新课标人教A版必修二3.1直线的倾斜角与斜率导学案(含答案)
人教版必修二：3.1直线的倾斜角与斜率教案
3.1 直线的倾斜角与斜率教案教学目标:1.知识与技能：（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念（2）掌握倾斜角与斜率的对应关系（3）掌握过直线两点的直线的斜率公式2.过程与方法：（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：（1）通过直角坐标系将几何问题转化为代数问题，培养学生利用代数解决几何问题的能力；（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化的辩证思维；（3）激发学生学习数学的热情。
重点难点：重点：确定直线位置的几要素，直线的倾斜角和斜率的概念，直线倾斜角与斜率的关系，用代数方法刻画直线斜率的过程以及过两点的直线斜率的计算公式。
难点：探索直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，推导过两点的直线斜率的计算公式。
教学方法：探究式学习教学工具：多媒体教学过程：一、情景导学：1.笛卡尔人物简介（了解坐标系的创立历史）2.介绍坐标系的作用，从而引出本节内容。
二、新知：利用两个动画，探究在平面直角坐标系中确定直线的要素思考：通过以上两个动画，我们可以学到什么？在直角坐标系中：1.只知道直线上一点或者知道直线的方向，直线是不确定的。
2.要确定一条直线的位置，只要知道直线上的不同两点或一点和方向问题3：以上动画2又可以如何表示直线方向（或者倾斜程度）？用角：这个角在直线中也叫做直线的倾斜角，那么直线的倾斜角又是怎样定义的？（引出直线的倾斜角）1.直线的倾斜角定义：探究：直线倾斜角的取值范围：动画演示思考下列问题：你认为下列说法对吗？a.所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
b.每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题4:在表示直线的倾斜程度时，除了用倾斜角之外，还有没有其他的表示方法呢？（生活实例）2. 直线斜率的定义：定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
斜率通常用k 表示，即：k=tana （a 为直线的倾斜角且a ≠90°）注意：倾斜角为90°时，斜率不存在。
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
高一数学人教A版必修2课后导练：3.1.1倾斜角与斜率含解析
课后导练基础达标1直线的倾斜角的取值范围是（ ）A.0°≤α<180°B.0°≤α<180°且α≠90°C.0°≤α<360°D.0°≤α≤180°解析：由直线的倾斜角的定义知，选A.答案：A2给出下列命题，正确命题的个数是（ ）①任何一条直线都有唯一的倾斜角 ②一条直线的倾斜角可以是-30° ③倾斜角是0°的直线只有一条A.0B.1C.2D.3解析：由直线的倾斜角的定义知①正确；②错误；③倾斜角是0°的直线有无数条且它们与x 轴平行或为x 轴.答案：B3给出下列命题，正确命题的个数是（ ）①若直线的倾斜角为α，则其斜率为tanα ②直线的倾斜角越大，它的斜率越大 ③直线的斜率越大，它的倾斜角越大A.0B.1C.2D.3解析：①错，当α≠90°时，k=tanα,当α=90°时，斜率不存在；②错.如135°>45°但tan135°<tan45°;③错，原因同②.答案：A4已知直线斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为( )A.45°B.135°C.45°或135°D.全不对解析：设倾斜角为α，则由条件知tanα=±1,当tanα=1时，α=45°;当tanα=-1时，因为0°≤α<180°,∴α＝135°.应选C.答案：C5过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ）A.1B.-1C.5D.-5解析：k=tan135°=-1,又知k=243-+y ,由23+y =-1得y=-5. 答案：D6已知三点A （a ，2）、B （5，1）、C （-4，2a ）在同一直线上，则a 的值为_______.解析：由5412512---=--a a ,解得a 1=2,a 2=27. 答案：2或27 7若直线l 的斜率k 满足3-<k<33，则该直线的倾斜角α的范围是. 解析：由3-<tanα<33知3-<tanα<0或0≤tanα<33,得120°<α<180°或0°≤α<30°. 答案：0°≤α<30°或120°<α<180°8分别写出下列图形的倾斜角和斜率的取值范围，并说明直线的倾斜角和斜率的范围.解析：（1）由图形知，l ∥x 轴，∴α=0°,∴k=0.(2)由图形知α为锐角，即0°<α<90°,∴k>0.(3)由图形知l ⊥x 轴，∴α=90°,k 不存在.（4）由图形知α为钝角，即180°>α>90°，∴k<0.综合运用9已知点A(a,c),B(b,c)(a≠b)，则直线AB 的倾斜角是_________.解析：由条件知点A 与B 的纵坐标相同.∴tanα=ba c c --=0,∴α=0°. 答案：0°10已知三点A(1，2),B(-1,0),C （5，4），试判断这三点是否在同一条直线上，为什么？ 解：∵k AB =)1(102---=1,k AC =211524=--, ∴k AB ≠k AC ,故A 、B 、C 三点不共线.11已知A （3，2），B （-4，1），C （0，-1），求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解：直线AB 的斜率k AB =713421=---; 直线BC 的斜率k BC =2142)4(011-=-=----; 直线CA 的斜率k CA =333021--=---=1. 由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角.拓展探究12已知实数x 、y 满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求xy 的最大值与最小值. 解：由于点（x,y ）满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3,可知点P 在线段AB 上移动，并且A 、B 两点的坐标可分别求得为A （2，4），B （3，2）.由于x y 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA =2,k OB =32,所以可求得xy 的最大值为2，最小值为32.。
高中数学人教A版必修2一课三测：3.1.1 倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率填一填1.直线的倾斜角(1)直线倾斜角的定义当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α≤180°}，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。
2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k ＝tan _α.(3)斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°斜率 (范围)k ＝0k>0不存在k<0(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1.判一判1.2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×) 3．一个倾斜角α不能确定一条直线．(√)4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(×)5．若α为直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°.(×)6．若直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为33.(√)7．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围为90°<α<180°.(√) 8．经过P(－3,1)，Q(－3,10)两点的直线斜率不存在．(√)想一想1.提示：不一定，也可能与x 轴重合．2．用斜率公式解决三点共线的方法是什么？ 提示：3．求直线倾斜角的方法及关注点是什么？提示：(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．提醒：根据定义求倾斜角，有时要根据情况分类讨论．4．利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则是什么？提示：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．思考感悟：练一练1．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对答案：C2．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的斜率是()A．1B．－1C．－1或1 D．以上都不对答案：A3．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案：C4．在平面直角坐标系中，过(1,0)点且斜率为－1的直线不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C5．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大B．平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)答案：D知识点一 倾斜角的定义1.A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角 B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率解析：倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0,180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．选D .答案：D2．已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为( ) A ．α B ．90°－α C ．180°－α D ．90°＋α解析：根据倾斜角的定义，结合图形知所求直线的倾斜角为180°－α. 答案：C知识点二 直线的斜率3.若直线经过A(1,0)，B(4，3)两点，则直线AB 斜率为( )A .33B ．1C . 3D ．－ 3解析：因为直线经过A(1,0)，B(4，3)两点，所以直线AB 斜率k ＝3－04－1＝33.故选A .答案：A4．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析：过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，所以k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1. 答案：知识点三 倾斜角与斜率的关系5.) A ．－3<k ≤0 B ．k>－ 3C ．k ≥0或k<－ 3D ．k ≥0或k<－33解析：当0°≤α<90°时，k ≥0；当90°<α<120°时，k<－ 3. 答案：C6．已知M(1，3)，N(3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( )A . 3B .33C ．1D .32解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3(3－1)3－1＝3，α＝60°，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率为33.故选B . 答案：B7.A ．(1,3)，(5,7)，(10,12) B ．(－1,4)，(2,1)，(－2,5) C ．(0,2)，(2,5)，(3,7) D ．(1，－1)，(3,3)，(5,7)解析：只需判断其中的三点是否共线，只有不共线的三点才能构成三角形．A ．k 1＝7－35－1＝1，k 2＝12－710－5＝1，k 1＝k 2，三点共线；B ．k 1＝1－42＋1＝－1，k 2＝5－1－2－2＝－1，k 1＝k 2，三点共线；C ．k 1＝5－22－0＝32，k 2＝7－53－2＝2，k 1≠k 2，三点不共线；D ．k 1＝3＋13－1＝2，k 2＝7－35－3＝2，k 1＝k 2，三点共线．故选C . 答案：C8．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 证明：因为A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，所以k AB ＝－7－(－1)－2－1＝2，k AC ＝－3－(－1)0－1＝2.所以k AB ＝k AC .因为直线AB 与直线AC 的斜率相同且过同一点A ， 所以直线AB 与直线AC 为同一直线． 故A ，B ，9.已知点解析：(1)当点P 在x 轴上时，设点P(a,0)，因为A(1,2)，所以直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.又直线PA 的倾斜角为60°，所以tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0.(2)当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)， 同理可得b ＝2－3，所以点P 的坐标为(0,2－3)．10．(1)经过两点A(－m,6)，B(m ＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m 的值；(2)求证：A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，12三点共线．解析：(1)∵A(－m,6)，B(m ＋1,3m)，∴k AB ＝3m －6m ＋1－(－m)＝3m －62m ＋1.又直线AB 的倾斜角的正切值为2，∴k AB ＝2， 即3m －62m ＋1＝2，解得m ＝－8. (2)证明：∵A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，12，∴k AB ＝－2－33－(－2)＝－1，k AC ＝12－312－(－2)＝－1.∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的倾斜角相同且过同一点A ， ∴直线AB 与AC 为同一直线． 故A ，B ，C 三点共线.基础达标一、选择题1．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角α是( ) A ．150° B ．135° C ．75° D ．45°解析：设该直线的倾斜角为α，则直线的斜率k AB ＝tan α＝3－0－5－(－2)＝－1，又α∈[0，π)，所以α＝135°.所以选B .答案：B2．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2 D ．4解析：因为k AB ＝－4－m3－(－2)＝－2，所以m ＝6，故选A .答案：A3．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为( )A ．1B . 3C .233D ．－ 3解析：因为斜率为33的直线的倾斜角为30°，所以直线l 的倾斜角为60°，故直线l 的斜率为 3.故选B .答案：B4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：利用直线的倾斜角与斜率的关系，可知选D . 答案：D5．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α ＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α<135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D .答案：D6．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2>0，即m<1.故选A .答案：A7．已知函数f(x)＝log 3(x ＋2)，若a>b>c>0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系为( )A .f (a )a >f (b )b >f (c )cB .f (a )a <f (b )b <f (c )cC .f (b )b >f (a )a >f (c )cD .f (a )a <f (c )c <f (b )b解析：作出函数f(x)＝log 3(x ＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a>b>c>0，所以f (a )a <f (b )b <f (c )c，故选B .答案：B二、填空题8．斜率的绝对值为3的直线的倾斜角α的度数为______． 解析：因为直线的斜率为3或－3，所以直线的倾斜角为60°或120°. 答案：60°或120° 9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：由k PQ ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a<1.答案：(－2,1)10．已知斜率为12的直线经过A(3,5)，B(x ，－1)，C(7，y)三点，则x 的值为________，y的值为________．解析：由题意，可知k AB ＝k AC ＝12，即5＋13－x ＝y －57－3＝12，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 711．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设点P(x ，y)，则y －3x －5＝2且y －2x ＋3＝－74，解得x ＝1，y ＝－5.故点P 的坐标为(1，－5)．答案：(1，－5)12．已知A(－2，－3)，B(3,0)，直线l 过点P(－1,2)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，k PA ＝2＋3－1＋2＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12.过点P 且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 的斜率不存在，当直线l 绕P 点逆时针旋转到PC 处的过程中，l 的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l 的斜率的取值范围是[5，＋∞)；当直线l 由PC(不包括PC)逆时针绕P 点旋转到PB 处的过程中，斜率为负且逐渐变大，此时l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 三、解答题 13．一束光线从点A(－2,3)射入，经过x 轴上点P 反射后，通过点B(5,7)，求点P 的坐标．解析：如图，设P(x,0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，即∠1＝∠2，∴α＝β.因此k AP ＝－k BP ，即0－3x －(－2)＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝⎛⎭⎫110，0. 14．如果三点A ⎝⎛⎭⎫2m ，52，B(4，－1)，C(－4，－m)在同一条直线上，求常数m 的值． 解析：由于三点A ，B ，C 所在直线不可能垂直于x 轴， 因此设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝－1－524－2m ＝74m －8，k BC ＝－m －(－1)－4－4＝m －18.因为点A ，B ，C 在同一条直线上，所以k AB ＝k BC .所以74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0.解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.所以m 的值是3＋572或3－572.能力提升15.已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围．解析：(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示．设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤33，3.16．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围．解析：y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，其中A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32. 由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.由Ruize收集整理。
人教版高中数学必修2《 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_8
xxx3.1 直线的倾斜角与斜率授课教师：教学目标 ：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． （3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．学习目标：（1）正确理解直线倾斜角和斜率概念以及作用。
（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．教学重点：直线斜率的概念和公式。
教学难点：直线斜率的概念和公式。
教学过程：一、探究——怎么确定平面内的一条直线？两点确定一条直线二、提问：给定一个点可以确定多少条直线？ 回答无数条。
那么这些直线有什么共同点和不同点？ 共同点：经过P 点；不同点：（引导学生）倾斜的程度也就是与x 轴的夹角不相同。
我们知道，如果给定两个点，能确定一条直线；如果只给定一个点，不能确定一条直线，那么还需要再加一个什么条件就可以确定直线？（引导学生）只要确定他的倾斜的程度也就是知道这个直线与x 轴的夹角就可以了。
三、为了更好的描述它的倾斜程度，我们就引入已给新的名词——倾斜角。
定义—— 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。
关键词：x 轴，正向，向上方向。
倾斜程度相同，其倾斜角相同。
倾斜程度不同，其倾斜角不同。
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？若不对，违背了定义中的哪些条件？升高量前进量B倾斜角的范围： （几何画板演示）夹角的范围：0°≤α＜180°（180°为什么不取？）四、日常生活中，还有没有是表示倾斜程度的量？上学校的路是一条上坡路，感觉有的地方特别陡，有的地方就没有那么陡，那么这种斜坡陡还是不陡的程度我们就成为坡度。
画图表示：前进量升高量坡度（比）=升高的量越大，坡度就越大。
升高的量越小，坡度就越小。
在三角形ABC 中，坡度等于α的对边比邻边，相当于是什么，在三角形的对边比邻边是哪个值？前进量升高量坡度==αtan（1）在数学上，我们给出它的定义——我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示，即：αtan =k 。
高中数学 3.2.1《直线的点斜式方程》导学案 新人教A版必修2
【学习目标】 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观：通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
【重点难点】（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【学法指导】1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。
3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。
【知识链接】1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 【学习过程】A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？yxOP P 0B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。
A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）（2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？B 问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？yP 0（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？.l l l α︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
3.2.1_直线的点斜式方程_学案(人教A版必修2)
3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程【课标要求】1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．新知导学温馨提示：(1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线．(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0.2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b .(2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的横坐标a .温馨提示(1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系．(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当斜率为0时，y ＝b 不是一次函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？提示 一定有点斜式方程．探究点2 若直线在x 轴、y 轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？提示 135°.探究点3 斜率为k 且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？提示 相同．都是y ＝kx 的形式.类型一 直线的点斜式方程【例1】 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路探索] 求出斜率，代入点斜式方程．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.[规律方法] 求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．【活学活用1】 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为________． 解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0类型二 直线的斜截式方程【例2】 求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[思路探索] 根据两直线的平行(或垂直)关系求出斜率后，再设所求方程的斜截式，由截距之和求得纵截距．解 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【活学活用2】 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程．(2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0.法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5，又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b .∵l 过点A (2，－3)，∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1，∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.类型三 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[思路探索] (1)化为点斜式，求定点；(2)化为mf (x ，y )＋g (x ，y )＝0.证明 法一 根据恒等式的意义求解．直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．法二 直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．【活学活用3】 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.易错辨析 因忽视截距所致的错误【示例】 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？[错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多．[正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1. [防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立.课堂达标 1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )．A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( )．A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－3答案 D3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．答案 y ＝4x －114．过点(1,3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1,3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝15．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定两直线的位置关系.。
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.1.1倾斜角与斜率
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．知识点一直线的倾斜角[填一填]1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．[答一答]1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？ 提示：有无数条，这无数条直线互相平行． 知识点二 直线的斜率[填一填]1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[答一答]3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度．4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？ 提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的．6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？ 提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．[答案] A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°≤α<180°解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.类型二直线的斜率命题视角1：直线斜率的定义[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.∴直线l2的斜率为－ 3.直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.命题视角2：直线的斜率公式[例3]求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不相等的实数．(1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )．[分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．[解] (1)k ＝c －cb －a ＝0，倾斜角为0°.(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a＝1，倾斜角为45°.只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.[变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A )A.33B.3C.32 D ．1解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3，∴α＝60°，故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为33.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.[变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)，k P A ＝4－(－1)2－(－1)＝53，k PB ＝－2－(－1)5－(－1)＝－16，所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.33 C. 3D ．1解析：k ＝tan30°＝33.2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D )A ．－45°<α<45°B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)．解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之．5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1. 由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°.∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.——本课须掌握的两大问题1．倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．。
人教版必修二 直线的倾斜角和斜率(教案)
直线的倾斜角和斜率(教案)一、内容和内容解析内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。
内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。
本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。
本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。
课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。
斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。
课本借助“坡度”引出斜率概念。
定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。
直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。
“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。
教学重点：斜率概念及公式。
二．目标和目标解析目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。
目标解析：1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。
结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。
2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。
3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。
4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。
三．教学问题诊断分析1．两点确定一条直线是学生知道的。
但如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。
所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。
人教课标版高中数学必修二《直线的倾斜角与斜率、平行与垂直的应用》教案(1)-新版
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.3 直线的倾斜角与斜率、平行与垂直的应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，加深数形结合思想的应用，灵活的运用斜率公式，定义，与其它知识融合，提升数学思维和数学能力． （二）学习目标 1．深化倾斜角和斜率的关系变化．2．灵活运用两点连线的斜率公式，提升数形结合思想．3．结合其它函数，三角知识，提高数学能力．（三）学习重点 1．数形结合的思想和方法． 2．公式的熟练应用．3．综合性问题的解题途径和策略的学习．（四）学习难点 1．数学结合思想的实际应用． 2．多内容融合后的分析问题的方法．3．几何性质转化为数学等式的能力．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）回顾前两节的知识，填空：直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣． 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即：tan k α＝．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．2．预习自测（1）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．3【知识点】直线的斜率． 【数学思想】数形结合．【解题过程】结合图形，通过画图平移直线 【思路点拨】从图形入手 【答案】A（2）若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）A ．21B ．21- C ．2- D ．2【知识点】点的坐标与直线的斜率．【解题过程】三点共线则任意两点间连线的斜率相等，建立方程求解． 【思路点拨】点的坐标与直线的斜率的关系建立方程 【答案】A（3）已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2≥k 【知识点】点的坐标与直线的斜率． 【数学思想】数形结合【解题过程】先求出P 与两个端点连线的斜率，再从图形得到范围． 【思路点拨】数形结合得答案 【答案】C (二)课堂设计 1．问题探究探究一 复习倾斜角和斜率的定义，公式，应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上分别画出一条倾斜角为锐角、直角、钝角的直线，默写斜率公式．【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆．●活动②例题解答，加深对知识的理解和掌握．例1．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【知识点】直线的关系，直线的斜率．【数学思想】数形结合．【解题过程】从题目意义理解，建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用，则所得射线与原射线平行；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，则所得射线与原射线起点相同，斜率更大．【思路点拨】从实际问题的意义去理解【答案】B【设计意图】通过实际问题的分析，培养学生应用数学知识的能力，加深对直线斜率的理解．●活动③例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例2．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值．【知识点】斜率与坐标的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】yx的几何意义是过M(x，y)，N(0，0)两点的直线的斜率∵实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3， ∴设该线段为AB 且A (2，4)，B (3，2)．∵k NA ＝2，k NB ＝23，∴y x 的最小值为23，最大值为2． 【思路点拨】联想斜率公式． 【答案】y x 的最小值为23，最大值为2． 【设计意图】通例题的解答，加强对斜率的坐标公式的理解和掌握． ●活动④ 变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式一．过原点引直线l ，使l 与连接)1,1(A 和)1,1(-B 两点间的线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是 ．【知识点】斜率与坐标的关系，倾斜角与斜率的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】A (1，1)，B (1，-1)． ∵k OA ＝1，k OB ＝1-，结合图形∴[]1,1k ∈-，联系倾斜角{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或【思路点拨】先求斜率范围，再联系倾斜角与斜率的关系求倾斜角范围． 【答案】{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或．【设计意图】通例题的解答，加强对斜率与倾斜角关系的理解和掌握． ●活动⑤思考与总结：倾斜角的变化与斜率变化的规律探究二 复习两直线平行，垂直的关系与应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上默写两条直线相互垂直的条件和两直线平行的条件． 【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆． ●活动② 例题解答，加深对知识的理解和掌握．例3．已知直线1l ：012=++y a x 和直线2l ：03)1(2=+-+by x a ．（1）若12-=b ，21//l l ，求a 的值； （2）若21l l ⊥，则b a ⋅的最小值． 【知识点】两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】12-=b ，21//l l ，则22(1)a a b +=-得到3±=a ；21l l ⊥则22(1)0a a b +-=，得到222(1)1112a b ab a a a a+==+⇒=+≥ 【思路点拨】用平行与垂直的关系的关系建立等式 【答案】（1）3±=a （2）2【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． ●活动③变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式二：若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0【知识点】斜率与坐标的关系． 【解题过程】∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1．∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab )]≥2＋2＝4．(当a ＝－b ＝2时取等号)． 【思路点拨】先建立关系，再求范围． 【答案】A ．【设计意图】通学生动手练习，加强对斜率公式理解和掌握． ●活动④ 例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0 与bx﹣y sin B+sin C=0的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【知识点】解三角形，两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长则sin sin sin a b c A B C ==，则1212sin ,1sin A bk k k k a B=-=⇒=-，所以两直线垂直． 【思路点拨】利用正弦定理寻找关系 【答案】A【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． 【答案】A 3．课堂总结 知识梳理整理与记忆前两节公式． 直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即tan k α＝． 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．重难点归纳公式2121y y k x x --＝应用的过程中数形结合． （三）课后作业 基础型 自主突破1．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在【知识点】倾斜角与斜率的概念，关系． 【数学思想】【解题过程】若A 、B 两点的横坐标相等，倾斜角为90°，斜率不存在． 【思路点拨】倾斜角与斜率的概念，关系判断． 【答案】C ．2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【知识点】倾斜角的概念 【数学思想】数形结合【解题过程】直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°．【思路点拨】画图了解． 【答案】C ．3．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．12D ．2【知识点】斜率定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2． 【思路点拨】画图． 【答案】D ．4．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（ ）条件．A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要 【知识点】两直线平行的关系． 【数学思想】【解题过程】()()()()1242//2412m m l l m m m +=-+-⇒-=±⇒，【思路点拨】 【答案】B ．5．已知三条直线2310x y -+=， 4350x y ++=， 10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ）A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【知识点】直线间的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】不能构成三角形，则有三种可能，即第三条直线分别于两条已知直线平行或者三条直线交于一点，得到422,,333m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．【思路点拨】考虑各种情况． 【答案】D ．6．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为21,l l ：012=-+y x ，3:10l x ny ++=．若,//21l l 32l l ⊥，则实数n m +的值为（ ） A ．-10 B ．-2 C ．0 D ．8 【知识点】直线间的关系．【解题过程】12//8l l m ?-，232l l n ^?-，所以10m n +=-． 【思路点拨】根据关系求值． 【答案】A ． 能力型 师生共研7．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°． 【知识点】倾斜角与坐标关系，解方程． 【数学思想】方程思想【解题过程】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1． 又∵直线P A 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233．∴点P 的坐标为)0,3321(-． (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )．同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．【思路点拨】．利用斜率与坐标的关系建立方程 【答案】)0,3321(-或(0,2－3)． 8．已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________．【知识点】倾斜角的定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°， k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1． 【思路点拨】三点共线则斜率相等． 【答案】－1． 探究型 多维突破9．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 【知识点】数学结合，倾斜角斜率的综合运用． 【数学思想】数形结合 【解题过程】(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．又∵tan 0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．【思路点拨】利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1及k ＝tan α求解．【答案】（1）30°；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，310．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 【知识点】数学结合，用几何意义解释数学等式． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段 A B上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5)．则k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8．∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43．【思路点拨】用几何意义解释数学等式．【答案】最大值为8，最小值为43．自助餐1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【知识点】倾斜角，斜率的概念．【解题过程】A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存 在，故正确．【答案】D ．2．已知直线()()13310l k x k y -+-+=：与()223230l k x y --+=：垂直，则k 的值是（ ） A ．2或3 B ． 3 C ． 2 D ． 2或3-【知识点】两条直线垂直时的斜率的关系．【解题过程】2123l l k k ^?=或，当3k =时经检验不符条件 ．【思路点拨】建立斜率的等式．【答案】C ．3．光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为________．【知识点】入射光与反射光的斜率互为相反数．【数学思想】数形结合【解题过程】A (－2，3)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－3)，由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－(－3)1－(－2)＝3， 所以所求倾斜角为60°．【思路点拨】入射光与反射光的之间的关系．【答案】60°．4．若直线220ax y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为_______．【知识点】平行直线间的斜率关系．【解题过程】由题意可得1a =【思路点拨】．画图得到倾斜角的范围【答案】1．5．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3； 当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92． 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．6．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1．(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3． 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3．(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34，或m＝－1．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】m＝34，或m＝－1．。
人教A版高中数学必修2教案第三章
_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°)D ．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________； (3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1， 又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.(3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在． 当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α， 直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线P A 的斜率k P A ＝4－03－(－1)＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________． 解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°， 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中，两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝33，k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m 3①.(2分)(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，(4分)经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2.(6分)(2)若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；(8分)当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，且k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m 值，解答过程不严谨 ②处讨论k 2＝0和k 2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 [活学活用]已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2. (4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m ＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直． 所以四边形ABCD 为平行四边形． 二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？ 解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34，或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k .问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？ 提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1](1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析](1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x －y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行． 答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________． 解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3， 由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
2.1 直线的倾斜角与斜率 教案 高中数学选择性必修第一册(人教A版)
2.1 直线的倾斜角与斜率教案高中数学选择性必修第一册（人教A版）教学目标：1.了解确定直线的两种方法，理解直线的倾斜角和斜率以及二者之间的联系，掌握已知倾斜角或两点坐标求直线斜率。
2.渗透数形结合和分类讨论的思想，培养学生通过直观想象，抽象概括，利用坐标方法来认识图形，锻炼学生的数学运算能力，主动探究的能力。
教学重难点：重点：确定直线的两种方法的内在联系，已知直线倾斜角和两点求直线的斜率；难点：已知两点求直线的斜率的公式推导。
教学技术：多媒体PPT，视频播放软件，几何画板等。
教学过程：（一）课堂引入：在以往的几何图形的学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法来研究结合图形的形状。
直到17世纪，法国数学家笛卡尔，费马将点、直线、圆等一些几何图形放在坐标系中，使其量化，将几何问题转化为代数问题，在通过代数方法研究几何图形的性质，由此创立了解析几何。
数学从此从定性研究到定量研究。
（章前引言）近年来，我国基础建设取得重大发展，建造了许多规模宏大，美丽漂亮的斜拉桥，（观看图片）同学们思考大桥的斜拉索可以看成什么样的图形（直线）。
这些直线与水平桥面所成的角度不同，怎么刻画？我们如何建立恰当的数学模型来解释呢？这就是我们这节课的主要内容——直线的倾斜角与斜率。
（师生互动）复习旧知：确定直线的要素：（PPT展示）（学生齐答）（1）过两点确定一条直线；（2）过一个点有无数条直线。
（二）新课讲解：（1）直线的倾斜角当直线在定点旋转的过程中，可以用什么作为参考，或者用什么几何图形来描述它？（角）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．1.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；2.直线的倾斜角的取值范围为：。
练习：找出下列直线的倾斜角（2）直线的斜率复习初中知识，用坡度来描述直线的性质。
坡度就是数量，能够量化。
思考探究：如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角的正切”．倾斜角是90的直线有正切值吗？一条直线的倾斜角90（）的正切值叫做这条直线的斜率.k（90）。
人教A版数学必修二 《直线的倾斜角与斜率》教案
湖南省蓝山二中高一数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;2. 斜率计算公式的运用.三、教学目标知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神四、教学重点，难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.难点：斜率公式的应用。
五、教学过程(一)．复习旧知问题1:正切函数的定义及定义域问题2: 正切函数的图象与单调性(二).问题情境问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(三).形成定义定义1:直线倾斜角的概念： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
