15.1全等三角形
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。
全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。
下面我们来总结一下全等三角形的知识点。
1. 全等三角形的性质。
全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。
（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。
（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
2. 全等三角形的判定方法。
判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用。
全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。
例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。
此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。
例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。
总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。
初中数学知识归纳全等三角形
初中数学知识归纳全等三角形全等三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用全等三角形。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
两个三角形全等的条件是：两边对应相等且夹角对应相等，或三边对应相等。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角都相等。
2. 全等三角形的各边对应的中点连线互相平行，且长度相等。
3. 全等三角形的高、中线、角平分线等都互相平行，且长度相等。
4. 全等三角形的高度、中线、角平分线等的交点都在各个对应边上。
三、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边分别相等且夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两角分别相等且夹边相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角分别相等且夹边的对应边相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题，如求线段长度、角度大小等。
2. 利用全等三角形的判定法可以帮助我们判断是否存在全等三角形，解决相应的几何问题。
3. 全等三角形在建筑、工程测量等实际问题中具有广泛的应用，如通过测量已知边长的三角形来计算未知边长的三角形。
五、常见的全等三角形1. 等腰三角形：如果一个三角形两边相等，则它是等腰三角形，等腰三角形的底角及顶角相等。
2. 等边三角形：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形，等边三角形的三个内角均为60°。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个角为90°，则它是直角三角形，直角三角形是全等三角形中常见的一种形式。
通过对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳，我们可以更好地理解和应用全等三角形。
《全等三角形》课件
全等三角形的基本性质
1
全等三角形的所有内角相等
在全等三角形中，所有角度都是相等的。
2
全等三角形的对应边相等
在全等三角形中，对应的边都是相等的。
3
全等三角形的对应高度相等
在全等三角形中，对应的高度（垂直于底边的线段）也是相等的。
全等三角形的应用
全等三角形的概念在几何学和实际生活中具有广泛的应用。 • 在建筑设计中，全等三角形帮助确定平面图中房屋的比例。 • 在地图制作中，全等三角形用于测量和标记距离和方向。 • 在工程中，全等三角形可用于测量物体和地形的高度和间距。
全等三角形的例题
例题1
已知两个三角形的三边分别为AB, AC和BC，DE, DF 和EF。如果AB = DE, AC = DF, BC = EF，则三角形ABC 全等于三角形DEF。
角角边（ASA）判定法
当两个三角形的两个角和一个边以及它们对应 的边相等时，它们就是全等的。
直角边（HL）判定法
当两个直角三角形的一条直角边和它们对应的 斜边相等时，它们就是全等的。
全等三角形的性质
等边三角形
全等三角形的特例，三条边都相等。
等腰三角形
全等三角形的另一个特例，两条边相等。
直角三角形
全等三角形可以是直角三角形。
多边形的全等
全等的概念也可以应用到多边形上。
全等三角形的判定条件
除了通过SSS、ASA、AAS和HL判定法，我们还可以通过侧角边（SAS）和顶角和底边（VERT）来判 定全等三角形。
1 SAS判定法
当两个三角形的一条边和两个非包含边的夹角以及它们对应的边相等时，它们就是全等 的。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
《全等三角形》(导学设计)
C
D
E
2.对于下列各图中的全等三角形，分别指出其对应顶点、对应边、对应角。
C A
D
C
D
C
O
E
A
B
B
D
A
B
△ABC≌△CDA
