天津市南开中学高二数学必修5作业：2.2等差数列(1) Word版缺答案
人教版高中数学必修五课后提升作业 九 2.2.2等差数列的性质 Word版含解析
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课后提升作业九等差数列的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·济南高二检测)已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m= ( )A.8B.4C.6D.12【解析】选A.因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.2.(2016·郑州高二检测)在等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( )A.14B.18C.21D.27【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以a n=n+1,所以a1a6=2×7=14.3.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )A. B.± C.- D.-【解析】选 D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=,所以a2+a12=2a7=,即tan(a2+a12)=-.4.在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)= ( )A.10B.20C.40D.2+log25【解析】选B.由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log2(··…·)=log2220=20.5.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )A.30B.27C.24D.21【解题指南】构造数列{b n},使b n=a n+a n+3+a n+6,易证{b n}是等差数列,从而可求b3,即a3+a6+a9的值.【解析】选B.令b1=a1+a4+a7=39,b2=a2+a5+a8=33,b3=a3+a6+a9,因为{a n}成等差数列,所以b1,b2,b3成等差数列,所以a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.6.下列命题中正确的个数是( )(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2),a=b=c⇒2a=2b=2c,(2)正确;对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),a=b=c≠0⇒==,(4)正确.综上可知选B..7.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于( )A.1B.C.D.【解析】选C.因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则因为x1=,所以x4=,x2=,x3=,所以m=,n=,所以|m-n|=.8.若{a n}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…,a3n-2+a3n-1+a3n( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,则a4+a5+a6-(a1+a2+a3)=9d,a7+a8+a9-(a4+a5+a6)=9d,…,a3n-2+a3n-1+a3n-(a3n-5+a3n-4+a3n-3)=9d,所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…,a3n-2+a3n-1+a3n一定是等差数列.【误区警示】解答本题容易忽视所研究的数列中的项都是原数列三项的和,未能想到应用等差数列的定义和性质证明该数列为等差数列.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设等差数列{a n}中,已知a m=n,a n=m,则a m+n=________.【解析】设公差为d,则d===-1,从而a m+n=a m+(n+m-m)d=n+n×(-1)=0.答案:010.已知在等差数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11=________.【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延伸探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:51三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知递增的等差数列{a n}满足a2+a3+a4=15,a2a3a4=105,求a1.【解析】因为{a n}是等差数列,所以a2+a3+a4=3a3=15.所以a3=5.所以a2+a4=10.所以a2a3a4=5a2a4=105.即a2a4=21.即所以或又{a n}是递增数列,所以a4>a2,即a2=3,a4=7.所以a1=2a2-a3=6-5=1.12.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 【解析】设从第1年起,第n年的利润为a n,则a1=200,a n-a n-1=-20,n≥2,n∈N*.所以每年的利润a n可构成一个等差数列{a n},且公差d=-20.从而a n=a1+(n-1)d=220-20n. 若a n<0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由a n=220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.【能力挑战题】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.【解析】设第一个数是a1,公差为d,由已知条件列出方程组所以解得a1=-,d=或a1=,d=-.这5个数分别是-,,1,,或,,1,,-.【一题多解】设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由已知有化简得所以a=1,d=±.d=时,这5个数分别是-,,1,,;d=-时,这5个数分别是,,1,,-.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学必修五课时作业9：§2.2 等差数列(一)
§2.2 等差数列(一)一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( )A.45B.41C.39D.372.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( )A.10B.18C.20D.283.在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A.49B.50C.51D.524.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11等于( ) A.0B.16C.13D.125.数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A.87B.85C.165D.2196.若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( )A.0B.log 25C.32D.0或327.设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则{c n }是( )A.常数列B.摆动数列C.公差不为0的等差数列D.递减数列二、填空题8.等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为________.9.已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.10.若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________.三、解答题11.已知等差数列{a n }.(1)若a 12＝31，a 32＝151，求a 42的值；(2)若a 1＝5，d ＝3，a n ＝2 009，求n .12.若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式.13.已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定. (1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100.答案精析1.B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3， ∴a 1＝a 2－d ＝2，∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2.C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10.∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.]3.D [∵a n ＋1－a n ＝12， ∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12， ∴a 101＝2＋101－12＝52.] 4.A [∵11＋a 3＝13，11＋a 5＝12， ∴12－135－3＝112， 1a 1＋1＝13－112×2＝16， ∴11＋a n ＝16＋(n －1)·112， ∴11＋a 11＝16＋11－112＝11＋112＝1， ∴a 11＝0.]5.D [方法一 a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝271＋67＝213，a 4＝2131＋613＝219. 方法二 取倒数得1a n ＋1＝1a n＋3， ∴1a n ＋1－1a n ＝3， ∴{1a n }是以12为首项，3为公差的等差数列. ∴1a n ＝12＋(n －1)·3 ＝3n －52＝6n －52， ∴a n ＝26n －5，∴a 4＝219.] 6.B [依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3)，∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0，∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)，∴x ＝log 25.]7.C [∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n ) ＝4(n ＋4)＝4n ＋16.]8.a n ＝2n －3(n ∈N *)解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3. 