数学---福建省莆田市第二十五中学2017届高三上学期期中考试试题(文)

福建省莆田市第二十五中学2017届 高三上学期期中考试试题（文）
时量：120分钟 总分：150分
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合{}
13M x x =-≤<，{}1,2,3N =，则M ∩N 等于( )
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2
D ．{}1,2,3 2. 设复数z 满足(1)2i z i -=，则z ＝( )
A ．－1－i
B ．－1＋i
C ．1＋i
D ．1－i 3．已知向量(1,2)a =-，(,2)b x =，若a b ⊥，则b =( )
A.
B ．
C ．5
D ．20
4．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A ．tan y x =
B ． 3x y =
C ．lg y x =
D ． 3x y =
5. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的
离心率是（ ）
A B C ．
2 D ．2
6. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为,,a b c ，
2sin c B =，则角C 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°
７．执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
8. 从数字1，2，3，4中任取2个，组成一个没有重复数字 的两位数，则这个两位数大于20的概率是（ ）
A ．
14 B ．12 C ．34 D ．916
9. 已知函数(
)1
cos cos 22
f x x x x =+（R x ∈），则()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．,()3
6k k k z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B ．5,()1212k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．7,()12
12k k k z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦ D ．2,()63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ 10. 一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( ) A.
B. C. D.
11. 已知椭圆
164
1002
2=+y x 的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于点M 、N ，则FMN ∆的周长的最大值为（ ）
A ．16
B ．20
C ．32
D ．40
12. 已知函数23,0,
()220
x f x x ax a x <⎧=⎨-+≥⎩的图像上恰好有两对关于原点对称的点，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．()1,3-
D ．()3,+∞
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 若),0(,5
3
)2sin(
πααπ
∈-=+，则=αsin . 313ππ133
52π
π
52
14. 已知变量,x y 满足约束条件211,10x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值为
.
15. 设函数3()3f x x x a =-+ (0a >)，若()f x 恰有两个零点，则a 的值为
_______________ .
16. 已知圆22:()()2,(0)C x a y a a -+-=>与直线2y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时，实数a 的值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)
已知在等差数列中，15,4652=+=a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n b n a n +=-22，求1021b b b +++ .
18. (本小题满分12分)
如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB . (1)求证：DE AC ⊥； (2)求点C 到平面BDF 的距离.
19．(本小题满分12分)
某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学校情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如下表所示:
{}n a
(1)若成绩在90分以上(含90分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数;
(2)如果样本数据中,有60名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有90%的把握认
为：“该校学生的数学成绩与性别有关”.
参考公式:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20. (本小题满分12分)
已知曲线C 上任一点P 到点F(1,0)的距离比它到直线2:-=x l 的距离少1． （1）求曲线C 的方程；
（2）过点)2,1(Q 作两条倾斜角互补的直线与曲线C 分别交于点A 、B ，试问：直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.
21. (本小题满分12分)
已知函数2()ln ,)f x ax x x b a b R =++∈，(的图像在(1,(1))f 处的切线方程为
340x y --=
（1）求实数,a b 的值；
（2）若存在k Z ∈，使()f x k >恒成立，求k 的最大值。

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线
EP 交CB 的延长线于P ，已知EAD PCA ∠=∠.
证明：（1）AD AB =；
（2）2
DA DC BP =∙.
23．（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，已知点(1,2)P -，直线1:(2x m
l m y m =+⎧⎨
=-+⎩
为参数）
，
以坐标原点为极点，
以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=；直线l 与曲线C 的交点为,A B
（1） 求直线l 和曲线C 的普通方程； （2） 求
11PA PB
+的值
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数31)(++-=x x x f （1）解不等式8)(≥x f ；
（2）若不等式a a x f 3)(2-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
参考答案
一．选择题：
1-6：C BBBDC ； 7-12 CCABDD ； 二．填空题： 13.