△ADO≌△CBO
△AED≌△BEC △ABC≌△BAD
） 四、收获大家谈（及时小结，自我评价！ 收获大家谈（及时小结，自我评价！ 1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？ 通过本节课的学习， 通过本节课的学习 你有什么收获？还有什么困惑吗？ 2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？ 你对自己本节课的表现满意吗？为什么？ 你对自己本节课的表现满意吗 1．在网格图中分别画出两个全等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 ．在网格图中分别画出两个全等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1
小组活动二 问题展示】 【问题展示】 如图，将△ABC 作如下变换分别得到： △DEF、 △DBC 、△AED. △ △ 沿BC平移 平移
A D B C A
沿BC翻折 翻折
A
旋转180° 绕A旋转 旋转 °
D E
B
E
C
F
B
C
导 各图中的两个三角形全等吗？若全等，请指出各组全等三角形的对应边和 学 程 对应角。 序
教 学 程 序
同一张底片洗出的两张照片
） （观察图片，归纳全等形的概念。 观察图片，归纳全等形的概念。 ） 二、自主探究（快点行动起来，老师相信你们一定能做得更好！ 自主探究（快点行动起来，老师相信你们一定能做得更好！ 小组活动一 问题展示】 【问题展示】
A
D
B
C
E
F
把△ABC 叠到△DEF 上，两个三角形能够完全重合，表明它们的形状和大 小一样，你能用语言描述全等三角形吗？ （归纳：全等三角形的概念；全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角的概 念）
《全等三角形》_PPT
《全等三角形》_PPT《全等三角形》＿PPT全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它不仅是几何学习的基础，也是解决许多实际问题的有力工具。
在这个 PPT 中，我们将深入探讨全等三角形的定义、性质、判定方法以及应用。
一、全等三角形的定义全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。
如果两个三角形的三条边及三个角都对应相等，那么这两个三角形就是全等三角形。
为了更直观地理解全等三角形的定义，我们可以通过实际操作来感受。
比如，用硬纸板剪出两个完全相同的三角形，将它们叠放在一起，可以发现它们能够完全重合。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果两个三角形全等，那么它们对应的边长度是相等的。
例如，若△ABC 与△DEF 全等，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝DF。
2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的角大小也是相等的。
比如，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。
4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所占据的空间大小（即面积）也是相等的。
三、全等三角形的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5、 RHS（直角、斜边、边）对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
四、全等三角形的应用1、测量在实际生活中，当我们无法直接测量某些长度或角度时，可以通过构造全等三角形来间接测量。
例如，要测量池塘两端 A、B 的距离，可以在池塘外找一个能够直接到达 A 和 B 点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD ＝ AC；连接BC 并延长到 E，使 CE ＝ BC，然后测量 DE 的长度，就等于 AB 的长度。
全等三角形的知识点归纳
全等三角形的知识点归纳1.全等三角形的定义：如果两个三角形的对应的边相等，对应的角也相等，则这两个三角形是全等三角形。
2.全等三角形的符号表示：通常使用三个粗体字母表示全等三角形，例如△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。
3.全等三角形的性质：a.边-边-边（SSS）全等：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。
b.顶角-底角-顶角（ASA）全等：如果两个三角形中两个顶角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
c.底边-底角-底边（SAS）全等：如果两个三角形中两条底边和它们夹的角相等，则这两个三角形全等。
d.直角-直角-斜边（RHS）全等：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
e.角-边-角（AAS）全等：如果两个三角形中两个夹角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
f.边-角-边（ASA）全等：如果两个三角形中一条边和夹角相等，另一条边和夹角的夹边相等，且夹角不是直角，则这两个三角形全等。
4.全等三角形的性质推论：a.如果两个三角形是全等的，则它们对应的边和角是一一对应的。
