高数B之极限与连续

数列的(两种 几何表示法 数列的 两种)几何表示法 两种 几何表示法: (1)数列对应着数轴上一个点列 数列对应着数轴上一个点列 数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,L , x n ,L .
x1
x3
x2 x4
xn
的函数: 数列可看作自变量为正整数 n的函数 的函数 xn = f (n) 整标函数或下标函数 整标函数或 (2) 在平面上画出自变量 坐标轴和因变量坐标轴, 坐标轴和因变量坐标轴 则数列的几何意义是 平面上一串分离的点. 平面上一串分离的点. 一串分离的点 o 如右图： 如右图： xn
有qn − 0 < ε,
∴ lim q n = 0.
n→ ∞
注
在论证极限问题时， 在论证极限问题时，都可以假设ε＜1，因为 ， 若对小于1的 已经得到项数指标N， 若对小于 的ε已经得到项数指标 ，则对于 大于1的 上述项数指标N仍合乎定义要求 仍合乎定义要求。 大于 的ε上述项数指标 仍合乎定义要求。
n
极限, 成立. 那末就称常数a是数列 成立 那末就称常数 是数列 x n的极限 收敛于 或称数列 x n 收敛于a. 记为 lim x n = a ,
n→ ∞
或
x n → a ( n → ∞ ).
如果数列没有极限, 就说数列发散 如果数列没有极限 就说数列发散 发散.
注 (1) 不等式 xn − a < ε 刻划了xn 与a 的接近程度; N (2) N与给定的 ε有关 , 一般地说 ε 越小， 将越大； 一般地说, 越小， 将越大； 有没有极限, 前面” 有没有极限 前面 的有限项不起作用, (3) {xn}有没有极限 “前面” 的有限项不起作用 主要看“后面”的无穷多项. 主要看“后面”的无穷多项 的定义可缩写为: 采用逻辑符号将 采用逻辑符号将 lim x n = a 的定义可缩写为 逻辑符号
· · · · 1 2 3 4
n
二、数列的极限
无限增大时 是否无限接近于某一 无限接近 问题 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值? 如果是, 如何确定? 确定的数值 如果是 如何确定
n −1
( −1) } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 研究数列 {1 + n 1 4 3 6 即 2, , , , L 2 3 4 5 无限接近于 无限增大时 当n无限增大时, x n 无限接近于1. 无限增大
1 nπ ( n = 1、、L） 以 0为 23 为 例2 证明数列 x n = cos n 2 极限. 极限 1 nπ 证 ∀ε > 0, 要使 x n − 0 = cos − 0 < ε.
1 nπ 1 nπ 1 由于 cos − 0 = cos ≤ n 2 n 2 n 1 1 1 只要 为了简化解不等式的运算 常 n> N时 < ε , 或n > , 取 = [ ], 则当 N , 为了简化解不等式的运算,常 > n ε ε 常把 x n π a 作适当地放大 1 1 n− 作适当地放大. nπ =0 cos 有 − 0 < ε . 即 lim cos n→ ∞ n 2 n 2
n
2
例3 证明 lim q n = 0, 其中 0 < q <Байду номын сангаас1.
n→ ∞
证 ∀ε > 0 (不妨设 0 < ε < 1), 为了使 x n − 0 = q < ε , 只需使 n ln q < ln ε ,
n
ln ε , 取 = [ lnε ], 则 n > N时 ∴n > N , 当 ln q lnq lnq
第二章
教学要求 数列的极限 函数的极限
极限与连续
无穷小量、 无穷小量、无穷大量 函数极限的运算
结束
第二章
极限与连续
两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 总结与习题
结束
教学要求
1. 理解数列极限的概念（ －N的定义不作高要求）. 理解数列极限的概念（ 的定义不作高要求） 的定义不作高要求 2.了解单调有界数列必有极限的准则和数列极限的 了解单调有界数列必有极限的准则和数列极限的 夹逼定理，并会运用它们求极限. 夹逼定理，并会运用它们求极限 3. 理解函数极限（包括自变量趋于有限值和自变量 理解函数极限（ 趋于无穷大的极限以及相应的单侧极限）的概念 趋于无穷大的极限以及相应的单侧极限） 的定义不作高要求） （e - X、e - d 的定义不作高要求）. 4. 了解函数极限的性质，掌握极限的四则运算法则， 了解函数极限的性质，掌握极限的四则运算法则， 能运用如下两个重要极限求相关的极限
n→ ∞
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N时, 有 x n − a < ε .
