专题04 大题好拿分(提升版)-2017届高三上学期期末考试数学(文)备考黄金30题(解析版)

（范围：高考范围）1．设函数328()23f x ax bx x =+-+，若(2)6f -=，且其导函数'()f x 满足'(1)0f =． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 【答案】（1）13a =，12b =．（2）max 61()(3)6f x f ==，min 3()(1)2f x f == 【解析】于是，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：所以，max ()(3)6f x f ==，min ()(1)2f x f ==． 考点：利用导数求函数最值2．如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F —OBED 的体积。

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）32【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质3．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸线正东20km 处有一个城镇，在点P 与城镇的中点处有一个车站，假设一个人要从小岛前往城镇，若他先乘船到达海岸线上的点P 与车站之间(不含车站) ，则可租自行车到车站乘车去城镇; 若他先乘船到达海岸线上的车站与城镇之间(含车站) ， 则可乘车去城镇，设x （单位：km ）表示此人乘船到达海岸线处距点P 的距离，且乘船费用y 与乘船的距离s 之间的函数关系为：2132y s（单位：元）自行车的费用为0.5元/km ，乘车的费用为1元/km ，此人从小岛到城镇的总费用为()w x （单位：元）.（1）求()w x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，此人所花总费用 ()w x 最少？并求出此时的总费用.【答案】（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-=2010,8161321100,812121321)(22x x x x x x x w ；（2）16=x 时，此人所花总费用最少为125.12元.【解析】考点：分段函数，二次函数最值. 4．已知()4cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∈x R ． （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中,4BC =,sin 2sin C B =,若()f x 的最大值为()f A ,求ABC ∆的面积．【答案】 （I ）π ；考点：三角函数性质；正弦定理、余弦定理.5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点12,F F ，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1. （1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交 于C 点，求ABC ∆面积的最大值，并求此时直线AB 的方程.【答案】(1)2212x y +=；，1x =-. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，很据题意，b a =，1bc =，∴a =，2222b b c =+，∴1b c ==，a =故椭圆的方程为2212x y +=.当且仅当1u u=，即1u =，亦即0t =时，ABC ∆， 此时直线AB 的方程为1x =-.考点：1.椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系. 6．函数2()(1)(0)xf x ax x e a =+-<． （1）当1a =-时，若函数()y f x =与3211()32g x x x m =++的图象有且只有3个不同的交点，求实数m 的值的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1（2时，()f x 在R 上单调递减，当()f x 在21(,)a a +-∞-上单调递减，在21(,0)a a +-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在21(0,)a a +-上单调递增，在21(,)a a +-+∞上单调递减．（2）由于2()(1)xf x ax x e =+-， ∴2'()(211)xf x ax ax x e=+++-在R 上单调递减；上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． （1）设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；（2）问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足 的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）312q =-；（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列．考点：等比数列与等差数列的性质．8．如图，斜率为1的直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，与抛物线交于两点,A B ，将直线AB 向左平移p 个单位得到直线l ，N 为l 上的动点．（1）若||8AB =，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，求NA NB的最小值．【答案】（1）24y x =；（2）14-．考点：1、抛物线方程；2、直线与抛物线．9．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若12a =，且139a a a ，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n b -=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）=2n a n （Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⋅+ 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ． ∵12a =，且139a a a ，，成等比数列， ∴2319a a a =⋅，即2(22)2(28)d d +=⨯+， ∴248d d =， ∵0d ≠，∴2d =． ∴=2n a n ．（Ⅱ）1=222n n n n a b n n -⋅=⋅，S n ＝1·2＋2·22＋3·22＋…＋n·2n．① 从而2·S n ＝1·22＋2·23＋3·23＋…＋n·2n ＋1．②①－②，得(1－2)S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1，即112(12)22(21)212n n n n n S n n ++--=-⋅=--⋅-,∴1(1)22n n S n +=-⋅+．考点：1．等差数列通项公式；2．错位相减法求和10．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =+；（II ）n T ()()314212n n =-++. 【解析】考点：等差数列的通项公式和裂项法求和. 11．已知函数)(21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--= （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量m(1,sin )A =与向量n(2,sin )B =共线，求,a b 的值．