4
5； 14. 1； 15. 9
2；
16. 三．解答题:
17. 解：（1）由题意可知
{
114
2915
a d a d +=+=,
13,1a d ∴==. ……………………5分 2n a n ∴=+ . ………………6分 (2)
2,822n a n n b n n -⋯⋯⋯⋯=++⋯⋯⋯=分
()()
2310121022221231010b b b ∴++
+=+++
+++++
+分
()1021210(110)2101122
-+=+=-. …………………12分
18. (1)证明：在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，则AB 2＝AC 2＋BC 2，
所以AC ⊥BC ， …………………2分 又因为AC ⊥FB ，且FB ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面FBC . …………………4分所以CF AC ⊥,又因为DE AC //，
所以DE AC ⊥ …………………6分
(2)解 因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC .因为CD ⊥FC ，且CD ∩AC ＝C ，
所以FC ⊥平面ABCD . …………………7分 则FC 为四面体F －BCD 的高，在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1， 所以FC ＝1，所以△BCD 的面积为S ＝
3
4
所以四面体F －BCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝3
12 .…………………9分
又因为3,2===
=AC BD BF DF ，所以4
15
=
∆BDF S 由CBD F BDF C V V --=，得点C 到平面BDF
分
19. （1）解：高三学生数学平均成绩为
()10120140501207010040802060200
1
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计高三学生数学平均成绩约为101分............................3分 及格学生人数为()1050600900200
20
5070=+⨯++............................6分
（2）解：
............................9分
2
K 的观测值()7062587163
100
1406012080802040602002
..k <≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”. ............................12分
20. 解：（1）因为P 到点F(1,0)的距离比它到直线2:-=x l 的距离少1 所以P 到点F(1,0)的距离与它到直线1:-=x l 的距离相等
所以由抛物线定义可知点P 的轨迹是以F 为焦点、以直线1:-=x l 为准线的抛物线………………2分
所以P=2， (4)
所以曲线C 的方程为x y 42
=………………,5分 (2)直线AB 的斜率为定值-1，理由如下：……………6分 设则……………7分 因为直线AQ ，BQ 倾斜角互补 所以 即
……………8分
……………9分 ),(),,(2211y x B y x A 22
212
14,4x y x y ==0=+BQ AQ k k 01
2
122211=--+--x y x y 02
4
2421=+++y y
所以……………10分 所以 ……………12分
21.解：（1）/()2ln 1f x ax x =++，/(1)21f a =+，依题意得/(1)3f =，1a ∴=
又(1)1f =-，1a b ∴+=-，2b ∴=- 综上：1,2a b ==- ……………5分 （2）
/
()2ln 1f x x x =++，设()2ln 1g x x x =++，/
1
()2,g x x
=+
……5分 /(0,),()0x g x ∈+∞>2212(
)10g e e =-<，1()2ln 202
g =->， 01
(0,)2
x ∃∈，0()0g x =…………7分；
/0(0,),()0,()0x x g x f x ∈<<，()f x 是减函数；/0(,),()0,()0x x g x f x ∈+∞>>，()f x 是增函数
20min 0000,()()ln 2x x f x f x x x x ∴===+-，………9分
又00002ln 10,ln 21x x x x ++=∴=--，22
000017()2()24
f x x x x =---=-+-
， 01(0,)2x ∈，011
()(,2)4f x ∴∈--，………10分()f x k ∴>恒成立，所以
11
4
k ≤-………11分
又k Z ∈，所以max 3k =-………12分 22．解：（1）∵EP 与⊙O 相切于点A ，
∴EAD DCA ∠=∠.……………………………………2分 又EAD PCA ∠=∠， ∴DCA PCA ∠=∠，
∴AD AB =. ……………………………………………5分 （2）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴D PBA ∠=∠. …………………………………………6分 又DCA PCA PAB ∠=∠=∠，
∴ADC ∆∽PBA ∆.…………………………………………8分 ∴
DA DC BP BA =，即DA DC
BP DA
=， ∴2
DA DC BP =∙. ………………………………………10分
421-=+y y 14
2
12121-=+=--=
y y x x y y k
AB
23.解：（1）依题意得：直线l 的普通方程为30x y --=，
曲线C 的普通方程为22y x =………4分
（2）将直线l
的方程化为1222
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）带入曲线22y x =
得：240t -+=，
12124t t t t +==
，所以
11
42
PA PB PA PB PA PB ++===
∙………10分 24.解：（1）f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，
4，
－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．
所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………………5分
（2）因为431)(≥++-=x x x f
又不等式a a x f 3)(2
-<的解集不是空集，
所以，432
>-a a ,所以14-<>a a 或
即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞ …………………10分。