9.4n －3解析 ∵a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.10.3172 解 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316.x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172. 11.解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则a 12＝a 1＋11d ＝31，a 32＝a 1＋31d ＝151，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－35，d ＝6，∴a 42＝a 1＋41d ＝－35＋41×6＝211.(2)a n ＝5＋(n －1)×3＝2 009，∴n ＝669. 12.解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .13.(1)证明 由题意得x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，且n ∈N *)， 所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1(n ≥2，且n ∈N *)， 所以1x n －1x n －1＝13(n ≥2，且n ∈N *)，所以{1x n }是等差数列.(2)解 由(1)知{1x n }的公差为13，因为x 1＝12，所以1x n ＝1x 1＋(n －1)·13， 1x 100＝2＋(100－1)×13＝35. 所以x 100＝135.。
人教A版高中数学必修五同步练测：2.2等差数列(含答案解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分）1.在等差数列{}n a 中，已知48a a ＋＝16，则210a a ＋＝( )A.12B.16C.20D.242.已知等差数列{}n a 的公差为d (d ≠0)，且36a a ＋＋1013a a ＋＝32，若m a ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.43.已知不等式2230x x <－－的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项为()A.3B.－1C.2D.3或－14.已知数列{}n a 为等差数列且17134πa a a ＋＋＝，则212tan()a a ＋的值为( )A. 3B.± 3C.－33D.－ 3 5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L ，下面3节的容积共4 L ，则第5节的容积 A.1 L B.6766 LC.4744 LD.3733L6.将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组：{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组：{14,16,18,20,22,24}，则2 010位于第( ) A.30组 B.31组 C.32组 D.33组7.已知方程22(2)(2)x x m x x n －＋－＋＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A.1B.34C.12D.388.在等差数列{}n a 中，若18152a a a ＋＋＝96，则9102a a －＝( )A.24B.22C.20D.－8 9.已知等差数列{}n a 中有两项m a 和k a 满足m a ＝1k，k a ＝1m，则该数列前mk 项之和是( ) A.2m k + B.12mk + C.2m k + D.21mk +10.若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg lg y x ，， lg 2y x-成等差数列，则点P 所表示的图形是( )二、填空题（每小题4分，共16分）11.设等差数列{}n a 的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________. 12.将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列． 13.若数列{}n x 满足1n n x x d －－＝(n ∈*N ，n ≥2)，其中d 为常数，1220x x x ＋＋＋＝80，则516x x ＋＝_____. 14.已知函数()sin tan f x x x ＝＋，项数为27的等差数列{}n a 满足ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差d ≠0.若1()f a ＋227()()f a f a ＋＋＝0，则当k ＝_____时，()k f a ＝0.三、解答题（共54分）15.（12分）求等差数列8，5，2，…的第20项. 16.（14分）已知等差数列{}n a 前三项的和为－3，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式.17.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？18.（14分）数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（n ≥2），设n b =12n a -. （1）判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明； （2）求数列{}n a 的通项公式.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由等差数列的性质，得2104816a a a a ＋＝＋＝，故选B ．2.B 解析：由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝＝，∴ 88a ＝.∴ 8m ＝.3.D 解析：由2230x x <－－及x ∈Z ，得x ＝0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,－1. ∴ 4a ＝3或4a ＝－1.故选D.4.D 解析：由题意可得734πa ＝，∴ 7a ＝4π3，∴ 2127tan()tan(2)a a a ＋＝＝8πtan 3＝2πtan 3＝－ 3. 5.B 解析：设该等差数列为{}n a ，公差为d ，则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d ＝＋＝1322＋766×4＝6766. 6.C 解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2n ＋n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数，若n ＝31，则2n ＋n ＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组． 7.C 解析：设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14. ∵ 122x x ＋＝，∴ 2x ＝74.又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34， 4x ＝54.∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12，故选C.8.A 解析：因为1815296a a a ＋＋＝，所以8496a ＝，所以 8a ＝24.又因为91082a a a ＝＋，所以9108224a a a －＝＝.9.B 解析：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则111(1),1(1),m k a a m d ka a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mk d mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析：由题意可知2lg lg lg2y x x y -＝＋，即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭＝.整理，得222x y xy ＝－. 化简可知(2)()0x y x y －＋＝，即20x y －＝或0x y ＋＝，且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析：∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >，∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.12.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即第252行第2列．13.8 解析：由1n n x x d －－＝知{}n x 是公差为d 的等差数列，∴ 122080x x x ＋＋＋＝⇒12010()80x x ＋＝⇒1208x x ＋＝，∴ 5161208x x x x ＋＝＋＝.14.14 解析：∵ ()sin tan f x x x ＝＋为奇函数，且在0x ＝处有定义，∴ (0)0f ＝. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠，1227()()()0f a f a f a ＋＋＋＝，∴ *(127)n a n n ≤≤∈，N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a ＝，∴ k ＝14. 三、解答题15.解：由18a =，583d =-=-，20n =，得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则21312a a d a a d ＝＋，＝＋.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n ＝－－＝－＋或43(1)37n a n n ＝－＋－＝－. 故35n a n ＝－＋或37n a n ＝－.17.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米处的车费记为111.2a =，公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a .11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2.答：需要支付车费23.2元. 18.解：（1）∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-⨯=，∴ 122n n a =-，∴ 2(1)n n a n +=.。
