17.32复数的三角形式__教案
复数的三角形式的运算(一) 教案示例
复数的三角形式的运算(一)·教案示例目的要求1．掌握复数三角形式的乘法运算法则．2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用．内容分析1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系．2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和．上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数)其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)．3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下：在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示积z1z2．也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小．</PGN0236A.TXT/PGN>4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)．可以用数学归纳法说明：1°当n ＝2时，乘法公式成立．2°假设n ＝k(k ≥2)时，乘法公式成立，即r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ1)·…·rk(cos θk ＋isin θk)＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]则n ＝k ＋1时，有r1(cos θ1＋isin θ2)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rk(cos θk ＋isin θk)·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)＝r1r2…rk+1[cos(θ1＋θ2＋…＋θk+1)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk+1)]即复数的乘法公式也成立． 由1°、2°可知，复数乘法公式对一切不小于2的正整数都成立．相应地，此时积的辐角主值与各复数辐角主值的关系是arg(z1z2…zn)＝argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π(k 取某一整数)其中整数k 使argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π∈[0，2π)．5．本课时的重点是两个复数的乘法法则、复数乘法的几何意义，难点是乘法的几何意义及其应用． 教学过程1．复习引入(1)复数的三角形式、模、辐角．(2)复数代数形式的乘法法则．2．提出问题(1)三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？(2)三角形式表示的两个复数的乘法，是否有用r1、r2和θ1、θ2表示的简单公式？乘积的模与r1、r2有何关系？乘积的辐角与θ1、θ2有何关系？3．讲解新课(1)(学生计算得出)三角形式下两复数的乘法公式和乘法法则，解决前面提出的问题．(2)提出新的问题：法则中的“辐角”能否换成“辐角主值”？给出两个三角形式的复数，如何求积的辐角主值？(在学生讨论后加以解决)(3)讲解复数乘法的几何意义．(4)两个复数相乘的公式推广到有限个复数相乘，指出其证明方法，证明过程留给学生课后去完成．</PGN0237A.TXT/PGN>4．应用举例(1)补充例题：求arg(3＋i)＋arg(2＋i)的值．解法一：设α＝arg(3＋i)，β＝arg(2＋i)，则有tan tan 0α＝，β＝，α、β∈，π13122⎛⎝ ⎫⎭⎪∴α＋β＝αβαβ＝×＝tan()1tan tan tan tan +-+-1131211312∵0＜α＋β＜π∴α＋β＝π，即＋＋＋＝π．解法二：∵＋十＝＋＝π444arg(3i)arg(2i)arg[(3i)(2i)]arg(55i)又＋、＋∈，π∴＋＋＋＝π．arg(3i)arg(2i)0arg(3i)arg(2i)44⎛⎝ ⎫⎭⎪点评：解法二利用复数乘积的辐角(主值)与原来两个复数辐角(主值)的关系求解．这种方法用在三个以上复数的乘积中，效果则会更加明显．</PGN0237B.TXT/PGN>(2)讲评例2．指出与复数对应的向量旋转，即是两个复数的乘法问题，这是复数乘法几何意义的逆用．(3)讲评例3．这是复数乘法几何意义的具体应用．5．课堂练习教科书第217页练习第1题．补充练习：设复数z1＝1－2i 、z2＝1＋i 、z3＝1－3i 的辐角主值分别是α、β、γ，求α＋β＋γ的值．6．课堂小结(1)复数三角形式的乘法法则．(2)复数乘法的几何意义．布置作业教科书习题5．6第1、2、4(1)题．。
(教案)复数的三角表示
复数的三角表示【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数z ＝a ＋b i 的三角形式是什么？2．复数的辐角、辐角的主值是什么？3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、基础知识1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．（2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则（1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．（2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．三、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3＋i ；（2）2－2i.【解】（1）r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. （2）r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤（1）先求复数的模．（2）决定辐角所在的象限．（3）根据象限求出辐角．（4）求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； （2）32(cos 60°＋isin 60°)；（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】（1）复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i＝23＋2i.（2）32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i.（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π.所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i ＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．2．复数三角形式的乘、除运算计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； （2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝62(cos 75°＋isin 75°) ＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π 所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2．四、课堂检测1．复数1－3i 的辐角的主值是( )A ．53πB ．23πC ．56πD ．π3解析：选A ．因为1－3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主值为53π. 2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________． 答案：32π4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π ＝－1＋32＋3－12i.。
《复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.3.2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案【教材分析】复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.数学学科素养1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.【教学重点和难点】重点：复数三角形式的乘除运算．难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.【教学过程】一、情景导入复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本86-89页，思考并完成以下问题1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1∙z 2=r 1∙r 2[cos (θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)].简记为 ：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．2、复数三角形式的除法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1÷z 2=r 1r 2[cos (θ1−θ2)+isin (θ1−θ2)].简记为 ：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz 0．四、典例分析、举一反三题型一 复数的三角形式乘法运算 例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.【答案】;详见解析 【解析】.首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向21Z 、Zz OZ 0z 0z 0z z ⋅21Z 、Zz OZ 0z 0z 13cos sin 266z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12z z 3i 123cos sin 2cos sin 26633z z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32cos sin 26363i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos sin 22i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3i =12,z z 1OZ 2OZ 1OZ 3π2π量（如图）.即为积所对应的向量.解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。
