一类非线性时滞差分方程的全局吸引性

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一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性

存在性．我们通过对非经典反应扩散方程（）体弱解对应的解半群在空间Ｖ＝（）中全１整
局吸引子的正则性的讨论，证明系统（）砩（中的全局吸引子Ａ即为系统在ＤＡＩ在力）（）中的
全局吸引子Ａ。
２预备知识
首先，令日＝（，Ｖ：（，Ａ）＝（）ｎ（）中Ａ＝一△，别用（，）．表））Ｄ（其ｉｎｆｓｏｕｔｏ
ＧｎｉｇＺｎａｑｎｏｇＪｎｅｇＭｉｏｉＱｎＧｉｉｇｉｕｘａｎ
（．Ｓｈｏｏｔｅａｉｎｏｐｔｉ，ｈｎｓａＵｉｅｓｙｏｃｎｅａｄＴｃｎｌｙＣａｇｈ，１０４１ｃｏｌｆｈｍｔｓａｄＣｍｕｔｎＣａｇｈｎｖｒｉｆｉｃｎｅｈｏｏ，ｈｎｓａ４０１）ＭａｃａｏｔＳｅｇ（．ＢｓｅｓＳｈｏ，ｅｔｌｏｔＵｉｒｉ，ｈｎｓａ４０８）２ｕｉｓｃｏｌＣｎｒｕｈｎｅｔＣａｇｈ，１０３ｎａＳｖｓｙ
示中内与数用ｉｌｎｌ示的数（）的积范。ｊ中范。＝『ＩＩ表
对非线项／作如下假设：厂∈ Ｃ（Ｒ）满足：
厂（）≥ ０ｓ，一Ｃｓ一１ ≤ ｓｓ≤ Ｃｓ一ＣＩｌ）２ｌＩ０（）２
一
类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性
２９
［］Ｅ２ｉ，ｉ￣Ｔ系统（）整体弱解对应的解半群在空间Ｖ＝（１力）中全局吸引子的存在性，文献
［］３证明了系统（）１整体强解对应的解半群在空间ＤＡ（）＝１（ｔ）ｎ（中全局吸引子的２）

一类具比例时滞细胞神经网络概周期解的全局吸引性

一类具比例时滞细胞神经网络概周期解的全局吸引性周立群;赵山崎【摘要】研究一类具比例时滞的二维分流抑制细胞神经网络的概周期解.应用Banach不动点定理,研究该网络的概周期解的存在性.通过一个非线性变换,将具比例时滞细胞神经网络等价地变换成具变系数与常时滞的细胞神经网络,通过构造合适的Lyapunov泛函并与Barbalat引理相结合,得到该网络概周期解存在唯一和全局吸引的充分条件.数值算例验证所得结论的正确性.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2014(031)005【总页数】8页(P566-573)【关键词】细胞神经网络;概周期解;比例时滞;全局吸引性;Barbalat引理【作者】周立群;赵山崎【作者单位】天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387【正文语种】中文【中图分类】O175.13;TP1830 引言细胞神经网络(CNNs)与时滞细胞神经网络(DCNNs)在图像处理、模式识别、联想记忆等方面有重要的作用，因而在国内外得到了广泛的研究，其中大多数研究都集中在平衡点的各种稳定性上。

同时，关于细胞神经网络的其它动力学性质，如概周期性的研究，也取得了很多有意义的结果［1－4］。

文献［1］研究时延细胞神经网络的概周期解存在性和全局指数稳定性问题，巧妙的引入可调实参数，获得了该神经网络存在唯一和指数稳定的充分条件;文献［2］通过拓扑度理论与广义的Halanay不等式，对一类时变时滞的细胞神经网络进行研究，得到一个周期解存在与全局指数稳定的充分条件;文献［3］应用压缩原理，研究了一类具混合时滞的细胞神经网络的周期解的存在性与全局指数稳定性;文献［4］对具有分布时滞的细胞神经网络的概周期解进行了讨论，去掉了神经元输出函数全局Lipschitz条件的限制，利用不动点定理与微分不等式技巧，得到了此类神经网络概周期解的存在性、唯一性与指数稳定性的充分条件，文献［5－6］通过构造合适的Lyapunov泛函等，研究了其它类型的神经网络概周期解的相关性质。

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性一类非线性差分方程的全局渐进稳定性非线性差分方程是指一类常见的差分方程，它的研究可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统。

而全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

一. 非线性差分方程的基本概念非线性差分方程是一类常见的差分方程，它以差分方程的形式描述复杂系统的时变行为。

它以抽象的形式表达复杂系统的一般性质，以及系统的运动规律，是研究复杂系统的重要工具。

非线性差分方程的典型形式为：y(n+1) = f(y(n))其中，y(n)表示系统状态在时刻n时的值，f(y(n))表示系统状态在时刻n+1时的值，它们之间的关系可以通过非线性函数f(y(n))来描述。

二. 全局渐进稳定性全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

全局渐进稳定性的定义：设y(n)为一类非线性差分方程的解，如果存在正定的常数k和M，使得当n→∞时，|y(n)|≤M·kn，则称此差分方程具有全局渐进稳定性。

全局渐进稳定性的特征：全局渐进稳定性可以保证一类非线性差分方程的解在某个范围内收敛，并且收敛速度是渐进的，即当n→∞时，|y(n)|的增长速度越来越慢。

三. 全局渐进稳定性的判别要判断一类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性，需要先确定这类非线性差分方程的有限解，然后根据定义验证这类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性。

（1）确定有限解：一般来说，一类非线性差分方程具有有限解的充要条件是，不等式f(y(n))≤y(n)成立，其中f(y(n))是一类非线性差分方程的右边的函数。

如果满足此条件，则一类非线性差分方程具有有限解。

（2）验证全局渐进稳定性：确定有限解后，可以根据定义，构造出一类非线性差分方程的有限解，并将其作为验证全局渐进稳定性的依据。

一类脉冲时滞微分方程的全局吸引性

一类脉冲时滞微分方程的全局吸引性
本文主要研究一类脉冲时滞微分方程的全局吸引性，即在特定条件下该方程的所有解都会收敛到指定的解，我们称其为全局吸引性。

基本定义：一类脉冲时滞微分方程为
$$ \frac{dx}{dt}=f(x,t)+u(t)\phi(t)$$
其中f(x,t)为时滞项，u(t)是外加的脉冲信号，φ(t)为时间函数。

定义全局吸引性：若给定任意初始条件，该方程的解（x(t))可收敛到某一解x*(t)，即存在合适的时间T,使得$\\lim_{t\rightarrow T}x(t)=x*(t)$，则称该方程具有全局吸引性，即根据所定义的全局吸引性，任意给定的初始条件，微分方程总要收敛到某一解。

脉冲信号让吸引性增强：脉冲信号u(t)是外加的，当u(t)具有相反周期性的特性时，便会增加脉冲时滞微分方程的全局吸引性，即使初始值给定的微分方程总要收敛到正确的解
x*(t)，而这可以通过在外加的脉冲信号u(t)中添加初始条件来实现，这将提高吸引性。

通过在外加的脉冲信号u(t)中增加初始条件，可以使微分方程的收敛更有效等，从而使得一类脉冲时滞微分方程具有更强的全局吸引性，进而达到理想的状态。

结论：当给定定义一类脉冲时滞微分方程 $$ \frac{dx}{dt}=f(x,t)+u(t)\phi(t)$$ 时，如果在外加的脉冲信号u(t)中添加初始条件，则可使该方程具有更强的全局吸引性。