2019-2020学年人教A版高中数学必修五习题：第二章2.2第2课时等差数列的性质 Word版含答案
第二章 数列2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质A 级 基础巩固一、选择题1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项值为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，故d ＝c 2－c 1＝0，故c n ＝100(n ∈N *)，从而c 37＝100.答案：C2．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5 解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5.答案：B3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．答案：C4．在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋1是等差数列，那么a 11等于( ) A.13 B.12 C.23 D ．1解析：依题意得1a3＋1＋1a11＋1＝2·1a7＋1， 所以1a11＋1＝21＋1－12＋1＝23， 所以a 11＝12.答案：B5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又因为a 1＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧d>－235，d<－236，即－235<d <－236， 又因为d 是整数，所以d ＝－4.答案：C二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.答案：37．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________．解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m 33成等差数列， 所以2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m 33， 所以m ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫an n ，an ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________________． 解析：由题设可得an n －an ＋1n ＋1＋1＝0，即an ＋1n ＋1－an n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式an n＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 2三、解答题9．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝10＋10，所以a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80，所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.10．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)(－5)＝8－5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m ＝4n －1，n ∈N *，所以b 1＝a 3＝8－5×3＝－7， b 2＝a 7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n ＋1－b n ＝a 4(n ＋1)－1－a 4n －1＝4d ＝－20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1＝－7，公差为d ′＝－20，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ′＝－7＋(n －1)×(－20)＝13－20n .(3)因为m ＝4n －1，n ∈N *，所以当n ＝110时，m ＝4×110－1＝439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．B 级 能力提升1．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2，因为a 1＝14，所以d ＝12，所以a 2＝14＋12＝34， a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74， 所以|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. 答案：C2．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝______________． 解析：法一：因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q ×(－1)＝0.法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB 的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示，由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q ＝0.答案：03．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1an －1an －1＝3 (n ≥2)． 又因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得1an ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2. 又当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝13n －2.。
高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)
高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .一、等差数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10注：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－3405．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12B ．18C ．24D ．30二、等差数列的判定与证明6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．注： 等差数列的判定与证明方法 方 法 解 读适合题型 定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{an }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法 验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．638．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．三、等差数列的性质与应用(一)等差数列项的性质9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 2510.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(二)等差数列前n 项和的性质11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(三)等差数列前n 项和的最值12.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17注：1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .13．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．1314．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．1315．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．巩固练习:1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．1302．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．273．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．64．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－665．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A．20 B．40C．60 D．806．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n.若a2n＋1＝a n＋2＋a n，则S2n＋1＝()A．4n＋2 B．4nC．2n＋1 D．2n7．已知等差数列5,427，347，…，则前n项和S n＝________.8．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.9．等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为________．10．在等差数列{a n}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.参考答案：1.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d ＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.解：因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，a n＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.3.解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192× (－2)＝－340，选D.5.解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 6.[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.7.解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.8.证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．9.[解析]因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.10.解：由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.11.[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. 12.[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B. 14.解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.15.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.练习：1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3.解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4.解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5.解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6.解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)． 8.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.9.解析：∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.10.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 11.解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.。
高中数学必修5单元配套练习试题2.2 等差数列及参考答案解析
2.2 等差数列姓名:___________班级:______________________1.数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝2n ＋c (c 为常数),则此数列 ( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列2.等差数列－89,－87,－85,…,1的项数是 ( )A.92B.47C.46D.453.如果数列{a n }是等差数列,则下列式子一定成立的是( )A.a 1＋a 8＜a 4＋a 5B.a 1＋a 8＝a 4＋a 5C.a 1＋a 8＞a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 54.等差数列}{n a 的前三项依次为x ,12+x ,24+x ,则它的第2016项为 ( )A.20151x +B.20161x -C.2016D.20155.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则121314a a a ++=( ) A.120 B.114 C.105 D.756.首项为－12的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是( )A.d ＞38B.d ＜3C.38≤d＜3D.43＜d≤327.在等差数列－5,－312 ,－2,－12,…的每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列,则新的数列的通项为( )A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32 (n －1)C.a n ＝－5－34 (n －1) D.a n ＝54n 2－3n 8.等差数列{}n a 中,2589a a a ++=,那么方程246()90x a a x +++=的根的情况为( )A.没有实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.无法判断9.在－1和7之间插入两个数a,b,c,使这五个数成等差数列,则公差为 .10.若等差数列{}n a 中,37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =11.已知数列{}n a 中,11a =- ,11n n n n a a a a ++⋅=-,则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.12.已知等差数列{a n }中,公差d ＞0,且满足a 2·a 3＝45,a 1+a 4＝14,求数列{a n }的通项公式.13.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值.14.已知()214f x x +=-,等差数列{}n a 中,()()12331,,2a f x a a f x =-=-=.(1)求x 的值;(2)求通项公式n a ;参考答案1.A【解析】因为a n −a n −1＝2(n≥2,n ∈N ∗),所以｛a n ｝是公差为2的等差数列 ,故选A.考点:等差数列的公差.2.C【解析】首项为－89,公差为2的等差数列,通项公式为a n ＝2n －91,令1＝2n －91,解得46n =,故选C.考点:等差数列的通项公式.3.B【解析】由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5,故选B.考点:等差数列的性质.4.D【解析】因为()()22142x x x +=++,所以0x =,它的第2016项为2015,故选D. 考点:等差中项.5.B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d,则d ＞0.∵12315a a a ++=,∴25a =.又∵12380a a a =,∴1316a a =.由d ＞0及131310,16a a a a +=⎧⎨=⎩可得132,8,a a =⎧⎨=⎩ ∴21523d a a =-=-=,()()121314131331232123114,a a a a a d ∴++==+=+⨯=故选B.考点:等差数列的性质.6.D【解析】设等差数列的公差为d.由题意可得1290,1280,d d -+>⎧⎨-+≤⎩解这个不等式组得43＜d≤32, 故选D.考点:等差数列的公差.7.A【解析】∵ 新数列的公差d ＝113522⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝34, ∴ a n ＝－5＋(n －1)·34＝34n －234.故选A. 考点:等差数列的通项公式.8.B【解析】由2589a a a ++=得53a =,466a a ∴+=,方程转化为2690x x ++=,0∆=,∴方程有两个相等实根.故选B.考点:等差数列性质.9.2【解析】由等差数列的通项公式可得公差d ＝()71251--=-. 考点:等差数列的公差.10.12【解析】3710114311104712,,12a a a a a a a a a a +-+-=+=+=.考点:等差数列的性质.11.1n- 【解析】由题意得1111n n a a +-=,则1111n n a a +-=- ,又111a =-,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,以1-为公差的等差数列,所以111(1)(1),n n n n a a n =-+-⨯-=-=-. 考点:等差数列的通项公式.12.a n ＝4n −3【解析】∵a 1+a 4＝14,∴a 2+a 3＝14.由232345,14,a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧==5,932a a 或⎩⎨⎧==.9,532a a ∵d ＞0, ∴⎩⎨⎧==.9,532a a ∴d ＝4,∴a n ＝5+(n −2)×4＝4n −3. 考点:等差数列的通项公式.13.31.5【解析】由等差数列的性质可得:1819202122201255,7 2.8,0.4a a a a a a a a d d ++++=-===又20128 3.1 3.2 6.3a a d =+=+=,∴1819202122205 6.3531.5a a a a a a ++++==⨯=.考点:等差数列的性质.14.(1)0或3 (2)通项公式为332n n a -=或392n n a -= 【解析】(1)()2231()23,14,f x x x a a f x x x =--=∴=-=-因为{}n a 为等差数列, 所以1322,a a a += 即)23(23622-⨯=--x x ,,0=∴x 或3=x .(2)当0x =时,10,a =通项公式为()3330122n n a n -⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭; 当3x =时,213433a =-⨯=-,公差为2133322a a -=-+=,通项公式为:()3393122n n a n -=-+-⋅=.故通项公式332n n a -=或392n n a -=. 考点:等差数列的通项公式.。
人教a版必修5学案：2.2等差数列(含答案)