《复数的三角形式》第1课时示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的三角形式》教学设计第1课时1．掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念；2．掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义．教学重点：复数的三角表示、复数乘法运算的三角表示及其几何意义． 教学难点：复数乘法运算的三角表示及其几何意义．PPT 课件．一、问题导入问题1：复习回顾复数的几何意义及复数的模师生活动：复数z =a +b i 有序实数对（a ，b ）向量OZ 点Z （a ，b ）设复数z =a +b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ，则向量OZ 的长度叫做复数a +b i 的模（或绝对值），记作◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆ 教学过程一一对应一一对应一一对应|a +b.设计意图：承上启下，引入新课引语：本节课将要学习复数的三角形式及其运算.（板书：复数的三角形式及其运算） 【新知探究】1．阅读教材，感知复数的三角形式定义及相关概念 问题2：复数的三角形式定义师生活动：设复数=z 在复平面内对应的点为Z ．（1）写出Z 的坐标，并在图中描出点Z 的位置，作出向量OZ ；（2）记r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，求r 的值，并写出θ的任意一个值，探讨,θr 与=z 的实部、虚部之间的关系.追问：复数的三角形式定义是什么？预设的答案：（1）(1,3)Z （2）2,,1cos sin 3θθθπ====r r r一般地，如果非零复数(,)=+∈z a bi a b R 在复平面内对应点(,)Z a b ，且r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，则||=r z 根据任意角余弦、正弦的定义可知：cos ,sin θθ==a br r因此：cos ,sin θθ==a r b r从而cos sin (cos sin )θθθθ=+=+=+z a bi r r i r i 称为非零实数=+z a bi 的三角形式（对应的=+z a bi 称为复数的代数形式），其中θ称为z 的辐角.显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题3：如何求非零复数的三角形式？复数的两种形式如何互化． 师生活动：实例讲解，学生总结预设的答案：为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题3：复数的乘法的三角表示及几何意义师生活动：自主阅读教材，回答：复数的乘法的三角表示及几何意义 预设的答案：设z 1＝r 1（cos θ1+isin θ1），z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2），试求出z 1z 2. z 1z 2＝r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 注：z 1的模乘以z 2的模等于z 1z 2的模（简记：模相乘），z 1的辐角与z 2的辐角之和是z 1z 2的辐角（简记：辐角相加）追问：复数的乘法的几何意义是什么？预设的答案：设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ ，将1OZ 绕原点旋转2θ，再将1OZ 的模变为原来的2r 倍，如果所得向量为,OZ 则OZ 对应的复数为12z z ，如图所示.当20θ>时，按逆时针方向旋转角2θ，当20θ<时，按顺时针方向旋转角2||θ 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘. 特别地，如果∈n N ，则：[(cos sin )][cos()sin()]θθθθ+=+n n r i r n n i设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 写出下列复数的辐角主值： （1）3--i （2）-ai师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）因为r ＝22(3)(1)-+-＝2，所以cos θ＝32 sin θ＝12又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝76π. （2）当a >0时，r ＝a ，cos θ＝0，sin θ＝－1，其辐角主值θ＝32π； 当a ＝0时，其辐角主值θ＝0；当a <0时，r ＝－a ，cos θ＝0，sin θ＝1，其辐角主值θ＝2π. 设计意图：进一步深化复数的三角形式和理解辐角主值的含义． 例2. 把下列复数的代数形式改写成三角形式 （1）1-i （2）2i （3）1- 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由题意可知：2222211(1)[]1(1)1(1)-=+-+-+-i22772()2(cos sin )2244ππ=-=+i （2）因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|2|2,arg(2)2π==i i从而可知：22(cossin)22ππ=+i i（3）因为－1在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|1|1,arg(1)π-=-=从而可知：1cos sin ππ-=+i设计意图：进一步深化复数的三角形式例3. 计算×师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：×＝＝626210⎫-++⎪⎪⎝⎭＝5652256522i . 设计意图：进一步深化复数的三角形式 【课堂小结】问题：（1）复数的三角形式是什么？ （2）复数三角形式的乘法法则是什么？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充. 预设的答案： 1.复数的三角形式z ＝a +b i ＝r （cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z ＝a +b i 的三角形式，其中的θ称为z 的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.2.复数三角形式的乘法法则r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 模相乘，辐角相加.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确复数的三角形式等有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 复数2(sincos )33ππ+i 的一个辐角是 ( )A.0B. 6πC. 3πD. 65π设计意图：理解复数的辐角的含义2. 已知复数33=--z i ，则（ ）A.复数的模是||23=zB. 3π是复数的一个辐角 C.复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ+i D. 复数z 对应的点在第三象限设计意图：理解复数的几何意义 3.将复数2232(cossin )33ππ+i 化为代数形式为 设计意图：理解复数的三角形式与代数形式的转化 4. 复数4(cossin)33ππ=+z i 对应的点在第 象限设计意图：理解复数的几何意义5. 把下列复数表示成三角形式，并求它们的模与辐角主值：（1）2(cossin )33i ππ-+ ；（2）33sin cos 44i ππ-+． 设计意图：理解复数的几何意义 参考答案：1.因为2(sincos )33ππ+i =2(cos sin )66ππ+i ，所以它的一个辐角为6π，故选B. 2.由题意，1343923,cos ,sin ,2()223θθθππ=+==-=-=+∈r k k Z ．所以复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ=+z i ，故A ，C 正确；又复数33=--z i 对应点的坐标是.(3,3)--.，在第三象限，即D 正确． 故选A ，C ，D.3. 223233ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos isin ＝133222⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭i ＝322+362i. 4.由题意，223=+z i 对于点的坐标为(2,23)在第一象限． 5. （1）由题意，r =2．132(cossin )13,cos ,sin 332ππθθ-+=-=-=i i ． 所以辐角主值为43π，复数的三角形式为442cos sin )33ππ+（i ；（2）由题意，r =1．33sincos ,cos 442222ππθθ-+=--=-=i ． 所以辐角主值为54π，复数的三角形式为55cos sin44ππ+i ．。
