2017届高考数学仿真模拟卷(一)

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标准仿真模拟卷(一)(时间：120分钟分值：150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数等于( )A.4iB.-4iC.-2iD.2i2.集合A=,B=,则A∩B= ( )A. B.C. D.3.已知△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若A=,且3b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.4.设x,y满足约束条件则的最大值是( )A.5B.6C.8D.105.已知三棱柱的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则该三棱柱的体积为( )A.12B.27C.36D.66.若f=则f等于( )A.1B.2C.D.7.已知函数y=log a(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若角α的终边经过点P,则sin2α-sin2α的值等于( )A. B. C.- D.-8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点.则cos∠AFB = ( )A. B. C.- D.-9.已知实数a,b满足-1≤a≤1,-1≤b≤1,则函数y=x3-ax2+bx+5有极值的概率为( )A. B. C. D.10.给出如图所示的程序框图,如果输出的结果是S=255,那么判断框“?”应为( )A.k≤6?B.k≤7?C.k≤8?D.k≤9?11.在边长为3的等边三角形ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且满足=2,=,则·=( )A.-B.-C.D.12.定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是( )A.[-2,2]B.∪C.∪D.(-∞,-2]∪[2,+∞)第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若的展开式中x9的系数为-,则a= .14.(2016·襄阳模拟)三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=,则该三棱锥外接球的表面积为15.若曲线y=ax2-ln x在点处的切线经过圆x2+y2-4x-2y-67=0的圆心,则a 的值为.16.函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>,则不等式f(ln x)<的解集为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)数列{a n}的前n项和为S n=2n+1-2,数列{b n}是首项为a1,公差为d(d≠0)的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式.(2)设c n=,求数列{c n}的前n项和T n.18.(本小题满分12分)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DE⊥AB,CF⊥AB,AE=DE=2,沿DE,CF将梯形折叠使A,B重合于A点(如图2),G为AC上一点,FG⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥AF.(2)求DG与平面ACE所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50,各类人群可正常活动.某市环保局在2015年对该市进行了为期一年的空气质量检测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取50个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.(1)求a的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值.(2)用这50个样本数据来估计全年的总体数据,将频率视为概率.如果空气质量指数低于20,就认定空气质量为“最优等级”.从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值,其中达到“最优等级”的天数为ξ,求ξ的分布列,并估计一个月(30天)中空气质量能达到“最优等级”的天数.20.(本小题满分12分)已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,△EFF1的周长为8,且椭圆C与圆x2+y2=3相切.(1)求椭圆C的方程.(2)设A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=4于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证k·k′为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+aln(x+1)(a∈R).(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间.(2)若F(x)=f(x)+ln有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证:F(x2)>.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ADC的外接圆交BC于点E,AB=2AC.