您的位置：360文档中心› 上海市徐汇、金山、松江区2016届高三数学下学期学习能力诊断(二模)试题 文

上海市徐汇、金山、松江区2016届高三数学下学期学习能力诊断(二模)试题 文

合集下载

2016上海高三二模含答案

2016上海高三二模含答案

浦东新区二模测试试卷 高三数学2016.4.23、注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．不等式21x >的解为 .2．已知复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z = .3．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 . 4．函数sin 3cos y x x =-的最大值为 . 5．若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则y x += . 7．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 . 8．已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = .9．二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为 .10．定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 .11．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .12．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 .（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ； （4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y 14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 4515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）PABCDE()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b<16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）()A 84 ()B 78 ()C 81 ()D 96 17．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ）()A 10 ()B 20 ()C 25()D 30 18．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件19．函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 320．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）()A 赚723元 ()B 赚145元 ()C 亏145元 ()D 亏723元21．已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ） ()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120- 22．如果函数)(x f y =在区间I 上是增函数，而函数xx f y )(=在区间I 上是减函数，那么称函数)(x f y =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”. 若函数2321)(2+-=x x x f 是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 （ ）()A ),1[∞+ ()B ]3,0[ ()C ]1,0[ ()D ]3,1[23．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -的最小值为2，则 （ ）()A 若θ确定，则||a 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b 唯一确定()C 若||a 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b 确定，则θ唯一确定24．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知函数xxy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 26．（本题满分8分）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积． 27．（本题满分8分）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅（1）当2m =时，求cos A 的值；(2)当(1,3a b ∈时，求实数m 的取值范围.29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142n n a b ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围. 30．（本题满分8分）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM+达到最大值.31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)设函数x x x f sin )(=（20π≤<x ）. （1）设0,0>>y x 且2π<+y x ，试比较)(y x f +与)(x f 的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.①对任意]2,0(π∈x 都有1)(cos <<x f x 成立；②对任意0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有<)(x f !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-成立； ③若关于x 的不等式k x f <)(在]2,0(π有解，则k 的取值范围是),2(+∞π.32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，O否则一律得零分.1．0x >； 2．i -1； 3．(,5)-∞； 4．2； 5．)1,1(-； 6．6； 7．3π； 8．1； 9．24； 10．(1,2)-； 11．42arccos（7arctan ）； 12．（1）、（2）、（3）. 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．()A ； 14．()C ； 15．()C ； 16．()B ； 17．()D ； 18．()A ； 19．()C ； 20．()D ； 21．()A ； 22．()D ； 23．()B ； 24．()A .三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）解：集合)1,1(-=A ，……………………………………………………………………3分因为B A ⊆，所以 ⎩⎨⎧≤+-≥111a a ，01≤≤-⇒a .…………………………………6分即[]0,1-∈a . ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）解：因为1||=OA ，所以弧AB 长为π2，……………………………………………2分又因为32π=∠BSA ，则有ππ232=⋅SA ，所以3=SA ．……………………4分在SOA Rt ∆中，1||=OA.h SO ==22=， …………………6分所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ………………………………………8分27．（本题满分8分）解：OA 的方程为：12y x =. 由2212y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得280x px -=， 所以(8,4)A p p ，……………………………………………………………………3分 由17AF =，可求得2p =.………………………………………………………5分 所以(16,8)A ，AO 中点(8,4)M .…………………………………………………6分 所以OA 的垂直平分线的方程为：2200x y +-=.………………………………8分28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分) 解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅ 得A bc AAb b cos 22cos)2cos (⋅=⋅………2分 2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分 1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分（2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅ 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分 所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）解：（1）因为122n n b a +=+，122n n a b +=+，111()2n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为2，公比为12-的等比数列，所以112()2n n n b a --=⋅-.…………………………………………………………3分111()42n n n n a b a b +++=++，1118(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=，所以，当*n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分（2）由1812()2n n n n n a b b a -+=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩ 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--，21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332n p ≤--≤， 因为11()02n -->，所以1231131()1()22nnp ≤≤----.………………………8分 当n 为奇数时，11111()1()22n n=--+随n 的增大而增大， 且nnp )21(1332)21(11+≤≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11111()1()22n n=---随n 的增大而减小， 且n n p )21(1332)21(11-≤≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分30．（本题满分8分）解：因为AB 与地面所成的角的大小为60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M BM M B B +++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot 30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：显然0)(>x f ，0)(>+y x f ，于是x y x x yx x y x x x x y x y x x f y x f sin sin sin cos cos sin sin )sin()()(++=⋅++=+. ………1分因为x x y x x x x y sin cos sin 00sin 1cos 0<<⇒⎭⎬⎫><<.……………………………2分又x y y x x x x x x x y y sin sin cos 0sin cos 0tan 0sin 0<<⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<.……3分 所以x y x x y x x y x x sin sin sin cos cos sin 0+<+<. 即)()(1)()(x f y x f x f y x f <+⇒<+.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：因为0)1(cos sin 0sin 1cos 0<-⇒⎭⎬⎫><<y x x x x y .…………………………………1分又0sin sin cos sin cos 0tan 0sin 0<-⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<x y y x x x x x x x y y .……2分 xy x xy x y x x x f y x f )(sin )()sin()()(++-+=-+0)()sin sin cos ()1(cos sin <+-+-=xy x x y y x x y x x .即)()(x f y x f <+.………………………………………………………………4分（2）结论①正确，因20π<<x .xx x x x x cos 1sin 1tan sin 0<<⇒<<<⇒. 1)(cos <<⇒x f x .………………………………6分结论②错误，举反例: 设=)(x g !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-.（利用计算器）010*********.3)5.0()5.0(14>⨯=--g f 等………………………………8分（010493766163.3)6.0()6.0(13>⨯=--g f ，010*********.1)1()1(10>⨯=--g f ，0)9.0()9.0(,0)8.0()8.0(,0)7.0()7.0(>->->-g f f f g f 均可）.结论③正确，由)()(x f y x f <+知xxx f sin )(=在区间]2,0(π上是减函数.所以ππ2)()2()(≥⇒≥x f f x f ，又1)(<x f ，所以xxx f sin )(=的值域为)1,2[π.要使不等式k x f <)(在]2,0(π有解，只要π2>k 即可.………………………10分32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：11222x y x y y -++-=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分222y =，…………………………………………………4分 化简可得：21y =2222x ≤≤5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2|2|2AB AC BC ===.所以 1313221221d d yy y +=⎧⎪⇒=⎨+=⎪………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，情况（1）b a =.直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………7分情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：()()110y ax by x x y =+⎧⎪⎨--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.即()22212(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()212211b x x a -=-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即1212x x =-.所以()221112b a -=--，()22112a b =--，亦即2112a b -=-再代入条件b a >，解得103a <<，从而得到113b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：113b ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.……………………………………………12分解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈，边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(,)11b a b D a a -+++，1(,)11b a bE a a ----，又点(0,1)C ， ∴0111112111111CDE ba b S a a b a ba a ∆-+=++----=12，同样可以推出()22112a b --=.亦即1b =-b a >，解得103a <<，从而得到1123b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：1123b ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.………………………………………12分解法3：情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.令0y =，得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b 也不断减小.当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.可知2211=-b ，所以12b >-，综上可知1123b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.…………………………………………………………12分2015年1月上海市奉贤区高三数学(理科)一模试卷及参考答案一、填空题（每空正确3分，满分36分）1．已知全集U R =，集合{|21}P x x =-≥，则=P .2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽E D ACB样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .3．设41:<≤x α，m x ≤:β，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .4．若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 5．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r = .6．若i +1是实系数一元二次方程02=++q px x 的一个根，则=+q p .7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 . 8．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 的反函数为 . 9．在ABC∆中，已知14==，且ABC ∆的面积S =，则AC AB ⋅的值为 . 10．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= . 11．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 .二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能14．下列命题中正确的是 （ ） A ．任意两复数均不能比较大小 B ．复数z 是实数的充要条件是z z =C ．复数z 是纯虚数的充要条件是0Imz =D ．1i +的共轭复数是1i -15．与函数y x =有相同图像的一个函数是 （ ）A ．y =B ．log (01)a x y a a a =>≠且C ．2x y x= D ．log (01)xa y a a a =>≠且16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2xy = C ．sin y x = D ．x y tan =17．在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥18．设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是 （ ） A ．),(1b a P - B ．),(2b a P -- C ．),(3b a P - D ．),(4b a P -19．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的方程为 （ ） A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 20．在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）A ．20B ．160C ．240D ．192 21．已知数列{}n a 的首项11a =，*13()n n a S n N +=∈，则下列结论正确的是 （ ）A ．数列是{}n a 等比数列B ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等比数列 C ．数列是{}n a 等差数列 D ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等差数列 22．在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则角A 的取值范围是 （ ）A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．03π⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭23．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b--的上确界为 （ ）A ．92- B ．92 C ．41 D ．4-24．定义两个实数间的一种新运算“*”：*lg(1010)x yx y =+，x 、y R ∈。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx

高中数学学习材料唐玲出品上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：函数一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）函数21x y =-的定义域是_______．(用区间表示)3、（虹口区2016届高三二模）已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 012()f x 32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=5、（静安区2016届高三二模）若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6、（闵行区2016届高三二模）函数3log (1)y x =-的定义域是 .7、（浦东新区2016届高三二模）方程22log (97)2log (31)x x+=++的解为8、（普陀区2016届高三二模）若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．10、（杨浦区2016届高三二模）函数2()1x f x x +=-的定义域为 . 11、（闸北区2016届高三二模）设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．13、（崇明县2016届高三二模）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ． 14、（奉贤区2016届高三二模）已知函数()22xxf x a -=-⋅的反函数是()1fx -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．15、（黄浦区2016届高三二模）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x的定义域中的a 、b 满足()()3f a f b -+--=()()3f a f b ++，则()()f a f b += 16、（闵行区2016届高三二模）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 17、（浦东新区2016届高三二模）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为 .18、（普陀区2016届高三二模）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是-------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩20、（杨浦区2016届高三二模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+21、（闸北区2016届高三二模）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 22、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．23、（普陀区2016届高三二模）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．2、（奉贤区2016届高三二模）（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+； (2)已知()()31lg 1log 2f x x x =+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.3、（虹口区2016届高三二模） 已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数.（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >； （1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；5、（静安区2016届高三二模） 已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.（1）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量31(,)22m =，(sin 2,cos 2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.6、（闵行区2016届高三二模）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案 一、填空题1、－12、[)0,+∞3、{}3,2,1,5-4、3(1)x - 5、A 6、()1,+∞7、{}0,1 8、⎪⎭⎫⎝⎛231， 9、12a - 10、11、12 12、)1,3(13、11 14、1 15、15 16、623,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭17、3a =- 18、0 19、B 20、C 21、32m ≤-或32m ≥； 22、]2,0[]2,( --∞ 23、2->a二、解答题1、（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（2） 由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，................................................8分原不等式等价于6t tλ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分2、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+3分 210x x <<，所以()212201x xx x ->+ 4分∴212111x x x x >++5分(2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lg x xx x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg 21++x x -213log 21x x 7分=11lg 21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->log 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴->8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分⇔922310713447,100713447n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或14分 ∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=MM 的子集的个数是4. 16分3、解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立. 由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞-……14分 4、[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证．5、（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2)因为311sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x π⋅+=++=++,所以()s i n (2)16f x x π=++, …………7分 ()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭；因为23A I π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以在区间(0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f π=成立,因此()1f x m n =⋅+在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0m <。

上海市四区2016届高三二模数学试卷

上海市四区2016届高三二模数学试卷

上海市四区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1. 设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B =2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z -=+，则||z = 3. 设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是4. 计算：222lim(1)n nn P C n →∞+=+ 5. 在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为 6. 已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ=7. 设定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解 集是8. 在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px = （0p >）的焦点，则抛物线C 的方程为9.（文）已知x 、y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（理）直线115x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为10.（文）在26()k x x+（k 为实常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则k =（理）记1(2)nx x+（*n N ∈）展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n =11.（文）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面 积等于12的概率是 （理）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点 所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ=12.（文）已知数列{}n a 满足212...3n a a a n n +++=+（*n N ∈），则22212 (231)n a a a n +++=+（理）已知各项均为正数的数列{}n a 2...3n n =+（*n N ∈），则12 (231)n a a a n +++=+ 13.（文）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项 不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 （理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项 不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14.（文）对于函数()f x =，其中0b >，若()f x 的定义域与值域相同，则非零 实数a 的值为（理）已知0a >，函数()af x x x=-（[1,2]x ∈）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是二. 选择题15. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 下列命题正确的是（ ）A. 若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；B. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；C. 直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l ；17. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c的最大值是（ ）A. 1B. 2 D. 218.（文）已知直线:2l y x b =+与函数1y x=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点， 记OAB ∆的面积为S ，则函数()S f b =是（ ）A. 奇函数且在(0,)+∞上单调递增B. 偶函数且在(0,)+∞上单调递增C. 奇函数且在(0,)+∞上单调递减D. 偶函数且在(0,)+∞上单调递减（理）已知函数3|log |03()sin()3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A. (60,96)B. (45,72)C. (30,48)D. (15,24)三. 解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点；（文）（1）求证：AC ⊥平面11BCC B ；（2）求异面直线1B D 与AC 所成角的大小； （理）（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小； （结果用反三角函数值表示）20.（文）已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）；（1）写出函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；（理）已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--（0ω>，x R ∈），且 函数()f x 的最小正周期为π； （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；21. 定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界； （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出 ()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）（文）若函数11()1()()24x xg x a =+⋅+在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（理）若函数()124xxg x a =++⋅在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取 值范围；22.（文）设椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距；（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线x a =±，y b =±所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OP mOC nOD =+，求证：22m n +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足于BFM ∆与BFN ∆的面 积的比值为2，求直线l 的方程；（理）如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、 B 两点，与y 轴交于点P ；（1）若PA AB =，求k 的值； （2）求证：AFP BFO ∠=∠； （3）求面积ABF ∆的最大值；23.（文）已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-； （1）求1b 、2b 、3b 、4b ； （2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）设12231...n n n S a a a a a a +=+++，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a的取值范围；（理）已知正项数列{}n a 、{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且110a =，215a =；（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111...n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实 数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (2,1]-2. 13. (3,1)4.32 5. 23π7. (,2][0,2]-∞- 8. 24y x = 9.（理）(0,1)（文）6-10.（理）5（文）2 11.（文）3712. 226n n +13.（理）{48,51,54,57,60}（文）{24,27,30} 14.（理）6+4-二. 选择题15. B 16. D 17. C 18.（理）B （文）B三. 解答题19.（文）（1）略；（2）2arccos3；（理）（1）略；（2）2arccos 3； 20.（文）（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，增区间[,]36k k ππππ-+；（2）3B π=，3ac =，4a c +=，b =；（理）（1）()2sin(2)16f x x π=+-；（2）3B π=，b =；21.（1）有界，{|1}M M ≥；（2）（文）[5,1]-；（理）11[,]28--；22.（文）（1）22143x y +=；（2）2212m n +=；（3）(1)2y x =±-；（理）（1）4y x =-；（2）0FA FB k k +=，略；（3； 23.（文）（1）134b =，245b =，356b =，467b =；（2）23n n b n +=+；（3）1a ≤； （理）（1）略；（2）(3)(4)2n n n a ++=，2482n n b n =++；（3）1a ≤；四区理科参考答案 一．填空题（每小题4分，满分56分）1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，…（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分） （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），)0,2,0(=是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分） 因为=，所以122x x =，代入上式求得556=k ． ………………………（4分）（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0=+BF AF k k ． ………………………………………………………（2分）21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k ． …………………………………………（5分）所以，BFO AFP ∠=∠． …………………………………………………（6分） （3）由△0>，得042>-k ，所以21221214)(321||||21x x x x x x PF S S S PAF PBF ABF -+⋅⋅=-⋅=-=∆∆∆ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………（3分）令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故tt t t k k S ABF163181631843418222+=+=+-=∆433163218=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）． ………（5分） 所以，△ABF 面积的最大值是433． ……………………………………………（6分） 23．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由已知，12++=n n n a a b ① 121++=n n n b b a ②， ………………（1分）由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………（2分） 将③代入①得，对任意*N ∈n ，2≥n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}nb 是等差数列． …………………………（4分）（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ，……（1分） 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………（3分） 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………（4分）所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………（5分）2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………（6分） （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分） 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………（4分） 设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分） 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何.docx

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何.docx

高中数学学习材料唐玲出品上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为cm 2．2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， 则球O 的表面积为__________4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V = 5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为23cm ，侧面积为 283cm ，则它的体积为 .6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________． 8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h10、（杨浦区2016届高三二模）已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条 11、（闸北区2016届高三二模）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =，则球O 的表面积等于（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）下列命题正确的是（ ）． （A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .13、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线14、（浦东新区2016届高三二模）给出下列命题，其中正确的命题为( ) （A ）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；（B ）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （C ）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （D ）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 的中点． （1）求证：11EF B D ∥； （2）求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）．2、（奉贤区2016届高三二模）面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是33． (1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1 DFEADCPEQ A DCBP （第20题图）3、（虹口区2016届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.4、（黄浦区2016届高三二模）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分两钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳面的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；5、（静安区2016届高三二模）设点,E F 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E 与1C F 的数量积；（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在直线MN ，MN ⊥平面ABCD ？若存在，求点,M N 的坐标；若不存在，请说明理由EFB 1A 1C 1D 1BC DA6、（闵行区2016届高三二模）如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -的体积为26．7、（浦东新区2016届高三二模）如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为»AB 的中点，SO AB =.（1）证明：AB⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成的角.（结果用反三角函数表示）8、（普陀区2016届高三二模）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．10、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点. (1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.1A 1B 1CA BCD .A 1CEABCD B 111、（闸北区2016届高三二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点． （1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角 函数值表示）．参考答案一、填空、选择题1、12π2、23、64π4、3325、4106、3 ABC A 1B 1C 1D7、1 或3 8、C 9、D 10、D 11、A 12、D 13、B 14、D二、解答题1、可得有关点的坐标为 11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =-- ，11(1,1,0)B D =--......................4分所以112B D EF =...............................5分 所以11EF B D ∥...............................6分 （2）设1(,,)n u v w = 是平面1C EF 的一个法向量. 因为111,n EF n FC ⊥⊥ 所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+=解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-.............................9分 因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n = .........10分 设1n 与2n 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅ .......................11分结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos3π- ........12分 2、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C 1分 ,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC 2分B ∈面PBE ,B ∈面ABC 3分 面PBE 与面ABC 的交线BC 5分 (2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分 233BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z23,0,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，()0,2,0C ()0,1,0D ()0,1,1E ()0,0,2P 23,0,23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，23,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1D FExyzQA D CBP （第20题解答图）zyx 123203n BP x z ⋅=-+=12303n BE x y z ⋅=-++=()13,1,1n ∴=11分面ABC 的法向量()20,0,1n =1212cos n n n n θ⋅==⋅1555= 12分 所以面PBE 与面ABC 所成的锐二面角大小5arccos513分 注：若作出二面角得2分，计算再3分(2)(文) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分 多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分 233BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角． 11分计算2AE =,2363tan 32BAE ∠== 12分BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角6arctan3． 13分3、（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间 直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =-(0,2,2),DP =-(0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n =. ……5分ADB CPEADBC PEzxy所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分(2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ =-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z =则00000000200,.0n ADy y z x n AQx z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分 注：第（1）小题也可用等积法来做.4、[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =，（4分） 在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin 60h≈︒厘米．（12分）5、（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =-- …………2分 11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =- …………4分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=。

上海市徐汇、金山、松江区2016届高三生命科学下学期学习能力诊断(二模)试题

上海市徐汇、金山、松江区2016届高三生命科学下学期学习能力诊断(二模)试题

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级生命科学学科2016.4一、选择题（共60分，每小题2分。

每小题只有一个正确答案）：1、关于下图所示生物或细胞的叙述，正确的是a：噬菌体b：蓝藻c：酵母菌d：叶肉细胞A.abcd均在DNA中储存遗传信息B. abcd均能进行有氧呼吸C.bd均可在叶绿体中合成有机物D. bcd均有纤维素和果胶构成的细胞壁2、下列叙述符合现代生物进化理论的是A．自然选择决定生物进化的方向B．是否形成新物种是生物进化的标志C．若环境条件保持稳定，则种群的基因频率不会发生改变D．只有生殖隔离能阻止种群间的基因交流3、在人体皮肤生发层正在分裂的细胞中中心体移向两极时，下列几种酶最活跃的是①RNA聚合酶②解旋酶③ATP水解酶④ATP合成酶A①② B．①③ C．②③ D．③④4、在人体肝脏细胞内不能发生的是( )A．糖原水解成葡萄糖并释放到细胞外 B合成并释放淋巴因子C． H2O2酶催化H2O2分解成水和氧气 D丙酮酸彻底氧化分解5、在生物体内，下列生理活动只能单向进行的是A．质壁分离过程中水分子的扩散 B．生长素在胚芽鞘中的极性运输C．肝细胞中糖原与葡萄糖的转化 D．活细胞内ATP与ADP的转化6、下图是达尔文利用燕麦胚芽鞘所做的实验，该实验研究的目的是探究（）A.生长素是否会受到强光的破坏B.胚芽鞘是否表现向光性，取决于尖端存在C.胚芽鞘背光的一侧促进生长的物质含量是否较多D.胚芽鞘尖端对光线是否敏感，照光后是否会引起胚芽鞘向光弯曲7、右图中的曲线①表示酶在各种温度下酶活性相对最高酶活性的百分比。

