流体力学 第三章
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2)二元流
二元流(two-dimensional flow):流体主要表现在两 个方向的流动,而第三个 方向的流动可忽略不计, 即流动流体的运动要素是 二个空间坐标(不限于直 角坐标)函数。
3)三元流
三元流(threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三个 空间坐标函数。
r Hg gh p1 rgh1 则 p1 rHg gh rgh1
(mH2O)
列1-1和2-2断面的伯努利方程
p1
rg
r Hg r
h h1
13.6 0.2 0.72
2
z1
p1
rg
V12 2g
z2
p2
rg
V22 2g
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42
由连续性方程:
V1
V2
d2 d1
2
将已知数据代入上式,得
位压强势能)
z p
单位重量流体所具有的总势能 (简称单位总势能)
伯努利积分
p u2
z
2g
Cl
单位重量流体所具有的动能(简称单
u 2 位动能) 2g
****************
p u2 z
2g
单位重量流体所具有的总机 械能(简称单位总机械能)
欧
在理想流体的恒定
拉 流动中,位于同一条
观
流线上任意两个流体
四.流量(discharge)
指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断 面的流体数量。
体积流量(m3/s): 质量流量(kg/s):
• 过水断面
与流动方向正交的流管的横断面
• 过水断面为面积微元的流管
叫元流管,其中的流动称为元
流。
dA1
u1
dA2
u2 • 过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数
恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分:
d ux dt
ux
d
t
duy dt
uy
d
t
d uz dt
uz
d
t
X
d
x
Y
d
y
Z
d
z
1
r
p x
d
x
p y
d
y
p z
d
z
上式左边可改写为:
dux dt
ux
dt
duy dt
uy
dt
duz dt
uz
dt
ux
dux
uy
duy
uz
duz
d
u
2 x
2
d
u
2 y
2
d
u
并设 u3dA
u 3dA
A
v3dA
A
v3 A
A
α :动能修正系数
急变流示意图
47
对 积分 e
E
Q
1
Q
A (z
p
u 2 )udA
2g
最终: e z p v 2
2g
二. 实际流体Bernoulli 方程(能量方程)
z1
p1
1v12
2g
Hi
z2
p2
2v22
2g
hl12
适用: 1.恒定流
• 元流能量方程的应用举例
毕
托
h
管
测
Ⅰ管
速
pA
A
u
B
uA u uB 0 zA zB
代入 伯努利方程
pA u2 pB 0
2g
假设
Ⅰ、Ⅱ管
的存在不
扰动原流
pB
场。
Ⅱ管
u 2g( pB pA) 2gh
Ⅰ管 —— 测压管,开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管,开口方向迎着流速。
解: uz =0,所以是二维流动,二维流动的流线方程微分为
dx dy
ux uy
将两个分速度代入流线微分方程,得到
dx dy
ky kx
即
xdx+ydy=0
积分上式得到 x2+y2=c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
2.迹线
(1)迹线的定义 迹线(path line)某一质 点在某一时段内的运动 轨迹线。
2. 过流断面为渐变流;
3. 均匀不可压缩流体;
4.质量力只有重力
三.能量方程的扩展
分叉恒定流
在有分流汇入及流出的情况下,连续方程只须 作相应变化。质量的总流入 = 质量的总流出。
Qm1 Qm2 Qm3
Qm1
Qm2
Qm3
第七节 能量方程的应用
一.求解问题: 流量流速, 压强, 流量流速和压强 二.能量方程的解题步骤:
• 迹线是流体质点
运动的轨迹,是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方程。
t 是变数,a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中,ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数, 且t是自变量。 注意:恒定流时流线和迹线重合;
非恒定流时流线和迹线不重合;
1.流线 (1)流线的定义
流线(stream line) 是表示某一瞬时流体各点 流动趋势的曲线,曲线上 任一点的切线方向与该点 的流速方向重合。
流线是分析流动的重要 概念。
• 流线是流速场的矢量线,是某瞬时对应的流场中的一条曲线,该瞬时位于流线上
的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流 线,流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。
举例
已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t; uy= -y+t;uz=0,试求t =
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解:
由迹线的微分方程:
d x d y d z dt
ux
uy
uz
ux=x+t;uy=-y+t;uz=0
t = 0 时过 M(-1,-1):
C1 = C2 = 0
dx xt dt
个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。
25
五. 断面平均流速v
总流过水断面上各点 的流速是不相同的,所 以常采用一个平均值来 代替各点的实际流速, 称断面平均流速v。
第三节 连续性方程
根据质量守恒: 因为 当流体不可压缩时,密度为常数 ρ1= ρ1
1
第四节 理想流体运动微分方程
1. Euler方程
第三章 流体动力学基础
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念,引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式:连续性方程、能 量方程和动量方程,并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法(lagrangian method)是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法,它 以流体个别质点随时间的运动为基础,通过综 合足够多的质点(即质点系)运动求得整个流 动。——质点系法
**************** 毕托管利用两管测得总水头和测压管水头 之差——速度水头,来测定流场中某点流 速。
实用的毕托管常将测压管和总 压管结合在一起。
**************** 实际使用中,在测得 h,计 算流速 u 时,还要加上毕托管 修正系数c,即
u c 2gh
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
由于流体质点的运动轨迹非常复杂,而实用上无
须知道个别质点的运动情况,所以除了少数情况(如 波浪运动)外,在工程流体力学中很少采用。
2.欧拉法
欧拉法(euler method)是以流体质点流 经流场中各空间点的运动即以流场作为描 述对象研究流动的方法。——流场法
它不直接追究质点的运动过程,而是以 充满运动流体质点的空间——流场为对象。 研究各时刻质点在流场中的变化规律。
dG重量上的能量为 dE e • dG ( z p u 2 )udA
2g
总能量
E
Ae • dG
A (z
p
u 2 )udA
2g
平均单位重量上的能量为:
e
E
Q
1
Q
A (z
p
u 2 )udA
2g
是 否
是 流渐
变
接
近
均
匀 否 流急
流
变
?
