24.1.4.2 圆内接四边形 课件(人教版九年级上)

B
D E
C
180°
(1)四边形A1B8C0D°内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ， ∠ 则B∠+A∠DACD=1C_0=_0__°_______;∠若CD∠E=B_=_88_00_0°，__(图5)
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 则∠B5=0_°_____∠D=_1_3_0_°__(图6)
圆的内接四边形
新课讲解：
若一个多边形的所有顶点都在
同一个圆上，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多
边形的外接圆。 D
B
C
E
C
O
A B
A
O
D
F
E
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角
图5
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
45°
A
100 D
O
B
C
(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=__7_5_°_
A
D
O
B
C
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补充练习：
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
A
∠E＋∠F＝180°C 1 O1
E
B
CE∥DF
D
O2
F
证明 ∴∠E＋∠1＝180°
∵ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠1＝∠F
D
∴∠E＋∠F＝180° A
∴CE∥DF
C
1
O1
O2
F
E
B
圆内接四边形的判定：
定理： 如果一个四边形的 一组对角互补，那么这个 四边形内接于圆。
D
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180° O
B
C
圆内接四边形的对角互补
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° D
A
O
B
E C
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。
D
圆内接四边形的一 A
已知:B D 1800
求证:四边形ABCD内接于圆
D
A
D’
B
C
例2 如图2 10,CF是ABC
C
的AB边上的高, FP BC, FQ Q
P
AC.求证 : A、B、P、Q四 A 点共圆.
F
图2 10
B
证明 连接PQ.
在四边QFPC中,因为FP BC, FQ AC,
（2）∠EAG＝∠EFG A
F E
G
O1·
·O2
B
D
C
D
C
D
C
·
A
OB A
B
·E
定理 若两点在一条线段同侧且对该线
段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆,
特别的，对定线段张角为直角的点共圆
作△ABC的外接圆⊙O，在⊙O的弧AB上取点E， 使E与C在AB的两侧，因为A,E,B,C四点共圆， 所以∠ACB+ ∠AEB=180°又已知∠ACB =∠ADB 所以∠ADB+ ∠AEB=180°因此A,E,B,D四点共圆， 因为过不共线的三点A,E,B只有一个圆，即⊙O，所以
个外角等于它的内
O
对角。
E
B
C
6D
A5
7
4
3
O
B2
E 1C
定理： 圆内接四边形的 对角互补，并且任何一 个外角都等于它的内对 角。
练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O
的内接四边形，已知∠BOD＝
100°，求∠BAD及∠BCD的度
数。
A
O
B
D
C
圆内接平行四边形是矩形
试证明：
A
B
O
D
C
填空
A
80
…
例：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF
D A
C
O1
O2
F
E
B
连结AB
ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
所以FQA FPC. 则Q、F、P、C四点共圆.
故QFC QPC. 又因为CF AB,
所以 QFC 与QFA 互余.而A与QFA 也互余,
则A QFC , A QPC.
因此, A、B、P、Q四点共圆.
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点，⊙O1 经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经过点 C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交于点 G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°