方阵问题公式
方阵问题的所有公式
方阵问题的所有公式方阵问题的公式虽然表示复杂而有趣的概念，但它也是数学中最基本的概念之一，在基础数学中比较常见。
正如字面意思一样，方阵是由行和列构成的矩形数组，它以大小来描述。
方阵的每一行和每一列都是完全相同的，每一行和每一列的长度都相同。
例如：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]上面的矩阵是一个3乘3的方阵，它有三行和三列。
方阵问题的公式主要是由方阵的运算属性推导出来的，这些公式可以很容易地到达一些有趣的结论。
其中最基本的公式可以概括为：（1）一个n乘n的方阵A可以表示为A= [a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列上的数。
（2）矩阵A的转置 AT = [a_ji]，其中a_ji表示第j行第i列上的数。
（3）矩阵A的元素和S示为S = a_11 + a_12 + a_13+…+ a_nn （4）矩阵A的平方A^2= AA, A^3= AAA（5）矩阵A的逆A^-1求解可以用分块逆矩阵、克莱默法则和列主元法，其中分块逆矩阵可以用来解决3乘3或更小尺寸的方阵。
（6）矩阵A的行列式A|A，它表示相应的n乘n方阵的特征，也可以用来表示多面体三角形的面积或体积。
（7）矩阵A的伴随矩阵A*= adj(A)，其中adj(A)是矩阵A的代数余子式，即A|A的每一项的乘积。
（8）矩阵A的特征值和特征向量的求解，通过计算矩阵A的行列式A|A，转换为求n次方程的根。
（9）利用矩阵乘法，可以求解线性方程组的解，例如：X + 3Y + 5Z = 132X + Y + 4Z = 164X + 3Y + 8Z = 25解得X=5, Y=3, Z=2.（10）矩阵乘法可以用来求解很多复杂问题，例如求解伯努利矩阵问题（二项伯努利定理）、罗伯特威尔逊矩阵问题（二项罗伯特威尔逊定理）、卡马克矩阵问题等。
以上就是方阵问题的公式，它们使得我们能够更有效地研究方阵，并从中获得许多有趣的结论。
方阵问题的公式受到许多学科的重视，它们能够拓展许多研究领域，推动数学科学的发展。
方阵问题的所有公式
方阵问题的所有公式
方阵问题是有关矩阵数学方面的一类问题，在很多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如信号处理、控制系统、统计分析、密码学等。
因此，对方阵问题的研究对于科学研究和工程应用都非常重要。
方阵问题涉及到多个数学概念，例如矩阵乘法、求逆、秩、特征值等，同时还涉及到各种公式，它们可以帮助我们更加深入和准确地理解方阵问题。
下面将介绍方阵问题的一些常用公式，供大家参考学习。
一、矩阵的乘法
对于两个方阵A、B，其对应乘法公式为：A*B=C，其中C的元素Cij等于A的第i行所有元素与B的第j列所有元素的乘积之和：
c_{ij}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
二、求逆
求n阶方阵A的逆矩阵A-1，其公式为：A-1=1/det(A)adj(A) 其中det(A)表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵，它是关于A的余子式组成的矩阵。
三、秩
定义：n阶方阵A的秩为r，若A有r个线性无关列，则A的秩为r，其公式为：
r=min {m,n}-rank A
其中m、n分别表示矩阵A的行数和列数，rank A表示A的秩，min{m,n}表示m与n的最小值。
四、特征值
定义：n阶方阵A的特征值为Λ，若矩阵A与n维向量x有定义： Ax=lambda x
其中，λ为常数，则λ称为A的特征值，向量x称为A的特征向量，其公式为：
det left[A-lambda I right]=0
其中I为n阶单位矩阵。
以上就是关于方阵问题的一些常用公式，从上述公式可以看出，方阵问题的公式十分复杂，涉及到多个数学概念，因此对于了解和研究方阵问题非常有必要，也是科学研究和工程应用的重要组成部分。
方阵问题公式大全整理
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方阵问题公式大全整理方阵问题公式大全导语：只要学习和把握相应的计算公式就可以特别快速地解题，方阵问题的常用公式有哪些?以下是我收集整理的资料，期望对您有所帮忙。
一、方阵问题的类型方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。
二、方阵问题特点在方阵问题中经常包含了几大特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的'人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人：例1、一个六层空心方阵最内层每边上有6人，则最外层每边有多少人?利用第一大特点可得出最外层：6+5×2=16人(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4例2、一个用花盆围成的方阵的边长是8，问最外层有多少个花盆?第1页/共2页千里之行，始于足下。
直接套用公式：(8-1)×4=28个(3)实心方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数例3、有士兵排成一个方阵，每边边长是20，问总共有多少士兵?利用公式：20×20=400(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4例4、用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵。
求最外面一层每边多少盆?直接套用公式：(x-3)×3×4=204 x=20;通过以上例题可知，方阵问题的五大计算公式分别为：(1)方阵总数=最外层每边数目的平方;(2)方阵最外一层总数比内一层总数多8(行数和列数分别大于2);(3)方阵最外层每边数目=(方阵最外层总数÷4)+1;(4)方阵最外层总数=[最外层每边数目-1]×4;(5)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数目×2-1。
