3-RRRT并联机器人的位置正解研究

文章编号:16732095X (2010)022*******32RRRT 并联机器人的位置正解研究李耀斌,赵新华(天津理工大学机械工程学院,天津300384)摘　要:本文介绍了一种新型32RRRT 并联机器人的特点,推导了该机器人的位置反解方程,获得了其位置反解,采用数值方法给出研究了该并联机构的运动学正解.运用Ma tlab 软件计算进行了验证.关键词:位置反解;位置正解;并联机器人中图分类号:T P24 文献标识码:AResear ch on the d i r ect k i n e m a ti cs of the 32RRRT pa ra llel m an i pul a torL I Yao 2bin,ZHAO X in 2hua(Sch ool of M echani ca l Enginee ri ng,Tianjin University of Technol ogy,Tianjin 300384,China )Ab stra ct:This pape r introduced the charac teristic s of the new para lle l m ani pulat ors .The inve rs e kinema tic s equati on s of p ara llel m anipul a t or a re deduced,and t he nu m erical value s olution is discuss ed according to the characteristi c s of inverse ki 2nem atic s equa tions .The direc t kinema tics analysis is perfor m ed and ve rified by using a nu m erical m ethod .Key wor ds:inverse kinema tics s oluti on;direct kine m ati c s s oluti on;pa rallel manipula t or 并联机器人(Pa r a lle l Robot)一般是指与具有串连结构的工业机器人(Serie s Mani pulator )相对的具有并联结构的机器人操作手(Parallel Mani pula t or ),其机械结构实质是一个空间并联机构(S patial Pa r a l 2lel Mechanis m ).并联机器人具有结构刚度大、承载能力高、运动精度好以及位置逆解简单和方便力反馈控制等许多串连机器人所没有的优点,近十多年来已成为机器人研究领域的主要热点之一.空间三自由度并联机器人机构因其结构简单、经济、应用广泛等优点,引起了很多学者的高度重视和广泛研究.20世纪70年代末,Hunt 首先提出了一种并联式机器人机构,这种机构最初是用于飞行模拟器和轮胎的试验装置.Mac Calli on 等在1979年首次利用这种机构设计出了用于机器人装配的机器人,从此拉开了并联机器人研究的序幕.Hunt 应用空间机构自由度计算准则及螺旋理论,对这种机器人进行了结构综合研究,给出了许多结构方案,为构造新型并联结构机器人提供了可能.近十余年来,美国的O reg on 大学,法国的I NR I A,我国的燕山大学,哈尔滨工业大学等先后研制了多台样机.许多国际上重要的机器人杂志和学术组织先后推出了并联机器人的专集并习开了专题讨论会.这标志着对并联机器人理论技术的研究正呈迅猛发展的态势.本文利用闭环矢量法建立了32RRR T 并联机构的运动学方程,采用数值迭代方法对该机器人进行了位置正解的研究.1　并联机器人32R RR T 的反解分析1.1　32R RR T 并联机器人机构机器人的位置分析就是求解机器人的输入构件、输出构件之间的位置关系,这是机器人运动分析的最基本任务,也是机器人速度、加速度、受力分析、收稿日期:2009211202.基金项目:国家自然科学基金(50675156);国家高技术研究发展计划(863)(2007AA04Z203);天津市应用基础与前沿技术研究计划(ZD )第一作者李耀斌(5—　),男,硕士研究生通讯作者赵新华(6—　),男,教授,博士,硕士生导师第26卷　第2期2010年4月天　津　理　工　大　学　学　报JO URNA L O F T IANJ IN UN IVER S IT Y O F TECHN OLO GY Vol .26No .2Apr .201007JC JC09100.:198.:192.误差分析、工作空间分析、动力分析和机器人综合等的基础.由于并联机构的复杂性,使得对并联机构的位置分析要比串联机构的复杂得多.当已知机构的原动件的位置时,求解该机构的输出位置与姿态,称之为位置分析的正解;若已知机构的输出位置和姿态,求解原动件的位置时,称之为位置分析的反解[1].图1　32R RR T 并联机器人机构简图F i g .1　D i a gram of 32RRRT pa ra llel m an i pu l a tor图1是32RRRT 并联机器人第一支链的结构简图,P -D 1D 2D 3为动平台,3个转动副在同一平面上,且ΔD 1D 2D 3为正三角形;O -A 1A 2A 3为固定平台,3个转动副在同一平面上,且ΔA 1A 2A 3为正三角形,3条支链具有相同的结构形式.