数学模型系列全套课件(2)

i 0
我们使用matlab7.0中的fminsearch函数来求解，得到 总残量最小时的各个参数，并拟合曲线
原文数据不妥当处

Fk应该为负数；d应该大于0
按原文给出的数据所作的图
我们S解出的曲线
原模型的不足之处
g=(Cn+1-Cn)/(In-In-1) 并不是常量 我们根据题目给出的数据计算g得到下图：
符号说明




N – 我们所研究区域的人口总数 S – 易感染类，该类成员没有染上SARS，也没有免疫 能力，可以被传染上SARS E – 潜伏期类，该类成员已经感染了SARS病毒，但尚 处于潜伏期内，还不是SARS患者，不能把病毒传染 给S类成员 Iu – 患病未被发现类，该类成员已经成为真正的SARS 患者，能够把病毒传染给S类成员 Ii – 患病已被发现类，该类成员虽然是SARS患者，但 由于发现后立即被严格隔离，不能传染给S类成员



假设SARS的传播方式为接触性传播，不与患病者接触 就不会被传染 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具 备传染性 假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具 备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人 假设SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性 不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口 的迁入迁出
原模型的不足之处
In+1=In+Fn*In-(Cn-Cn-1 )-(Dn-Dn-1) 而不是 In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)
改进
K=0.4460;fk=-0.0001;d=0.0020;g=0.0024;s1=1.2815;s2=0.0529
微分方程模型
基本假设


符号说明（续）

R – 免疫类，该类成员为SARS康复者或因患SARS死 亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响 H – 潜伏期天数 L – 传染期天数
模型建立

N –人口总数 S – 易感染类 E – 潜伏期类 Iu – 患病未被发现类 Ii – 患病已被发现类 R – 免疫类
时间序列模型
Fn=K0+fk*(In+Sn) In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1) Dn+1=Dn+d(In-Dn-Cn) Sn+1=Sn+(In+1-In)*s1-Sn*s2 Cn+1=Cn+g*(In-In-1)
模型求解

设实际数据为In0，拟合数据为In，则我们确定参数的 n 目标是使总残量最小，即： min E ( I i I i 0) 2
题目
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的 模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以 及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这 样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出 评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫 情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参 考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应 的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数 学模型的重要性。
SARS传播的数学模型
题目
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重 急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第 一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓 延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我 们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地 研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创 造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模 型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理 性和实用性。
S E Iu Ii R N S 0, E 0, I 0, I 0, R 0 u i 1 g H 0 g , z , c, 1
模型求解

我们调用Matlab软件中的ode45函数进行求解 ode45函数： 专门用于解常微分方程的功能函数，有ode23, ode45,ode23S等，主要采用Runge-Kutta方法， 其中ode23采用两阶、三阶Runge-Kutta法解，适 合要求精度较低的场合，ode45采用四阶、五阶 Runge-Kutta法解。一般说来，ode45比ode23的 积分段少，运算速度更快一些。
符号说明（续）

K0 – 区域内的自反馈参量 Fn – 反馈变量 fk – 反馈变量的变化率
模型建立

设该区域内的自反馈参量为K0，表示该地区在未来采 取控制措施时SARS的传播能力 设该地区自反馈量Fn的变化率为fk，即每增加一个病 人引起反馈量Fn的变化量。fk表示该地区的病情控制 情况
负反馈模型
什么叫负反馈？
将放大器的输出信号（电压或电流），按一定路径回送 到放大器输入端的过程称为反馈。施加反馈的放大器称 为反馈放大器。它是由一个基本放大器和反馈网络构成 的闭合环路。如图：
什么叫负反馈？
给出反馈系数 Kf 以及闭环增益 Af 的定义，当反 馈系数Kf<0 时，系统是负反馈的，反之，系统 是正反馈的。 负反馈具有自我调节作用，正是我们需要的

我们把一个封闭区域内 的人群完备的分成5类： S类、E类、Iu类、Ii类和 R类，设第t天时五类成 员的人数分别为S(t)、 E(t)、Iu(t)、Ii(t)、 R(t)，该地区总人口为N。
参数设置及其意义
参数设置及其意义（续）
微分方程
S ' I u S E ' I S gE E u I u ' gE zI u I ' zI cI i u i R' cI i E
基本假设

统计数据是可靠的 病人处于潜伏期时不传染他人 采取的所有控制措施对于阻止SARS的传播都是有效 的
符号说明

In – 到第n天为止累计确诊的病人数 Dn - 到第n天为止累计的死亡人数 Sn – 第n天的疑似病人数 Cn - 到第n天为止治愈病人数 d – 死亡率 g – 治愈率 s1 – 新增病人与新增疑似病人的比值 s2 – 疑似病人转化为正常人的比率