高中数学— 复数代数形式的四则运算
高中数学—— 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的 加、减运算及其几何意义
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KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
3.复数加减法的几何意义 设复数 z1,z2 对应的向量为������������1 , ������������2 ,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为邻 边的平行四边形的对角线������������所对应的复数,z1-z2 是向量������2 ������1 所对应的 复数.
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的 加、减运算及其几何意义
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学习目标 重点难点
1.能记住复数的加法与减法的运算法则,并知道它们的几何意义; 2.能运用复数的加法与减法的运算法则解决相关问题. 重点:复数加法与减法的运算法则; 难点:复数加法与减法的几何意义.
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迁移与应用 1.若复数 z 满足 z+2-3i=-1+5i,则复数 z= 答案:-3+8i 解析:由 z+2-3i=-1+5i,得 z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i. 2.计算:(1)2i-[(3+2i)-(-1+3i)]; (2)a+bi+(2a-3bi)-4i(a,b∈R); (3)(10-9i)+(-8+7i)-(3+3i). 解:(1)原式=2i-[(3+1)+(2-3)i]=2i-(4-i)=-4+3i; (2)原式=(a+2a)+(b-3b)i-4i=3a+(-2b-4)i=3a-(2 b+4)i; (3)原式=(10-8-3)+(-9+7-3)i=-1-5i. .
高一数学复数代数形式的四则运算
很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.
探究 复数的加法满足交换律、结合律吗?
容 易 得 到,对 任 意z1,z2,z3 C,有
z1 z2 z2 z1,z1 z2 z3 z1 z2 z3 .
类 比 实 数 集 中 减法 的 意 义,我 们 规 定,复 数 的 减
法是加法的逆运算,即把满足c di x yi
a bi的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di
的差,记作a bi c di.
根据复数相等的定义,有c x a,d y b, 因此x a c,y b d,
Z1a,b
面向量的坐标运算,有
o
x
OZ1 OZ2 a c,b d.
图3.2 1
这说明两个向量OZ1与OZ2 的和就是与复数
a c b di对应的向量.因此,复数的加法
可以按照向量的加法来进行图3.2 1,这是
复数加法的几何意义.
思考 复数是否有减法?如何理解复数的减法?
探究 复数与复平面内的向量有一一对应
关 系.我 们 讨 论 过 向 量 加 法 的几 何 意 义, 你 能 由 此 出 发 讨 论 复 数 加 法的 几 何 意 义 吗?
设 OZ1,OZ2 分别与复数 y
Z
a bi,c di对应,则有OZ1
Z2 c,d
a,b,OZ2 c,d,由平
解 5 6i 2 i 3 4i 5 2 3 6 1 4i
11i.
Hale Waihona Puke ； /zth73awb
睛似含着沧海月嘉颜有泪、那样清微而迷蒙的光。宝音当时脸上就热起来。“哦，”他代她回答，“看来不是你画的。”非常遗憾，“谁画的 这椒图？”宝音连什么叫椒图都听不懂。她把图纸掩住。闺阁的丹青不便叫外人议论。“蝶老板！”九龄玉铺老板殷勤招呼，“您要的碾好 了。”“呵，龙子椒图。”苏明远完美的侧面忽然插到嘉颜和那美人之间，说话间的气息都能吹动她脸颊的绒毛。距离就有这么近。可是他没 有看她，脸微微偏着，半对着画纸、半对着先前那美人。那美人儿“蝶老板”，宝音想，该便是名伶蝶宵华了，脸对着她这边，却不是看她， 而是看苏明远。她在他们的眉目之内、视线之外。“性好闭，不叫别人进自己巢穴的龙子呢！”苏明远还在叹息，“碗是敞开的，蹲着这个做 什么？”“正为天生已经没有盖子遮了，只好求神仙来遮蔽则个。”宝音福上心头，脱口道。两人便一起定睛看她，似才认识她，都是如此绝 色的男子，一个英武，一个妍媚。宝音至今想起，脸上仍发烫，遮掩着，说了表 病笃，她作主了那药方的事，算换了大夫了，是不是要再去回 一声老太太？嘉颜骇道：“老太太你是知道的，这几日本来就乏了。表 么，时不时就病重些轻些的，都是回了老太太的话，怕老太太累得身体 也不爽利了，岂不伤表 的孝心？等闲些，或者等表 病轻些，跟老太太说一声，也就是了。今晚却罢了罢！”也只有如此，宝音静了静，想表 远道投亲，小小年纪重病缠身，再加上为人木讷不讨喜，病重些、轻些，也不过是一个人躺在偏僻旧房间里，实实的可怜见，竟不如一个得宠 丫头。夜实在深了，她与嘉颜又把一些重要事项核了遍，料明天没什么差错了，去大太太面前交差。府里上下事务，名义上是交给大房媳妇掌 管，老太太不肯放权，说派丫头帮她，实际上还把大小事务抓在手里，大太太怎敢跟老太太过不去，凡嘉颜宝音报了的事项，只要别太离了谱 儿，无不允的，却又要端架子，横看竖问、哼唧了半天才允，临走忽问宝音：“后来乐韵找过你没有？”宝音一怔：“乐韵没有找过我们。” 又问，“敢是表 用药的事？婢子斗胆作主，着药房先煎备了。若凶险，须换大夫诊脉，还照从前的六 的例，太太看可好？”六 快病死时，生 死交关，什么年轻年老的大夫，都叫来诊了，隔是一定要隔着帘、腕上也必须隔着布，诊是叫人诊了，最后也没救回来，但总要尽个意思。从 前有姨娘病危时，也是如此这般的。宝音料大太太反对不得。大太太倒没说不好，却也没说好，只叫丫头：“取那果子来给两位姑娘吃着顽 儿。”给她们两包果子作人情，便送出来了。宝音出来气道：“谁贪她果子吃？早些放我们睡去是真的！都跟她似的？请完安就能回房歪着她 的去！我们可见
复数代数形式的四则运算
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
2
所以 x 3 ．
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i c2 d 2 (c di)(c di) ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
实数(b 0) 4.复数a+bi aa 00 ， ， bb 00) 纯虚数( 虚数 ( b 0 ) aa 00 ， ， bb 00) 非纯虚数(
