第六讲 第2课时 坐标系中的动点问题 2018届中考数学 《线段、角、相交线与平行线》配套试卷(含答案)

第2课时坐标系中的动点问题(50分)一、填空题(每题10分，共20分)1．[2017·泰州]如图6－2－1，在平面内，线段AB＝6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC＝P A，若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为．图6－2－1 第1题答图【解析】如答图，E点运动的轨迹与C点运动的轨迹相同，C点运动的路径长是62＋62＝62，故答案是6 2.2．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图6－2－2所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____．图6－2－2 第2题答图【解析】如答图，连结DE交OC于点P，则点P满足EP＋BP最短．延长CD交y轴于点F，则CF⊥y轴，∵四边形OBCD是菱形，∴OD＝CD＝OB ＝2，∵∠DOB＝60°，则∠DOF＝30°，∴DF＝1，OF＝3，∴D(1，3)，C(3，3)．设直线DE的解析式为y＝kx－1，将点D坐标代入，则k－1＝3，∴k ＝3＋1，则y ＝(3＋1)x －1，设直线OC 的表达式为y ＝mx ，将点C 坐标代入，则3m ＝3，∴m ＝33，则y ＝33x ，由⎩⎨⎧y ＝（3＋1）x －1，y ＝33x ， 解得⎩⎨⎧x ＝23－3，y ＝2－3，∴点P 的坐标为(23－3，2－3)． 二、解答题(共30分)3．(15分)[2016·长沙]如图6－2－3，直线l ：y ＝－x ＋1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ＝135°.(1)求△AOB 的周长；(2)设AQ ＝t ＞0，试用含t 的代数式表示点P 的坐标； (3)当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ ＝m ，若过点A 的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足以下两个条件： ①6a ＋3b ＋2c ＝0；②当m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值等于2m ，求二次项系数a 的值．解： (1)在函数y ＝－x ＋1中，令x ＝0，得y ＝1，∴B (0，1)，令y ＝0，得x ＝1，∴A (1，0)，则OA ＝OB ＝1，AB ＝2，∴△AOB 的周长为1＋1＋2＝2＋2；(2)∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴∠PBO ＝∠QAO ＝135°，∴∠BPO ＝∠OBA －∠POB ＝45°－∠POB ，∴∠AOQ ＝∠POQ －∠BOA －∠POB ＝45°－∠POB ，即∠BPO ＝∠AOQ ， ∴△PBO ∽△OAQ ， ∴PB OA ＝OB AQ ，∴PB ＝OA ·OB AQ ＝1t ，图6－2－3如答图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，则△PHB 为等腰直角三角形．∵PB ＝1t ，∴PH ＝HB ＝22t ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t，1＋22t ； (3)由(2)可知△PBO ∽△OAQ ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB ＝OA ，∴1t ＝1，∴t ＝1，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t ，－22t ，∴m ＝22t 1＋22t ＝2－1，∵抛物线经过点A ，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵6a ＋3b ＋2c ＝0，∴b ＝－4a ，c ＝3a ，对称轴为直线x ＝2，当2－1≤x ≤2＋1时， ①若a ＞0，则开口向上，由题意，得x ＝2－1时，取得最大值2m ＝22＋2，即(2－1)2a ＋(2－1)b ＋c ＝22＋2，解得a ＝11＋827； ②若a ＜0，则开口向下，由题意，得x ＝2时，取得最大值22＋2，即4a ＋2b ＋c ＝22＋2，解得a ＝－22－2.综上所述，所求a 的值为11＋827或－22－2. 4．(15分)如图6－2－4，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P (1，1)为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N .点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF ，过点P 作PE ⊥PF 交y 第3题答图轴于点E .设点F 运动的时间是t s(t >0)．(1)若点E 在y 轴的负半轴上，求证：PE ＝PF ；(2)在点F 运动过程中，设OE ＝a ，OF ＝b ，试用含a的代数式表示b ；(3)作点F 关于点M 的对称点F ′.经过M ，E 和F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连结QE .在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如答图①，连结PM ，PN .∵⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ，∴PM ⊥MF ，PN ⊥ON 且PM ＝PN ，∴∠PMF ＝∠PNE ＝90°且∠NPM ＝90°.