2.2 等差数列自主学习知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．2．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的____________． 3．等差数列的单调性等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列．4．等差数列的通项公式a n ＝________________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．5．等差数列的性质(1)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则____________．(2)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n }也是________，公差为________．(3)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n －1＋a 2n }也是____________，公差为________．自主探究如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一 等差数列的通项公式例1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m ＋(n－m)d求解．变式训练1在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．知识点二等差数列的性质例2已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．知识点三等差数列的判断例3 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．总结 判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．变式训练3 若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．1．证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列．(3)通项法：a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列，只要说明a n 为n 的一次函数，就可下结论说{a n }是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .课时作业一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( ) A ．14n ＋3 B ．16n －4 C ．15n －39 D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3005．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.三、解答题9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．10．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？请说明理由．(2)若a m 、a t (m 、t ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a m ＋3a t 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．§2.2 等差数列知识梳理1．2 同一个 公差 d2．等差中项3．d>0 d<0 d ＝04．a 1＋(n －1)d a 1 常数 dn ＋(a 1－d) 一次 d 孤立5．(1)a k ＋a l ＝a m ＋a n (2)等差数列 2d(3)等差数列 4d自主探究解 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，….所以a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ，a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ，…由此得出：a n ＝a 1＋(n －1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，a n －a n －1＝d(n ≥2)，所以 ⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝d a 3－a 2＝d a 4－a 3＝d ⋮a n －a n －1＝d (n －1)个 将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d.对点讲练例1 解 设{a n }的公差为d.方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 方法二 因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415， 所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24. 变式训练1 解 方法一 设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1， 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m)d ＝n ＋n·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b(a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝am ＋b ＝n ，a n＝an ＋b ＝m ， 得a ＝－1，b ＝m ＋n.所以a m ＋n ＝a(m ＋n)＋b ＝0.例2 解 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d)(a 4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n.变式训练2 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3 (1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)． ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *. ∴{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12. ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n 2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 变式训练3 证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列， ∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．课时作业1．A [设等差数列{a n }公差为d .∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.]2．C [∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23， ∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15， ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)×15＝15n －39.]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10.]4．C [方法一 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d ， 即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450， ∴a 2＋a 8＝180.]5．D [∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12. 故数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列． ∴a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.] 6.43解析 ∵n －m ＝3d 1，∴d 1＝13(n －m )． 又∵n －m ＝4d 2，∴d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 7.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 8.12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 9．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.10．解 (1)依题意有a 1＝3，d ＝7－3＝4，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1.设a n ＝4n －1＝135，得n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项．由于4m ＋19＝4(m ＋5)－1，且m ∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项．(2)∵a m 、a t 是数列{a n }中的项，∴a m ＝4m －1，a t ＝4t －1.∴2a m ＋3a t ＝2(4m －1)＋3(4t －1)＝4(2m ＋3t －1)－1.∵2m ＋3t －1∈N *，∴2a m ＋3a t 是数列{a n }中的第2m ＋3t －1项．。
2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：2.2.1 等差数列(一) Word版含答案
