一轮优化探究理数(苏教版)课件：第九章 第五节 直线与圆、圆与圆的位置关系

3．圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与圆 C2：x2＋y2－4x－2y＋1
2 ＝0 的公切线有且仅有________ 条．
解析：圆 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心 C1(－1，－1)，半径 r1＝2. 圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4， 圆心 C2(2,1)，半径 r2＝2. ∴|C1C2|＝ 13，∴0<|C1C2|<r1＋r2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线．
方法 位置关系 相交 相切 相离
几何法 代数法 d< r d＝ r d> r Δ>0 Δ＝ 0 Δ <0
二、圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2>0).
方法 几何法：圆心距 d 与 r1， 代数法： 两圆方程联立组 位置关系 相外离 相外切 相交 相内切 r2 的关系 成方程组的解的情况
d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
无解
一组实数解
两组不同的实数解 一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|
(r1≠r2)
无解
1．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为________．
解析：圆方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)，半径为 2，点 P 在 圆上，设切线方程为 y－ 3＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋ 3＝0， |2k－k＋ 3| 3 ∴ ＝2，解得 k＝ . 2 3 k ＋1 3 ∴切线方程为 y－ 3＝ (x－1)，即 x－ 3y＋2＝0. 3 答案：x－ 3y＋2＝0
4．已知两圆 C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________．
解析：两圆方程相减得 x－2y＋4＝0. 答案：x－2y＋4＝0
5．(2013· 高考陕西卷改编)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1
相交 ． 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是________
解析：(1)证明：配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心
x＝3m， 为(x，y)，则 y＝m－1，
消去 m 得 l：x－3y－3＝0， 则不论 m 为何值， 圆心恒在直线 l：x－3y－3＝0 上．
(2)设与 l 平行的直线是 l1：x－3y＋b＝0，则圆心到直线 l1 的 距离为 |3m－3m－1＋b| |3＋b| d＝ ＝ ， 10 10 ∵圆的半径为 r＝5， ∴当 d<r，即－5 10－3<b<5 10－3 时，直线与圆相交； 当 d＝r，即 b＝± 5 10－3 时，直线与圆相切； 当 d>r，即 b<－5 10－3 或 b>5 10－3 时，直线置关系一般有两种方法： (1)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组 转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置 关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位 置关系，但是计算量较大． (2)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直 线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系
相交 ． 是________
解析：圆 O1：(x－1)2＋y2＝1，圆心 O1(1,0)，半径 r＝1，圆 O2： x2＋(y－2)2＝4，圆心 O2(0,2)，半径 R＝2， |O1O2|＝ 1－02＋0－22＝ 5<R＋r， 可知 R－r<|O1O2|<R＋r，即两圆相交．
第九章 平面解析几何 第五节 直线与圆、圆与圆的位置关系
主干知识 自主排查
C
目 录
ONTENTS
核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
主干知识 自主排查
一、直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 设 d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元 后得到的一元二次方程的判别式 Δ.
[跟踪训练] 1．在本例条件下，求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等．
证明： 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1： x－3y＋b＝0， |3＋b| ∴圆心到直线 l1 的距离 d＝ (与 m 无关)． 10 弦长＝2 r2－d2且 r 和 d 均为常数． ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相 等．
解析：由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距离 d 1 ＝ 2 2<1，故直线与圆相交． a ＋b
核心考点 互动探究
【例 1】 0(m∈R)．
已知圆 x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝
(1)求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上； (2)与 l 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？
答案：y＝x＋ 2或 y＝－x＋ 2
角度二 【例 3】
求弦长 求 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2
＋y2＝1 所截得的弦长为__________．
|c| 解析： 因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ 2 2＝ a ＋b |c| 2 ＝ ，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 2|c| 2
1－
2 2 2 ＝ ，所以弦长为 2. 2 2
答案： 2
角度三
由弦长及切线问题求参数
【例 4】 直线 ax＋y＋1＝0 被圆 x2＋y2－2ax＋a＝0 截得的弦 长为 2，则实数 a 的值是__________．
角度一
求圆的切线方程(切线长)
【例 2】 已知圆的方程为 x2＋y2＝1，则在 y 轴上截距为 2的 切线方程为__________．
解析：在 y 轴上截距为 2且斜率不存在的直线显然不是切线， | 2| 故设切线方程为 y＝kx＋ 2，则 2 ＝1，所以 k＝± 1，故所 k ＋1 求切线方程为 y＝x＋ 2或 y＝－x＋ 2.