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直线的倾斜角与斜率一、要点精讲 1、倾斜角和斜率 ⑴倾斜角与斜率⑵直线的倾斜角与斜率的对应关系2、斜率公式当直线l 经过两点()()11111,,,y x P y x P 时，l 的斜率：().121212x x x x y y k ≠--=题型一：直线的倾斜角1、已知直线l 过原点，将直线l 绕原点沿顺时针方向旋转α角（1800<<α）后，恰好与y 轴重合，求直线l 转动前的倾斜角是多少？2、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为A. 45+αB. 135-αC.α- 135D.当 1350<≤α时，为 45+α，当 180135<≤α时，为 135-α 3、已知直线l 的倾斜角为15-α，则下列结论正确的是A. 1800<≤αB. 1350<≤αC. 1350≤<αD. 19515<≤α4、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l 的倾斜角为45+α，则A. 900<≤αB. 18015<<αC. 18015<≤αD. 1350<<α 5．已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14B ．34C ．45D ．25试题分析：22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.6．已知点()1P ，，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120︒，则Q 的坐标为（ ）A ．()0 2，B ．()0 2-，C ．()2 0，D ．()2 0-，试题分析：设(0,)Q b ，因为y 轴上一点Q M ，它的点()1P ，连成的直线的倾斜角为120︒，所以tan120︒=，解得2b =-，即(0,2)Q -，故选B.7．已知,,a b c 是两两不等的实数，点(),P b b c +，点(),Q a c a +，则直线PQ 的倾斜角为 _________. 试题分析：因为直线经过(),P b b c +，点(),Q a c a +两点，所以直线AB 的斜率()1c a b c k a b+-+==-，所以直线AB 的倾斜角为45α=.8．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A （非坐标原点O ），直线l 上有一点()00cos130,sin 50P ，且030APO ∠=，则α等于（ ）A ．100°B ．160°C ．100°或160°D ．130° 试题分析：因为()()0000cos130,sin50cos130,sin130P P =，所以0130POx ∠=，因此1303013030α=+-或，即160100α=或，选C. 题型二：直线的斜率和倾斜角的相互转化9.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.10．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0解：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.11、下列说法中正确的是A. 若直线l 的倾斜角为α，则直线l 的斜率为αtanB.若直线l 的斜率为αtan ，则直线l 的倾斜角为αC. 若直线l 的倾斜角为90=α，则直线l 必平行于y 轴D.每一条直线l 都存在它的倾斜角α，但并非每一条直线l 都存在它的斜率k12．已知直线PQ 的斜率为，将直线绕点P 顺时针旋转60，所得的直线的斜率是（ ）A ．0B ．试题分析：斜率为，倾斜角为120，P 顺时针旋转60，倾斜角为60.13、如果直线l 经过点()0,1-，倾斜角为150, 将直线l 绕点()0,1-逆时针旋转60后，得到直线l '，求直线l '的倾斜角和斜率.解：∵直线l 的倾角为150°，∴直线的倾斜角α=(150°＋60°)－180°=30°，14．已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（） A. 60 B. 30060或 C. 30D. 33030或 试题分析：由直线方程为,3300sin 300cos =+y x所以直线的斜率为3360sin 60cos )60sin()60cos()60360sin()60360cos(300sin 300cos ==---=---=-= k因为直线倾斜角的范围)180,0[ 所以倾斜角为 30故答案为C 15．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角． 解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1. 又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．16、已知一条光线从点A （-1，3）发出，射到x 轴上，又经x 轴反射到点B （2，7），求x 轴上的光点的坐标。
解：设光点C （t ，0），,0=+AB AC k k 解得t=101-,∴)0,101(-C17、平面上有相异的两点2(cos ,sin )A θθ和B （0，1），求经过A 、B 两点的直线的斜率及倾斜角的范围. 解：由题意得 cosθ≠0.∴AB 斜率存在，k AB =θθcos 0sin 12--=－cosθ, 设直线倾斜角为α，tanα=－cosθ.∵－1≤－cosθ≤1且－cosθ≠0 ∴－1≤tanα≤1且tanα≠0又0≤α≤π.∴倾斜角α的范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛πππ,434,018．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，求该直线倾斜角的取值范围． 解：如图所示，kP A ＝6－3－1－2＝－1，∴直线P A 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．19．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________． 解：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°， 由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13.20、已知直线l 1经过两点A(1，－23)、B (－3，6)，直线l 1的斜率为直线l 2的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ.解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则由已知可求得k 1＝－23－61－(－3)＝－23，∴k 2＝－3，即ta n θ＝－3，∵θ∈[0，180︒)，所以θ＝120︒.21．直线sin 10x y θ-+=（R θ∈）的倾斜角范围是． 解：因为sin 0θ=时倾斜角为2π，sin 0θ≠时直线sin 10x y θ-+=的斜率为(][)1,11,sin θ∈-∞-+∞，倾斜角范围是3,)(,4224ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以直线sin 10x y θ-+=（R θ∈）的倾斜角范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围（ ） A ．]65,0[π B ．]65,2()2,6[ππππ⋃ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ， D ．),65[60πππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡，[来源:Z试题分析：由直线方程可知直线斜率为k ⎡=⎢⎣⎦tan 33θθ⎡∴∈-∴∈⎢⎣⎦),65[60πππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡，23．若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦试题分析：画出图象如下图所示，直线l 过定点(0,，由图可知，斜率最小值为3AB k =，此时直线的倾斜角为6π，故倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．考点：两条直线的位置关系.题型三：斜率公式及其应用24、已知三点()a A ,0，()3,2B ，()a C 5,4在一条直线上，求a 的值，并求这条直线的倾斜角。
25、已知()3,3A，()2,4-B，()2,0-C，⑴求直线AB和AC的斜率；⑵若点D在线段BC上（包括端点）移动时，求直线AD的斜率的变化范围。
26．点M(x，y)在函数y=－2x+8的图象上，当x∈[2，5]时，的取值范围是()A．[－，2]B．[0，]C．[－，] D．[2，4]【解析】的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M在函数y=－2x+8的图象上，且x∈[2，5]，所以设该线段为AB，且A(2，4)，B(5，－2)．因为所以．所以的取值范围是，选C．27、求函数y＝3sinx＋2sinx－12的值域.解：此函数式与斜率公式结构类似，所以其几何意义是点(sinx，3sinx)与点（12，－2）连线的斜率，作直线段y＝3x（x∈[-1，1］），则点M（sinx，3sinx)在此线段上.又设A（1，3），B（－1，－3），P（12，－2），则k AP＝10，k BP＝23，由图1可知k MP≥10或k MP≤23，故原函数的值域为(－∞，23]∪[10，＋∞).点评：确定点(sinx，3sinx)在线段y＝3x(x∈[-1，1］)上是解答本题的关键，这样就将问题转化为确定直线的斜率问题.28、若实数x、y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-21yxyx，则12++xy的取值范围是____________________。