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方阵问题的解题思路
方阵问题的解题思路
方阵问题的解题思路：
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是：
(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有：
10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：
10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有：
4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是：
100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得：
(10-3)×3×4=84(人)。
小学方阵问题基本公式
小学方阵问题基本公式方阵问题基本公式：（1）N排N列的实心方阵人数为N×N人；（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；（6）方阵中：方阵人数＝最外层人数÷4＋12。
方阵问题两大常见思维方法：（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。
【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）A.256人B.250人C.225人D.196人［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（60÷4＋1）2＝256（人）。
【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。
A.600人B.615人C.625人D.640人强华教育公务员考试辅导［答案］C［解一］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（96÷4＋1）2＝625（人）。
［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。
【例3】（广西2022-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）A．441B.400C.361D.386［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（80÷4＋1）2＝441（人）。
【例4】（国家2022一类-44、国家2022二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
方阵问题的所有公式
方阵问题的所有公式方阵问题是一个重要的数学问题，它涉及到多项式，方程，优化算法和抽象代数的研究。
它在研究称为线性代数的科学领域中占有重要地位，广泛应用于建筑，经济，软件开发，生物学，电子学，机械制造，物理学，通信等诸多领域。
它可以用来求解一个或多个未知变量的关系，具有很大的实际意义。
方阵问题的基本概念：方阵是二维的矩阵，其中的每个元素都是对应的一个未知数。
方阵的特点是：其形式为A[m,n]，即m行n列的矩阵。
m行n列的矩阵可以用m个方程组和n个变量来描述，其中每个方程的变量个数不能超过n个。
方阵问题的一般公式：方阵问题的一般公式有三种，分别是高斯消元法，主元分解法和LU分解法。
1.斯消元法：它是对方阵A进行分解的一种常用方法，它将Ax=b 的线性方程组转换为上三角矩阵或下三角矩阵，从而用来解决方阵问题。
要条件是方阵A是正定的或非奇异的。
式如下：A=LU，解决Ax=b，可先求Ly=b，然后求L(Ux)=y，即Ux=y，最后得到x。
2. 主元分解法：它是用于求解线性方程组的一种常用方法，具体步骤如下：步骤1：选择一个主元（主元可以由用户自己选择，也可以由软件自动选择）；步骤2：利用这个主元消去主元后面所有元素；步骤3：重复这个操作，直到消去完所有元素。
3. LU分解法：它是把一个方阵分解为两个对角矩阵的乘积。
以看出，LU分解式是一个矩阵的分解，将原矩阵A分解为L*U，其中L 是下三角阵，而U是上三角阵。
样的分解可以更方便地求解Ax = b 的方程，即Ax = b可以等价为(LU)x = b。
方阵问题的应用：各种数学问题和实际应用中，方阵问题占有重要地位。
一般来说，方阵问题可以用来求解线性方程组，解决优化问题，计算矩阵的特征值，解决多项式求根问题，求解最小二乘问题，研究社会网络，计算矩阵的优化表示和在语音识别方面的应用等等。
总结：方阵问题是一个重要的数学问题，它的的一般公式可以分为高斯消元法、主元分解法和LU分解法。
2020国考行测备考：方阵问题的公式汇总.doc
2020国考行测备考：方阵问题的公式汇总
在国考数量关系中，有这样一种题型叫方阵，方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。
将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。
方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。
基本公式
若正方形公式一边人数为N，长方形方阵两边人数分别为M\N,则
1、长方形实心方阵的总人数MN,正方形实心方阵的总人数N2(平方),
2、最外层=4 (N-1)
3、相邻两层人数相差8(行人数为奇数的最内层除外)
空心方阵除第一天规律不满足，其他规律均满足。
学习完上边方阵的公式，我们可以通过例题加深一下对公式的运用。
【例题1】五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8.如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。
五年级一共有多少人?
