北师大数学选修2-2(成盘)第3章2.1实际问题中导数的意义(1)
高中数学选修2-2 北师大版 2.1实际问题中导数的意义学案
§1导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义 2.2最大值、最小值问题（1）【学习目标】1.了解导数在实际问题中的意义，能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解；2.理解函数的最值与极值的区别和联系，能利用导数研究函数的最值.【重点难点】重点：导数的实际意义及函数的最值的求法难点：利用导数求函数的最值【导学流程】一、知识链接1. 函数的平均变化率和导数：对于一般函数y=f(x)，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设△x=x 1-x 0，△y=f(x 1)-f(x 0)，则函数的平均变化率是()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101.则函数y=f(x)在x=x 0处的导数为：()()()x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00000lin lin . 2. 函数的导数与单调性的关系：设函数y=f(x)在区间A 内可导，若()0>'x f ，则f(x)在A 上是增函数；若()0<'x f ，则f(x)在A 上是减函数.3. 用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()x f '；（2）解()0>'x f 或()0<'x f 与定义域的交集；（3）确定单调区间.二、课前预习1.阅读课本第63-65页内容，理解导数的时间意义，完成：（1）功率是________关于________的导数；降雨强度是________关于_______的导数； 边际成本是_________关于__________的导数；速度是_______关于________的函数； 加速度是________关于_________的导数.2.阅读课本第66-67页内容，了解最大（小）值的概念，完成：（1）函数在区间[a ，b]上满足：①x 0∈[a ，b]，且f(x)____f(x 0)，则____为最大值点，______为最大值；②x 0∈[a ，b]，且f(x)____f(x 0)，则____为最小值点，______为最小值.（2）函数y=f(x)的图像如图，回答：函数的极大值为__________，极小值为_________，最大值为_________，最小值为_________.（3）函数()x x x f 1+=在其定义域内是否有最值？在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡231，上呢？若有，求出最大值、b x 3 x 2 x 1a O y x最小值，若没有，说明理由.3.认真分析例4，归纳利用导数求函数最值的步骤，完成：课本第67页练习._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容三、课堂探究1.做简谐振动的小球的运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23sin 20πt x ，其中x(单位：m)是小球相对于平衡点的距离，t(单位：s)为时间，求小球在4π=t 时刻的速度. 【课堂小结】目标达成_______________________________________________________； 收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.函数f(x)=x(1-x 2)在[0，1]上的最大值为（ ） A.932 B.922 C.923 D.83 2.已知x ≥0，y ≥0，x+3y=9，则x 2y 的最大值为（ ）A.36B.18C.25D.423.函数f(x)=sinx+cosx ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时，函数的最大值为______________. 4.课本第69页习题3-2A 组2.。
高中数学选修2-2 北师大版 3.2.1 实际问题中导数的意义教案
第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =84时，利润L （三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题 （五）、课后作业：第69页A 组中1、3 B 组题。
高中数学北师大版选修2-2 导数的概念和几何意义
求平均变化率 已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算在下列 区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率． (1)[－3，－1]； (2)[1，1＋d]．
【解】 (1)①对于 f(x)＝3x＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，
f(－1)－f(－3) ＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， 所以f（－1）－d f（－3）＝62＝3， 即函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 3. ②对于 g(x)＝2x2＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，g(－1)－g(－3) ＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
1．当自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量 之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 答案：A
2．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，d＝0.1 时，f(x＋d)－
【解】 因为 f(x0＋d)－f(x0)＝(2x0－7)d＋d2， 所以f（x0＋d）d－f（x0）＝2x0－7＋d. 当 d 趋于 0 时，f（x0＋d）d－f（x0）趋于 2x0－7， 所以 f(x)在 x＝2 和 x＝6 时的瞬时变化率分别为－3 和 5. 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 °C/h 的速度下降；在 第 6 h 附近，原油温度大约以 5 °C/h 的速度上升．
利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注 意在求f（x0＋d）d－f（x0）时，分式的通分，无理式的分子有 理化等常用技巧的使用．
求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝1 处的 导数． 解：令 f(x)＝y＝x2＋ax＋b，
高中数学选修2-2北师大版教案：3..2.1实际问题中导数的意义
课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：本章知识网络:二、典例精析例1.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围变式：若函数(]21()2,0,1f x ax x x =-∈在(]0,1x ∈上单调递增，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-， 求实数a 的取值范围. 解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -. 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.三、作业必做题：课本71页1题（2）（4）（6）（8）2题（2）3、4题选做题;B组1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
高中数学第三章导数应用22.1实际问题中导数的意义教案(含解析)北师大版选修2_2
2．1 实际问题中导数的意义导数在物理学中的应用[例1] 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝12gt2.(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2)(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的意义．[思路点拨] (1)平均变化率为位移的变化量与相应的时间变化量的比值．(2)瞬时速度为时间变化量趋于0时的平均变化率，或由导数的意义得t＝2 s时的瞬时速度，即s(t)在t＝2时的导数值．[精解详析] (1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为s4－s24－2＝12g×42－12g×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)．它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．它表示物体在t＝2 s时的速度为19.6 m/s.[一点通] (1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值；(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．1．某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，求s′(0)并解释它的实际意义．解：∵s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3 m/s.2．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x 米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝8x2＋110－x2，其单位为：勒克斯．(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？(2)求I′(5)并解释它的实际意义．解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为I 8－I 58－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫825＋1253＝32003＝0.005(勒克斯/米)，它表示点P 与光源A 的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．(2)∵I (x )＝8x2＋1100－20x ＋x2，∴I ′(x )＝8·(－2·x －3)＋－－20＋2x10－x4＝－16x 3＋20－2x 10－x 4.∴I ′(5)＝－16125＋20－1054＝－14125＝－0.112(勒克斯/米)．它表示点P 与光源A 距离5米时，点P 受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米．导数在日常生活中的应用[例2] x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义． [思路点拨] (1)平均利润指平均每台所得利润； (2)总利润的平均改变量指c (x )的平均变化率；(3)c ′(x 0)表示产量为x 0台时，每多生产一台多获得的利润． [精解详析] (1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利润为c 1 0001 000＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c 1 500－c 1 0001 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元)．(3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000， ∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．c ′(1 000)＝3 000表示当产量为 1 000台时，每多生产一台机械可多获利 3 000元．c ′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．[一点通] 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．3．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C 与每天产量q 之间的函数为C (q )＝2 000＋450q ＋0.02q 2.(1)写出收入函数； (2)写出利润函数；(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义． 解：设收入函数为R (q )，利润函数为L (q )． (1)收入函数为：R (q )＝490q . (2)利润函数为：L (q )＝R (q )－C (q )＝490q －(2 000＋450q ＋0.02q 2)＝－2 000＋40q －0.02q 2. (3)利润函数的导数为：L ′(q )＝(－2 000＋40q －0.02q 2)′＝40－0.04q .利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q 时，再增加单位产量后利润的改变量．4．某考生在参加2014年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系y ＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为：f 36－f 036－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．2．实际问题中导数的意义 (1)功关于时间的导数是功率． (2)降雨量关于时间的导数是降雨强度． (3)生产成本关于产量的导数是边际成本． (4)路程关于时间的导数是速度． 速度关于时间的导数是加速度．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C s ′(t )＝2t －1，∴s ′(3)＝2×3－1＝5.2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h解析：选C ∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9πD ．6π解析：选D ∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π.4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝______，其实际意义是__________________________________．答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度6．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2.解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ， ∴a (2)＝12×2－10＝14(m/s 2)． 答案：147．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2100(元)．(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c 220－c 200220－200＝8620＝4.3(元/件)， 它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元． (2)c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝110＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)． 解：(1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x2x －6(x >6)．(2)f ′(x )＝3·2x x －6－x 2x －62＝3x x －12x －62，f ′(36)＝3×36×36－1236－62＝2.88⎝ ⎛⎭⎪⎫L km/h ，f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88Lkm/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.。
高二数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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2012-2013高二北师大数学选修2-2第三课时3.2.1实际问题中导数的意义教学设计
第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义教学目的：1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x ) =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2教师用书：第3章 §2 2.1 实际问题中导数的意义+2.2 最大值、最小
§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义2.2 最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)教材整理1 导数的实际意义阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A.t＝1 s时的速度B.t＝1 s时的加速度C.t＝1 s时的位移D.t＝1 s的平均速度【解析】v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.【答案】 B教材整理2 函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数y＝f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数y＝f(x)在区间上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为最值.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值D.有最小值【解析】 f ′(x )＝2＋sin x >0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值. 【答案】 A预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：如图(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W (t )＝t 3－6t 2＋16t .图321(1)求t 从1 s 变到3 s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W ′(1)，W ′(2)，并解释它们的实际意义. 【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.【自主解答】 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，功W 从W (1)＝11 J 变到W (3)＝21 J ，此时功W 关于时间t 的平均变化率为W （3）－W （1）3－1＝21－113－1＝5(J/s).它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W ′(t ).根据导数公式和求导法则可得W ′(t )＝3t 2－12t ＋16，于是，W ′(1)＝7 J/s ，W ′(2)＝4 J/s.W ′(1)和W ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，这个人每秒做的功分别为7 J 和4 J.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.1.已知某商品生产成本c 与产量q (0<q <200)的函数关系为c ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系为p ＝25－18q ，求利润L 关于产量q 的关系式，用L ＝f (q )表示，并计算f ′(80)的值，解释其实际意义.【解】 ∵f (q )＝p ×q －c ＝⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ×q －(100＋4q )，∴f (q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴f ′(q )＝－14q ＋21，∴f ′(80)＝－14×80＋21＝1. 说明产量q ＝80时，产量每增加1，利润也增加1.求函数f (x )【导学号：94210063】【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值. 【自主解答】 ∵f ′(x )＝12x 2＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得2x 2＋x －6＝0，∴x ＝－2或32. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表所示：∴f (x )在x ＝32处取极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－4.又∵f (－2)＝57，f (3)＝32，∴f (x )的最大值为f (－2)＝57，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1154.求f (x )在上的最值的步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值点； (2)求出f (x )在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.2.已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈)，f (x )的最小值为1，则m ＝__________. 【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值， ∴f (0)＝m ＝1. 【答案】 1x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【精彩点拨】 (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本.(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去).因为f (x )在探究1 已知函数f (x )＝x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，如何求实数a 的取值范围？ 【提示】 由f (x )＝a x2＋2ln x 得f ′(x )＝2（x2－a ）x3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.故a 的取值范围为4.设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于max ≥M . 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －23. 由g ′(x )>0，得x <0或x >23，又x ∈，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max . 由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是函数的最大（小）值与导数—⎪⎪⎪⎪—最值—⎪⎪⎪⎪—最大值—最小值—求最值的步骤与方法—导数在实际问题中的应用—实际问题中导数的意义1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8【解析】 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.【答案】 C2.函数y ＝x 4－4x ＋3在区间上的最小值为( )【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】 因为y ＝x 4－4x ＋3，所以y ′＝4x 3－4.令y ′＝0，解得x ＝1.当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减；当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增，所以函数y ＝x 4－4x ＋3在x ＝1处取得极小值0.而当x ＝－2时，y ＝27，当x ＝3时，y ＝72，所以当x ＝1时，函数y ＝x 4－4x ＋3取得最小值0.【答案】 D3.函数y ＝x ex在上的最大值为________. 【解析】 ∵y ′＝x′·ex－x （ex ）′（ex ）2＝1－xex，令y ′＝0，得x ＝1∈. ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e2， ∴f (x )max ＝f (1)＝1e. 【答案】 1e4.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6).令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点. 【答案】 65.已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a ). (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在上的最大值和最小值. 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12， 此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝⎛⎭⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件3.2.1 实际问题中导数的意义精选ppt课件
－x2)＝解－析2x：3＋设1利8x润2(x为>0y)，，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：A
5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最 大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销 售该商品所获得的利润最大．
课后提升训练
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再见
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如 下表：
x f′(x) f(x)
(3,4) ＋ 单调递增
4 0 极大值42
(4,6) － 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的 极大值点，也是最大值点．
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的 值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.