b.全等三角形的一边等于另一个全等三角形的一边，一角等于另一个全等三角形的一角。
c.全等三角形的对应边和对应角是相等的。
d.全等三角形的对应边平行。
e.全等三角形的对应边垂直。
f.全等三角形的对应角相等。
g.如果一个角等于一个角，两边分别等于两边，那么两个三角形可能全等，也可能不全等。
5.全等三角形的判定方法：a.SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角相等，则这两个三角形全等。
c.ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一条边相等，则这两个三角形全等。
d.RHS判定法：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
6.全等三角形的性质应用：a.利用全等三角形的性质，可以证明两个三角形的各边之比相等。
八年级数学《全等三角形》知识点
八年级数学《全等三角形》知识点八年级数学《全等三角形》知识点一、全等三角形的定义全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角。
全等”的图形必须满足形状相同且大小相等。
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
二、三角形全等的判定定理判定三角形全等有五种定理：SSS或“边边边”、SAS或“边角边”、ASA或“角边角”、AAS或“角角边”和HL或“斜边，直角边”。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
其中，A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。
三、全等三角形的性质全等三角形的性质包括对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
另外，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、证题的思路证题的思路可以通过找夹角（SAS）来解决。
已知两边可以找直角（HL）定理，找第三边可以用SSS 定理。
如果已知一边为角的对边，则可以用AAS定理。
如果已知一个角和一边，则可以用SAS定理。
如果已知一边和一个角，则可以用ASA定理。
如果已知两个角，则可以用AAS 定理或者任意一边的SSS定理。
灵活运用定理需要注意全等三角形的条件和判定方法。
找出两个全等三角形中的对应边和对应角是关键。
在写两个三角形全等时，要注意对应的顶点、角和边的顺序。
全等三角形知识点
全等三角形知识点1.全等三角形的定义：两个三角形ABC和DEF，如果边AB和边DE对应相等，边AC和边DF对应相等，且∠BAC和∠EDF对应相等，那么称三角形ABC与三角形DEF全等。
2.全等三角形的性质：(1)全等三角形的任意两边对应的角也相等，即∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
(2)全等三角形的任意两角对应的边也相等，即AB=DE，AC=DF。
(3)全等三角形的任意一边对应的两角也相等，即∠B=∠E，∠C=∠F。
(4)全等三角形的相等角的对边也相等，即BC=EF。
(5)全等三角形的相等边的对角也相等，即∠A=∠D。
3.全等三角形的判定方法：(1)SSS判定法：若两个三角形的三边分别对应相等，则两个三角形全等。
(2)SAS判定法：若两个三角形的两边和夹角对应相等，则两个三角形全等。
(3)ASA判定法：若两个三角形的两角和夹边对应相等，则两个三角形全等。
(4)AAS判定法：若两个三角形的两角和非夹边对应相等，则两个三角形全等。
4.全等三角形的推论：(1)全等三角形的对应边的中点连线平行且等于对应边的中点连线。
(2)全等三角形的对应角的角平分线相交于一点且平分角相等。
(3)全等三角形的高线和中线分别平行（且等于），中点线和中线相等。
(4)全等三角形的内角和相等。
(5)全等三角形的周长相等。
(6)全等三角形的面积相等。
5.全等三角形的应用：(1)在计算中，通过判断两个三角形是否全等，可以求出其他未知量。
(2)在建筑和工程设计中，通过全等三角形的性质可以测量和确定物体的高度和距离。
(3)在制图和绘画中，可以利用全等三角形的性质来进行放缩和比例调整。
(4)在几何证明中，全等三角形是基础的推理和证明工具，常用于证明其他几何命题。
全等三角形是几何学中重要的基本概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于理解研究几何学具有重要意义。
在学习和应用中，需要注意掌握全等三角形的各种推论，灵活运用全等三角形的性质解决问题。
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结一、全等三角形的定义1. 全等三角形的定义：如果两个三角形的三个对应角完全相等，那么这两个三角形就是全等的。
当且仅当两个三角形的对应边长都相等时，这两个三角形才是全等的。
2. 全等三角形的性质：a. 全等三角形的对应角相等，对应边相等。
b. 如果两个三角形是全等的，那么它们的内部三角形也全等。
二、全等三角形的判定定理1. SSS判定定理：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
2. SAS判定定理：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定定理：如果两个三角形的两个角及夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. AAS判定定理：如果两个三角形有一对对应角相等，并且两个对应边分别相等，则这两个三角形是全等的。