【答案】（1）最大值为0，最小值为1-；（2）1,2a b ==.考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦12．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶如图所示.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率. 【答案】（Ⅰ）甲车间的产品的重量相对稳定（Ⅱ）415【解析】（1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙，则31134121101136x -+++++=+=甲 21025141101136x --++++=+=乙. ()22222221622019216s =+++++=甲. ()2222222188543121163s =+++++=乙. 由于22s s <乙甲，所以甲车间的产品的重量相对稳定.考点：极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式13．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查 结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）是；（2）107. 【解析】考点：独立性检验，随机事件的概率.14．已知函数21()ln 12a f x a x x +=++． （1）当12a =-时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当10a -<<时，有()1ln()2a f x a >+-恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）2max 1()()24e f x f e ==+，min 5()(1)4f x f ==；（2）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当10a -<<时，()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；（3）1(1,0)e-． 【解析】（2）2(1)'()a x a f x x++=，(0,)x ∈+∞． ①当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x <，∴()f x 在(0,)+∞单调递减；②当0a ≥时，'()0f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递增；③当10a -<<时，由'()0f x >，得21a x a ->+，∴x >或x <，∴()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减． 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当10a -<<时，()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减； 当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）由（2）知，当10a -<<时，min ()f x f =，即原不等式等价于1ln()2a f a >+-，即1ln 11ln()212a a a a a a +-+⋅+>+-+， 整理得ln(1)1a +>-， ∴11a e>-， 又∵10a -<<，∴a 的取值范围为1(1,0)e -．考点：1、函数与不等式；2、函数与方程；3、函数的单调性.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin (sin )0B C C A +=， b =.（1）设ABC ∆的周长()L f A =，求()f A 的表达式，并求L 的最大值;（2）若2a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）33；（2）【解析】（2）2222cos b a c ac B =+-⋅,即223a c ac =+-,23()3a c ac =+-，所以13ac =所以111sin 223ABC S ac B ∆=⋅=⋅=. 考点：1.和差公式；2.正余弦定理的应用.16.某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[]50,100之间）（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【答案】（1）a 0.005=（2）76.5（3）0.4【解析】考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图17．已知数列{}n a 满足：21123333n n a a a a n -++++= ，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足132log 1n n b a =+，求数列11n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（1）131-=n n a ；（2）12+n n.考点：1、递推公式；2、对数运算；3、裂项相消法.18P(0,-1)，P 到焦点的距离为 （Ⅰ）设Q 是椭圆上的动点，求||PQ 的最大值；（Ⅱ）若直线l 与圆O:x 2+y 2=1相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ．当λ=⋅OB OA ，时，求∆AOB 面积S 的取值范围．【答案】（Ⅰ）max 2PQ =（Ⅱ）23⎤⎥⎦【解析】其判别式8)2(8)2)(2(44222222=+-=-+-=∆n m n m n m ， 又由求根公式有)2(22221+∆±-=m mn y 、． ∵λ=→→⋅OB OA =21212121))((y y n my n my y y x x +++=+=+--=++++=2223)()1(222221212m m n n y y mn y y m 2122++m m ． =∆AOB S |)(|2112y y n - 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n 21212222+⋅++⋅=m m m ．∵12121222=++++m m m ，且λ2122++=m m ∈[32，43]．∴=∆AOB S )1(2λλ-⋅⋅23⎤∈⎥⎦．考点：直线与圆锥曲线的综合问题19．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PE 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹P 的方程；（2，直线l 的方程为4,x AB =是经过F 的任一弦（不经过点C ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记CA 、CB CM 、斜率分别为123k k k 、、，且存在常数λ，使得123k k k λ+=，求λ的值． 【答案】（1）22143x y +=；(2)2λ=. 【解析】考点：1、定义法求轨迹方程；2、直线与椭圆的位置关系问题.20．已知椭圆：的离心率，原点到过点，的直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅱ）存在最小值．【解析】（Ⅰ）因为，，所以．因为原点到直线：的距离，解得，．故所求椭圆考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积公式；4、函数的最值．：。