变系数时滞细胞神经网络概周期解的存在性与全局吸引性

变系数时滞细胞神经网络概周期解的存在性与全局吸引性
王永刚
（岛黄海学院，东青岛２６２）青山６４７
摘要：文利用指数二分法、ｎｃ不动点理论和一些本Ｂａａｈ
１模型的描述和准备．
２．二烷基磺酸钠（十ＳＤＳ）法ＳＳ取法与ＣＡ提取法一样．也为常用的ＤＡ提取方Ｄ提ＴＢＮ法。ＤＡ的提取过程中．机溶剂的抽提效果及裂解液的裂在Ｎ有
便。最重要的是，方法所用植物材料（条）受季节限制．本枝不容易获得和保存，具有较高的实际操作意义。４植物ＤＡ的其他提取法．Ｎ４１良尿素法．改通过大量试验后，文波究出了改良尿素法．曹研在原尿素法基础上在裂解液中添加ＢＭＥ用预冷的无水乙醇取代异丙醇 — 、沉淀核酸、采用水平离心和快速倒出用于洗涤的乙醇等操作。并从玉米和水稻叶片中提取出了高质量的基因组ＤＡ。此种方法Ｎ的ＤＡ率高、速省时、Ｎ产快可在常温下进行操作且成本耗用低。所以用改良的方法能够获得纯度高、浓度大的基因组ＤＡ。Ｎ
二分法Ｂａａｈ不动点定理ｎｃ
本文考虑如下变系数（ｘ））ｇ（ｊｔ）ｔｊ嘻１ｊｔ））＋）（｛（－ｆｆｊｘ＇ｊ）（ｊｉ（ｔｒ））

一类时滞人口模型的全局吸引性

当＾＝０时．方程（）化为下述著名的Ｌｇｓｉ微分模型１退ｏｉｃｔＮｒ（）：ｒｆＮ（）１一Ｎ（ — ｒ）ｒ≥ ０（）ｒ（ｒ），（）３方程（）的各种性态已被广泛研究３解，方程（）的全局吸引性也有一些研究本文采用不同于文１解［］［］４，５的方法讨论方程（）得到的结果改进了相关文献中的结论本文主要结果如下：１，
维普资讯
第３卷
第１期
北华大学学报【自然科学版）
ＪＲＡＬＯＦＢＩＡＵＶＲＩＹ（ｒｕａ＆ｉｃＯＵＮＥＨＵＮＩＥＳＴＮｔｒ［：ｎｅｅ
Ｖ１３Ｎｏ１ｏ．．
４４０２中南林学院基础部．南株州４２０）１００；湖１０６
）））＝帅＃
的每一正解Ｎ（）于正平衡点ｆ趋美键词：时滞；口模型；人全局嗳引性中田分类号：７．３Ｏ１５１文献标识码：Ａ
Ｕ＝ｌｕＮ（）ｉｓｐｔ，ａｒ
ｄ』）≤ ，ｘ：（ ≤ ：．ａｒ
设Ｎ（）ｔ是方程（）（）１与２的正解，如果Ｎ（）非振动解，ｔ是由引理ｌ知ｌｉｍＮ（）＝１．ｔ现
：ｌｉＮ（）ｉｎａｒＩｔ，
，
收藕日期：０１（一０２０．３ｋ１作者筒介：宾红华（９６一）女．教授．１６．副主要从事微丹与差分方程研究

一类变时滞微分方程正周期解的全局吸引性

ｒｏｉｏｕｉｎｇｏａｔｒｃｉｉｙｉｄｃｓｌｔｏｓ；ｌｂｌａｒａｔｖｔ
ｌ问题的引人
在物理，学，化生物及经济等应用科学中，人们往往通过建立微分方程模型来描述某些动力学过程，然后运用微分方程的理论对模型进行研究，进而得到具有指导意义的结果．了求得对现实为情况更为精细的模拟，在建立模型时，要尽可能考虑各种因素对动力学行为的影响，时滞就是这些
Ａｂｓｒｃ：Ｉｈｓｐｐｅ，ｙｃｎｔｕｔｎａｕｏｕｃｉｎｌｓｆｉｉｎｔｃｎｔｏｒｔａｔｎｔｉａｒｂｏｓｒｃｉｇａＬｙｐｎｖｆｎｔｏａ，ｕｆｃｅｏｄｉｎｓａｅｉ
ｐｎｖ泛函方法．对于一些较复杂的变时滞微ｕｏ但分方程，用振动理论来研究其正周期解的全局运吸引性，具有一定的局限性；运用Ｌａｕｏ已而ｙｐｎｖ
泛函方法时，Ｖ一函数的构造也并非易事．
２１００年１２月
７（））ｔ∈Ｒ．ｔ），
ห้องสมุดไป่ตู้
（）１
定理２除了满足条件（和（）Ｈ）之外，假
设方程（）还满足３
。ｔ）ｒ（）关于ｔ可微，且（）＜１ｔ∈ Ｒ；ｔ，
在初始条件
（）＝（）≥ ０，０５Ｓ（）＞０，

非线性两种群离散合作模型的持久性与全局吸引性

ｎｌ ’

＝１Ｘ
（都是有正的上下界的非负序列，（＋））若１ ≤
（ｅｐａｋ－（．）｜∈Ｚ￣ｌｕ（））ｘ（（）ｂ）（），ｊＩ。．］ｍｓｐ ≤ ｝｝１ｉ
ｌｘ）＋： ∑ （
者研究具有无限时滞的非线性差分生态种群的动力学行为。本文通过发展文［— 】６７的分析手法来探
众所周知，生命短，对世代不重叠的种群或者虽然生命长，世代重叠的种群在其数量少的时候，
用差分方程（离散的动力模型）来表示更为合理【ｌ】。近年来离散模型引起了很多学者的关注，得到了并
。
，
，
第２卷第２８期２１年４月００
龙
岩学
院
学
报
叶
２叶Ｖ０．８Ｎ０２】．
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＬＯＮＧＹＡＮＮＩＲＳＵＶＥｎＹ
ＡｖｉＯ０ｒ２１ｌ
非线性两种群离散合作模型的持久性与全局吸引性
ｒ● ●● ¨¨ ｌ广●●●● Ｕ¨ ●＿＿Ｊ
５
证明本引理的证明基本与文【】６引理的证明
一
致，为完备起见，我们在这里给出详细的证明。
＝
（ｅ）：丢ｘ１古ｐ，（
令ｌｕ（ ≤Ｌｓｐｘ（）ｚ＜ｉｓｐ），ｕｌ￣ｋ：ｍｋ∈ ｌＫ。则对Ｖ８＞０了＞，＞时有，Ｎ０当ｎＮ
＝，。更多有关背景可以参考文献［】这里对任意１２８，

时滞脉冲微分方程解的全局吸引性

Ｎｏ３，ｏ．２２０．．１．０１Ｖ１
Ｇｎｒｌｅｉ．０ｅｅａｒＮｏ１２Ｓａｌ
时滞脉冲微分方程解的全局吸引性
陈攀峰
（宿州学院计算机科学与技术系，安徽宿州２４０）３００
摘
要：文研究一类一般情况时滞脉冲微分方程解的全局吸引性，本并得出该方程全局吸弓
是ｘｔ（）的左极大值，１、２由（）（）
（）＝一口ｆ（）ｆｔ￡）（）ｆ一（，一）（
≤一（（＋（ｍｘ ‘ 口）￡ｐｔａ。ｔ））｛
（ｓ）（））
（）８
≤ 一口ｆ＋ＰｔｘＣ）Ｃ ≥ＴｆＩ，（）（）（）（， ≥ｔ， ≠ｔｒ，上述不等式从ｔ丁到积分， ≤ 对一得
16722868201003001607文15研究了脉冲时滞微分方程解的全局吸引性本文利用类似的方法研究更具一般形式的脉冲时滞微分方程解的全局吸引性f戈口tztftxtr
２１年第ｌ００２卷第３期总第１２０期
巢湖学院学报
ＪｕｎｌｆｈｏｕＣｌｇｏｒａｏＣａｈｏｌｅｅ
又ｘｃ＞，（）０所以由（）存在 ∈［－，】使得（）Ｏ且当ｔ，】，（）０当ｔ（）０Ｃ＞，１，Ｃ－Ｃ，－Ｔ＝． ∈ ｃ时ｘｔＩ； ∈陪，】ｔ＞ｃ， —
性的结论。关键词：微分方程；时滞；冲；局吸引性脉全
中图分类号：７文献标识码：文章编号：６２２６（０００ — ０６００１５Ａ１７ — ８８２１｝３０１ — ７

