqy e x P l ( x ) cx o P ~ n ( x s ) sx i n
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
P m (x)e(i)xP m(x)e(i)x
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第二步 求如下两方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x ②
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x ③
设 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解: 故
y 1 x k Q m (x )e ( i )x(Qm(x)为m次多项 )
( y 1 ) p ( y 1 ) q y 1 P m ( x ) e ( i) x
等式两边取共轭 :
y 1 p y 1 q y 1 P m ( x ) e ( i ) x
(p, q为常数)
y*y1y1
xkexQ m eix Q m e ix
xkexQ m (cx o issix ) n
Q m (c x o isi s x ) n
x ke x Rmcos xR ~msi nx
其R 中 m,R ~m均为 m 次多项式 .
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Q(x)
(2pq)Q (x)Pm(x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2p0,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y*x2Q m (x)ex
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
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一、 f(x)exP m (x)型
为实数 , Pm(x)为 m 次多项式 . 设特解为 y*exQ(x),其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
b1
1 3
于是所求特解为
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r25r60,其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y*x(b 0xb 1)e2x
代入方程得 2 b 0 x b 1 2 b 0 x
比较系数, 得
b0 12,b11
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高等数学课件--D78常系数非齐 次线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f(x )( p, q为常数 ) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
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代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .