流体力学 第三章
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流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
流体力学第三章
精品课件
11.流体流动时，流场各空间点 的参数不随时间变化，仅随空 间位置而变，这种流动称为 （） A、恒定流； B、非恒定流； C、非均匀流；
D、均匀流；
精品课件
12.一般情况下，流线不能相交，但
在(
)处除外。
A 驻点；
B 奇点；
C相切点；
D 驻点、奇点和相切点
精品课件
13.流线与迹线，在通常情况下
均 可 能 沿 程 有 升 有 降；
（C） 总 压 线 及 位 压 线 总 是 沿 程
下 降 的， 势 压 线 沿 程 可 能 有 升
有 降；
（D） 总 压 线 沿 程 总 是 下 降 的，
势压线与位压线沿程可能有升
有 降。
精品课件
15. 流体在作恒定流动时，过流
场同一固定点的流线和迹线相互
(
)
A 平行；
同一条流线上两点A、B，A点的流速大 于B点的流速，则
（A）A 点 的 测 压 管 水 头>B 点 的 测 压 管 水 头； （B）A 点 的 测 压 管 水 头<B 点 的 测 压 管 水 头； （C）A 点 的 压 强 水 头>B 点 的 压 强 水 头； （D）A 点 的 压 强 水 头<B 点 的 压 强 水 头。 精品课件
D 前三种情况都有可能。
精品课件
18. 水 流 一 定 方 向 应 该
是（ ）
A. 从 高 处 向 低 处 流；
B. 从 压 强 大 处 向 压 强
小 处 流；
C. 从 流 速 大 的 地 方 向
流 速 小 的 地 方 流；
D. 从 单 位 重 量 流 体 机
械能高的地方向低的
地方流
11.流体流动时，流场各空间点 的参数不随时间变化，仅随空 间位置而变，这种流动称为 （） A、恒定流； B、非恒定流； C、非均匀流；
D、均匀流；
精品课件
12.一般情况下，流线不能相交，但
在(
)处除外。
A 驻点；
B 奇点；
C相切点；
D 驻点、奇点和相切点
精品课件
13.流线与迹线，在通常情况下
均 可 能 沿 程 有 升 有 降；
（C） 总 压 线 及 位 压 线 总 是 沿 程
下 降 的， 势 压 线 沿 程 可 能 有 升
有 降；
（D） 总 压 线 沿 程 总 是 下 降 的，
势压线与位压线沿程可能有升
有 降。
精品课件
15. 流体在作恒定流动时，过流
场同一固定点的流线和迹线相互
(
)
A 平行；
同一条流线上两点A、B，A点的流速大 于B点的流速，则
（A）A 点 的 测 压 管 水 头>B 点 的 测 压 管 水 头； （B）A 点 的 测 压 管 水 头<B 点 的 测 压 管 水 头； （C）A 点 的 压 强 水 头>B 点 的 压 强 水 头； （D）A 点 的 压 强 水 头<B 点 的 压 强 水 头。 精品课件
D 前三种情况都有可能。
精品课件
18. 水 流 一 定 方 向 应 该
是（ ）
A. 从 高 处 向 低 处 流；
B. 从 压 强 大 处 向 压 强
小 处 流；
C. 从 流 速 大 的 地 方 向
流 速 小 的 地 方 流；
D. 从 单 位 重 量 流 体 机
械能高的地方向低的
地方流
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学 第三章
t x
y
z
物理意义：单位时间内通过单位体积表面流入的 流体质量，等于单位时间内内部质量的增量。
（2）、可压缩定常流动连续性方程
当为恒定流时，有 ＝0
t(uLeabharlann ) (uy ) (uz ) 0x
y
z
(3)、不可压缩流体定常流动或非定常流动连续 性方程
当为不可压缩流时，有ρ=常数，则：
ux uy uz 0 x y z
2z t 2
流体的压强、密度也可表示为：p=f4(a, b, c, t)， ρ=f5(a, b, c, t)
p：流体流经某点时的压强——流体动压强 p=(px+py+pz)/3
注：
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实际上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
欧拉法（Euler Method）是以流体质点流经流场 中各空间点的运动，即以流场作为描述对象研究 流动的方法。——流场法
欧拉法不直接跟踪质点的运动过程，而是以充满 运动液体质点的空间——流场为对象。研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运 动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过 观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随 时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出 的整个流体的运动情况。
一、迹线
某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
烟火的轨迹为迹线
在迹线上取微元长度dl表示某点在dt时间内的微 小位移，dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz ，则其速度为：
u dl dt
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
4流体力学第三章流动阻力与能量损失
二、能量损失的计算公式—长期工程经验总结
液体：沿程水头损失（达西公式）：
L v hf d 2g
均流速
2
(3-1)
λ—沿程阻力系数；Ｌ—管道长度；d—管道直径；v—平
v2 局部水头损失： hj 2g
气体：沿程压强损失： 局部压强损失： 核心问题： 和 的计算。
(3-2)
L v pf d 2