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
例4.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
例证明 .5 : (a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
两个共轭复数的和、乘的结果都是实数
例6 计算（a bi）
2
例7
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
高中数学——复数代数形式的四则运算
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， ①AO 则AO 即
→ ＝OA → －OC → ，所以CA → 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋ ②CA 4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ，所以OB → 对应的复数为(3＋ ③OB 2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
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OACB为矩形．
第三章
数系的扩充与复数的引入
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的
轨迹是 A．一条直线 C．圆 [答案] C B．两条直线 D．椭圆 ( )
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第三章
数系的扩充与复数的引入
[解析]
解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
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第三章
数系的扩充与复数的引入
[例 2]
已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点
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→ O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO 对应的复数； → 对应的复数； ②CA ③B 点对应的复数．
第三章
数系的扩充与复数的引入
[解析] －3－2i.
图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复
数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中．
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第三章
数系的扩充与复数的引入
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第三章
数系的扩充与复数的引入
1．复数加法与减法的运算法则 (1) 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di 是任意两个复数，则 z1 ＋ z2 (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ＝ ，z －z ＝ .
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解数学课程中学习复数代数形式的四则运算时,重点理解四则运算法则、运算律以及复数加减法的几何意义。
下面是店铺给大家带来的高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解，希望对你有帮助。
高一数学复数的四则运算知识点(一)复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
复数代数形式的四则运算-除法运算
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
(c di)(c di)
c2 d2
ac bd bc ad i (c di 0).
c2 d 2 c2 d 2
分母实 数化
四、学以致用
例1.计算 (1+2i) ÷(3-4i)
解: (1)原式= 252-（52（5i 374i（i)（) 3344ii））
= 21 - 25i - 4i2 32 + 42
=1-i
(2) 2i 2i
解：(2)原式 = 2i(2 +i) (2 -i)(2 +i)
= 4i + 2i2 22 + 12
= 4i - 2 5
= -2+ 4i
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六、课堂小结
即：(a bi ) (c di ) a bi
c di
ac
bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
bc ad c2 d2
i
不难发现，第二种方法更易于操作
三、复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母
都乘以分母的共轭复数,最后化简后写成代数形
式(分母实数化).即
那么x=？，y=？
经计算可得 （cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a，dx+cy=b
因此
x
ac c2
bd d2
,
y
bc c2
ad d2
于是
(a bi) (c di)
ac bd c2 d 2
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
选修2-3 复数代数形式的四则运算
D.－i
2.设 i 是虚数单位，若复数 m＋31＋0 im∈R是纯虚
数，则 m 的值为( A )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
3.若复数 z＝1＋2 3i，则z＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C.1
D.2
4.在复平面内与复数 z＝1＋5i2i所对应的点关于虚
轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为( C )
四、复数的综合问题
例4(1) 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2
－2a＋2)i 所对应的点在第__四__象限，复数 z 对应点的
轨迹是 一条射线
.