曲线②将酶在不同温度下保温足够长的时间后残余酶在最适宜温度下测出的活性，即残余酶活性。

根据图中的数据，判断该酶固定化使用的最佳温度范围是（）A．40℃~50℃B．50℃~60℃C．60℃~70℃D．70℃~80℃8、关于微生物的叙述,完全正确的是①古细菌的细胞壁与大肠杆菌的细胞壁成分不同②青霉素不能杀灭肝炎病毒③酵母菌主要通过芽孢进行繁殖④古细菌对利福平敏感A．①②B．③④C．①②④D．②③④9、天气变冷时，人体散失的热能增多，为维持体温恒定，下列哪些腺体的分泌量增多（）①垂体②甲状腺③胰岛④肾上腺A. ①②③B．①②④C．②④ D．③④10、下列关于血压的叙述，正确的是① 收缩压和舒张压分别发生在心房的收缩期与心室的舒张期② 动脉扩张时测得的血压称舒张压③ 副交感神经兴奋会使动脉血压下降④ 血管的管腔大小和血液黏滞度都影响血压A．①③ B．③④ C．①②③ D．②③④11、如图为分泌蛋白从合成到排出细胞外的全过程。

上海松江区高三数学二模试卷及答案

上海松江区高三数学二模试卷及答案

松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21x f x =-，则1(3)f -= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ． 4．直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ． 10．已知椭圆()222101y x b b +=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PFb 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则(A) 12t =，s 的最小值为6π (B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；(2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有(A) 1个(B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．(1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB和AC 的长度分别为多少米(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++L ，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =请说明理由；(2) 若13a =，61n n T =-，求数列{}n a 的通项公式； (3) 令21*112122,n n n n T T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．2910．2 11．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分 ),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分 由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分(2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r ……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r ……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin A M A BM A B ∠===……………………12分所以1arcsin A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分18．（1）由()4()3f x g x =+得2423x x -=⋅+ ……………………2分 223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a x x +-≥ ……………………8分 2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232x x -+⋅≥[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分19．（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅o y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r ， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分 由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分 所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20． (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)22a a ±………2分所以214,22a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分(2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+ 11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q ()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分(3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分 ()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>， 所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩； ………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++，所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d 当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。

(优辅资源)上海市徐汇区高三下学期学习能力诊断(二模)数学试题Word版含答案

(优辅资源)上海市徐汇区高三下学期学习能力诊断(二模)数学试题Word版含答案

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．12的二项展开式中，常数项是 .3_____________．45_________． 6___________．7___________．8，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点．．是.10恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函的最大值和最小值分别为则函数图像的一个对称中心是．12．已知向量的夹角为锐角，且满若对任意的，都有成立，则的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．130--------（）（A）菱形（B）矩形（C）直角梯形（D）等腰梯形14.----------（）（A）第一象限．（B）第二象限．（C）第三象限．（D）第四象限．15------------（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16------------------------------------------------------------------( )（A）10 （B）8 （C（D）12NMD 1C 1B 1A 1DCBA三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方（1（2示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：20送快件到（1） 试问，快递小哥能否在50（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派6019．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)[12,15](1)(2)20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线(1)(2)(3)，21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)9项和为36．(1)(2)项的位置上，(3))；若不存在，请说明理由．2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2018.4 一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分2．2034 5678910．1112二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A14．D15．B16．A三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）--------6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则、、、，所以1、10分1110A MB N=⋅14分ENMD 1C 1B 1A 1D CBA四边形平行四边形，角或其补角．----------------------------------------9分----------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1，-------------------2分快递小哥不能在50---------------------------------------6分（2，------------------------------------------------------------8分，-----------------------------------------------------10分-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)------------------------------------------------------6分---8分--10分1-1对应关系，具有反函数．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)分(2)------------------------------------6分10分(3)分两式相除，可知16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)1，数列，分---------------------------------------------------------------------------------4分(2)n----5分-----------6分----------7分------------------------8分------------------------------------------------10分(3)由(1)---------------------------------------11分------------------------------------------13分1分----------------------------15分---------------------------------------------16分-------------------------------17分综上，成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分。

上海市徐汇区、金山区、松江区2016年高考数学二模试卷(文科) 含解析

上海市徐汇区、金山区、松江区2016年高考数学二模试卷(文科) 含解析

2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．若集合A={x|3x+1＞0}，B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=．3．若=（3,2）是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示）4．若复数z满足=﹣i,其中i为虚数单位,则= ．5．求值:= 弧度．6．已知=3,设=λ，则实数λ=．7．函数y=+的最小值为．8．试写出（x﹣）7的展开式中系数最大的项．9．已知三个球的表面积之比是1：2:3，则这三个球的体积之比为．10．已知实数x，y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b)，则= ．12．从集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= ．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下:在△ABC中,已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．14．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．17．函数y=的反函数是（)A．y= B．y=C．y= D．y=18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．20．已知函数f(x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x）的单调递增区间;（2)将函数y=f（x)图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x）的图象,求方程g(x)=1的解．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．(1）若不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；(2)在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f（x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程；(2）当点P(x，y）在椭圆C上运动时，点Q（,)在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形；（3）过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N（M，N 不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴的截距分别为m，n，试问：+是否为定值？若是，求出该定值,若不是,请说明理由．23．按照如下的规律构造数表:第一行是：2；第二行是：2+1，2+3：即3,5;第三行是:3+1，3+3，5+1，5+3，即：4,6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…(1）求a3，a4，a5；（2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N*），求S n和S n 的值．2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为(1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1,0)故答案为：（1，0)2．若集合A={x｜3x+1＞0｝,B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A=｛x｜3x+1＞0}=｛x｜x＞﹣},B={|x﹣1|＜2｝={x｜﹣2＜x﹣1＜2}={x｜﹣1＜x＜3},则A∩B={x｜﹣＜x＜3}，故答案为：（﹣，3）．3．若=(3，2）是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线l的一个方向向量求出直线的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解:∵直线l的一个方向向量为（3，2)，∴直线l的斜率为k=,设其倾斜角为α（0≤α＜π），由tanα=，得α=arctan．故答案为：arctan．4．若复数z满足=﹣i，其中i为虚数单位，则= 1﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：由=﹣i,得，∴．故答案为：1﹣i．5．求值:= 弧度．【考点】二阶矩阵；反三角函数的运用．【分析】利用二阶行列式展开法则由原式得到﹣2arctan,再利用反三角函数性质能求出结果．【解答】解:：=﹣2arctan=3×﹣2×=．故答案为:．6．已知=3,设=λ，则实数λ= 2 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可知,这样带入便可得到,从而便可得出λ的值．【解答】解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．7．函数y=+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】令=t，可得：y==g（t），利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：令=t，∴y==g（t),g′（t）=1﹣=＞0，∴函数g（t）在上单调递增,∴g(t）的最小值为:=．故答案为：．8．试写出（x﹣)7的展开式中系数最大的项．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=(﹣1）r x7﹣2r，r必须为偶数,分别令r=0,2，4，6，经过比较即可得出．【解答】解：T r+1=x7﹣r=（﹣1)r x7﹣2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4,6,其系数分别为：1,，，．经过比较可得：r=4时满足条件,T5=x﹣1=，故答案为：．9．已知三个球的表面积之比是1:2：3，则这三个球的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的表面积之比求出半径之比，然后求出它们的体积之比即可．【解答】解：设三个球的半径为a，b，c,根据球的表面积公式得出4πa2：4πb2：4πc2=1：2：3，所以它们的半径之比为a:b：c=1：：．则它们的体积之比是a3：b3：c3=故答案为：10．已知实数x,y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(﹣1，3)，化目标函数z=﹣x﹣y为y=﹣，由图可知,当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小,z有最大值为．故答案为：．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b）,则= ．【考点】极限及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】先解一元二次不等式，求得a,b的值，将其代入，分式同除3n，可求得极限值．【解答】解:不等式x2﹣5x+6＜0，解集为（2，3）∴a=2，b=3,====．故答案为：．12．从集合A={1，2,3，4，5,6，7,8，9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= 4或7 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意=，由此能求出结果．【解答】解：∵从集合A=｛1，2，3,4，5，6,7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈A）的概率为，∴=，解得k=4或k=7．故答案为：4或7．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．【考点】正弦定理．【分析】要把横线处补全,就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数,根据正弦定理求出b的长,再由三角形的内角和定理求出C的度数,由a,b 及cosC,利用余弦定理即可求出c的长．【解答】解：根据正弦定理得：=，a=,sinB=,sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==,则c=．故答案为：14．定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a(0＜a＜1)的所有零点之和为1﹣2a．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象,设函数F（x）=f（x)﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a,x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，故答案为：1﹣2a．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“"的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】已知非零向量、，根据f（﹣x)=f（x），求出向量、的关系，再利用必要条件和充分条件的定义进行判断．【解答】解：∵函数=（x）2+2+2•x，又f（x）为偶函数，f(﹣x）=f(x），∴f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣2•x，∴f（﹣x）=f（x）,∴2•x=0,∴•=0，∴，若，则•=0，∴f（﹣x）=f（x),∴f(x）为偶函数,故选C．16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体中小正方体的排放位置进行判断．【解答】解：设几何体中小正方体的边长为1，∵几何体的高为3，宽为2，故左视图的高为3,长为2．∵几何体前排为单个小正方体，∴左视图的右侧为单个小正方形，故选B．17．函数y=的反函数是（）A．y= B．y=C．y= D．y=【考点】反函数．【分析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．【解答】解:∵y=,x≥0时,由y=2x，解得x=，把x与y互换可得：y=x；x＜0,由y=﹣x2，解得x=﹣，把x与y互换可得：y=．∴函数y=的反函数是y=．故选：B．18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1)2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据方程x2+mx+m2﹣m=0根的判别式大于0,算出0＜m＜,由根与系数的关系算出x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m．再利用直线的斜率公式算出AB的斜率k=﹣m，利用中点坐标公式算出AB的中点为M（﹣m，﹣m2+m)，得出直线AB的方程为mx+y+m2﹣m=0．最后利用点到直线的距离公式,算出已知圆的圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径,可得直线AB 与已知圆相离．【解答】解:∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根，∴△=m2﹣4（m2﹣m）＞0，即0＜m＜，且x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m，可得x12+x22=(x1+x2）2﹣2x1x2=﹣m2+2m，因此，直线AB的斜率k=x1+x2=﹣m，AB的中点为M((x1+x2），（x12+x22））,即M（﹣m，﹣m2+m）∴直线AB的方程为y﹣（﹣m2+m）=﹣m(x+m），化简得mx+y+m2﹣m=0又∵圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r=1，∴圆心C到直线AB的距离为d==，∵0＜m＜，可得d=＞1，∴圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相离．故选：A．三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．(1)求a的值；(2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．（2）由AC⊥平面A1B1B，利用等体积法能求出三棱锥B1﹣A1BC的体积．【解答】解:(1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0,a），B（1，0，0)，B1（1,0，1）,C1（0，1，a），=（1，0，﹣a)，=（﹣1，1，a﹣1)，∴异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，∴cos60°===，由AA1=a＞0，解得a=1．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°,∴AC⊥平面A1B1B，∵AC=1,==，∴三棱锥B1﹣A1BC的体积===．20．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x)的单调递增区间；（2）将函数y=f(x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g(x)=1的解．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦;函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】（1)把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间［2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），求出x的范围，即为函数f（x）的单调递增区间；（2）根据平移规律“左加右减”，由f(x）的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g（x）,令g(x）=1，得到sin（2x﹣）=0,根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值，即为方程g（x）=1的解．【解答】解:(1)函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+)+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z)得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由已知得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin(2x ﹣），由g（x）=1得：sin(2x﹣)=0,∴2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z）．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．（1）若不等式f(x）＜6的解集为（﹣1，3)，求a的值；(2）在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f(x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】(1)求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3,再根据不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3=﹣1，由此求得a的范围；（2)令g(x）=f（x）+f（﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．【解答】解:（1）∵函数f(x）=｜2x﹣a|+a，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3),∴｜2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1,3)，由｜2x﹣a｜＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a ﹣3≤x≤3，故有a﹣3=﹣1，a=2．（2）在（1）的条件下,f（x）=｜2x﹣2｜+2，令g（x)=f（x）+f(﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4=，故g（x)的最小值为8，故使f(x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数a的范围为[8,+∞）．22．已知椭圆C:+=1(a＞b＞0）的右焦点为F（1，0）,且点P（1,）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程;(2)当点P（x，y）在椭圆C上运动时,点Q（,）在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；（3)过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴,y轴的截距分别为m,n，试问：+是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由已知得，Q(，）,(0≤θ＜2π）,由此能求出曲线S的轨迹方程，并能指出该曲线是什么图形．（3）由题意：确定出C1的方程,设点P(x1，y1)，M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN 方程,求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．【解答】解：(1）∵椭圆C：的右焦点为F(1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2,b=，∴椭圆C的标准方程为．（2)∵点P（x，y）在椭圆C：上运动时,点Q（，）在曲线S上运动，∴，∴Q（，）,（0≤θ＜2π），∴曲线S的轨迹方程为，曲线S是以原点为圆心,以为半径的圆．（3）由题意：C1:+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2)，N（x3,y3)，∵M,N不在坐标轴上,∴k PM=﹣=﹣,∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣(x﹣x2)，化简得:x2x+y2y=,①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0,得m=，令x=0得n=，∴x1=,y1=，又点P在椭圆C1上,∴()2+3（)2=4,则+=为定值．23．按照如下的规律构造数表：第一行是:2;第二行是：2+1，2+3：即3，5；第三行是：3+1,3+3，5+1，5+3,即：4，6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出,再各项再加3写出）,若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…（1）求a3,a4，a5；(2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N＊），求S n和S n 的值．【考点】数列递推式；数列的极限；归纳推理．【分析】（1）直接代入计算即可；（2)通过观察可知a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1，进而两边同时除以2n+1，整理可得数列{｝是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论;（3）通过（2）裂项可知=4［﹣]，进而并项相加即得结论．【解答】解:（1）依题意，a3=4+6+6+8=24，a4=5+7+7+9+7+9+9+11=64，a5=6+8+8+10+8+10+10+12+8+10+10+12+10+12+12 +14=160；（2）∵从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出，∴a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1,即a n+1=2a n+2n+1,两边同时除以2n+1，得：=+1,又∵=1，∴=n，即a n=n•2n；（3）由（2）可知==4［﹣］，∴S n=++…+=4[﹣+﹣+…+﹣]=4［﹣]=2﹣（n∈N＊），∴S n=[2﹣]=2．2016年6月20日。