∵PE ⊥PF ，∴∠1＝∠3＝90°－∠2.在△PMF 和△PNE 中， ⎩⎨⎧∠3＝∠1，PM ＝PN ，∠PMF ＝∠PNE .∴△PMF ≌△PNE (ASA )，∴PE ＝PF ；(2)分两种情况：①当t >1时，点E 在y 轴的负半轴上，如答图②，由(1)得△PMF ≌△PNE ，∴NE ＝MF ＝t ，PN ＝PM ＝1，∴b ＝OF ＝OM ＋MF ＝1＋t ，a ＝NE －ON ＝t －1.∴b －a ＝1＋t －(t －1)＝2，∴b ＝2＋a ； ②当0<t ≤1时，如答图③，点E 在y 轴的正半轴上或原点，同理可证△PMF ≌△PNE ，图6－2－4第4题答图①第4题答图②∴b ＝OF ＝OM ＋MF ＝1＋t ，a ＝OE ＝ON －NE ＝1－t ，∴b ＋a ＝1＋t ＋1－t ＝2，∴b ＝2－a .综上所述，当t >1时，b ＝2＋a ；当0<t ≤1时，b ＝2－a ；(3)存在．t 的值是2＋2或2－2或2或1＋174. (30分)5．(15分)[2017·攀枝花]如图6－2－5，在平面直角坐标系中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M (6，0)，N (0，23)，等边三角形ABC 的顶点B 与原点O 重合，BC 边落在x 轴正半轴上，点A 恰好落在线段MN 上，将等边三角形ABC 从图①的位置沿正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与线段MN 交于点E ，F (如图②所示)，设△ABC 平移的时间为t (s)．(1)等边三角形ABC 的边长为__3__；(2)在运动过程中，当t ＝__3__时，MN 垂直平分AB ；(3)若在△ABC 开始平移的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA →AC 运动，当点P 运动到C 时即停止运动，△ABC 也随之停止平移．①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似，求t 的值； ②当点P 在线段AC 上运动时，设S △PEF ＝S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 最大值及此时点P 的坐标．图6－2－5【解析】 (1)由题易知OM ＝6，ON ＝23，∴MN ＝43，∴∠NMO ＝30°，第4题答图③∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝90°，即AB⊥MN，∴AB＝12OM＝3，即等边三角形边长为3；(2)由等边三角形的性质易知当MN垂直平分AB时，C点与M 点重合，∴OB＝OM－MB＝3，即t＝3；(3)①当P点在线段AB上运动时，则OB＝t，PB＝2t，则BM＝6－t，P A＝3－2t，△PEF与△MNO相似分为△PEF∽△MON或△PEF∽△NOM两种对应情况思考；②当点P在线段AC上运动时，S△PEF ＝12EF·PH＝12·32t·3－t2＝－38t2＋338t＝－38⎝⎛⎭⎪⎫t－322＋9332≤9332⎝⎛⎭⎪⎫32≤t≤3，∴当t＝32时，S max＝9332.解：(3)①当P点在线段AB上运动时，OB＝t，BP＝2t，则BM＝6－t，P A＝3－2t，△PEF与△MNO相似分为△PEF∽△MON或△PEF∽△NOM两种对应情况，①②第5题答图当△PEF∽△MON时，则∠EPF＝∠EF A＝∠EMB＝30°，∴AE＝12AF＝14AP＝3－2t4，BE＝12BM＝6－t2.又∵BE＝AB－AE＝3－3－2t4，∴3－3－2t4＝6－t2，解得t＝34；当△PEF∽△NOM时，若点P在线段BE上，则∠PFE＝∠NMO＝30°，即PF∥OM，∴△P AF是等边三角形，∴EF垂直平分P A，∴BE＝BP＋12P A＝32＋t，又∵BE＝12MB＝6－t2，∴32＋t＝6－t2，解得t＝1；当△PEF∽△NOM时，若点P在线段AE上，则P点与A点重合，即t＝3 2.综上所述，t＝34或1或32；②当点P 在线段AC 上运动时，则BM ＝6－t ，PC ＝6－2t ，32≤t ≤3.∴BE ＝12BM ＝3－t 2，即AE ＝t 2，∴EF ＝3AE ＝32t ，AF ＝2AE ＝t ，∴CF ＝AC －AF ＝3－t ，∴PF ＝PC －CF ＝3－t .如答图③，作PH ⊥EF 于H 点，由∠AFE ＝30°可知，PH ＝12PF ＝3－t 2.S △PEF ＝12EF ·PH ＝12·32t ·3－t 2＝－38t2＋338t ＝－38⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋9332≤9332⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤t ≤3， ∴当t ＝32时S max ＝9332.6．(15分)[2017·衢州]在直角坐标系中，过原点O 及点A (8，0)，C (0，6)作矩形OABC .连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF .已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t s.图6－2－6(1)如图6－2－6①，当t ＝3时，求DF 的长；(2)如图②，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值；(3)连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应t 的值．【解析】 (1)当t ＝3时，点E 为AB 中点．DE 为△ABO 的中位线．(2)过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .利用△DMF ∽△DNE 即可求解．(3)AD 将△DEF 分成的两部分面积之比为1∶2可转化为AD 与EF 交点G 为EF 的三等分点，即讨论G 点所处的位置．解：(1)当t ＝3时，点E 为AB 中点．第5题答图③∵点D 为OB 中点，∴DE ∥OA ，DE ＝12OA ＝4.∵OA ⊥AB ，∴DE ⊥AB .∴∠OAB ＝∠DEA ＝90°.又∵DF ⊥DE ，∴∠DF A ＝90°，∴四边形DF AE 是矩形，∴DF ＝AE ＝3.(2)∠DEF 的大小不变．如答图①，过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .∵四边形OABC 是矩形，∴OA ⊥AB ，∴四边形DMAN 是矩形，∴∠MDN ＝90°，DM ∥AB ，DN ∥OA ，∴BD DO ＝BN NA ，OD DB ＝OM MA .∵点D 为OB 中点，∴M ，N 分别是OA ，AB 中点．∴DM ＝12AB ＝3，DN ＝12OA ＝4，∵∠EDF ＝90°，∴∠FDM ＝∠EDN .又∵∠DMF ＝∠DNE ＝90°，∴△DMF ∽△DNE ，∴DF DE ＝DM DN ＝34. ∵∠EDF ＝90°，∴tan ∠DEF ＝34.第6题答图(3)过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .若AD 将△DEF 的面积分成1∶2的两部分，设AD 交EF 于点G ，则易得点G 为EF 的三等分点． ①如答图②，当E 到达AB 中点之前时，NE ＝3－t ，由△DMF ∽△DNE ，得MF ＝34(3－t )．∴AF ＝4＋MF ＝－34t ＋254.∵G 1为EF 的三等分点，∴G 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t .由点A (8，0)，D (4，3)得直线AD 的表达式为y ＝－34x ＋6，将G 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t 代入，得t ＝7541. ②如答图③，当E 越过AB 中点之后，NE ＝t －3，由△DMF ∽△DNE ，得MF ＝34(t －3)．∴AF ＝4－MF ＝－34t ＋254.∵G 2为EF 的三等分点，∴G 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋236，13t . 代入直线AD 表达式y ＝－34x ＋6，得t ＝7541.综上，t 的值为7541.(20分)7．(20分)[2017·绍兴]如图6－2－7①，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB ＝6，点A 的坐标为(1，－4)，点D 的坐标为(－3，4)，点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点．(1)若点P 在边BC 上，PD ＝CD ，求点P 的坐标；(2)若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝x －1上，求点P 的坐标；(3)若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图②，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标(直接写出答案)．图6－2－7解：(1)∵CD ＝6，∴点P 与点C 重合，∴点P 的坐标是(3，4)．(2)①当点P 在边AD 上时，由已知得直线AD 的函数表达式为y ＝－2x －2，设P (a ，－2a －2)，且－3≤a ≤1. 第7题答图①若点P 关于x 轴的对称点Q 1(a ，2a ＋2)在直线y ＝x －1上，则2a ＋2＝a －1，解得a ＝－3，此时P 1(－3，4)．若点P 关于y 轴对称点Q 2(－a ，－2a －2)在直线y ＝x －1上，则－2a －2＝ －a －1，解得a ＝－1，此时P 2(－1，0)．②当点P 在边AB 上时，设P (a ，－4)，且1≤a ≤7.若点P 关于x 轴对称点Q 3(a ，4)在直线y ＝x －1上，则4＝a －1，解得a ＝5，此时P (5，－4)．若点P 关于y 轴对称点Q 4(－a ，－4)在直线y ＝x －1上，则－4＝－a －1， 解得a ＝3，此时P 4(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(－3，4)或(－1，0)或(5，－4)或(3，－4)；(3)∵直线AD ：y ＝－2x －2，∴G (0，－2)，①如答图②，当点P 在CD 边上，设P (m ，4)，－3≤m ≤3，则M ′P ＝PM ＝4＋2＝6，M ′G ＝GM ＝|m |，易证得△OG ′M ′∽△HM ′P ，则OM ′HP ＝GM ′M ′P ，即OM ′4＝|m |6，∴OM ′＝23|m |，在Rt △OGM ′中，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23|m |2＋22＝m 2，解得m ＝－655或655，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－655，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫655，4；第7题答图② 第7题答图③ ②如答图③，当点P 在AD 边上时，设P (m ，－2m －2)，则PM ′＝PM ＝|－2m |，GM ′＝MG ＝|m |，易证得△OGM ′∽△HM ′P ，则 OM ′HP ＝GM ′M ′P ，即OM ′|－2m －2|＝|m ||－2m |， ∴OM ′＝12|2m ＋2|，。