(2)已知复数 ω 满足 ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单
位)，z＝ω5 ＋|ω－2|.则以 z 为根的一个一元二次实系数
方程为_x_2－6x＋10＝0_. _.
(a,-b)
(0,-b)
(a,0) x
结论（2z）1=：a+任bi意两个互为共轭z1=复bi数的乘积是一个z1=实a 数且 结论（1）：在复平面内，共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
6、复数的除法
例3 计算(1 2i) (3 4i).
解 (1 2i) (3 4i)
Step2：分母实数化, 分子分母同时乘以
1 2i
分母的共轭复数
3 4i
Step1：先写 成分式形式
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i
(3 4i)(3 4i)
32 42
5 10i 1 2 i.
25
55
实数化因式
Step3：结果化
简成代数形式
【基础检测】
1.复数（1－2ii）2＝( B )
复数的四则运算 高一数学(北师大版2019必修第二册)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 11.计算(1 2i) (3 4 i)
解: (1 2i) (3 4i)
复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(1)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
例1.计算(5 6i) (2 i) (3 4i)
解:
例2.设Z=a+bi(a,bϵR),求 Z Z 与 Z - Z
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
知识新授：
证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R， 则z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)
＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i， z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)
＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i， ∵a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
例9：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cϵR
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
复数代数形式的四则运算
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z + ? R. z
例11 已知复数z1，z2满足z1· z 2＝0 ， 求证：z1＝0或z2＝0.
题型五：证明复数的有关性质 例12 求证：复数z为纯虚数的充要 条件是z2＜0.
题型六：复数的几何意义及其应用 例13 已知复数z满足
3.2
复数代数形式的四则运算 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
3.2.1
复习巩固
1.复数的代数形式是什么？在什么 条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？
代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）. 当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
提出问题Βιβλιοθήκη 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复 平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以 用复平面内哪个向量来表示？ 对应点Z（a，b），
问题探究
4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 复数z1＋z2等于什么？ z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
问题探究
5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i就是复数的加法法则，如何 用文字语言表述这个法则的数学意 义？ 两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的 实部之和，两个复数的和的虚部等于这 两个复数的虚部之和.
形成结论
复数的减法法则： 1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i 2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复 数的实部之差，两个复数的差的虚部等 于这两个复数的虚部之差.
典例讲评
1、计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
－11i 2、（2+4i）+（3-4i） 5-(3+2i) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i) (2-i)-(2+3i)+4i
高中数学第四章4.2复数的四则运算代数形式的加减运算及其几何意义素材
代数形式的加、减运算及其几何意义
一、建立复数运算的原则
作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.
二、复数的加法和减法
1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．
2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.
3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−
→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，
222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则
1212OZ OZ OZ z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．。
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3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
第三章 小结
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算
及几何意义
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1. 怎样进行复数的加减法运算? 2. 复数加减法的几何意义是什么?
1 i
=
i i2
=
-i.
(3)
7+i 3+ 4i
=
(7+ i)(3- 4i) (3+ 4i)(3- 4i)
=
21-
28i + 3i 9+16
-
4i2
=
25- 25i 25
=1-i.
3. 计算:
(1)
1+ 1-
i i
;
(2) 1i ;
(3)
7+i 3+ 4i
;
(4)
(-1+ i)(2 -i
+
i)
.
解:
解: (1) (7-6i)(-3i) = -21i+18i2 = -18-21i.
(2) (3+4i)(-2-3i) = -6-9i-8i-12i2= 6-17i. (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i) = (3-4i+6i-8i2)(-2-i)
= (11+2i)(-2-i) = -22-11i-4i-2i2 = -20-15i.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
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1. 复数怎样进行乘法运算? 2. 什么是共轭复数? 怎样用共轭复数进 行复数的除法运算?
1. 复数的乘法法则 规定: 设 z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数, 那么 (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.
a + bi c+ di
=
(a + bi)(c -di) (c + di)(c -di)
=
ac- adi + bci - bdi2 c2 +d2
=
(ac
+
bd ) + (bc c2 +d2
-
ad )i
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc c2 +
ad d2
i.
(实部) (虚部)
例4. 计算 (1+2i)(3-4i).
(3) i(2-i)(1-2i) = i(2-4i-i+2i2) = i(-5i)= 5.
3. 计算:
(1)
1+ 1-
i i
;
(2) 1i ;
(3)
7+i 3+ 4i
;
(4)
(-1+ i)(2 -i
+
i)
.
解:
(1)
1+ i 1- i
=
(1+ i)2 (1- i)(1+ i)
=
2i 2
=
i.