以上是极限的
ε N定义
数列极限的几何意义
xn − a < ε ⇔ a − ε < xn < a + ε
2ε a −ε x 2 x1 x N + 1 a
a+ε x N + 2 x3
即 xn ∈U( a, ε )
(n > N ) (n > N )
b−a 取ε = > 0 由 lim xn = a , 及 lim xn = b, n→ ∞ n→ ∞ 2 b−a ⇒ a+b xn < 2
2
a ≠b不妨设a ＜ b
;
b−a ; 当n > N 2时恒有 xn − b < 2
a+b ⇒ xn > 2 取N = max{N 1 , N 2 }, 则当 n > N 时,同时有 a+b a+b xn > xn < 2 2 矛盾， 矛盾，这说明结论成立
x
当 > N时 所有的点 xn 都落在(a − ε , a + ε )内, n ,
只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
这就表明数列x 这就表明数列 n所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内 同时也表明数列x 的任意小邻域内， 都能凝聚在点 的任意小邻域内，同时也表明数列 n 中的项到一定程度时变化就很微小， 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛” 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
割圆术 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
LL
LL
R
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
S
2. 概念 定义1 定义 按照自然数的顺序依次排列的一列数
x1 , x 2 , L x n ,L
称为一个数列. 称为一个数列 简记为 {xn }, 其中的每一个数称为 数列的项 第 项 数列的项,第n项 如
注
数列极限的定义未给出求极限的方法. 数列极限的定义未给出求极限的方法
给定 ε > 0, ∃N , 只要 n > N时, 有 x n − 1 < ε成立 .
n + ( −1) n −1 例1 证明 lim = 1. n→ ∞ n n −1 1 n + ( −1) xn − 1 = 证 −1 = n 解不等式 n ∀ε > 0,要 x n − 1 < ε, 只要 1 < ε, 或n > 1
xn 叫着数列的通项或一般项 叫着数列的通项或一般项. 通项或一般项
n 2,4,8,L ,2 n ,L; {2 } 1 1 1 1 1 { n} , , ,L , n ,L; 2 2 4 8 2 n+1 n−1 1,−1,1, L , ( −1) ,L; {(−1) } − n−1 − 1 4 n + ( −1) n−1 n + (−1) ,L; { 2, , , L , } 2 3 n n
给定 ε > 0, 只要 n > N (= [ ])， 有 x n − 1 < ε成立 . e
这就是“ 无限增大时， 无限地接近于1”的实 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于 的实 质和精确的数学描述。 质和精确的数学描述。
定义2 定义 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小 不论它多么小), 不论它多么小 总存在正整数N, 总存在正整数 使得对于n > N 时的一切 x n , 不等式 x −a <ε
完
第一节 数列的极限
数列的概念 数列的极限 数列极限的性质及收敛准则
结束
一、数列的概念
1. 概念的引入 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 极限概念是从常量到变量 从有限到无限 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 即从初等数学过渡到高等数学的关键 极限的思想源远流长. 极限的思想源远流长 “一尺之棰,日取其半 万世不竭” “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 一尺之棰 日取其半,万世不竭 割圆术—“割之弥细 所失弥少.割之又割 以至 割圆术 割之弥细,所失弥少 割之又割,以至 割之弥细 所失弥少 割之又割 不可割,则与圆周合体 而无所失矣.” 则与圆周合体,而无所失矣 不可割 则与圆周合体 而无所失矣 ——刘徽 刘徽
对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的， 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的， 1 n 的极限是多少吗？ 凭观察能判定数列 xn = (1 + ) 的极限是多少吗？ n
显然不行
( −1) n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 研究数列 {1 + n
无限接近于 无限增大时 当n无限增大时, x n无限接近于1. 无限增大 “无限接近” 无限接近” 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 意味着什么? 如何用数学语言刻划它? 1 n −1 1 Q | x n − 1 | = (1 + ( −1) )−1 = n n