第一节 流动阻力与能量损失的两种 形式
一、流动阻力和能量损失的分类 根据流动的边界条件，能量损失分：沿程能量损失 和局部能量损失 ㈠沿程阻力及沿程能量损失 ◆沿程阻力—当束缚流体流动的固体边壁沿程不变, 流动为均匀流时,流层与流层之间或质点之间只存 在沿程不变的切应力，称为沿程阻力。 ◆沿程能量损失—沿程阻力作功引起的能量损失称 之这沿程能量损失。特点：沿管路长度均匀分布， 即沿程水头损失hf ∝ l。
层流区 不稳定区
紊流区
二、沿程水头损失与流态的关系
层流区：
紊流区：
hf v
hf v
1.75: 2.0
不稳定区：关系不稳定。
三、流动型态的判断标准
●雷诺数： 雷诺等人进一步实验表明：流态不仅和流速v有关， 还和管径d、流体的动力粘度μ和密度ρ有关。 以上四个参数组合成一个无因次数，叫雷诺数，用 Re表示。
㈡时均化
紊流运动要素围绕它上下波动的平均值称为时均值。 时均速度的定义：
u x AT u x Adt
0
T
1 T u x u x dt T 0
瞬时速度
(3-20)
' x
ux ux u
二、紊流阻力
由两部分组成： ①流体各层因时均流速不同而存在相对运动，故 流层间产生因粘滞性所引起的摩擦阻力。 粘性切应力τ1按牛顿内摩擦定律计算。 ②由于脉动现象，流层间质点的动量交换形成的 紊流附加切应力τ2。 其大小由普朗特的混合长度理论计算。见式 (3-21)。 Re较小时，τ1为主要； Re足够大时,τ2为主要。
流体力学第三章简(安徽工业大学)
直角坐标系中，流线微分方程为 质点瞬时速度: 微元线段矢量（切线方向）： ds dxi dyj dzk 根据流线定义 v d s 0 得
v vx i v y j vz k
dx dy dz vx vy vz
3.流线性质 a.流线是光滑的连续曲线，一般不能突然折转； b.流线是假想的瞬时线； c.定常流动中流线形状不随时间变化，流线与迹 线重合；非定常流动二者不重合； d.实际流场中除驻点(v=0)或奇点(v无穷大)外， 流线不能相交、不能突然转折（速度唯一性）。
第三章 流体动力学基础 §3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法与质点系 跟踪每个流体质点随时间的运动变化规律， 不同质点规律不同，再综合所有流体质点的运动， 得到整个流场的运动规律。 研究对象是每个流体质点。 用拉格朗日变数（a，b，c，t）描述流体 运动，（a，b，c）为质点初始坐标，t为时间变 量，变数各自独立。
二、迹线与流线 1.迹线 流体质点的运动轨迹，是拉格朗日法描述 流体运动的几何基础。
•迹线的拉格朗日表示式
迹线的拉格朗日表示式
r r a, b, c, t
2.流线 流线是欧拉法描述流体运动的几何基础， 是某一瞬时不同流体质点组成的光滑曲线。 流线上任一质点的瞬时速度方向与该点的 切线方向一致。
三、流管、流束、总流、过流断面
1.流管：流过任意封闭曲线的流线围成的管状 假想表面。 2.流束：流管内部的全部流体。
流线和流管只有几何形状，没有体积和质 量；流束具有体积、质量、动量、动能。
3.总流：封闭曲线取在管道内壁周线上，充满 管道内部的全部流体。 4.过流断面：与速度方向垂直的断面。
四、流量与净通量 1.流量：单位时间内流过某一控制面的流体体积， 为标量。 d qv v d A 在微元流束上 qv v d A 在平面控制面上 A qv vdA 在曲面控制面上
流体力学第3章
得出涡量输运方程：
DΩ 2 (Ω )u Ω Dt
第3章
涡量与环量的一般原理
1. 旋度
旋转运动是用旋转角速度 来表征。源自在流体力学中，把两倍的旋转角速度矢 量定义为旋度，即
rotu u 2
式中，符号 rot 和 均表示求旋度， 速度的旋度为矢量。
2. 涡量
涡量就是速度的旋度，即
Ω u
有旋运动也称为涡量 Ω 不为零的运动。
式中， dA 为微分面积矢量。
这样，可通过分析速度环量研究 旋涡运动，Γ＝0 表示平面无旋运动； Γ≠ 0 则为有旋运动。
A
5. N－S 方程的替代形式与涡量输运方程
（1） N－S 方程的替代形式 利用下列表达式：
矢量恒等式 u2 (u )u ( ) u ( u ) 2 f Π 质量力有势 1 p － p ( ) 均质不可压缩流体
可将 N－S 方程化为兰姆型方程：
u p u2 2 ( Π ) u Ω u t 2
（2） 涡量输运方程
对兰姆型方程两端作“取旋度”运算， 并考虑到：
u Ω ( ) t t p
u2 ( Π )0 2 (u Ω ) ( Ω )u (u ) Ω 2 2 ( u ) Ω
3. 环量
在流场中任取一封闭曲线 L，把 速度矢量沿 L的线积分定义为速度 环量Γ，即 Γ L u dL L u x dx u y dy u z dz
式中， dL 为有向微分弧长，习惯上取反
时针回路为正向。
4.斯托克斯定理
斯托克斯定理 是将涡量与速度 环量联系起来的定理，即 Γ Ω dA
计算流体力学第三章
Axx 2Bxy Cyy D
方程的类型
The type of the equation are
B 2 AC 0 B 2 AC 0 B 2 AC 0
双曲型 Hyperbolic 抛物型 Parabolic 椭圆型 Elliptic
对于超音速流动（V>a），因为：
整理得
rewritten
dy tg ( ) c dx c dy tg ( ) c dx c
c 和 c 表示特征线的斜率。
c and
the slopes of the characteristic curves denote c
dy dx c
VxVy a
2
Vx2 Vy2 a
2
1
Vx2 1 2 a
利用速度三角形关系及马赫角定义
Using the velocity triangle relations and the mach angle of supersonic flow
Vx V cos Vy V sin 1 sin Ma
dy B B AC ( ) dx A
2
dy B B 2 AC ( ) dx A
x , y 沿特征线的变化规律 物理面特征线确定 The characteristic lines determine the change regulation of the velocity components
一、速度势方程
Equation of velocity potential function
二维轴对称流动的速度势方程
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学第3章
相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。
22.04.2021
12
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，有
dpfxdxfydyfzdz
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学
分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条
件是
f y f z z y
f z f x x z
f x f y y x
22.04.2021
15
第三节 重力场中流体的平衡帕斯卡原理
一、重力作用下的静力学基本方程式
P0
P2 P1 Z1 Z2
推导静力学基本方程式用图
22.04.2021
16
作用在液体上的质量力只有重力G=mg，其单位质 量力在各坐标轴上的分力为 fx=0，fy=0，fz=-g
代入压强差公式，得
dpgdz
及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地
方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表示，
则
pv pa p
如以液柱高度表示，则
hv
pv
g
pa p
g
式中hv称为真空高度。
22.04.2021
29
（1）当地大气压强是某地气压表上测得的压强值， 它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强 线是变动的。
M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1
于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2计 算出被测点的绝对压强和计示压强值。
22.04.2021
37
• (2) 被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)：
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学选择题:.2dr v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（b）t；（c）（v ）v；v（V ）v（d）t odv va —— v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt t v（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d ）【3.6 ］变直径管，直径d i 320mm, d2 160mm，流速V i 1.5m/s。
V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。
V| — d；V2— d；解：按连续性方程，4 4 ，故V V虫1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随时间变化而变化；（d）与时间无关。
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第三章流体力学
因为时间∆ 极短，所以a 因为时间∆t极短，所以a1b1和a2b2 是两段极短的位移， 是两段极短的位移，在每段极短的位移 压强p 截面积S和流速v 中，压强p、截面积S和流速v都可看作 不变。 不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是 a b 1 1 处流体的压强、 a1b1与a2b2处流体的压强、截面积和流 p v 2 则后面流体的作用力是p S1， 速，则后面流体的作用力是p1S1，位移S2 1 所作的正功是p 是v1 ∆t，所作的正功是p1S1v1 ∆t ，而 h1 前面流体作用力作的负功是前面流体作用力作的负功是-p2S2v2 ∆t ， 由此， 由此，外力的总功是
A
3、流线 、
A
vB
B
在流体内做一微小的闭合曲线， 在流体内做一微小的闭合曲线，通 过其上各点的流线围成的管状区域称为流管。 过其上各点的流线围成的管状区域称为流管。 因为流线不可相交， 因为流线不可相交，则 在任意时刻， 在任意时刻，流体质点 只能在流管内部或流管 表面流动， 表面流动，而不能穿越 流管。 流管。
vS
v1
S2
§3.2 伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律， 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了 理想流体在管道中作稳定流动时， 理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压 流速v和高度h 强p、流速v和高度h三个量之间的关系为 ρv2 p + + ρ gh = 常量
2
式中ρ是流体的密度，g是重力加速度。试用功能 式中ρ是流体的密度， 是重力加速度。 a1 b1 原理导出伯努利方程。 原理导出伯努利方程。 我们研究管道中一段流体的p2 S2 v 1 运动。设在某一时刻， 运动。设在某一时刻，这段 a2 流体在a 位置， 流体在a1a2位置，经过极短 b2 h1 时间∆ 时间∆t后，这段流体达到 v h2 p S 2 b1b2位置 2 2
第3章_流体力学.
n
Cii i 1
2
x2
2
y 2
2
z 2
n i 1
Ci
2i
x2
2i
y 2
2i
z 2
0
• 速度也可叠加
vx
x
x
(a11
a22
a1v1x a2v2x anvnx
ann )
下冲气流在平壁上的流线与等位线
vx ax vy ay
EXIT
3.2、几种简单的二维位流
1、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
位函数为
ua vb
；
u a v b
x
y
d dx dy adx bdy
x y
ax by c
动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有υr，而没有v 。
设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是
Q 2rvr
vrBiblioteka Q21 r
流量是常数，故流速υr与半径成反比。
EXIT
3.2、几种简单的二维位流
流函数的表达式是
Q 或 Q arctg y
2
2
x
vr
1 r
EXIT
（4）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值 。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相 互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。
流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密 的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。
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位压强势能）
z p
单位重量流体所具有的总势能 （简称单位总势能）
伯努利积分
p u2
z
2g
Cl
单位重量流体所具有的动能（简称单
u 2 位动能） 2g
****************
p u2 z
2g
单位重量流体所具有的总机 械能（简称单位总机械能）
欧
在理想流体的恒定
拉 流动中，位于同一条
观
流线上任意两个流体
• 迹线是流体质点
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合；
非恒定流时流线和迹线不重合；
四.流量（discharge）
指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断 面的流体数量。
体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）：
• 过水断面
Байду номын сангаас
与流动方向正交的流管的横断面
• 过水断面为面积微元的流管
叫元流管，其中的流动称为元
流。
dA1
u1
dA2
u2 • 过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数
2. 过流断面为渐变流；
3. 均匀不可压缩流体;
4.质量力只有重力
三.能量方程的扩展
分叉恒定流
在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须 作相应变化。质量的总流入 = 质量的总流出。
Qm1 Qm2 Qm3
Qm1
Qm2
Qm3
第七节 能量方程的应用
一.求解问题: 流量流速, 压强, 流量流速和压强 二.能量方程的解题步骤:
H z p u2 总水头
2g
水头线 将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。
u2 2g
Hp
z
o
总水头线 测压管水头线
位置水头线
水平基准线 o
理想流体 恒定元流 的总水头 线是水平 的。
假定
1. 理想流体 2.恒定流； 3. 均匀不可压缩流体; 4.质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g； 5. 沿同一条流线
解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
dx dy
ux uy
将两个分速度代入流线微分方程，得到
dx dy
ky kx
即
xdx+ydy=0
积分上式得到 x2+y2=c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
2.迹线
(1)迹线的定义 迹线(path line)某一质 点在某一时段内的运动 轨迹线。
举例
已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
ux
uy
uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
dx xt dt
1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。
例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）
等。 2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，
20 2 1 V22 15 0 V22
16 2g
2g
管中流量
V2
19.6 7 16 12.（1 m/s） 15
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.02（4 m3/s）
4
4/8/2020
43
第六节 恒定总流能量方程
一、总流能量方程
设单位重量上的某流线的能量为 e z p u 2 2g
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况 来判定
45
渐变流：流线的曲率很小接近平行，过流断面上
的压力基本上是静压分布者为渐变流 (gradually varied flow)，否则为急变流。
渐变流——沿程逐渐改变的流动。
对渐变流， p z C
12
（2）流线的性质
a.同一时刻的不同流线， 不能相交。
b.流线不能是折线，而是 一条光滑的曲线。
c.流线簇的疏密反映了速 度的大小
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为 所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。
，x方向有：
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
（3-10）
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不 可压缩流体。
恒定流
恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。
u 0 t
u u(x, y, z)
对于不可压缩流体的流动，连续方程为
u ux u y uz 0 x y z
dG重量上的能量为 dE e • dG ( z p u 2 )udA
2g
总能量
E
Ae • dG
A (z
p
u 2 )udA
2g
平均单位重量上的能量为:
e
E
Q
1
Q
A (z
p
u 2 )udA
2g
是 否
是 流渐
变
接
近
均
匀 否 流急
流
变
？
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
Ⅱ管测压孔
【例】 水流通过所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压
管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m ，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管 中流量qv。
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【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为 等压面，列等压面方程得：
空间坐标
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标,称为拉 格朗日数。所以,任何质点在空的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数.
