有限元原理与应用复习

1.何谓有限元法，其基本原理是什么？有限元法是求解一类偏微分方程和常微分方程的数值分析方法。

其基本原理是：1）将连续的求解区域离散成有限多个单元，在每个单元中设定有限多个节点，将连续体看作是只在节点处相连接的一组单元的集合体；2）选定场函数的节点值作为基本未知量，单元内的场函数值通过节点处的值用假定的插值函数表示；3）通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。

求解后利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元内部以至整个集合体上的场函数。

2.何谓单元、载荷、边界条件？整体结构离散中划分出的每一小块体称为单元。

常见的单元类型有线性单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元。

单元顶点及插值点称为节点。

求解区域所受外界施加的力称为载荷，包括集中载荷和分布载荷等。

在不同学科中，载荷的含义有所不同。

边界条件是指求解区域边界上所受到的外加约束。

如结构分析中的位移约束，热分析中边界上给定的温度、热流等条件。

3.写出有限元法列式的一般形式，说明各项（包括元素）的含义。

应用有限元法，求解问题的数学模型被转化为一组线性代数方程组，用矩阵表示为F u K ，其中K 称为刚度矩阵，u 为待求节点场函数向量，F 为节点载荷向量。

总体刚度矩阵由单元刚度矩阵叠加而成。

以结构分析为例，单元刚度矩阵中元素eij K 的含义是单元节点第j 自由度产生单位位移引起的第i 自由度方向的力，总体刚度矩阵中元素ij K 的含义是节点整体编号中各单元在同一节点第j 自由度产生单位位移引起的第i 自由度方向力的和，也就是有公共节点的各相关单元对这一节点都有“贡献”。

4.说明有限元法与有限差分法的异同并列举其它的数值求解方法。

相同之处：1）两者都是求解偏微分方程和常微分方程的数值分析法； 2）都要对求解区域进行离散；3）最终的形式都是一组以节点场函数值为未知变量的线性代数方程组。

不同之处：1）形成以节点场函数为未知量的线性代数方程组的理论不同。

有限元法是通过变分原理或加权余量法等方法实现；而差分法是将控制方程直接应用在节点上，用节点处的差商代替导数，得到以节点处场函数值为未知量的线性代数方程组，结合给定的边界条件进行求解；2）区域离散方法不同。

有限差分法用与坐标线（面）平行的线（面）划分区域，对复杂形状区域较难处理；有限元法划分区域的单元形状灵活，适于处理复杂形状区域； 其它的数值求解方法：如有限容积法，有限分析法。

5．ANSYS 软件主要有那几部分组成，主要能解决哪些工程领域的问题？ANSYS软件主要由前处理模块、分析计算模块和后处理模块组成。

ANSYS软件是大型多物理场分析求解软件，主要应用领域：机械、化工、铁路、电子、航空航天、能源动力等。

主要功能模块包括：1）结构静力分析；2）结构动力学分析；3）结构非线性分析；4）运动学分析；5）热分析；6）电磁场分析；7）流体动力学分析；8）声场分析；9）压电分析；10）偶合场分析；11）高级分析模块，如优化设计等。

6. 应用ANSYS软件求解物理问题的一般步骤有哪些？1）建立模型指定文件名和分析问题标题；定义单位制；定义单元类型；定义单元实常数；定义材料特性；创建几何模型；划分网格生成物理模型。

2）加载和求解定义分析问题类型和分析选项；施加约束和载荷；指定载荷步选项；求解。

3）查看结果并进行分析应用通用后处理器POST1和时间-历程后处理器检查和分析结果7. ANSYS软件结构分析模块主要有那几类单元，各有哪些特点？主要有：集中质量单元，杆单元，梁单元，连续实体单元，壳单元和组合单元等。

这些单元均有二维和三维之分。

另外，质量单元，杆单元，梁单元，壳单元，组合单元除有材料属性外还有几何或其他属性，如质量，梁的截面积，惯性矩等，这些参数须在材料实常数中定义。

8．在ANSYS软件中划分网格应注意哪些问题？1）对由多种材料，多个零件组成的结构，对不同零件指定不同网格属性：如通过单元类型，材料类型，材料实常数等区分不同的区域，所划分网格与具体的零件（区域）相对应。

2）网格疏密与所分析物理问题，网格所处位置有关，在被求量变化速率大的地方应作加密处理；3）不同材料区域单元网格尺寸差异不应太大。

9. 用ANSYS软件建立几何模型通常有哪两种方法，具体内容是什么。

说明图1所示轴承座结构几何建模要点。

答：有两种方法。

一是自下向上的建模方法，该方法利用点、线、面基本图形要素建立模型，二是自上向下的建模方法，该方法利用ANSYS软件提供的基本几何形体，通过逻辑关系建立几何模型。

图1所示轴承座几何建模要点：轴承座关于过孔轴线的垂直面对称，建模时先建立一半的模型，利用镜像生成另一半模型，最后通过合并生成轴承座整体。

轴承座底座为长方体，孔上部为1/4圆柱，下部为长方体，孔通过1/4圆柱加下部长方体减去中间的圆柱生成，筋通过菱形基图1 轴承座本图形生成。

因此，轴承座可利用自上而下的建模方法创建。

建立圆柱要根据需要旋转局部坐标系，使z轴沿着圆柱轴线方向。

拉筋厚度方向也要沿局部坐标的z轴方向。

10.在ANSYS软件中命令“Add”、“Glue”、“Overlap”的作用是什么，通常在什么情况下使用？答：“Add”、“Glue”、“Overlap”命令是几何建模中的逻辑命令，“Add”将几个相关联的、独立建立的模型合并成一个几何体，在生成一个完整实体时使用。