2.2.1 等差数列(一)明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，把握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简洁的问题.3.把握等差中项的概念，深化生疏并能运用．1．等差数列的概念假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差． 2．等差中项假如三个数x 、A 、y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d . 4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行，此后每4年进行一次，奥运会如因故不能进行，届数照算．这样进行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起争辩这个问题．探究点一 等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20.(2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们相互争辩．答 共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2 具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．思考3 如何用数学语言来描述等差数列的定义？ 答 数学语言：a n －a n －1＝d (n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (n ≥1)． 思考4 思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？ 答 公差分别是5,5，－2.5,72.小结 对于一个数列，当a n －a n －1＝d (n ≥2)中的d 为常数，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d >0时，a n >a n －1，该数列为递增数列；当d ＝0时，a n ＝a n －1，该数列为常数列；当d <0时，a n <a n －1，该数列为递减数列．例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，这个数列是等差数列吗？ 解 由于当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －5－[3(n －1)－5]＝3， 所以数列{a n }是等差数列，且公差为3.反思与感悟 推断一个数列是不是等差数列，就是推断a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 探究点二 等差数列的通项思考1 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，你能用a 1和d 表示出a 2，a 3，a 4，…，然后观看规律，归纳概括出通项公式a n .答 a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…. 所以a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d )＋d ＝a 1＋2d ， a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d )＋d ＝a 1＋3d ， …由此得出：a n ＝a 1＋(n －1)d .思考2 由等差数列的定义知a n －a n －1＝d (n ≥2)，利用此关系式如何得到等差数列的通项公式？答⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d ⋮a n－a n －1＝d (n －1)个 将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d . 例2 已知等差数列10,7,4，…： (1)试求此数列的第10项；(2)－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？假如是，是第几项？解 (1)设此数列为{a n }，由a 1＝10，d ＝7－10＝－3，得到这个数列的通项公式为a n ＝10－3(n －1)． 当n ＝10时，a 10＝10－3(10－1)＝－17. (2)假如－40是这个数列的项， 则方程－40＝10－3(n －1)有正整数解，解这个方程，得n ＝533，所以－40不是这个数列的项．假如－56是这个数列的项，则方程－56＝10－3(n －1)有正整数解，解这个方程，得n ＝23，因此－56是这个数列的第23项． 反思与感悟 (1)在等差数列{a n }中，首项a 1及公差d 称为基本量．(2)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中有四个量a 1，d ，n ，a n ，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想． 跟踪训练2 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)推断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？假如是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20， 得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， ∴－401是这个数列的第100项． 探究点三 等差中项思考1 观看如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 答 插入的数分别为3,2，a ＋b2，0.思考2 假如三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 解 ∵x ，A ，y 组成等差数列， ∴A －x ＝y －A ，∴2A ＝x ＋y ， ∴A ＝x ＋y 2.例3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练3 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6. ∴m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2. 2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 由于A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°， 从而B ＝60°.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4， ∴d ＝23.∴a n ＝a 1＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.[呈重点、现规律]1．推断一个数列是不是等差数列的常用方法有： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B.b －a 2 C.b －a 3 D.b －a4答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22， ∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0. 4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26. ∴x ＋y ＋z ＝39.5.2－1与2＋1的等差中项是________． 答案2解析 设等差中项为a ，则有a ＝2－1＋2＋12＝2，所以a ＝ 2.6．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________． 答案 a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75. 解 设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.二、力气提升8．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，∴⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74.∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开头为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.11．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．由于a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时，s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm. 当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.12．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N ＋)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N ＋)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由． 解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N ＋.∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N ＋，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。
天津市南开中学高二数学必修5作业：2.2等差数列(1) Word版缺答案
1.2.一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a 2+a 3=3，则有 （ ）（A ）a 1=-2,d=3 （B ）a 1= 2,d=-3（C ）a 1= -3,d=2 （D ）a 1=3, d=-22．已知等差数列{b n }中，d=-3,b 7=10,则b 1是（ ）（A ）-39 （B ）28 （C ）39 （D ）323．已知等差数列{a n }中，a 1=-5,d=7,a n ≤695,则这个等差数列至多有 ( )（A ）98项 （B ）99项 （C ）100项 （D ）101项4.在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是（ ）（A ）第13项 （B ）第14项（C ）第15项 （D ）第16项5.已知231+=a ，231-=b 则b a ,的等差中项为（ ） A.3 B.2 C.31 D.21 6.2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项二、填空7.在等差数列{}n a 中，已知21=a ，1332=+a a ，则=++654a a a8.若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为9.等差数列{a n }中，a 15=33,a 45=153,则217是这个数列的第__________项10.等差数列-3，1， 5…的第15项的值为(2)已知2,21,31===d a a n ,求n(3)已知27,1261==a a 求d(4)已知8,317=-=a d 求1a12.等差数列{}n a 中，2511=a ,0>d ,且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是。