5. RHS判定定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，则这两个直角三角形是全等的。
三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的内部三角形也是全等的。
3. 全等三角形的每个角的顶点到对边的距离也相等。
四、全等三角形的应用1. 在几何证明中，可以利用全等三角形的性质证明两个三角形相等。
2. 在计算中，可以利用全等三角形的性质求解未知边长和角度。
3. 在工程建设和日常生活中，可以利用全等三角形的性质进行测量和设计。
五、全等三角形的相关定理1. 全等三角形的相关定理包括：全等三角形的辅助线定理、全等三角形的平行线定理、全等三角形的垂直平分线定理等。
六、全等三角形的证明方法1. 证明两个三角形全等的一般步骤包括：1）找出两个三角形的对应角、对应边；2）通过对应边和对应角的关系来进行判定，通常使用SSS、SAS、ASA、AAS等定理。
七、全等三角形的应用举例1. 利用全等三角形的性质证明两个三角形全等。
2. 利用全等三角形的性质求解未知边长和角度。
3. 利用全等三角形的性质进行测量和设计。
总的来说，全等三角形是我们学习几何时必须掌握的重要知识点，它在证明、计算、测量和设计中都有广泛的应用。
全等三角形
15.1 全等三角形（教学设计）教学目标：（一）知识目标：1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。
2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。
3、能熟练地找出两个全等三角形的对应角、对应边。
（二）能力训练要求：1、通过全等三角形有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力。
2、通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。
（三）情感与价值观要求1、通过感受全等三角形对应美，激发学生热爱科学勇于探索的精神。
2、通过自主学习，体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新、多方位审视问题的创造技巧。
教科书分析：1、内容分析：本节课主要介绍全等三角形的概念呵性质，通过对生活中的全等图形呵抽象的几何图形的观察，使学生对图形的全等有一个感性的认识；建立对应的概念，掌握寻找全等三角形中对应元素的方法；理解全等三角形的性质，为后面学习判定两个三角形的全等奠定基础。
2、教学重点：全等三角形的概念呵性质。
3、教学难点：全等三角形对应元素的确定。
教具准备：课件。
教学过程设计：活动一：创设情境，引入新知。
1、课件展示：两幅美丽的画师：今天老师给大家带来一件小礼物，希望你们能够喜欢，我们一起看看吧。
（课件展示）学生欣赏师：你们仔细观察，这两幅画，有什么共同的特点？生：都由地面上的实物组合形成的。
师：这两部分的形状和大小有何关系？如果以水平面为界限，将其对折，他们会怎么样？生：他们的形状和大小都一样，如果对折两个图形能重合。
2、展示一组动态画面（1）两张平移的邮票（2）两张对折的同一底片冲印出大小相同的埃菲尔铁塔的照片（3）旋转的全等的三角形。
师：根据刚才的图形回答问题。
一个图形经过平移、翻转、旋转后，位置变化了，但_________和_________都没有改变。
即平移、翻转、旋转后的图形与原图形能够_________。
学生完成填空师：像这样，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（板书）3、举例师：你能够列举一些生活中全等图形的实例吗？学生举例，教师点评。
全等三角形全部概念
全等三角形全部概念全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的所有对应边长度相等，所有对应角度相等。
全等三角形的性质和定理在几何学中起着重要作用，对于解决各种三角形相关的问题具有重要意义。
以下是关于全等三角形的全部概念、性质和定理的详细介绍：一、全等三角形的定义：1. 全等三角形定义：如果两个三角形的所有对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。
2. 全等三角形的记法：当两个三角形全等时，通常用符号“≌”来表示，如三角形ABC≌三角形DEF。
3. 全等三角形的条件：两个三角形全等的条件是：对应的三边相等，对应的内角相等。
即两个三角形的任意两对边相等，夹角相等或对应角相等，则这两个三角形全等。
二、全等三角形的性质：1. 全等三角形的性质1：全等的三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的性质2：全等的三角形的对应角的对边也相等。
3. 全等三角形的性质3：全等的三角形的各边都是对应边的相等。
4. 全等三角形的性质4：如果两个三角形全等，则它们的周长相等。
5. 全等三角形的性质5：如果两个三角形全等，则它们的面积也相等。
6. 全等三角形的性质6：如果三角形ABC≌三角形DEF，则三角形ABC的内角和等于三角形DEF的内角和。
7. 全等三角形的性质7：全等三角形对应边之间的比例相等，即对应边之比相等。
8. 全等三角形的性质8：全等的三角形的顶点到对边的距离相等。
三、全等三角形的定理：1. SSS全等定理：如果一个三角形的三条边分别等于另一三角形的三条边，那么这两个三角形全等。
