中考数学全景透视一轮复习学案：点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系
初三数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系》教案设计
A
A
c
b
b
B
a
CC
c
a
BB
A D
O
F
EC
（1）
（2）
图（1）中，设 a ，b ，c 分别为 ABC 中 A，B ，C 的对边，面积为 S
则内切圆半径（1） r s ，其中 p 1 a b c ；
p
2
图（2）中， C 90 ，则 r 1 a b c
2
重、难点
重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目． 难点与关键：由点和圆的位置关系迁移到运动直线，导出直线和圆的位置关系的三个对应等价． 易错点：圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间
d r 直线 l 与⊙O 相切
直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线．
d r 直线 l 与⊙O 相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系
相交
公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点名称
2 d r 交点
直线名称
割线
相切
1 d r 切点 切线
相离
的圆有无数个． ⑵经过两点 A、B 的圆：以线段 AB 中垂线上任意一点 O 作为圆心，以 OA 的长为半径，即可作出过点 A、B 的圆，这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点 A、B、C 共线时，过三点的圆不存在；若 A、B、C 三点不共线时，圆心是线 段 AB 与 BC 的中垂线的交点，而这个交点 O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
二、直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，则直线和圆的位置关系如下表：
点、直线、圆和圆的位置关系复习课教案
点、直线、圆和圆的位置关系复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解点、直线、圆的基本概念及其性质；（2）掌握点与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系及判定方法。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固点、直线、圆的基本性质；（2）运用位置关系判定方法，解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）激发学生对几何学科的兴趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）点、直线、圆的基本性质；（2）点与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系及判定方法。
2. 教学难点：（1）点与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系的判定；（2）运用位置关系解决实际问题。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾点、直线、圆的基本概念及其性质；（2）引导学生通过图形直观理解点与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系。
2. 知识梳理：（1）点与直线的位置关系：点在直线上、点在直线外；（2）直线与圆的位置关系：直线与圆相切、直线与圆相交、直线与圆相离；（3）圆与圆的位置关系：圆与圆相切、圆与圆相交、圆与圆相离。
3. 典例分析：（1）分析点与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系；（2）运用位置关系解决实际问题。
四、课堂练习1. 判断题：（1）点A在直线BC上。
（对/错）（2）直线AB与圆O相切。
（对/错）（3）圆O1与圆O2相交。
（对/错）2. 选择题：（1）点P在直线AB上，点Q在直线CD上，则点P与点Q的位置关系是（A. 相交B. 平行C. 异面D. 无法确定）。
（2）直线EF与圆O相交，则直线EF与圆O的位置关系是（A. 相切B. 相离C. 相交D. 平行）。
五、课后作业1. 请总结点、直线、圆的基本性质及其位置关系；（1）已知点A在直线BC上，点D在直线BC外，求证：直线AD与直线BC 的位置关系；（2）已知圆O的半径为r，点P在圆O上，求证：点P到圆心O的距离等于r。
六、教学拓展1. 利用多媒体展示点、直线、圆在实际生活中的应用，如交通导航、建筑设计等；2. 探讨点、直线、圆的位置关系在其他学科领域的应用，如物理学、计算机科学等。
中考数学一轮复习考点28 点和圆、直线和圆的位置关系(解析版)
考点28〖点和圆、直线和圆的位置关系〗【命题趋势】近三年来点和圆、直线和圆的位置关系主要考查：切线的性质和判定。
在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。
常命中档题。
【考查题型】选择题、填空题、解答题【常考知识】切线的性质和判定。
在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。
【夺分技巧】1、判断直线与圆相切时：（1）直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；（2）直线与圆的公共点未知时，过圆心作2直线的垂线，证垂线段等于半径。
2、利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决。
3直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a、b是直角三角形ABC的两条直角边，c为斜边，则:(1)直角三角形的外接圆半径R=C2;(2) 直角三角形的内切圆半径r=a+b−c2.【易错点】圆心与直线的距离不一定是圆心到直线的距离。
一、选择题1.（2020·山东·中考真卷）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60∘，CD＝2，BD＝4．则△DBC 的面积是（）A.4√3B.2√3C.2D.4【答案】B【考点】三角形的内切圆与内心，角平分线的性质【解析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A＝60∘，得∠BDC＝120∘，则∠BDH＝60∘，由BD＝4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】过点B作BH⊥CD于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60∘，∴∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180∘−∠A)，∴∠BDC＝90∘+12∠A＝90∘+12×60∘＝120∘，则∠BDH＝60∘，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2√3，∵CD＝2，∴△DBC的面积=12CD⋅BH=12×2×2√3=2√3，2.（2020·辽宁·中考真卷）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A.30∘B.25∘C.15∘D.10∘【答案】A【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理【解析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【解答】连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60∘，∴∠A＝30∘，3.（2020·湖北·中考真卷）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为ℎ、r、R，则下列结论不正确的是（）A.ℎ＝R+rB.R＝2rC.r=√34a D.R=√33a【答案】C【考点】三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质【解析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30∘角所对的直角边是斜边的一半得：R＝2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．【解答】如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝ℎ，∴ℎ＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC=12∠BAC=12×60∘＝30∘，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE=12AC=12a，∴(12a)2+r2＝(2r)2，(12a)2+(12R)2＝R2，∴r=√3a6，R=√33a，故C错误，D正确；4.（2020·重庆·中考真卷）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=20∘，则∠AOB的度数为()A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘【答案】D【考点】切线的性质【解析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠OAB=90∘.∵∠B=20∘，∴∠AOB=90∘−20∘=70∘.5.（2020·四川·中考真卷）如图，△ABC内接于圆，∠ACB=90∘，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P= 28∘．则∠CAB=（）A.62∘B.31∘C.28∘D.26∘【答案】B【考点】切线的性质，圆周角定理【解析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90∘，则利用互余计算出∠POC＝62∘，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．【解答】解：连接OC，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90∘，∴∠POC=90∘−∠P=90∘−28∘=62∘.∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠POC=∠A+∠OCA，×62∘=31∘．∴∠A=126.（2020·青海·中考真卷）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60∘，则AB＝（）A.√3B.2C.2√3D.3【答案】B【考点】切线的性质，切线长定理∠APB＝30∘，再利用垂径定理得OP⊥AB且AD＝BD，【解析】先根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝12然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算AD的长．【解答】如图，连接OP交AB于D，∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∠APB＝60∘，∠APB＝30∘，OP⊥AB且AD＝BD，∴∠APO＝∠BPO＝12AP．∴AD＝12∴AB＝2AD＝AP＝2．7.（2020·内蒙古·中考真卷）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72∘，则∠C＝（）A.108∘B.72∘C.54∘D.36∘【答案】C【考点】切线的性质，圆周角定理【解析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO＝90∘，∠PBO＝90∘，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．【解答】连接OA、OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝90∘，∠PBO＝90∘，∴∠AOB＝360∘−∠PAO−∠PBO−∠P＝360∘−90∘−90∘−72∘＝108∘，∠AOB＝54∘，由圆周角定理得，∠C=128.（2020·湖南·中考真卷）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】切线的性质，三角形的外接圆与外心【解析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90∘，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．二、填空题9.（2020·辽宁·中考真卷）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30∘，AC＝6，则AĈ的长为________．【答案】2π【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算【解析】连接OC ，OA ．证明△AOC 是等边三角形即可解决问题．【解答】连接OC ，OA ．∵ ∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30∘，∴ ∠AOC ＝60∘，∵ OA ＝OC ，∴ △AOC 是等边三角形，∴ OA ＝OC ＝AC ＝6，∴ AC ̂的长=60⋅π⋅6180=2π， 10.（2020·四川·中考真卷）如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，∠BAC ＝60∘，则OD ＝________．【答案】1【考点】勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆与外心【解析】连接OB 和OC ，根据圆周角定理得出∠BOC 的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD 的度数，结合直角三角形的性质可得OD ．【解答】连接OB 和OC ，∵ △ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠BAC ＝60∘，∴ ∠BOC ＝120∘，OB ＝OC ＝2，∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD＝60∘，∴∠OBD＝30∘，OB＝1，∴OD=1211.（2020·贵州·中考真卷）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB 上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是________度．【答案】120【考点】圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质【解析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120∘，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30∘，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120∘，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30∘，∵∠CAB＝60∘，∴∠OAD＝30∘，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≅△OBE(SAS)，∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝120∘，12.（2020·黑龙江·中考真卷）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40∘，则∠ACB＝________∘．【答案】50【考点】三角形的外接圆与外心【解析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90∘，∴∠D＝90∘−∠BAD＝90∘−40∘＝50∘，∴∠ACB＝∠D＝50∘．13.（2020·青海·中考真卷）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=________．【答案】1【考点】三角形的内切圆与内心【解析】在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3−r，BE ＝BD＝4−r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．【解答】解：在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，根据勾股定理，得AB=5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C=90∘，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE=CF，∴矩形EOFC是正方形，∴设CE=CF=r，∴AF=AD=AC−FC=3−r，BE=BD=BC−CE=4−r，∵AD+BD=AB，∴3−r+4−r=5，解得r=1．则△ABC的内切圆半径r=1．14.（2020·浙江·中考真卷）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55∘，则∠C的度数为________．【答案】55∘【考点】圆周角定理，切线的性质，余角和补角【解析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90∘，由切线的性质可得∠ADC＝90∘，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55∘．【解答】解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90∘，∴∠ADE+∠DAE=90∘.∵⊙O与BC相切，∴∠ADC=90∘，∴∠C+∠DAE=90∘，∴∠C=∠ADE.∵∠ADE=55∘，∴∠C=55∘．15.（2019·内蒙古·中考真卷）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90∘，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．【答案】2√6【考点】切线的性质，圆周角定理【解析】连接CD，由圆周角定理得出∠BCD＝90∘＝∠CAB，证明△ABC∽△CBD，得出ABBC =BCBD，即可得出结果．【解答】连接CD，如图：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90∘＝∠CAB，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC =BCBD，∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，∴BC=√24=2√6；三、解答题16.（2020·浙江·中考真卷）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆与外心，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理【解析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出＝，求出EC即可解决问题．【解答】证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90∘，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，AB＝5，∵OC＝12∴OE＝OC−EC＝5−3.6＝1.4．17.（2020·内蒙古·中考真卷）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E，EG // BC，连接AE交BC于点D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE＝3，DF＝2，求AF的长．【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质【解析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE＝EF，得到BE的长，再证明△EBD∽△EAB得BEEA =DEBE，求出AE，从而得到AF．【解答】连接OE．∵直线l与⊙O相切于E，∴OE⊥l，∵l // BC，∴OE⊥BC，∴BÊ=CÊ，∴∠BAE＝∠CAE．∴AE平分∠BAC；如图，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠5，∴∠4＝∠5，∵BF平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF，∴EB＝EF，∵DE＝3，DF＝2，∴BE＝EF＝DE+DF＝5，∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，∴△EBD∽△EAB，∴BEEA =DEBE，即5EA=35，∴AE=253，∴AF＝AE−EF=253−5=103．18.（2020·辽宁·中考真卷）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC，CN于D，M两点．(1)求证：MD=MC；(2)若⊙O的半径为5，AC=4√5，求MC的长．【考点】等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质，勾股定理【解析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：(1)连接OC.∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90∘.∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90∘.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；(2)由题意可知AB=5×2=10，AC=4√5.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴BC=√102−(4√5)2=2√5.∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∼△ACB，∴ODCB =AOAC，即2√5=4√5，可得：OD=2.5.设MC=MD=x.在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．19.（2020·贵州·中考真卷）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD=∠ABD．(1)求证：AD=CD；(2)若AB=4，BF=5，求sin∠BDC的值．【考点】圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形【解析】(1)根据圆周角定理得∠ABD =∠ACD ，进而得∠ACD =∠CAD ，便可由等腰三角形判定定理得AD =CD ；(2)证明△ADF ≅△ADE ，得AE =AF ，DE =DF ，由勾股定理求得AF ，由三角形面积公式求得AD ，进而求得DE ，BE ，再证明△BEC ∽△AED ，得BC ，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】(1)证明：∵ ∠CAD =∠ABD ，又∵ ∠ABD =∠ACD ，∴ ∠ACD =∠CAD ，∴ AD =CD .(2)解：∵ AF 是⊙O 的切线，∴ ∠FAB =90∘，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB =∠ADB =∠ADF =90∘，∴ ∠ABD +∠BAD =∠BAD +∠FAD =90∘，∴ ∠ABD =∠FAD ，∵ ∠ABD =∠CAD ，∴ ∠FAD =∠EAD ，∵ AD =AD ，∴ △ADF ≅△ADE(ASA)，∴ AF =AE ，DF =DE ，在Rt △ABF 中，∵ AB =4，BF =5，∴ AF =√BF 2−AB 2=3，∴ AE =AF =3，∵ S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD ， ∴ AD = AB ⋅ AF BF = 4 × 35 = 125， ∴ DE = √AE 2 − AD 2 = √32 − (125)2 = 95， ∴ BE =BF −2DE = 75， ∵ ∠AED =∠BEC ，∠ADE =∠BCE =90∘，∴ △BEC ∽△AED ，∴ BE AE = BC AD ，∴ BC = BE ⋅ AD AE = 2825， ∴ 在Rt △ABC 中，sin∠BAC =BC AB =725，∵ ∠BDC =∠BAC ，∴ sin∠BDC =725．20.（2020·贵州·中考真卷） 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线AD 交BC ̂于点D ，过点D作DE // BC交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF=1，BF=2，求BD的长度．【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定，圆周角定理，切线的判定，角平分线的性质，平行线的判定【解析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD // AE，由DE // BC得∠E＝90∘，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90∘，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90∘，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解答】(1)证明：连结OD，如图：∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO.∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠OAD，∴∠ADO=∠DAE，∴OD // AE.∵DE // BC，∴∠E=∠ACB=90∘，∴∠ODE=180∘−∠E=90∘，∴DE是⊙O的切线.(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘.∵OF=1，BF=2，∴OB=3，∴AF=4，BA=6．∵DF⊥AB，∴∠DFB=90∘，∴∠ADB=∠DFB.又∵∠DBF=∠ABD，∴△DBF∼△ABD，∴BDBA =BFBD，∴BD2=BF⋅BA=2×6=12．∴BD=2√3．。
中考数学一轮复习 第28课时 与圆有关的位置关系教学案
课题：第28课时与圆有关的位置关系教学目标：教学时间：1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系。
2、掌握直线和圆的三种位置以及位置关系的判定和性质。
3、通过点与圆、直线与圆位置关系的学习，培养综合运用圆有关方面知识的能力．教学重难点：1、重点：掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定2、难点：如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r，并加以比较直线和圆的三种位置关系。
教学方法：教学过程：（一）【复习指导】1. 点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.2. 直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③ .对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.3. 切线的性质：圆的切线，过切点的半径；判定：经过的一端，并且这条的直线是圆的切线.4. 从圆外一点可以向圆引条切线，相等.5. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的 .6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . （二） 【预习练习】中考指要第 106页的基础演练。
预习检查中对错的较多的问题进行讲解1.⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 相切 C ． 相离 D ． 无法确定2. 已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线AB 的距离是3，则直线AB 与⊙O 的位置关系是 .3.如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN =70°，则A ∠= ．4.如图，正方形ABCD 中，半圆O 以正方形ABCD 的边BC 为直径，AF 切半圆O 于点F ，AF 的延长线交CD 于点E ，则DE ：CE = 。
5如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°（三） 【新知探究】 例1.见中考指要 例2.见中考指要FE OCDOA F EODA例3：（2006·孝感）如图，以Rt△ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连DE .⑴请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当AD ：DB=9：16时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径R .例4：如图，AB 为O 的直径，PQ 切O 于T ，AC PQ ⊥于C ，交O 于D ．（1）求证：AT 平分BAC ∠；（5分） （2）若2AD =，3TC =，求O 的半径．（5分）（四） 【变式拓展】例5：(2010·孝感)如图1，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 在BC ⌒上运动(不与点B 、C 重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ，连接AD 、CD ． (1)在图1中，当AD ＝210时，求AE 的长．(2)如图2，当点D 为BC ⌒的中点时：①DE 与⊙O 的位置关系是 ； ②求△ACD 的内切圆半径r ．AB D O（五）【总结提升】（六）【当堂反馈】见中考指要（七）【课后作业】见中考直通车（八）【教学反思】。
点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)
点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）第一章：复习导入1.1 复习点、直线、圆的基本概念1.2 复习点与直线的位置关系：点在直线上、点在直线外1.3 复习直线与圆的位置关系：直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离第二章：点的几何性质2.1 点到直线的距离公式2.2 点到圆心的距离与圆的位置关系2.3 点在圆上、圆内、圆外的判定第三章：直线与圆的位置关系3.1 直线与圆相交的条件3.2 直线与圆相切的条件3.3 直线与圆相离的条件第四章：圆的方程与性质4.1 圆的标准方程4.2 圆的半径、直径与弦的关系4.3 圆心到直线的距离与圆的位置关系第五章：点、直线与圆的综合应用5.1 点在圆上、圆内、圆外的判定与应用5.2 直线与圆相交、相切、相离的应用5.3 点、直线与圆的位置关系的实际例子分析第六章：复习与巩固6.1 复习点、直线、圆的基本概念及性质6.2 复习点与直线、直线与圆的位置关系6.3 解答学生疑问，巩固知识点第七章：中考题型分析7.1 点在圆上、圆内、圆外的判定题型7.2 直线与圆相交、相切、相离的题型7.3 点、直线与圆的综合应用题型第八章：中考模拟试题8.1 点、直线与圆的位置关系单项选择题8.2 点、直线与圆的位置关系填空题8.3 点、直线与圆的位置关系解答题第九章：错题解析与反思9.1 分析学生在点、直线与圆的位置关系方面的常见错误9.2 讲解典型错题，引导学生反思9.3 提高学生对点、直线与圆的位置关系的理解和应用能力10.2 鼓励学生在中考复习过程中加强对点、直线与圆的位置关系的学习10.3 展望学生在中考中取得优异成绩的信心第六章：点的几何性质（续）6.1 点到直线的距离公式的应用6.2 点到圆心的距离与圆的位置关系的应用6.3 点在圆上、圆内、圆外的判定与应用的例题解析第七章：直线与圆的位置关系（续）7.1 直线与圆相交的条件在实际问题中的应用7.2 直线与圆相切的条件在几何问题中的应用7.3 直线与圆相离的条件在实际问题中的应用第八章：圆的方程与性质（续）8.1 圆的标准方程在实际问题中的应用8.2 圆的半径、直径与弦的关系在几何问题中的应用8.3 圆心到直线的距离与圆的位置关系在实际问题中的应用第九章：点、直线与圆的综合应用（续）9.1 点在圆上、圆内、圆外的判定与应用的综合例题解析9.2 直线与圆相交、相切、相离的应用的综合例题解析9.3 点、直线与圆的位置关系的实际例子分析与拓展第十章：中考复习策略与建议10.1 中考点、直线与圆的位置关系的复习策略10.2 中考点、直线与圆的位置关系的解题技巧与方法10.3 对学生中考复习点、直线与圆的位置关系的学习建议与展望重点和难点解析第一章：复习导入中的点、直线、圆的基本概念和位置关系的复习，是整个教案的基础部分，对于学生来说是理解和掌握后续内容的前提。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)
点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）第一章：点的圆的位置关系教学目标：1. 理解点与圆的位置关系，掌握点在圆内、圆上和圆外的判断方法。
2. 学会运用点与圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：1. 点在圆内的判断方法：点到圆心的距离小于圆的半径。
2. 点在圆上的判断方法：点到圆心的距离等于圆的半径。
3. 点在圆外的判断方法：点到圆心的距离大于圆的半径。
教学活动：1. 引导学生通过观察图形，判断点与圆的位置关系。
2. 利用实例讲解点在圆内、圆上和圆外的应用。
3. 进行练习，巩固点与圆的位置关系的判断方法。
第二章：直线与圆的位置关系教学目标：1. 理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆相交、相切和相离的判断方法。
2. 学会运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：1. 直线与圆相交的判断方法：圆心到直线的距离小于圆的半径。
2. 直线与圆相切的判断方法：圆心到直线的距离等于圆的半径。
3. 直线与圆相离的判断方法：圆心到直线的距离大于圆的半径。
教学活动：1. 引导学生通过观察图形，判断直线与圆的位置关系。
2. 利用实例讲解直线与圆相交、相切和相离的应用。
3. 进行练习，巩固直线与圆的位置关系的判断方法。
第三章：圆与圆的位置关系教学目标：1. 理解圆与圆的位置关系，掌握圆与圆相交、相切和相离的判断方法。
2. 学会运用圆与圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：1. 圆与圆相交的判断方法：两圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差。
2. 圆与圆相切的判断方法：两圆心距等于两圆半径之和。
3. 圆与圆相离的判断方法：两圆心距大于两圆半径之和。
教学活动：1. 引导学生通过观察图形，判断圆与圆的位置关系。
2. 利用实例讲解圆与圆相交、相切和相离的应用。
3. 进行练习，巩固圆与圆的位置关系的判断方法。
第四章：点、直线与圆的综合应用教学目标：1. 掌握点、直线与圆的综合应用方法，解决实际问题。
2. 学会运用点、直线与圆的位置关系解决几何问题。
初中-数学-中考-一轮复习-点、直线与圆的位置关系学案
第24课时 点、直线与圆的位置关系 德州中考命题说明 中考考题感知与试做切线的性质1．如图,PA 是⊙O 的切线,切点为A,PO 的延长线交⊙O 于点 B.若∠ABP ＝33°,则∠P ＝__24__°.直线与圆的位置关系2．以坐标原点O 为圆心,作半径为2的圆,若直线y ＝－x ＋b 与⊙O 相交,则b 的取值范围是( D )A .0≤b ＜2 2B ．－22≤b ≤2 2C .－23<b<2 3D ．－22＜b ＜2 2三角形的内切圆3.已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB,BC,AC 分别相切于点D,E,F,若EF ︵＝DE ︵,如图1.了解 ①切线的概念；理解 ①直线与圆的三种位置关系；②点与圆的位置关系．掌握 ①判定直线与圆位置关系的方法；熟练掌握 ①切线的性质以及应用；②切线的判定方法，推理分析的方法、步骤.(1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M,如图2,AF ＝2FC ＝4,求AM 的长．解：(1)△ABC 为等腰三角形．证明：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F ,∴∠CFO ＝∠CEO ＝∠BDO ＝∠BEO ＝90°.∵四边形的内角和等于360°,∴∠EOF ＋∠C ＝180°,∠DOE ＋∠B ＝180°.∵EF ︵＝DE ︵,∴∠EOF ＝∠DOE ,∴∠B ＝∠C ,∴AB ＝AC ,∴△ABC 为等腰三角形；(2)∵AB ,BC ,AC 分别切⊙O 于D ,E ,F ,AF ＝2FC ＝4,又∵AB ＝AC ,∴AB ＝AC ＝6,AD ＝AF ＝4,BD ＝BE ＝CE ＝CF ＝2,∴AE ⊥BC.在Rt △ACE 中,AE ＝AC 2－CE 2＝4 2.∵AD AB ＝AF AC ＝46,∠DAF ＝∠BAC ,∴△DAF ∽△ABC ,∠ADF ＝∠B ,∴FD ∥BC ,∴AM AE ＝AD AB ,∴AM ＝AD·AE AB ＝4×426＝823.核心考点解读点与圆的位置关系(设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d )直线与圆的位置关系(设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d)切线的性质与判定1．切线的判定方法：①利用切线的定义,即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③切线判定定理经过半径外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线与圆只有__一__个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．切线长定理3．切线长：切线上一点与__切点__之间的线段长叫做这点到圆的切线长．4．切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长__相等__,圆心与这一点的连线平分两条切线的__夹角__．三角形的外心和内心5．三角形的外心：三角形外接圆的圆心,是三角形__三边垂直平分线__的交点,到三角形__三个顶点__的距离相等．6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心,是三角形__三条角平分线__的交点,到三角形__三边__的距离相等．【方法点拨】(1)判断直线与圆相切,①直线与圆的公共点已知时,连半径,证垂直；②直线与圆的公共点未知时,过圆心作直线的垂线,证垂线段等于半径．(2)利用切线的性质解决问题,通常连过切点的半径,构造直角三角形来解决．(3)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a,b是Rt△ABC的两条直角边,c为斜边,则①直角三角形的外接圆半径R＝c2；②直角三角形的内切圆半径r＝a＋b－c2.1．已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是(C)A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合2．(2018·眉山中考)如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P＝36°,则∠B等于(A)A．27°B．32°C．36°D．54°(第2题图)(第3题图) 3．(2018·安徽中考)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE＝__60°__．4．(2018·湖州中考)如图,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC ＝40°,则∠BOD的度数是__70°__．(第4题图)(第5题图)5.(2015·贵港中考)如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2,OP＝4,则线段OM的最小值是(B)A．0 B．1 C．2 D．36．(2018·玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan B＝12,⊙O的半径是4,求EC的长．(1)证明：∵AB是直径,∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°, ∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB是直径, ∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB,可设EC＝EB＝x.在Rt△ABC中,tan B＝ACAB＝12,AB＝8,∴AC＝4.在Rt△AEC中,∵EC2＝AE2＋AC2, ∴x2＝(8－x)2＋42,解得x＝5,∴EC＝5.。
高考数学一轮复习 专题 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 新人教版
直线与圆、圆与圆的位置关系一、考纲要求直线与圆、圆与圆的位置关系B二、复习目标1．掌握直线与圆的关系，即相交、相切、相离，并能够利用直线和直线垂直的充要条件和点到直线的距离公式解决圆的切线和弦长等有关问题．2．能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系，并能根据两圆的位置关系解决有关问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．三、重点难点直线与圆相交的弦长问题，直线与圆相切问题． 根据两个圆的方程判定两圆的位置关系．四、要点梳理(一) 直线与圆的位置关系1．位置关系有： 、 、 ．2．判断方法：(1)代数法：方程组2220()()Ax By C x a y b r ++=⎧⎨-+-=⎩有两组不同的实数解⇔直线与圆 ；有两组相同的实数解⇔直线与圆 ；无实数解⇔直线与圆 ．(一般不用此法) (2)几何法：圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，满足：_______⇔直线与圆相离；_______⇔直线与圆相切；_______⇔直线与圆相交。
说明：解决直线与圆的关系问题时，一般用几何法不用代数法，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).(二) 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有： 、 、 、 、 ．2．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：（1）代数法：方程组⎩⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 有两组不同的实数解⇔两圆 ； 有两组相同的实数解⇔两圆 ；无实数解⇔两圆 ．(一般不用此法)（2）几何法：设两圆圆心分别为1O ，2O 半径分别为12,r r ，12O O d =，则⇔+>21r r d 两圆 ⇔__条公切线；⇔+=21r r d 两圆 ⇔___条公切线；2121r r d r r +<<-⇔两圆______⇔____条公切线；⇔≠-=)(2121r r r r d 两圆 ⇔____条公切线；⇔≠-<≤)(02121r r r r d 两圆 ⇔无公切线（0=d 时为同心圆）． 五、基础自测1．已知圆22:4O x y +=，则过点(2,4)P 与圆O 相切的切线方程为 ．2．若过点(4,0)A 的直线l 与圆22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________________.3．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有____个.4．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是___________.5．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________________ .6．设集合{}{}2222(,)()(1)1,(,)(1)()9A x y x a y B x y x y a =-++==-+-=，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为___________________.六、典例精讲例1．在平面直角坐标系xoy 中，直线:(4)1l y k x =-+与圆 22:(1)25C x y ++=的位置关系为 ．变式1：若直线l 被圆 C 所截的弦长为6，则k = ．变式2：过点(4,1)的直线被圆 C 所截的弦长为6，则直线的方程为 ．变式3：直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？变式4：若直线l 被圆C 所截的弦长为整数，这样的直线有 条；变式5：直线l 与圆C 交于,E G 两点，直线1l ：(1)40x k y +--=与圆C 交于,F H 两点则四边形EFGH 的面积最大值为 ．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．变式1：在平面直角坐标系xOy 中，(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上，过A 点向动圆C 引切线,AP AQ ，,P Q 为切点，求AP AQ ⋅ 的最小值．变式2：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在一点M ，使得223MA MO -=，求圆心C 的横坐标的取值范围．变式3：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，若过A 任作两条互相垂直的直线12,l l ，使其总与半径为1，圆心在直线l 上的两个定圆1C 与2C 相交，且12,l l 分别被圆12,C C 截得的弦长相等，求圆1C 与2C 的方程．例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -4=．（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程：（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式1：已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -1=．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们 分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线1l 被圆C 1截得的弦长与直线2l 被圆C 2截得的弦长之比为2:1，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式2：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -4=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ,满足PA PB =（1）求,a b 满足的关系式；（2）求PA 的最小值．