复数的三角形式。教案
复数的三角形式。
教案删除明显有问题的段落小幅度改写：课题：复数的三角形式课型：新授第1课时教学目标：1.知识目标：掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化。
2.能力目标：培养学生的转化、推理及运算能力。
3.情感目标：通过研究本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美。
教学任务分析及教学策略：通过演绎、推理、计算使学生掌握三角两种形式的互化。
教学用具：多媒体。
本节课在学科知识体系中的地位和作用：复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华。
教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。
另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础。
教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会、研究。
教学中注意教材的内容设置，把教材、分析教材、灵活处理教材与学生的实际相结合。
可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。
教学内容与步骤：一、复1.在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量OZ。
2.以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。
记作：argz。
复题：已知a∈R+，求a，-a，ai，-ai的辐角主值。
二、新课复数的三角形式定义：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=√(a²+b²)，cosθ=a/r，sinθ=b/r，tgθ=b/a。
把Z=r(cosθ+isinθ)叫复数的三角形式，Z=a+bi叫复数的代数形式。
复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正。
教学方法：看图回答、发现、根据三角形式的特点。
教学手段：数形结合。
巩固练：（略）例题1、把下列复数化为三角形式：1)√3+1题目：把复数2(cos7π/6+isin7π/6)化成代数形式练：求复数1√3-i的辐角。
复数的三角形式与指数形式详细教案
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
幅角θ与虚数单位i是相加的关系会怎样？
先考察模为1的复数
如果写成 的形式
一方面，由于
与 的形式差别不是很大，
其次
在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？
我们暂时将 形式化地看做r与θ的“二元函数”
显然
把它们代入复数的代数形式得：
4.1、复数的三角形式
这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。
所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。
4.1、复数的三角形式
一、复数的幅角与模
我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如右图所示）
这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。
x
y
同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。
或
关于自然对数的底e和圆周率π，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！
复数的三角形式与指数形式详细教案
复数的三角形式与指数形式详细教案教案主题：复数的三角形式与指数形式教学目标：1.理解复数的三角形式与指数形式的概念；2.学会将复数转换为三角形式和指数形式；3.掌握复数的三角形式和指数形式的运算法则；4.能够在实际问题中灵活应用复数的三角形式和指数形式；5.培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
教学内容：1.什么是复数的三角形式和指数形式。
2.如何将复数转换为三角形式和指数形式。
3.复数的运算法则和性质。
4.如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题。
教学步骤：Step 1：复习复习复数的定义和基本运算法则，并介绍复数的表示形式：直角坐标形式。
Step 2：引入介绍复数的三角形式和指数形式的概念，并解释为什么引入这两种形式。
Step 3：三角形式3.1解释复数的三角形式的定义和表示方法；3.2解释如何将复数转换为三角形式；3.3练习题与讲解。
Step 4：指数形式4.1解释复数的指数形式的定义和表示方法；4.2解释如何将复数转换为指数形式；4.3练习题与讲解。
Step 5：三角形式与指数形式的关系5.1解释三角形式与指数形式之间的转换关系；5.2练习题与讲解。
Step 6：运算法则和性质6.1复数的加法和减法规则；6.2复数的乘法和除法规则；6.3复数的幂运算规则；6.4复数的共轭和模长的计算；6.5练习题与讲解。
Step 7：应用实际问题7.1解释如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题；7.2解答一些实际问题，并帮助学生理解如何运用三角形式和指数形式解决问题；7.3练习题与讲解。
Step 8：总结与评价总结本节内容，并进行班级讨论和答疑解惑。
教学方法：1.讲授法：通过讲解理论知识，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的概念和定义。
2.演示法：通过示例演示如何将复数转换为三角形式和指数形式。
3.练习法：通过练习题的讲解和解答，巩固学生对知识点的理解和运用能力。
4.案例分析法：通过解答实际问题，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的实际应用。
初中数学教案复数的三角形式与指数形式
初中数学教案复数的三角形式与指数形式初中数学教案复数的三角形式与指数形式一、引言本节课的目标是帮助学生理解复数的三角形式和指数形式，并熟练运用它们解决数学问题。
复数是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过本课的学习，学生将能够更好地理解复数，并运用复数的三角形式和指数形式解决实际问题。
二、概念解释1. 复数复数是由实数和虚数构成的数。
复数用符号“z”表示，形如 a+bi，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
实部表示实数部分，“a”为实数；虚部表示虚数部分，“bi”为虚数，其中“i”为虚数单位，满足 i² = -1。
2. 复数的三角形式复数可以表示为模长与辐角的形式，即z = r(cosθ + isinθ)，其中 r为模长，θ 为辐角。
模长 r 可以通过勾股定理求得，r = √(a² + b²)。
辐角θ 可以通过反三角函数求得，θ = arctan(b/a)。
在三角形式中，a 是实部，b 是虚部。
3. 复数的指数形式复数还可以表示为指数形式，即z = re^(iθ)，其中 e 为自然对数的底数。
在指数形式中，r 为模长，θ 为辐角。
三、教学过程1. 复数的三角形式（1）复数的模长和辐角计算方法- 计算复数的模长 r：使用勾股定理，r = √(a² + b²)。
- 计算复数的辐角θ：使用反三角函数，θ = arctan(b/a)。
（2）举例介绍复数的三角形式例1：计算复数 z = 3 + 4i 的模长和辐角。
解：根据公式，模长r = √(3² + 4²) = 5，辐角θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°。
因此，复数 z = 3 + 4i 的三角形式为 z = 5(cos53.13° + isin53.13°)。
2. 复数的指数形式复数的指数形式可以通过复数的三角形式推导得到。
高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式
高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式高一数学课程教案：复数的三角形式与指数形式一、引言在高一数学课程中，复数是一个重要的概念。
复数可以用不同的表示形式来进行运算和分析，其中最常见的是三角形式和指数形式。
本教案将重点介绍复数的三角形式和指数形式的概念、性质以及相互转化的方法。
二、复数的三角形式1. 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的三角形式复数的三角形式用模长和辐角来表示，表示为r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
3. 模长和辐角的计算方法- 模长的计算：复数z的模长记作|z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中a为实部，b为虚部。
- 辐角的计算：复数z的辐角记作∠z，计算公式为tanθ = b/a，其中θ为辐角。
4. 复数的三角形式与直角坐标系的关系复数的三角形式与直角坐标系中的点之间存在一一对应关系。