2.1实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
2.1 实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
一、教学目标
•理解导数的概念及其作用；
•掌握求导数的方法；
•理解导数的物理意义；
•能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容
本课时主要探讨导数的意义及其应用，包括以下几个方面：
1.导数定义的引入；
2.导数的物理意义；
3.导数的计算方法；
4.应用于实际问题，如最优化问题、极值问题等。
三、教学重点与难点
1.理解导数的概念及其作用；
2.掌握求导数的方法；
3.理解导数的物理意义。
四、教学方法
通过引入实例、图像等方式，引导学生探究导数的概念、物理意义及其应用，同时配合小组讨论等方式，提高学生互动性和课堂效率。
五、教学流程
5.1 热身（5分钟）
复习前几节课所学内容，如函数的极限、连续性等。
5.2 引入（10分钟）
引入导数定义，引导学生观察函数图像，并通过观察、思考，引入导数的概念。
5.3 实验探究（20分钟）
将学生分为小组，探究导数的物理意义，通过实例、图像等方式，引导学生理解导数在实际问题中的应用。
5.4 讲解（20分钟）
讲解导数的计算方法，包括基本公式、求导法则等。
5.5 练习（20分钟）
布置练习题，要求学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、极值问题等。
5.6 总结（5分钟）
回顾本节课所学内容，引导学生总结导数的概念及其应用。
六、教学资源
1.教师课件；
2.学生练习册。
七、教学评估
1.课堂讨论及小组合作情况的观察；
2.练习题及作业的完成情况。
高二北师大数学选修22第三课时3.2.1实际问题中导数的意义导学案
第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义学习目的：1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 学习重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 学习难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 学习过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、范例：例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。
高中数学：3.2.1 实际问题中导数的意义(一) 教案 (北师大选修2-2)
3.2.1 实际问题中导数的意义教学过程：一、主要知识点：1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二、典型例题例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =． 评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点， 则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA Θ与2||MA 同时取到极值. 令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数.332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x .解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小. 例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ，∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x 0202x 令x ＝0，得y ＝x 02+2，∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++. ∴S ′＝2020204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36 （∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）. ∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40 ＝150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53 根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值， 此时sin θ＝54，∴cot θ＝43， ∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.例7、（江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x 由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，故底面正六边形的面积为： (436⋅⋅22)28x x -+＝)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(23V'2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2 x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．三、小结 ：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业：。
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能
计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示
优 化
函数值减少或不变，解释导数的实际意义时要
训 练
注意用词的不同．
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第3章 导数应用
课
功与功率问题
前
自
主
学
案
功率是功W关于时间t的导数，实际意义解 课
堂
释为单位时间里所做的功。
互 动 讲
练
【思路点拨】 (1) 求出f1及f4 →
知 能
优
化
计算从1 h到4 h的平均变化率 → 解释其实际意义
训 练
(2) 求f′x → 计算f′1，f′4 → 解释其意义
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第3章 导数应用
【解】 当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1)
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第3章 导数应用
课
前
学习目标
自 主
学
案
1.理解平均变化率与导数的关系．
课
堂
互
2．理解导数的实际意义．
动 讲
练
3．体会导数意义在实际生活中的应用．
知
能
优
化
训
练
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第3章 导数应用
课前自主学案
课
前
自
温故夯基
主 学
案
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第3章 导数应用
(2)f′(x)＝1x0＋
2 ，于是 x
f′(1)＝2110
(g/h)，f′(4)
课 前 自
主
＝75 (g/h)，分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个
学 案
课
堂
人每小时生产产品2110 g 和75 g.