2. SAS全等定理：如果一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，那么这两个三角形全等。
3. ASA全等定理：如果一个三角形的两个角和夹边分别等于另一个三角形的两个角和夹边，那么这两个三角形全等。
4. RHS全等定理：如果一个直角三角形的斜边和一个锐角三角形的一个锐角以及两边分别等于另一个锐角三角形的一个锐角以及两边，则这两个三角形全等。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定在我们的数学世界中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开许多几何问题的谜团。
接下来，让我们一起深入地了解一下全等三角形的性质及判定。
全等三角形，简单来说，就是两个三角形的形状和大小完全相同。
这意味着它们的对应边长度相等，对应角的度数也相等。
先来说说全等三角形的性质。
如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。
比如，△ABC 全等于△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
这就好像是两个完全一样的拼图块，对应的边必然长度一致。
对应角相等也是全等三角形的重要性质。
还是以△ABC 全等于△DEF 为例，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
这些角就像是双胞胎的表情，一模一样。
全等三角形的性质在解决实际问题中非常有用。
比如说，我们知道两个三角形全等，要求其中一个三角形的某个边长或者角度，只需要根据对应关系，去查找另一个三角形中对应的边或角的信息就可以了。
接下来，咱们再聊聊全等三角形的判定。
这就像是给两个三角形做“身份鉴定”，看看它们是不是真的全等。
第一种判定方法是“边边边”（SSS）。
如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说有△ABC 和△DEF，AB ＝DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定这两个三角形全等。
第二种是“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么就能够得出这两个三角形全等的结论。
“角边角”（ASA）也是常见的判定方法。
当两个三角形的两个角及其夹边对应相等时，这两个三角形全等。
比如在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么△ABC 和△DEF 就是全等的。
还有一种判定方法是“角角边”（AAS）。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形定义
全等三角形定义全等三角形是指具有相等的三边和相等的三个内角的两个三角形。
在几何学中，我们经常使用全等三角形来推导出其他定理和性质，因此对全等三角形的定义进行深入的探讨非常有价值。
1. 什么是全等三角形？全等三角形可以通过两个条件来定义：边边边（SSS）和角边角（ASA）。
如果两个三角形的三边分别相等，或者两个三角形的一个角和两个边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
2. 全等三角形的性质- 两个全等三角形的对应边相等：如果两个三角形是全等的，那么它们对应的边也是相等的。
简单地说，两个全等三角形的相似边是一一对应的。
- 两个全等三角形的对应角度相等：同样地，如果两个三角形是全等的，那么它们对应的角度也是相等的。
- 全等三角形的任意两个角之和相等于180度：这个性质被称为全等三角形的内角和定理（Angle Sum Theorem）。
无论三角形的形状如何，对应的角度的和总是相等于180度。
3. 全等三角形的应用全等三角形在几何学的证明中扮演了重要的角色。
我们可以利用全等三角形来推导其他定理和性质，如等腰三角形、正三角形、相似三角形等等。
全等三角形还广泛应用于解决实际问题中，如测量角度、距离、高度等。
在建筑、工程、地理和导航等领域，全等三角形的概念都有重要的应用。
在总结中，我们可以看到全等三角形的定义和性质对于几何学的学习和应用非常重要。
通过研究全等三角形，我们可以深入理解几何学中的许多定理和概念，并能够更好地解决相关问题。
全等三角形不仅在数学中有着重要的地位，同时也在实际生活中起到了很大的作用。
全等三角形的定义和性质（1-2）在几何学中，全等三角形是指具有相同边长和相同角度的两个三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，那么它们就是全等三角形。
全等三角形的定义为我们提供了一种比较和推导其他三角形性质的方法。
通过判断三角形是否全等，我们可以得出其他结论，例如等腰或等边三角形。
这些性质的推导和证明在几何学中起到了重要的作用。
全等三角形
A AA E B B
D D B
FC D C
C
A
寻找对应元素的规律
A E B A B
B
D
C
D
F
C
D
C
1）有公共边的，公共边是对应边； （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； ）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； ）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； ）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； 对应角； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是 对应角； ）两个全等三角形最大的角是对应角，