复数a+bi可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中x=a，y=b。
而直角坐标系中的点(x,y)也可以表示为复数a+bi，其中a=x，b=y。
5. 复数的乘法和除法运算- 两个复数的乘法：设复数z₁=r₁(cosθ₁ + isinθ₁)，复数z₂=r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，则它们的乘积为z₁z₂=r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))。
- 两个复数的除法：设复数z₁=r₁(cosθ₁ + isinθ₁)，复数z₂=r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，则它们的商为z₁/z₂=(r₁/r₂)(cos(θ₁-θ₂) + isin(θ₁-θ₂))。
三、复数的指数形式1. 复数的指数形式复数的指数形式用指数函数表示，表示为re^(iθ)，其中r为模长，e 为自然常数的底数，θ为辐角。
2. 模长和辐角的计算方法模长和辐角的计算方法与复数的三角形式相同。
复数的三角形式教案
复数的三角形式教案教学目的：使学生理解复数三角形式的意义，掌握复数三角形式的特点。
以及复数的代数形式与三角形式的互化。
重点：复数的三角表示，复数的三角形式与代数形式的互化。
教学过程： 复习，引入。
师：什么是复数？生：形如：bi a + ),(R b a ∈的数叫做复数。
（板书bi a + ),(R b a ∈）师：对。
那么复数可用什么几何方法来表示呢？生：复平面内的点和向量来表示。
师：对。
由复数的定义知，复数与一对有序实数),(b a 一一对应，故我们借用平面直角坐标系来表示复数，建立了复平面，复数与复平面内点建立了一一对应关系；复数在复平面内用点表示以后，我们又用向量来表示复数，那么，对于复数bi a z +=在复平面内用点Z 来表示以后，它所对应的向量怎样表示？生：用以O 为起点，Z 为终点所成的向量 y OZ 表示。
（板书图1） Z ),(b ao x图1师：对。
这样的话复数bi a z +=与复平面的点Z 及向量OZ 就建立了一个一一对应的关系：板书：复数bi a z +=点Z ),(b a 向量OZ问答1：复数bi a z +=用向量表示以后，向量OZ 的模r 就是 复数的模。
并且 =r 22b a +2：（对照图1），向量OZ 是不是可以看作是一个以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ对应的量？生：可以。
二、新课1、给出辐角定义：（板书：辐角的定义）我们把以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ，叫做复数bi a z +=的辐角。
图2 师：请大家思考，引入辐角θ以后，复数可由哪些量来确定？生：辐角θ和模r 。
师：辐角θ是唯一的吗？为什么？生：不是。
因为以x 轴为始边OZ 为终边的角有无数个，它们相差π2的整数倍。
师：对，但应该说不为零的复数的辐角；那么对于复数0=z ，我们知道它对应的向量是零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。
高中数学教案复数的三角形式与指数形式
高中数学教案复数的三角形式与指数形式高中数学教案：复数的三角形式与指数形式一、引言数学中的复数是指具有实部和虚部的数，可以用多种形式表示，其中最常见的是三角形式与指数形式。
本教案将重点介绍复数的三角形式与指数形式的概念、转换方法以及在数学问题中的应用。
二、复数的三角形式1. 定义复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式，形如：z =r(cosθ + isinθ)。
其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
2. 模长与辐角的计算模长r的计算公式：r = |z| = √(a^2 + b^2)，其中，a为复数的实部，b为复数的虚部。
辐角θ的计算公式：θ = arg(z) = arctan(b/a)。
3. 复数的三角形式转换为直角坐标形式对于给定的模长和辐角，可以通过如下公式将复数的三角形式转换为直角坐标形式：z = r(cosθ + isinθ) = a + bi。
其中，a = rcosθ，b = rsinθ。
三、复数的指数形式1. 定义复数的指数形式是指将复数表示为指数和虚指数的形式，形如：z = re^(iθ)。
其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角，e是自然对数的底，i是虚数单位。
2. 模长与辐角的计算同样地，复数的模长和辐角可以通过模长公式和辐角公式来计算。
3. 复数的指数形式转换为直角坐标形式复数的指数形式可以通过欧拉公式转换为直角坐标形式：z = re^(iθ) = r(cosθ + isinθ) = a + bi。
四、三角形式与指数形式之间的转换1. 三角形式转换为指数形式将三角形式的复数z = r(cosθ + isinθ)代入欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，得到指数形式的复数：z = re^(iθ)。
2. 指数形式转换为三角形式已知复数的指数形式z = re^(iθ)，可以通过欧拉公式的逆运算得到三角形式的复数：r = |z|，θ = arg(z)。
五、复数的应用示例1. 解析几何中的应用复数的三角形式和指数形式在解析几何中有广泛应用，例如在平面内旋转、平移等操作中可以用复数来表示，方便运算和表达。
高中数学备课教案复数的三角形式与指数形式的转换
高中数学备课教案复数的三角形式与指数形式的转换高中数学备课教案复数的三角形式与指数形式的转换一、引言复数是数学中的重要概念之一，它由实数和虚数部分组成，可用多种形式表示。
其中，三角形式和指数形式是常见的表示方法，它们在数学运算和解决实际问题时具有重要作用。
本篇教案将详细介绍复数的三角形式与指数形式之间的相互转换方法，以及在具体问题中的应用。
二、复数的三角形式与指数形式的定义与表示1. 复数的三角形式复数的三角形式将复数表示为一个模长和一个角度的形式。
假设一个复数为z=a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。
可以将复数z表示为z=r(cosθ + isinθ)的形式，其中r为z的模长，θ为z的辐角。
2. 复数的指数形式复数的指数形式将复数表示为一个指数项的形式。
复数z=a+bi可以表示为z=re^(iθ)，其中r为模长，e为自然对数的底数，i为虚数单位，θ为辐角。
三、三角形式与指数形式之间的相互转换方法1. 从三角形式到指数形式的转换当已知复数的三角形式z=r(cosθ + isinθ)时，可以通过下列公式将其转换为指数形式：z=re^(iθ)2. 从指数形式到三角形式的转换当已知复数的指数形式z=re^(iθ)时，可以通过下列公式将其转换为三角形式：z=r(cosθ + isinθ)四、转换方法的具体应用举例1. 三角形式转换为指数形式的应用举例考虑一个复数z=-2(cosπ/4 + isinπ/4)，将其转换为指数形式。
解：根据转换公式，可得：z=-2^(1/2)e^(iπ/4)2. 指数形式转换为三角形式的应用举例考虑一个复数z=√3e^(iπ/6)，将其转换为三角形式。
解：根据转换公式，可得：z=√3(cosπ/6 + isinπ/6)五、总结与思考本教案详细介绍了复数的三角形式与指数形式之间的转换方法，以及在具体应用中的运用。
三角形式与指数形式的相互转换是解决复数运算和求解实际问题中的重要技巧。
高中数学必修课教案复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法
高中数学必修课教案复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法高中数学必修课教案：复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法引言：高中数学中，复数的三角形式和向量的应用是解决复杂问题的关键概念。
本教案将从理论和实践两个方面，全面介绍复数的三角形式和向量应用的相关内容，并提供解决复杂问题的方法和技巧。
第一部分：复数的三角形式1.1 复数的表示和性质复数是实数和虚数的结合，在复平面上可以表示为坐标点。
复数的表示形式有代数形式和三角形式两种，而其中的三角形式更适用于解决复杂问题。
1.2 复数的三角形式推导通过欧拉公式，我们可以将复数表示为指数形式，再通过指数函数的公式化简，得到复数的三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
1.3 复数的三角形式的应用以求解复数幂为例，利用复数的三角形式可以简化计算过程。
例如，求解复数z的n次幂，只需将其转化为极坐标形式，然后利用欧拉公式求解。
这在高等数学中的微积分和线性代数等领域有重要应用。
第二部分：向量应用的复杂问题解决方法2.1 向量的基本概念与性质回顾向量由大小和方向组成，具有平移性和共线性等特点。
此部分回顾了向量的定义、加法、数量积、向量积等基本概念和性质。
2.2 利用向量解决几何问题2.2.1 三角形的面积计算通过向量的叉乘运算，我们可以得到三角形的面积。
根据向量的性质，可以利用三角形两个边的向量表示来计算三角形的面积。
2.2.2 直线和平面的方程求解利用向量的点乘和叉乘，我们可以确定直线和平面的方程，从而解决关于直线和平面的各类问题。
2.3 向量的应用于力的分解和合成在物理学中，力的分解和合成是非常重要的。
向量的性质使我们能够将力分解为各个方向的分力，从而更好地分析和解决力的问题。
2.4 向量的应用于电路分析在电路分析中，向量的思想和方法也起到了关键作用。
例如，利用复数表示电压和电流，结合欧姆定律和基尔霍夫定律，可以简化电路分析的计算过程。
结论：本教案全面介绍了高中数学必修课中复数的三角形式和向量应用的内容，以及解决复杂问题的方法和技巧。
《复数的三角形式》 说课稿