变式3：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -1=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ，满足2PA PB =，求12PC C ∆的面积的最大值．直线与圆、圆与圆的位置关系课后练习1．已知点),(b a P 在圆222r y x =+的外部，则直线2r by ax =+与圆222r y x =+的位置关系是___________．2．已知圆01010:221=--+y x y x C 和04026:222=-+++y x y x C 相交于A B 、两点，则公共弦AB 的长度为___________．3．过原点且与直线1=x 及圆1)2()1(22=-+-y x 相切的圆的方程为_____________．4．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为_______________________．5．若圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈圆恰有三条切线，则a b +的最大值为_____________．6．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为___________________．7．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．其中真命题的代号是______________．（写出所有真命题的代号）8． (1)已知)4,3(A ，求圆422=+y x 上的点与点A 的最大距离和最小距离；(2)已知圆1)4()3(:22=-+-y x C ，点)1,0(-A ，)1,0(B ，设P 是圆C 上的动点，令22PB PA d +=，求d 的最大值与最小值；(3)已知点),(y x P 是圆4)3()3(22=-+-y x 上任意一点，求点P 到直线062=++y x 的最大距离与最小距离．9．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x轴及直线y 分别切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x轴及直线y =分别切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．10．已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.。
2025年高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】
第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即 的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。
初三数学一轮复习教案 第25课 与圆有关的位置关系定稿
初三数学一轮复习教案第25课与圆有关的位置关系教学目标：了解点与圆，直线与圆，圆与圆位置关系，三角形的内心与外心，切线的概念。
理解切线的性质与判定定理，切线长定理，掌握运用相切两圆，相交两圆的性质进行几何计算和论证。
教学重点：理解切线的性质与判定定理，切线长定理，掌握运用相切两圆，相交两圆的性质进行几何计算和论证。
教学设计一、预习作业1、见中考总复习86页知识梳理2、练习（1）如图，P A、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o的直径，若∠P=46∘，则=______.∠BAC（2）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °。
（3）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（）A、2或4B、6或8C、2或8D、4或6（4）已知圆的直径为13 cm，圆心到直线l的距离为6 cm，那么直线l和这个圆的公共点有个.（5）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是．（6） 如图24-196所示，DB 切O 于点A ，66,AOM ∠=︒则DAM ∠ 度.（7）如图24-197所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果46,32,E DCF ∠=︒∠=︒那么A ∠的度数是 .（8）如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A=26°，则∠ACB 的度数为 ．（9）已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点0到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定（10）（2011江苏扬州，4，3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（ ）A.2B. 3C. 6D. 11二、展示探究：例1 （1） P 为不在圆上的任意一点，若P 到O 的最小距离为3，最大距离为9，则O 的直径长为 （ ）A.6B.12C.6或12D.3或6（2）BC 为O 的弦，130,BOC ABC ∠=︒ 为O 的内接三角形，求A ∠的度数.（3）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m例2 如图24-103所示，C 是直径为AB 的半圆O 上一点，D 为 BC的中点，过D 作AC 的垂线，垂足 为E ，求证DE 是半径圆的切线.例3 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。
与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]
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与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]第一篇：与圆有关的位置关系复习课教案课题：与圆有关的位置关系复习课教案教学目标：1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。
2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。
3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。
重点和难点：1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。
2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。
教学过程：一、导入：1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。
欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。
2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。
二、讲解：1、回忆、巩固以前学习的知识。
（以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。
)2、例题解析：例题一：已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.解析：点P可能的位置有几种？作出正确的图形，通过图形解决这个问题。
（限时4分钟，解决这个问题。
完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。
）例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A 与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
解析：通过直径，求出半径；作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。
（限时3分钟）演示解题过程，引导同学们纠正失误。
例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。
中考数学全景透视一轮复习学案点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系
有_________个．
3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）
A．相离B．相交C．内切D．外切
4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，
则∠BAC等于（）
（二）：【课前练习】
1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：
⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；
⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；
⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）
教学重点
能运用点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系解决有关问题
教学难点
能够运用圆有关知识进行综合应用.