2016年徐汇区(金山、松江)高三二模语文试卷(附答案)

2016年徐汇区(金山、松江)高三二模语文试卷(附答案)

2016年徐汇（松江、金山）区高三二模语文试卷一阅读 80分（一）阅读下文，完成第1-6题。

（17分）数字化时代的艺术①艺术被复制技术弄得身不由己，并非是电脑出现以后才有的事情。

②早期欧洲用羊毛挂毯来复制油画，织毯工人用各种颜色的经纬线对应画面上相应的色素，只是羊毛毯子太贵，织得起挂毯的也就请得起画师了。

随后出现的铜版画使更多的人可以分享到艺术品，但这也只是一种权宜之计。

与原作相比，这些复制品在质量上相差太远，数码方式出现之前的复制术都是一种有损复制，所以它们的冲击力远远小于今天的数字化复制。

③摄影技术的兴起，至少在两方面对艺术产生了影响：一是它取代了绘画的写实职能，甚至在摹物象形的功能上，摄影比绘画要强大得多；二是它具有可复制性，不但可以用来复制绘画，它自身就是可复制品。

这两点根本上改变了我们对绘画的传统要求。

即使在绘画的装饰功能方面，摄影也部分的抢了绘画的饭碗，至少像明信片风景和鲜花之类，摄影和绘画同样广受欢迎。

【甲】有着几千年传统的绘画必须要存在下去，【乙】不能以传统的方式来延续，【丙】绘画被迫重新思考了自己的存在意义。

现代主义艺术就是在这样的思考中诞生的。

④也许今天的绝大多数人和艺术的第一次接触就是从摄影获得的。

比方每个受过教育的中国人可能都知道《蒙娜丽莎》，但他们看到的大都是这幅画的印刷品。

数码复制的影响在于，它不仅在复制的精度上更为出色，对这一复制品的再复制也不会导致损耗——它从技术上消解了原作的概念，会导致艺术品价格上翻天覆地的变化。

由于成功的传播所建立的广泛的知名度，也许会极大地刺激人们对原作的需求；但另一种业已成为现实的趋势是，完美的复制降低了对原作的需求，如果人们可以轻易地从网络上下载质量完全一样的图片或音乐，他们为什么还要额外花钱购买呢？这将直接影响到艺术生存下去的方式。

