7.4节_幂级数
幂级数(教案)
就是从 R 到 R 的整个区间（ R 为正实数时可能包含端点也可能不包含端点； R 0 时就是一点 x 0 ） ，并且在区间内部，它绝对收敛。这个区间也称为该幂 级数的收敛区间，而 R 称为幂级数 a n x n 的收敛半径。
n 0
根据数项级数的 Cauchy 判别法，若极限
义域。 二．幂级数 以下形式的函数项级数
a
n 0
n
( x x0 ) n a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
称为幂级数，其中 a n （ n 0,1,2, ）为常数，称为该幂级数的系数。 为了方便我们常取 x0 0 ，也就是讨论
( 2 1) n 2 1 ， n
1 ( 2 1) n n t 为 ，它是 n n 1 n n 1
所以收敛半径为 R 2 1 。当 t 2 1 时，级数 发散的。当 t ( 2 1) 时，级数
( 1) n ( 2 1) n n ，它是收敛的。因此 t 为 n n n 1 n 1
教学思路和要求
（1）介绍函数项级数及其收敛域的概念，进而引出重要的幂级数的概念； （2）幂级数的收敛域有着独特的对称性，如何计算幂级数的收敛半径和收 敛域是一个重点； （3）幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用， 因此也是课程中的一个重点，是学生必须要掌握的知识点； （4）函数的幂级数（Taylor 级数）展开是微积分学中的重要工具，是学生务 必要掌握的数学方法。关于这部分内容，首先讲解利用 Taylor 公式，将一些基本 的初等函数展开为 Taylor 级数或 Maclaurin 级数。在此基础上，讲解一般初等函 数的 Taylor 展开的方法，也就是间接展开法。 （5）介绍函数的幂级数展开的应用，重点在于近似计算。
幂级数
k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的知识点
幂级数是数学中非常重要的概念之一，它在许多领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将通过逐步思考的方式介绍幂级数的基本概念、性质和应用。
1. 幂级数的定义幂级数是一种形式为∑(an⋅x^n)的级数，其中an是一系列常数，x是变量。
幂级数可以看作是多项式的无穷级数形式，每一项的系数an和变量的幂次n可能会随着n的增大而变化。
2. 幂级数的收敛性为了讨论幂级数的性质和应用，我们首先需要了解收敛性的概念。
对于给定的幂级数，如果存在一个实数r，使得当|x| < r时级数收敛，而当|x| > r时级数发散，那么我们称r为幂级数的收敛半径。
收敛半径是幂级数的一个重要性质，决定了级数的收敛范围。
3. 幂级数的求和幂级数的求和是一个重要的问题。
对于给定的幂级数，我们可以使用不同的方法来计算它的和，例如直接求和、利用级数的性质进行变换和利用数值计算方法等。
其中，直接求和方法常用于某些特殊的幂级数，而其他方法则更多地用于一般情况下的求和问题。
4. 幂级数的性质幂级数具有许多重要的性质，这些性质对于理解幂级数的行为和应用非常有帮助。
其中一些重要的性质包括线性性质、微分性质和积分性质。
这些性质可以简化对幂级数的操作和计算，使得我们能够更加灵活地应用幂级数解决问题。
5. 幂级数的应用幂级数在数学和其他领域中有广泛的应用。
其中一些应用包括： - 在数学分析中，幂级数可以用于表示和逼近函数。
- 在物理学中，幂级数可以用于描述物体的运动和力学性质。
- 在工程学中，幂级数可以用于建模和解决差分方程和微分方程。
- 在计算机科学中，幂级数可以用于设计算法和优化问题求解过程。
6. 幂级数的扩展除了普通的幂级数之外，还有其他一些相关的概念和扩展形式。
例如，幂级数可以推广为形式为∑(an⋅(x-c)^n)的幂级数，其中c是常数。
这种形式的幂级数称为幂级数的泰勒级数形式，它在函数逼近和微积分等领域有广泛的应用。
幂级数
12
(3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
c
f ( z )d z
n0
cn ( z a ) dz ,
n c
c z a R.
或
a
z
f ( ) d
n1
n0
cn
(z a)
n1
.
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
1. 0,
2.
存在且不为零 .
即 R . 即 R 0.