一类高阶非线性差分方程的吸引性

Ｋｅｒｓ：ｄｉｆｒｎｃｑｕａｉｎｓ；ｐｏｉｉｅｅｉｉｉ；ａｔａｔｖｉｙｙｗｏｄｆｅｅｅｅｔｏｓｔｖｑｕｌｕｍｂｒｔｒｃｉｔ
０引言
文献［ —］别研究了差分方程ｚ一１２分升，井ｔｚ一，一。ｌ２ … ，中ｎ６Ａ是，，，其，，
－＝称为方程（）的不变区间，果一，，厂（＝２如 … 。ＥＪ
收稿日期：００— ５８２１０ —２
ＥＪ，＞０方程（）的线性化方程为．２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０６Ｏ１１６１１）
Ａｂｔａｔ０ｈａｉｏｔｒｔｒ１２，ｗｔｄｅｇｏａｓａｉｔｎｈｅｉｄｃｈｒｃｒｆｈｏｉｓｃ．ｎｔｅｂｓｓｆｉａｕｅＥ —］ｅｓｕｙｔｌｂｌｔｂｌｙａｄｔｅｐｒｉｃａａｔｅｐｓｒｌｅｈｉｏｅｏｔ —
与文献［ — ］类似，厂是定义在１２设
（Ｉ是一个区间）的连续函数，程上方
（）２
ｌ— ｆ（，ｌ … ，）一０，２ … ｘ，ｚ，１，，
的解｛｝足初值条件一，抖一，。ＥＩ点ｚ称为方程（）的平衡点，果ｚ一，，，；区间满一Ｘ．２如（ … ）
的全局稳定性和正解的周期性，中ｎ其，
Ａ为非负实数，为正实数，，｛，，）Ｐ≥ ２证明了该方程的一个正平衡点是一个全局吸引子，给ｂｋＰＥ１２ … ，．并

一类离散Logistic型差分方程的全局吸引性

∑ ≤ ，≥ Ｉ变＝，（化为ＭｎＳ作换斌则式１）
ｉ …
收穑Ｌ期：０１１２ｔ２０ —１３
Ｙ＋＝ｌ
ｐ［（一ｂ一（１ —ｃ）（）；）一）６
作
者；刘勉占（６一）辞师研究方向；１５男９差分微分方程
ｎ差舟方程得到的相应方程的唯一正解；ｃ改进和推广了已有结论．关键词：平方ｌｉｉ方程；ｏｓｃｇｔ垒局硬引性；时滞
中图分类号：Ｏｌ５１７．２文献标识码：Ａ
（； —ｌｃ＋
￣ｃｒｕ／ｚ～２／）２；４２
（一ｒ］￡Ｏ￡）
（）２
２定理的证明
引理１若１是式（）Ｉ的最终大于或最终小于的正解，且式（）立，ｌ＝３成则ｉａｒ
其中ｒｔＥｃ［，（）（０＋＊）（，）， ∈［，，ｏ＋）ｂ０＋＊），
ｃ∈（，）ｒ＞０＋，０为时滞．
关于方程（）２的解的渐近性已有些研究ｌｌ，，本文的目的是给出保证式（）每一正解趋于其正１的
引理２若｝｝是式（）Ｊ的关于的振动正解，平衡点的一族充分条件，广和改进了已有的结果存在正常数村推（后注１，见文）方程，１、）（）（的生态意．见文献ｆ］２义Ｉ，
滞平方ｌｉ型差舟方程每一正解｛ｉｕ＝，是ｏ￣ｅｇ有ｍ（
ｌｉｓｒ“ ａｐ∑ ｎ＜