⑤数码复制带来的又一个问题是艺术消费群体的改变。

以前的艺术实际上都是为某个特定的对象而生产的，壁画是为教堂画的，圣像画是为老百姓画的，肖像是中产阶级的需求。

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝．2．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝．5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9 18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：22．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r＝0得：r＝3；∴二项展开式中的常数项为：•23•＝﹣20．故答案为：﹣20．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c＝1，a＝，∴b2＝4，故椭圆的方程为为故答案为：．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝[4，5）．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A＝（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B＝（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B＝[4，5），故答案为：[4，5）5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n＝，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）【解答】解以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣2，1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab＝（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a＝kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝﹣2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y＝﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y＝k上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．【解答】解：函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（）x＝5﹣x的两个根，∴x1＝5﹣，x2＝5﹣，∵f（x）＝（）x的图象与g（x）＝x关于y＝x对称，∴x3＝y2＝，x4＝y1＝，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++＝10．故答案为：10．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝502．【解答】解：∵a1＝1，∴a2﹣a1∈{a1}，∴a2﹣a1＝1，故a2＝2，a3﹣a2∈{a1，a2}，∴a3﹣a2＝1，a3﹣a2＝2，∴a3＝3或a3＝4；同理可得，a10的最小值b＝1×10＝10，a10的最大值a＝29＝512，故a﹣b＝512﹣10＝502，故答案为：502．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）＝0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）＝0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），可得＝（2，0），若i＝1，则•＝2（+1），可得4，2，2，1，3；若i＝2，则•＝2（﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i＝3，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝4，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝5，则•＝2（+），可得﹣1，3，1，1，2；若i＝6，则•＝2（﹣），可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题意得，D＝[0，π]，f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）＝{x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R＝QA，得QC﹣QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选：D．三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V＝＝，∴r＝10cm．∴圆锥形容器的侧面积S＝＝100cm2≈444.3cm2．20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．（1）z1•z2＝2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣＝0，sin2θ＝，解得2θ＝，∴cos2θ＝﹣；（2）复数z1＝2sinθ﹣i，z2＝1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，＝（2sinθ，﹣），＝（1，2cosθ），（）•（）＝0，∵＝（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2＝8，＝（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）＝2sinθ﹣2cosθ，∴（）•（）＝λ（）﹣（1+λ2）＝8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）＝0，化为sin（θ﹣）＝，∵θ∈[]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，∴d＝＝3，∴a n＝3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1＝4﹣3＝1，b4﹣a4＝20﹣12＝8，∴q＝2，∴b n﹣a n＝1•2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1；（2）c n＝b n cos nπ＝（3n+2n﹣1）cos nπ，故①当n为奇数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）＝3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]＝﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]＝﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）＝3×+[（﹣2）n﹣1]＝n+（2n﹣1），综上所述，S n＝，若S m＝2016，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）＝2016，故（2m﹣1）＝2016﹣m，而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，故m值不存在．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即为y＝x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y＝±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4＝2（x﹣4），即为y＝2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b＝2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b＝0的根为x＝，即有较大的根为＝＝＝2，可得r（a，b）＝2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n＝mx，l2：y+t＝sx，联立方程，由n＝m2，t＝s2，解得x＝（m+s），y＝ms，即有a＝（m+s），b＝ms，则方程x2﹣ax+b＝0的根为x1＝m，x2＝s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b＝ma﹣m2＝ms，则＝λ（λ≥0），即（m+s）﹣m＝λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）＝；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．（2）当x∈（0，1]时，＝∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，＝∈[1，2）；当x∈（2，3]时，＝∈[1，）；…，当x∈（n﹣1，n]时，＝∈[1，）；函数f（x）＝有且仅有2个零点，∴实数a的取值范围是．（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）＝n．∴xμ（x）＝nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，∴M n中元素的个数为1+2+…+n）＝，可得a n＝，．。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：函数一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）函数21x y =-的定义域是_______．(用区间表示)3、（虹口区2016届高三二模）已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 012()f x32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=5、（静安区2016届高三二模）若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6、（闵行区2016届高三二模）函数3log (1)y x =-的定义域是 .7、（浦东新区2016届高三二模）方程22log (97)2log (31)x x+=++的解为8、（普陀区2016届高三二模）若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．10、（杨浦区2016届高三二模）函数2()1x f x x +=-的定义域为 . 11、（闸北区2016届高三二模）设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．13、（崇明县2016届高三二模）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ． 14、（奉贤区2016届高三二模）已知函数()22xxf x a -=-⋅的反函数是()1fx -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．15、（黄浦区2016届高三二模）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x的定义域中的a 、b 满足()()3f a f b -+--=()()3f a f b ++，则()()f a f b += 16、（闵行区2016届高三二模）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 17、（浦东新区2016届高三二模）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为 .18、（普陀区2016届高三二模）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是-------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0xx y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩20、（杨浦区2016届高三二模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+21、（闸北区2016届高三二模）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 22、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．23、（普陀区2016届高三二模）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围． 2、（奉贤区2016届高三二模）（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+； (2)已知()()31lg 1log 2f x x x =+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.3、（虹口区2016届高三二模） 已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数.（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >； （1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；5、（静安区2016届高三二模） 已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.（1）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量31(,)22m =u u r ，(sin 2,cos 2)n x x =u u r ，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+u u r u u r 在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.6、（闵行区2016届高三二模）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由． 参考答案一、填空题1、－12、[)0,+∞3、{}3,2,1,5-4、3(1)x - 5、A 6、()1,+∞7、{}0,1 8、⎪⎭⎫⎝⎛231， 9、12a- 10、11、12 12、)1,3(13、11 14、1 15、15 16、623,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭17、3a =- 18、0 19、B 20、C 21、32m ≤-或32m ≥； 22、]2,0[]2,(Y --∞ 23、2->a 二、解答题1、（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（2） 由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，................................................8分 原不等式等价于6t tλ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分 令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分2、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+3分 210x x <<，所以()212201x xx x ->+ 4分∴212111x x x x >++5分(2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lg x xx x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg 21++x x -213log 21x x 7分=11lg 21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->Qlog 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴->8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分⇔922310713447,100713447n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或14分 ∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=MM 的子集的个数是4. 16分3、解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立.由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞-……14分 4、[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++U ．（13分）因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 5、（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2) 因为311sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x π⋅+=++=++u u r u u r ,所以()sin(2)16f x x π=++, …………7分()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭；因为23A I π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭I ,所以在区间(0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f π=成立,因此()1f x m n =⋅+u u r u u r 在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分 2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0m <。

上海市徐汇区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

上海市徐汇区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM=．若AN x AB y AC =+，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛 15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）B20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分 所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=,--------4分 设,PC AB 的夹角为α，则cos 32PC AB PC ABα⋅===⋅分 所以，,PC AB的夹角为arccos3， 即异面直线PC 与AB 所成角的大小为arccos3.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点， 可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =，--------8分 又(0,2,0)BC =，(2,2,2)PC =-，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=，--------12分 所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PCBC C =，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=， 即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得s i n s i n 1C P B C B CC B P C P B ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，s i ns i n A B P C B P ∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分 解得x19=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1，从而得A，(1,B .--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P =(x p +1,y p )，1F M =(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=， 故21122221k k k T -=++++=-. ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。

上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三下学期学习能力诊

上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三下学期学习能力诊

2015学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷 2016.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________． 3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：2arctan33=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数4y =a ，最大值为b ，则2l i m 34n nn nn a b a b →∞--＝_________．7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足||=,||=，||=，则AB BC BC CA CA AB++ 的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________． 11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B =______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ） （A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C（D ）18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．1A 1B 1CABC22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b +=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2016年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】(1,0)【试题分析】抛物线22y px =的焦点坐标为(,0)2p，抛物线24y x =中2p =，所以焦点为(1,0)，故答案为(1,0).2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集. 【参考答案】1(,3)3-【试题分析】解|1|<2x -得13x -<<，所以1{|310}(,)3A x x =+>=-+∞，{||1|2}=(1,3)B x x =-<-，所以1(,3)3A B =- ,故答案为1(,3)3A B =- .3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1i - 【试题分析】因为1i i z -=-，所以21i i(1i)1+i i i z --===--，所以1i z =-，故答案为1i -. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】2π3【试题分析】π22ππ2π332π3633arctan363==⨯-⨯=,故答案为2π3. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】35x【试题分析】71x x ⎛⎫-⎪ ⎭⎝展开式的第r 项为7721771C ()(1)C r r r r r rr T x x x --+=⋅-=-，其系数为7(1)C (07)r rr -≤≤，当其最大时，取4r =，所以系数最大的项为415735=C T x x-=，故答案为35x. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】12【试题分析】因为22023(1)44x x x -++=--+≤≤，所以244y =≤，所以2,4a b ==，2223lim =lim 343243nnnnn n n n n n a b a b →∞→∞--⋅=-⋅-⋅2()213lim 223()43n n n →∞-=⋅-. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标; 图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【参考答案】π(3,)6- 【试题分析】直线π=6θ化为普通方程为3y x =，点π(3,)2对应直角坐标系中的点为(0,3),设点(0,3)关于直线3y x =的对称的点为(,)a b，则31,322b a a b ⎧-=-⎪⎪+=，解得32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点的坐标为3)2-，化为极坐标系中的点为π(3,)6-. 8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】47【试题分析】根据题意，ξ的取值为0,1,2，2527C 10(=0)=C 21P ξ=,115227C C 10(=1)==C 21P ξ，2227C 1(=2)==C 21P ξ，所以10141221217E ξ=⨯+⨯=，故答案为47.9.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积;函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】8-【试题分析】因为AB BC CA ===所以222cos 2AB BC CA B AB BC+-∠=⋅0==,cos 0AB BC AB BC B ⋅=-∠= ,同理，可求得cos C ∠=, 5BC CA ⋅=-,cos A ∠=,3CA AB ⋅=-,所以8AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- ，故答案为8-.(或28AB BC BC CA CA AB AB BC AC ⋅+⋅+⋅=⋅=- -)10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率. 【参考答案】4或7【试题分析】从集合A 中任取两个数的取法有210C 45=种，因为取到的两个数中一个数大于k ,另一个数小于k 的概率是25，所以事件的可能有545=182⨯种，即(1)(10)18k k --=，解得4k =或7，故答案为4或7.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】2c =【试题分析】由B =45°，A =60°，得C =75°，由sin sin a b A B =得,，所以b =所以sinsin a c c A =，若填入“b =，由sin sin a B A b ==A =60°或120°，故只能填入c =c =12.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. 【参考答案】200【试题分析】等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x ++∈N …，遗漏的项为*+,x n a n ∈N 且9,n 1≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+9(322)2185x n =+--=，化简得4494352x n =+≤≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯,故答案为200.13.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程. 【参考答案】12a-【试题分析】函数()()F x f x a =-有零点，则函数()f x 的图像与直线y a =有交点，它们的图像如图所示，当[0,1x ∈）时，图像无交点，当10x -≤≤时，[0,1]x -∈，所以12()log (1)f x x -=-+，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--12log (1)x =--+，令12()log (1)f x x a =--+=，得12a x =-，当[1,)x ∈+∞时，由()f x a =得1|3|x a --=，|3|=1x a --，126x x +=，同理，可得当(,1)x ∈-∞-时，346x x +=-，所以函数()F x 的所有零点之和为612612a a -+-+=-，故答案为12a-.第13题图apto214.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列; 方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.【试题分析】因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()n n n a a a nd a nd R ++++=-+-≤,即213128n n a da ++- 22100n d R +-≥,关于d 的二次方程22231110820n n n d da a R ++-+-≥有解，则222311=(8)40(2)0n n a n a R ++∆--≥-，化简得22231(6480)40n n a n R +-≥-,所以231n a +≤222401325()8064280642n R R R n n =+--≤,3122n a +-≤,所以(22n S +≤，.二、选择题15.【测量目标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 图形与几何/平面向量的坐标表示/向量平行与垂直的坐标关系； 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】函数2222()()2f x ax b a x a bx b =+=+⋅+ ，若函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，所以0a b ⋅= ，a b ⊥ ，充分性成立；反之由a b ⊥可得函数()f x 是偶函数，必要性也成立，所以“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的充要条件，故答案为C.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数. 【正确选项】B【试题分析】当0x ≥时，20,2y y x x ==≥，所以1(),02x f x x -=≥；当0x <时，20,y x x =-<=1()0f x x -=<，故答案为B.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【正确选项】D【试题分析】设圆锥底面半径为r ，则根据题意有2222211221ππ()π()33333hr h r h r h h⋅-⋅⋅=，化简得3221927h h h =，所以2h =，故答案为D.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质； 图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程; 图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离. 【正确选项】C【试题分析】因为方程22=0x mx m m ++-有两个不相等的实数根12,x x ，所以211x mx +=2m m -，且224()0m m m ∆=-->，解得403m <<，因为12x x ≠，所以直线AB 的斜率为22121212=x x x x m x x -=+--，所以直线AB 的方程为211()y x m x x -=--，则圆22(1)(1)1x y -++=的圆心(1,1)-到直线的距离d ==2+1,t m =2519t <<，4()=+4f t t t -，易知其在(1,2]上单调递减，在25(2,)9上单调递增，且25(1)1,(2)0,()19f f f ==<，所以()1f t <0≤，1d <0≤，又圆的半径为1，所以直线AB 与圆相交，故答案为C.三、解答题 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. （2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质. （2）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质.【参考答案】（1）π())14f x x =++， --------------3分由πππ2π22π()242k x k k -++∈Z ≤≤,得)(x f 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . --6分（2）由已知，π()214g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， -------------9分由1)(=x g π204x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ28k x ∴=+，k ∈Z . -----------------------12分20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】（1）如图建立空间直角坐标系，XHLD1第20题图则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a ， 所以()()1111,0,,1,1,0A B a B C =-=-.------------3分设向量111,AB BC 所成角为θ，则060θ=，或0120θ=， 由于cos 0θ=<，所以0120θ=，得1cos 2θ=-，解得 1.a =--------------6分 （2）连接C B 1，1,AC 则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，1111,B A BC C A B B V V --=11A B B △的面积21=S ，1A BC △的面积2S '==，………11分 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面C B A 11，所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6111=-BC A B V . ………14分21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. （2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）方程与代数/不等式/含有绝对值不等式的解法. （2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分 （2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x ∈R 使00()(),f x t f x --≤即00()(),t f x f x +-≥---------------------8分 则[]min ()().t f x f x +-≥-----------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++ (22)(22)48,x x --++=≥当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分22．（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分） 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. （2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质. 【参考答案】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b+=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为22 1.43x y +=----------------------------------------------3分（2）由（1）知，2213:1,44x y C +=设点112233(,),(,),(,),Q x y M x y N x y 则直线QM 的方程为224,3x x y y +=① 直线QN 的方程为334,3x x y y += ② 把点Q 的坐标代入①②得2121313143,43x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以直线MN 的方程为114,3x x y y += 令0,y =得14,3m x =令0,x =得14,3n y = 所以1144,,33x y m n==又点Q 在椭圆1C 上， 所以2244()3()4,33m n+=即22113,34m n +=为定值．-------------------------------9分 （3）由椭圆的对称性，不妨设12(,),(,),P m n P m n -由题意知，点E 在x 轴上， 设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+----------------------11分 由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E 的距离的最小值是1,PE 设点(,)M x y 是椭圆2C 上任意一点，则222223()21,4ME x t y x tx t =-+=-++ 当x m =时，2ME 最小，所以24.332t tm -=-= ① 假设椭圆2C 存在过左焦点F的内切圆，则222()().t m t n =-+ ②又点1P 在椭圆2C 上，所以221.4m n =- ③------------------------------------14分 由①②③得t =或t =当t =时，42,3t m ==<-不合题意，舍去，且经验证，t =. 综上，椭圆2C 存在过左焦点F 的内切圆，圆心E的坐标是(---------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. （3）方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法. 【参考答案】（1）对于数列{},n a 35410,2a a a +=> 不满足集合W 的条件①，∴数列{}n a 不是集合W 中的元素. 对于数列{},nb 13222log log 22b b b +=<=，24223log log 3,2b bb +=<=35224log log 4,2b b b +=<=而且，当{}1,2,3,4,5n ∈时有22log 1log 5,n b ≤≤显然满足集合W 的条件①②，故数列{}n b 是集合W 中的元素. -------------------4分 （2）因为点1(,)n nc S +在直线220x y +-=上，所以1220n n c S ++-= ①， 当2n ≥时，有 1220n n c S -+-= ②，①-②，得1220(2),n n n c c c n +-+=≥所以，当2n ≥时，有11.2n n c c += 又2111220,1,c S S c +-===所以2111.22c c == 因此，对任意正整数,n 都有11,2n n c c +=所以，数列{}n c 是公比为12的等比数列，故()1111,2.22n n n n c S n *--==-∈N 对任意正整数,n 都有21211122,2222nn n n n n S S S ++++=--<-=且12,n S <≤故{},n S W ∈实数a 的取值范围是(],1,-∞实数b 的取值范围是[)2,.+∞-------------------10分 （3）假设数列{}n d 不是单递增数列，则一定存在正整数0,k 使001.k k d d +≥------12分 此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数,n 当0n k ≥时都有1n n d d +≥成立. ①0n k =时，显然有1n n d d +≥成立； ②假设0()n m m k =≥时，1,m m d d +≥ 则当1n m =+时，由212m m m d d d +++<可得212,m m m d d d ++<-从而有1211(2)m m m m m d d d d d ++++->--10,m m d d +=-≥所以12.m m d d ++>由①②知，对任意的0,n k ≥都有1.n n d d +≥-----------------------------------------16分显然012,,,k d d d 这0k 个值中一定有一个最大的，不妨记为0.n d 于是0*(),n n d d n ∈N ≥从而00,n d b =与已知条件*0()n d b n ≠∈N 相矛盾.所以假设不成立，故命题得证．------------------------------------------18分。