（1）（a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指 定质点在任意时刻所处的位置。
（2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间 不同质点在空间的分布情况。
各水力运动要素均不随时间而变化。
即：
三者都等于0。
（2）非恒定流
非恒定流（unsteady flow）：
又称非定常流， 是指流场中的流体 流动空间点上各水 力运动要素中，只 要有任何一个随时 间的变化而变化的 流动。
• 流动是否恒
定与所选取的 参考坐标系有 关,因此是相对 的概念。
10
二. 流线与迹线
个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。
25
五. 断面平均流速v
总流过水断面上各点 的流速是不相同的，所 以常采用一个平均值来 代替各点的实际流速， 称断面平均流速v。
第三节 连续性方程
根据质量守恒: 因为 当流体不可压缩时，密度为常数 ρ1= ρ1
1
第四节 理想流体运动微分方程
1. Euler方程
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上无
须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如 波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。
2.欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流 经流场中各空间点的运动即以流场作为描 述对象研究流动的方法。——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以 充满运动流体质点的空间——流场为对象。 研究各时刻质点在流场中的变化规律。
恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分:
d ux dt
ux
d
t
duy dt
uy
d
t
d uz dt
uz
d
t
X
d
x
Y
d
y
Z
d
z
1
r
p x
d
x
p y
d
y
p z
d
z
上式左边可改写为：
dux dt
ux
dt
duy dt
uy
dt
duz dt
uz
dt
ux
dux
uy
duy
uz
duz
d
u
2 x
2
d
u
2 y
2
d
u
• 元流能量方程的应用举例
毕
托
h
管
测
Ⅰ管
速
pA
A
u
B
uA u uB 0 zA zB
代入 伯努利方程
pA u2 pB 0
2g
假设
Ⅰ、Ⅱ管
的存在不
扰动原流
pB
场。
Ⅱ管
u 2g( pB pA) 2gh
Ⅰ管 —— 测压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管，开口方向迎着流速。
从理想流体中任取 一(x,y,z)为中心的微元六 面体为控制体，边长为 dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) ，如图.