一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):634-641一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质孟凤娟,刘存才,张昶(江苏理工学院数理学院,江苏常州213001)摘要：本文旨在研究一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质.关于这类方程吸引子存在性已有很多结果,然而关于吸引子性质的研究不多,并且关于吸引子维数的估计已知结果都是有限维.本文证明了吸引子里多重平衡点的存在性,特别地,在一定条件下得到了吸引子维数随着参数的变化可以任意大.关键词：全局吸引子;平衡点;李亚普诺夫泛函;Plate方程中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：35L05;35B41文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0634-081.引言Plate方程作为一类重要的物理模型,其最早来源于工程力学.在连续介质力学中,板被定义为厚度非常小的平面结构,通过梁理论可以得出板方程对于平板力学的数学描述.在物理学上,关于板的理论有很多,例如:Mindlin-Reissner板、Kirchhoﬀ薄板动力学、Reissner-Stein理论、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是计算载荷板材承受的变形和压力,因此,研究板方程具有很强的物理意义和实际用途.Plate方程的数学研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的弹性振动方程:∂2u ∂t2+EIϱ∂4u∂x4−(Hϱ+EA2ϱl∫l[∂u(ξ,t)∂ξ]2dξ)∂2u∂x2=0,其中E是Young模量,ϱ是杆的密度,A是横截面积,l是杆长,E是初始的轴向张力.这类问题的严格数学分析及解的整体存在性与渐近性的研究始于Ball在文[2]中关于弹性梁方程稳定性的讨论.关于Plate方程解的渐近行为的研究近年来受到广泛关注.如:在非线性项满足临界增长与f(u).u≥0时,Khanmamedov在文[3-4]中分别研究了带有弱阻尼αu t与内部阻尼a(x)u t的Plate方程在无界区域上全局吸引子的存在性,吸引子的正则性及分形维数的有限性.2009年,Kolbasin在文[5]中研究了带有位移依赖阻尼σ(u)u t的Plate方程在有界区域上吸引子的存在性.2013年,马巧珍等在文[6]中得到了带有强阻尼项∆u t的Plate方程指数吸引子的存在性.2014年,KANG在文[7]中研究了带有µ∆u t−∆u tt的非自治Plate方程分别在区间H2(Ω)×H1(Ω)与H4(Ω)×H3(Ω)中拉回吸引子存在性.最近,Khanmanedov在文[8]中研究了带有非局部非线性项f(∥∇u∥L2(R n))|u|p−2∆u的Plate方程在无界域上的渐近性.∗收稿日期：2021-08-12基金项目：国家自然科学基金(12026431,11701230,11801227,11801228);江苏高校“青蓝工程”资助作者简介：孟凤娟,女,汉族,山东人,教授,研究方向：非线性泛函分析.第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质635本文考虑具有p -Laplacian 算子的Plate 方程 u tt −∆u t +∆2u −div(|∇u |p −2∇u )+φ(u )=0,(x,t )∈Ω×R +,u =∆u =0,(x,t )∈∂Ω×R +,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),x ∈Ω,(1.1)全局吸引子的性质,其中Ω⊂R N 是具有光滑边界∂Ω的有界区域.首先假设(H 1)当N ≥3时,2≤p ≤2N −2N −2,当N =1,2时,p ≥2;(H 2)φ(s )=|s |m −1s −β|s |γs ,其中,当N >4,m =N +2N −4,当N ≤4时,m >0,0<γ<m −1,a 0是正常数,β>β0充分大,β0将在引理3.3给出.具有p -Laplacian 算子的Plate 方程(1.1)作为弹塑性微观结构模型在物理和力学中具有广泛的应用.例如在空间维数N =1和N =2情况下,分别描述了弹塑性杆的纵向运动和反平面剪切变形[9].系统(1.1)解的存在性,解的渐近行为等性质得到广泛研究,如:当空间维数N =1时,方程(1.1)变为u tt −u xxt +u xxxx −(|u x |p −2u x )x +φ(u )=0.不考虑耗散作用的影响,结合低阶非线性项与小的高阶弥散微观结构项之间的相互作用,AN 和Peirce [9]在一维情形下研究了如下方程u tt +u xxxx =a (u 2x )x 的系列问题.陈国旺和杨志坚[10]研究了比上式更一般的方程初边值问题u tt −σ(u x )x +u xxxx =f,整体解的存在性以及有限时刻解爆破的充分条件.高维情形下,杨志坚等在文[11-12]中研究了如下方程u tt −div {σ(|∇u |2∇u )−λ∆u t +∆2u +h (u t )+g (u )=f (x )在h ≡0以及h =0情形下,非线性项g 次临界和临界情形下初值问题解的长时间行为,证明了对应无穷维动力系统全局吸引子的存在性,Hausdoﬀ维数和分形维数的有限性.综上,关于系统(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文献讨论,但全局吸引子的几何结构的研究诸如吸引子维数的估计和指数吸引子尚鲜见.本文的主要目的是揭示当参数β足够大时系统(1.1)全局吸引子里平衡点的多重性.所运用的工具是临界点理论中的Z 2指标.系统(1.1)具有整体的Lyapunov 泛函并且由于φ(u )关于u 是奇的,所以该Lyapunov 泛函是偶的(见引理2.4).一般来讲,如果一个系统具有Lyapunov 泛函并且有全局吸引子,那么全局吸引子一定是平衡点集的不稳定流形的并.特别地,如果平衡点集是离散的,则全局吸引子可看成是所有平衡点不稳定流形的并,另一方面,系统的吸引子总是所有有界完全轨道的并,每个有界完全轨道是连接两个不同平衡点,而且每一个平衡点均由完全有界轨道连接它.所以,平衡点越多,吸引子的结构越复杂.因此,研究平衡点的多重性对揭示全局吸引子的结构有重要的意义.关于具有Lyapunov 泛函的偏微分方程全局吸引子结构的描述最早是Henry 在文[13]中给出,在该文中,作者以Chaﬀee-Infante 抛物方程为模型,用分歧理论的方法从平衡点之间轨道连接的角度给出了吸引子结构的详细描述.在文[14-15]中作者考虑了Chaﬀee-Infante 方程{u t −u xx =λ(u −u 3),u (0)=u (π)=0的分歧问题,其中λ≥0.并且证明了当n 2<λ<(n +1)2时该系统全局吸引子里有2n +1个不动点.通过文[14-15]的分析我们知道当0≤λ<1时原点是稳定的平衡点,但是,每当λ2穿过一个特征值,全局吸引子里将多出一对不稳定的平衡点.因而当λ充分大时,从原点出发将出现一系列的鞍结分叉从而可得到平衡点的对数也将无穷大.636应用数学2022另一方面,在文[16]中,作者利用Z2指标证明了方程−∆u=λf(u)在f是次临界增长并且是奇函数的假设下,当λ→∞时解的个数趋于无穷大.在文[17]中作者考虑了扰动问题−∆u=f(x,u)+ϵg(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指标证明了对任意的自然数j,都存在ϵj>0使得对任意的0<ϵ≤ϵj都至少存在j个不同的解.受文[13-17]的启发,最近,钟承奎等在文[18]中结合临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论来估算具有Lyapunov泛函的对称动力系统全局吸引子的两个不相交子集的Z2指标,其中Lyapunov泛函在其中一个子集上是正的,在另一个子集上是负的,进而得到全局吸引子里多重平衡点的存在性.作为该理论的应用,作者考虑了一类反应扩散方程全局吸引子里多重平衡点的存在性.Plate方程与反应扩散方程有着本质的区别,关于Plate方程全局吸引子中平衡点个数的估计的问题,至今还没有人进行研究,本文我们就运用[18]中的理论给出Plate方程在一定条件下平衡点的多重性以及一族吸引子分形维数随着参数的变化是任意大的.2.预备知识本节我们给出本文所需要的一些基本概念和结论,首先给出无穷维动力系统的相关定义和理论.定义2.1[19−20]假设算子族{S(t)}:X→X,t≥0,满足1)S(0)=Id(恒等变换);2)S(t)S(s)=S(t+s),∀t,s≥0;3)当t n→t并且在X中x n→x时,S(t n)x n→S(t)x,则称{S(t)}:X→X,t≥0是X上的C0半群.定义2.2[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称{S(t)}t≥0是渐近紧的,如果对相空间X中的任何有界点列{x n}∞n=1以及t n→∞,{S(t n)x n}∞n=1有收敛子列.定义2.3[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子,如果A满足1)(紧性)A是X中的一个紧集;2)(不变性)S(t)A=A,∀t≥0;3)(吸引性)对于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t→∞),其中dist(A,B)表inf y∈B dist(x,y).示Hausdorﬀ半距离,定义为dist(A,B)=supx∈A引理2.1[19]设{S(t)}t≥0是完备度量空间X上的连续半群,则{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子当且仅当1){S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;2){S(t)}t≥0在X上是渐近紧的.定义2.4[15,20]设H为Banach空间,{S(t)}t≥0是定义在H上的半群,X⊂H是它的一个正不变集,称Φ:X→R是{S(t)}t≥0定义在X上的Lyapunov泛函如果1)对任意给定的u0∈X,函数t→Φ(S(t)u0)关于时间t是非增的;2)存在τ>0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0),那么u0是半群S(t)的一个平衡点(不动点).称动力系统(X,S t)为梯度系统,若系统在整个相空间X上存在一个Lyapunov泛函.下面,我们给出系统(1.1)解的存在唯一性以及相应半群全局吸引子的存在性结果,详见文[11-12])等.引理2.2设(H1),(H2)成立,则对任何T>0及初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω),(Ω))×L2(Ω)).系统(1.1)的解存在并且唯一,(u,u t)∈C([0,T];(H2(Ω)∩H1第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质637对任给t ∈R 定义映射S (t ):(u 0,u 1)→(u (t ),u t (t )).(2.1)由引理2.2,易得{S (t )}t ≥0在能量相空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中是C 0-半群.引理2.3设(H 1),(H 2)成立,则对任何β,系统(1.1)所生成的半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中存在全局吸引子A β.对一个具有Lyapunov 泛函的奇连续半群,在全局吸引子具有对称结构的前提下,钟承奎等在[18]中借助于“原点是对应的Lyapunov 泛函的局部极小点”这一假设,估计了原点的吸引域边界的Z 2指标,进而对半群{S (t )}t ≥0在全局吸引子内平衡点的个数做了估算,具体结论如下:引理2.4[18]设X 是一个Banach 空间,{S (t )}t ≥0是X 上的一个C 0半群.假设{S (t )}t ≥0满足下列条件:(A 1)对任意的t ≥0,S (t )是奇的;(A 2)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个全局吸引子A ;(A 3)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个C 0Lyapunov 偶泛函F ;(A 4)存在B (0,ρ)(以0为中心,ρ为半径的球),对任意的u ∈B (0,ρ),t →∞都有S (t )u →0,并且F |∂B (0,ρ)≥α>F (0)=0,其中α是一个给定的正常数;(A 5)存在一个X 的n 维子空间X n 和一个正常数R (>ρ),使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.则有下列结论(i)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1([α,∞))中至少有n 对不动点;(ii)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1((−∞,0))中至少有n 对不动点.3.主要结果引理3.1设(H 1),(H 2)成立,对任何给定的β,由系统(1.1)诱导出的解半群是奇的,定理2.3中得到的全局吸引子A β是对称的.证对任何初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),显然(−u 0,−u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω).设(u (t ),u t (t ))是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的唯一的解.由于φ是奇函数,从而(−u (t ),−u t (t ))是系统(1.1)对应初值(−u 0,−u 1)的唯一解.因此,S (t )(−u 0,−u 1)=(−u (t ),−u t (t ))=−S (t )(u 0,u 1),从而S (t )是奇的.下面我们将验证A β的对称性.设B 0=B (0,R )={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤R }是半群S (t )的对称吸收集.假设(y,y t )∈A β,则存在一个序列{x n ,x nt }∞n =1⊂B 0及t n →∞(当n →∞时),使得在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)内S (t n )(x n ,x nt )→(y,y t ).因为半群S (t )是奇的,从而在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中有S (t n )(−x n ,−x nt )=−S (t n )(x n ,x nt )→(−y,−y t ).因此,A β是对称的.定义能量泛函F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,(3.1)其中Φ(u )=∫u 0φ(s )d s 是φ(u )的原函数.引理3.2由(3.1)所给出的泛函F (u,u t )是半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)上的Lyapunov 偶泛函.证设(u,u t )=S (t )(u 0,u 1)是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的解.用u t 乘以(1.1)并在Ω上积分可得∥u t ∥2L 2(Ω)+d d t ∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x =0,即d d t F (S (t )(u 0,u 1))=−∥u t ∥2L 2(Ω).(3.2)638应用数学2022因而对每个给定的初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),函数t →F (S (t )(u 0,u 1))是非增的.如果存在某个τ>0使得F (S (τ)(u,u t ))=F (u,u t ).从(3.2)可知,当0≤t ≤τ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此F (S (nτ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)S (τ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)(u,u t )=···=F (u,u t ).重复上面的过程可得对任意的n ∈Z +,当0≤t ≤nτ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).所以对任意的t ≥0,S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此由(3.1)定义的F (u,u t )是算子半群的{S (t )}t ≥0的Lyapunov 泛函.结合(3.1)和(H 2)易知,F (u,u t )=F (−(u,u t )),即F 是偶的.引理3.3对任何自然数n ,存在X 的一n 维子空间X n 和一正常数R ,使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.证由假设(H 2),可得Φ(u )=∫u 0φ(s )d s =∫u 0(|s |m −1s −β|s |γs )d s =1m +1|u |m +1−βγ+2|u |γ+2,对任何自然数n,设X n 是(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)的一个n 维子空间,A n ={(u,u t )∈X n :∥∆u ∥L 2(Ω)+∥u t ∥L 2(Ω)=1},则A n 是空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω))的紧集,并且存在正常数δ使得inf (u,v )∈A n ∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)=δ.设RA n ={R (u,u t ):(u,u t )∈A n },则对R (u,u t )∈RA n ,利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L m +1(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω)可得F (R (u,u t ))=∫Ω{12R 2(|∆u |2+|u t |2)+1p R p |∇u |p +1m +1R m +1|u |m +1−βγ+2R γ+2|u |γ+2}d x ≤12R 2+CR m +1−βγ+2R γ+2δ,对固定的R,取β0=1δ(R −r +CR m −r −1)(γ+2),则当β≥β0时,F (R (u,u t ))≤0.(3.3)引理3.4设(H 1),(H 2)成立,对每个给定的β,A β为系统(1.1)的全局吸引子,由(3.1)所定义的F 是半群{S (t )}t ≥0在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中的Lyapunov 泛函.则存在原点的一个邻域B (0,ρ),(ρ<R )使得(i)对任意的(u,u t )∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u,u t )→0,(ii)F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0,其中α是一个固定的正常数.证由Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L 2n N −4(Ω) →L m +1N −4(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω),可得F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2C ∥∆u ∥γ+2L 2(Ω).(3.4)由于γ>0,γ+2>2,当∥∆u ∥L 2(Ω)充分小时,∥∆u ∥γ+2L 2(Ω)可由∥∆u ∥2L 2(Ω)控制.上式意味着存在0<ρ1<R 使得当(u,u t )∈B (0,ρ1)={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤ρ1}时,F |∂B (0,ρ1)≥α1>F (0,0)=0,(3.5)其中,α1是一个给定的正常数.下面我们将验证当ρ<ρ1及α2<α1成立时,F |B (0,ρ)<α2.F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质639≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p ∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω),由上述不等式可知当(u,u t )∈B (0,ρ),ρ→0时F (u,u t )→0,从而存在某个ρ<ρ1使得F |B (0,ρ)<α2.(3.6)由(3.4),我们还可知存在某个α>0使得F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0.(3.7)由引理3.2知F 是一个Lyapunov 泛函,则F (S (t )(u 0,u 1))关于时间t 是递减的,结合(3.5),(3.6)可得,对任给t ≥0,F |S (t )B (0,ρ)<α2.(3.8)因此对任给t ≥0,S (t )B (0,ρ)⊂B (0,ρ1).(3.9)否则,存在某个t 0及(u 0,u 1)∈B (0,ρ)使得S (t 0)(u 0,u 1)∈X \B (0,ρ1).根据S (t )的连续性,存在t 1满足0<t 1≤t 0并且S (t 1)(u 0,u 1)∈∂B (0,ρ1).因为F |∂B (0,ρ1)≥α1,可得F (S (t 1)ϕ0)≥α1,与(3.8)矛盾.因此,对任何(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t ≥0,S (t )(u 0,u 1)∈B (0,ρ1).下面我们将验证对任何初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ1),算子半群只有原点是平衡点.即∀(u 0,u 1)∈B (0,ρ),S (t )(u 0,u 1)=(u 0,u 1)⇒(u 0,u 1)=0.(3.10)由于算子半群的平衡点对应于系统稳态方程的解,即{u 1=0,∆2u 0−div(|∇u 0|p −2∇u 0)+φ(u 0)=0.因而要验证(3.10)成立,只需证明∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )dx =0⇒u =0.由(H 1),(H 2)可得∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x ≥∫Ω(|∆u |2d x +∥∇u ∥pL p (Ω)−Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x ≥C (∫Ω|u |2n N −4d x )N −4N −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x≥C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x.(3.11)注意2γ+2<1并且γ+2<m +1,Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x 可以被C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x 和C ∫Ω|u |m +1d x 控制,结合(3.9),我们可选择适当的ρ,使得对任何S (t )(u 0,u 1)=(u,u t )=(0,0),∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x >0成立.因此我们已证明对任给(u,u t )∈B (0,ρ1)\(0,0),S (t )(u,u t )=(u,u t ).根据(3.5),(3.6)和(3.10),我们可以得到对任给(u 0,u 1)∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u 0,u 1)→0.(3.12)由引理2.3可知系统(1.1)存在全局吸引子,再根据引理2.1可知{S (t )}t ≥0是渐近紧的.因此,对任给初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t n →∞,{S (t n )ϕ0}有一个收敛子列,即当t n k →∞时S (t n k )(u 0,u 1)→(u ′0,u ′1).(3.13)640应用数学2022要证(3.12),只需证明(u′0,u′1)=0.由Lyapunov泛函的定义(定义2.4)可得F(S(t)(u′,u′1))≤F((u′,u′1)),∀t>0.(3.14)我们断言对某个τ>0F(S(τ)(u′0,u′1))=F((u′,u′1)).(3.15)下面将用反证法来验证(3.15).若(3.15)不成立,则对任给t>0,F(S(t)(u′0,u′1))<F((u′,u′1)).(3.16)从而当ε>0充分小时,存在t′>0满足F(S(t′0)(u′,u′1))<F((u′,u′1))−ε.(3.17)根据(3.13),可得当t nk→∞时S(t nk+t′)(u0,u1)→S(t′)(u′,u′1).(3.18)根据F的连续性和(3.18),可得当t nk→∞时F(S(t nk +t′)(u0,u1))→F(S(t′)(u′,u′1)),(3.19)并且由(3.13)可得当t nk→∞时F(S(t nk+t′)(u0,u1))→F((u′,u′1)).(3.20)结合(3.19)和(3.20),我们有F(S(t′0)(u′,u′1))=F((u′,u′1)),这与(3.17)矛盾.因此(3.15)成立.由Lyapunov泛函的定义,(u′0,u′1)是S(t)的不动点,即对任给∀t>0,S(t)(u′,u′1)=(u′,u′1).结合(3.5)(3.6)和(3.10),我们有(u′0,u′1)=0,即(3.12)成立.结合(3.7)和(3.12),引理3.4得以证明.由引理3.1-3.4可知,由引理2.2生成的算子半群(2.1)满足引理2.4的所有条件,根据引理2.4可得:定理3.1假设(H1),(H2)成立,对每个给定的β,Aβ是(1.1)的全局吸引子,由(3.1)定义的F是算子半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω)中的Lyapunov泛函.则对任意自然数n,存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F−1([α,∞))内至少有n对不同的不动点,并且在Aβ∩F−1((−∞,0))内至少有n对不同的不动点.在文[9]中,我们知道任何一个分形维数为n的紧集与R2n+1之间都存在一个一一的线性奇的H¨o lder连续映射.类似于文[30]中推论1.1,由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推论:推论3.1假设(H1),(H2)成立,对任何给定的β,Aβ是系统(1.1)全局吸引子.则我们有下列结论:limβ→∞dim Aβ=∞.参考文献：[1]WOINOWSKY K.The efect of an axial force on the vibration of hinged bars[J].J.Appl.Mech.,1950,17:35-36.[2]BALL J.Stability theory for an extensible beam[J].J.Diﬀerential Equations,1973,14:399-41.[3]KHANMAMEDOV A.Existence of a global attractor for the plate equation with a critical exponentin an unbounded 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含时滞非线性扩散合作系统的正周期解存在性与全局吸引性