(1)求证:BE=2AD.(2)当AC=3,EC=6时,求AD的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)求直线l被曲线C截得的弦长.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|x|+a.(1)若a=0,求不等式f(x)≥0的解集.(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求a的取值范围.答案解析1.D ===2i.【易错提醒】本小题容易出现答案为C的错误,造成这种错误的原因是误以为=i.2.B 因为A=,B={x∈R-3x>0}=,所以A∩B==.3.D 由正弦定理可得3sin B=2sin Acos B,即tan B==,因为0<B<,所以B=,所以三角形为斜边c=1的直角三角形,则b=,a=,所以△ABC的面积为××=.4.【解题提示】先画出可行域,再明确目标函数的几何意义.A 如图,画出可行域OAB,表示在可行域内任取一点P和点C(-1,-1)的连线斜率,它的最大值为k BC==5.5.【解题提示】由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,其高已知,底面正三角形的高为3,故先解三角形求出底面积,再由体积公式求解其体积即可.C 此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是3,设底面边长为a,则=3,所以a=6,故三棱柱体积V=×62××4=36.6.C先由f=f,x>0得f=f=f,再由f=2x+cos3tdt=2x+sin3t=2x+,所以f=20+=.【易错提醒】本小题在解答时,容易出现答案为B的错误,造成错误的原因是在求积分时,cos3tdt=sin3t=1,由于记错了积分公式,求错了原函数.7.C 因为函数y=lo g a(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,所以定点P为(2,3).因为角α的终边经过点P,所以tanα=,所以sin2α-sin2α====-.8.D 焦点F(1,0),由方程y2=4x和y=2x-4联立解得交点A(1,-2),B(4,4),所以=,=,所以cos∠AFB==-.9.C “函数y=x3-ax2+bx+5有极值”等价于“y′=x2-2ax+b”有变号实数零点⇔Δ=4a2-4b>0,即a2>b.如图,Ω={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1},A={(a,b)|b<a2,(a,b)∈Ω},阴影A的面积为S=a2da+2=a3+2=+2=,所以P(A)==.10.【解题提示】按照给出的框图,逐步代入求S的值,并记录k的条件,直到输出255为止.B 列表如下要输出S=255停止循环,所以判断条件为k≤7?.【易错提醒】解答本小题时容易出现答案为C的错误,在执行完第七次循环后,判断循环条件,应该是不满足,而跳出循环,如果循环条件为k≤8?,还要再执行,结果就成了511.11.B ·=·(-)=·]=·--=×3×3×-×9-×9=-.12.C 分别作出函数f(x)和g(x)的图象如图,若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则b一定在函数g(x)使两个函数的函数值重合的区间内,因为函数f(x)的最大值为1,最小值为-1,所以由lo g2x=1,解得x=2,由lo g2(-x)=1,解得x=-2,由lo g2x=-1,解得x=,由lo g2(-x)=-1,解得x=-.故b的取值范围是∪.13.【解析】因为(x2)9-r=x18-3r,令18-3r=9,所以r=3,所以=-,所以a3=8,a=2.答案:214.【解析】如图,设PC的中点为O,连接OA,OB.因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC.在Rt△APC中,OA=PC.因为PA⊥BC,AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以OB=PC.所以点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心,在Rt△PCA中,AC=,PA=,所以PC=,外接球的半径R=PC=,所以外接球的表面积S=4πR2=5π.答案:5π15.【解析】由y=ax2-ln x求导数得y′=2ax-,所以在点(1,a)处的切线斜率为2a-1,所以切线方程为y-a=,因为圆x2+y2-4x-2y-67=0的圆心为,所以1-a=,所以3a-2=0,a=.答案:16.【解析】根据已知f′(x)>,可得′=f′(x)->0,即函数F(x)=f(x)-x在R上为单调递增函数,又由f(1)=1可得F(1)=,故f(ln x)<=+ln x,化简得f(ln x)-ln x<,即F(ln x)<F(1),由函数单调性可得ln x<1,故不等式的解集为(0,e).答案:(0,e)17.【解析】(1)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1-2n=2n,又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.因为b1=a1=2,设公差为d,则由b1,b3,b11成等比数列,得(2+2d)2=2×(2+10d), 解得d=0(舍去)或d=3,所以数列{b n}的通项公式为b n=3n-1.(2)由(1)可得T n=+++…+=+++…+,两边同乘以得T n=++…++,两式相减得T n=1+++…+-=1+-=-,所以T n=5-.18.