《复数的三角形式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《复数的三角形式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《复数的三角形式》是高中数学选修 2-2 中复数这一章节的重要内容。
复数的三角形式是复数的一种重要表示形式，它将复数与三角函数联系起来，为解决复数的运算和几何问题提供了新的途径和方法。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解复数的概念和性质，掌握复数的三角形式的定义和表示方法，体会复数的几何意义，提高数学运算和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了复数的代数形式以及复数的四则运算，对复数有了一定的认识和理解。
但是，对于复数的三角形式，学生可能会感到比较陌生和抽象，需要通过具体的实例和直观的演示来帮助他们理解和掌握。
此外，学生在三角函数的知识方面已经有了一定的基础，但将三角函数与复数相结合，可能会存在一定的思维障碍。
因此，在教学过程中，要注重引导学生进行知识的迁移和类比，逐步突破难点。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解复数的三角形式的定义，掌握复数的三角形式的表示方法。
（2）能够将复数的代数形式转化为三角形式，反之亦然。
（3）掌握复数三角形式的乘法、除法运算。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、验证等数学活动，培养学生的数学思维能力和创新能力。
（2）通过复数三角形式的推导和运算，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和统一美，激发学生学习数学的兴趣和热情。
（2）通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点（1）复数三角形式的定义和表示方法。
（2）复数代数形式与三角形式的相互转化。
（3）复数三角形式的乘法、除法运算。
2、教学难点（1）复数三角形式的推导过程。
（2）理解复数三角形式中辐角的概念和取值范围。
高中数学备课教案复数的三角形式与指数形式
高中数学备课教案复数的三角形式与指数形式高中数学备课教案：复数的三角形式与指数形式（1500字）导引：数学中有一类特殊的数，称为复数。
复数的表示形式主要有三角形式和指数形式。
本教案将介绍复数的三角形式与指数形式的概念、性质和转换方法，帮助学生全面理解和掌握复数的表示方法。
一、复数的三角形式1. 定义与符号：复数：由实部和虚部组成的数称为复数，一般表示为a+bi（其中a、b为实数，i为虚数单位）。
2. 极坐标形式：复数可以使用极坐标形式表示为r(cosθ+isinθ)（其中r为复数的模长，θ为辐角）。
3. 辐角与主辐角：辐角指复数与正实轴正方向的夹角，主辐角为[-π, π)范围内的辐角。
4. 复数的三角形式与坐标系的关系：复数a+bi对应复平面上的坐标(a, b)，复数r(cosθ+isinθ)对应复平面上的坐标(r, θ)。
二、复数的指数形式1. 指数函数与复数：指数函数可以推广至复数域，e^ix的形式即为复数的指数形式（其中e为自然对数的底）。
2. 欧拉公式：欧拉公式为e^ix = cosx + isinx，其中x为实数。
3. 指数形式与三角函数的关系：复数的指数形式与三角函数之间存在着互相转换的关系，可通过欧拉公式进行推导。
三、三角形式与指数形式的转换1. 从三角形式到指数形式：根据欧拉公式，可将复数从三角形式转换为指数形式，利用三角函数的性质进行推导。
2. 从指数形式到三角形式：利用欧拉公式的逆推形式，即可将复数从指数形式转换为三角形式。
四、三角形式与指数形式的运算1. 符号运算：复数的加减法与三角形式相同，乘法与除法运算则需根据指数形式进行化简。
2. 幂函数运算：对于复数的乘方运算，可应用指数形式的性质快速推导结果。
五、应用举例1. 解复数方程：通过三角形式或指数形式，可以更方便地解复数方程。
2. 利用指数形式简化计算：在某些数学问题中，复数的指数形式可以大大简化计算的复杂性。
六、教学活动1. 导入活动：利用复平面进行直观展示，引出复数的三角形式与指数形式。
复数的三角表示教学设计
环节一 复数的三角表示【教学重点】 复数的三角表示式． 【教学难点】探究、理解复数的三角表示式． 【教学目标】1.了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式．2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件．一．情境引入前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示—复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧．问题1：前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么．答案：我们把形如a +b i (a ，b ∈R )的数叫做复数(complexnumber ) ．复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应；复数z =a +b i与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应． 追问1：你能在复平面内用平面向量表示z =a +b i 吗？ 答案：设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ，连接OZ ，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 由点Z 唯一确定．追问2：已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )，能唯一确定与之对应的复数z 吗？复数z 的表达式是什么？为什么？答案：由于复数z =a +b i 与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应，所以已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )能唯一确定与之对应的复数z ，其表达式为z =a +b i ．复数z 可以由向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定．设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础．二．探究新知：问题2：我们知道复数z =a +b i 可以由向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 既可以由它的坐标(a ，b )唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析右图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？答案：应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小可以用复数的模r 来表示，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向可以借助角θ来表示．追问2：如何用文字语言表述角θ呢？答案：角θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线(射线OZ )为终边的角． 设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻高向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式莫基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节．追问3：你能用向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，以及以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角θ来表示复数z 吗？答案：由{a =rcosθb =rsinθ可以得到复数a +b i= rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)，其中r =√a 2+b 2，cosθ=a r，sinθ=br．设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r 和角θ与平面向量的坐标（a ，b ）的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想，这是得出复数三角表示式的另一个关键环节．追问4：刚才我们画的图形中，角θ的终边落在第一象限，得到a +b i= r(cosθ+isinθ)，这个式子是否具有一般性呢？即若角θ的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z 在实轴或虚轴上，即角θ的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？答案：改变平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角θ的终边落在什么位置，都有a +b i= r(cosθ+isinθ)．概念：一般地，任何一个复数z =a +b i 都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数z =a +b i 的辐角（argument of a complex number ）．r(cosθ+isinθ)叫做复数z =a +b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a +b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．