流线虽不平行,但夹角较小; 流线虽有弯曲,但曲率较小。
流线间夹角较大; 流线弯曲的曲率较大。
各水力运动要素均不随时间而变化。
即:
三者都等于0。
(2)非恒定流
非恒定流(unsteady flow):
又称非定常流, 是指流场中的流体 流动空间点上各水 力运动要素中,只 要有任何一个随时 间的变化而变化的 流动。
• 流动是否恒
定与所选取的 参考坐标系有 关,因此是相对 的概念。
10
二. 流线与迹线
从理想流体中任取 一(x,y,z)为中心的微元六 面体为控制体,边长为 dx,dy,dz,中心点压强为 p(x,y,z) ,如图.
受力分析(x方向为例):
1.表面力 因为理想流体,所以t=0 左表面
右表面
2.质量力
单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z,
所以x方向的质量力为Xrdxdydz
由牛顿第二运动定律
2 z
2
d
u
2 x
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
质量力有势,势函数 W ,即
X W , Y W , Z W
x
y
z
重力场:X W 0,Y W 0, Z W g
x
y
z
伯努利方程
或
z
p
Baidu Nhomakorabea
u2 2g
Cl
z 单位重量流体所具有的位置势能(简称单
位位置势能)
p 单位重量流体所具有的压强势能(简称单
d y y t dt
求解
x C1 et t 1 y C2 et t 1
x= -t-1
消去t,得迹线方程:
y= t-1
x+y = -2
20
三. 元流的模型
按流体运动要素所含空间坐标变量的个数分: 1)一元流
一元流(one-dimensional flow):流体在 一个方向流动最为显著,其余两个方向的 流动可忽略不计,即流动流体的运动要素 是一个空间坐标的函数。.
12
(2)流线的性质
a.同一时刻的不同流线, 不能相交。
b.流线不能是折线,而是 一条光滑的曲线。
c.流线簇的疏密反映了速 度的大小
(3)流线的方程
根据流线的定义,可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为 所以
——流线方程
【例】
有一流场,其流速分布规律为:ux= -ky, uy = kx, uz=0, 试求其流线方程。
Ⅱ管测压孔
【例】 水流通过所示管路流入大气,已知:U形测压
管中水银柱高差Δh=0.2m,h1=0.72m H2O,管径d1=0.1m ,管嘴出口直径d2=0.05m,不计管中水头损失,试求管 中流量qv。
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【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为 等压面,列等压面方程得:
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分,两者之间没有明显的、确定的界限,需要根据实际情况 来判定
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渐变流:流线的曲率很小接近平行,过流断面上
的压力基本上是静压分布者为渐变流 (gradually varied flow),否则为急变流。
渐变流——沿程逐渐改变的流动。
对渐变流, p z C
流场运动要素是时空(x,y,z,t)的连续函数: 速度
(x,y,z,t)——欧拉变量
因欧拉法较简便,是常用的方法。
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点,跟踪质点描 述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点,研究质点流经 空间各固定点的运动特性
7
第二节 流体运动的基本概念
一. 恒定流与非恒定流 (1)恒定流
恒定流(steady flow): 又称定常流,是指流场中的流体流动,空间点上
1.选择基准面:基准面可任意选定,但应以简化计算为原则。
例如选过水断面形心(z=0),或选自由液面(p=0)
等。 2.选择计算断面:计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面,
点
质点的单位总机械能
相等。
拉格朗日观点
在理想流体的恒定流动中, 同一流体质点的单位总机械能 保持不变。
• 伯努利方程的几何意义
伯努利积分 各项都具有长 度量纲,几何 上可用某个高 度来表示,常 称作水头。
z 位置水头
z
p
u2 2g
Cl
p 压强水头
伯
努
z p 测压管水头
利 积
分
u2 速度水头 2g
,x方向有:
理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程)
(3-10)
适用范围:恒定流或非恒定流,可压缩流或不 可压缩流体。
恒定流
恒定流的时变加速度为零,但位变加速度可以不为零。
u 0 t
u u(x, y, z)
对于不可压缩流体的流动,连续方程为
u ux u y uz 0 x y z
H z p u2 总水头
2g
水头线 将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。
u2 2g
Hp
z
o
总水头线 测压管水头线
位置水头线
水平基准线 o
理想流体 恒定元流 的总水头 线是水平 的。
假定
1. 理想流体 2.恒定流; 3. 均匀不可压缩流体; 4.质量力只有重力,即X=Y=0,Z=-g; 5. 沿同一条流线
20 2 1 V22 15 0 V22
16 2g
2g
管中流量
V2
19.6 7 16 12.(1 m/s) 15
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.02(4 m3/s)
4
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第六节 恒定总流能量方程
一、总流能量方程
设单位重量上的某流线的能量为 e z p u 2 2g
空间坐标
(a,b,c)为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标,称为拉 格朗日数。所以,任何质点在空的位置(x,y,z)都可看 作是(a,b,c)和时间t的函数.
(1)(a,b,c)=const , t为变数,可以得出某个指 定质点在任意时刻所处的位置。
(2)(a,b,c)为变数,t=const,可以得出某一瞬间 不同质点在空间的分布情况。