上海市徐汇、金山、松江区2016届高中三年级第二学期学习能力诊断考试-数学文

上海市徐汇、金山、松江区2016届高中三年级第二学期学习能力诊断考试-数学文

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 文科试卷 2016.4一． 填空题：(此题满分56分，每小题4分)1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则AB =_______________．3．若()3,2d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________________（结果用反三角函数值表示）． 4．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 5．求值：2arctan33=________________弧度．6．已知3AB AP =，设BP PA λ=，则实数λ=__________________． 7．函数y ==__________________．8．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．9．已知三个球的表面积之比是3:2:1，则这三个球的体积之比为________________．10．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩ ，则目标函数32z x y =--的最大值为．11．若不等式2560x x -+<的解集为(),a b ，则2lim 34n nn n n a b a b→∞--＝_________． 12．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________．13．有一个解三角形的题因纸破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．14．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．二． 选择题：（此题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的-------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．如下图的几何体的左视图是----------------------------------------------（ ）17．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B ）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C ）2,00x x y x ≥⎧⎪=<（D ）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化(B ) (C ) (D ) (A ) →三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（此题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与1C C 所成的角等于045，设a AA =1．求a 的值和三棱锥BC A B 11-的体积． 20．（此题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解. 21．（此题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值围．1A 1B 1CABC22．（此题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当点1(,)P x y 在椭圆C 的图像上运动时，点23y Q ⎫⎪⎪⎝⎭在曲线S 上运动，求曲线S 的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；（3）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作曲线S 的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 试问：22113m n +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（此题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分） 按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：21,23++；即3，5，第三行是：31,33,51,53++++即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）2 3,5 4,6,6,85,7,7,9,7,9,9,11…………………………………… 若第n 行所有的项的和为n a ． （1）求345,,a a a ；（2）试求1n a +与n a 的递推关系，并据此求出数列{}n a 的通项公式；（3）设()*32412231n n n n a a a S n N a a a a a a ++=++∈，求n S 和lim n n S →∞的值．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）参考答案与评分标准2016.4三． 填空题：(此题满分56分，每小题4分) １．)0,1( ２．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭3．2arctan3 4．1i + 5．23π 6．27 8．35x 9．1:10．32-11．12 12．4或7 13．2c = 14．12a- 二．选择题：（此题满分20分，每小题5分）15．C 16．B 17．B 18．C四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（此题满分12分） [解答] 11//CC AA ，∴1BA A ∠就是异面直线B A 1与1CC 所成的角，即0145BA A ∠=， 111AA a ∴=∴=--------------4分连接C B 1，1A C则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，B B A C BC A B V V 1111--=--------8分B B A 11∆的面积12S =， 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面11AB B ， 所以111111326C A B BV -=⨯⨯=，所以1116B A BC V -=．-------------------------------------------（1２分）另解：由于顶点1B 到平面1ABC 的距离与顶点A 到平面1ABC 的距离相等 所以111111111326B A BC A A BC V V --==⨯⨯⨯⨯=．1A 1B 1CABC20．（此题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） [解答]（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分 （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ， -------------10分由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------14分 21．（此题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） [解答]（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分（2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x R ∈使00()(),f x t f x ≤--即00()(),t f x f x ≥+----------------------8分 则[]min ()().t f x f x ≥+------------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++(22)(22)48,x x ≥--++=当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分 22．（此题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） [解答]（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b+=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为22 1.43x y +=----------------------------------------3分 （2）设(),Q x y ''，则323x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，于是32x y y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，--------------------5分由于点1(,)P x y 在椭圆C 的图像上， 所以 221.43x y+=即)2232 1.43y ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=整理得2243x y ''+=，--------------------------------------------------------------7分 所以曲线S 的轨迹方程为2243x y +=曲线S的图形是一个以坐标原点为圆心，3为半径的圆。

高考数学二模试题徐汇数学试卷理科(2016年4月)

高考数学二模试题徐汇数学试卷理科(2016年4月)

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷 2016.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B I =_______________． 3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：arcsin22arctan33=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n nn n n a b a b→∞--＝_________． 7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|||=，则AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg 的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________． 11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）． 14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a L 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++L 的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a r 、b r ，“函数2()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）36h （D ）3193h18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x gy =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值；（3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b +=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷（数学理科）答题卷 2016.4请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1． 2． 3．4． __ 5． _ 6．7． __ 8． _ 9．10． 11． 12．1３． 1４．二、选择题（本大题共4题，满分20分。

高三数学文科答案2016年4月

高三数学文科答案2016年4月

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（文科）参考答案及评分标准 2016.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．)0,1( ２．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．2arctan 3 4．1i + 5．23π 6．2 7．2 8．35x9．1:10．32- 11．1212．4或7 13．2c = 14．12a - 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．C 16．B 17．B 18．C三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）【解答】 11//CC AA ， ∴1BA A ∠就是异面直线B A 1与1CC 所成的角，即0145BA A ∠=， 111AA a ∴=∴=--------------4分连接C B 1，1A C 则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，B B A C BC A B V V 1111--=--------8分 B B A 11∆的面积12S =， 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面11A B B ， 所以111111326C A B B V -=⨯⨯=，所以1116B A BC V -=．-------------------------------------------（1２分）另解：由于顶点1B 到平面1A BC 的距离与顶点A 到平面1A BC 的距离相等 所以111111111326B A BC A A BC V V --==⨯⨯⨯⨯=．1A 1B 1CA BC20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分 由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分 （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ， -------------10分 由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分 （2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x R ∈使00()(),f x t f x ≤--即00()(),t f x f x ≥+----------------------8分 则[]min ()().t f x f x ≥+------------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++(22)(22)48,x x ≥--++=当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）【解答】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b+=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为221.43x y +=----------------------------------------3分 （2）设(),Q x y ''，则23x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，于是32x y y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，--------------------5分 由于点1(,)P x y 在椭圆C 的图像上， 所以 22 1.43x y +=即)2232 1.43y ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+= 整理得2243x y ''+=，--------------------------------------------------------------7分 所以曲线S 的轨迹方程为2243x y +=曲线S的图形是一个以坐标原点为圆心，3为半径的圆。