8
课堂练习 试求 解：
z n 1
p
n p
( p 为正整数 )
的收敛半径.
n1
因为 c n
c n1 cn
，
n ) lim
p
n
lim
n
lim (
n
1 (1 1 n )
p
n1
1.幂级数的有理运算
设 f (z)
a n z , R r1 ,
n
g(z) bn z
n n
n0
f (z) g(z)
anz
n n
f ( z ) g ( z ) ( a n z ) ( b n z ),
n0
n0
n0
b n z , R r2 .
z
n
收敛圆周上无收敛点;
n0
z
n
n0
n
n 2
在点 z 1 发散 , 在其它点都收敛
常用幂级数展开
常用幂级数展开常用幂级数展开幂级数是一种数学工具，用于将一个函数表示为无限项的多项式的形式。
它在数学分析、物理学和工程学等领域中广泛应用。
在实际问题中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，而幂级数展开提供了一种有效的方法来实现这一目标。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如∑(n=0 to ∞)an(x-a)n的无穷级数，其中a和x是实数或复数。
其中，an称为系数，a称为展开点。
2. 幂级数收敛性幂级数的收敛性与展开点x-a之间的距离有关。
当x-a在某个区间内时，幂级数可能会收敛；当x-a超出该区间时，幂级数可能会发散。
3. 常见的幂级数展开公式以下是一些常见函数的幂级数展开公式：- 指数函数：e^x = ∑(n=0 to ∞)(x^n/n!)- 正弦函数：sin(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)- 余弦函数：cos(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n)/(2n)!)这些公式可以用于计算指数函数、正弦函数和余弦函数在某个展开点处的近似值。
4. 幂级数展开的应用幂级数展开在各个领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：- 物理学中的运动学问题：通过对位移、速度和加速度进行幂级数展开，可以得到近似解，从而简化运动学问题的分析。
- 工程学中的电路分析：通过对电流和电压进行幂级数展开，可以得到电路中各个元件的近似值，从而简化电路分析。
- 经济学中的财务分析：通过对收入和支出进行幂级数展开，可以得到财务指标的近似值，从而进行财务分析。
5. 幂级数展开的计算方法要计算一个函数的幂级数展开，通常有两种方法：- 直接计算法：根据函数的定义和性质，将其转化为一个已知函数或已知序列的形式，并利用已知序列的幂级数展开公式来计算。
- 微积分法：利用微积分中的导数和积分等运算规则，将函数表示为无穷项求和形式，并根据求导和积分公式逐项计算。
6. 幂级数展开的误差估计幂级数展开是一种近似方法，其结果与原函数之间存在误差。
幂级数ppt课件
lim | un1(x) | 1 | x 1|
n un (x)
2
当1 | x 1| 1 1 x 3，收敛 2
当 1 | x 1| 1 x 1,3， 2
可以验证当x 1时收敛，x 3时发散
故收敛区间为[1, 3)，收敛半径为2
例4
求
(1)n (2x 3)n 的收敛半径、收敛区间和收敛域。
定理证毕.
19
例1 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn ;
(2) (nx)n;
n1
n
n1
(3) xn ;
n1 n!
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1
n an
n n 1
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
当x 1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项
应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
级数收敛, 级数发散,
收敛半径为
R 1
2
另解
9
二、幂级数及其收敛性
1、定义:形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
其中an 为幂级数系数.
下面着重讨论
的情形, 即
2、收敛性
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
幂级数知识点总结高数大一
幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。
其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。
在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。
一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。
一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。
在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。
二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。
收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。
三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。
数学幂级数知识点总结
数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。
其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。
换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。
具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。
收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。
3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。
如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。
4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。
二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。
根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。
2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。
为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。
3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。
4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。
一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。
三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。
幂级数常见6个公式
幂级数常见6个公式一、幂级数的定义幂级数是数学中常见的一种级数形式，可以用来表示各种函数。
幂级数的一般形式为∑(n=0)∞(an⋅x^n)，其中an为系数，x为变量，n为指数。
幂级数可以收敛于一个特定的值，也可以在一定范围内发散。
二、泰勒级数公式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