设计意图：让学生分析角θ的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力．问题3：一个复数的辐角的值有多少个？答案：利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？答案：因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？答案：对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之问相差2π的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性．问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？答案：我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument ），通常记作arg z ，即0≤arg z <2π．追问1：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 答案：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．设计意图：给出辐角的主值的概念和取值范围，让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利．三．概念辨析问题５：１２(sin 5π12+i cos 5π12)是三角表示式吗？说出你的理由．追问１：观察复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)，你能总结出它的结构特点吗？ 答案：复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：① r 是复数的模，r =√a 2+b 2≥0； ② 是同一个辐角值θ的余弦和正弦； ③ cos θ在前，sin θ在后； ④ cos θ和isin θ之间用“+”连接．设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特点对复数的三角表示式作出判断．四、典例解析例1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)１２(sin5π12+i cos 5π12)；(2)−１２(sin π3+i cos π3) ．答案：(1)不是三角形式，三角形式应满足cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：１２(cos π12+i sin π12) ．(2) 不是三角形式，三角形式应满足r =√a 2+b 2≥0且cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：−１２(sin π3+i cos π3)=12(−12−√32i)=12(cos4π3+isin4π3) ．设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法．例2. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)12+√32i ；(2)1−i ．分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式． 解：(1)复数12+√32i 对应的向量如图所示，则 r =√(12)2+(√32)2=1，cos θ=12． 因为与12+√32i 对应的点在第一象限，所以arg (12+√32i)=π3． 于是12+√32i =cos π3+isin π3．(2) 复数1−i 对应的向量如图所示，则 r =√12+(−1)2=√2，cos θ=1√2=√22． 因为与1−i 对应的点在第四象限，所以arg (1−i)=7π4．于是1−i =√2(cos7π4+isin7π4)．解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要通过数形结合解决问题，只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式，而利用r=√a2+b2即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cosθ或sinθ的值求辐角．设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；另一方面是借助与复数对应的点的坐标，判断角θ的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法．例3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：(1) cosπ+isinπ；(2) 6(cos11π6+isin11π6)．解：复数cosπ+isinπ的模r=1，一个辐角θ=π，对应的向量如图所示．所以cosπ+isinπ=−1+0i=−1．(2)复数6(cos11π6+isin11π6)的模r=6，一个辐角θ=11π6，对应的向量如图所示．所以6(cos 11π6+isin11π6)=6cos11π6+(6sin11π6)i=6×√32+6×(−12)=3√3−3i．设计意图；本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r，θ的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对（r，θ）来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法．问题6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？答案：两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性．四．归纳总结回顾本节课内容，回答下列问题：（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程．（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？答案：（1）复数三角形式得出的研究思路和基本过程为：复数z=a+b i与平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)一一对应，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)可以由其大小和方向唯一确定，所以复数可以由平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向唯一确定，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小为平面向量的模r=√a2+b2，其方向可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量0Z⃗⃗⃗⃗ 所在的射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画，由三角函数的定义得：a=r cosθ，b=r sinθ，所以z=r（cosθ+isinθ）．（2）复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：①r是复数的模，r=√a2+b2≥0；②是同一个辐角值θ的余弦和正弦；③cosθ在前，sinθ在后；④cosθ和isinθ之间用“+”连接．⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数其中θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZz=a+b i的辐角（argument of a complex number）．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作arg z，即0≤arg z<2π．（3）两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．。
最新中职数学授课教案：复数的几何意义和三角形式数学
17.3复数的几何意义和三角形式教学目标1.理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数，体会通过图形来讨论复数问题；2.知道实轴、虚轴上及各象限内的点所对应的复数的特征，掌握复数的模、幅角的概念及其计算公式，会用计算器求复数的模和幅角。
教学重点复数的几何意义复数的模和幅角教学难点复数与向量的关系；复数模的几何意义。
【教学过程】一、问题情景问题1：对于复数a+bi和c+di（a,b,c,d G R），你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。
问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）实数可以用数轴上的点来表示实数对应►实数轴上的点（几何模型）问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？二、建构数学1、复平面的概念把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做。
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
2、复数的几何意义复数a+bi,即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。
以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。
）三者的关系如右上图例1.复数与点的对应练习1．下列命题中的假命题是()(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的数都是纯虚数。
