自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析

具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析

【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。

【关键字】食饵—捕食者自身阻滞作用平衡点稳定性

一、问题重述

对于V olterra模型，多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在V olterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，并对模型的稳定性进行分析。

二、问题背景和分析

自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已为捕食者（Predator），二者构成了食饵—捕食者系统。然而在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

三、模型假设

食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合Logistic 增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。

五、模型建立、求解与分析 5.1模型建立

当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic 模型（阻滞增长）述这个种群的演变过程，即：

.

(1)x x rx N

=-

。 对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：

.

1

1111

()(1)x x f x r x N ==-

， 在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小，在此情况下食饵的增长为：

.

12111112

()(1)x x

x f x r x N N σ==-

-。 对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：

.

2

2222

()(1)x x g x r x N ==--

， 在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为：

.

21

222221

()(1)x x x g x r x N N σ==--+。

得到自身具有阻滞作用的食饵—捕食者模型：

.

12111112

()(1)x x

x f x r x N N σ==-

-。 .

21222221

()(1)x x

x g x r x N N σ==--

+ 5.2模型平衡点求解

根据以上模型设()0f x =和()0g x =，解其方程组即可得到平衡点。

121111221222

2

1()(1)0()(1)0

x x f x r x N N x x g x r x N N σσ⎧

=--=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩

解得平衡点有：

1(0,0)p =、21(,0)P N =、1122312

12

(1)(1)(,)11N N P σσσσσσ+-=++。

5.3模型稳定性分析

5.3.1稳点点求解

根据微分方程平衡点的稳定性分析先求出方程的系数矩阵A ，其中：

1

21

2'''

'x x x x f f A g g ⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

带入()f x 和()g x 得到：

121

1

11111

12

2

22122222212122r x x r x r r N N N A x r x r r x r N N N σσσσ⎡

⎤

---⎢⎥⎢

⎥

=⎢

⎥--+⎢⎥

⎣

⎦

，

将平衡点带入A 中计算相应的p 和q ，其中12

''

()|i x x P p f g =-+、det(|)i P q A =(1,2,3)i =，当0,0p q >>时稳定。经计算得到在各个平衡点稳定性如

表1

根据表1，当21σ<时，由于食饵不能够为捕食者提供足够的食物，2

1(,0)

P N =

点稳定，即捕食者将灭绝，食饵趋向环境最大容量；当21σ>时，由于食饵能够为捕食者提供足够的食物，112231212

(1)(1)

(

,)11N N P σσσσσσ+-=++点稳定，二者共存下去，

分别趋向非零的有限值，这也是食饵—捕食者保持共存的最大数量。两者不会共

同走向灭绝。 5.3.2 相轨线分析

设1 1.0r = 、2 1.8r =、 10.5σ= 、2 1.6σ=、 1 6.0N = 、2 4.0N =得到()f x 、

()g x 的图像（图1）和相轨线（图2）

。 05101520253035404550

图121σ>的()f x 与()g x 的图像

510152025

图2 21σ>的()f x 与()g x 相轨线

由图1可以看出，当

21.61

σ=>是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会趋近0。

设

11.0

r=、

21.8

r=、

10.5

σ=、

20.8

σ=、

11.6

N=、

21.0

N=得到()

f x、()

g x的图像（图3）和相轨线（图4）。

05101520253035404550

图3

21

σ<的()

f x与()

g x的图像

0510152025

图4

21

σ<的()

f x与()

g x相轨线

由图3可以看出，当

20.81

σ=<是食饵和捕食者会保持相对稳定但捕食者会趋近0即灭绝。