第一支链中,连杆1(l 1)通过转动副与固定平台和连杆2(l 2)连接,连杆2(l 2)与连杆3(l 3)通过转动副连接,L 3与上平台通过虎克铰连接,向量e 1,e 2为通过回转副轴线的单位矢量,关系如下e 1⊥e 2;l 1⊥e 1;l 2⊥e 1;l 2⊥e 2;l 3⊥e 2固定坐标系O -XYZ 原点在32RRR T 并联机器人的固定平台的中心,O Z 轴垂直于固定平台向上,O X ﹑O Y 轴在固定平台的平面内.动坐标系P -XY Z 原点在32RRRT 并联机器人的动平台的中心,O Z 轴垂直于动平台向上,OX ﹑O Y 轴在动平台的平面内.由于结构限制,该机器人动平台只有移动而无转动.动坐标系和固定坐标系的X 、Y 和Z 轴相互平行.1.2　位置反解如图2所示,第i (i =1,2,3)分支的局部坐标系x y z 在固定平台的点,y 在O 的延长线上,z 轴与OZ 轴平行<是从OX 轴线到x 轴线的夹角,是个常量第分支的关节角和杆长的定义见图2.θ1i 是从x i 轴线到线A i B i 夹角,θ2i 是从x i 轴线到线B i C i 的夹角,θ3i 是从y i 轴线到线C i D i 的夹角.动平台(ΔD 1D 2D 3)和固定平台(ΔA 1A 2A 3)的外接圆的半径分别为r 和R,A i B i 的杆长为l 1,B i C i 的杆长为l 2,C i D i 的杆长为l 3[2].图2　32R RRT 并联机器人第i 分支的关节角和杆长的示意图F i g .2　Schema tic D i a gr am of jo i n t angels an dli nk len gths for leg i图2中,把第i 支链的矢量闭环OA i B i C i D i P 写成在局部坐标系A i -x i y i z i 下的方程O P +PD i -OA i =A i B i +B i C i +C i D i(1)把方程(1)写成矩阵形式为c os <i sin <i 0-sin <icos <i0001p x p y p z+0r 0-0R 0=l 1cos θ1isin θ1i+l 2c os θ1isin θ2i+l 3cos θ2i sin θ3icos θ3isin θ2i sin θ3i(2)展开方程(2)得:p x cos <i +p y sin <i =l 1cos θ1i +l 2cos θ2i +l 3cos θ2isin θ3i(3)-p x sin <i +p y cos <i +r -R =l 3cos θ3i(4)p z =l 1sin θ1i +l 2sin θ2i +l 3sin θ2i sin θ3i(5)由方程(4)得cos θ3i =(-p x sin <i +p y cos <i +r -R )/l 3令式中d yi =-p x sin <i +p y c os <i +r -R得θ3i =±cos -1(d yi /l 3)(6)由方程(3)2+(5)2得(x <+y <+R )+z =(θ+θ+3θθ3)+(θ+θ+3θθ3)61 天　津　理　工　大　学　学　报 第26卷　第2期A i -i i i A i i A i i .i i .i p c os i p sin i r -2p 2l 1cos 1i l 2cos 2i l cos 2i sin i 2l 1sin 1i l 2sin 2i l sin 2i sin i 2令式中:dxi =-pxsin<i+pycos<i,dz i=pz得d2 xi +d2z i-2l1dz isinθ1i-2l1dxicosθ1i+l21=(l2+l 3sinθ3i)2(7)利用三角函数的半角正切公式,令u1i=tan(θ1i/2)则sinθ1i=2u1i/(1+u21i),cosθ1i=(1-u21i)/(1 +u21i)把sinθ1i 、cosθ1i代入方程(7)得:j k1i u21i+j k2iu1i+j k3i=0(8)其中　j=1,2.当j=1时,sinθ3i取正;当j=2时,sinθ3i取负.式中j k1i =d2xi+d2zi+l21+2dxil1-(l2+l3sinθ3i)2j k2i =-4dz il1j k3i=d2xi+d2zi+l21-2d xi l1-(l2+l3sinθ3i)2当j=1,即sinθ3i取正,得1k1iu21i+1k2i u1i+1k3i=0(9)式中j k1i =(l2+l3sinθ3i)2-d2xi-d2zi-l21-2dxil1j k2i=4d zi l1j k3i=(l2+l3sinθ3i)2-d2xi-d2zi-l21+2d xi l1当j=2,即sinθ3i取负,得2k1i u21i+2k2iu1i+2k3i=0(10)式中2k1i =(l2-l23-d2yi)2-d2xi-d2zi-l2l-2dxil12k2i=4dz il12k3i=(l2-l23-d2yi)2-d2xi-d2zi-l21+2dxil1)对于并联机器人的逆运动学,当给定位置向量p=[p x　p y　p z]T,利用方程(9)和(10)就可求出θ1i的全部结果,反解完毕.2　