2.“a=0”是“复数a+bi(a,beR)所对应的点在虚轴上”的()。
(A)必要不充分(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限,（每个小正方格的边长1)为2+-32-(3)(4)-3-(5)5；(6)-3求实数m允许的取值范围。
高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式的转换与应用
高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式的转换与应用高一数学课程教案：复数的三角形式与指数形式的转换与应用一、引言复数是数学中一个重要的概念，它拓宽了实数域的概念，对于解决各种实际问题具有广泛的应用。
本教案旨在介绍复数的三角形式与指数形式之间的转换，并探讨其在实际问题中的应用。
二、复数的三角形式与指数形式的转换1. 复数的三角形式表示复数的三角形式包括模和辐角两个部分，表示为：z = r(cosθ + isinθ)。
其中，r为模，θ为辐角。
2. 复数的指数形式表示复数的指数形式表示为：z = re^(iθ)。
其中，r为模，θ为辐角。
3. 三角形式与指数形式之间的转换通过欧拉公式，可以将三角形式转换为指数形式：e^(iθ) = cosθ +isinθ。
同样地，指数形式也可以转换为三角形式。
三、复数的三角形式与指数形式的应用1. 解析几何中的应用复数的三角形式与指数形式的转换在解析几何中有重要的应用。
例如，复数可以表示平面上的点，通过复数运算可以得到点的对称、平移等操作。
2. 电路分析中的应用在电路分析中，复数的三角形式与指数形式的转换可以帮助我们简化计算过程。
例如，通过使用指数形式可以方便地进行交流电路的分析与计算。
3. 振动与波动问题中的应用复数的三角形式与指数形式的转换在振动与波动问题中也有广泛的应用。
例如，可以通过将振动或波动问题表示为复数的形式，进而进行求解和分析。
四、练习题与解析1. 将复数z = 3(cosπ/4 + isinπ/4)转换为指数形式。
解析：根据三角形式与指数形式之间的转换，可以得到 z =3e^(iπ/4)。
2. 将复数z = 2e^(3iπ/2)转换为三角形式。
解析：根据三角形式与指数形式之间的转换，可以得到 z =2(cos(3π/2) + isin(3π/2))。
五、总结复数的三角形式与指数形式的转换在数学中是一项重要的技巧，它们在解决实际问题时具有广泛的应用。
通过本教案的学习，我们掌握了复数的三角形式与指数形式之间的转换方法，并了解了它们在解析几何、电路分析、振动与波动问题中的具体应用。
《复数的三角形式》示范教学方案北师大新课标
第五章复数§3复数的三角形式1.了解复数三角形式、复数的代数表示式与三角表示式之间的联系；2.了解复数乘除运算的三角形式及其几何意义；3.通过学习复数三角形式以及乘、除运算的三角表示及其几何意义，培养学生数学抽象、数学运算等素养.教学重点：复数三角表示式、复数乘除运算的几何意义.教学难点：复数乘除运算的几何意义.PPT课件.一、探索新知欧拉公式cos isinixe x x=+（i是虚数单位），是瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，下面我们一起探究复数的三角形式.设计意图：通过问题情景引入本节的内容---复数的三角形式.（板书）1.复数的三角表示式问题1：我们知道sin cos)(tan)ba xb x xaϕϕ+=+=，而复数的代数形式z ＝a＋b i（,a b R∈），你能类比上述三角变换，推出复数的三角形式吗？师生活动：学生独立思考，举手回答教师补充.预设答案：能.ia b+=，cos sin,rθθ===i(cos isin)a b rθθ+=+.问题2：如何把（1）3＋i ；（2）1i -；（3）1-化成三角形式？师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：(1)r 2＋i 对应的点在第一象限，i ＝1i)22+＝2(cos isin )66ππ+.（2）771i 2(isin )2244ππ-=-=+. （3）1cos isin ππ-=+.设计意图：帮助学生理解复数三角形式.问题3你能说出幅角的概念，幅角主值的概念吗？幅角主值的范围是什么？师生活动：学生阅读教材第179页，举手回答.预设答案：以原点为顶点，x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在的射线为终边的角θ，称为复数z ＝a ＋b i （,a b R ∈）的辐角.将满足0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，通常记作arg z ，即0≤arg z <2π.当0a >时，3arg(),(i),(i)22a rag a rag a πππ-==-=. 特别注意：z ＝0时，其辐角是任意的.设计意图：掌握幅角、幅角主值的概念及其范围.问题4如何求复数z ＝3(sin i cos )33ππ-的辐角主值？ 师生活动：学生独立思考、求解.预设答案：∵z ＝31(i)22-＝31111(cos isin )66ππ+，∴辐角主值arg z ＝116π. 设计意图：帮助学生理解复角主值的概念.资源名称：【知识点解析】复数的三角表示式资源介绍：本资源为复数的三角表示式知识讲解微课，帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注意：本图片为微课截图，若需使用，请于资源库调用．2.复数的乘法问题5：设13i z =-对应的向量为OZ ，将OZ 绕原点按顺时针方向旋转90︒，旋转所得对应的复数是什么？师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：由题意所得向量对应的复数为i cos90isin 9()1)(03︒+︒⋅.设计意图：理解复数三角形式的乘除的运算.问题6计算i cos90isin 9()1)(03︒+︒⋅?师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：将复数三角形式华为代数形式， 所以i cos90isin 90)(13i)i 3(13)(i ︒+︒==⋅-.设计意图：将复数三角形式化为代数形式，进行运算.问题7若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，你能根据复数的乘法运算计算z 1z 2，并将结果表示成三角形式吗？师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2(cos θ1＋isin θ1)·(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[(cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2)＋i(sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)].设计意图：推导复数三角形式的乘法运算.问题8如何计算r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)·…·r n (cos θn ＋isin θn )？师生活动：学生思考，动手计算，教师补充.预设答案：r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)·…·r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )].追问：等式[r (cos θ＋isin θ)]3＝r 3(cos3θ＋isin3θ)成立吗？能进行推广吗？师生活动：学生探究，小组讨论，教师补充.预设答案：成立，能进行推广，[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n (cos nθ＋isin nθ).设计意图：推导进一步理解复数三角形式的乘法运算，并进行简单推广.3. 复数三角形式的除法问题9：设z 1，z 2的三角形式分别是：z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且12z z ≠，类比复数三角形式的乘法，能得出12z z 吗？ 师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：能，11112222(cos isin )(cos isin )z r z r θθθθ+=+111112(cos isin )[cos()isin()]r r θθθθ=+⋅-+- ＝12r r [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] 设计意图：推导复数三角形式的除法.问题10：计算444cos isin 33552cos isin 66ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，并把结果化为代数形式. 师生活动：学生独立思考，举手回答.预设答案：2i设计意图：巩固复数三角形式的除法的运算.二、初步应用例1如图，向量OZ 与复数31i 22--对应，把OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转120︒得到OZ '，求OZ '对应的复数.师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程. 预设答案：31+i 22. 设计意图：巩固复数三角形式的乘法.例2 计算下列各式：(1)16(cos 43π＋isin 43π)×4(cos 56π＋isin 56π)； (2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)][10(cos 80°＋isin 80° )]；师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程.