“Glue”将几个相关联的、独立建立的模型粘接起来，彼此还是独立的几何体，只是在界面上连接起来，用于把不同性质的几何体关联起来，模型划分网格后，界面上的节点具有相同的位移或温度。

“Overlap”命令将重叠的几何体在界面处分割，但界面仍粘在一起。

“Overlap”命令具有分割和粘接的功能。

二、图2所示为一受轴向拉力作用的阶梯轴，试用最小势能原理建立该阶梯轴的有限元列式。

解：小势能原理可叙述为：在外力和约束作用下处于平衡状态的弹性体，其总势能为最小，或者说，在所有可能的位移场中，真实位移场的总势能取最小值。

数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。

对阶梯轴：12i ivdv Fu πσε=-∑⎰外力作用下的真实位移使：0δπ=；π是该问题的泛函。

位移与应变的关系为：du dxε= 应力与应变的关系为：E σε= （本构关系）设位移模式：12u x αα=+ 对第①单元 ：0,,i e jx u u x l u u ====得：()1,,1,i j ii i i j i j j ee e u u u x x u u u u N N u l l l αα-⎧⎫⎛⎫⎪⎪===-+=⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；11,,i i j i j j e e u u N N u Bu uu x x x l l ε∂⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫∂∂⎪⎪⎪⎪===-=⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭； 11,e e E E Bu E u l l σε⎛⎫==⨯=⨯- ⎪⎝⎭；对阶梯轴划分单元：112mi i e i dv Fu πσε==-∑∑⎰；对典型单元：12e e e i i e dv F u πσε=-∑⎰；()11111,,,2Ti i ei j e j j e e e e u F E u Adx u u u F l l l l π⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=-⨯-- ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎰； 12e T T T e u B EBuAdx u F π=-⎰()()1111,,12i i e i j i j j j e e e u F l u u E Adx u u u F l l l ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=---⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎰； 真实位移使总势能取极小值()0δπ=，对单元也有()0eδπ=。

0eδπ=，应使0,0e ei ju u ππ∂∂==∂∂。

得，()2222110,1,0110e i ee i e j iee F l l u EA dx F u l l π⎛⎫-⎪⎧⎫⎧⎫∂⎪⎪⎪=-⎨⎬⎨⎬ ⎪∂⎪⎪⎩⎭⎩⎭- ⎪⎝⎭⎰；()22221100,0,111e i ee e j j jee F l l EA dx u F u l l π⎛⎫-⎪⎧⎫⎧⎫∂⎪⎪⎪=-⎨⎬⎨⎬ ⎪∂⎪⎪⎩⎭⎩⎭- ⎪⎝⎭⎰； 合并上两式：1111i i ee j j ee u F l l EA u F l l ⎛⎫-⎪⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭- ⎪⎝⎭； e e e k u F =；el e dx l =⎰；整体刚度阵的装配：扩展单元刚度阵， ()()()()()111112111212200000k k kk k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

总体刚度阵， ()()12k kk=+； 整体有限元列式：ku F =；()()12313,,,,0,TTu u u u F F F ==。

111,1e el i i e j j e e e F u l E A dx F u l l l ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎰； 即：2202211A 11e el i i ee j j ee F u l l E dx F u l l ⎛⎫- ⎪⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭- ⎪⎝⎭⎰1111eei ee j e e u l l EA u l l ⎛⎫- ⎪⎧⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭- ⎪⎝⎭； e e e F k δ=， ee ee e e e ee EA EA ll k EA EA l l ⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭； 整体刚度阵的装配：图3 扩展单元刚度阵， ()()()()()111112111212200000k k kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

总体刚度阵， ()()12k kk=+； 整体有限元列式：k F δ⨯=；()()12313,,,,0,TTu u u F F F δ==。

三、图3所示为一双层平壁导热问题，试用工程法建立求解该双层平壁温度场的有限元列式。

若40n T =℃，15w T =℃，10.35λ=W/（m.K ）,125L mm =, 20.2λ=W/（m.K ）, 25L mm =,用建立的有限元列式求平壁1一半厚度处的温度和通过平壁传递的热量。

解：节点热流与单元节点温度的关系i 节点处：i je ee ei e ei j e eeT T A A A T T l l l λλφλ-==-；j 节点处：j ie ee ej e ei j eeeT T A A A T T l l l λλφλ-==-+； 图3用矩阵表示为：e ee e ei i ee j j e e e e ee A A T ll T A A l l λλφφλλ⎛⎫-⎪⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭- ⎪⎝⎭；或者：e e e k T φ=， e k 为热导矩阵。