高二数学人教A必修5练习：2.2.1 等差数列 Word版含解析
课时训练7等差数列一、等差数列通项公式的应用1.等差数列{a n}中,a2=-5,d=3,则a5为()A.-4B.4C.5D.6答案:B解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4.2.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1=2a n+1,则a101的值为()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵2a n+1=2a n+1,∴a n+1=a n+.∴a n+1-a n=.∴数列{a n}是首项为2,公差为的等差数列.∴a101=a1+(101-1)d=2+=52.3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+3(n≥2),则a100等于()A.297B.298C.299D.300答案:B解析:由a n=a n-1+3(n≥2),得a n-a n-1=3(n≥2),即数列{a n}是以3为公差的等差数列.又a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298.4.若等差数列{a n}的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为()A.-5B.-4C.-3D.-2答案:B解析:设等差数列{a n}的公差为d(d∈Z),依题意得a6=a1+5d=19+5d<0,即d<-,a5=a1+4d=19+4d≥0,即d≥-,所以-≤d<-,又d∈Z,所以d=-4.5.等差数列{a n}中,a2=5,a4=a6+6,则a1=.答案:8解析:由a4=a6+6,得2d=a6-a4=-6,∴d=-3.又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.二、等差中项的应用6.(2015福建宁德五校联考,1)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于()A. B.± C.3 D.±3答案:C解析:因为实数m是1和5的等差中项,所以2m=1+5=6,则m=3.故选C.7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9答案:B解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18⇒m+n=6,故m和n的等差中项是3.8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值为()A.1B.0或32C.32D.log25答案:D解析:由题意得lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),所以2(2x+3)=(2x-1)2,解得2x=5或2x=-1(舍去),所以x=log25.三、等差数列的判断与证明9.(2015山东威海高二期中,21)数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*).令b n=a2n,求证{b n}是等差数列,并求{b n}的通项公式.解:当n≥2时,b n-b n-1=a2n-a2n-2=2,∴{b n}是等差数列,且b1=a2=2,∴b n=2n.10.已知成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.证明:∵是等差数列,∴.∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.(建议用时:30分钟)1.数列{a n}的通项公式a n=4n-7,则此数列是()A.公差为4的等差数列B.公差为-7的等差数列C.首项为-7的等差数列D.公差为n的等差数列答案:A解析:a n+1-a n=4(n+1)-4n=4.故选A.2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是()A.45B.46C.47D.92答案:B解析:由题可知,等差数列的首项a1=1,公差d=-2,且a n=-89.由a n=a1+(n-1)d,解得n=46.故选B.3.{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=()A.-2B.-C.D.2答案:B解析:--即-4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是()A.2,7B.1,6C.0,5D.无法确定答案:A解析:由等差中项知识得解得5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围为()A.d>B.d<3C.≤d<3D.<d≤3答案:D解析:设公差为d,a n=-24+(n-1)d,∴--∴<d≤3.6.已知等差数列{a n}中,a1<a2<…<a n,且a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是答案:a n=2n-4解析:由题意得又a1<a2<…<a n,所以解得a3=2,a6=8,所以a1=-2,d=2.从而a n=-2+2(n-1),即a n=2n-4.7.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的公共点的个数是.答案:1或2解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.二次函数y=ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,∴图象与x轴有一个或两个公共点.=.8.若x≠y,且x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成等差数列,则--答案:解析:由题知a2-a1=d1=-,b2-b1=d2=-,∴-.-9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{a n},且当a n<0时,该公司会出现亏损.设从第1年起,第n年的利润为a n,则a1=200,a n-a n-1=-20(n≥2,n∈N*),所以每年的利润a n可构成一个等差数列{a n},且公差d=-20,从而a n=a1+(n-1)d=220-20n.若a n<0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由a n=220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1)设数列{a n}是公方差为p的等方差数列,求a n和a n-1(n≥2)的关系式;(2)若数列{a n}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.解:(1)由等方差数列的定义可知:=p(n≥2).-(2)∵{a n}是等差数列,设公差为d,则a n-a n-1=a n+1-a n=d(n≥2).又{a n}是等方差数列,∴(n≥2),-∴(a n+a n-1)(a n-a n-1)=(a n+1+a n)(a n+1-a n),即d(a n+a n-1-a n+1-a n)=-2d2=0.∴d=0,即{a n}是常数列.。
人教版高中数学必修五课后提升作业 八 2.2 第1课时 等差数列 Word版含解析
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课后提升作业八等差数列(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12= ( )A.15B.30C.31D.64【解析】选A.因为a7+a9=2a8=16,即a8=8,又a12+a4=2a8,解得a12=15.2.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a+b=-++=2,所以=,即a,b的等差中项为.3.在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= ( )A.5B.8C.10D.14【解析】选B.由解得d=1,故a7=a1+6d=2+6=8.4.(2016·临沂高二检测)在等差数列{a n}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1= ( )A.-9B.-8C.-7D.-4【解析】选B.由题意得解得a1=-8,d=3.5.若{a n}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有( )①{|a n|};②{a n+1-a n};③{pa n+q}(p,q为常数);④{2a n+n}.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.-1,1,3成等差数列,取绝对值后,1,1,3不成等差数列,①不是等差数列.若{a n}是等差数列,利用等差数列的定义,{a n+1-a n}为常数列,故{a n+1-a n}为等差数列.若{a n}的公差为d,则pa n+q-(pa n-1+q)=p(a n-a n-1)=pd为常数,故{pa n+q}为等差数列.(2a n+n)-(2a n-1+n-1)=2(a n-a n-1)+1=2d+1,故{2a n+n}为等差数列,所以②③④均成立.【补偿训练】(2015·郑州高二检测)下面数列中,是等差数列的有( )①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④,,,,…A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.①是以4为首项,公差为1的等差数列,③是以0为首项,公差为0的等差数列,④是首项为,公差为的等差数列,对于②,因为0-(-3)≠0-3,故②不是等差数列.6.在等差数列{a n}中,已知a1=,a2+a5=4,a n=33,则n等于( )A.48B.49C.50D.51【解析】选C.因为a1+d+a1+4d=4,且a1=,所以d=,又因为a n=a1+(n-1)d=+(n-1)×=33,即n=50.【延伸探究】本题中条件“a n=33”若换为“a n=31”,求此时n的值.【解析】由本题解析知a n=+(n-1)×.令a n=31得2n-1=93,即n=47.7.(2016·益阳高二检测)若a1=1,a n+1=,则给出的数列{a n}的第34项为( ) A. B. C.100 D.【解析】选B.因为a n+1=,所以=3+,所以-=3,因为a1=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=,所以数列{a n}的第34项为=.8.