A.200
B.236
C.260
D.288
【答案】C.
【参考解析】此题答案为C。
空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2 甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8 8 2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4 4=16人，即多了16 8=2层。
这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为(128+8) 2=68人，丙方阵最外层每边人数为(68+4) 4=18人。
那么，共有18 18-8 8=260人。
方阵问题
方阵问题
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多8 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
1、学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
2、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
3、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
4、一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？
5、小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
6、参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？
7、参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
8、解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
9、学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面，每边插7面。
一共要准备多少面旗子？
10小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？。
公务员考试行测数学运算：方阵问题核心公式
公务员考试：方阵问题核心公式：
(1)方阵总人(物)数＝最外层每边人(物)数的平方；
(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2)；
(3)方阵最外层每边人(物)数＝(方阵最外层总人数÷4)＋1；
(4)方阵最外层总人数＝[最外层每边人(物)数－1]×4；
(5)去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1。
某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？()
A.272
B.256
C.225
D.240
---------------------------------------
本题考查方阵问题。
方阵最外层每边人数为60÷4＋1＝16，所以这个方阵共有162＝256人。
故选B。
参加中学生运动会团体体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一列和一行，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？
A286 B287 C288 D289
----------------------------------------
根据公式5
33=2X-1
X=17
17^2=289
备注：缺空心方阵的题目。
方阵问题
方 阵 问 题总说：中空方阵总人数为总数层数外边外边=⨯-22)2-()(（外边—层数）×层数×4=总数 2层数×4+层数（外边—层数×2）×4=总数这三个公式可以互相转换。
上面的公式由上图可以显见。
如上图中外边有11个圆点共三层，那么空心部分为每边11-3×2=5个小圆点，共计5×5=25个圆点，故圆点总数为112—52=96个。
或把空心方阵分四部分，每个矩形的长度为11-3=8，8×3=24，总共有24×4=96个。
1.将外边24人的实心方阵，改列为三层空心方阵。
问空心方阵外边几人？ 解： 242=576，576÷3÷4=48人2.有士兵8排，每排30人，列成5层中控方阵。
外一排几人？ 解：30×8÷5÷4+5=17人。
3.有兵士若干人列成3层中空方阵余9人，在中空部分增列一层缺7人，问士兵若干？ 解：中空部分增列一层为9+7=16人，中空部分每边为16÷4+1=5人，外边为5+2×3=11人方阵点人数为112－52=96人，士兵共计96+9=105人 4.学生若干排成一排方阵余42人，若纵横各加一列那么缺37人，问学生多少？（上海一中） 解：纵横各增一行，人数要多出42+37=79 人，此人数比原来最外层的人数2倍多1人，所以原来方阵外一层的人数是（79-1）÷2=39人，可知这队兵士有 39×39+42=1563人列式：[（43+37-1）÷2]2+43=1563人5.兵士有1728人排成12层的空心方阵，最外边的人数是多少？ 解：1728÷12÷4+12=48人或者（1728—122 ×4）÷4÷12+12×2=48人6.兵士一排排成实心方阵，后改为长方形方阵计减去12行，每行增加30人问士兵多少？ 解：图 中乙的部分 与甲的部分相等。
三年级下第14讲 阵列问题
第13讲方阵问题一、知识要点学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多84．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1二、例题精选【例1】学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?【巩固1】有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？【例2】参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？【巩固2】一个正方形的队列横竖各减少一排后，共减少27人，求这个正方形队列原来有多少人？【例3】解放军战士排成一个最外层每边20人的中空方阵，共6层，求总人数？【巩固3】一个空心方阵的花坛共有12层花草，其中最内层每边有18盆，这个花坛共有花草多少盆？【例4】一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【巩固4】右图是一个五边形广场，由五个大小相同的等边三角形组成。
如果每条边上从一个顶点到下一个顶点均匀站着5个警卫，问整个广场共有多少个警卫？【例5】小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？【例6】某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。
这个小学四年级的学生一共有多少人？四、回家作业【作业1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为68人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【作业2】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？【作业3】参加军训的共有64名学生，他们排成一个两层的中空方阵。
2020国家公务员考试行测数量关系：方阵问题公式
2020国家公务员考试行测数量关系：方阵问题公式在国考数量关系中，有这样一种题型叫方阵，方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。
将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。
方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。
基本公式若正方形公式一边人数为N，长方形方阵两边人数分别为M\N,则1、长方形实心方阵的总人数MN,正方形实心方阵的总人数N2(平方),2、最外层=4×(N-1)3、相邻两层人数相差8(行人数为奇数的最内层除外)空心方阵除第一天规律不满足，其他规律均满足。
学习完上边方阵的公式，我们可以通过例题加深一下对公式的运用。
【例题1】五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8.如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。
五年级一共有多少人?A.200B.236C.260D.288【答案】C.【参考解析】此题答案为C。
空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。