另一方面, 自然界中经常发生时滞现象, 许多生态学和生物学模型都可以被表述为具有时滞的微分方程. 目前, 时间尺度上的动力学方程的研究引起了许多学者的兴趣[1−13]. 对于这种类型的系统, 最重要的问题之一是分析时滞对系统稳定性和持久性的影响.
Chen在文献[1]中研究了以下系统
0
x˙ 1(t) = x1(t) a1(t) − b1(t)x1(t) + c(t)y(t) − β1(t) k1(s)x1(t + s)ds + D1(t)(x2(t) − x1(t)),
On the Existence and Global Attractivity of Positive Perioic Solution for a Cooperative System with Nonlinear Diﬀusion and Delays
Ahmadjan Muhammadhaji
(新疆大学数学与系统科学学院, 新疆乌鲁木齐 830046)
摘要：种群动力学模型的正周期解存在性与全局吸引性研究目前已成为现代生物数学理论研究的热点课题之一. 本文对具有分布时滞和非线性扩散的两种群合作的系统进行了研究, 并通过应用重合度理论和构造适当的Lyapunove泛函得到了周期系统的正周期解的存在性与全局吸引性的充分条件．关键词: 合作系统；非线性扩散；正周期解；分布时滞；全局吸引性 DOI ：10.13568/ki.651094.2019.01. 001 中图分类号：O175.14 文献标识码：A 文章编号：1000-2839(2019)01-0001-010 本文标准引文格式：艾合麦提·麦麦提阿吉．含时滞非线性扩散合作系统的正周期解存在性与全局吸引性[J]．新疆大学学报（自然科学版），2019，36（1）：1-10.