(2015·北京高考改编)设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是( )A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2=D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·菏泽高一检测)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.【解析】由题意设首项为a1,则a1+2015=2×1010=2020,所以a1=5.答案:510.(2016·开封高二检测)数列{a n}满足递推关系a n=3a n-1+3n-1(n∈N*,n≥2),a1=5,则使数列为等差数列的实数m的值为________.【解析】由题意知-=-==1-为常数,则1+2m=0,故m=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知等差数列{a n}:3,7,11,15,….(1)135,4m+19(m∈N*)是{a n}中的项吗?试说明理由.(2)若a p,a q(p,q∈N*)是数列{a n}中的项,则2a p+3a q是数列{a n}中的项吗?并说明你的理由.【解析】a1=3,d=4,a n=a1+(n-1)d=4n-1.(1)令a n=4n-1=135,所以n=34,所以135是数列{a n}中的第34项.令a n=4n-1=4m+19,则n=m+5∈N*,所以4m+19是{a n}中的第m+5项.(2)因为a p,a q是{a n}中的项,所以a p=4p-1,a q=4q-1.所以2a p+3a q=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,2p+3q-1∈N*,所以2a p+3a q是{a n}中的第2p+3q-1项.12.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列.【解题指南】由,,成等差数列得=+,再推证2×=+.【证明】因为,,为等差数列,所以=+,即2ac=b(a+c).因为+=====.所以,,为等差数列.【能力挑战题】数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{a n}为等差数列?若存在,求出λ及数列{a n}的通项公式;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),且a1=1.所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{a n}不可能为等差数列,理由如下:由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在λ,使{a n}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.这与{a n}为等差数列矛盾.所以,不存在λ使{a n}是等差数列.关闭Word文档返回原板块。
高中数学等差数列综合测试题(附答案)
高中数学等差数列综合测试题（附答案）2.2 等差数列练习（第 1 课时）一.选择题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.是数列中的第（）项 .A. B. C. D.2.若数列的通项公式为，则此数列是（）A.公差为的等差数列B. 公差为的等差数列 C.首项为的等差数列D. 公差为的等差数列3.若，则“是”“ 成等差数列”的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件 4.等差数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A. B. C. D.6.若是等差数列，则，，，，，是（）A. 必定不是等差数列B. 必定是递加数列C.必定是等差数列D. 必定是递减数列二.填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列中，，，则.8.等差数列中，，，则.9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则.10.假如等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第项 .【整合提升】三.解答题（本大题共 2 小题，每题10 分，共 20 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数，是不是等差数列: 中的项，假如，是第几项？12.已知，，求.参照答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219. 10.8与现在“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元期间小学教师被称为“老师”有案可稽。
清朝称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师” 一说是比较晚的事了。
现在领会，“教师”的含义比之“老师”一说，拥有资历和学问程度上较低一些的差异。
人教B版高中数学必修五高中第二章数列2.2等差数列同步测试含答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品必修五 第二章 数列 2.2 等差数列 同步测试一、选择题1．等差数列34,37,40中的第一个负数项是 （ ） Ａ．第13项 Ｂ．第14项 Ｃ．第15项 Ｄ．第16项 2．等差数列}{n a 中，153,334515==a a ，则217是这个数列的 （ ） Ａ．第59项 Ｂ．第60项 Ｃ．第61项 Ｄ．第62项3．已知等差数列}{n a 的项数为n ，前4项和为21，后4项和为67，所有项的和为220，则n 的值为 （ ） Ａ．20 Ｂ．18 Ｃ．22 Ｄ．214．等差数列}{n a 中，40,19552==+S a a ，则10a 为 （ ） Ａ．27 Ｂ．28 Ｃ．29 Ｄ．305．数列}{n a 是等差数列的一个充要条件是 （ ） Ａ．c bn an S n ++=2 Ｂ．bn an S n +=2 Ｃ．)0(2≠++=a c bn an S n Ｄ．)0(2≠+=a bn an S n6．等差数列}{n a 的公差为d ，则前20项的和20S 等于 （ ） Ａ．2020a Ｂ．d a 102010+ Ｃ．d a 380201+ Ｄ．d a 3801+ 二、填空题7．在1-与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则此数列为 .8．在等差数列}{n a 的公差为1，前100项的和为150100=S ，则=++++99531a a a a .9．已知等差数列}{n a 满足：4,126473-=+-=a a a a ，则通项公式=n a . 10．已知数列n 2,,4,3,2,1 ，则其和为 ，奇数项的和为 . 11．在数列}{n a 中，122,211=--=+n n a a a ，则=51a .12．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和为24，偶数项的和为30，且末项比首项大5.10，则该数列的项数为 . 三、解答题13．已知222,,c b a 成等差数列，求证：ba a c cb +++1,1,1也成等差数列.14．已知等差数列}{n a 的首项为60，公差为3-，试求数列}{n a 前30项的和.15．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项的和，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1，求等差数列}{n a 的通项公式.16．设等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，已知0,0,1213123<>=S S a ， （1）求公差d 的取值范围;（2）指出1221,,,S S S 中那一个值最大，并说明理由.17．设}{n a 是等差数列，nan b ⎪⎭⎫⎝⎛=21，已知：81,821321321==++b b b b b b ，求等差数列的通项n a .*18．设}{n a 是公差为d 等差数列,}{n b 满足n n a n nb b b b )321(32321++++=++++)(N n ∈，求证：}{n b 是等差数列，并求公差.答案1．C ；2．C ；3．A ；4．C ；5．B ；6．B ；7．7,5,3,1,1-；8．50；9．122-=n a n 或82+-=n a n ；10．2),12(n n n +；11．23；12．8项；13．略；14．765；15．1=n a 或)(532512N n n a n ∈+-=；16．（1）3724-<<-d ；（2）6S 最大；17．32-=n a n 或n a n 25-=；18．公差为d 23.。
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1.
2.一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a 2+a 3=3，则
有 （ ）
（A ）a 1=-2,d=3 （B ）a 1= 2,d=-3
（C ）a 1= -3,d=2 （D ）a 1=3, d=-2
2．已知等差数列{b n }中，d=-3,b 7=10,则b 1是
（ ）
（A ）-39 （B ）28 （C ）39 （D ）32
3．已知等差数列{a n }中，a 1=-5,d=7,a n ≤695,则这个等差数列至多有 ( )
（A ）98项 （B ）99项 （C ）100项 （D ）101项
4.在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是
（ ）
（A ）第13项 （B ）第14项
（C ）第15项 （D ）第16项
5.已知231+=a ，2
31-=b 则b a ,的等差中项为（ ） A.3 B.2 C.3
1 D.21 6.2000是等差数列4，6，8…的（ ）
A 第998项
B 第999项
C 第1001项
D 第1000项
二、填空
7.在等差数列{}n a 中，已知21=a ，1332=+a a ，
则=++654a a a
8.若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为
9.等差数列{a n }中，a 15=33,a 45=153,则217是这个数
列的第__________项
10.等差数列-3，1， 5…的第15项的值为
(2)已知2,21,31===d a a n ,求n
(3)已知27,1261==a a 求d
(4)已知8,317=-=a d 求1a
12.等差数列{}n a 中，25
11=a ,0>d ,且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是。