这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为(128+8)÷2=68人，丙方阵最外层每边人数为(68+4)÷4=18人。
那么，共有18×18-8×8=260人。
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小学数学之方阵问题
小学数学之方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方公式）。
核心公式：1、方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2、方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数/4）+13、方阵外一层总人数比内一层总人数多24、去掉一行、一列总人数比内一层总人数多2例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?A．256人 B．250人 C．225人 D．196人解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
所以，正确答案为A。
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？分析如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1•••••••••••••••••••••••••解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）例3 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：A．1元 B．2元 C．3元 D．4元解析：设当围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时总的硬币枚数为4（X-1），当变成三角形时，则此时的硬币枚数为3（X＋5-1），由此可列方和为4（X-1）=3（X＋5-1）解得X=16 总的硬币枚数为60，则总价值为3元。
7方阵问题
同学们排队做操或士兵列队训练时，横着排叫做行，竖着排叫做列，如果行数与列数相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫做方队，也叫方阵。
1．方阵不论在哪一层，每边上的实物数量相等，相邻两边实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。
2．方阵可分为实心方阵和空心方阵两种，计算公式如下： 四周总点数=（每边点数－1）×4 每边人数 = 四周的总点数÷4＋1实心方阵总人数=每边人数×每边人数 【例题选讲】例1．36人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？例2．参加运动会团体操表演的某小学学生组成一个正方形队列，共有25行，每行25人。
问：若从这个正方形队列中去掉一行一列，减少了多少学生？例3．小明用棋子排成一个实心方阵，后来又用21个棋子排上去使横竖各增加一排，成为一个大一点的实心方阵。
求原来的实心方阵有多少个棋子？例4．一个正方形方队，外层学生共100人，求此方阵总共有多少人？例5．一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花，问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【课内练习】1．100人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？2．有一些棋子，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？3．军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？4．军训时某班同学排成一个正方形队列，如果这个队列横、竖再增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列的学生有多少人？5．一个正方形方队，外层学生共80人，求此方阵总共有多少人？6．在一个正方形的场地四周种树，四个顶点都栽一棵，这样每边都种有24棵，问正方形场地四周共种多少棵树？7．一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有11棵花，问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【课后作业】1．同学们做广播操表演，排成一个方阵，每行12人，共12行，参加广播操表演的同学共有多少人？2．战士排成一个20行20列的方阵训练，现在从正方形队列中去掉一行一列，去掉了多少人，还剩多少人？四年级数学思维训练 第13讲 方阵问题（基础训练） 小升初重点题型1．小朋友做游戏排成三层空心方阵，最外层每边有10人，做游戏的小朋友有多少人？2．设计一个团体操表演队形，想排成三层的空心方阵，已知参加表演的有576人，最外层每边应排多少人？3．有一批正方形瓷砖，拼成一个大正方形，余下62块，如果将它们改拼成一个每边比原来多一块的正方形，就缺47块，这批瓷砖共有多少块？4．有一队学生，排列成一个中空方阵，最外层人数共48人，最内层共24人，这队学生共多少人？5．用棋子摆成2层空心方阵，外层每边有8人，一共需多少枚棋子？6．一个班的同学组成一个三层方阵，最里层有8人，求这个班共有多少人？7．五年级共有学生120人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少人？8．一个三层的空心方阵，最里层每边有16人，这个方阵共有多少人？9．某小学的学生排成一个实心方阵，还多7人，如果横竖各增加一排成为大一点的实心方阵，又少24人，该校有多少学生？10．学校开展植树活动，排成实心方阵，那么树苗将多出27棵，如果每行每列多一棵，那么树苗多8棵，学校有树苗多少棵？11．有一些棋子，排列成一个中空方阵，最外层棋子数共96个，最内层共48个，这些棋子共有多少个？12．用棋子摆成方阵，恰好每边是16枚的实心主阵，若改为4层的空心方阵，它的最外层每边应放多少枚？把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题称为方阵问题。
小学奥数方阵问题计算公式
小学奥数方阵问题计算公式
方阵问题公式
（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。
（2）空心方阵：
（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。
或者是
（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解一先看作实心方阵，则总人数有
10×10=100（人）
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
10-2×3=4（人）
所以，空心部分方阵人数有
4×4=16（人）
故这个空心方阵的人数是
100-16=84（人）
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
（10-3）×3×4=84（人）
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小学奥数方阵问题计算公式
小学奥数方阵问题计算公式
方阵问题公式
（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。
（2）空心方阵：
（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2_层数）2=中空方阵的人数。
或者是
（最外层每边人数-层数）_层数_4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有_人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有
___=1_（人）
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
_-2_3=4（人）
所以，空心部分方阵人数有
4_4=_（人）
故这个空心方阵的人数是
1_-_=84（人）
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
（_-3）_3_4=84（人）
小学奥数方阵问题计算公式.到电脑，方便收藏和打印：。
方阵问题公式
方阵问题公式
(1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2—(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是（最外层每边人数—层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数.