预设答案：(1)原式＝16×4[cos(43π＋56π)＋isin(43π＋56π)] ＝64(cos 136π＋isin 136π) ＝64(cos 6π＋isin 6π) ＝64(3122+i)＝3＋32i. (2)原式＝6(cos 70°＋isin 70°)[10( cos 80°＋isin 80° )]＝60(cos 150°＋isin 150°)＝60(312+i)＝－330i. 设计意图：巩固复数乘法的运算法则.例3计算(1＋i)÷33isin )]44ππ+. 师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程.预设答案：因为1＋i(cos isin )44ππ+， 所以原式＝isin )4433isin )44ππππ++33[cos()isin()]4444ππππ-+-[cos()isin()]22ππ-+-＝3(0－i)设计意图：巩固复数三角形式的除法.练习：教科书第182页练习1,2，3,4,5.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.【板书设计】三、归纳小结，布置作业问题11：通过本节课的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳.（1）复数的模和辐角主值是唯一确定的吗？（2）纯虚数的辐角主值是什么？（3）如何进行复数三角形式的除法运算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）0的模是唯一确定的，辐角主值是任意的，非零复数的模和辐角主值都是唯一确定的.（2）设纯虚数为b i(b ≠0)，当b >0时，arg(b i)＝2π；当b <0时，arg(b i)＝32π. （3）复数三角形式的除法法则成立的前提条件是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式，然后再运算.复数三角形式的乘法和除法运算的最终结果都要化为代数形式，即化为a ＋b i (a ，b ∈R )的形式.布置作业：教科书第183页，A 组3,4；B 组3.四、目标检测设计1.复数1的辐角的主值是( ) A.53π B.23π C.56π D.3π 设计意图：检查学生对复数三角形式表示的掌握情况.2.2÷ (cos 5π＋isin 5π)]的三角形式是( )(cos5π＋isin 5π)B. (cos310π＋isin 310π)C. [cos(－5π)＋isin(－5π)]D. (cos 45π＋isin 45π) 设计意图：检查学生对复数三角形式除法运算的掌握情况.512π＋isin 512π(cos 56π＋isin 56π)＝__________.(用代数形式表示) 设计意图：检查学生对复数三角形式乘法运算的掌握情况.4. 设复数z 1＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式.设计意图：检查学生对复数三角形式乘法运算的掌握情况.参考答案：1.A 因为1i ＝21(2-＝255(cos isin )33ππ+，所以1辐角的主值为53π. 2.C原式＝2(cos0isin0))isin()]55isin )55ππππ+=-+-+，故选C. 3.－3－3i 原式＝[cos(55126ππ+)＋isin(55126ππ+)] ＝(cos 54π＋isin 54π)＝－＝－3－3i. 4.解析：因为z 1＝2(cos 6π＋isin 6π)， 设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z 1z 22＝8[cos(2α＋6π)＋isin (2α＋6π)]. 由题设知2α＋6π＝2k π＋32π (k ∈Z )， 所以α＝k π＋23π (k ∈Z )， 又α∈(0，π)，所以α＝23π， 所以z 2＝2(cos23π＋isin 23π)＝－1i.。
复数的三角表示教案 高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
《复数的三角表示》教案课题 3.3复数的三角表示单元第三单元学科数学年级高一教学目标与核心素养1.数学抽象：了解复数的三角表示；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握复数的相关知识，为复数的学习打好基础的同时，也能学习利用复数解决实际问题。
4.直观想象：了解复数的旋转任意角以及复数的三角表示方法；5.数学运算:能够正确表示复数的三角形式；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点难点重点：i2=−1的几何意义；旋转任意角；复数的三角表示；复数三角形式的运算。
难点：i2=−1的几何意义；旋转任意角；复数的三角表示。
教学过程教学环节教师活动新课导入情境导入：上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？新知探究新知探究（一）：i2=−1的几何意义如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。
由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。
于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。
按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。
这就是说(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1.既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数i z对应。
下面我们来验证上述猜测是否正确：由于每个虚数z=x+yi(x,y∈R,y≠0)可以分解为实数x与纯虚数yi之和，因而我们先来讨论实数或纯虚数乘i的几何意义。
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(2)已知下列条件求复数 z 1 ① z , arg z 2 3
归纳 ② z 3 , arg z
5 6
指导 学生 回答
2、若设 z a bi(a, b R) 其模 z r ，辐角为θ ，如图所示， 试用所学过的知识用 r 和θ 表示复数的实部 a 和虚部 b.
y
及时 练习 检测 学生 的学 习成 果
2[cos(45) i sin(45)]
. . .
6、判断下列复数是否为三角形式，若不是，请化为三角 形式。
(1) z 2(cos 70 i sin 70) ；
(2) z 3(cos 20 i sin 20) ；
(3) z 4(sin 20 i cos 20)
小组 讨论
Z(a,b) r
O X
教师 补充 指导
个人 回答 3、将 a 和 b 用 r 和θ 表示后，复数 z 可以写成什么形式？ 4、阅读课本第 72 页，写出复数的三角形式及其特征.
1
教 学 内 容 与 步 骤 二、课堂探析 【活动 1】 理解复数的三角形式及其特征： 任务 1 指出下列复数的模和辐角 （1） cos 45 i sin 45 ； （2） 3(cos30 i sin 30) ；
阜 宁 职教 中 心公开课
课题： 复数的三角形式
课型：新授 第 1 课时 班级：13 汽修（3） 教者：张春荣 时间：2015 年 1 月 6 日 学习目标： 1、 理解复数的三角形式及其特征； 2、 会由复数的三角形式写出复数的模和辐角； 3、 会将复数的代数形式和三角形式进行相互转化 学习重点：将复数的代数形式和三角形式进行相互转化 学习难点：化复数为三角形式 教学用具： 多媒体 教学 学法 教学 教 学 内 容 与 步 骤 方法 指导 手段 一、 课前预习 1、复习回顾上一节课所学内容，解决下列问题： 复习 (1)写出下列复数表示的点，求出它们的模和辐角。 提 问？ ① 4i ② 2 2i ③ 1 i ④ 3i
(1) z 1 i ；
学 生 板演 练习 以巩 固新 知
(2) z 2 2 i ；
(3) z 1 3 i ；
(4) z 2 2i .
2
关键点拨：复数的三角形式的特征 任务 2 将下列复数化为三角形式
(1) z 2 ； (2) z 3i ；
指导 学生 计算
(4)2(sin 45 i cos 45) ；
归纳 对比
根据 三角 形式in(20) .
关键点拨： 复数的三角形式必须是 z r(cos i sin ) 的形式，它必须 要满足下列三个条件： （1 ） r 0 ， （2）后面的实部必须是 cos ，虚部必须是 sin ，其中 是辐角，但不一定是辐角 的主值， （3）实部与虚部之间应该是“+”. 【活动 2】会进行复数的代数形式和三角形式互化 任务 1 将下列复数化为三角形式
(3) z 4 ；
(4) z i ；
(5) z 0 .
任务 3 将下列复数化为代数形式
(1) z 2(cos 60 i sin 60) ；
(2) z 3(cos135 i sin135) ；
检测 学生 的学 习成 果
(3) z 2[cos(30) i sin(30)]
7、求出下列复数的模和辐角主值，并将复数表示为三角 形式
(1) z 1 3i ；
(2) z 7i ；
(3) z 12 ；
(4) z 6 6i .
五、 课后拓展 见学案第 182 页
4
5
三、小结 这节课我学到了什么知识？ 还有什么遗留问题？
及时 总结
3
四、课堂检测 1、下列复数中属于三角形式的是（ ） A. 3(sin i cos ) B. 3(cos i sin ) 6 6 6 6 C. 3(cos i sin ) D. 3[cos(- ) i sin( )] 6 6 6 6 2、复数 z 1 i 的三角形式是（ ） A. 2(cos 45 i sin 45) C. 2(cos135 i sin135) D. 3、 2 2 i 的三角形式是 4、 sin 30 i cos 60 的三角形式是 5、 cos10 i sin10 的三角形式是 B. cos 45 i sin 45
教学 学法 教 学 方法 指导 手段 回答
（3） 4(cos 20 i sin 20) .
发现
小 组 合 作 讨论
任务 2 判断下列复数形式是否为三角形式
(1)3(cos 60 i sin 60) ； (2) 2(cos30 i sin 30) ；
(3)4(cos 20 i sin 20) ；