【解析】(1)因为FG⊥平面ACE,所以FG⊥AE,因为CF⊥AF,CF⊥EF,AF∩EF=F,所以CF⊥平面AEF,所以CF⊥AE,又FG∩CF=F,所以AE⊥平面ACF,所以AE⊥AF.(2)如图所示,在平面AEF内,过点E作EF的垂线Ex,所以Ex,EF,ED两两垂直,所以以E为原点,以Ex,EF,ED分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),A,C,D(0,0,2),利用中点坐标公式与等腰直角三角形的性质可得:G,所以=,=,=,设平面EAC的一个法向量为n=,则令y=-1,解得x=1,z=,所以n=.设DG与平面ACE所成的角为.则sin ===.19.【解析】(1)由题意,得(0.032+0.03+a+0.01+0.008)×10=1,解得a=0.02.50个样本中空气质量指数的平均值为=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6,由样本估计总体,可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6. (2)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在内为“最优等级”,且指数达到“最优等级”的概率为0.3,则ξ～B(2,0.3).ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=×(0.3)0×(0.7)2=,P(ξ=1)=×0.3×0.7==,P(ξ=2)=×(0.3)2×(0.7)0=,所以ξ的分布列为:E(ξ)=0×+1×+2×=0.6.(或者E(ξ)=2×0.3=0.6),故一个月(30天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为30×0.6=18(天).20.【解题提示】(1)根据题意求出a,b的值,可得椭圆的标准方程.(2)设点E(x1,y1),点F(x2,y2),利用根与系数的关系得到x1+x2=,x1·x2=,直线AE和直线AF分别与x=4求交点,可得M,N的坐标,由中点坐标公式得P点的坐标,直线PF2的斜率可求得,把x1+x2=和x1·x2=代入可得k·k′为定值-1.【解析】(1)由题意得△EFF1的周长为8,所以4a=8,所以a2=4且b2=3,所求椭圆C的方程为+=1.(2)设过点F2的直线l方程为:y=k(x-1),设点E(x1,y1),点F(x2,y2)将直线l的方程y=k(x-1)代入椭圆C:+=1,整理得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,因为点F2在椭圆内,所以直线l和椭圆都相交,Δ>0恒成立,且x1+x2=,x1·x2=. 直线AE的方程为:y=(x-2),直线AF的方程为:y=(x-2),令x=4,得点M,N,所以点P的坐标为.直线PF2的斜率为k′====·将x1+x2=,x1x2=代入上式得:k′=·=-,所以k·k′为定值-1.21.【解析】(1)f(x)=x2-4ln(x+1),x>-1,f′(x)=2x-=,由f′(x)>0,解得x>1,由f′(x)<0,解得-1<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+≦),单调递减区间为(-1,1).(2)因为F(x)有两个极值点x1,x2,所以F′(x)==0在区间(-1,+≦)上有两个不相等的实根,即2x2+2x+a=0在区间(-1,+≦)上有两个不相等的实根,设h(x)=2x2+2x+a,则有解之得0<a<.由题意得,x 2=,所以-<x2<0,a=-(2+2x2),F(x2)=-(2+2x2)ln(x2+1)+ln,设φ(x)=x2-(2x2+2x)ln(x+1)+ln,φ′(x)=2x-2(2x+1)ln(x+1)-2x=-2(2x+1)ln(x+1).当x∈时,φ′(x)>0,所以φ(x)在上单调递增.因为-<x2<0,所以F(x2)=φ(x2)>φ=.22.【解析】(1)连接DE,因为四边形ACED是圆内接四边形,所以∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,所以△DBE∽△CBA,即有=,又因为AB=2AC,可得BE=2DE,因为CD是∠ACB的平分线,所以AD=DE,从而BE=2AD.(2)由条件知AB=2AC=6,设AD=t,则BE=2t,BC=2t+6,根据割线定理得BD·BA=BE·BC,即(6-t)×6=2t·(2t+6),即2t2+9t-18=0,解得t=或-6(舍去),则AD=.23.【解析】(1)由ρ2cos2θ=1得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1, 即有x2-y2=1,所以曲线C的直角坐标方程为x2-y2=1.(2)把代入x2-y2=1中,得-=1,即2t2-4t-3=0,所以t1+t2=2,t1·t2=-,设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).所以直线l被曲线C截得的弦长为==2=2=2.24.【解析】(1)当a=0时,f(x)=|x+1|-|x|=所以当x<-1时,f(x)=-1<0不合题意;当-1≤x<0时,f(x)=2x+1≥0,解得-≤x<0;当x≥0时,f(x)=1>0符合题意.综上,f(x)≥0的解集为(2)设u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和y=x的图象如图:易知y=u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y=x的图象始终有3个交点,从而-1<a<0.关闭Word文档返回原板块。