自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析

具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析
【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。

【关键字】食饵—捕食者自身阻滞作用平衡点稳定性
一、问题重述
对于V olterra模型，多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。

在V olterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，并对模型的稳定性进行分析。

二、问题背景和分析
自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。

生态学称甲为食饵（Prey），种群已为捕食者（Predator），二者构成了食饵—捕食者系统。

然而在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

三、模型假设
食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合Logistic 增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。

五、模型建立、求解与分析 5.1模型建立
当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic 模型（阻滞增长）述这个种群的演变过程，即：
.
(1)x x rx N
=-。

对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：
.
1
1111
()(1)x x f x r x N ==-
， 在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小，在此情况下食饵的增长为：
.
12111112
()(1)x x
x f x r x N N σ==-
-。

对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：
.
2
2222
()(1)x x g x r x N ==--
， 在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为：
.
21
222221
()(1)x x x g x r x N N σ==--+。

得到自身具有阻滞作用的食饵—捕食者模型：
.
12111112
()(1)x x
x f x r x N N σ==-
-。

.
21222221
()(1)x x
x g x r x N N σ==--
+ 5.2模型平衡点求解
根据以上模型设()0f x =和()0g x =，解其方程组即可得到平衡点。

121111221222
2
1()(1)0()(1)0
x x f x r x N N x x g x r x N N σσ⎧
=--=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩
解得平衡点有：
1(0,0)p =、21(,0)P N =、1122312
12
(1)(1)(,)11N N P σσσσσσ+-=++。

5.3模型稳定性分析
5.3.1稳点点求解
根据微分方程平衡点的稳定性分析先求出方程的系数矩阵A ，其中：
1
21
2'''
'x x x x f f A g g ⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
带入()f x 和()g x 得到：
121
1
11111
12
2
22122222212122r x x r x r r N N N A x r x r r x r N N N σσσσ⎡
⎤
---⎢⎥⎢
⎥
=⎢
⎥--+⎢⎥
⎣
⎦
，
将平衡点带入A 中计算相应的p 和q ，其中12
''
()|i x x P p f g =-+、det(|)i P q A =(1,2,3)i =，当0,0p q >>时稳定。

经计算得到在各个平衡点稳定性如
表1
根据表1，当21σ<时，由于食饵不能够为捕食者提供足够的食物，2
1(,0)
P N =
点稳定，即捕食者将灭绝，食饵趋向环境最大容量；当21σ>时，由于食饵能够为捕食者提供足够的食物，112231212
(1)(1)
(
,)11N N P σσσσσσ+-=++点稳定，二者共存下去，
分别趋向非零的有限值，这也是食饵—捕食者保持共存的最大数量。

两者不会共
同走向灭绝。

5.3.2 相轨线分析
设1 1.0r = 、2 1.8r =、 10.5σ= 、2 1.6σ=、 1 6.0N = 、2 4.0N =得到()f x 、
()g x 的图像（图1）和相轨线（图2）。

05101520253035404550
图121σ>的()f x 与()g x 的图像
510152025
图2 21σ>的()f x 与()g x 相轨线
由图1可以看出，当
21.61
σ=>是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会趋近0。

设
11.0
r=、
21.8
r=、
10.5
σ=、
20.8
σ=、
11.6
N=、
21.0
N=得到()
f x、()
g x的图像（图3）和相轨线（图4）。

05101520253035404550
图3
21
σ<的()
f x与()
g x的图像
0510152025
图4
21
σ<的()
f x与()
g x相轨线
由图3可以看出，当
20.81
σ=<是食饵和捕食者会保持相对稳定但捕食者会趋近0即灭绝。

由以上两种模拟计算可得到所得的模型的稳定性分析合理。

六、模型优化与推广
两种群之间的关系还有相互依存关系，他们也会趋近与某种稳定状态，模型与本模型相似，只是在自身增长来自另一种群的约束。

本模型在V olterra模型的基础上加入了自身的阻滞作用更加符合自然界时间情况，但在食饵—捕食者系统中可能还有其他因素导致食饵—捕食者系统不一定趋于如上所述的稳定点，结果可能存在一定的误差。

【参考文献】
【1】姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》，北京高等教育出版社【2】姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》习题解答参考，北京高等教育出版社
[附录]
shier1.m
function x=shier1(t,x)
r1=1;r2=1.8;a=0.5;b=1.6;N1=6;N2=4;
x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)]; end
>> ts=0:0.1:50;
>> x0=[25 2];
>> [t,x]=ode45('shier1',ts,x0);
>> plot(t,x)
>> grid;gtext('x(t)');gtext('y(t)')
>> plot(x(:,1),x(:,2));grid
shier2.m
function x=shier2(t,x)
r1=1;r2=1.8;a=0.5;b=0.8;N1=1.6;N2=1.0;
x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)]; end
>> ts=0:0.1:50;
>> x0=[25 2];
>> [t,x]=ode45('shier2',ts,x0);
>> plot(t,x)
>> grid;gtext('x(t)');gtext('y(t)'
>> plot(x(:,1),x(:,2));grid。