15.1全等三角形 全等三角形
天长市于洼中学 董茂松
有什么关系？ 它们形状和大小 有什么关系？ 如果把它们叠在一起， 如果把它们叠在一起，你有什 么发现？ 么发现？
形状相同、 形状相同、大小相等 能够互相重合
能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等形 你能够列举一些生活中全等图形的 实例吗？
能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形. 能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形. 全等三角形 两个三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等 对应边 全等三角形的对应角 对应角相等 全等三角形的对应角相等
A
D
△ABC≌△DEF ≌
B C E F
对应顶点： 和 ， 和 ， 和 对应顶点：A和D，B和E，C和F 对应边： 对应边： AB=DE，BC=EF，AC=DF ， ， 对应角： ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F 对应角： ＝ ， ＝ ， ＝ 记两个全等三角形时， 通常把表示对应顶点 对应顶点的字母写在对应 对应的位置上。 对应顶点 对应
全等三角形的概念
全等三角形的概念在我们的数学世界中，三角形是一种非常常见且重要的几何图形。
而在众多关于三角形的知识里，全等三角形是一个十分关键的概念。
什么是全等三角形呢？简单来说，全等三角形就是形状和大小完全相同的两个三角形。
这意味着，如果把其中一个三角形平移、旋转或者翻转，都能与另一个三角形完全重合。
我们来想象一下，有两个三角形，它们的三条边长度分别相等，三个角的度数也分别相等。
就好像是用同一个模具做出来的两个三角形一样，没有任何差别。
这样的两个三角形就是全等三角形。
全等三角形具有很多重要的性质。
比如说，如果两个三角形全等，那么它们对应的边是相等的，对应的角也是相等的。
这是全等三角形的基本特征，也是我们判断两个三角形是否全等的重要依据。
为了更准确地判断两个三角形是否全等，我们有一些常用的判定方法。
第一种是“边边边”（SSS）判定法。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米，另一个三角形的三条边也同样是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米，那么这两个三角形就是全等的。
第二种是“边角边”（SAS）判定法。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度，另一个三角形也有两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，这两个三角形就全等。
第三种是“角边角”（ASA）判定法。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
假设一个三角形的两个角分别是 45 度和 60 度，它们的夹边是 7 厘米，另一个三角形也有两个角分别是 45 度和 60 度，夹边也是 7 厘米，那么这两个三角形就是全等的。
还有一种是“角角边”（AAS）判定法。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如一个三角形有两个角分别是 30 度和 90 度，其中 30 度角所对的边是 5 厘米，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 90 度，30 度角所对的边同样是 5 厘米，那么这两个三角形就全等。
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2、 △ BCE ≌ △ CBF
对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是：CB和BC、 CE和BF、CF和BE。 3、 △ BOF ≌ △ COE 对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和 ∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。
D
∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO,AC=BD,OC=OD. （全等三角形的对应边相等）
B
旋 转
O
∴∠A=∠B,∠C=∠D, ∠AOC= ∠BOD. （全等三角形的对应角相等）
A
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
C
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试4： 和对应角
A
∵△ABC≌△ADE ∴AB=AD,AC=AE,BC=DE （全等三角形的对应边相等） ∴∠A=∠A,∠B=∠D, ∠ACB= ∠AED. （全等三角形的对应角相等）
复 合
E
C
D
规律三：有公共角的，公共角是对应角
B
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试5： 和对应角
∵△ABC≌△DEC ∴AB=DE,AC=DC, BC=EC （全等三角形的对应边相等） ∴∠A=∠D,∠B=∠E, ∠ACB= ∠DCE.