泰勒级数公式可以将一个函数表示为一系列无穷多个项的和，其中每个项都是函数在某一点的导数与该点的函数值的乘积。
泰勒级数公式为f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ...。
三、麦克劳林级数公式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
麦克劳林级数公式是泰勒级数公式的特例，当函数在某一点的所有导数都为零时，麦克劳林级数公式简化为f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + ...。
四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是幂级数收敛的范围。
根据幂级数的收敛半径，可以确定幂级数在哪些点收敛，以及收敛的范围。
收敛半径的计算可以使用柯西—阿达玛公式，即R = 1/limsup〖√(│an│)〗。
五、常见的幂级数公式1. 指数函数幂级数：e^x = ∑(n=0)∞(x^n/n!)，其中e为自然对数的底数。
2. 正弦函数幂级数：sin(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1)!)。
3. 余弦函数幂级数：cos(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n)/(2n)!)。
4. 自然对数函数幂级数：ln(1+x) = ∑(n=1)∞((-1)^(n-1)⋅x^n/n)，其中|x|<1。
5. 反正切函数幂级数：arctan(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1))，其中|x|≤1。
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
幂级数表达式
幂级数表达式“幂级数表达式”是一个定义了一系列加法操作的表达式，常用来推导出任意函数的初始值和终止值之间的差分。
幂级数表达式已经被广泛应用于数学、物理、化学和生物等多个学科，其中一个最重要的应用是利用它来表示正弦波和余弦波的初始值和终止值。
可以先从概念上认识幂级数表达式。
幂级数表达式一般以下面的公式形式表示：S=∑n=0→∞a(n)*x(n-s)其中，s是系数，x是变量，n表示幂次，a(n)表示系数，这里的系数a(n)是正则级数中的确定性指标，也可以用系数矩阵来表示。
因此，在推导幂级数的情况下，可以将幂级数表示为以下形式： S=a0+a1*x+a2*x2+...+an*xn其中，a0表示系数，x表示变量，n表示幂次，an表示系数的值，这里的系数an是不确定的，它决定了幂级数式的值。
幂级数有着独特的性质，首先，它们拥有以下特性：1、函数可以表示为多项式，它们可以用幂级数形式表示；2、逆幂级数可以用来表达任意函数；3、它们可以表示多维非线性函数；4、幂级数的参数的范围比常规多项式的参数范围更大；5、它们可以总结椭圆曲线、抛物曲线、几何曲线和其他常见函数的特征，而不需要考虑参数的限制。
另外，幂级数表达式也具有一定的适用性，舍入误差可以控制在一定范围以内，它可以用来计算正弦波和余弦波的初始值和终止值之间的差分，并且推导出振幅、相位及其他参数，从而探究所有函数的初始值和终止值之间的变化特征。
此外，幂级数表达式的应用也是十分广泛的，它可以用来表示实数域上多维复变函数，不仅可以用来实现多项式的拟合，并且也可以用来求解一些复杂的微分方程。
在统计学和算法学中，也可以使用幂级数表达式推导出一些统计数据和算法方法，包括最小二乘法、拟合理论等一系列优秀算法。
总之，幂级数表达式是一种非常有用的数学表达式，它可以用来推导出任意函数的初始值和终止值之间的差分，并且它也可以运用到种种学科，如数学、物理和化学、生物等学科，具有不可替代的作用。
幂级数
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
| x || x |的任何x , 幂级数(2)发散.
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 设级数 an xn 收敛, 从而数列 {an xn } 收敛于零 n0
且有界, 即存在某正数 M, 使得
| an xn | M (n 0,1,2,L ). 对任意一个满足不等式 | x || x |的 x, 设
都有
| an x0n | Mr n .
于是
|
nan
x n1 0
|
n x0
|
an
x0n
|
|
M x0
|
nr
n
,
根据比式判别法可知级数 nrn 收敛. 由级数的比
n0
较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 x0 绝对
收敛(当然也是收敛的!). 由于 x0为(R, R)中任一点,
这就证明了幂级数(7) 在(R, R)上收敛.
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L .
(2)
n0
因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1).
首先讨论幂级数(2)的收敛性.
除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？
数学分析 第十四章 幂级数
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高等教育出版社
§1 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
Байду номын сангаас
幂级数的性质
幂级数的运算
幂级数的收敛区间
幂级数展开的通用公式
幂级数展开的通用公式在数学领域中，幂级数是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括微积分、物理学、工程学等。
幂级数的展开是将一个函数表示为一列无限级数的形式，可以通过幂级数的通用公式来实现。
本文将介绍幂级数的基本概念、通用公式以及具体的应用案例。
一、幂级数的基本概念幂级数是一种形如 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... 的级数，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ... 是常数系数，被称为幂级数的系数。
x 是变量，表示幂级数的自变量。
对于每个给定的 x 值，幂级数可以收敛或发散。
幂级数的收敛性需要通过一些数学方法判断，例如比值测试、根值测试等。
如果幂级数在某个区间内对于所有 x 值都收敛，那么该幂级数在该区间内是收敛的。
二、幂级数展开的通用公式幂级数可以通过通用公式进行展开。
幂级数展开的通用公式可以表示为：f(x) = Σ(aₙ * (x - c)ⁿ)在通用公式中，aₙ 是幂级数的系数，(x - c) 是幂级数的基，n 是指数。
幂级数展开的通用公式表达了幂级数的每一项，通过不同的系数和指数可以获得不同的幂级数展开形式。
三、幂级数展开的应用案例幂级数展开在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是将一个函数在某个特定点处展开成幂级数的形式。
通过将函数进行幂级数展开，可以将复杂的函数近似表示为简单的幂级数形式，从而方便进行计算。
例如，将函数 sin(x) 展开成泰勒级数可以得到它的近似值。
2. 函数逼近：幂级数展开可以用于函数逼近问题。
通过选择合适的系数和指数，可以将一个给定的函数逼近成一个幂级数。
这对于需要近似计算的函数，在一定精度要求下可以提供快速的计算解决方案。
3. 物理学应用：幂级数展开在物理学中有广泛的应用。
例如，电磁场的势能可以通过幂级数展开来进行描述和计算。
这种展开可以帮助解决复杂的物理问题，并为物理学家提供更好的理解和预测能力。
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
幂级数
c n1
2
第二节 幂级数
1、幂级数的敛散性 2、幂级数的收敛半径的求法 3、幂级数的和函数的解析性 4、例题
一、幂级数的敛散性
1.