教学媒体
学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外 d＞r．点在圆上 d=r．点在圆内 d＜r．
求⊙O的半径．
8.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，
且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4 ，求 的长
9.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．
⑤两圆内含 d＜R—r（R＞r）有0条公切线．
（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）
中考备考一轮复习导学案第23章直线圆与圆的位置关系
第23课直线、圆与圆的位置关系【课标要求】1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：（1）直线和圆有唯一公共点；(2)d=R；(3)切线的判定定理 (应用判定定理是满足一是过半径外端，二是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线）3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）圆心到切线距离等于半径；（3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；(6)切线长定理；(7) 弦切角定理及其推论。
4，掌握三角形外切圆及圆外切四边形的性质及应用；5．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;6．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r间的关系; 7．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;【知识要点】1. 点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.2. 直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.3. 圆与圆的位置关系共有五种：①，②，③，④，⑤；两圆的圆心距d和两圆半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.4. 圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆可以引条切线，相等，相等.6. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的 .【典型例题】【例1】如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交B C于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线。
九年级中考数学专项复习教学案：第37课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
例2.如图1，⊙O内切于，切点分别为．，，连结，
则等于（ ）
A．B．C．D．
例3.如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（）
A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个
例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（ ）A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm或7cm
例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为
例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足___ ___时，两圆相交；
当d满足______时，两圆不外离．
例7．⊙O半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O的位置关系是____
例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_．
例9.如图，⊙M与轴相交于点，，与轴切于点，则圆心的坐标是
例10.如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=，求DB的长．
【当堂检测】
1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）
A．相离B．外切C．内切D．相交
2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（）
A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对
3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（）A. ___B. ___C. __D.
中考数学总复习 第20讲 点与圆、直线与圆的位置关系(基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难
第20讲 点与圆、直线与圆的位置关系考纲要求备考指津1.了解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系．2.了解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系．3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质．4.掌握三角形内切圆的性质.直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等结合在一起综合考查．考点一 点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么点在圆外d ＞r ；点在圆上d ＝r ；点在圆内d ＜r . 3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．考点二 直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．2．概念：(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r ，直线l 到圆心的距离为d ，那么直线l 和⊙O 相交d ＜r ；直线l 和⊙O 相切d ＝r ；直线l 和⊙O 相离d ＞r .考点三 切线的判定和性质1．切线的判定方法：(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． 2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 考点四 三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心． 2．三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．1．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.下列说法中不正确．．．的是( )． A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )． A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定3．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为____．4．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，延长OB到D使BD＝OB．(1)△OBC是否是等边三角形？说明理由．(2)求证：DC是⊙O的切线．一、直线与圆的位置关系【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交解析：过点C作CD⊥AB于D．∵∠B＝30°，BC＝4 cm，∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B．答案：B判断某直线与圆的位置关系，关键是计算圆心到该直线的距离并与圆的半径进行比较．二、切线的性质与判定【例2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC，AD，BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)解：(1)BC所在直线与小圆相切．理由如下：如图，过圆心O作OE⊥BC，垂足为E，∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC．又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA．∴BC所在直线是小圆的切线．(2)AC＋AD＝BC．理由如下：如图，连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE＝CA．∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA＝OE，OD＝OB，∠OAD＝∠OEB＝90°，∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)．∴EB＝AD．∵BC＝CE＋EB，∴BC＝AC＋AD．(3)∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD，∴AD＝BC－AC＝4.∵圆环的面积S＝πOD2－πOA2＝π(OD2－OA2)，又∵OD2－OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π(cm2)．1．切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC 于点D，连接BD．(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．三、三角形的内切圆【例3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.则△ABC的内切圆半径r＝__________.解析：在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∵S △ACB ＝12AC ·BC ＝12×6×8＝24，∴r ＝2S a ＋b ＋c ＝486＋8＋10＝2.答案：2三角形的内切圆半径r=2Sa ＋b ＋c，其中S 是三角形面积a ，b ，c 是三角形三边长．1．(2011山东枣庄)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA ＝23，∠APO ＝30°，则⊙O 的半径为( )．A ．1B ． 3C ．2D ．42．(2012山东菏泽)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P ＝46°，则∠BAC ＝__________.3．(2011江苏宿迁)如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为__________．4．(2011山东济宁)如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．5．(2012山东临沂)如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B ＝60°，AC ＝3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC ．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求PD的长．1．在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，3为半径的圆一定( )．A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交2．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )．A．15° B．20°C．25° D．30°3．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为( )．A．2R B．3R C．R D．3 2 R4．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为(0,8)，则圆心M的坐标为( )．A．(4,5) B．(－5,4) C．(－4,6) D．(－4,5) 5．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm.6．如图，AC是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点C，AB交⊙O于点D．已知∠B＝51°，则∠DOC等于________度．7．如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA ＝40°，则∠ADC＝__________.8．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB 上一点，⊙O过A，E两点，交AD于点G，交AB于点F.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)当∠BAC＝120°时，求∠EFG的度数．参考答案基础自主导学自主测试1．A 2.A 3.2 34．解：(1)△OBC是等边三角形．理由：∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠BOC＝2∠A＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形．(2)证明：∵△OBC是等边三角形，且OB＝BD，∴OB＝BD＝BC.∴△OCD为直角三角形，∠OCD＝90°.又∵点C在圆O上，∴DC是⊙O 的切线．规律方法探究变式训练解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5.在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝∠ABC＝90°，∠DAB＝∠BAC.∴Rt△ADB∽Rt△ABC.∴ADBD＝ABBC，即34＝5BC.∴BC＝203.(2)证明：如图，连接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.在Rt△BDC中，点E为斜边BC的中点，∴EB=ED.∴∠EBD=∠EDB.∴∠OBD+∠EBD=∠ODB+∠EDB=90°.∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径．∴ED与⊙O相切．知能优化训练中考回顾1．C 2.23° 3.32° 4.相交5．(1)证明：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线．(2)解：连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°.∴AD＝AC·tan 30°＝3×33＝ 3.∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，∴∠P＝∠PAD，∴PD＝AD＝ 3.模拟预测1．C 2.B 3.C 4．D5. 36.787.25° 8．2 39．解：(1)证明：连接OE，∵AB＝AC且D是BC中点，∴AD⊥BC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∴∠OEA＝∠DAE.∴OE∥AD.∴OE⊥BC.∴BC是⊙O的切线．(2)∵AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°.∴∠EOB＝60°.∴∠EAO＝∠EAG＝30°.∴∠EFG＝30°.。