并联机器人32RRR T的正解分析由位置反解的方程(6)和(7):式(6):θ3i=±cos-1(dyi/l3)得sinθ3i=±1l3l23-d2yi式(7):d2xi+d2zi-2l1dzisinθ1i-2l1dxicosθ1i+l21=(l2+l3sinθ3i)2可得:d2x i+d2z i-2l1d z i sinθ1i-2l1d xi cosθ1i+l21=(l2+K l23-d2yi)2(11)式中d xi=-p x sin<i+p y c os<i,d yi=-p x sin<i+p y cos<i+r-R,d zi=p z,K=±1本文只研究一种构型位置正解,即:K=1当K=1时,式(11)可得d2xi+d2zi-2l1dzisinθ1i-2l1dxicosθ1i+l21=(l2+l23-d2yi)2把其写成矩阵形式为d2 x1+d2z1-2l1dz1sinθ11-2l1dx1cosθ11+l21-(l2+l23-d2y1)2d2x2+d2z2-2l1d z2sinθ12-2l1d x2cosθ12+l21-(l2+l23-d2y2)2 d2x3+d2z3-2l1d z3sinθ13-2l1d x3cosθ13+l21-(l2+l23-d2y3)2=(12) 矩阵方程(12)是位置(px ,py,pz)与输入构件转角(θ11,θ12,θ13)之间的非线性方程组.由于并联机构的复杂性,位置正解采用解析法求解难度大,因此这里采用数值法求解该并联机构的位置正解[3].运用数值法的迭代格式为xk+1=xk-λf(x k)f′(x k)　(0<λ≤1)应用数值法编写MATLAB算法,其大体可分为如下4个部分:(1)选择一个初始点P,P表示当输入角给定的情况下,假设动平台几何中心在绝对坐标系下的度量;()利用反解验证所选择的初始点是不是最优解,当不是时,先取λ=1,根据xk+1=xk-λf(xk)f′(xk),求x k+1;(3)判断是否满足下降条件|f(xk+1)|<|f(xk)|;不满足的时,再取λ=12λ;(4)然后验证条件是否满足|f(xk+1)|<|f(xk)|,当满足此条件时,此时就可得出该并联机构的正解迭代过程终止;否则转入(2)继续迭代,直到满足此条件得出该并联机构的位置正解.给定32RRRT并联机器人的结构参数如表所示,给定的动平台第一、二组初始位置和输入角参数如表所示,把表和表的参数代入到方程()712010年4月 李耀斌,等:32RRRT并联机器人的位置正解研究2P1 21212得出的第一、二组32RRR T并联机器人的位置正解如表3所示.表1　32RR RT并联机器人的结构参数Ta b.1　Str uc tura l pa ram eter s of32RRR Tpa ra llel m an i pula tor连杆1l1连杆2l2连杆3l3上平台半径r下平台半径R<1<2<3400mm100mm800mm100mm400mm0°120°240°表2　32RR RT并联机器人的初始位置和输入角参数Ta b.2　In iti a l posi t i on s a nd i npu t an gle pa ram e ter s of32R RRT pa r a ll e l m an i pul a tor初始点:P=[px py　pz]T输入角:θ11,θ12,θ13p x pypzθ11θ12θ13第一组50mm50m m600mm0.3491rad1.0297rad0.5061rad第二组100mm100m m600mm-2.9592rad-2.9431rad-2.8945rad 表3　32RR RT并联机器人的位置正解仿真结果Ta b.3　P ositi on si m ula t i on r e s u lts of posit i ve solut i on s of 32R RRT pa r a ll e l m an i pul a torp=[px py　pz]Tp x pypz第一组158.21mm-183.65mm846.75mm 第二组100.03mm99.94mm800.00mm表4　32R RRT并联机器人的位置反解验算Ta b.4　Inver se s olu ti on check i ng of32RRR Tpa ra llel m a n i pu l a torθ11θ12θ13第一组解0.3491rad1.0297rad0.5061rad 第二组解-2.9592rad-2.9431rad-2.8945rad 表2与表4相比较,可知正解与反解的结果相符合,从而说明正解的正确性.3　结　论本文利用矢量法建立了32RRRT并联机器人运动学方程,并得出该机构每个支链的逆运动学有4个反解,因此机器人具有64组反解.采用数值方法求取32RRRT并联机构的正解,并且利用反解模型验证了正解的正确性.参　考　文　献:[1]　黄　真,孔令富,方跃法.并联机器人机构学理论与控制[M].北京:机械工业出版社,1997.[2]　赵新华.并联机器人运动学理论研究[D].天津:天津大学,2000.[3]　赵新华.一种分析并联机器人位置正解的高效算法[J].天津大学学报,2000,33(2):134-137.81 天　津　理　工　大　学　学　报 第26卷　第2期。