受力分析(x方向为例)：
1.表面力 因为理想流体，所以t=0 左表面
右表面
2.质量力
z p
单位重量流体所具有的总势能 （简称单位总势能）
伯努利积分
p u2
z
2g
Cl
单位重量流体所具有的动能（简称单
u 2 位动能） 2g
****************
p u2 z
2g
单位重量流体所具有的总机 械能（简称单位总机械能）
欧
在理想流体的恒定
拉 流动中，位于同一条
观
流线上任意两个流体
• 迹线是流体质点
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合；
非恒定流时流线和迹线不重合；
四.流量（discharge）
指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断 面的流体数量。
体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）：
• 过水断面
Байду номын сангаас
与流动方向正交的流管的横断面
• 过水断面为面积微元的流管
叫元流管，其中的流动称为元
流。
dA1
u1
dA2
u2 • 过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数
2. 过流断面为渐变流；
3. 均匀不可压缩流体;
4.质量力只有重力
三.能量方程的扩展
分叉恒定流
在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须 作相应变化。质量的总流入 = 质量的总流出。
Qm1 Qm2 Qm3
Qm1
Qm2
Qm3
第七节 能量方程的应用
一.求解问题: 流量流速, 压强, 流量流速和压强 二.能量方程的解题步骤:
H z p u2 总水头
2g
水头线 将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。
u2 2g
Hp
z
o
总水头线 测压管水头线
位置水头线
水平基准线 o
理想流体 恒定元流 的总水头 线是水平 的。
假定
1. 理想流体 2.恒定流； 3. 均匀不可压缩流体; 4.质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g； 5. 沿同一条流线
解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
dx dy
ux uy
将两个分速度代入流线微分方程，得到
dx dy
ky kx
即
xdx+ydy=0
积分上式得到 x2+y2=c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
2.迹线
(1)迹线的定义 迹线(path line)某一质 点在某一时段内的运动 轨迹线。
举例
已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
ux
uy
uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
dx xt dt
1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。
例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）
等。 2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，
20 2 1 V22 15 0 V22
16 2g
2g
管中流量
V2
19.6 7 16 12.（1 m/s） 15
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.02（4 m3/s）
4
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第六节 恒定总流能量方程
一、总流能量方程
设单位重量上的某流线的能量为 e z p u 2 2g
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况 来判定
45
渐变流：流线的曲率很小接近平行，过流断面上
的压力基本上是静压分布者为渐变流 (gradually varied flow)，否则为急变流。
渐变流——沿程逐渐改变的流动。
对渐变流， p z C
12
（2）流线的性质
a.同一时刻的不同流线， 不能相交。
b.流线不能是折线，而是 一条光滑的曲线。
c.流线簇的疏密反映了速 度的大小
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为 所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。
，x方向有：
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
（3-10）
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不 可压缩流体。
恒定流
恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。
u 0 t
u u(x, y, z)
对于不可压缩流体的流动，连续方程为
u ux u y uz 0 x y z
dG重量上的能量为 dE e • dG ( z p u 2 )udA
2g
总能量
E
Ae • dG
A (z
p
u 2 )udA
2g
平均单位重量上的能量为:
e
E
Q
1
Q
A (z
p
u 2 )udA
2g
是 否
是 流渐
变
接
近
均
匀 否 流急
流
变
？
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
Ⅱ管测压孔
【例】 水流通过所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压
管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m ，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管 中流量qv。
4/8/2020
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【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为 等压面，列等压面方程得：
空间坐标
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标,称为拉 格朗日数。所以,任何质点在空的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数.
（1）（a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指 定质点在任意时刻所处的位置。
（2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间 不同质点在空间的分布情况。
各水力运动要素均不随时间而变化。
即：
三者都等于0。
（2）非恒定流
非恒定流（unsteady flow）：
又称非定常流， 是指流场中的流体 流动空间点上各水 力运动要素中，只 要有任何一个随时 间的变化而变化的 流动。
• 流动是否恒
定与所选取的 参考坐标系有 关,因此是相对 的概念。
10
二. 流线与迹线
个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。
25
五. 断面平均流速v
总流过水断面上各点 的流速是不相同的，所 以常采用一个平均值来 代替各点的实际流速， 称断面平均流速v。
第三节 连续性方程
根据质量守恒: 因为 当流体不可压缩时，密度为常数 ρ1= ρ1
1
第四节 理想流体运动微分方程
1. Euler方程
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上无
须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如 波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。
2.欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流 经流场中各空间点的运动即以流场作为描 述对象研究流动的方法。——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以 充满运动流体质点的空间——流场为对象。 研究各时刻质点在流场中的变化规律。
恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分:
d ux dt
ux
d
t
duy dt
uy
d
t
d uz dt
uz
d
t
X
d
x
Y
d
y
Z
d
z
1
r
p x
d
x
p y
d
y
p z
d
z
上式左边可改写为：
dux dt
ux
dt
duy dt
uy
dt
duz dt
uz
dt
ux
dux
uy
duy
uz
duz
d
u
2 x
2
d
u
2 y
2
d
u
• 元流能量方程的应用举例
毕
托
h
管
测
Ⅰ管
速
pA
A
u
B
uA u uB 0 zA zB
代入 伯努利方程
pA u2 pB 0
2g
假设
Ⅰ、Ⅱ管
的存在不
扰动原流
pB
场。
Ⅱ管
u 2g( pB pA) 2gh
Ⅰ管 —— 测压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管，开口方向迎着流速。
从理想流体中任取 一(x,y,z)为中心的微元六 面体为控制体，边长为 dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) ，如图.
受力分析(x方向为例)：
1.表面力 因为理想流体，所以t=0 左表面
右表面
2.质量力