一类时滞差分方程解的吸引性

ｒｔ＝１
这里，ｇ（Ｍ）在（４）中已定义，且ｌｉｍ（ｐ一Ｐ — ｎ）＝０，即ｌｉｍ＝０．对于任意的ｎ，ｇ（０）＝０，则方程
ｎ—÷ ∞
ｌｉｍＹ＝
一
Ｐ）＝０
（ｉ）Ｐ一，Ｐ一＋１，Ｐ一＋２， …，Ｐ一１∈ ［０，＋。。），
Ｐ０＞０；
（ｉｉ）＋＝，＋＝６， ∞ ∈Ｎ，０＜６＜１，
ＪＢ＞０， ∈ Ⅳ；
意的ｂ，满足∑ｂ＝∞，且：
）＋
（１）
，
要证明ｌｉｍ（ｐ一
＝０成立，只需要证明ｌｉｍｚ＝
作为动物体内红血细胞再生模型，其中６，口，都是
０，由（２）与Ｐ＝Ｐ — ｎ＋知ｚ＞０，且满足：
ｚ＋１一＋６＋ｇ（ｚ一）＝０
ＭａｃｋｅｙａｎｄＧｌａｓｓ在文献［１］中将时滞微分
方程：
个非振动解Ｐ趋于周期正解，￣［１ｌｉｍ（ｐ一）＝０．
证明：对于充分大的，假设Ｐ＞Ｐ — ｎ＂令Ｐ＝＋
ｐ）一
（５）
＝ｍａｘ｛ＩＢ， …，１３｝，ＩＢ＝ｍｉｎ｛ＪＢ， …，｝＝ｍａｘ｛ｌ， …，｝，。＝ｍｉｎ｛６１， …，６｝
线性方程Ｙ一Ｙ＋ｂｎｙ一＝０的所有解趋于
０≤ ｂ ≤ ｄ：＝

一类非线性差分系统的动力学性质

1)的平
n→
衡解是全局吸引子 .
n→
n→
由定理 2 和定理 3,差分系统的平衡解既是局部渐近稳定的,又是全局吸引子,所以得推论 1.
推论 1
差分系统(
1)的平衡解是全局渐近稳定的 .
3 Ma
t
l
ab 数值计算
根据前面的结论,在差分系统(
1)中随机选取一组初始值:
x-1 =0.
2,
x0 =1,
z-1 =3,
z0 >0 有
y-1 ,
y0 ,
l
imxn =x,
l
imyn =y,
l
imzn =z,
n→
n→
n→
则称平衡解(
x,
z)是全局吸引子 .
y,
[
9]
定义4
若平衡解(
x,
z)既是局部渐近稳定的又是全局吸引子,则称(
x,
z)是全局渐近稳定的 .
y,
y,
2
主要结果
定理 1
证明
+
差分系统(
1)的解{
xn ,
zn }
10)
第2期
王丽,等:一类非线性差分系统的动力学性质
xn+1 -un+1 ≤
由式(
9)、式(
11)得
xn-2 -un-2
,
n >s.
3
A
71
(
11)
(
xn ≤ un ,
n ≥s.
12)
由式(
7)、式(
10)和式(
12)得l
imxn =x .同理可证l
imyn =y,
l
imzn =z.即当 A >0 时,差分系统(

时滞格点系统的全局紧吸引集概述

时滞格点系统的全局紧吸引集概述分数阶微分方程是指含有分数阶导数的微分方程，在物理、生物等领域有非常广泛的应用, 本文通过假设非线性项在某种程度上是序列弱连续的，证明了在Banach空间中抽象分数阶微分方程有关解的存在性的一些一般性结论。

之后我们考虑一个具有分数阶物质导数的时滞格点系统，通过研究其在给定的条件下解的存在性及吸收集估计和尾部估计，从而首次给出了该系统在解不唯一的情况下全局紧吸引集的存在性。

关键词: 格点系统，延迟微分方程，分数阶物质导数，全局紧吸引子分数阶导数有很多种定义，包括Riemann-Liouville 定义，Caputo 定义和Grunwald-Letaikov 定义，不同定义下的分数阶导数方程的性质不同，但是相对于整数阶导数方程都有更大的优势。

分数阶导数的微分方程相对于整数阶能更好的拟合实验数据，能更好地描述实验现象。

在医学图像处理，天气和气候的研究以及地震奇异性分析上有重要作用。

本文研究Caputo 意义下分数阶导数微分方程解的性质。

分数阶导数早在1695年就被提出，是整数阶微积分的推广但一直没有被工程人员重视，早期的分数阶导数的研究还主要集中于数学理论领域。

直到人们发现了分形几何可以与分数阶导数建立联系，分数阶导数才越发被重视。

因为整数阶导数虽然理解容易，应用简单，很多实际问题都能用整数阶导数方程解决，但在实际应用中会遇到很多困难，尤其是在对实际工程中的所采集的数据进行拟合时误差较大，对于复杂系统的描述效果不佳，不能从本质上反应系统的特点，同时由于所描述系统的复杂性，对参数的敏感性较大，此时整数阶导数的微分方程就不能很好地适应参数的变化，就必须改变模型结构而建立新的模型。