复 合
E
C
A
规律四：
D
B
（全等三角形的对应角相等）
一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边
6.如图, △ABD ≌ △EBC
（1）请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC 与 BD、AD 与 EC， = = = ∠A 与 =∠BEC、∠D 与∠C、∠ABD 与∠EBC = = (2)如果AB=3cm,BC=5cm, 求BE、BD的长. D E
A
B
C
解：∵△ABD ≌ △EBC ∴AB=EB，BC=BD (全等三角形的对应边相等)
全等形包括规则图形和不规则图形全等
能够完全重合的两个三角形,叫 全等三角形.
A D
B
C
E
F
△ABC全等于△DEF
平行、垂直都有符号表示，那么怎样表示两 个三角形全等？
A D
C
B F
E
“全等”用符号“ ≌ “全等于”.
”表示，读作
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上.
如上图：△ABC和△DEF全等， 记作“△ABC≌△DEF”.
A
D
B
A D B
C
E
E
C F
F
互相重合的顶点叫做对应顶点
互相重合的边叫做对应边
AB与DE
BC与EF AC与DF
互相重合的角叫做对应角
∠A与∠D ∠B与∠E ∠C与∠F
A
D 对应边有什么 数量关系？ 对应角有什么
B
全等三角形的性质: ∵△ABC≌△DEF
数量关系？ C E
1、全等三角形的对应边相等,
应边，对应边所对的角是对应角.
翰林学校中数组
谢谢！
复旦大学
一对最小的角是对应角
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公பைடு நூலகம்角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，
最小的边是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，
最小的角是对应角；
找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1、 △ ABE ≌ △ ACF
翰林学校中数组
15.1 全等三角形
授课教师：
复旦大学
观察
（1）
(2)
(3)
每组的两个图形有什么特点? 思 考
重合
能够完全重合的两个图形叫做 全等形
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行 交流。 形状 相同
1
大小 相同
2
全等图形的特征： 全等图形的形状和大小都相同
同一张底片洗出的照片是能够完全重合的
思考二：拓展与延伸
下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？ 你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？
小 结
通过本节课的学习：
你学会了什么？能把你的学习体会跟同学交流一 下吗？
本节课主要研究的内容： 全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 全 等 三 角 形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应 的位置上). 性质：对应边相等，对应角相等. 会用全等三角形的性质解决简单的问题. 注意：两个全等三角形中，对应角所对的边是对
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试6： 和对应角
F F FFFFFFA
∵△ABC≌△FDE ∴AB=FD,AC=FE, BC=DE
（全等三角形的对应边相等）
C E EEEEEEE E
∴∠A=∠F,∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
（全等三角形的对应角相等）
D D D DDD DDD
规律五：一对最大的角是对应角
∵AB=3cm,BC=5cm
∴BE=3cm,BD=5cm
(3)如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的长.
D E
解：∵△ABD ≌ △EBC
A B C
∴AB=BE，BC=BD ∵AB=3cm ∴BE=3cm ∴BC=BD=DE+BE =2+3=5cm
思考一：
若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大 的全等三角形，而总面积又没有 变化？
F
2、全等三角形的对应角相等。
（已知） （全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等）
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试1： 和对应角
平 移
C F
A
∵△ABC≌△ADE
D
B
E
（全等三角形的对应边相等） ∴AB=DE,BC=EF,AC=DF. ∴∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F. （全等三角形的对应角相等）
2.请指出下列全等三角形的对应边和对应角
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD= DB ∠CDB BD= CB ； ∠ABD= ； ∠ADB= ∠C ∠A= ∠DBC ；
； ；
3.如图已知△ AOC ≌ △BOD 求证：AC∥BD
4.如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4， AD=5，BD=6，则BC= ， CD= 。
随堂练习1：
1、全等用符号 ≌ 表示，读作：全等于 。 2、若△ BCE ≌ △ CBF，则∠CBE= ∠BCF , ∠BEC= ∠CFB ,BE= CF , CE= BF . 3、判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（ √ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ √ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ X ） 4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ X ）
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试2： 和对应角
C
∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
（全等三角形的对应边相等）
A
B
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D. （全等三角形的对应角相等）
翻 转
D
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试3： 和对应角