2016年徐汇(金山、松江)区高考数学二模试卷含答案

2016年徐汇(金山、松江)区高考数学二模试卷含答案

2016年徐汇(金山、松江)区高考数学二模试卷含答案一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________. 2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________．3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：3arcsin223arctan33=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数2423y x x =--++的最小值为a ，最大值为b ，则2lim 34n nn n n a b a b→∞--＝_________． 7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=5，|CA |=22，则AB BC BC CA CA AB ++ 的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________．11．有一个解三角形的题因纸破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知03,45,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化 三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1.（1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值围．22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为1A1B1CA BC,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n+为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b +=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆2C 上任意一点都不在圆E ，则称圆E 为该椭圆的一个切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准 2016.4三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．)0,1( 2．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭3．1i - 4．23π 5．35x6．12 7．(3,)6π-8．479．8- 10．4或7 11．62c +=12．200 13．12a- 14．()21102n R+二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．C 16．Ｂ 17．Ｄ 18．Ｃ 四．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分（2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ， -------------9分由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分， 第（2）小题8分）【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a 所以()()1111,0,,1,1,0A B a BC =-=-。

【最新资料】徐汇、松江、金山高三二模数学试卷(理)有答案

【最新资料】徐汇、松江、金山高三二模数学试卷(理)有答案

第12题图A 0高考数学最新资料20xx 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 20xx.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = .2．已知函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ，集合43|01x x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = .3．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________.4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.5．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________. 6．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入i = .7. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程是__________.8. 将参数方程212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）化为普通方程，所得方程是_____ _____.9. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-， 则23lim()n n a a a a →∞++++= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望ξE =___________.11．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .第6题图12.如图，O 为直线02013A A 外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的距离相等，设02013,OA a OA b ==，用,a b 表示0122013OA OA OA OA ++++uuu r uuu r uuu r uuuuu rL L ，其结果为 .13.设函数()f x x x =，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a > 个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，则正数a 的取值范围为 . 14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D 为顶点，任意向上翻折，折痕与BC 交于点1E ，然后复原，记11CDE α∠=；第二步，将纸片以D 为顶点向下翻折，使AD 与1E D重合，得到折痕2E D ,然后复原，记22ADE α∠=；第三步，将纸片以D 为顶点向上翻折，使CD 与2E D 重合，得到折痕3E D ，然后复原，记33CDE α∠=；按此折法从第二步起重复以上步骤……， 得到12,,,,n ααα，则lim n n α→∞= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 18. 如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ,那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈>，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列， 记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A. 2b =B. 3130k k b b +-=()*k N ∈C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b = ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的 最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知111ABC A B C 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点． （1）求异面直线1A D 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线11A B 到平面DAB 的距离.DBCAB 1C 1A 1第21题图已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成 一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列； （3）对（2）题中的k d ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E )，且EM EN ⊥，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及它的顶点.（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．12 2. [)2,3 3. 247- 4. 12π 5. 19 6．2i + 7. cos 3ρθ= 8. 23y x =-+(x ≤≤) 9. 14- 10. 1411.15 12.1007()a b +13.2a > 14.6π二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可得sin()A C +=，……………2分即sin B =，……………4分1sin 2ABC S ac B ∆== 3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分 于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得0.96k =.………………………………………………6分 （2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分=150********v v+≥=，………………………11分其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………………14分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：以11A B 中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分 由题意得()()()(11,0,0,0,1,3,1,2,0,A D B C -则()(11,1,3,A D BC =-=. .............3分cosθ==1222,2ABDS∆=⋅⋅=设θ为向量1A D BC与的夹角，则，.....5分异面直线1A D与BC 所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取1B B中点E，连结1,A E DE.//DE CB………………………………….2分1A DE∴∠（或其补角）为异面直线1A D BC与所成的角. ……3分由题意得:在11Rt A B E∆中，1A E=;在11Rt A C D∆中，1A D=;……………………4分在等腰三角形1A DE中，………5分所以异面直线1A D与BC所成角的大小为 . .... 6分（2）方法一：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h. …………….8分设平面ABD的法向量为n，(),,1n x y=r,由()()()1(1,0,0),1,2,0,0,1,3,1,2,0A A D B-得()()(1200113AB AD A D=-=--=-，，，，，，,…………………11分,即()0,3,1n=. ……………………………………………………12分所以故直线11A B到平面DAB.…………………………………14分方法二：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分由题意得12A D AD BD AB====，等腰ADB∆底边AB2=，则12AA BS∆=，EDBCAB1C1A1200x xAB nx y yAD n⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩1n A Dhn+⋅===arccos55112cos5DEA DEA D∠==且D 到平面11ABB A，………………………………………12分 由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分，则h =所以，直线11A B 到平面DAB……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分. 解：(1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-,…………………………..2分 所以，*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以，22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅，…………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,……………..8分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=，…………………………..9分 满足14k kd d +=为常数，所以数列{}k d 为等比数列. …………………………..10分 （3）①当k 为奇数时，112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--，…………………………..12分同样，可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k k k k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+,所以，集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=；……..13分②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-. .…..16分11133ABD A AB S h S ∆∆⋅⋅=23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