所以学术界急需可依据基本的原理对这些系统进行建模描述其过程的数学工具，来弥补传统的整数阶导数的不足。

而分数阶微积分方程非常适合刻画具有记忆或遗传性质的复杂系统，其对复杂系统的描建模的时候就更加简单，使用到的参数的物理意义就更加明确，成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

一类非线性微分方程的全局吸引性

一类非线性微分方程的全局吸引性
马会礼;王迪吉
【期刊名称】《新疆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(021)003
【摘要】本文研究了一类二阶非线性微分方程模型,利用不等式等技巧,给出了其平衡点全局吸引性的充分条件.
【总页数】3页(P7-9)
【作者】马会礼;王迪吉
【作者单位】新疆财经学院基础部,乌鲁木齐,830011;新疆师范大学数理信息学院,乌鲁木齐,830053
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类泛函微分方程零解的全局吸引性 [J], 汪东树;王全义
2.一类变时滞微分方程正周期解的全局吸引性 [J], 王会兰;许友军;朱惠延
3.一类非线性时滞微分方程的全局吸引性 [J], 欧春华;唐衡生;罗蔚
4.一类时滞偏微分方程的不变集与全局吸引性 [J], 王毅;李树勇
5.一类多项分数阶微分方程解的全局吸引性 [J], 李艳峰;郝燕朋;王二静;李巧銮因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类积分方程的全局吸引集

一类积分方程的全局吸引集向丽;滕玲莹【摘要】In this paper, a new integral inequality is established by using both the properties of nonnegative matrices and the tech-nques of integral inequalities, the sufficient conditions for the global attracting set of a class of nonlinear integral equations with delay to exist are obtained. Moreover, the sufficient condition for the equilibrium to be globally asymptotic stable is also obtained.%通过建立一个新的向量积分不等式,结合非负矩阵的性质,获得了一类具有时滞的非线性积分方程存在全局吸引集的便于验证的充分条件,并获得了零解渐近稳定的充分条件,丰富了对于非线性差分系统吸引集的研究结果,建立的积分不等式还可用于其它系统吸引集和不变集的研究.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)003【总页数】4页(P327-330)【关键词】吸引集;积分方程;非负矩阵【作者】向丽;滕玲莹【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307;西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都610041【正文语种】中文【中图分类】O175.131 引言和记号多年来，人们对于非线性差分系统稳定性已有广泛的研究［1-10］，但对于非线性差分系统全局吸引集的研究结果却很少［11-18］.本文通过建立向量积分不等式，给出了一类具有无穷时滞的连续差分系统存在全局吸引集的充分条件.E代表单位矩阵.［x］+表示对x∈Rn的每一分量取绝对值而形成的向量，且对于τ(t)≥0，定义其中当τ(t)=∞时，约定C表示在(-∞，+∞)上连续的有界向量函数族;A≤B表示矩阵A的每一个元素都不超过同型矩阵B的对应元素;A＜B表示矩阵A的每一个元素都小于同型矩阵B的对应元素;ρ(A)表示方阵A的谱半径.引理1［19］若方阵A≥0，则ρ(A)是A的特征值，且存在z＞0，使z∈Wρ(A)，Wρ(A)表示A的对应于特征值ρ(A)的特征子空间.2 积分不等式定理1 设x(t)是定义在(-∞，+∞)上的n维非零连续向量函数，在(-∞，t0］(t0≥0)上有界，在［t0，+∞)上满足不等式其中都是［0，+∞)上的n×n矩阵，H=(hij(t))n×n是［0，+∞)上的n×n连续矩阵，且满足若ρ(M)＜1，z∈Wρ(M)，z＞0，则当有证明由ρ(M)＜1和非负矩阵的性质［20］可得(E-M)-1存在，且(E-M)-1≥0.再由引理1知，存在z＞0，z∈Wρ(M)使得Mz=ρ(M)z＜z.令如果定理结论不成立，令ei=(0，0，…，0，1i，0，…，0)，必存在某个i及t1≥t0使得由(1)式和Mz＜z可知这与(4)式中等式矛盾，定理得证.3 全局吸引集与渐近稳定性考虑非线性积分方程其中，x∈Rn，g：R×R×Rn→Rn，F：R×Rn×Rn→Rn均连续，且连续，且φ(t)在(-∞，t0］上连续有界.并设方程(5)的解于R上存在唯一，其解记为x(t，t0，φ)，简记为x(t).定理2 若方程(5)满足其中，A=(aij)n×n，B=(bij)n×n都是［0，+∞)上的n×n矩阵非负连续，且令若ρ(M)＜1，则就是方程(5)的全局吸引集.特别的，当J=0时，方程(5)的零解渐近稳定.证明对方程(5)两边取绝对值算子，并利用(7)式得再由令其中故由定理1和(8)式可知当t≥t0时有故必存在D≥0使得下证D∈S.对∀ε＞0，由则必存在充分大的T＞t0，使得由上极限定义及条件知：存在充分大的t2≥T，当t≥t2时，其中从而当t≥t2时再由上极限定义，存在充分大的t3≥t2使得从而有令ε→0有故即D∈S.当J=0时，D=0，则对∀t≥t0有［x(t)］+＜kz，且，从而方程(5)的零解渐近稳定.例1 考虑非线性时滞系统其中，τ(t)为满足的非负连续函数.显然该系统的右边满足条件(7)，其中有由定理2可知是系统的全局吸引集.致谢徐道义对本文给予了指导和帮助，中国民航飞行学院面上项目(XM0350)对本文给予了资助，谨致谢意.参考文献［1］徐道义.线性时变离散大系统的稳定性［J］.科学通报，1983，21(18)：1-152.［2］廖晓昕.动力系统的稳定性理论和应用［M］.北京：国防工业出版社，2000：296-358.［3］马志霞，郭庆义，徐道义.一类积分方程的稳定性与吸引域［J］.数学杂志，1999，19(3)：209-303.［4］王联，章毅.解析非线性差分系统的稳定性［J］.数学学报，1995，38(3)：355-362.［5］Kolmanovskii V，Myshkis A.Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations［M］.London：Kluwer Academic Publishers，1999：285-288.［6］Laskshmikantham V，Trigiante D.Theory of Difference Equations，Numberical Methods and Applications［M］.New York：Academic Press，1988.［7］Xu D Y.Integro-differential equations and delay integral inequalities ［J］.Tohoku Math J，1992，44：365-378.［8］龙述君，向丽.一类具有连续分布时滞的Hopfield神经网络的稳定性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2006，29(5)：566-569.［9］龙述君.具有分布时滞的脉冲Cohen-Grossberg神经网络的指数稳定性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2009，32(1)：68-71.［10］Gu H B.Mean square exponential stability in high-order stochastic impulsive BAM neural networks with time-varying delays［J］.Neurocomputing，2011，74：720-729.［11］Xiang L，Teng L Y，Wu H.A new delay vector integral inequality and its application［J/OL］.J Inequal Appl，2010，2010：927059.［12］He D H，Wang X H.Attracting and invariant sets of impulsive delay Cohen-Grossberg neural networks［J］.Nonl Analy：Hybrid Systems，2012，6：705-711.［13］王广兰，赵洪涌.非线性抽象泛函微分方程的吸引性［J］.四川大学学报：自然科学版，2002，39(5)：810-814.［14］崔伟业，赵洪涌.具有连续分布时滞的中立型Hopfield神经网络的吸引集［J］.四川大学学报：自然科学版，2000，37(2)：168-173.［15］Xu D Y，Yang Z C.Attracting and invariant sets for a class of impulsive functional differential equations［J］.J Math Anal Appl，2007，329：1036-1041.［16］杨志国，黄玉梅.具有混合时滞的Cohen-Grossberg脉冲神经网络的指数耗散性［J］.四川大学学报：自然科学版，2010，47(3)：464-467.［17］Ma Z X，Wang X H.A new singular impulsive delay differentialinequality and its application［J/OL］.J Inequal Appl，2009，2009：461757.［18］Huang Y M，Xu D Y，Yang Z G.Dissipativity and periodic attractor for non-autonomous neural networks with time-varying delays［J］.Neurocomputing，2007，70(16)：2953-2958.［19］Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985：503-503.［20］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences［M］.New York：Academic Press，1979.。