例如,有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人）
再算空心部分的方阵人数。
从外往里,每进一层,每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人）
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100—16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10—3)×3×4=84（人)。
小学数学中年级篇--方阵问题
方阵问题知识归纳：1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数习题精练：1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.9×9=81 (人)100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19人.2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.答：大方阵有64人，小方阵有36人.3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81枚棋子.4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68(枚).利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240人.6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20枚棋子.7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85盆花.9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；最外层人数5+2×3=11 (人)；四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；实有人数112-6=116 (人).答：共有学生106人.10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105人.11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。
方阵问题
方阵问题——基础学习一.解答题2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人【答案】116人。
【解题关键点】利用公式四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4，（30-1）×4=116（人）【结束】3、实心方阵例2：20人一排的方阵共有多少人【答案】400（人）。
【解题关键点】利用公式：实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数，20×20=400（人）。
【结束】5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用264颗棋子,问最里层有多少个棋子( )A 36B 24C 30D 22【答案】B【解题关键点】法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数÷4÷层数+层数最外层每边数=（264÷4÷6）+6=17人；共六层，最外一层与最里一层相差5层。
每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-5×2=7个那么最里层个数是4×7-4=24个。
法二：方阵每层相差8个。
那么从里向外数，第二层比第一层多8个，第三比第一层多16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）÷6=24个【结束】6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有16人，一共多少人（）【答案】B【解题关键点】最外层16人-四个角4人=12人12÷4=3，即每个边3人内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人综上，内外两层共24人总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。
【结束】7、方阵综合例1：方阵外一层总人数比内一层的总人数多8每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4方阵总人数＝最外层每边人数的平方空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1【例1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生【答案】625【解题关键点】解答：最外层每边的人数是96÷4+1＝25，刚共有学生25×25=625 【结束】8、方阵综合例2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。
方阵问题公式
方阵问题公式方阵问题是线性代数中的一个重要内容，它涉及到矩阵的性质和运算。
在本文中，我们将介绍方阵的定义、特征以及相关的计算方法。
第一节：方阵的定义和性质方阵是指行数等于列数的矩阵，即n行n列的矩阵，其中n为正整数。
可以用以下形式表示：\[ A = (a_{ij})_{n×n} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \]其中，a_{ij}表示第i行第j列的元素。
方阵具有以下性质：1. 对角线元素：方阵A的主对角线上的元素称为对角元素，即a_{11}、a_{22}、...、a_{nn}。
2. 上三角和下三角：若i > j，则称a_{ij}为上三角元素；若i < j，则称a_{ij}为下三角元素。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。
4. 转置矩阵：如果A是一个方阵，将A的行和列互换后得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
第二节：方阵的运算方阵有多种运算，包括加法、减法和乘法。
1. 方阵的加法：如果A和B都是n阶方阵，则它们的和A + B也是n阶方阵，其中的元素满足(a_{ij} + b_{ij})。
2. 方阵的减法：如果A和B都是n阶方阵，则它们的差A - B也是n阶方阵，其中的元素满足(a_{ij} - b_{ij})。
3. 方阵的乘法：如果A是一个m阶方阵，B是一个n阶方阵，那么它们的乘积AB是一个m×n阶方阵，其中的元素满足(a_{ik} * b_{kj})。
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方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10-3)×3×4=84(人)。