学年第二学期高三年级质量调研测试数学试题

学年第二学期高三年级质量调研测试数学试题

z ( yx， ， (1 nx x ， 3))x (1 n ) ( N 0 金山区 2016 学年第二学期高三年级质量调研测试数学试题2017.04.05（满分 150 分，答题时间 120 分钟）考生注意：1．本场考试时间 120 分钟．试卷共 4 页，满分 150 分．答题纸共 2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位 置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上 作答一律不得分．4．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． ，则 A B _____． Bx x 2， x R 1．已知集合A x x1，x R ，集合 z |_______ _ . 2．已知复数z 满足 (2 3i) 3 2i （ i 为虚数单位） ，则 | sin x 2cosxf (x)的最小正周期是 __________ ．3．函数2cosx sin x2 2x y 2x ，则 a ______ ．4．已知双曲线1(a 0)的一条渐近线方程为 a2a 235．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 ______ cm （结果精确3）．到 0.1cm x y 0z2x y 的最大值是 ________ ．6．已知 x ，y 满足 x y 2，则 x 2 0x t 1 x 3cos （ 为参数）的交点个数是 ______ ．（ t 为参数）与曲线7．直线y 2siny 2 t2 x 0,111的反函数是 f (x)f ( )= _______ .8．已知函数f (x)，则 2 log 2 x 0 x 123*9．设多项式 1 x (1 x) )的展开式中 x 项的T ( )，，， x )( T n 系数为 n ，则lim ________ .nn210．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和 p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 0.9603，则 p = _______ . f (x) x x a ，若对任意 11．已知函数x 12,3 ， x 2 2,3 ， x 1x 2，恒有1 x2 f x 1 f x 2)f (x，则实数 a 的取值范围为 ___________ ．22 k k 0，函数 的图像上总存在点 C ，使得以 C 为圆心， 1为半f (x)12．对于给定的实数 x径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 1，则 k 的取值范围是 _______ ．二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题5 分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设 a ，bR ，则“ a b 4”是“ a 1且 b 3”的（）．（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14．如图， P 为正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1中 A C 1与 B D 1的交点，则 Δ PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（）．D 1 C 1B 1A 1P DC AB ①②③ ④（A ）①②③④（B ）①③（C ）①④（D ）②④15．如图， AB 为圆 O 的直径且 AB 4， C 为圆上不同于 A 、 BC 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 (PA PB) PC 的P 最小值是（ ）． ABO（A ） 4（B ） 3（C ） 2（D ） 116．设 x 1 ，x 2， ，x 10 为1 2 10的一个排列，则满足对任意第 15题图正整数 m ，n ，且 1 m n 10，都有 mm x n n 成立的 不同排列的个数为（ ）．（A ）512（B ）256 （C ）255（D ）64、 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 8分，第 2小题满分 6 分）如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 分别是线段 BC 、C D 1的中点． （1）求异面直线 EF 与 A A 1所成角的大小； D 1C 1（2）求直线 EF 与平面 A A 1B 1B 所成角的大小．A 1B 1FDCEAB18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室， 地面形状如图所π π 示，已知已有两面墙的夹角为 （即 ACB ），墙 AB 的长度为 6米（已有两面墙的可33利用长度足够大） ，记 ABC．π （1）若0.01米）；4，求 Δ ABC 的周长（结果精确到 ABC 的面积（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即 尽可能大．问当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．ABC2 nS 19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分）已知抛物线y22px （ p 0），其准线方程为 x 1 0，直线 l 过点 T (t , 0)（t 0）且与抛物线交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关；（2）若 P 为抛物线上的动点，记 | PT |的最小值为函数 d(t) ，求 d (t)的解析式．20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）对于定义域为 D 的函数 y f (x)，如果存在区间 [ m, n] D ，其中 m n ，同时满足：① f (x)在[m,n]内是单调函数； ②当定义域是 [m, n]时，f ( x)的值域也是 [m, n]．则称函数 f ( x)是区间 [m,n]上的“保值函数” ，区间 [m, n]称为“保值区间” ．（1）求证：函数g( x) x22x 不是定义域 [0,1]上的“保值函数” ；1 1 （2）若函数 f (x) 2R ,a 0）是区间 [ m , n]上的“保值函数” ，aa 2x（ a 求 a 的取值范围；（3）对（ 2）中函数 f ( x)，若不等式 |a 2f ( x) | 2x 对 x 1恒成立，求实数 a 的取值范围．21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）*已知数列 { a n } 中， k (a 2 )对任意 n a 11，a a ， a na n N 成立， 数列 { a } 1n 的前 n 项和为 S n ．（1）若 { a n } 是等差数列，求 k 的值； 1 （2）若 a 1， k2，求 n ；（3）是否存在实数 k ，使数列 { a n }是公比不为 1的等比数列且任意相邻三项a m ， a m ，1 k 的值；若不存在，请说明理由．a m 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有2 2016 学年第二学期高三质量调研数学参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．一. 填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．( 1,2)；2．1；3．π；4．3；5．5.1；6．3；7．2；8．1；9. 1；10. 0.03；211．3, ；12. 0,2 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13. B ；14. C ；15．C ；16. A .三．解答题（本大题满分74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.( 本题满分14分）本题共 2 小题，第（1）小题8 分，第（2）小题 6 分.解：（1）设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，D D1为x，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0 , 0 , 0) ，B(2 , 2 , 0)，C (0 , 2 , 0) ，D1(0 , 0 , 2)，故E(1, 2 , 0)，F (0 ,1,1) ，,,,,,,,,,,,,,,, 4 分EF { 1, 1,1} ，A A1 {0,0,2}设异面直线EF 与A A1所成角的大小为，向量EF 与A A1所成角为，则EF A A1cos cos ,,,,,,,,,,,,,,,, 6 分EF A A11 3 3arccos3 333,,,,,,,,,,, 8 分即异面直线EF 与A A1所成角的大小为arccos3A A1B1B的一个法向量是n (1, 0 , 0)，,,,,（2）由（1）可知，平面10 分设直线EF 与平面，则A A1B1B所成角的大小是，向量EF 与n所成角为EF nsin cos ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分EF n3 3sin ，arcsin3 33即直线EF 与平面 A A1B1B所成角的大小为arcsin ．,,,,,,,, 14分3(不用建立空间直角坐标来解相应给分)18．（本题满分14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分8 分.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC sin 11 x A 2y kyy y x x OBOA 4221 21 21 2 1 sin y kt π AB AC BC，,,,,,,,,,,,,,,,,2分π π π πsin 3 4 3 47π 化简得， AC 2 6， BC 4 3 sin6 3 2 ，,,,,,,,4分12所以， cAC BC AB 3( 6 2) 17.59米， 即Δ ABC 的周长为 17.59米；,,,,,,,,,,,,,,,,6 分 1 π（2） S 8分 ABC 2 3,,,,,,,,,,,,,,,,π,,,,,,,,,,,,,,,,,, 10分=12 3 sin sin3 1 3 12 3 sincos221 cos2326 3(sin 3 sin cos ) 6 3 sin 2 22π12 分6 3 sin 23 3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 2π π π 因为 0 2，所以当 362，π 即取到最大值9 3平方米． ,,,,,,,,,,14 分3时， S ABC 19.( 本题满分 14分）本题共 2 小题，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分. 解：（1）由题意， p2，所以抛物线的方程为 y24x ．,,,,,,,2 分当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 xt ，则 A(t , 2 t )， B(t , 2 t )，OA OB t24t ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分当直线 l 的斜率 k 存在时，则 k0，设 l 的方程为 y k(x t) ， ( , )， B( x 2, y 2)， 4y24x ,y 1 y 2,由消去 x ，得 4 4 0，故ky k (x t ) ,y 1 y 24t ,y 2 y2所以， y y tt ．,,,,,,,, 5 分16综上， OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关． ,,,,,,,,,,, 6 分2 2（2）设 P( x 0, y 0)，则 | ( x 0t )2y[ x 0 (t 2)]24t 4 ，y4 x 0， | PT22 ax x2a ,,,,,,,,,,,,,,,,8 分 2 t 1 , t 2 , 因为 0，所以 x 0d (t ),,,,,,,,,,,,,,14 分t ,0 t 2 .20.( 本题满分 16分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分.解：（1）函数 g (x)x 2 2x 在 x [0,1]时的值域为 [ 1,0]，,,,,,2 分不满足“保值函数”的定义， 因此函数 g (x)x22x 不是定义域 [0,1]上的“保值函数” ．,,,,,,4 分1 1 （2）因为函数 f (x) 22x在[ m, n]内是单调增函数，aa 因此 f (m)m, f (n) n ，,,,,,,,,,,,,,,,,6 分1 1 因此 m, n 是方程 x 的两个不相等的实根，aa x等价于方程 (2 2a )x 1 0有两个不相等的实根 a 2 x2,,,,,,,8 分 3122由(2aa ) 24a0解得 a或 a ．,,,,,,,,,, 10 分22212a a1 a2 f (x) 2（3） a 2f (x)2a2a，| a f (x) | 2x222，xxx22aa 2x 1,x 即为对 x 1恒成立． ,,,,,,,,,,,,,,,, 12分1 22aa 2 x ,x1 1令 h ( x)2x h( x) 在[1,)单调递增，同理 g (x)2x 在 [1, )单调递减．x，易证 因此， h( x )min h (1) 3, g( x)maxg (1) 1．,,,,,,,,,,,,,14分22a a 3, 3 所以解得1．,,,,,,,,,,,,,,,,15 分a 222aa1,3 1 又 a或 a，所以 a 的取值范围是1 1．,,,,,,,,16 分2221.( 本题满分 18分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分.2 a 2ak*解：（1）若{ a n } 是等差数列， 则对任意 n N ， ，a a n a na n 1，即 2 a n a n a n n 121 2 1 故 k4 分2．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 （2） ka n 1( a n a n 2) ，即 2 a na n a n ， 112 2时， 2a na n (a a n )，故 a n a n(a na n 1) a n a n ．,,5 分21 n 1 3221 所以，当 n 是偶数时，nS n a 1 a 2 a 3 a 4 a n a n(a 1 a ) n ；,,,,,,,,, 7 分1 2( a 2) 2，当 n 是奇数时， a 2 a 3a 1 S na 1 a 2a 3 a 4a n a na 1 (a a 3) (a a 5) (a a n ) 1 2 4n 1n 1 1( 2) 2 n ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分22 n , n 2k 1, *综上， ( k N )．,,,,,,,,,,,,,,,10 分S nn ,n 2ka 2 a 1，（3）若 { a n } 是等比数列，则公比 qa ，由题意 a 111故 a mam a m 1am ，a m am ， ．,,,,,,,,,,,,,,11分2mm 1m 12① 若 1为等差中项，则 ，即 2aaa， 2a 1 a ， a m 2a a m a m m 1 2 解得 a 1（舍去）；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 13 分m 1mm 12② 若 m 为等差中项，则2，即 2a aa， 2 a a ，2a a m a m m 1 a m ama21因为 a ；, 15 分 1，解得 a2， k112a m a mam am 1 a52m 1mm 1③ 若 1，即 2aaa， 2a2a 1，a m 为等差中项，则 2 a m a m a m 2 2 1 因为 a 1，解得 a17 分2， 1 a 52．,,,,,,,,,,,,2综上，存在实数 k 满足题意， k ．,,,,,,,,,,,,18 分5。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 文科试卷填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________．3．若()3,2d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________________（结果用反三角函数值表示）． 4．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 5．求值：arcsin223=________________弧度． 6．已知3AB AP = ，设BP PA λ=，则实数λ=__________________．7．函数y =的最小值=__________________．8．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．9．已知三个球的表面积之比是3:2:1，则这三个球的体积之比为________________．10．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩ ，则目标函数32z x y =--的最大值为 ．11．若不等式2560x x -+<的解集为(),a b ，则2lim 34n nn nn a b a b →∞--＝_________．12．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________．13．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．14．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．一． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的-------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．如图所示的几何体的左视图是----------------------------------------------（ ）17．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B ）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C ）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （D ）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化(B ) (C ) (D ) (A ) →三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与1C C 所成的角等于045，设a AA =1．求a 的值和三棱锥BC A B 11-的体积． 20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围． 22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）1A 1B 1CABC已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当点1(,)P x y 在椭圆C的图像上运动时，点23y Q ⎫⎪⎪⎝⎭在曲线S 上运动，求曲线S的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；（3）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作曲线S 的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 试问：22113m n +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分） 按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：21,23++；即3，5，第三行是：31,33,51,53++++即4，6，6，8； （即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）2 3,5 4,6,6,85,7,7,9,7,9,9,11…………………………………… 若第n 行所有的项的和为n a ． （1）求345,,a a a ；（2）试求1n a +与n a 的递推关系，并据此求出数列{}n a 的通项公式； （3）设()*32412231n n n n a a aS n N a a a a a a ++=++∈ ，求n S 和lim n n S →∞的值．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）参考答案及评分标准 2016.4二． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．)0,1( ２．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭3．2arctan3 4．1i + 5．23π 6．2 7．28．35x 9．1:10．32-11．12 12．4或7 13．c = 14．12a- 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．C 16．B 17．B 18．C四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分） 【解答】 11//CC AA ，∴1BA A ∠就是异面直线B A 1与1CC 所成的角，即0145BA A ∠=， 111AA a ∴=∴=--------------4分连接C B 1，1A C则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，B B A C BC A B V V 1111--=--------8分B B A 11∆的面积12S =， 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面11AB B ， 所以111111326C A B BV -=⨯⨯=，所以1116B A BC V -=．-------------------------------------------（1２分）另解：由于顶点1B 到平面1ABC 的距离与顶点A 到平面1ABC 的距离相等 所以111111111326B A BC A A BC V V --==⨯⨯⨯⨯=．20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分 （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ， -------------10分1A 1B 1CA BC由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【解答】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分（2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x R ∈使00()(),f x t f x ≤--即00()(),t f x f x ≥+----------------------8分则[]min ()().t f x f x ≥+------------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++ (22)(22)48,x x ≥--++=当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分 22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） 【解答】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b+=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为22 1.43x y +=----------------------------------------3分 （2）设(),Q x y ''，则323x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，于是32x y y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，--------------------5分由于点1(,)P x y 在椭圆C 的图像上， 所以 221.43x y +=即)2232 1.43y ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=整理得2243x y ''+=，--------------------------------------------------------------7分 所以曲线S 的轨迹方程为2243x y +=曲线S-------------8分 （3）由（1）知，2213:1,44x y C +=设点112233(,),(,),(,),Q x y M x y N x y 则直线QM 的方程为224,3x x y y += ① 直线QN 的方程为334,3x x y y +=②-------------------------------------10分 把点Q 的坐标代入①②得2121313143,43x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以直线MN 的方程为114,3x x y y +=-----------------------------------------13分 令0,y =得14,3m x =令0,x =得14,3n y = 所以1144,,33x y m n ==又点Q 在椭圆1C 上， 所以2244()3()4,33m n +=即22113,34m n +=为定值．--------------------------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）【解答】（1）3424,64,a a ==-------------------------------------------------２分5160a =．---------------------------------------------------------------------------4分（2）由题意，第n 行共有12n -项，于是有()()111123222n n n n n n n a a a a --++=+++⨯=+---------------------8分 等式两边同除12n +，得11122n nn na a ++=+， 即2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为1，首项为112a = 所以2n na n =，即()*2n n a n n N =⨯∈．----------------------------------------11分（3）因为()()()2211122114212212k k k k k k k k k a a a k k k k +++++⎛⎫+⨯==- ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭()1,2,3,...,k n =----------------------------------------------------------------------14分所以()122334*********4122222323242212n n n S n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以()()()*111114221212n n n S n N n n +-⎡⎤=-=-∈⎢⎥+⨯+⨯⎣⎦，---------------16分 lim 2n n S →∞=．---------------------------------------------------------------------------18分。

相关文档
最新文档