方程x_n_1_x_nexp_r_n_1_x_n_1_x_n_的全局吸引性(1)

的解{ x n } 满足 0 < x n < 1 .
引理 2 假设 r 是一个正常数, 令 f ( x) =
x [ ex p( r -
11-
x x
)
+
1] -
2
如果存在一个常数 x * , 使得
f ( x * ) ( x * - 1) < 0
( 10)
则 ( x * -
x n+ 1 - 1 xn - 1
≥
exp[
rn
11-
xn xn
]
-
rn
11-
xn xn
1
.
1
rn -
xn
-
ex p[
rn
11-
xn xn
]
因为 r n
是正常数,
我们知道lni→m∞rn
11-
xn xn
=
0, 由( 28) 、( 9) 我们得到
lim inf n→∞
x n+ 1 - 1 xn - 1
t
≥
0
( 3)
其中 r ( t) ∈ C( [ 0, + ∞) 、( 0, + ∞) ) ∈ [ 0, 1) .
当 = 0, rn ≡ r 时, 方程( 1) 退化为
x n = r nx n( 1 - x n) n = 0, 1, 2, …
( 4)
方程( 4) 是著名的 logist ic 方程
注: 猜测lim suprn ≤ 2( 1 - ) 时定理 1 亦成立. n→∞
参考文献
[ 1] A g arw at R P Differ ence Equations and Inequalit ies T heo ry M ethed and A pplicatio n [ M ] . M ar cel Dekker , N ew Y or k, 1992. [ 2] Zhang Q inqin Zho u Z han G lobal attr activ ity of a no nalltono mousdiscr ete L og istic mo del[ J] . Hokkaido M ar h Jo urna, 2000, 29: 37- 44. [ 3] 庚建设. 一类泛函微分方程零解的全局吸引性及应用 [ J] . 中国科学, A 辑, 1996( 1) : 23- 33. [ 4] 刘玉记 . 食物有限模型的全局吸引性[ J] . 怀化师专学报, 2000, 19: ( 5) 15- 18.

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・
收一日期：２０－６Ｏ；Ｉ日期：枷１－５０Ｏ０－１订７埔２
基叠嘎目：朝南省教委科研基金贲助项目（９１９Ｃ２）作者苘介：刘玉记（９１∞一）男，，期南绥宁人．剐教授，翻系主任
３２１
维普资讯
（意 ≥）注１，源自（５）维普资讯
类非线性时滞差分方程的全局吸引性
３３２
≤ ＋８（ ≥ Ｎ１）
（）６
因无界，在ｎ）Ｎ存（１＋２）得ｋ使
ＩＩ＜Ｉ。ＩＮ１（，＜ｎ’．
Ｄ）４
≥０且∑ ．＝１；
三
）存在非负数列｛，Ｐ】对任意的 ≠ ０有
ｊ【 ≤
按通常规定 △ ＝＋ — ．方程（）含许多具有生态学意义的时滞差分方程为特殊Ｉ１包
情况（见参见［】，１）本文试图将文［】】的结果推广到差分方程（）中，１事实上，这种将｜分方程蔓
ＩＩ且上
Ｉｉｆｉｎｍ
…
￣
．
Ｌ
（ＶＮ－ Ⅳ） ∈ ＇
（）４
…
则方程（）１的任意最终正解（或最终负解） ‰）｛均满足
证明
时，＞０ｎ≥ Ｎ，ｏ时，
＝０・
不妨设是（）１的最终正解， ‰ 为最终负解时类似证明于是存在 Ⅳ ，当口当 ≥
（）１的初始条件
。：
（１）
（）２
（ｋ５＝
ｋ＋１ … ，一１０．，，）
其中基本假设
Ｄ）｛】１为非负实数列（０≤ 口．（１ｋ自，为然数）；
Ｄ）２，）＞０（０，（）于是Ｌｐｃｉ），，关ｉｈ￣连续的；ｅ）对任意ｎ，ｎ）于单调增加；，（，关
一
＋ｌ
，ｎａ（，）≤一ａｆｑ．
取Ｉｌ（，（ａ —Ｉ，＜０＜（ｌ）由于｛｝单减趋于ａ故存在Ｎ，，ｌ使 Ⅳ ＜口＋，又由于
ｌｉ∑ ｆ＞＞，充时∑ ｆ对式从Ｎ到（分大）ｉｎａｒｆ，＝１Ｉ故当分大，上＞＾１充求ｑ
＿● －Ｉ
于０的一壤充分条件，推广井改进了已有的结果．美 ■ 铘：全局吸引性；非线性；非自治；时滞差分方程
文■ 标识珥：Ａ
中圈分类号：Ｏ１５７
弓ｌ
青
研究非线性时滞差分方程
△ 口＋（，．＋＝０（ｏ１，）＋＾， ∑ ）＝，２… ，，
维普资讯
应用数学和力学，２卷第３（０２年３月）第３期２０
Ａ￣ｅａｅａｃｎｅｈｉｐｉＭｔｍｔｓａｄＭｃｅｃｄｈｉｍｓ
应用数学和力学编委会编重庆出版社出版
文章一号：０］￣８（０２０－３１０１（－７２０）３０２－０１
刘
玉
记
文中定ｎ＜ｂ规时∑ ＝０Ⅱ ＝Ｉ，
＾
１引理和主要结果
设条件＜一＜４成立，Ｄ）Ｄ）定义数列｛）
・ｔ＝＝
尊Ｉｚ，，， …
（３）
由于ａ ∈ ［，）故０Ｉ，
＞０．
引理１若存在非负数列｛使得ｆ）
有关结论推广或离散到差分方程的工作是十分有意义的（【，］．本文结果也可视为文见２３）【］４结果的离散化，同时又是文［，］２３中结果的推广．第１节先给出引理，结柬时给出本文主要结果，同时给出主要结果的应用．
由（）１立知 △ ＜０最终单调减小，ｍｘ，ｌ＝ａ≥ ０ｉ存在，反设ａ＞０于是 ≥ Ｎ时 ≥ ．ｏ
另一方面．由（）１
ｑｌ＋ｌ＝＋（，．…）ｎ△ ＋一ｌ ∑玑＋口，即 △ｑ＝一ｎ ∑玑 ≤ ＋（ ∑口ｎ ≤ （）＋，，）一ｌ，ｓ）＋，，ａ
ｚ
Ｙｔ
Ｊ。
．
和并化简
￣ｍ４
－
１－ ≤ ｃ－一言
，＋Ｉ３
熹ｃａａｃ —，。ｎＲ，＋，
１
导出＋ｌ＜０与最终正矛盾．故ａ≠ ０误，￣ｉｘ＝ａ：０证完．错｝ｌｌｍ，引理２设条件（１一（）Ｄ）成立且
一
类非线性时滞差分方程的全局吸引性 ’
刘玉记，
（．１岳用师范学院数学系，南岳阳４４；．湖１￣０２北京理工大学应用数学系，北京１０）０￣Ｉ
（宗她推荐）林
０
－曩：研非性滞分程△ ｏｎ∑ ＝，出证程一解）究线时差方＋＋，．…）０保方每｛趋给
“ ．
ｐ｜
‘ｉ
可’
则方程（）１的任意振动解｛满足ｌ：０靠）ｉａｒ．证明设｛）１的振动解，为（）我们将证ｌｘｉ＝０先证有界．反设无界，ａａｒ．取
＞０Ｎ．，使
＋＜＜＋１＋寻
不失一般性，设。＞０则，