幂级数的定义：具有
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2 4.3
形式n0的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,…,a 都是复常数.当a=0,则以上幂级数可以写成如下形式
f ( p)(z) p!cp ( p 1) p 2cp1(z a)
n(n 1) (n p 1)cn(z a)n p
f
(
p
)
(p=1,2,…)
(a)
(3) c p p! (p=0,1,2,…).
(4.6) (4.7)
(4) 级数（4.5）可沿K内曲线C逐项积分，且
于是, 对任意幂级数 Ck (z z0 )k ,总存在一个
圆周| z z0 | R (0 R k0)，使得幂级数在圆域
| z z0 | R内处处收敛，在此圆域 外处处发散。
圆域 | z z0 | R称为幂级数的收敛圆 , R称为收敛半径。
幂级数在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆外发散。
但在圆周上，则可能收敛，也可能发散。
3. 幂级数收敛半径的求法
定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于
lim cn1 l,(达朗贝尔D' Alembert）或 c n
n
lim
n
n
|
cn
|
l(柯西Cauchy)
或
lim n
n
cn
l,(柯西 阿达玛Cauchy - Hadamard )
则幂级数 cn (z a)n的收敛半径为:
ppt-0703--幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其敛散性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的概念
定义 在区间I上的函数列
u1(x)，u2 (x)，u3(x)，，un (x)，，
则由这函数列构成的表达式
u1(x) u2 (x) u3(x) un (x) (1)
称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函
域I上连续.
n0
性质2
如果幂级数
an的xn和函数s(x)在其收敛域
n0
I上可积，并有逐项积分公式
x
s(x)dx
x
(
an
x
n
)dx
0
0 n0
n0
0xan
x n dx
n0
an xn1 n 1
xI
即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且 积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛 半径.
性质3
幂级数
a的n xn和函数s(x)在其收敛区
1 1 1 (1)n1 1
23
n
所以此级数收敛.
幂级数 (1)n1
xn 的收敛域为(1，1].
n1
n
例2 求幂数 x x2 x3 (1)n1 x n
23
n
的收敛半径与收敛区间.
1
解： l lim an1 lim n 1 1
n an
n 1
n
收敛半径为 R 1 1
均是常数，称为幂级数的系数.
当x0=0时，(1)式变为：
an
x
n
a0
a1x
a2 x 2
an xn
(3)
n0
称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函
数.我们主要讨论这种类型的幂级数.
第四节幂级数的应用ppt课件
n 0(1)n 2n 1 2221 n3 (x1)n, x(1,3)
常用已知和函数的幂级数
(1)n 0xn1 1x, x(1,1)
(2) xnex,
n0n!
x( , )
(3 )n 0 ( 1 )n(2 x n 2 n 1 1) !six ,nx (, )
(4)n 0(1)n(x 2n 2n ) !co x,sx (, )
742函数展开成幂级数则级数在收敛区间内收敛于f讨论进化心理学综合了进化生物学的各种理论和当代心理学的研究法则主张用进化论的视野来看待和研究人格问题为人格心理学核心概念的建构提供了一个系统的框架
7.4 幂级数的应用
7.4.1 泰勒级数
上节问题
xn
1
,
n0 1x
x(1,1).
幂级数在其收敛域内以 f (x)为和函数.
0x
3 3 !5 5 !7 7 !
因为
r3
1 77!
1 104,
3000
所以, 取前三项作为积分的近似值
0 1sx ixn d x131 3 !51 5 !0.9461
(n11)!111
1 n 1 1 10 4.
66! 4320 77! 35230
故,取n7,
e112 1!3 1! 7 1!2.7183
例13 利用 s ixnxx3计s算 i9n0的近似值, 并估计
3!
误差.
解
sin90
s
in
1 3,
20 20 620
例12 计算 e的近似,使 值其误差不 10超 4. 过
解 ex1x1x2 1xn ,
2 !
n !
令x1, 得 e111 1,
2! n!