(2)
解: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
练习: (课本109页) 第 1、2 题.
练习: (课本109页)
1. 计算:
(1) (2+4i)+(3-4i);
(2) 5-(3+2i);
(3) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i); (4) (2-i)-(2+3i)+4i.
解: (4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)
= (0.5-1.2+1)+(1.3-0.7-0.4)i
= 0.3+0.2i.
2. 在复平面内, 复数 6+5i 与 -3+4i 对应的向量 分别是 OA与OB, 其中 O 是原点, 求向量 AB, BA 对 应的复数.
解: 由向量 OA表示 6+5i 得 A(6, 5), 由向量 OB 表示 -3+4i 得 B(-3, 4),
y Z2
O
Z1
x Z
OZ1 -OZ2 = (a -c, b-d) =(a-c)+(b-d)i. 向量减法的几何运算:
OZ1 -OZ2 = Z2Z1 =(a, b)-(c, d)=(a-c, b-d). 则 z1 - z2 = OZ1 -OZ2 = Z2Z1 = OZ.
例1. 计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
2. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z, 试作出下列 运算的结果对应的向量:
(1) z+1; (2) z-i; (3) z+(-2+i).
解: (1) z +1= OZ1. (2) z - i = z +(-i)= OZ2. (3) z +(-2+ i)= OZ3.
Z3
y
Z Z1
Z2
O1
x
【课时小结】
= a2-2abi+(bi)2 = a2-b2-2abi.
法公式, 其中 i2= -1.
例3. 计算: (1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.
解: (1) (3+4i)(3-4i) = 9-(4i)2= 9+16 =25. 此题中 3+4i 与 3-4i 称为共轭复数. 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这 两个复数叫做互为共轭复数. 复数 z 的共轭复数记着
Z2
Z
几何形式: OZ1 +OZ2 = OZ, 则点 Z 的坐标为 (a+c, b+d).
Z1
所以向量 OZ也表示复数 z1+z2. O
x
问题1. 复数可用向量表示, 还记得向量的加法 吗? 与我们规定的复数的加法是否一致?
复数加法的几何意义:
复数的加法在复平面上可以表示为向量的加法.
z1=a+bi 用向量 OZ1 表示, z2=c+di 用向量 OZ2 表示,
解: (1) (2+4i)+(3-4i) = (2+3)+(4-4)i = 5. (2) 5-(3+2i) = (5-3)+(0-2)i =2-2i. (3) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i) =(-3+2-1)+(-4+1+5)i = -2+2i. (4) (2-i)-(2+3i)+4i = (2-2)+(-1-3+4)i = 0.
2. 计算: (1) ( 3 + 2i)(- 3 + 2i); (2) (1-i)2; (3) i(2-i)(1-2i).
解: (1) ( 3 + 2i)(- 3 + 2i)= ( 2i + 3)( 2i - 3) = ( 2i)2 -( 3)2 = -2-3 = -5.
(2) (1-i)2= 1-2i+i2= -2i.
i)-
(
1 2
+
3 4
i);
(4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i).
解: (1) (6-5i)+(3+2i) = (6+3)+(-5+2)i=9-3i.
(2) 5i-(2+2i) = (0-2)+(5-2)i = -2+3i.
(3)
(
2 3
+
i)+
(1-
2 3
i)
- ( 12
的复数. 解: 如图,
BD= BA+ BC = (1-0, 3+1)+(2-0, 1+1) = (1, 4)+(2, 2) = (3, 6),
y
D
A
C
O
x
B
因为点 B 的坐标为 (0, -1),
设点 D 的坐标为 (a, b), 则
(3, 6)=(a-0, b+1),
得 a=3, b=5,
所以点 D 对应的复数为 3+5i.
类似于实数的二项式与二项式相乘, 其中 i2= -1.
如: (3-2i)(-1+5i) = -3 +15i+2i -10i2 = 7+17i.
3i(-5-i) = -15i -3i2 = 3-15i. 复数的乘法也满足交换律、结合律和分配律.
例2. 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i). 解: (1-2i)(3+4i)(-2+i)
实部相减得实部, 虚部相减得虚部.
问题2. 复数减法的几何意义是什么?
复数可用向量表示, 其减法运算也可用向量表示.
设: z1=a+bi, z2=c+di, 复数减法: z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 用向量表示复数:
z1 = OZ1 = (a, b), z2 = OZ2 = (c, d), 向量减法的代数运算:
z 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数.
一对共轭复数的积是一个实数.
(a+bi)(a-bi)=a2+b2.
例3. 计算: (1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.