九年级中考一轮复习导学案：31课时直线与圆的位置关系
九年级中考一轮复习导学案：31课时直线与圆的位置关系一、基础知识梳理（一）直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的数量关系无公共点直线与圆相离有一个公共点直线与圆相切有两个公共点直线与圆相交（二）圆的切线定理1、性质定理：圆的切线过切点的半径。
圆中遇切线时常用辅助线作法：见切点，连圆心，得垂直。
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过；推论2：过切点垂直于切线的直线必过。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知二推一。
2、判定定理：的直线是切线。
（两个条件缺一不可）切线的判定方法及辅助线作法：①当知道直线和圆的公共点时，“连半径，证垂直”-----用判定定理证明。
②当不确定直线与圆有无公共点时，“作垂直，证半径”-----用圆心到直线的距离d=r来判定相切。
（三）切线长定理1、切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角。
（四）三角形的内切圆1、 定义：和三角形各边都的圆。
内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。
2、三角形的内心是三角形的交点，它到______的距离相等.三角形的内心都在三角形的部.二、基础诊断题1、如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，∠B= 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）．A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交2、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）A 、B 、、 D 、题 5题3、（2014是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=25 ）A.20° B ． 25° C ． 40° D ． 50°4、正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A ．2B ．3C ．D ． 5、如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ )A.点（0，3）B. 点（2，3）C.点（5，1）D. 点（6，1）6、（2014•威海）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是△BEF 的外接圆．B2题（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．三、典型例题例1、（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．例2、（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．四、达标检测题（一）基础巩固题1、（2014•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是_________°．1题 2题2、(2014•淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（）A． 4 B． 2 C．D． 63、（2014•枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB 于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．4、（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．5、（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O 与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．6、(2014•菏泽)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD ∥BC 与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，求cos∠ABC的值．（二）能力提升题1、（2014年山东泰安）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A. 4个B．3个C．2个 D．1个1题2题2、（2014•日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P 的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．3、（2014•德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．4、 (2014•东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD．（1）求证：FD是⊙O的一条切线；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．5、（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．6、（2014•日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC 是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2．在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以，即PC=PA•PB．问题拓展：（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；综合应用：（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：．五、课后反馈1、已知⊙和⊙的半径是一元二次方程的两根，若圆心距=5，则⊙和⊙的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．3、如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第_______秒.4、如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．5、已知：如图②，AB是⊙O的直径．CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．6、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．7、如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD所在直线的函数表达式．⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？。
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（2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．
四：【课后小结】
布置作业
地纲
教后记
求⊙O的半径．
8.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，
且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4，求 的长
9.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．
（二）：【课前练习】
1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：
⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；
⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；
⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）
A． B．2 C．3 D．4
3.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半
径cm．
4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）
A．d＞8 B．0＜d≤2
C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8
5.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．
2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共
有_________个．
3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）
A．相离B．相交C．内切D．外切
4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，
则∠BAC等于（）
教学重点
能运用点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系解决有关问题
教学难点
能够运用圆有关知识进行综合应用.
教学媒体
学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外 d＞r．点在圆上 d=r．点在圆内 d＜r．
A．35○B．25○C．50○D．65○
5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面
积为9π，求AB的长．
7.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，
章节
第八章
课题
点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系
课型
复习课
教法
讲练结合
教学目标（知识、能力、教育）
1.了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．并能运用有关结论解决有关问题.
2.了解切线概念，掌握切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
3.能够运用圆有关知识进行综合应用.
2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交 d＜r，直线与圆相切 d=r，直线与圆相离 d＞r
3.圆与圆的位置关系
(1)同一平面内两圆的位置关系：
①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．
②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.
③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．
2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）
A．内含B．外离C．内切D．相交
4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，
OA=3，则cos∠APO的值为（）
④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．
(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
①两圆外离 d＞R+r；有4条公切线；
②两圆外切 d=R＋r；有3条公切线；
③两圆相交 R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；
④两圆内切 d=R－r（R＞r）有1条公切线；
二：【经典考题剖析】
1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：
①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）
A．0个B．l个C．2个D．3个
5.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，
∠P=40°，则∠BAC度数是（）
A．70°B．40°C．5ຫໍສະໝຸດ °D．20°三：【课后训练】
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.
⑤两圆内含 d＜R—r（R＞r）有0条公切线．
（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）
4.切线的性质和判定
(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．
(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．