变化率的 知
五里高级中学高二数学（选修2—2）
普通高中课程标准试验教科书
§2 导数在实际问题中的应用
2．1 实际问题中导数的意义
任课教师： 陈晓林
高二(1)班
高二(2)班
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2.1
第3章 导数应用
课
学习目标
前
自
主
学
案
课
堂
互
课前自主学案
动
讲
练
知
能
优
化
课堂互动讲练
训 练
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前 自
主
学
案
降雨强度：降雨量对时间的导数，实际意 课
堂
义解释为：单位时间里的降雨量
互 动 讲
练
知 能 优 化 训 练
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第3章 导数应用
例4 下表是一次降雨过程中一段时间内记录下降雨
知 能 优
__f_′__(_x_0)_>_0_，那么f(x0)是函数的__极__小__值_____．
化 训 练
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第3章 导数应用
课堂互动讲练 课
前
自
考点突破
主 学
案
位移、时间速度、问题
课
堂
互
动
速度是位移s关于时间t的导数，实际意义解释为：
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第3章 导数应用
【解】 (1)t 从 1 s 变到 3 s 时，s 关于 t 的平均变
课
化率为ΔΔst＝s33－－1s1＝237－－15＝11(m/s)．
前 自 主 学
案
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，该质点平
均每秒的位移是 11 m.
课 堂
互
(2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得 s′(t)
例2 一名工人上班后开始连续工作，生产的 课
产品数量 y(单位：g)是工作时间 x(单位：h)的函
前 自
数，设这个函数表示为 y＝f(x)＝2x02 ＋4 x.
主 学 案
(1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时，y 关于时间 x 的平均变
课 堂
互
化率，并解释它的实际意义；
动
讲
(2)求 f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义．
案
变化率，并解释它的实际意义；
课
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
堂 互 动
讲
练
【思路点拨】 (1)套用ΔΔst公式即可求出平均变化
知 能 优
率，即质点在该段时间内的平均速度；(2)利用导
化 训 练
数运算法则求出质点的运动方程 s＝s(t)的导数，
它表示 t 时刻的瞬时速度．
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知 能 优 化 训 练
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例3 P63例1
第3章 导数应用
课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 练
知 能 优 化 训 练
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第3章 导数应用
课
考点四 导数在气象中的应用
求函数f(x)的极值
课
堂
首(1)先如解果方在程x0f附′近(x)的＝左0，侧当__f′_f_′(_x_(0x_)0_＝)_>_00_时__，_，右侧
互 动 讲 练
_(2_f)′_如_(_x果_0_)<_在_0_x_0，附那近么的f(x左0)是侧函__f数_′_的_(x__0_)__<极__0__大___，值__右__；侧
动 讲
＝4t＋3，
练
则 s′(1)＝ 4＋ 3＝ 7(m/s) ， s′(2)＝ 4×2＋ 3＝
知 能
优
11(m/s)．
化 训
s′(1)和 s′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，位移 练
s 关于时间 t 的瞬时变化率，即瞬时速度．
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讲 练
单位时间里位移的变化量
知 能
优
化
训
练
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第3章 导数应用
例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，
其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
课 前
自
(1)求t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均
主 学
课
前
＝8210 (g)变到 f(4)＝12706 (g)，
自 主 学 案
此时平均变化率为f44－－1f1＝12706－3 2801＝1192(g/h)，
课 堂 互 动 讲 练
知
它表示从 1 h 到 4 h 这段时间内这个人平均每小
能 优
化
训
时生产1192 g 产品．
练
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第3章 导数应用
工作效率问题
课 前
自
主
学
案
工作效率即产量对时间t的导数．解决该类问题
课
时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函
堂 互
动
讲
数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解 练
决．
知 能
优
化
训
练
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第3章 导数应用